Calcul : gé né ralité s · Calcul approché : c’est un calcul éfléchi au uel on ajoute un ode de gandeu echeché (fonction du contexte de la situation) et les aondis choisis

Notes – Didactique et pédagogie mathématiques 2016

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Calcul : gé né ralité s

Les programmes scolaires

L’enseignement d’un concept mathématique comprend l’ensemble des situations qui donnent du sens à ce concept et qui correspondent aux problèmes que le concept permet de résoudre, l’ensemble des propriétés de ce concept, l’ensemble des calculs qui peuvent être effectués, l’ensemble des éléments langagiers qui permettent d’évoquer le concept, de le décrire et d’organiser des calculs où il est en jeu (désignations verbales et symboliques). Cycle 2 : connaissance des nombres entiers et du calcul. Résolution de problèmes contextualisés (comparer/réunir/augmenter/diminuer/partager des collections). Introduction des quatre opérations. Relations internes aux nombres : décomposer/recomposer additivement et multiplicativement. Désignations orales/écrites : double, moitié, somme, produit, différence. Ecriture en ligne (addition, soustraction, multiplications), unités de numération. Stratégies de calcul : tables additives et multiplicatives, propriétés des opérations et de numération, calcul mental. Connaissance des nombres <1000 et de leurs relations. Cycle 3 : travail sur le calcul mental/posé/instrumenté. Connaissance des nombres (exploration, propriétés des opérations). Développer des aptitudes de calcul ; traitement de problèmes arithmétiques.

Différents modes de calcul

Calcul automatisé Calcul réfléchi, raisonné

Caractéristiques

Ils nécessitent de disposer de résultats mémorisés. Les techniques de calcul s’appuient sur des propriétés des nombres liées à leur écriture et sur des

propriétés des opérations. Un même calcul peut être automatisé pour certains élèves et réfléchi pour d’autres.

Il s’appuie sur des propriétés des opérations qui sont imposées et

parfois invisibles ; il est impersonnel (même calcul pour tout le monde) ; il est exécuté par réflexe rapidement.

Il s’appuie sur des relations entre les nombres et sur des propriétés des

opérations que l’élève choisi d’utiliser de façon consciente ; il est

personnel ; la charge mentale de travail est importante ; le calcul

prend plus de temps.

Ex : calcul uniquement mental Résultat mémorisé : on sait sans

avoir à réfléchir que 4x6 = 24

Résultats et procédures mémorisés (ex : tables d’addition ou de multiplication), relations entre les

nombres (ex : distributivité de la multiplication sur l’addition)

Ex : calcul utilisant un support écrit

Algorithme mémorisé : pour 426-248, on pose l’opération en colonne

et on fait les calculs sans réfléchir aux étapes à respecter

Connaissances de la numération écrite : 27 = 20+7, ou orale : trois-

cent-vingt-sept indique bien que le « trois » appartient aux centaines

Ex : calcul avec un instrument (boulier, calculatrice)

Calcul avec une machine : 245x56 peut être calculé avec une

calculatrice

Calculs relevant des quatre opérations et leurs particularités

(reste, parenthèses…), nécessitant un raisonnement et l’élaboration

d’une procédure spécifique

Calcul approché : c’est un calcul réfléchi auquel on ajouter un ordre de grandeur recherché (fonction du contexte de la situation) et les arrondis choisis pour les nombres en jeu (en fonction de l’ordre de grandeur et des possibilités de calcul mental).



Mémorisation des résultats ou des procédures = calcul uniquement mental

Facteurs favorables : mémoriser ce qui a du sens (un élève apprendra mieux les tables s’il les utilise que s’il se contente de les apprendre par cœur), les conditions d’apprentissage ont un impact sur les conditions de récupération en mémoire (ex : réciter toute la table de 8 pour trouver 8x7), certains résultats sont plus faciles à mémoriser (ex : tables de 2, de 5, addition par dizaines, carrés), la connaissance de relations entre les résultats et les propriétés diminue le nombre de résultats à mémoriser (ex : comprendre que 6x4 = 4x6), la répétition est efficace (ex : dans le cadre de jeux).

Apprentissage des algorithmes simples = calcul posé ou écrit

L’apprentissage des techniques de calcul posé demeure un objectif important de l’école primaire, malgré l’importance et la banalisation de l’ordinateur ou de la calculatrice.

Apprentissage du calcul instrument = calculatrice

L’apprentissage de l’usage de la calculatrice est prévu dès le cycle 2 ; il s’agit de l’utiliser pour des calculs sur les quatre opérations, mais aussi sur certaines particularités (division avec reste, parenthèses, fonction mémoire, fonction constant). L’usage de la calculatrice est une variable didactique importante : elle permet notamment aux élèves qui rencontre une nouvelle opération et ne disposant pas de moyens de calcul mental assez développés, de pallier à cet inconvénient ; mais aussi de centrer l’effort des élèves sir le raisonnement plutôt que sur le calcul, et ainsi d’éviter la surcharge mentale (pouvant conduire à la rupture du raisonnement, à l’abandon).



Addition ét soustraction


Concept amorcé dès la maternelle mais renforcé au cycle 2 et étendu aux nombre décimaux au cycle 3. Il s’agit d’être capable de résoudre des problèmes relevant de ces deux opérations par des procédures personnelles, et de produire un résultat en choisissant une méthode appropriée. Cycle 1 : comprendre qu’un nombre s’obtient en ajoutant 1 au nombre précédent ; connaître/(dé)composer des collections jusqu’à 10 au moins ; dire combien il faut ajouter/soustraire pour obtenir des quantités <10 ; parler des nombres à l’aide de leur décomposition. Cycle 2 : résoudre des problèmes portant sur des grandeurs et leur mesure, des déplacements sur une demi-droite graduée et utilisant les quatre opérations ; utiliser l’écriture mathématique (+, -) ; mémoriser des faits numériques et procédures (tables d’addition, décompositions additives de 10 et 100 ; choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit ; vérifier la vraisemblance d’un résultat (propriétés des opérations et de la numération) ; calculer mentalement ; calculer en ligne (addition, soustraction, multiplication) ; poser un calcul (addition, soustraction). CP : problèmes additifs/soustractifs, poser des additions en colonne avec des nombres à deux chiffres. CE1 : additions en colonnes avec des nombres plus grands et de taille différente, calcul posé de la soustraction. CE2 : problèmes en deux étapes, usage de tableau ou graphique, perfectionnement de la soustraction. Cycle 3 : résoudre des problèmes utilisant les quatre opérations (en plusieurs étapes) ; calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux ; mémoriser des faits numériques et des procédures de calcul ; choisir des stratégies de calcul à l’oral ou à l’écrit ; vérifier la vraisemblance d’un résultat ; calculer mentalement (nombres entiers et décimaux) ; calculer en ligne (utilisation des parenthèses) ; poser des calculs ; calculer avec un instrument (calculatrice) ; communiquer ses démarches et résultats.

Langage et notations symboliques

Les élèves doivent s’approprier des symboles et expressions verbales nécessaires à l’expression des calculs et résultats. Symboles Ils sont réduits aux signes + et – mais il peut être source de difficultés sémantiques (ex : l’élève a du mal à associer que 58+23 permet de trouver ce que possédait Aline qui vient de dépenser 23 € et à qui il reste 58 €), ou syntaxiques (ex : comprendre qu’une soustraction ne s’effectue que dans un sens alors que l’addition peut s’effectuer dans les deux sens). Expressions verbales La terminologie s’acquiert progressivement, avec des hésitations et des maladresses. Pour l’addition : « somme », « plus », « addition ». Pour la soustraction : « différence », « moins », « soustraction Répertoire additif Sa maîtrise suppose de connaître l’équivalence de certains résultats qui doivent donc être mis en relation pour être plus facilement mémorisés. L’élève doit maîtriser l’ajout/le retrait de 1 ou 2 à un nombre ≤10 ; il doit connaître les doubles jusqu’à 10 et les décompositions utilisant le nombre 5 ; l’élève doit maîtriser la commutativité de l’addition et les compléments à 10 (ex : de 7 à 10 il y a 3).



Typologie de problèmes

Certains problèmes peuvent avoir recours à plusieurs opérations : il faut alors les décomposer en sous-problèmes. La reconnaissance de l’opération qui permet de résoudre les problèmes s’élabore progressivement sur une longue période de temps (plusieurs années). Problèmes de composition de deux états Recherche du composé. Ex : dans un bouquet il y a 8 roses et 7 lys, combien y a-t-il de fleurs ? Recherche d’une partie. Ex : dans un bouquet de 15 fleurs composé de roses et de lys, il y a 8 roses, combien y a-t-il de lys ? Problèmes de transformation d’un état Recherche de l’état final. Ex : Paul avait 17 billes, il en a gagné 5, combien en a-t-il maintenant ? Recherche de l’état initial. Ex : Paul a gagné 5 billes. Il en a maintenant 12. Combien en avait-il avant la partie ? Recherche de la transformation. Ex : Paul avait 17 billes. Il en a 22 à la fin de la partie. Combien en a-t-il gagné ? Problèmes de comparaison d’états Recherche de l’un des états. Ex : Paul a 22 billes. Il en a 5 de plus que Sophie. Combien Sophie en a-t-elle ? Recherche de la comparaison. Ex : dans une boulangerie un pain vaut 1,25 €. Dans une autre il vaut 0,90 €. De combien est-il moins cher dans la 2e boulangerie ? Problèmes de composition de transformations. Recherche de la transformation composée. Ex : Paul a joué à deux parties de billes. Dans la première il a gagné 7 billes, dans la deuxième il a gagné 8 billes. Combien en a-t-il gagné en tout ? Recherche de l’une des composantes. Ex : aujourd’hui j’ai dépensé 30,65 €. Ce matin j’ai dépensé 19 €. Combien ai-je dépensé cet après-midi ?

Procédures de résolution

Procédure s’appuyant sur une figuration de la réalité et sur un dénombrement. Les objets évoqués dans l’énoncé sont représentés par d’autres objets transitionnels (ex : doigts, dessin, schéma). A partir de là l’élève recourt eu dénombrement. Cf. subtizing, dénombrement un par un. Procédure utilisant le comptage en avant ou en arrière Comptage de un en un (éventuellement à l’aide des doigts ou d’une droite numérique) ou suite de calcul (ex : sauts de 10 en 10) qui élaborent progressivement la solution. Cette procédure peut être purement mentale ou prendre appui sur des traces écrites. Cf. surcomptage, décomptage. Procédure utilisant un calcul sur les nombres après reconnaissance du calcul à effectuer L’élève a recours à une traduction mathématique de la situation avant d’effectuer les calculs. L’élève raisonne alors en s’appuyant sur le contexte évoqué. Ex : « Paul a gagné des billes, donc il en avait moins, donc je dois faire une soustraction ».

Variables didactiques

La taille des nombres et leur écart, la configuration des nombres (nombres ronds, décimaux), la mise à disposition ou non d’outils de calcul (ex : calculatrice).



Difficultés rencontrées par les élèves

Structure relationnelle du problème et place de l’inconnue dans la structure. D’eux dépendent les raisonnements pouvant être mis en œuvre. Difficulté des calculs. Elle est liée à la taille et à la nature des nombres ; elle est fonction de l’âge des élèves (ils hésiteront à mettre en œuvre une procédure qu’ils maîtrisent mal). Ordre d’apparition des données dans le texte. Si l’ordre ne correspond pas à la chronologie de l’histoire ou à l’ordre d’utilisation des données, des difficultés peuvent apparaître. Présence de mots inducteurs d’une opération déterminée. Ex : le mot « gagné » induit l’addition mais le problème peut faire appel à une soustraction. Mauvaise maîtrise du répertoire additif et de l’équivalence de certains résultats. Ex : 7+5=12 donc 12-7=5.

Calcul posé

Cette technique nécessite une bonne compréhension de la numération décimale (dizaines, centaines, unités…). L’addition posée de nombres entiers Elle ne présente pas de difficulté importante, la seule résidant dans le principe des retenues. La soustraction posée de nombres entiers. Elle utilise des propriétés plus complexes et se fait selon trois techniques : - Méthode par emprunt : elle nécessite le repérage des chiffres de chaque nombre, la maîtrise des

équivalences entre millier/centaine/dizaine… et la connaissance des différences entre nombres <20 et nombres <10.

- Méthode par complément : elle nécessite le repérage des chiffres de chaque nombre, les équivalences entre a-b= et b+..=a et la connaissance des compléments des nombres <20 et <10.

- Méthode traditionnelle : elle nécessite le repérage des chiffres de chaque nombre, la connaissance de la propriété de la soustraction (en ajoutant un même nombre aux deux termes d’une différence on obtient une différence égale à la première) et la connaissance des différences entre nombres <20 et nombres <10.

L’addition et la soustraction de nombres décimaux Les difficultés sont plus fortes car la plupart des élèves soustraient en positionnant les nombres décimaux à partir de la droite sans prendre en compte correctement la virgule. Ou alors les élèvent ne pensent pas à ajouter les 0 non écrits et reproduisent les chiffres dans le résultat. Il est donc nécessaire que les élèves connaissent quelques propriétés des opérations afin de faciliter la compréhension des techniques opératoires.

Calcul mental réfléchi

Le choix d’une procédure de calcul réfléchi est conditionné par les relations connues et mémorisées entre certains nombres. Ex : calculer 75-67. Procédures possibles : calculer le complément de 67 à 75 ; enlever d’abord 70 puis ajouter 3 ; ajouter 3 à chaque terme de la différence et calculer 78-70. Difficultés L’élève ne sait pas que certains nombres facilitent les calculs (nombres ronds, nombres terminés par 0) ; l’élève ne pense pas que pour ajouter 19 il est parfois commode d’ajouter 20 et d’enlever 1 ; les élèves utilisent la virgule comme l’adjonction de deux nombres entiers (et additionnent/soustraient terme à terme).

6 11 7 2 14 - 5 6

6 6 8

7 2 4 - 5 6

1 1 6 6 8

7 12 14 - 5 6 1 1

6 6 8

7 ,2 4 - 4 ,3

6 ,8 1

1 3 4 ,7 - 5 2 ,8 3 4

8 1 ,9 3 4



Multiplication ét division


Ces compétences sont amorcées au cycle 2 mais se construisent principalement au cycle 3 ; elles sont ensuite étendues au cas de produit et de quotient d’un nombre décimal par un nombre entier et du produit de deux nombres décimaux en fin de cycle 3. Il s’agit d’être capable de résoudre des problèmes relevant de ces deux opérations par des procédures personnelles et expertes, et d’être capable de produire le résultat d’un calcul. Cycle 2 : résoudre des problèmes portant sur des grandeurs et leur mesure, des déplacements sur une demi-droite graduée en utilisant les quatre opérations ; modéliser ces problèmes avec une écriture mathématique ; mémoriser des faits numériques et des procédures ; choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit ; vérifier la vraisemblance d’un résultat ; calculer mentalement ; calculer en ligne ; mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour la multiplication. Initiation à la division (partage, regroupement) CP : problèmes additifs/soustractifs. CE1 décomposition/recomposition multiplicatives ; problèmes en deux étapes ; exploration de tableaux ou graphiques. CE2 : obtenir le quotient et le reste d’une division euclidienne par un nombre à 1 chiffre et des nombres comme 10, 25, 50 ou 100 ; multiplication posée. Cycle 3 : résoudre des problèmes mettant en jeu les quatre opérations ; calculer avec des nombres entiers et décimaux ; mémoriser des faits numériques et des procédures élémentaires de calcul ; choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit ; vérifier la vraisemblance d’un résultat ; calculer mentalement ; calculer en ligne (utilisation des parenthèses) ; poser des calculs (quatre opérations) ; calcul instrumenté (calculatrice). Communication de la démarche et des résultats. CM1 : division euclidienne ; division de deux nombres entiers avec quotient décimal ; support d’information unique (texte, tableau, graphique). CM2 : multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier ; division d’un nombre décimal par un nombre entier ; support d’information multiples.

Langage et notations symboliques

Multiplication Les expressions symboliques ne posent pas de difficulté majeure dès que l’élève donne du sens à l’écriture avec le signe « x ». La difficulté arrive surtout avec l’expression de plusieurs facteurs (ex : 3x6x4) La lecture des expressions symboliques se fait par « fois » ou « multiplié par ». Vocabulaire : « produit », « facteur ». Division Les expressions symboliques sont source de difficultés car la division euclidienne fournit deux résultats : le quotient entier et le reste et qu’aucune notation symbolique ne peut les exprimer. L’utilisation du signe « : » à l’écrit et du signe «÷ » de la calculatrice est courante . Vocabulaire : « quotient », « reste », « dividende », « diviseur ».



Typologie de problèmes

De nombreux problèmes ont recours à plusieurs opérations : ils doivent alors être décomposés en sous-problèmes. Situation de proportion simple, avec présence de l’unité Les nombres sont situés dans un contexte ordinal (sauts réguliers sur une piste graduées ou comptage de n en n), dans un contexte cardinal (évocation d’objets isolés) ou de mesure. C’est le contexte qui impose ou non l’existence d’un reste nul ou non, ou que le résultat soit uin nombre naturel. Problème de multiplication. Ex : j’ai collé 32 timbres sur chaque page d’un album de 14 pages. Combien y a-t-il de timbres dans l’album ? Problème de division-partage ou de partage. Partager un nombre par un autre. Ex : j’ai collé 448 timbres dans un album de 14 pages. Il y a le même nombre de timbres sur chaque page. Combien y a-t-il de timbres sur chaque page ? Problème de division-quotition ou de groupement. Chercher combien de fois un nombre est contenu dans un autre. Ex : j’ai collé 448 timbres dans un album. Il y a 14 timbres sur chaque page. Combien de pages ont été remplies ? Situation de comparaison faisant intervenir des expressions comme « fois plus » ou « fois moins » Ex : Pierre a 7 ans. Son père est quatre fois plus âgé. Quel page a-t-il ? Ex : Jean a parcouru 360 km en voiture. André a parcouru 90 km. Combien de fois de plus qu’André Jean a-t-il parcouru de kilomètres ? Situation de produits de mesure Problème de multiplication. Ex : quel est le nombre de carreaux sur une page de cahier quadrillé de 25 carreaux sur 60 carreaux ? Problème de division. Ex : Jean a 4 chemises différentes. Combien doit-il acheter de pantalons différents pour avoir 20 façons de s’habiller ?


Problèmes de proportion simple, avec présence de l’unité Ex : le directeur de l’école a acheté x boites de y crayons chacune. Combien a-t-il acheté de crayons ? Les valeurs données aux nombres x et y vont influer sur l’efficacité des procédures de résolution. Procédure utilisant le support d’un dessin/schéma. L’élève représente les paquets de crayons et dénombre les crayons un à un ou 6 en 6. Cette procédure est inutilisable si les nombres donnés sont trop grands (ex : 64 et 34) Procédure additive. L’élève additionne x, y fois. Attention néanmoins aux calculs de nombres à deux ou trois chiffres. Procédure multiplicative. L’élève calcul mentalement x x y en utilisant les tables de multiplication. Pour des nombres supérieurs à 10, l’usage de la calculatrice peut être une aide précieuse (ex : 48 x 6). Problèmes de produits de mesure Ex : combien de menus différents peut-on composer avec trois entrées et quatre plats principaux ? Ecriture de tous les couples possibles. Résolution par un schéma (ex : arbre). Cela permet d’assurer la représentation de tous les couples. Résolution par un raisonnement. Ici l’élève peut effectuer une multiplication. Résolution par un tableau à double entrée. Problèmes de division. Ex : on range 273 œufs dans des boites de 12. Combien de boites peut-on remplir ? Procédure imagée. L’élève réalise un dessin ou un schéma et dénombre ensuite le nombre de boites. Cette procédure est compliquée si les nombres donnés sont plus grands. Procédure progressive fondée sur l’addition ou la soustraction. L’élève additionne de 12 en 12, ou par groupements (ex : 5 x 12 = 60), ou par soustraction (ex : 273 – 12 = 261, 261 – 12 = 249…)



Procédure multiplicative : l’élève cherche à résoudre une équation de type a x x + b. il pose une multiplication à trou, il essaie de multiples successifs du diviseur, il essaie par approches successives. Procédure mixte : l’élève utilise la multiplication et la soustraction en utilisant des quotients partiels au hasard ou des multiples de 10, 100… Utilisation de la division : l’élève calcul 273 divisé par 12 avec ou non la calculatrice.


Familiarité avec le contexte ; formulation de l’énoncé (ordre des données, place de la question…) Problèmes à résoudre par une division ou une multiplication : type de problème (proportion simple avec présence de l’unité ou produit de mesures), type de nombres utilisés (entiers ou décimaux), taille des nombres, matériel à disposition (tableau, graphique, calculatrice). Problèmes de division : valeur du quotient –composé d’un ou deux chiffres, exprimé par un nombre entier de dizaine ou de centaine), existence ou non d’un reste non nul, réponse à interpréter à partir d’un terme de la division (par le quotient entier, par le reste, par le quotient et le reste).

Difficultés rencontrées par les élèves

Erreurs dans le choix de la procédure de résolution (termes de l’énoncé, mélange du diviseur et du dividende), erreurs dans l’exécution de la procédure choisi ou dans l’interprétation des calculs, erreurs de calcul ; mauvaise interprétation de la virgule.

Calculs de multiplication et de divisions

Connaissances nécessaires Tables de multiplication, calcul de produits dont le facteur est 0 ou 1, produit et quotient d’un nombre naturel ou décimal par 10, 100, produit de type 30x4 ou 30x40, propriétés des opérations et maîtrise de la numération décimale. La mémorisation est facilitée si l’élève comprend ce qu’il doit mémoriser. De même, il est plus facile de mémoriser un ensemble structuré de résultats que des résultats isolés. Notion de multiple CP : multiples de 2 CE2 : double/triple/quadruple, moitié/tiers/quart. CM1 : multiples de nombres d’usage courant (5, 10, 15, 20, 25, 50) Procédures possibles pour reconnaître si un nombre donné est multiple d’un autre : chercher s’il est dans la table de multiplication, essayer des nombres pouvant créer un produit égal au nombre donné, diviser le nombre pour vérifier si on obtient un reste nul ou non, utiliser une propriété connue (ex : critère de divisibilité). Difficultés ou erreurs : confusion entre multiple et multiplication, mélange de l’expression « est multiple de » (ex : 24 est multiple de 3 alors que 3 n’est pas multiple de 24). Multiplication La technique de la multiplication posée débute à la fin du cycle 2 (multiplication par un nombre à un chiffre). Connaissances nécessaires : tables de multiplication, décomposition des nombres (ex : 507=500+7), repérage de la valeur des chiffres en fonction de leur position dans l’écriture (unités, dizaines), remplacer un produit par une somme de produits, propriétés de distributivité de la multiplication sur l’addition et de l’associativité de la multiplication, la règle des « 0 ». Difficultés et erreurs : l’élève ne connaît pas parfaitement ses tables de multiplication, l’élève a mal géré les retenues, l’élève n’a pas respecté l’ordre des calculs, l’élève n’a pas pensé au décalage du 0. Progressivité : multiplication d’un nombre par un nombre à un chiffre multiplication d’un nombre par un nombre de type 20, 300 multiplication de deux nombres quelconques.



Division euclidienne. La technique de la division posée début au CE2 (diviseur à un chiffre) mais sa mise en place se fait plutôt au CM1. Connaissances nécessaires : repérer la valeur des chiffres en fonction de leur position dans l’écriture, tables de multiplication, calcul approché, maîtrise du calcul de produits et de différences. Difficultés et erreurs : calculer de gauche à droite, calcul simultanée de divisions/multiplications/soustractions, les chiffres du quotient sont le résultat d’une approximation. Progressivité : division d’un nombre entier par un nombre entier à un chiffre division d’un nombre entier par un nombre entier de plus d’un chiffre division décimale de deux nombres entiers division décimale d’un nombre décimal par un nombre entier.



Proportionnalité – Cyclé 3


Cet enseignement est en lien étroit avec le calcul, l’organisation et la gestion de données, mais surtout avec le domaine multiplicatif. Il est traité dans le cadre de « nombres et calculs », « grandeurs et mesures », « l’espace et la géométrie » ; les situations relèvent du domaine socio-économique (achats, échanges), ou d’autre disciplines (physique, géographie) ou des mathématiques (géométrie, mesures). Cycle 3 : résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul ; utiliser une procédure adaptée ; identifier une situation de proportionnalité entre deux grandeurs : reproduire une figure en respectant une échelle. CM1 : propriétés de linéarité (additive et multiplicative) avec des problèmes utilisant des nombres entiers. CM2 : situations impliquant des échelles ou des vitesses constantes ; expression de pourcentage (« % de ») en lien avec les fractions de quantité ; application d’un taux de pourcentage.

Typologie de problèmes :

Situations servant de support à des problèmes La proportionnalité intervient par convention sociale. Il s’agit de problèmes de la vie courante, souvent de nature économique (relation quantité/prix). La proportionnalité permet la modélisation d’un phénomène. Physique : allongement d’un ressort proportionnel à la masse suspendue ; géométrie : périmètre d’un cercle proportionnel à la longueur du diamètre. Le recours à l’expérimentation/utilisation de théorèmes mettent en évidence les relations de proportionnalité entre grandeurs. La proportionnalité intervient comme outil pour définir de nouveaux concepts. Agrandissement, réduction, échelle, pourcentage, vitesse moyenne, débit, masse volumique… Problèmes posés Problèmes de quatrième proportionnelle : l’élève est amené à chercher le nombre manquant dans une relation qui met en jeu deux couples de nombres (ex : produit en croix) Problèmes de comparaison de mélanges. Dans ces problèmes interviennent au minimum trois quantités (ex : boisson, sirop, eau). L’élève est amené à chercher une partie par rapport au tout (ex : combien de sirop pour un verre de boisson), une partie par rapport à l’autre partie (ex : combien de sirop pour combien d’eau) ou les proportions (quelle boisson a le plus de goût en connaissant les quantités d’eau et de sirop). Problèmes de double proportionnalité : dans le cas d’une grandeur proportionnelle à deux autres grandeurs qui peuvent être modifiées indépendamment (ex : aire du rectangle, prix d’un séjour en fonction du nombre de personnes et du nombre de jours). Problèmes de proportionnalité simple composée : une grandeur varie proportionnellement à une autre qui varie proportionnelle à une troisième. Ex : 6 vaches produisent 4000 litres de lait en 30 jours, combien de jours faut-il à 18 vaches pour produire 72 000 litres de lait ?


Ex : recette pour quatre coupes de mousse au chocolat : 2 œufs, 100 gr de chocolat, 30 gr de sucre. Quelle quantité de chaque ingrédient faut-il pour faire 8 coupes ? Procédures en appui sur les propriétés de la linéarité. Propriété multiplicative de la linéarité : 8 coupes c’est 2 fois plus que 4 coupes, donc il faut prendre 2 fois plus de chaque ingrédient.



X 2

Nombre de coupes 4 8

Quantité de sucre (en gr) 30 60

Propriétés additives et multiplicatives de la linéarité : pour 12 coupes, l’élève pourrait additionner trois fois la mesure de chaque ingrédient. Procédure en appui sur le passage par l’image de l’unité C’est la « règle de trois » qui s’appuie sur la propriété multiplicative de linéarité mise en œuvre en cherchant les quantités nécessaires pour 1 coupe, ce qui permet ensuite d’avoir la réponse pour n’importe quel nombre de coupes. Cette procédure n’est efficace que si les calculs nécessaires à sa réalisation sont familiers aux élèves. Procédure en appui sur le coefficient de proportionnalité Il revient à considérer qu’il faut deux fois moins d’œufs que de coupes : le coefficient de proportionnalité entre le nombre de coupes et le nombre d’œufs est donc 2. Cette procédure est plus naturelle si les grandeurs sont de même nature et exprimées avec la même unité.


Relation entre les nombres donnés : le coefficient de proportionnalité entre les grandeurs et les rapports de linéarité entre des nombres relevant d’une même grandeur peuvent être un nombre entier simple ou non, un nombre décimal ou non, un nombre fractionnaire. Nombre de couples donnés : ce nombre peut favoriser la multiplicité des combinaisons linéaires ou facilité la mise en évidence du coefficient de proportionnalité. Contexte du problème : il permet ou non de s’appuyer sur une simulation (dessin, schéma) et donner lieu à une validation par l’expérience. Familiarité des élèves avec la situation évoquée : une situation familière favorise la mise en œuvre de raisonnements adaptés et le contrôle des résultats obtenus.

Difficultés et erreurs rencontrées par les élèves

Difficultés à identifier les grandeurs en relation dans la situation proposée. La présentation de la situation peut avoir une influence sur cette difficulté (tableau, illustration, texte, schéma). Difficultés à reconnaître si la situation relève du modèle proportionnel ou non. Certains élèves pensent que tout tableau renvoie à une situation de proportionnalité. Difficultés dans des situations de proportionnalité de type augmentation ou diminution : passer d’une première grandeur à une deuxième grandeurs (ex : situation d’agrandissement de figures) qui renvoient pour les élèves à des situations additives/soustractives et qui sont un obstacle à la reconnaissance du modèle proportionnel. Difficultés pour choisir une procédure de résolution. L’élève doit être capable de mettre en évidence les relations existant entre les nombres donnés dans l’énoncé. Difficultés liées à la mise en œuvre de la procédure choisie : combinaison de nombres pour les propriétés de linéarité, détermination du coefficient de proportionnalité, exécution des calculs.



Organisation ét géstion dé donné és


Cet enseignement n’a pas une place très importante à l’école primaire qui ne l’utilise qu’en rapport avec la proportionnalité. Cycle 2 : résoudre des problèmes en utilisant des nombres entiers et le calcul : exploiter des données numériques pour répondre à des questions ; présenter/organiser des mesures sous forme de tableaux. CE2 : problèmes en deux étapes nécessitant l’exploration d’un tableau/graphique. Cycle 3 : résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul ; prélever des données numériques à partir de supports variés : produire des tableaux/diagrammes/graphiques organisant des données numériques ; exploiter et communiquer des résultats de mesures.

Typologies de problèmes

Les différences entre les typologies de problèmes relèvent de leur mode de présentation : textuel, tableau, graphique. Il s’agit alors d’extraire une information, de comparer deux états relatifs à une même variable (ex : précipitations), de décrire l’évolution d’une variable.

Mode textuel Mode tableau Mode graphique

Mode textuel Extraire des données fournies dans un texte.

Elaborer/compléter un tableau en utilisant des données fournies dans un texte.

Elaborer/compléter une représentation graphique en utilisant des données fournies dans un texte.

Mode tableau Lire des données fournies dans un tableau.

Elaborer/compléter une représentation graphique en utilisant les données fournies dans un tableau.

Mode graphique Lire des données représentées graphiquement.

Elaborer/compléter un tableau en utilisant des données illustrées par une représentation graphique.

Elaborer/compléter une représentation graphique pour illustrer des données déjà représentées sous une autre forme graphique.


Procédure de type organisationnel Organiser des données, identifier les caractéristiques communes qui constituent les entrées du tableau. Organiser la prise d’information dans un tableau : compétences spatiales variables selon la complexité du tableau (deux entrées ou plus). Procédures de calcul Elles relèvent souvent de la proportionnalité entre la valeur des données et la hauteur des barres ou l’ordonnée des points ou l’angle. Des connaissances et compétences géométriques sont nécessaires : mesures, tracés…




Complexité du texte et dispersion des données dans le texte (déjà regroupées ou non) ; nombre de catégories qui détermine le nombre d’entrées dans le tableau ; quantité de données ; familiarité de l’élève avec le contexte ; type de graphique ; éléments du graphique (signification des axes, échelle choisie, graduation des axes, lignes de rappel) ; problème de lecture du graphique ; problème de construction du graphique.

Difficultés ou erreurs rencontrées par les élèves

Lecture : difficulté pour trouver/regrouper des informations ; difficulté à coordonner la lecture ligne/colonne ; difficulté à repérer abscisse/ordonnée ou à interpréter un graphique en lignes ou à exprimer correctement le résultat du graphique. Graduation et échelle : non-respect de la proportionnalité des écarts entre données : difficultés relevant de la proportionnalité.

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Calcul : gé né ralité s · Calcul approché : c’est un calcul éfléchi au uel on ajoute un ode de gandeu echeché (fonction du contexte de la situation) et les aondis choisis