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CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

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Text of CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2...

  • CALCUL INTÉGRAL

    Thomas . Weir . Hass . Giordano Onzième édition

    SOLUTIONNAIRE DE L’ENSEIGNANT

    Chapitre 3 : Techniques d’intégration, règle de l’Hospital et intégrales impropres

    Adaptation

    Vincent Godbout Hughes Boulanger

  • Exercices 3.1 page 427

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    Exercices 3.1 - Intégration par parties

    1. Soit . 2

    sin et dxxdvxu == Alors ,2

    cos2- et xvdxdu == et

    .2

    sin42

    cos2-

    2sin22

    2cos2-

    2

    cos2-2

    cos2- 2

    sin

    Cxxx

    Cxxx

    dxxxxdxxx

    ++=

    +⋅+=

    −= ∫∫

    2. Soit . cos et θπθθ ddvu == Alors ,sin1 et πθπ

    θ == vddu de sorte que

    ( )

    .cos1sin

    cos-11sin

    sin1sin cos

    2 C

    C

    dd

    +−=

    +⋅−=

    −= ∫∫

    πθπ

    πθπθ

    πθππ

    πθπθ

    θπθπ

    πθπθθπθθ

    3. Soit . cos et2 dttdvtu == Alors ,sin 2 et tvdttdu == d'où . sin2sin cos 22 ∫∫ −= dtttttdttt

    Dans la seconde intégrale, posons . sin et dttdvtu == Alors ,cos- et tvdtdu == de sorte que

    2 2 2cos sin 2 - cos -cos sin 2 cos 2sin .t t dt t t t t t dt t t t t t C⎡ ⎤= − − = + − +⎣ ⎦∫ ∫

    L'intégration tabulaire aurait donné le même résultat :

    ( ) ( )

    CtttttCtttttdtt

    +−+=

    ++−=∫sin2cos2sin

    sin-2cos-2sin cost 2

    22

  • 428 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    4. Soit . sin et2 dxxdvxu == Alors ,cos- 2 et xvdxxdu == de sorte que

    . cos2cos- sin 22 ∫∫ += dxxxxxdxxx

    Dans la seconde intégrale, posons . cos et dxxdvxu == Alors ,sin et xvdxdu == d'où

    ( )

    2 2

    2

    2

    sin - cos 2 sin sin

    - cos 2 sin 2 -cos

    - cos 2 sin 2cos .

    x x dx x x x x x dx

    x x x x x C

    x x x x x C

    ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

    = + − +

    = + + +

    ∫ ∫

    L'intégration tabulaire aurait donné le même résultat.

    cos2+sin2cos- sin 22 Cxxxxxdxxx ++=∫

    5. Soit . ln et dxxdvxu == Alors ,2

    12

    et xvdxx

    du == de sorte que

    dxx

    xxxdxxx 12

    ln2

    ln22

    ⋅−= ∫∫

    .4

    ln2

    221ln

    2

    21ln

    2

    22

    22

    2

    Cxxx

    Cxxx

    dxxxx

    +−=

    +−=

    −= ∫

    Finalement, 2

    1

    2

    1

    22

    4ln ln∫ ⎥

    ⎤⎢⎣

    ⎡−=

    xxxxdxxx

    .

    434ln

    432ln2

    41012ln2

    −=−=

    ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −−−=

  • Exercices 3.1 page 429

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    6. Soit . ln 3et dxxdvxu == Alors ,4

    14

    et xvdxx

    du == de sorte que

    .161ln

    4

    41ln

    4 ln 4

    43

    43 Cxxxdxxxxdxxx +−=−= ∫∫

    Finalement, e

    1

    e

    1

    44

    3

    161ln

    4 ln∫ ⎥

    ⎤⎢⎣

    ⎡−= xxxdxxx

    ( ) ( )

    4 4

    4

    1 11 04 16 4 16

    3 1 .16 16

    e e

    e

    ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

    = +

    7. Soit . tan et dydvyarcu == Alors , 1

    1 et2 yvdyydu =

    += de sorte que

    ( ).1lntan

    1ln21tan

    1

    221tan

    1

    tan tan

    2

    2

    2

    2

    Cyyarcy

    Cyyarcy

    dyyyyarcy

    dyy

    yyarcydyyarc

    ++−=

    ++−=

    +−=

    +−=

    ∫∫

    8. Soit . sin et dydvyarcu == Alors , 1

    1 et2

    yvdyy

    du =−

    = de sorte que

    ( )

    ( )

    .1sin

    211

    21sin

    1

    2-21sin

    1

    sin sin

    2

    212

    2

    2

    Cyyarcy

    Cyyarcy

    dyy

    yyarcy

    dyy

    yyarcydyyarc

    +−+=

    +−

    +=

    −+=

    −−=

    ∫∫

  • 430 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    9. Soit . sec 2et dxxdvxu == Alors ,tan et xvdxdu == de sorte que

    ∫ ∫−= dxxxxdxxx tantan sec2

    . cos lntan Cxxx ++=

    10. Soit . 2sec 4 2et dxxdvxu == Alors ,2tan21 4 et xvdxdu == de sorte que

    ∫ ∫−= dxxxxdxxx 2tan22tan2 2sec4 2

    . 2cos- ln2tan2 Cxxx ++= 11. Procédons par intégration tabulaire.

    ( )3 3 2

    3 2

    3 6 6

    3 6 6

    x x x x x

    x

    x e dx x e x e xe e C

    x x x e C

    = − + − +

    = − + − +

    12. Procédons par intégration tabulaire.

    ( )

    4 - 4 - 3 - 2 - - -

    4 3 2 -

    - 4 12 24 24 .

    - 4 12 24 24

    p p p p p p

    p

    p e dp p e p e p e pe e C

    p p p p e C

    = − − − − +

    = + + + + +

  • Exercices 3.1 page 431

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    13. Procédons par intégration tabulaire.

    ( ) ( ) ( )( )( )

    2 2

    2

    2

    5 5 2 5 2

    5 2 5 2

    7 7

    x x x x

    x

    x

    x x e dx x x e x e e C

    x x x e C

    x x e C

    − = − − − + +

    = − − + + +

    = − + +

    14. Procédons par intégration tabulaire.

    ( ) ( ) ( )( )( )

    2 2

    2

    2

    1 1 2 1 2

    1 2 1 2

    2

    r r r r

    r

    r

    r r e dr r r e r e e C

    r r r e C

    r r e C

    + + = + + − + + +

    = + + − − + +

    = − + +

    15. Procédons par intégration tabulaire.

    ( )

    5 5 4 3 2

    5 4 3 2

    5 20 60 120 120

    5 20 60 120 120

    x x x x x x x

    x

    x e dx x e x e x e x e xe e C

    x x x x x e C

    = − + − + − +

    = − + − + − +

    16. Procédons par intégration tabulaire.

    2 4 2 4 4 4

    2 4

    1 1 1 4 8 321 1 1 4 2 8

    t t t t

    t

    t e dt t e t e e C

    t t e C

    = − + +

    ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

  • 432 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    17. Procédons par intégration tabulaire.

    ( ) ( ) ( ) ( )

    21

    841

    41

    8

    141001-

    410

    41-

    8-

    2cos412sin

    22cos

    2- 2sin

    22

    2

    2

    0

    2

    0

    22

    −=−−=

    ⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ ++−++=

    ⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡++=∫

    ππ

    ππ

    θθθθθθθθπ π

    d

    18. Procédons par intégration tabulaire.

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    223 3 2

    00

    3 2

    2

    1 3 3 3cos2 sin 2 cos2 sin 2 cos22 4 4 8

    3 3 3 3 0 -1 0 -1 0 0 0 116 16 8 8 8

    3 3-16 4

    ππ

    x x dx x x x x x x x

    π π π

    π

    ⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

    ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

    = +

    19. Soit . sec et dttdvtarcu == Alors ,2

    1

    1 2

    2et tvdt

    ttdu =

    −= de sorte que

    ( )

    2

    2

    2

    2

    1 222

    22

    1 sec sec 2 2 1

    1 2sec 2 4 1

    11sec2 4 1 2

    1sec 1 .2 2

    t tt arc t arc t dtt

    t tarc t dtt

    tt arc t C

    t arc t t C

    = −−

    = −−

    −= − +

    = − − +

    ∫ ∫

    .33

    95

    63

    632

    23

    32

    31

    21

    32sec

    323

    212sec2

    121sec

    2 sec

    2

    32

    222

    32

    ,Finalement

    −=+⋅−−⋅=

    ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛⋅−−⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −=

    ⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡−−=∫

    πππ

    arcarc

    ttarctdttarct

  • Exercices 3.1 page 433

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    20. Soit dxxdvxarcu 2 sin et2 == Alors , 1

    2 24

    et xvdxx

    xdu =−

    = de sorte que

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) .1sin 21

    121sin

    1

    4-21sin

    1

    2sin sin 2

    422

    21422

    4

    322

    4

    3222

    Cxxarcx

    Cxxarcx

    dxx

    xxarcx

    dxx

    xxarcxdxxarcx

    +−+=

    +−

    +=

    −+=

    −−=

    ∫∫

    ( ) ( )

    ( )

    123

    121

    23

    621

    10411

    21sin

    21

    1sin sin 2 21

    0

    42221

    0

    2,Finalement

    −+=−+⋅=

    ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛+−−+=

    ⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡ −+=∫

    ππ

    arc

    xxarcxdxxarcx

    21. Soit . sin et θθθ ddveu == Alors ,cos- et θθθ == vdedu de sorte que

    . coscos- sin θθθθθ θθθ deede ∫∫ +=

    Dans la seconde intégrale, posons . cos et θθθ ddveu == Alors ,sin et θθθ == vdedu

    d'où . sin sincos- sin θθθθθθ θθθθ deeede ∫∫ −+=

    , sincos- sin2 Ceede ′++=∫ θθθθ θθθ d'où ( ) ,+cossin2 sin Cede θθθθθ

    θ −=∫ où 2CC′

    =

    est une constante d'intégration arbitraire. 22. Soit dyydveu y cos et- == . Alors yvdyedu y sin - et- == , de sorte que

    dyyeyedyye yyy sinsin cos --- ∫∫ += .

    Dans la seconde intégrale, posons dyydveu y sin et- == . Alors yvdyedu y cos- - et- == ,

  • 434 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    ( )( ) Cyyedyye

    dyyeyeyedyyeyy

    yyyy

    ′+−=

    −+=

    ∫∫∫

    cossin cos2

    coscos-sin cos --

    ----oùd'

    d'où ( ) Cyyedyyey

    y +−=∫ cossin2 cos -

    - , où 2

    CC′

    = est une constante d'intégration arbitraire.

    23. Soit . 3cos et dxxdveu x == 2 Alors ,3sin31 2 et xvdxedu x ⋅== 2 de sorte que

    . 3sin323sin

    31 3cos dxxexedxxe xxx ∫∫ −= 222

    Dans la seconde intégrale, posons . 3sin et dxxdveu x == 2 Alors ,3cos31- 2 et xvdxedu x == 2

    ( ) ,3cos23sin39

    3cos9

    13

    3cos943cos

    923sin

    31 3cos

    3cos323cos

    31-

    323sin

    31 3cos

    2

    oùd'

    Cxxedxxe

    dxxexexedxxe

    dxxexexedxxe

    xx

    x2xxx

    xxxx

    ′++=

    −+=

    ⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡ +−=

    ∫∫

    ∫∫

    2

    222

    2222

    d'où ( ) ,+3cos23sin313

    3cos Cxxedxxex

    x +=∫

    2

    2 où CC ′= .139 est une constante d'intégration

    arbitraire.

    24. Soit dxxdveu x 2sin et2- == . Alors xvdxedu x 2cos21- -2 et2- == , de sorte que

    dxxexedxxe xxx 2cos2cos21- 2sin ∫∫ −= 2-2-2- .

    Dans la seconde intégrale, posons dxxdveu x 2cos et == -2 . Alors xvdxedu x 2sin21 2- et == 2- ,

    d'où ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ +−= ∫∫ dxxexexedxxe xxxx 2sin2sin2

    12cos21- 2sin 2-2-2-2-

    ( ) Cxxedxxe

    dxxexexedxxe

    xx

    xxxx

    ′++=

    −−=

    ∫∫

    2sin2cos21- 2sin2

    2sin2sin212cos

    21- 2sin

    2-2-

    2-2-2-2-

    d'où ( ) Cxxedxxe xx ++=∫ 2sin2cos41- 2sin 2-2- , où

    2CC′

    = est une constante d'intégration

    arbitraire.

  • Exercices 3.1 page 435

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    25. Posons ,93 += sx alors . 3 2 93 et2 dsdxxsx =+=

    . 32 93 dxxedse xs ∫∫ =+

    Posons . et dxedvxu x== Alors , et xevdxdu == de sorte que

    ( )( )

    ( )

    ( ) .19332

    13232

    32

    93

    93

    Cse

    Cxe

    Ceex

    dxeexdse

    s

    x

    xx

    xxs

    +−+=

    +−=

    +−=

    −=

    +

    + ∫∫

    26. Posons ,1 xy −= alors .01 10 ,- et =⇒==⇒== yxyxdxdy

    ( ) ( )

    ( )15400

    52

    32

    2523 1- 1

    1

    0

    25231

    0

    23210

    1

    1

    0

    =−−⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −=

    ⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡−=−=−=− ∫∫∫

    yydyyydyyydxxx

    27. ( )∫ ∫ ∫ ∫−=−=3

    0

    3

    0

    3

    0

    3

    0

    222 . sec 1sec tanπ π π π

    dxxdxxxdxxxdxxx

    Dans la première intégrale, posons dxxdvxu sec 2et == .

    Alors xvdxdu tan et == , de sorte que

    [ ]3

    0

    3

    0

    3

    0

    3

    0

    23

    02

    2 tantan sec

    ππ π ππ∫ ∫ ∫ ⎥

    ⎤⎢⎣

    ⎡−−=−

    xdxxxxdxxdxxx

    [ ]

    ( )( )

    ( ) ( )

    32330 0

    0

    2

    2 2

    tan ln cos 2

    tan 0 ln cos 3 ln 13 3 18

    3 3ln 1 2 ln 2 .3 18 3 18

    πππ xx x x

    π π ππ

    π π π π

    ⎡ ⎤⎡ ⎤= + − ⎢ ⎥⎣ ⎦

    ⎣ ⎦

    ⎛ ⎞= − + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

    = + − = − −

  • 436 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    28. Posons ( ) . ln et2 dxdvxxu =+= Alors , 21 et2 xvdxxxxdu =

    ++

    = de sorte que

    ( ) ( ) ( )( )( )( ) . 1 ln2ln

    1

    12ln

    1

    21ln ln

    2

    2

    22

    Cxxxxx

    dxx

    xxx

    dxxxxxxxxdxxx

    +++−+=

    ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛

    +−−+=

    ++

    −+=+

    ∫∫

    29. Posons xy ln= , de sorte que yexdxx

    dy == 1 et .

    ( ) ∫∫ = dyeydxx y sin lnsin , qui s'intègre par parties.

    Posons dyedvyu y sin et == . Alors yevdyydu == cos et .

    ∫∫ −= dyyeyedyey yyy cossin sin .

    Dans la deuxième intégrale, posons dyedvyu y cos et == . Alors yevdyydu == sin- et , d'où

    ( )

    ( )

    ( ) ( ) ( )( )

    sin sin cos sin

    sin sin cos sin

    2 sin sin cos

    sin sin cos , où 2 2

    sin ln sin ln cos ln .2

    y y y y

    y y y y

    y y

    yy

    ye dy e y e y ye dy

    ye dy e y e y ye dy

    ye dy e y y C

    e Cye dy y y C C

    xx dx x x C

    ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

    = − −

    ′= − +

    ′= − + =

    = − +

    ∫ ∫∫ ∫∫

    30. Posons ,ln zy = alors . et dyedzez yy ==

    ( ) dyeydyeyedzzz yyy ln 2222 ∫∫∫ =⋅⋅=

    Procédons par intégration tabulaire.

    ( )

    ( ) ( )( )∫

    ++−=

    ++−=

    ++−=

    Czzzdzzz

    Cyye

    Ceeyeydyeyy

    yyyy

    1ln2ln24

    ln

    ,

    1224

    41

    22

    22

    2

    22

    2222

    22

    finalementet

  • Exercices 3.1 page 437

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    31. dxexy x 42∫=

    Procédons par intégration tabulaire.

    ( )

    2 4

    24 4 4

    42

    1 4 8 32

    8 4 132

    x

    x x x

    x

    y x e dx

    x xe e e C

    e x x C

    =

    = − + +

    = − + +

    32. dxxxy ln2∫=

    Posons . ln 2et dxxdvxu == Alors ,3

    13

    et xvdxx

    du == de sorte que

    dxxxxdxxxy 31ln

    3 ln 2

    32 ∫∫ −==

    .

    9ln

    3

    331ln

    333

    33

    Cxxx

    Cxxx

    +−=

    +⋅−=

    33. θθ dy sin∫=

    Posons θ=x . Alors dxxdddx 2 2

    1 et == θθθ

    .

    ∫ ∫= dxxxd sin2 sin θθ

    Posons dxxdvxu sin et == . Alors xvdxdu cos- et == , de sorte que

    [ ]

    ( )

    sin 2 - cos cos

    2 - cos sin

    2 sin cos .

    y θ dθ x x x dx

    x x x C

    θ θ θ C

    ⎡ ⎤= = +⎣ ⎦

    = + +

    = − +

    ∫ ∫

  • 438 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    34. θθθθ dy tansec∫=

    Posons . tansec et θθθθ ddvu == Alors ,sec et θθ == vddu de sorte que

    ∫ ∫−== θθθθθθθθ ddy secsec tansec

    . tansec lnsec C++−= θθθθ

    35. sin ∫=b

    a

    dxxxA

    Posons . sin et dxxdvxu == Alors ,cos- et xvdxdu == de sorte que

    [ ] [ ]bab

    a

    ba xxxdxxxxA sincos- coscos- +=+= ∫

    a) [ ] ( ) ( ) 00sincos- sincos- 0 +−+=+= ππππxxxA

    ( ) ππ =+= 01--

    b) [ ] ( ) ( )2 - cos sin -2 cos 2 sin 2 - cos sin ππA x x x π π π π π π= + = + − +

    ( ) ( )( ) -2 1 0 - -1 0 -2 3π π π π π⎡ ⎤= + − + = − =⎣ ⎦

    c) [ ] ( ) ( ) 2sin2cos2-3sin3cos3- sincos- 32 ππππππππ +−+=+= xxxA

    ( )( ) ( )( ) -3 -1 0 -2 1 0 5π π π⎡ ⎤= + − + =⎣ ⎦

    d) L'aire augmente de π2 pour chaque intervalle de .π

    Nous pouvons chercher une régularité :

    entre 0 et ,π l'aire ; π=

    entre π et ,2π l'aire ; 3π=

    entre π2 et ,3π l'aire ; 5π=

    aurons-nous, entre πn et ( ) ,1 π+n l'aire ( )π12 += n ?

  • Exercices 3.1 page 439

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    Vérifions :

    [ ]( )

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) [ ] ( ) ( ) ( )

    1

    1

    - cos sin

    - 1 cos 1 sin 1 - cos sin

    - 1 -1 0 -1 0

    -1 - 1 -1

    -1 -1 2 1 2 1 .

    n ππ

    n n

    n

    n n

    A x x x

    n π n π n π nπ nπ nπ

    n π nπ

    n π nπ

    nπ π nπ n π n π

    +

    +

    = +

    ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

    = + ⋅ + + −

    ⎡ ⎤= + ⋅ +⎣ ⎦

    = + + = + = +

    36. cos ∫=b

    a

    dxxxA

    Posons . cos et dxxdvxu == Alors ,sin et xvdxdu == de sorte que

    [ ] [ ] sin sin sin cosb

    b ba a

    a

    A x x x dx x x x= − = +∫

    a) [ ] 2

    cos2

    sin22

    3cos2

    3sin2

    3 cossin 23 2 ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ +−⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛ +=+=

    ππππππππxxxA

    ( ) ( )3 -1 0 1 0 22 2π π π⎛ ⎞= + − + =⎜ ⎟

    ⎝ ⎠

    b) [ ] 25 23cossin ππxxxA +=

    2

    3cos2

    3sin2

    32

    5cos2

    5sin2

    5 ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ +−⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛ +=

    ππππππ

    ( ) ( ) πππ 4 01-2

    3012

    5 =−−+=

    c) [ ]7 25 2 sin cosππA x x x= +

    2

    5cos2

    5sin2

    52

    7cos2

    7sin2

    7 ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ +−⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛ +=

    ππππππ

    ( ) ( ) πππ 6 12

    501-2

    7 =−+=

  • 440 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    d) L'aire augmente de π2 pour chaque intervalle de π .

    Nous pouvons chercher une régularité :

    entre 2π et ,23π l'aire ; 2π=

    entre 23π et ,25π l'aire ; 4π=

    entre 25π et ,27π l'aire ; 6π=

    entre π⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −

    212n et ,

    212 π⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ +n aura-t-on l'aire πn2= ?

    Vérifions :

    [ ]2 1

    22 1

    2

    sin cos

    2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2

    1 1 1 1 sin 0 sin 0 2 2 2 2

    n π

    n πA x x x

    n n n n n nπ π π π π π

    n π n π n π n π

    n

    +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

    −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

    = +

    ⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ + + − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠

    ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

    = ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )

    11 1 1 1-1 -1 -1 -1 2 2 2 2

    -1 2 2 .

    n n n

    n

    π n π n n π

    nπ nπ

    −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + + = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

    = =

    37. Méthode des tubes :

    Dans la deuxième intégrale du membre de droite, posons . et dxedvxu x==

    Alors . et xevdxdu ==

    [ ][ ]

    ( )

    . 2 2ln2

    2ln2

    du tubehauteur du tube ncecirconfére

    2ln

    0

    2ln

    0

    2ln

    0

    dxexdxe

    dxex

    dxV

    xx

    x

    ∫∫

    −=

    −=

    =

    ππ

    π

  • Exercices 3.1 page 441

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    ( ) ( )( )( )

    ( )

    ln 2ln 2 ln 2

    0 00

    ln 2

    0

    Nous aurons 2 ln 2 2

    2 ln 2 2 1 2 2ln 2 0

    2 ln 2 2 2ln 2 2 1

    2 ln 2 4 ln 2 2 2 1 ln 2 .

    x x x

    x

    V π e π xe e dx

    π π e

    π π

    π π π π

    ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎜ ⎟

    ⎝ ⎠

    ⎡ ⎤= − − − − ⎣ ⎦

    ⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦

    = − + = −

    38. a) Méthode des tubes :

    [ ][ ]

    1 1- -

    0 0

    circonférence du tube hauteur du tube

    2 2 .x x

    V dx

    πxe dx π xe dx

    =

    = =

    ∫ ∫

    Posons . -et dxedvxu x==

    Alors . -et x-evdxdu ==

    b) Méthode des tubes :

    [ ][ ]

    ( ) ( )1 1

    - -

    0 0

    circonférence du tube hauteur du tube

    2 1 2 1 .x x

    V dx

    π x e dx π x e dx

    =

    = − = −

    ∫ ∫

    Posons . 1 -et dxedvxu x=−= Alors . - -et x-evdxdu ==

    ( )

    ( ) ( )

    11- -0

    0

    1- -0

    -1 -1

    2 -

    2 -

    2 0 1

    22 1 .

    Ainsi, x x

    x x

    V π xe -e dx

    π xe e

    π -e e

    πe

    ⎛ ⎞⎡ ⎤= −⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠

    ⎡ ⎤= −⎣ ⎦

    ⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦

    ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

    ( )

    ( )( )

    ( )

    11- -0

    0

    1- -0

    1- - -0

    1- -10

    2 - 1-

    2 - 1-

    2

    22 2 0 .

    Ainsi, x x

    x x

    x x x

    x

    V π x e e dx

    π x e e

    π -e xe e

    ππ xe π ee

    ⎛ ⎞⎡ ⎤= −⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠

    ⎡ ⎤= +⎣ ⎦

    ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

    ⎡ ⎤= = − =⎣ ⎦

  • 442 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    39. a) Méthode des tubes :

    [ ][ ]2 2

    0 0

    circonférence du tube hauteur du tube

    2 cos 2 cos .π π

    V dx

    πx x dx π x x dx

    =

    = =

    ∫ ∫

    Posons . cos et dxxdvxu == Alors .sin et xvdxdu ==

    [ ]

    [ ]

    ( )

    ( ).212

    2

    0cos02

    cos2

    sin2

    2

    cossin2

    sinsin2

    20

    2

    0

    20Ainsi,

    −=⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −=

    ⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡+−⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛ +=

    +=

    ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛−= ∫

    ππππ

    ππππ

    π

    π

    π

    ππ

    xxx

    dxxxxV

    b) Méthode des tubes :

    [ ][ ]

    [ ] ( )

    ( ) ( )

    2 2 2

    0 0 0

    20

    circonférence du tube hauteur du tube

    2 cos 2 cos cos 2 2

    2 sin 1 Voir a2 2

    2 sin sin 0 12 2 2

    2 1 0 1 2 1 22 2

    π π π

    π

    V dx

    π ππ x x dx π x dx x dx

    π ππ x

    π π ππ

    π ππ π π

    =

    ⎛ ⎞⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

    ⎛ ⎞⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

    ⎛ ⎞⎡ ⎤= − − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

    ⎡ ⎤= − − + = =⎢ ⎥⎣ ⎦

    ∫ ∫ ∫

    .

    40. a) Méthode des tubes :

    [ ][ ]

    ( ) 2 20 0 0

    circonférence du tube hauteur du tube

    2 sin 2 sin 2 sin .π π π

    V dx

    πx x x dx πx x dx π x x dx

    =

    = = =

    ∫ ∫ ∫

    y

    xz

    xy cos=

    2/π

  • Exercices 3.1 page 443

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    Intégration tabulaire :

    ( ) ( )( ) ( )

    20

    2

    2 2

    2 - cos 2 sin 2cos

    2 - cos 2 sin 2cos 0 0 2cos0

    2 2 2 2 4 .

    πV π x x x x x

    π π π π π π

    π π π π

    ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

    ⎡ ⎤= + + − + +⎣ ⎦

    = − − = −

    b) Méthode des tubes :

    [ ][ ]

    ( ) 2 20 0 0

    circonférence du tube hauteur du tube

    2 sin 2 sin 2 sin .π π π

    V dx

    π π x x x dx π x x dx π x x dx

    =

    = − = −

    ∫ ∫ ∫

    Intégration tabulaire pour la première intégrale :

    ( )( )

    [ ] ( )( )( ) ( ) ( )

    2 20

    2 3

    3 3

    2 - cos sin 2 4sin

    1 -cos 2 - cos sin 0 sin 0 2 8 Voir a0 -sin

    2 2 8 8 .

    πV π x x x π πx x

    x π π π π π πx

    π π π π

    = + − −

    +⎡ ⎤= + − + − +⎣ ⎦−

    = − + =

    41. ( ) . cos1 cos202

    1moy2

    0

    -2

    0

    - dttedttef tt ∫∫ =−=ππ

    ππ

    Soit . cos et- dttdveu t == Alors ,sin et- tvdt-edu t == de sorte que

    . sinsin cos --- dttetedtte ttt ∫∫ +=

    Dans la seconde intégrale, posons . sin et- dttdveu t == Alors ,cos- et- tvdt-edu t ==

    ( )( )

    ( ).cossin2

    cos

    cossin cos2

    coscos-sin cos

    --

    --

    ----oùd'

    ttedtte

    ttedtte

    dttetetedtte

    tt

    tt

    tttt

    −=

    −=

    −+=

    ∫∫∫

  • 444 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ).121

    21

    2-1

    0cos0sin2

    2cos2sin2

    1

    cossin2

    1moy

    2-2-

    02-

    2

    0

    -

    Donc,

    ππ

    π

    π

    ππ

    πππ

    π

    ee

    ee

    tteft

    −=⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛+=

    ⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡−−−=

    ⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡−=

    42. ( ) ( )⎥⎥⎦

    ⎢⎢⎣

    ⎡−=

    −= ∫∫∫ dttedttedtef ttt cos sin

    2 cost-sint402

    1moy2

    0

    -2

    0

    -2

    0

    -πππ

    ππ

    Or ( )41 n levoir 22

    1 cos o2-2

    0

    -ππ edtte t −=∫

    Il reste à calculer . sin2

    0

    - dtte t∫π

    Soit . sin et- dttdveu t == Alors ,cos- et- tvdt-edu t == de sorte que

    . coscos sin --- dttetedtte ttt ∫∫ −=

    Dans la seconde intégrale, posons . cos et- dttdveu t == Alors ,sin et- tvdt-edu t ==

    ( )( )

    ( ).sincos21- sin

    sincos sin2

    sinsincos sin

    --

    --

    ----oùd'

    ttedtte

    tt-edtte

    dtte-tet-edtte

    tt

    tt

    tttt

    +=

    +=

    −−=

    ∫∫∫

    ( )

    ( ) ( )

    21

    21-

    0sin0cos212sin2cos

    21-

    sincos21- sin

    2-

    02-

    2

    0

    -2

    0

    -Donc,

    +=

    +++=

    ⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡ +=∫

    π

    π

    ππ

    ππ

    e

    ee

    ttedte tt

    ( ) .022

    121

    21-2moy

    2-2-et =

    ⎥⎥⎦

    ⎢⎢⎣

    ⎡⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛−−+=

    ππ

    πeef

  • Exercices 3.1 page 445

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    43. Posons . cos et dxxdvxu n == Alors ,sin et1 xvdxnxdu n == − de sorte que

    ∫ ∫ −−= . sinsin cos 1 dxxxnxxdxxx nnn 44. Posons . sin et dxxdvxu n == Alors ,cos- et1 xvdxnxdu n == − de sorte que

    ∫ ∫ −+= . coscos- sin 1 dxxxnxxdxxx nnn

    45. Posons . et dxedvxu axn == Alors ,1 et1 axn ea

    vdxnxdu == − de sorte que

    ∫ ∫ −−= . 1 dxexan

    aexdxex axn

    axnaxn

    46. Posons ( ) . ln et dxdvxu n == Alors ( ) , 1ln et1 xvdxx

    xndu n =⋅= − de sorte que

    ( ) ( ) ( )∫ ∫ −−= . lnln ln 1 dxxnxxdxx nnn 47. Posons . sin sin et1 dxxdvxu n == − Alors ( ) ,cos- cossin1 et2 xvdxxxndu n =−= − d'où

    ( )∫ ∫ −− −+= dxxxnxxdxx nnn cossin1cossin- sin 221

    ( ) ( )( ) ( )∫ ∫

    ∫−−−+=

    −−+=−−

    −−

    dxxndxxnxx

    dxxxnxxnnn

    nn

    sin1 sin1cossin-

    sin1sin1cossin-21

    221

    ( ) ( )1 21 1 sin -sin cos 1 sin n n nn x dx x x n x dx− −+ − = + −∫ ∫

    ∫ ∫ −− −

    += dxxn

    nn

    xxdxx nn

    n sin1cossin- sin 21

    et

    ∫ −−−

    += . sin1sincos1- 21 dxxn

    nxxn

    nn

    48. ( )dxxxdxxxdxx nnn 1sectan tantan tan 2222 ∫∫ ∫ −== −− ∫∫ −− −= dxxdxxx nn tan sectan 222

  • 446 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, posons ,tan xu = d'où

    . sec2 dxxdu =

    Alors, ∫ ∫ ∫ −− −= dxxduudxx nnn tan tan 22

    . tantan

    11

    tan1

    1

    21

    21

    ∫−−

    −−

    −−

    =

    −−

    =

    dxxxn

    dxxun

    nn

    nn

    49. a) ∫ ++=+= Cxxxdxxxdxx 21sincos

    21-

    21sincos

    21- sin2

    b) ∫+= dxxxxdxx sin43sincos

    41- sin 234

    Cxxxxx

    Cxxxxx

    ++−=

    +⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡ ++=

    83sincos

    83sincos

    41-

    21sincos

    21-

    43sincos

    41-

    3

    3

    50. a) ∫ ∫−= dxxxdxx tantan31 tan 234

    [ ]

    Cxxx

    dxxx

    ++−=

    −−= ∫

    tantan31

    tantan31

    3

    3

    b) ∫ ∫−= dxxxdxx tantan41 tan 345

    Cxxx

    dxxxx

    ++−=

    ⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡ −−= ∫

    sec lntan21tan

    41

    tantan21tan

    41

    24

    24

    51. a) Posons ( ).-1 xfy = Alors ( ) ( ) , et dyyfdxyfx ′== de sorte que

    ( ) ( ) . -1 ∫∫ ′= dyyfydxxf

  • Exercices 3.1 page 447

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    b) Posons ( )dyyfdvyu et ′== dans la deuxième intégrale.

    Alors ( ), et yfvdydu ==

    de sorte que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ∫∫∫ −′=−=′ dyyfxfxdyyfyyfdyyfy

    Donc, ( ) ( ) ( ) . -1 dyyfxfxdxxf ∫∫ −′=

    52. Posons ( ) . et-1 dxdvxfu == Alors ( ) , et1- xvdxxfdxddu =⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛= de sorte

    que ( ) ( ) ( )∫∫ ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛−= . 1-1-1- dxxf

    dxdxxxfdxxf

    53. a) Dans le contexte de l'exercice 51, posons ( ) ( ) ,sin sin et-1 yyfxarcxfy === où

    ; 22

    - ππ ≤≤ y

    ∫ ∫−= dyyxarcxdxxarc sinsin sin alors

    ( ) .sin cossin cossin

    CxarcxarcxCyxarcx

    ++=++=

    b) Dans le contexte de l'exercice 52,

    sin sin sin darc x dx x arc x x arc x dxdx

    ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

    ( )

    .1sin

    211

    21sin

    1

    2-21sin

    1

    sin

    2

    212

    2

    2

    Cxxarcx

    Cxxarcx

    dxx

    xxarcx

    dxx

    xxarcx

    +−+=

    +−

    +=

    −+=

    −−=

    c) Les expressions sont identiques, puisque ( ) 2cos sin 1 .arc x x= −

  • 448 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    54. a) Dans le contexte de l'exercice 51, posons ( ) ( ) ,tan tan et-1 yyfxarcxfy === où

    ; 22

    - ππ

  • Exercices 3.1 page 449

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    b) Dans le contexte de l'exercice 52,

    dxxarcdxdxxarcxdxxarc cos cos cos ∫ ∫ ⎟⎠

    ⎞⎜⎝⎛−=

    ( )

    .1cos

    211

    21cos

    1

    2-21cos

    1

    -cos

    2

    212

    2

    2

    Cxxarcx

    Cxxarcx

    dxx

    xxarcx

    dxx

    xxarcx

    +−−=

    +−

    −=

    −−=

    −−=

    c) Les expressions sont identiques, puisque ( ) .1cos sin 2xxarc −=

    56. a) Dans le contexte de l'exercice 51, posons ( ) ( ) ; 2 log et2-1 yyfxxfy ===

    ∫ ∫−= dyxxdxx y 2log log 22alors

    .2

    2ln1log

    22ln

    1log

    2log2

    2

    Cxx

    Cxx

    x

    y

    +−=

    +−=

    b) Dans le contexte de l'exercice 52,

    ∫ ∫ ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛−= dxx

    dxdxxxdxx loglog log 222

    .2ln

    1log

    2ln1log

    2ln

    11log

    2

    2

    2

    Cxxx

    dxxx

    dxx

    xxx

    +⋅−=

    −=

    ⋅⋅−=

    c) Les expressions sont identiques, puisque .2 2log xx =

  • 450 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    Exercices 3.2 - Intégrales trigonométriques et substitutions trigonométriques

    1. ( ) dxxxdxxxdxx sincos1 sinsin sin2

    0

    222

    0

    42

    0

    5 ∫∫∫ −==πππ

    Posons .cos xu = Alors .02et 10 ,- sinet sin- =⇒==⇒=== uxuxdudxxdxxdu π

    ( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡+−=+−=−=−

    1

    0

    1

    0

    5342

    2

    0

    0

    1

    2222

    532 21 1- sincos1 uuuduuuduudxxx

    π

    ( )158000

    51

    321 =+−−⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛ +−=

    2. dxxxdxxxdxx 2

    sin2

    cos1 2

    sin2

    sin 2

    sin0

    22

    0

    4

    0

    5 ∫∫∫ ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −==

    πππ

    Posons .2

    cos xu = Alors ,2- 2

    sinet 21

    2sin- dudxxdxxdu =⋅⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛=

    .0et 10 =⇒==⇒= uxux π

    ( ) ( )

    ( )

    2 0 122 2 2 4

    0 1 0

    13 5

    0

    1 cos sin 1 -2 2 1 2 2 2

    2 2 1 162 2 1 0 0 03 5 3 5 15

    π x x dx u du u u du

    u uu

    ⎛ ⎞− = − ⋅ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

    ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = − + − − + =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

    ∫ ∫ ∫

    3. ( ) dxxxdxxxdxx cossin1 coscos cos2

    2-

    22

    2-

    22

    2-

    3 ∫∫∫ −==π

    π

    π

    π

    π

    π

    Posons .sin xu = Alors .12et 1-2- , cos =⇒==⇒== uxuxdxxdu ππ

    ( ) ( )34

    311-

    311

    3 1 cossin1

    1

    1-

    32

    2-

    1

    1-

    22 =⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ +−⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −=⎥

    ⎤⎢⎣

    ⎡−=−=−∫ ∫

    uuduudxxxπ

    π

    Remarque : Comme xy 3cos= est une fonction paire, nous aurions aussi pu écrire

    .34

    3112

    32... cos2 cos

    1

    0

    32

    0

    32

    2-

    3 =⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −=⎥

    ⎤⎢⎣

    ⎡−=== ∫∫

    uudxxdxxππ

    π

    (Voir les exercices 1.5, no 85)

  • Exercices 3.2 page 451

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    4. ( )∫ ∫ ∫ −==6

    0

    6

    0

    6

    0

    2245 3cos3sin13 3cos3cos3 3cos3π π π

    dxxxdxxxdxx

    Posons .3sin xu = Alors , 3cos3 dxxdu = .16et 00 ⇒==⇒= πxux

    ( ) ( )

    ( )

    ( )158000

    51

    321

    532 21

    1 3cos3sin13

    1

    0

    531

    0

    42

    1

    0

    226

    0

    22

    =+−−⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ +−=

    ⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡+−=+−=

    −=−

    ∫∫

    uuuduuu

    duudxxxπ

    5. ( ) dyyydyyydyy sincos1 sinsin sin 3267 ∫∫ ∫ −== Posons .cos yu = Alors .- sinet sin- dudyydyydu ==

    ( ) ( ) ( )

    5 73 32 2 2 4 6 3

    5 7 5 73 3

    31 cos sin - 1 - 1 3 3 -5 7

    3 3cos cos- -cos cos5 7 5 7

    u uy y dy u du u u u du u u C

    u u y yu u C y y C

    ⎛ ⎞− = − = − + − = − + − +⎜ ⎟

    ⎝ ⎠

    = + − + + = + − + +

    ∫ ∫ ∫

    6. ( ) dtttdtttdtt cossin17 coscos7 cos7 3267∫ ∫ ∫ −== Posons .sin tu = Alors . cos dttdu =

    ( ) ( ) ( )3 32 2 2 4 65 7

    3

    53 7

    53 7

    7 1 sin cos 7 1 7 1 3 3

    375 7

    217 75

    21sin7sin 7sin sin5

    t t dt u du u u u du

    u uu u C

    uu u u C

    tt t t C

    − = − = − + −

    ⎡ ⎤= − + − +⎢ ⎥

    ⎣ ⎦

    = − + − +

    = − + − +

    ∫ ∫ ∫

  • 452 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    7. ( )∫ ∫ ∫ ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −== dxxdxxdxx

    22cos18 sin8 sin8

    2224

    Cxxx

    Cxxx

    dxxx

    dxxxdxxx

    ++−=

    +⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡ +−=

    ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ +−=

    ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ ++−=

    +−=

    ∫∫

    4sin412sin23

    44sin

    21

    22sin2

    232

    24cos2cos2

    232

    2

    4cos12cos212 4

    2cos2cos2182

    8. ( ) dxxdxxdxx 2

    4cos18 2cos8 2cos82

    224 ∫∫∫ ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ +==

    πππ

    ( )28 1 cos81 2cos 4 cos 4 2 1 2cos4 4 23 cos82 2cos 4 2 2

    3 2sin 4 1 sin822 4 2 8

    1 13 sin 4 sin88

    πxπx πx dx πx dx

    πxπx dx

    πx πxx Cπ π

    x πx πx Cπ π

    ⎛ ⎞+⎛ ⎞= + + = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

    ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

    ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

    = + + +

    ∫ ∫

    9. Puisque xxy 2

    4

    cossin4

    = est une fonction paire, ∫ ∫ ∫==4

    4-

    4

    0

    4

    02

    4

    2

    4

    2

    4

    cossin8

    cos4sin2

    cos4sinπ

    π

    π π

    dxxxdx

    xxdx

    xx

    ( ) ( )224 4 42 4

    2 22 2

    0 0 0

    44 42 2

    00 0

    1 cos 1 2cos cos8 8 8 sec 2 cos cos cos

    1 cos2 3 1 3 1 sin 28 sec 2 8 sec cos 2 8 tan2 2 2 2 2 2

    3 1 18 tan sin tan 0 0 s4 2 4 4 2 4

    π π π

    ππ π

    x x xdx dx x x dxx x

    x xx dx x x dx x x

    π π π

    − − += = = − +

    +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − + = − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

    ⎛ ⎞= − ⋅ + − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

    ∫ ∫ ∫

    ∫ ∫

    ( )3 1in 0 8 1 0 0 0 10 38 4π π

    ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − + − − + = −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦

  • Exercices 3.2 page 453

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    10. ( ) θθ

    θθθθθθθ

    θθ ddd

    sinsinsin3sin31

    sinsin1

    sincos

    2

    642

    2

    32

    2

    6

    ∫∫∫−+−

    =−

    =

    ( )

    C

    C

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    +−−−=

    +−−−=

    ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −−−=

    ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −−−−=

    ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ +⋅−−−=

    ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛−−−=

    ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛−+−−+−=

    ⎥⎥⎦

    ⎢⎢⎣

    ⎡⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −−⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −+−=

    −+−=

    324sin

    22sin

    815cot-

    44sin

    81

    22sin

    815cot-

    4cos812cos

    815csc

    4cos81

    812cos

    47csc

    2

    4cos1412cos

    47csc

    4

    2cos2cos47csc

    4

    2cos22cos

    412cos

    23

    233csc

    2

    2cos12

    2cos133csc

    sinsin33csc

    2

    2

    2

    22

    22

    22

    422

    θθθθ

    θθθθ

    θθθθ

    θθθθ

    θθθθ

    θθθθ

    θθθθθ

    θθθθ

    θθθθ

    11. ( )( )

    22 2 23 2

    3 23 36 6 6

    1 sin3cos cos 3 cos 3 cos sinsin sin

    π π π

    π π π

    tt tdt t dt t dttt t

    −= =∫ ∫ ∫

    Posons .sin tu = Alors .12et 216 , cos =⇒==⇒== ututdttdu ππ

    ( )( )

    ( )22 1 12

    -3 2 1 23 2 3 2

    6 1 2 1 2

    1-1 2 3 2

    1 2

    1 sin 13 cos 3 3 sin

    2 1 13 2 163 3 -2 -2 2-1 2 3 2 3 23 2

    π

    π

    t ut dt du u u duut

    u u

    − −= = −

    ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −⎛ ⎞⎛ ⎞= − = − − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

    ∫ ∫ ∫

    12. Posons ( ) .cos

    sin3

    xxxf = Alors ( )

    ( )( )( )

    ( ) ( )3 3 3sin -sin sin- - -

    cos coscos -

    x x xf x f xx xx

    = = = = .

    La fonction ( )xf est donc une fonction impaire et ( ) 0 3

    3-

    =∫ dxxfπ

    π

    (Voir l'exercice 86, page 64).

  • 454 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    13. ∫∫ =ππ

    θθθθθθθ2

    0

    222

    0

    32 cos2 2cos2sin 2cos2sin dd

    ( ) ( )∫∫ −=−=ππ

    θθθθθθθθ2

    0

    422

    0

    22 cos2 2sin2sin 2cos2sin12sin dd

    Posons .2sin θ=u Alors ,02et 00 , 2cos2 =⇒==⇒== uuddu πθθθθ de sorte que

    ( ) ( )∫∫ =−=−0

    0

    422

    0

    42 0 21 2cos 2sin2sin duuudθθθθ

    π

    par la définition 1.2.8, page 22.

    14. dxxxxdxxx cos cossin cossin 22

    0

    2532

    0

    25 ∫∫ =ππ

    ( )

    ( ) dxxxx

    dxxxx

    cossinsin

    cossin1sin

    2

    0

    2925

    22

    0

    25

    −=

    −=

    π

    π

    Posons .sin xu = Alors . cos dxxdu =

    De plus, .12et 00 =⇒==⇒= uxux π

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    12 1 7 2 11 25 2 9 2 5 2 9 2

    0 0 0

    Ainsi, sin sin cos 7 2 11 2

    2 2 81 1 0 0 .7 11 77

    π u ux x x dx u u du⎡ ⎤

    − = − = −⎢ ⎥⎣ ⎦

    ⎡ ⎤⎛ ⎞= − − − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

    ∫ ∫

    15. ∫∫ ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −=

    4

    2-

    4

    2-

    22 2

    2cos12

    2cos116 cossin16π

    π

    π

    π

    dxxxdxxx

    ( )

    ( )

    ( )

    4 42

    - 2 - 2

    4 4

    - 2 - 2

    4

    - 2

    1 cos44 1 cos 2 4 1 2

    1 cos44 2 1 cos4 2 2

    sin -2sin 4 sin2 2 -4 4 4 2 4

    32 0 04 2 2

    π π

    π π

    π π

    π π

    π

    π

    xx dx dx

    x dx x dx

    πx π π πx

    π π π

    +⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

    ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

    ⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − = − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

    ⎡ ⎤= − + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

    ∫ ∫

    ∫ ∫

  • Exercices 3.2 page 455

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    16. dyyyydyyy cossinsin8 cossin8 22224 ∫∫ =

    ( )2

    2

    2 2

    2

    3

    3

    1 cos2 sin 28 1 cos 2 sin 2 2 2

    sin 2 cos2 sin 2

    1 cos4 cos2 sin 2 2

    1 1 sin 4 sin 2 12 2 4 3 21 1 1sin 4 sin 22 8 6

    y y dy y y dy

    y dy y y dy

    y dy y y dy

    y yy C

    y y y C

    −⎛ ⎞⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

    = −

    −= −

    = − − ⋅ +

    = − − +

    ∫ ∫

    ∫ ∫

    ∫ ∫

    17. ( ) θθθθθθθθθθθ ddd cossin1sin35 coscossin35 cossin35 242434 ∫∫ ∫ −==

    ( ) θθθθ d cossinsin35 64∫ −= Posons .sinθ=u

    Alors ( ) θθθθθθ dddu cossinsin35et cos 64∫ −=

    ( ) .sin5sin775

    35 35 7575

    64 CCuuduuu +−=+⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛−=−= ∫ θθ

    18. ( )∫ ∫= dtttdttt cossin4 cossin4 22244

    ( )22

    22

    2 2

    sin 2 14 sin 2 2 4

    1 1 cos4 1 1 cos4 cos 4 4 2 4 4 2 4

    1 1 1 1 cos8cos4 16 8 16 2

    1 1 sin 4 1 1 sin816 8 4 32 32 83 1 1sin 4 sin8

    32 32 256

    t dt t dt

    t t tdt dt

    tt dt

    t tt t C

    t t t C

    ⎡ ⎤⎛ ⎞= =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

    ⎛ ⎞−⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

    ⎡ ⎤+⎛ ⎞= − + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

    = − + + +

    = − + +

    ∫ ∫

    ∫ ∫

  • 456 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    19. ( ) ( ) dxx

    xx lncoslnsin422

    Posons .ln xu = Alors et 1 dxx

    du =

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    2 22 2

    2

    4sin ln cos ln 4sin cos

    1 cos2 1 cos 24 1 cos 2 2 2

    1 cos4 1 11 cos4 2 2 2

    1 1 sin 4 1 sin 42 2 4 2 4

    sin lnsin 4ln1 1ln ln2 4 2

    x xdx u u du

    xu u du u du

    u du u du

    u uu C u C

    xx C x

    =

    − +⎛ ⎞⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

    ⎡ ⎤+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

    ⎡ ⎤= − + = − +⎢ ⎥⎣ ⎦

    ⎡ ⎤= − + = −⎢ ⎥

    ⎣ ⎦

    ∫ ∫

    ∫ ∫

    ∫ ∫

    ( )4.

    4

    xC

    ⎡ ⎤⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎣ ⎦

    20. Posons .tan yarcu = Alors dyy

    du 1

    12+

    = et

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) .3

    tan costan cos-12

    3coscos-12

    sincossin12 sincos112

    sinsin12 sin12 1

    tan sin12

    3

    3

    22

    232

    3

    Cyarcyarc

    Cuu

    duuuuduuu

    duuuduudyy

    yarc

    +⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡+=

    +⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡+=

    −=−=

    ==+

    ∫∫

    ∫∫∫

    21. Il est démontré à l'exemple 5, page 197, que . tansec ln21tansec

    21 sec3 Cxxxxdxx +++=∫

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )( )

    003- 3

    - 3

    Ainsi, 2sec sec tan ln sec tan

    - -sec0 tan 0 ln sec0 tan 0 sec tan ln sec - 3 tan - 3 3 3

    1 0 ln 1 0 2 - 3 ln 2 3

    2 3 ln 2 3 .

    ππ

    x dx x x x x

    π π π π

    ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

    ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

    = × + + − ⋅ + −

    = − −

  • Exercices 3.2 page 457

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    22. Posons .1−= xeu Alors dxedu x = et ( ) . sec 1sec 33 ∫∫ =− duudxee xx Or, il est démontré à l'exemple 5, page 197, que

    . tansec ln21tansec

    21 sec3 Cxxxxdxx +++=∫

    ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    3 1 1Ainsi, sec 1 sec tan ln sec tan 2 21 1 sec 1 tan 1 ln sec 1 tan 1 .2 2

    x x

    x x x x

    e e dx u u u u C

    e e e e C

    − = + + +

    = − − + − + − +

    23. ∫∫ =π

    π

    π

    π 2

    2

    2

    3 2

    csc 2

    csc 2

    csc dxxxdxx

    Posons . 2

    csc 2

    csc 2 dxxdvxu == Alors ,2

    cot-2et 2

    cot2

    csc21- xvdxxxdu == et

    dxxxxxdxx 2

    csc2

    cot2

    cot2

    csc2- 2

    csc 23 ∫∫ −=

    2

    3

    3

    -2csc cot csc 1 csc2 2 2 2

    -2csc cot csc csc2 2 2 2

    -2csc cot csc 2ln csc cot .2 2 2 2 2

    x x x x dx

    x x x xdx dx

    x x x x xdx C

    ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

    = − +

    = − − + +

    ∫ ∫

    (voir la page 73, Table 3.1.2, no 2)

    Il s'ensuit que Cxxxxdxx ++−=∫ 2cot2csc ln22cot2csc2- 2csc23

    et π

    π

    π

    π 2

    2

    2

    3 2

    cot2

    csc ln2

    cot2

    csc- 2

    csc ⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡+−=∫

    xxxxdxx

    ( ) ( )

    -csc cot ln csc cot -csc cot ln csc cot 2 2 2 2 4 4 4 4

    -1 0 ln 1 0 - 2 1 ln 2 1 2 ln 2 1 .

    π π π π π π π π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

    ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

    = × − + − ⋅ − + = + +

  • 458 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    24. Posons .θ=y Alors . 2 1et 2

    1 dydddy == θθ

    θθ

    Ainsi, 3

    3 2csc 2 csc 2 csc csc .θ dθ y dy y y dyθ

    = =∫ ∫ ∫

    Posons . cscet csc 2 dyydvyu ==

    Alors ,cot-et cotcsc- yvdyyydu == et

    ( )

    3 2

    2

    3

    31

    2 csc 2 -csc cot cot csc

    -2csc cot 2 csc 1 csc

    -2csc cot 2 csc 2 csc

    -2csc cot 2 csc 2ln csc cot

    y dy y y y y dy

    y y y y dy

    y y y dy y dy

    y y y dy y y C

    ⎡ ⎤= −⎣ ⎦

    = − −

    = − +

    = − − + +

    ∫ ∫

    ∫∫ ∫∫

    (Voir la page 73, Table 3.1.2 numéro 2).

    Il s'ensuit que 13 cotcsc ln2cotcsc2- csc4 Cyyyydyy ++−=∫ et

    33csc 2 cos -csc cot ln csc cot

    -csc cot ln csc cot ,

    θ dθ y dy y y y y Cθ

    θ θ θ θ C

    = = − + +

    = − + +

    ∫ ∫

    où .21

    1CC =

    25. ( )∫∫ −=4

    0

    24

    0

    2 sec1sec sectanππ

    dxxxdxxx

    ( )4 4 4

    3 3

    0 0 0

    4

    0

    4

    0

    sec sec sec sec

    1 1sec tan ln sec tan ln sec tan 2 2

    1 1sec tan ln sec tan 2 2

    π π π

    π

    π

    x x dx x dx x dx

    x x x x x x

    x x x x

    = − = −

    ⎡ ⎤= + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

    ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

    ∫ ∫ ∫

    ( )

    1 1 1 1sec tan ln sec tan sec0 tan 0 ln sec0 tan 02 4 4 2 4 4 2 2

    1 1 1 12 1 ln 2 1 1 0 ln 1 0 2 2 2 21 2 ln 2 12

    π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

    = ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⋅ + +

    ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

  • Exercices 3.2 page 459

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    26. ( ) dxxxdxxx csc1csc csccot2

    6

    2

    6

    22∫ ∫ −=π

    π

    π

    π

    ( )2 2 2

    3 3

    6 6 6

    2

    6

    2

    6

    csc csc csc csc

    1 1- csc cot ln csc cot ln csc cot 2 2

    1 1- csc cot ln csc cot 2 2

    1 1 1 1- csc cot ln csc cot - csc cot ln csc cot2 2 2 2 2 2 2 6 6 2 6

    π π π

    π π π

    π

    π

    π

    π

    x x dx x dx x dx

    x x x x x x

    x x x x

    π π π π π π π

    = − = −

    ⎡ ⎤= − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

    ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

    ⎛ ⎞= + + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

    ∫ ∫ ∫

    ( )6

    1 1 1 1 1- 1 0 ln 1 0 2 3 ln 2 3 3 ln 2 32 2 2 2 2

    π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

    = ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ − + = − +

    27. ( ) ∫∫∫∫∫ +=+==4

    0

    224

    0

    24

    0

    224

    0

    224

    0

    4 sectan sec sectan1 sec sec secπππππ

    θθθθθθθθθθθθθ ddddd

    Posons θtan=u dans la deuxième intégrale ; nous aurons alors 00 , sec2 =⇒== uddu θθθ

    et .14 =⇒= uπθ

    [ ] [ ]

    .34

    3110

    310tan4tan

    3tan tan sec

    1

    0

    31

    0

    40

    24

    0

    40

    4

    =+=−+−=

    ⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡+=+= ∫∫

    π

    θθθθ ππ

    π uduud

    28. ∫ ∫=12

    0

    12

    0

    224 3sec3sec3 3sec3π π

    dxxxdxx

    ( )∫ ∫ ∫+=+=12

    0

    12

    0

    212

    0

    2222 3sec3tan3 3sec3 3sec3tan13π π π

    dxxxdxxdxxx

    Posons xu 3tan= dans la deuxième intégrale ; nous aurons alors , 3sec3 2 dxxdu =

    112et 00 =⇒==⇒= uxux π .

    [ ] [ ]

    34

    3101

    0310tan4tan

    33tan 3tan 3sec3

    1

    0

    312

    0

    1

    0

    120

    2120

    4

    =+−=

    −+−=⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡+=+=∫ ∫ π

    πππ uxduuxdxx

  • 460 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    29. ( ) ∫∫∫∫∫ +=+== θθθθθθθθθθθθθ ddddd csccot csc csccot1 csccsc csc 22222224 Posons θcot=u dans la deuxième intégrale ; nous aurons alors , csc- 2 θθ ddu = de sorte que

    ( ) .3

    cotcot-3

    cot--cot- csc33

    24 CCuduud +−=+−=⋅+= ∫∫θθθθθθ

    30. θθθθθθθθπ

    π

    π

    π

    π

    π

    ddd 2

    csc2

    cot13 2

    csc2

    csc3 2

    csc3 22

    22

    2

    2

    2

    4 ∫∫∫ ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ +==

    θθθθθπ

    π

    π

    π

    dd 2

    csc2

    cot3 2

    csc3 22

    2

    2

    2 ∫∫ +=

    Posons 2

    cot θ=u dans la deuxième intégrale ; nous aurons alors . 2

    csc21- 2 θθ ddu =

    De plus, ,0et 12 =⇒==⇒= uu πθπθ de sorte que

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    04 2

    22 1

    12

    0

    13

    0

    3csc 3 -2cot 2 3 -2 2

    -6 cot 2 cot 4 6

    -6 cot 2 cot 4 63

    1-6 0 1 6 0 6 2 8.3

    ππ

    ππ

    θ dθ θ u du

    π π u du

    uπ π

    ⎡ ⎤= ⋅ +⎣ ⎦

    = − +

    ⎡ ⎤= − + ⎢ ⎥

    ⎣ ⎦

    ⎛ ⎞= − + − = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

    ∫ ∫

    31. ( )4 4 4 4 4

    3 2 2 2

    0 0 0 0 0

    4 tan 4 tan tan 4 sec 1 tan 4sec tan 4 tan π π π π π

    x dx x x dx x x dx x x dx x dx= = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

    Posons xu tan= dans la première intégrale ; nous aurons alors 00 , sec2 =⇒== uxdxxdu

    et .14 =⇒= ux π

    20214

    24 4 tansec4

    1

    0

    24

    0

    1

    0

    2 =⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −=⎥

    ⎤⎢⎣

    ⎡==∫ ∫

    uduudxxxπ

  • Exercices 3.2 page 461

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    De plus, 4 4

    4

    00 0

    4 tan 4 4 tan 4 ln sec ,π π

    πx dx x dx x⎡ ⎤= = ⎣ ⎦∫ ∫ par le résultat 1.5.3, page 60, d'où

    ( )4

    0

    4 tan 4 ln sec 4 ln sec0 4ln 2π

    x dx π⎡ ⎤= − =⎣ ⎦∫ .

    Nous avons finalement ( ) ( )4

    3 4

    0

    4 tan 2 4ln 2 2 ln 2 2 ln 4.π

    x dx = − = − = −∫

    32. ( )∫ ∫ ∫ −==3

    6

    3

    6

    3

    6

    223 cot1csc cotcot cotπ

    π

    π

    π

    π

    π

    dxxxdxxxdxx ∫ ∫−=3

    6

    3

    6

    2 cot cotcscπ

    π

    π

    π

    dxxdxxx

    Posons xu cot= dans la première intégrale ; nous aurons alors 36

    , csc- 2 =⇒== uxdxxdu π

    et .3

    13

    =⇒= ux π

    ( )

    ( )

    ( ) ( )( )

    3 1 3336

    6 3

    32 3

    61 3

    cot - ln sin

    ln sin 2

    3 1 ln sin 3 ln sin 6 2 64 ln 3 2 ln 1 23

    4 3 2 ln3 1 2

    ππ

    ππ

    π

    π

    x dx u du x

    u x

    π π

    ⎡ ⎤= ⋅ − ⎣ ⎦

    ⎡ ⎤⎡ ⎤= −⎢ ⎥ ⎣ ⎦

    ⎣ ⎦

    = − − −

    = − −

    ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎜ ⎟

    ⎝ ⎠

    ∫ ∫

    ( )4 ln 3 .3 −

  • 462 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    33. ( )∫∫∫ −==2

    4

    222

    4

    222

    4

    4 1csccot8 cot cot8 cot8π

    π

    π

    π

    π

    π

    dtttdtttdtt

    ( )

    ∫∫∫

    ∫∫

    ∫∫

    +−=

    −−=

    −=

    2

    4

    2

    4

    22

    4

    22

    2

    4

    22

    4

    22

    2

    4

    22

    4

    22

    8 csc8 csccot8

    1csc8 csccot8

    cot8 csccot8

    π

    π

    π

    π

    π

    π

    π

    π

    π

    π

    π

    π

    π

    π

    dtdttdttt

    dttdttt

    dttdttt

    Posons tu cot= dans la première intégrale ; nous aurons alors 14 , csc- 2 =⇒== utdttdu π

    et .02 =⇒= ut π

    ( ) [ ] [ ]

    [ ] [ ]

    ( )

    3162

    2838

    481080

    318

    428

    4cot

    2cot8

    38

    8cot8 8

    8cot-8-8 cot8

    1

    0

    3

    24

    1

    0

    24

    2

    24

    24

    2

    4

    0

    1

    24

    −=

    +−=⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛+−+⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −=

    ⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡ −+⎥⎦

    ⎤⎢⎣⎡ −+⎥

    ⎤⎢⎣

    ⎡=

    ++=

    +−⋅=

    ∫ ∫

    π

    ππ

    ππππ

    ππ

    ππ

    ππ

    ππ

    π

    π

    u

    ttduu

    ttduudtt

    34. ( )∫ ∫ ∫ −== dxxxdxxxdxx 1sectan6 tantan6 tan6 22224

    ( )∫∫∫

    ∫∫∫∫

    +−=

    −−=

    −=

    dxdxxdxxx

    dxxdxxx

    dxxdxxx

    6 sec6 sectan6

    1sec6 sectan6

    tan6 sectan6

    222

    222

    222

    Posons xu tan= dans la première intégrale ; nous aurons alors . sec2 dxxdu =

    Cxxx

    CxxCuCxxduudxx

    ++−=

    ++−+=++−=∫ ∫6tan6tan2

    6tan63

    66tan6 6 tan6 Ainsi,

    3

    12

    3

    124

    ,

    où .12 CCC +=

  • Exercices 3.2 page 463

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    35. ( )dttt coslnsec2∫ peut s'intégrer par parties.

    Posons ( ) . secet cosln 2 dttdvtu ==

    Alors tvdttdttt

    du tanet tan- sin-cos

    1==⋅= de sorte que

    ( ) ( )( ) ( )( )( ) .tancoslntan

    seccoslntan

    1seccoslntan

    tancoslntan coslnsec

    2

    2

    22

    Ctttt

    dtdtttt

    dtttt

    dttttdttt

    +−+=

    −+=

    −+=

    +=

    ∫ ∫∫

    ∫ ∫

    36. , cossin2

    cossin 3

    04

    23

    3-4

    2

    θθθθ

    θθ ππ

    π

    dd ∫∫ = puisque ( ) θθθ 4

    2

    cossin

    =f est une fonction paire.

    ∫∫∫ ⋅=⋅=3

    0

    222

    3

    02

    23

    04

    2

    sectan2 cos

    1cossin2

    cossin2

    πππ

    θθθθθθ

    θθθθ ddd

    Posons .tanθ=u Alors . sec2 θθ ddu = De plus, .33et 00 =⇒==⇒= uu πθθ

    Ainsi, .3203

    3323

    2 2 sectan23

    0

    33

    0

    23

    0

    22 =⎥⎥⎦

    ⎢⎢⎣

    ⎡−=⎥

    ⎤⎢⎣

    ⎡== ∫∫

    uduudπ

    θθθ

    37. ( ) ( ) dxxxxdxxx sectantan sectan 232233 ∫∫ =

    ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( ) dxxxxdxxxxdxxxdxxxx

    dxxxx

    tansecsec tansecsec

    tansec tansecsec

    sectan1sec

    2125

    23232

    232

    ∫∫∫∫

    −=

    −=

    −=

    Dans chacune des intégrales, posons ,sec xu = de sorte que . tansec dxxxdu =

    Nous aurons alors ( ) ∫∫∫ −= duuduudxxx sectan 2125233

    ( ) ( ) .sec32sec

    72

    23272327

    2327

    Cxxuu +−=−=

  • 464 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    38. ( ) ( ) dxxxxdxxx csccotcot csccot 21-221-3 ∫∫ =

    ( )( )( )( )

    ( )

    ( ) ( )

    -1 22

    -1 23 2

    -1 23 2

    1 2 -3 2

    cot csc 1 csc

    cot csc csc

    cot csc cot csc

    cot csc csc cot csc csc

    x x x dx

    x x x dx

    x x dx x x dx

    x x x dx x x x dx

    = −

    = −

    = −

    = −

    ∫ ∫∫ ∫

    Dans chacune des intégrales, posons ,csc xu = de sorte que .cot csc- xxdu =

    Nous aurons alors

    ( )

    .csc2csc

    32-

    232-

    21-23- - csccot

    23

    2321-23

    23-2121-3

    Cx

    x

    Cu

    uCuuduuduudxxx

    +−=

    +−=++=+= ∫∫∫

    39. 9 8cos cos cos θ dθ θ θ dθ=∫ ∫

    Il suffit alors de transformer θ8cos en termes de θsin par ( ) ( )4 48 2 2cos cos 1 sin ,θ θ θ= = −

    d'effectuer la substitution θsin=u et de développer ( )421 u− avant d'intégrer. 40. ∫ ∫= θθθθθ dd sinsin sin 1213

    Il suffit alors de transformer θ12sin en termes de θcos par ( ) ( ) ,cos1sinsin 626212 θθθ −== d'effectuer la substitution θcos=u et de développer ( )621 u− avant d'intégrer. 41. a) ( ) ∫ ∫∫ ∫ ∫ −=−== . tan sectan tan1sec tantan tan 32332325 θθθθθθθθθθθθθ ddddd En posant θθθ dduu secet tan 2== dans la première intégrale, nous obtenons

    ∫∫ −= . tan4tan tan 3

    45 θθθθθ dd

  • Exercices 3.2 page 465

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    b) ( )7 2 5 2 5 5 2 5tan tan tan sec 1 tan tan sec tan .θ dθ θ θ dθ θ θ dθ θ θ dθ θ dθ= = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ En posant θθθ dduu secet tan 2== dans la première intégrale, nous obtenons

    ∫∫ −= . tan6tan tan 5

    67 θθθθθ dd

    c) ( )∫ ∫ ∫ −−+ −== θθθθθθθθ ddd kkk tan1sec tantan tan 12212212 ∫ ∫ −− −= . tan sectan 12212 θθθθθ dd kk

    En posant θθθ dduu secet tan 2== dans la première intégrale, nous obtenons

    ∫∫ −+ −= . tan2tan tan 12

    212 θθθθθ d

    kd k

    kk

    42. a) ( ) ∫ ∫∫∫∫ −=−== θθθθθθθθθθθθθ ddddd cot csccot cot1csc cot cot cot 32332325 En posant θθθ dduu csc-et cot 2== dans la première intégrale, nous obtenons :

    . cot4

    cot- cot 34

    5 ∫∫ −= θθθθθ dd

    b) ( ) ∫ ∫∫∫∫ −=−== θθθθθθθθθθθθθ ddddd cot csccot cot1csc cot cot cot 52552527 En posant θθθ dduu csc-et cot 2== dans la première intégrale, nous obtenons :

    . cot6

    cot- cot 56

    7 ∫∫ −= θθθθθ dd

    c) ( ) θθθθθθθθ ddd kk cot1csc cot cot cot 1221+2k212 −+ ∫∫∫ −== ∫ ∫ −− −= θθθθθ dd kk cot csccot 12212

    En posant θθθ dduu csc-et cot 2== dans la première intégrale, nous obtenons :

    . cot2

    cot- cot 122

    12 ∫∫ −+ −= θθθθθ d

    kd k

    kk

  • 466 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    43. À partir de l'équation (2) de la page 205 avec ,2et 3 == nm nous pouvons écrire :

    [ ]

    ( ) ( )

    0 0

    - -

    0

    -

    1sin 3 cos2 sin sin 5 2

    1 cos5 -cos2 5

    cos -51 cos0 -cos0 -cos -2 5 5

    1 1 -12

    π π

    π

    x x dx x x dx

    xx

    ππ

    = +

    ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

    ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

    = −

    ∫ ∫

    1 61 - .5 5 5

    ⎡ ⎤− − =⎢ ⎥⎣ ⎦

    44. À partir de l'équation (2) de la page 205 avec ,3et 2 == nm nous pouvons écrire :

    ( )

    ( )

    ( )

    2 2

    0 0

    2

    0

    5 2

    1sin 2 cos3 sin - sin 5 2

    -cos -1 cos5 2 -1 5

    1 cos cos0 cos - 2 cos02 5 5

    1

    π π

    π

    π

    x x dx x x dx

    x x

    π

    ⎡ ⎤= +⎣ ⎦

    ⎡ ⎤= −⎢ ⎥

    ⎣ ⎦

    ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

    =

    ∫ ∫

    ( ) 1 20 0 1 - .2 5 5⎡ ⎤⎛ ⎞− − − =⎜ ⎟⎢ ⎥

    ⎝ ⎠⎣ ⎦

    45. À partir de l'équation (1) de la page 205 avec ,2et 4 == nm nous pouvons écrire :

    [ ]6 6

    12 12

    6

    12

    18sin 4 sin 2 8 cos 2 cos6 2

    sin 2 sin 6 42 6

    sin 3 sin sin 6 sin 2 42 6 2 6

    π π

    π π

    π

    π

    x x dx x x dx

    x x

    π π π π

    = ⋅ −

    ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

    ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

    ∫ ∫

    3 1 1 2 1 3 3 1 4 0 3 1 3 .4 4 6 3 3 3

    ⎡ ⎤ −= − − + = − + = − =⎢ ⎥

    ⎢ ⎥⎣ ⎦

  • Exercices 3.2 page 467

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    46. À partir de l'équation (2) de la page 205 avec ,61et

    31

    == nm nous pouvons écrire :

    ( ) ( )

    ( ) ( )[ ] .2123-00

    21

    cos23

    cos6-2

    3cos22

    cos6-21

    212cos

    616cos-

    21

    2

    sin6

    sin21

    6cos

    3sin

    3

    2

    3

    2

    3

    2

    =+−−=

    ⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛−⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛−⎟⎟

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛−⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛=

    ⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡−=

    ⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡ +=∫ ∫

    ππππ

    π

    π

    π

    π

    π

    π

    xx

    dxxxdxxx

    47. À partir de l'équation (3) de la page 205 avec ,41et

    31

    == nm nous pouvons écrire :

    .7

    18324733

    73333

    21-

    76

    216

    23

    76

    236

    67sin

    76

    6sin6

    37sin

    76

    3sin6

    127sin

    712

    12sin12

    21

    127cos

    12cos

    21

    4cos

    3cos

    4

    2

    4

    2

    4

    2

    −=+−+=

    ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛−⋅−⋅+⋅=

    −−+=

    ⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡ +=

    ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ +=∫ ∫

    ππππ

    π

    π

    π

    π

    π

    π

    xx

    dxxxdxxx

    48. À partir de l'équation (3) de la page 205 avec ,7et 21

    == nm nous pouvons écrire :

    2 2

    0 0

    2

    0

    1 -13 15cos cos7 cos cos 2 2 2 2

    -13 15sin sin1 2 2 2 -13 2 15 2

    1 2 -13 - sin2 13 4

    π π

    π

    x x dx x x dx

    x x

    π

    ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

    ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥= +

    ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

    ⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠

    ∫ ∫

    2 15 -2 2sin sin 0 sin 015 4 13 15

    1 -2 2 2 2 14 2 - - .2 13 2 15 2 195

    π⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

    ⎡ ⎤⎛ ⎞= + =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

  • 468 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    49. ∫∫ = dxxxdxx csccsc csc 23

    Posons . cscet csc 2 dxxdvxu ==

    Alors ,cot-et cotcsc- xvdxxxdu == de sorte que

    ( )

    cotcsc ln csccotcsc-

    csc csccotcsc-

    csc1csccotcsc-

    csccotcotcsc- csc

    3

    3

    2

    23

    xxdxxxx

    dxxdxxxx

    dxxxxx

    dxxxxxdxx

    +−−=

    +−=

    −−=

    −=

    ∫∫∫

    ∫∫∫

    (voir la page 73, Table 3.1.2 no 2)

    Il s'ensuit que ∫ +−= cotcsc lncotcsc- csc2 3 xxxxdxx

    et . cotcsc ln21cotcsc

    21- csc3 Cxxxxdxx ++−=∫

    50. a) ( ) ( )( )2 21sin sin cos cos

    2

    a π a π

    a a

    mx nx dx m n x m n x dx+ +

    = − − +∫ ∫

    ( ) ( )2

    sin sin1 ,2

    a π

    a

    m n x m n xm n m n

    +⎡ ⎤− +

    = −⎢ ⎥− +⎣ ⎦

    où 0et 0 ≠+≠− nmnm

    ( )( ) ( )( ) ( ) ( )sin 2 sin 2 sin sin1 .

    2m n a π m n a π m n a m n a

    m n m n m n m n

    ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

    Mais ( )( ) ( )sin 2 sinm n a π m n a

    m n m n⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

    − − et

    ( )( ) ( )sin 2 sin,

    m n a π m n am n m n

    ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦=+ +

    puisque la fonction ( )xsin est périodique de période ,2π d'où ∫+

    =π2

    0 sinsina

    a

    dxnxmx et les

    fonctions nxmx sinet sin sont orthogonales sur tout intervalle de longueur .2π

  • Exercices 3.2 page 469

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    b) ( ) ( )( )dxxnmxnmnxmxa

    a

    coscos21coscos

    2

    ∫ ∫+

    ++−=π

    ( ) ( )2

    sin sin1 ,2

    a π

    a

    m n x m n xm n m n

    +⎡ ⎤− +

    = −⎢ ⎥− +⎣ ⎦

    où 0et 0 ≠+≠− nmnm ( )( )1 sin 2 .2

    m n a π⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

    51. Posons .22

    -pour , sec3 ,tan3 2 πθπθθθ

  • 470 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    53. Posons .22

    -pour , cos5 ,sin5 πθπθθθ

  • Exercices 3.2 page 471

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    55. Posons . tansec27 ,sec

    27ou sec72 θθθθθ ddxxx ===

    De ,27

    >x on déduit que .2

    0 πθ

  • 472 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    57. Posons . tansec ,sec θθθθ ddxx ==

    De ,1>x on déduit que .2

    0 πθ

  • Exercices 3.2 page 473

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    Il s'ensuit que ∫ ∫⋅

    =+ θ

    θθθsec2

    sec2tan8

    4

    23

    2

    3 d

    x

    dxx

    ( ) . tansec1sec8 tansectan8 sectan8

    2

    23

    θθθθ

    θθθθθθθ

    d

    dd

    ∫∫∫

    −=

    ==

    Posons . tansecet sec θθθθ dduu ==

    Alors ( ) Cuuduux

    dxx+⎥

    ⎤⎢⎣

    ⎡−=−=

    +∫∫ 38 184

    322

    3

    ( ) .44431

    24

    24

    318sec

    3sec8

    2232

    23

    23

    Cxx

    CxxC

    ++−+=

    +⎥⎥⎥

    ⎢⎢⎢

    ⎡+

    −⎟⎟

    ⎜⎜

    ⎛ +=+⎥

    ⎤⎢⎣

    ⎡−= θθ

    60. Posons , sec ,tan 2 θθθ ddxx ==

    pour .22

    - πθπ θ pour .22

    - πθπ

  • 474 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    Il s'ensuit que θθθθ

    θθ dd

    ww

    dw sin

    12cos2sin4 cos28

    4

    82222 ∫∫∫ =⋅

    ⋅=

    Cw

    wCd +−=+== ∫2

    2 42-cot-2 csc2 θθθ (voir le triangle de référence, page précédente).

    62. Posons , cos3 ,sin3 θθθ ddww ==

    pour .22

    - πθπ θ pour .22

    - πθπ

  • Exercices 3.2 page 475

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    64. Posons . tansec ,sec θθθθ ddxx ==

    De ,1>x nous déduisons que .2

    0 πθ θ pour .2

    0 πθ

  • 476 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    66. Posons , cos ,sin θθθ ddxx ==

    pour .22

    - πθπ θ pour 22

    - πθπ

  • Exercices 3.2 page 477

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    68. Posons , sec 3 ,tan3 2 θθθ ddtt ==

    pour .22

    - πθπ

  • 478 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    70. Posons ( ) θθθθ ddteete ttt sec et tanlnln ,tan 2====

    pour .34

    43

    ≤≤ θ

    ,sectan11 222 θθ =+=+ te

    de sorte que ( ) θθθ sec sec sec1 2212 ===+ te

    puisque 0sec >θ pour ,34

    43

    ≤≤ θ et ( ) θ3232 sec1 =+ te

    Il s'ensuit que ( )( )

    ( )ln 4 3 tan4 3 2

    3 2 32ln 3 4 tan3 4

    secsec1

    arct

    t arc

    e dt θ dθθe

    =+

    ∫ ∫

    [ ] tan4 3

    tan4 3 tan3 4

    tan3 4

    4 3 1cos sin .5 5 5

    arcarcarc

    arc

    θ dθ θ= = = − =∫

    71. Posons .tx = Alors .2et 2

    1t

    dtdxdtt

    dx ==

    Il s'ensuit que . 414 2

    412

    412

    42

    22 dxxdx

    xtdt

    ttttdt

    ∫∫∫∫ +=⋅+=⋅+=+

    Posons ,tan21ou tan2 θθ == xx , sec

    21 2 θθ ddx = pour .

    22- πθπ

  • Exercices 3.2 page 479

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    72. Posons θθθθ dedyey sec , 2tantan ==

    .41tanet 00tan1 πθθθθ =⇒=⇒==⇒=⇒= eyy

    ( ) ,sectan1ln1 222 θθ =+=+ y de sorte que ( ) .sec sec secln1 22 θθθ ===+ y

    puisque 0sec >θ pour .4

    0 πθ ≤≤

    Il s'ensuit que

    ( )

    4 4tan 2 4

    tan 021 0 0

    sec sec ln sec tan sec1 ln

    π πe θ π

    θdy e θ dθ θ dθ θ θ

    e θy y⎡ ⎤= = = +⎣ ⎦

    +∫ ∫ ∫

    ( ) ( ) ( )ln sec 4 tan 4 ln sec0 tan 0 ln 2 1 ln 1 0 ln 2 1 .π π⎡ ⎤= + − + = + − + = +⎣ ⎦ 73. Posons . tansec ,sec θθθθ ddxx ==

    Si ,1>x alors ,0tanet 2

    0 >

  • 480 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    75. Posons . tansec ,sec θθθθ ddxx ==

    Si ,1>x alors ,0tanet 2

    0 >

  • Exercices 3.2 page 481

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    78. ( )∫∫ ∫ +−=++−=+− 91912102 222 y

    dyyydy

    yydy

    Posons θtan31 =−y

    ou θθθ ddyy sec3 ,tan31 2=+= pour .22

    - πθπ

  • 482 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    80. ( ) ( )( )

    ( )( )

    ( )( )

    ( )( )2 222 2

    2 2 2 2 2

    5 4 - 4 5 - 4 4 9 9 2- 2 9

    x dx x dx x dx x dx x dx

    x x x x x x xx

    − − − − −= = = =

    ⎡ ⎤+ − − − − + − − −− −⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫

    Posons θsin32 =−x ou , cos3 ,sin32 θθθ ddxx =+=

    pour .22

    - πθπ θ pour .22

    - πθπ

  • Exercices 3.2 page 483

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    Posons θsec1 =+y ou , tansec ,sec1- θθθθ ddyy =+=

    pour .2

    0 πθ

  • 484 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    84. ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 28 2 - 2 8 - 2 1 9 - 1 9 9 1x x x x x x x x⎡ ⎤+ − = − − = − + − = − − = − −⎣ ⎦

    Posons , cos3- ,sin31 θθθ ddxx ==− pour .22

    - πθπ θ pour .22

    - πθπ

  • Exercices 3.2 page 485

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    86. 3 3 3 3

    2 2 2 21 1 1 1

    2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5

    z dz z zdz dz dzz z z z z z z z

    − + −= = +

    − + − + − + − +∫ ∫ ∫ ∫

    Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, posons .522 +−= zzu

    Alors ( ) , 22 dzzdu −= .83et 41 =⇒==⇒= uzuz

    Ainsi, 3 8

    8

    2 41 4

    2 2 1 8 ln ln8 ln 4 ln ln 2.42 5

    z dz du uuz z

    − ⎛ ⎞⎡ ⎤= = = − = =⎜ ⎟⎣ ⎦− + ⎝ ⎠∫ ∫

    Pour la deuxième intégrale, ( ) ( )2 22

    2 2 2 .2 5 2 1 4 1 4

    dz dz dzz z z z z

    = =− + − + + − +

    ∫ ∫ ∫

    Posons , sec2 ,tan21 2 θθθ ddzz ==− pour .22

    - πθπ

  • 486 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    88. ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 23 2 - 2 3 - 2 1 4 - 1 4 4 1 ,t t t t t t t t⎡ ⎤− − = + − = + + − = + − = − +⎣ ⎦

    d'où ( )

    .14

    6

    23

    6 0

    1-2

    0

    1-2 ∫∫ +−=

    −− t

    dt

    tt

    dt

    Posons , cos2 ,sin21 θθθ ddtt ==+

    pour .22

    - πθπ θ pour .22

    - πθπ

  • Exercices 3.2 page 487

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    90. ( ) ,111122 222 −+=−++=+ xxxxx d'où

    ( ) ( ) ( )

    .11121

    1

    122

    1

    122 ∫∫

    −− −++=

    ++ xx

    dx

    xxx

    dx

    Posons . tansec ,sec1 θθθθ ddxx ==+

    ,212112 ≤+≤⇒≤≤− xx d'où

    .34

    et 11 πθπ θ pour .34

    πθπ

  • 488 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    92. dvvv

    v

    vv

    dvv

    vv

    dvv 52

    2+2221

    52

    221

    52

    25

    12

    25

    12

    25

    12 ∫∫∫ +−

    −=

    +−=

    +−

    dvvv

    dvvv

    v 52

    221

    52

    2221 25

    12

    25

    12 ∫∫ +−

    ++−

    −=

    Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, posons .522 +−= vvu

    Alors ( ) , 22 dvvdu −= .42525et 41 =⇒==⇒= uvuv

    Ainsi, .212

    254

    425

    2121

    21

    52

    2-221

    425

    4

    21425

    4

    21-25

    12

    =−=−=⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡==

    +−∫∫

    uduudvvv

    v

    Pour la deuxième intégrale,

    ( ) ( )∫∫ ∫∫ +−=

    ++−=

    +−=

    +−.

    41

    1 412

    1 52

    1 52

    221

    2222dv

    vdv

    vvdv

    vvdv

    vv

    Posons . sec2 ,tan21 2 θθθ ddvv ==−

    Puisque .43tan 0et

    2310 ,

    251 arcvv ≤≤≤−≤≤≤ θ

    Il s'ensuit que

    ( ) ∫∫∫∫

    =+

    =+

    =+− θ

    θθ

    θ

    θθ

    θ

    θθ2

    2

    2

    2

    2

    2

    2 sec

    sec

    1tan2

    sec2

    4tan4

    sec2 41

    1 ddddvv

    Cd

    dd

    ++==

    ==

    ∫∫

    tansec ln sec

    secsec

    sec sec 22

    θθθθ

    θθθ

    θθθ

    puisque 0sec >θ pour ,43tan 0 arc≤≤ θ et que

    ( )

    5 2tan3 4

    021

    1 ln sec tan 1 4

    arcdv θ θ

    v⎡ ⎤= +⎣ ⎦

    − +∫

    ( ) ( )

    .2ln 01 ln 43

    45 ln

    0tan0sec ln 43tan tan43tan sec ln

    =+−+=

    +−+= arcarc

    Par conséquent, ∫ ++−

    25

    12

    .2ln21=

    52

    vv

    dvv

    5

    4

    2

    ( ) 4 1 2 +−v

    θ1 −v

  • Exercices 3.2 page 489

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    93. ( ) ,4134169569 222 +−=++−=+− xxxxx d'où ( )

    .413569 22

    ∫ ∫+−

    =+− x

    dx

    xx

    dx

    Posons ,3tan21ou tan213 θθ +==− xx

    , sec32 2 θθ ddx = pour .

    22- πθπ θ pour .22

    - πθπ

  • 490 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    Il s'ensuit que ( )

    ( )∫∫∫ +=+−=+− 4tan4

    sec32 413

    1 569

    12

    2

    22 θθθ ddy

    ydy

    yy

    .

    213tan

    61

    61

    61

    secsec

    61

    1tansec

    61

    22

    2

    2

    2

    2

    CyarcCd

    dd

    +⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −=+==

    =+

    =

    ∫∫

    θθ

    θθθθ

    θθ

    Par conséquent, ,2

    13tan 61 569 ln

    61

    569 3 2

    2 Cyarcyy

    yydyy

    +⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −++−=

    +−∫ où .21 CCC +=

    95. ( ) ,92944134 222 ++=+++=++ xxxxx d'où ( )

    .92134 22

    ∫ ∫++

    =++ x

    dx

    xx

    dx

    Posons ,2tan3ou tan32 −==+ θθ xx

    dx = 3sec2θ dθ, pour .22

    - πθπ θ lorsque .22

    - πθπ

  • Exercices 3.2 page 491

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

    Ainsi, .34212

    1 21

    34

    4221

    12

    11

    2121-

    2CzzCuCuduudz

    zz

    z++−=+=+==

    +−

    −∫∫

    Pour la deuxième intégrale, . 34

    1 34

    221

    22dz

    zzdz

    zz∫∫

    +−=

    +−

    Or, ( ) .1214434 222 −−=−+−=+− zzzzz

    Posons , tansec ,sec2 θθθθ ddzz ==− pour .2

    0 πθ

  • 492 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

    Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 20