CALCUL INTÉGRAL - cheneliere.info · CALCUL INTÉGRAL Thomas . Weir . Hass . Giordano Onzième édition SOLUTIONNAIRE DE L’ÉLÈVE Chapitre 2 : Application de l’intégrale Adaptation

CALCUL INTÉGRAL

Thomas . Weir . Hass . Giordano Onzième édition

SOLUTIONNAIRE DE L’ÉLÈVE

Chapitre 2 : Application de l’intégrale

Adaptation Vincent Godbout

Hughes Boulanger

Exercices 2.1 page 97

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 2 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Exercices 2.1 - Aires planes et théorème de la moyenne 1. Zéros de la fonction :

( ) 02-02- 2 =+⇒=− xxxx

-2ou 0 ==⇒ xx

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

328

320

34

34

00438- 4

3800 994

38

3

- 3

- 3

-

2- 2- 2-

2

0

230

2-

232-

3-

23

2

0

20

2-

2-2

3-

2

=++=

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−+−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−+−+−= ∫∫∫

xxxxxx

dxxxdxxxdxxxA

3. Zéros de la fonction :

( ) 0404 23 =−⇒=− xxxx

( )( )

-2.ou 2 ,002+2===⇒

=−⇒

xxxxxx

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

844

084 840

024

0224

2 2-242-02

40

24

24

4 4

24

24

24

24

2

0

240

2-

24

2

0

30

2-

3

=

+=

−−+−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−+−= ∫∫

xxxx

dxxxdxxxA

x

y

1 2-3

-2

-1-2

-4

-6

-8

xxy 2 - 2 −=

y

x-1-2 1 2

-1

-2

-3

3

2

1

xxy 4 3 −=

98 Chapitre 2 Application de l'intégrale


5. L'aire du rectangle borné par les droites d'équations .2est 0et ,0 ,2 πxπxyy ====

L'aire sous la courbe d'équation xy cos1 += est

( ) [ ] ( ) ( ) πππxxdxx ππ

=+−+=+=+∫ 0sin0sinsin cos1 00

L'aire de la région colorée est donc .2 πππ =−

7. ( ) ∫ ∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

==−=π ππ

dxxdxxdxxA0 0

2

0

2 2

2cos1 sin cos1

( )

2200

21

20

21

22sin

21 2cos1

21

00

ππ

xxdxxππ

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=−= ∫

9. ( )[ ] ( )∫ ∫ −=−−=2

2-

2

2-

42242 4 22 dxxxdxxxxA

15

1285

323

32-5

323

3253

42

2-

53

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

xx

11. Points d'intersection des deux courbes : xxx 2-4 22 −=− ,

d'où ( )( ) .1ou -2 ,012 ,02 ,0422 22 ===−+=−+=−+ xxxxxxxx

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )

( )

33812

3163

32312

316-

843

164132-12918-84

316-

43

2-43

2

422- 422

42- 2-4

1

2-

232-

3-

23

2-

3-

1

2-

22

-2

3-

1

2-

2222

=+−+−−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=

+−+−+=

−−−+−−−=

∫ ∫

∫ ∫

xxxxxx

dxxxdxxx

dxxxxdxxxxA



13. Zéros de la fonction : ( )( ) 0240862 =−−⇒=+− xxxx

.2ou 4 ==⇒ xx

a) ( )∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=+−

3

0

3

0

232 8

26

3 86 xxxdxxx

( ) ( )6

00024279=

+−−+−=

b) ( ) ( )∫∫ +−++−=3

2

22

0

2 86 86 dxxxdxxxA

( ) ( )

322

32

320

16123824279 0001612

38

82

63

82

63

3

2

232

0

23

=+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−+−++−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−= xxxxxx

15. Zéros de la fonction : ( ) 0202 2 =−⇒=− xxxx

.2ou 0 ==⇒ xx

a) ( )3

0

32

3

0

2

3 2 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−∫

xxdxxx

( ) ( )[ ] 00099 =−−−=

b) ( ) ( )∫∫ −+−=3

2

22

0

2 2 2 dxxxdxxxA

( ) ( )

38

34

34

38499 00

384

3

3

3

2

32

2

0

32

=+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−+−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

xxxx

8

6

4

2

1 2 3x

y

8 6 2 +−= xxy

1 2 3

1

-1

-2

-3

x

y

2 2xxy −=



17. Points d'intersection des deux courbes : 422 22 =⇒=− xx -2.ou 2 ==⇒ xx

( )( )

( )

332

38+8-

388

34 4

22

2

2-

2

2-

32

2

2-

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=

−−=

∫

∫

xxdxx

dxxA

19. Points d'intersection des deux courbes : 2 2 2- 4 2 4 0x x x x x= + ⇒ − =

( ).2ou 0

022==⇒

=−⇒

xxxx

( ) ( )

( )38008

316-

24

32-

42- 4-

2

0

23

2

0

2

0

222

=+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

+=−+= ∫ ∫

xx

dxxxdxxxxA

21. Points d'intersection des deux courbes :

04544 24224 =+−⇒=+− xxxxx

( )( )( )( )( )( )

.1ou -1ou 2ou -2

01122014 22

====⇒

=−+−+⇒

=−−⇒

xxxx

xxxxxx

( )

( )

( )

-12 4 2

-2

14 2 2

-1

22 4 2

1

4 4

4 4

4 4

A x x x dx

x x x dx

x x x dx

⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − + −⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − − +⎣ ⎦

∫

∫

∫

2-2

-2

2

x

y

2 2 −= xy

2

4

x

y

2xy =

xxy 4 - 2 +=

2

4

x

y

2xy =

4 4 24 +−= xxy

6

8

31-1-2-3

-2



( ) ( ) ( )

81522

1576

1522

435

51-8

340

532-4

35

51-4

35

518

340

5324

35

51

43

55

-43

55

43

55

-

45- 45 45-

2

1

351

1-

351-

2-

35

1

1-

2

1

2424-1

2-

24

=++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=

−+++−+−+= ∫ ∫∫

xxxxxxxxx

dxxxdxxxdxxxA


xxxxx cossin2sin22sinsin2 =⇒=

( )

.ou 0

1cosou 0sin0cos1sin2

0cossin2sin2

πxx

xxxx

xxx

==⇒

==⇒

=−⇒

=−⇒

( )

( )( ) ( )

4

2112-

211-2-

22coscos2-

2sinsin2

0

0

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

−= ∫π

π

xx

dxxxA

25. Le graphique suggère que les points d'intersection entre les deux courbes sont

.1et 0 -1, === xxx En effet, ( ) ( ) ( ) .12sinet 00sin -1,2-sin === ππ

( ) ( ) ( ) ( )

14221

212

012-2102-02

21120

22cos2-

2cos2

2

2

sin 2

sin

1

0

20

1-

2

0

1-

1

0

−=+−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= ∫ ∫

πππ

ππππ

xxππ

xππ

x

dxxxπdxxπxA

x

y

sin 2 xy =

2sin xy =π

2

( ) 2/ sin xy π=xy =

-1 1

y

x

1

-1



27. Intersection entre les courbes :1et 2xyxy ==

.111 32 =⇒=⇒= xx

xx

( )

121

21

1-21-0

21

1-2

1

2

1

1-1

0

2

1

0

2

12

=+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

+= ∫ ∫

xx

dxx

dxxA

29. Points d'intersection entre :1-et 3 2 =−= yxy

04-13 22 =−⇒=− xx

( )( )-2.ou 2

022==⇒

=+−⇒

xxxx

( )[ ]

( )

332

38+8-

388

34

4

1-3

2

2-

3

2

2-

2

2

2-

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−=

−−=

∫

∫

xx

dxx

dxxA

31. Le graphe de cette fonction sur l'intervalle [ ]1 ,0 est un triangle rectangle isocèle situé dans le

premier quadrant et dont chacun des côtés égaux repose sur les axes de coordonnées et mesure 1.

L'aire du triangle est ( )( ) .2111

21

=

Puisque l'aire est également la valeur de l'intégrale de la fonction de 0 à 1,

( ) ( ) ( ) .21

211 1

011moy et

21 1

1

0

1

0∫∫ =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−

−==− dxxfdxx

1 1,50,5 2,5

2

2

1

0,5

1,5

x

y

/ 1 2xy =

xy =

2-2

3

x

y

3 2xy −=

1- =y



33. Le graphe de cette fonction est un demi-cercle de rayon 1 centré à l'origine. Sur l'intervalle

[ ],1 ,0 nous avons le quart de cercle situé dans le premier quadrant.

L'aire du quart de cercle est ( ) .44

1 2 ππ=

Puisque l'aire est également la valeur de l'intégrale de la fonction de 0 à 1,

( ) .44

1 101

1moy et 4

11

0

21

0

2 πππ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−

−==− ∫∫ dxxfdxx

35. La voiture a franchi les 150 premiers kilomètres

en 5 heures et les 150 suivants en 3 heures.

Elle a donc mis 8 heures pour parcourir les

300 kilomètres et ( ) 5,378

300moy ==v km/h.

La fonction v est définie de la manière suivante :

( )⎩⎨⎧

≤<≤≤

=8550

sisi

5030

tt

tv

et ( ) ( )( ) ( )( ) 5,378

350530moy =+

=v km/h.

37. a) ( ) ( ) ( )∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

601

0

601

0maxmax 120cos

1201-60 120sin

06011 tVdttV π

ππ

[ ] ( ) 0112

-0cos2cos2

- maxmax =−=−=π

ππ

VV

b) ( ) 3392402 2 rcmmax ≈== VV volts.

c) ( ) ( ) ( ) ( ) dttVdttV 2240cos1 120sin

601

0

601

1

2max

22max ∫∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=ππ

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 1 60max

0

2 1 60max

0

2max

2max

1 cos 240 2

1 sin 2402 240

1 1 1sin 4 0 sin 02 60 240 240

120

Vπt dt

Vt πt

π

Vπ

π π

V

= −

⎡ ⎤⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

=

∫

5 8

30

50

t (h)

moy (v)

v (km / h)



Exercices réalisés avec Mathématica Aire d'une région comprise entre deux courbes

39. a) [ ]3 2x x 1f x_ : = 2x

3 2 3− − +

[ ]

[ ] [ ]{ } { } { }

g x_ : = x 1

Tracer f x ,g x , x, -3, 5 , Style bleu, vert

−

⎡ ⎤→⎣ ⎦

b) =rsection PointsInte

[ ] [ ] { } { }Flatten x / . Map TrouverRacinesIntervalle f x g x , x, #, 5 &, 3⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤= −⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

c) [ ][ ]

[ ] [ ]( )PointsIntersection 2

Intégrale1= f x g x dxPointsIntersection 1

⎡ ⎤⎣ ⎦ −⎡ ⎤⎣ ⎦

∫

[ ][ ]


Intégrale2= g x f x dxPointsIntersection 2

⎡ ⎤⎣ ⎦ −⎡ ⎤⎣ ⎦

∫

d) Intégrale2+Intégrale1=Aire

41. a) [ ]Nouveau f, g

[ ] [ ]f x_ : = x Sin 2x+

[ ]

[ ] [ ]{ } { } { }

3g x_ : = x

Tracer f x ,g x , x, -3, 3 , Style bleu, vert⎡ ⎤→⎣ ⎦

b) PointsIntersection =

[ ] [ ] { } { }Flatten x / . Map TrouverRacinesIntervalle f x g x , x, #, 2 &, 2⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤= −⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

c) [ ][ ]


Intégrale1= g x f x dxPointsIntersection 1

⎡ ⎤⎣ ⎦ −⎡ ⎤⎣ ⎦

∫

[ ][ ]


Intégrale2= f x g x dxPointsIntersection 2

⎡ ⎤⎣ ⎦ −⎡ ⎤⎣ ⎦

∫

d) Intégrale = Intégrale1+Intégrale2



Estimer une valeur moyenne

43. a) [ ]fNouveau

[ ] 1f x_ : = x Sinx

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] { }

a= ; b = ;4

Tracer f x , x, a, b

π π

⎡ ⎤⎣ ⎦

b) n1=100 ;

[ ]

b aDeltax1= ;n1

Deltax1ValeursMilieuCent = Table f x , x, a+ , b, Deltax1 //N ;2

−

⎡ ⎤⎧ ⎫⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦

c) [ ]Apply Plus, ValeursMilieuCentValeurMoyenneCent =

n1

d) ; n2

ab=Deltax2 ; 200=n2 −

[ ]

[ ]

[ ]

Deltax2ValeursMilieuDeuxCent = Table f x , x, a+ , b, Deltax2 //N ;2

Apply Plus, ValeursMilieuDeuxCentValeurMoyenneDeuxCent =

n2b an3 = 1000 ; Deltax3 = ;n3

DeValeursMilieuMille = Table f x , x, a+

⎡ ⎤⎧ ⎫⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦

−

[ ]

ltax3 , b, Deltax3 //N ;2

Apply Plus, ValeursMilieuMilleValeurMoyenneMille =

n3

⎡ ⎤⎧ ⎫⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦

e) [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ππ ,

4 x, nneMille,ValeurMoye=xfalleinesIntervTrouverRac



Exercices réalisés avec Maple 6

39. a) Commandes Maple

with(plots):

f1:=plot(f(x),x=-4..4,y=-5..5,color=black):

f2:=plot(g(x),x=-4..4,color=black,thickness=2):

t1:=textplot([-2,1,'f(x)'],color=black,font=[TIMES,ROMAN,12]):

t2:=textplot([2,2,'g(x)'],color=black,font=[TIMES,BOLD,12]):

display(f1,f2,t1,t2);

b) Commandes Maple

sol:=sort([fsolve(f(x)=g(x))]);

evalf(seq(([sol[i],f(sol[i])],i=1..3)),5);

:= sol [ ], ,-2.5833 .42303 3.6603

, ,[ ],-2.5833 -3.5831 [ ],.42303 -.57697 [ ],3.6603 2.6607

c) Commandes Maple

I1:=Int(abs(f-g),x=sol[1]..sol[2] )=int(abs(f(x)-g(x)),x=sol[1]..sol[2]);

I2:=Int(abs(f-g),x=sol[2]..sol[3] )=int(abs(f(x)-g(x)),x=sol[2]..sol[3]);

7169.8 - et 1557.7 - 3.6603

42303.

42303.

5833.2-

== ∫∫ dxgfdxgf et 3.6603

.42303

- 8.7169f g dx =∫

d) := Aire 15.8726



41. a)

b) := sol [ ], ,-1.2298 0. 1.2298

, ,[ ],-1.2298 -1.8601 [ ],0. 0. [ ],1.2298 1.8601

c) 0725.1 et 0725.1 2298.1

0

0

2298.1-

=−=− ∫∫ dxgfdxgf

d) := Aire 2.1450

43. a)

b) Commandes Maple

n:=100;delta:=(b-a)/n;

seq([a+(2*i-1)*delta/2,evalf(f(a+(2*i-1)*delta/2))],i=1..4);

Les quatre premières valeurs seulement

⎡⎣ ⎢⎢

⎤ ⎦ ⎥⎥ ,

2 0 3 8 0 0 π . 7 5 7 6 1 5 1 8 6 8 ⎡

⎣ ⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥

,209800 π .7703082933 ⎡

⎣ ⎢⎢⎤ ⎦ ⎥⎥ ,

43160 π .78205802 8 0 , , ,

⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥⎥

, 2 2 1 8 0 0 π . 7 9 2 9 5 2 5 4 7 9



c) Commandes Maple

n:=100:delta:=(b-a)/n:

[n,`valmoy`=evalf(sum(evalf(f(a+(2*i-1)*delta/2)),i=1..n)/n)];

[ ],100 = valmoy .9347981511

d) ,200 = valmoy .9347939370 et [ ],1000 = valmoy .9347925911

e) Commandes Maple

n:=1000;delta:=(b-a)/n;

valmoy:=evalf(sum(evalf(f(a+(2*i-1)*delta/2)),i=1..n)/n);

[`c=`,fsolve(f(c)=valmoy,c=a..b)];

:= valmoy .9347925915 et [ ],c= 1.582852021



Exercices 2.2 - Calcul de volumes par découpage en tranches et par la méthode des disques 1. a) ,2rA π= où ,1 2xr −= d'où ( ) ( ).1 2xxA −= π

b) ,hbA ×= où ,12 2xhb −== d'où ( ) ( )214 xxA −=

c) La diagonale 212 xd −= pour un carré situé à une distance x de l'origine.

Or ( ) ,côté 2=A où .2

diagonale côté = Donc ( ) ( ).122

12 2

22

xxxA −=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −=

d) ,43

23

21

21 2bbbhbA =××=××= où ,12 2xb −= d'où ( ) ( ).13 2xxA −=

3. ( ) ( ) ( )2

diagonale2

diagonalecôté22

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==xA

( )[ ] .22-

2

xxx=

−=

[ ] .16016 24

0

40

2 =−=== ∫ xdxxV

5. a) ( )2

22

2

1

1-1

121

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+==

xxrxA ππ

.1

12 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=x

π

[ ] ( )[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

= ∫ 4-

41-tan 1tan tan

11 1

1-

1

1-2

ππππππ arcarcxarcdxx

V

.2

2π=

b) ( ) ( )2

22

2

1

1-1

1côté⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+==

xxxA

.1

4

1

22

2

2 xx +=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=



( ) [ ]11-1

1-2

1

1-

tan 4 +14 xarcdxx

dxxAV === ∫∫

( )[ ] .24

-4

41-tan 1tan 4 πππ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−= arcarc

7. a) ( ) 2

43

23

21

21 bbbhbxA =⋅⋅=⋅⋅=

( ) .sin3sin243 2

xx ==

[ ]∫ ==π

π

00cos-3 sin3 xdxxV

( ) ( )[ ] .321-1--3 =−= b) ( ) ( ) ( ) .sin4sin2côté

22 xxxA ===

[ ]ππ

00

cos-4 sin4 xdxxV == ∫

( ) ( )[ ] .81-1--4 =−=

9. ( ) .4

5521 4

222 yyryA πππ =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅==

2

0

2

0

54

545

45∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅==

ydyyV ππ

.8084

2

0

5 πππ=−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= y

11. a) Selon le théorème de Cavalieri, le volume de la colonne torsadée est égal au volume d'un

prisme droit de hauteur h et de base carrée mesurant s de côté. Ainsi, ( ) ( ) 22côté sxA ==

et . 0

22∫ ==h

hsdxsV

2

1,5

1

0,5

2 4 6 8 10x

y

2 =y 5 2yx =

Diamètre du cercle

0



b) Selon le théorème de Cavalieri, le volume demeure le même, indépendamment du

nombre de rotations. .2hsV =

13. ( ) ,2

1 xyxR −==

( )

( )

22

0

22 2 2

0 0

22 3

0

d'où

1 1 2 4

2 12

2 22 2 0 0 03 3

V π R x dx

x xπ dx π x dx

x xπ x

ππ

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎛ ⎞⎛ ⎞= − = − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + − − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

∫ ∫

15. ( ) ,4

tan ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== yxyR π d'où ( )

2 21 1

0 0

tan .4πV π R y dy π y dy

⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤= = ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫

Posons ; 4

yu π= alors ,

4dydu π

= d'où dydu 4 π=

.41et 00 π=⇒==⇒= uyuy

( ) [ ]

( )

4 442 2

00 0

Nous avons alors 4 tan 4 sec 1 4 tan

4 1 0 0 4 .4

π ππV u du u du u u

π π

= = − = −

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − − = −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

17. ( ) ,2xxR =

( )

( )

22

0

2 222 4

0 0

25

0

d'où

32 320 .5 5 5

V π R x dx

π x dx π x dx

x ππ π

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

= =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

∫

∫ ∫

2

4

x

y

2xy =

1



19. ( ) ,9 2xxR −=

( )[ ]

( )

( ) ( )[ ] .36927-9273

9

9 9

où d'

3

3-

3

3

3-

3

3-

22

2

3

3-

2

πππ

ππ

π

=+−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

=

∫ ∫

∫

xx

dxxdxx

dxxRV

21. ( ) ,cos xxR =

( )

( )[ ] ( )

22

0

2 22

0 0

20

d'où

cos cos

sin 1 0 .

π

π π

π

V π R x dx

π x dx π x dx

π x π π

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

= =

= = − =

∫

∫ ∫

23. ( ) ,tansec2 xxxR −=

( ) ( )

( )

[ ] [ ]

4 4 22

0 0

42 2

0

44 4 2 2

0 00

d'où 2 sec tan

2 2 2 sec tan sec tan

2 2 2 sec sec tan .

π π

π

ππ π

V π R x dx π x x dx

π x x x x dx

π x x x x dx

⎡ ⎤= = −⎣ ⎦

= − +

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫

∫

∫

Si nous posons xu tan= dans l'intégrale, nous aurons , sec2 dxxdu = de sorte que

2

1

2

1

2

1

2

13

tan3

tansec33

222x

x

u

u

x

x

u

u

xuduudxxx ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡==∫ ∫

[ ] [ ]

.223

1123

12242

0311

22 220

2

3tansec222et

4

0

34

04

0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

ππππ

ππ

ππ

ππ xxxV

y

x-3 3

( ) 9 2/12xy −=

xxy tan sec =0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6x

y

4π

2

2 =y

x

y

0

( ) cos 2/1xy =

2 / π



25. ( ) ,5 2yyR =

( ) ( )

( )( )

1 1 22 2

-1 -1

11 54

-1 -1

d'où 5

5 55

1 -1 2 .

V π R y dy π y dy

yπ y dy π

π π

⎡ ⎤= =⎣ ⎦

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

= − =

∫ ∫

∫

27. ( ) ,2sin2 yyR =

( ) ( )

[ ]

( ) ( )( )

2 2 22

0 0

22

00

d'où 2sin 2

2sin 2 -cos2

- -1 -1 2 .

π π

ππ

V π R y dy π y dy

π y dy π y

π π

⎡ ⎤= =⎣ ⎦

= =

= − =

∫ ∫

∫

29. ( ) ,1

2+

=y

yR

( )

( )

( )

23 32

0 0

33

20 0

2d'où 1

1 14 4 -1+1

14 - -1 3 .4

V π R y dy π dyy

π dy πyy

π π

⎛ ⎞⎡ ⎤= = ⎜ ⎟⎣ ⎦ +⎝ ⎠

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥+⎣ ⎦

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫

31. ( ) ( ) ,coset 1 xxrxR ==

( )( ) ( )( )

( ) [ ]

( ) ( )

22 2

- 2

22

- 2- 2

2

d'où

1 cos sin

1 - -1 2 2 .2 2

π

π

πππ

π

V π R x r x dx

π x dx π x x

π ππ π π π π

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

= − = −

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

∫

x

y

2π 2sin 2 yx =

2

( ) 1 /2 += yx

1

0,4 0,6

2

3

10,8 1,2 1,4 1,6 1,8 2x

y

-1

x

y

1

2 5 yx =

5



33. ( ) ( ) ,et 1 xxrxR ==

( )( ) ( )( )

( )

( )

12 2

0

11 32

0 0

d'où

1 3

1 21 0 0 .3 3

V π R x r x dx

xπ x dx π x

ππ

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

∫

35. Points d'intersection des deux courbes : 0231 22 =−−⇒+=+ xxxx

( )( )2 1 0

2 ou -1.

x x

x x

⇒ − + =

⇒ = =

( ) ( ) ,1et 3 2 +=+= xxrxxR

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )

2 2 22 2 2 2

-1 -1

22 4 2

-1

24 2

-1

25 32

-1

d'où +3 1

6 9 2 1

- 6 8

- 3 85 3

32 8 1 1- 12 16 3 85 3 5 3

33 117- 3 33 .5 5

V π R x r x dx π x x dx

π x x x x dx

π x x x dx

x xπ x x

π

ππ

⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + + − + +

= − + +

⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

∫

∫

y

x

1

1

xy =

-1 2

5

1 2 += xy

3 += xy

y

x



37. ( ) ( ) ,secet 2 xxrxR ==

( )( ) ( )( )

( )

[ ] ( )

( )

422

- 4

42

- 4

4- 4

2

d'où

2 sec

2 tan 1 - -12 2

2 2 .

π

π

π

π

ππ

V π R x r x dx

π x dx

π ππ x x π

π π π π

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

= −

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

= − = −

∫

∫

39. La droite qui passe par ( ) ( )1 ,2et 0 ,1 a pour équation .1−= xy

( ) ( ) 1et 1 =+== yryxyR ,

( )( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

( )

12 2

0

12 2

0

1 12 2

0 0

132

0

d'où

1 1

1 2 1 2

1 41 0 0 .3 3 3

V π R y r y dy

π y dy

π y y dy π y y dy

y ππ y π

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

= + −

= + + − = +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= + = + − + =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

∫

∫

∫ ∫

41. ( ) ( ) ,et 2 yxyryR ===

( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )

42 2

0

4

0

42

0

d'où

4

4 16 8 0 0 8 .2

V π R y r y dy

π y dy

yπ y π π

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

= −

⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − − − =⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

∫

∫

x

y

2

sec xy =

4 / -π 4 / π

y

x

1 −= xy

2

1

y

x2

4

2 xy =



43. ( ) ( ) ,11et 2 yxyryR +=+==

( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( )

12 2

0

1 2

0

1 1

0 0

13 2 2

0

d'où

4 1

4 1 2 3 2

4 4 1 73 3 0 0 0 .3 2 3 2 6

V π R y r y dy

π y dy

π y y dy π y y dy

y y ππ y π

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

= − − − = − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − − = − − − − − =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

∫

∫

∫ ∫

45. a) ( ) ( ) ,et 2 xxrxR ==

( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )

42 2

0

4

0

42

0

d'où

4

4 16 8 0 0 8 .2

V π R x r x dx

π x dx

xπ x π π

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

= −

⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − − − =⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

∫

∫

b) ( ) ,2yxyR ==

( ) ( )2 2 222 2 4

0 0 0

25

0

d'où

32 320 .5 5 5

V π R y dy π y dy π y dy

y ππ π

⎡ ⎤= = =⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = − =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

c) ( ) ,22 xyxR −=−=

( ) ( ) ( )

( )

4 4 422

0 0 0

43 2 2

0

d'où 2 4 4

4 43 2 2

8 816 8 8 0 0 0 .3 3

V π R x dx π x dx π x x dx

x xπ x

ππ

⎡ ⎤= = − = − +⎣ ⎦

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= − ⋅ + − − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

2 xy =

1-1

1

y

y

x

2

4

xy =



d) ( ) ( ) ,44et 4 2yxyryR −=−==

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2 22 2 2

0 0

2 22 4 2 4

0 0

23 5

0

d'où 16 4

16 16 8 8

8 64 32 2240 0 .3 5 3 5 15

V π R y r y dy π y dy

π y y dy π y y dy

y y ππ π

⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − + − = −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − = − − − =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

47. a) ( ) ,11 2xyxR −=−=

( )

( )

( )

12

-1

1 22

-1

11 3 52 4

-1 -1

d'où

1

21 2 3 5

2 1 2 1 4 2 161 -1 2 .3 5 3 5 3 5 15

V π R x dx

π x dx

x xπ x x dx π x

ππ π

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

= −

⎡ ⎤= − + = − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

∫

∫

b) ( ) ( ) ,1et 22 2 =−=−= xrxyxR

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1 1 22 2 2

-1 -1

1 12 4 2 4

-1 -1

13 5

-1

d'où 2 1

4 4 1 3 4

433 5

4 1 4 1 563 -3 .3 5 3 5 15

V π R x r x dx π x dx

π x x dx π x x dx

x xπ x

ππ

⎛ ⎞⎡ ⎤= − = − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠

= − + − = − +

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

1-1

1

x

y

2 xy =



c) ( ) ( ) ,11et 2 2xyxrxR +=+==

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1 1 22 2 2

-1 -1

1 12 4 2 4

-1 -1

13 5

-1

d'où 4 1

4 1 2 3 2

2 2 1 2 1 643 3 -3 .3 5 3 5 3 5 15


π x x dx π x x dx

x x ππ x π

⎛ ⎞⎡ ⎤= − = − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠

= − − − = − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = − − − + + =⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

49. ( ) ( ) ,et 2222 yabyryabyR −−=−+=

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

-

2 22 2 2 2

-

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

-

2 2

-

2 2

-

22 2

d'où

2 2

4

4

4 aire d'un demi-cercle de rayon

4 2 .2

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

V π R y r y dy

π b a y b a y dy

π b b a y a y b b a y a y dy

π b a y dy

πb a y dy

πb a

πaπb π a b

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= + − − − −⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤= + − + − − − − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

= −

= −

= ⋅

= ⋅ =

∫

∫

∫

∫

∫

y

xa b

r(y)

R(y)222 ayx =+

a−



51. a) ( ) ,22 yayR −=

( )

( )

( )

( ) ( )

2

-

2 2

-

32

-

3 32 3 3

2 3 3 2 2 3 3

2 3 2

d'où

3

-3 3

3 3 3 3 23

3 3.

3 3

h a

a

h a

a

h a

a

V π R y dy

π a y dy

yπ a y

h a aπ a h a a

a h a h h a ha a aπ

π h a h πh a h

−

−

−

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

= −

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤− − + − + += ⎢ ⎥

⎣ ⎦

− −= =

∫

∫

b) Il s'agit de trouver dtdh lorsque h=4m, sachant que 2,0=

dtdV m3/s et que a=5m.

En a), ( )2 3215

5 ,3 3

πh h πhV πh−

= = − d'où ( ).1010 2 hhhhdhdV

−=−= πππ

Or, ( )10 0,2dV dV dh dhπh hdt dh dt dt

= ⋅ = − ⋅ = de m3/s, de sorte que ( ).102,0

hhdtdh

−=π

Lorsque ( )0,2 0,2 14 m, m/s

4 10 4 24 120dhhdt π π π

= = = =⋅ ⋅ −

.

53. À une hauteur h donnée, la section transversale d'un cylindre circulaire droit duquel a été enlevé

un cône est un disque troué de rayon extérieur R et de rayon intérieur h. L'aire 1A du disque

troué est donnée par ( ).22221 hRhRA −=−= πππ

À la même hauteur, la section transversale de l'hémisphère est un disque de rayon 22 hR −

(voir la figure) et son aire 2A est donnée par ( ).222

222 hRhRA −=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −= ππ Ainsi, .21 AA =

y

xa

R(y)

222 ayx =+

ah −a−

a −



De plus, les hauteurs des deux solides sont égales à R. Selon le théorème du volume de

Cavalieri, les volumes des deux solides sont égaux et

.32

31 322

cônecylindrehémisphère RRRRRVVV πππ ==⋅−⋅=−=

55. ( ) ,256 2yyR −=

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

-72

-16

-7-7 32

-16 -16

3 3

3 3

d'où

256 2563

-7 -16256 -7 256 -16

3 3

343 4096-1792+ 4096 1053 cm 3308 cm .3 3

V π R y dy

yπ y dy π y

π

π π

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤= + − = ≈⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

∫

La capacité du wok dépassera donc 3 L.

57. a) ( ) , sin xcxR −=

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2 2 2 2

0 0 0

2 2

00

2

2

d'où sin 2 sin sin

1 cos 2 1 sin 22 sin 2 cos2 2 4

2 -1 0 0 2 1 0 02

4 , qui est fonction de .2

π π π

ππ

V π R x dx π c x dx π c c x x dx

x xπ c c x dx π c x c x x

ππ c π c c

ππ c π c c

⎡ ⎤= = − = − +⎣ ⎦

−⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − + = + + −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= + + − − + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫

Posons ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+= cccV 4

22 πππ Alors ( ) [ ] ,2 lorsque 042

πππ ==−⋅=′ cccV qui est donc

un nombre critique de la fonction.

Il faut maintenant calculer ( )cV en ce nombre critique et aux extrémités 0 et 1, pour

trouver le minimum absolu ou le maximum absolu de la fonction.



,42

242

42 2

2 −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅−+⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

πππ

ππ

πV

( ) ( ) .42

342

1et 2

02

0022

ππππππππ −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+= VV

Le plus petit de ces nombres est ,42

2

−π qui est atteint lorsque

π2

=c (voir le graphique

ci-dessous). b) En a), la valeur maximale de V est atteinte à l'une des extrémités et ( ) ( ),10 VV > de

sorte que 2

2π est le volume maximal, obtenu lorsque c=0.

c) Le graphe ci-contre représente le volume

du solide en fonction de c, pour .10 ≤≤ c

Lorsque c s'éloigne de [ ]1 ,0 , le volume

s'accroît indéfiniment (parabole orientée

vers le haut).

Si nous approximons le solide par un

ensemble de disques pleins, nous constatons

que le rayon d'un disque représentatif s'accroît

indéfiniment lorsque c s'éloigne de [ ]0, 1 .

59. a) Les aires sont obtenues des circonférences par le calcul ,2πCr = d'où

.42

222

ππππ CCrA =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

Nous obtenons ainsi les aires suivantes mesurées en cm2 : 9,3 ; 6,4 ; 6,2 ; 8,3 ; 12,6 ;

19,4 ; 28,1 ; 37,1 ; 42,8 ; 42,8 ; 37,1 ; 25,8 ; 12,6.

b) Si nous désignons par C(y) la circonférence du vase en fonction de la hauteur y, alors

l'aire d'une section horizontale est ( ) ( ) ( )( )

22 122

0

1et .2 4 4

C yC yA y π V C y dy

π π π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤= = =⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

V

c

/2 2π ( ) 4 2 2 ccV −+= πππ

π/2 1



c) ( )12

2

0

1 4

V C y dyπ

⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫

(

)

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

3

1 12 0 10,8 2 9,0 8,8 10,2 12,6 15,64 24

18,8 21,6 23,2 23,2 21,6 18,0 12,6

277,7 cm .

π−⎛ ⎞ ⎡≈ + + + + +⎜ ⎟ ⎣⎝ ⎠

⎤+ + + + + + + ⎦

≈

d) ( )12

2

0

1 4

V C y dyπ

⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

3

1 12 0 10,8 4 9,0 2 8,8 4 10,2 2 12,64 36

4 15,6 2 18,8 4 21,6 2 23,2 4 23,2

+2 21,6 4 18,0 12,6

278,3 cm .

π−⎛ ⎞ ⎡≈ + + + +⎜ ⎟ ⎣⎝ ⎠

+ + + + +

⎤+ + ⎦

≈

Nous savons que l'erreur liée à la méthode de Simpson est proportionnelle à ,4h

alors que l'erreur liée à la méthode des trapèzes est proportionnelle à .2h Ici, les

deux méthodes sont comparables puisque .où d' ,112

012 24 hhh ==−

=



Exercices 2.3 - Calcul de volumes par la méthode des tubes

1. [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube b

a

V dx= ∫

( ) ( )

22 22 3 2 4

0 0 0

2 1 2 24 4 2 16

2 2 1 0 0 6

x x x xπx dx π x dx π

π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= + − + =⎣ ⎦

∫ ∫

3. [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube d

c

V dy= ∫

( )( ) ππ

πππ

2012

42 2 2

2

0

42

0

2

0

32

=−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=== ∫ ∫

ydyydyyy


a

V dx= ∫

( )

( )3

14183

2

231 12 12

3

0

2323

0

3

0

22

ππ

πππ

=−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +=+=+= ∫ ∫

xdxxxdxxx


a

V dx= ∫

( ) ππ

π

π

π

808

33

2

32

2

-2

2

0

3

2

0

2

2

0

=−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∫

∫

x

dxx

dxxxx

2x

y

x=y

/2- xy =-1

2



9. xyxy −== 2et 2 se coupent en ( ).1 ,1

[ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube b

a

V dx= ∫

( )

( )

( )6

500041

3112

432

22

22

1

0

432

1

0

32

1

0

2

ππ

π

π

π

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

−−=

−−=

∫

∫

xxx

dxxxx

dxxxx


a

V dx= ∫

( )

[ ]⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=

=

=

∫

∫

ee

e

e

dxex

dxex

x

x

x

111-

-

2--

2

1

0-

1

0

-

1

0

-

2

2

2

ππ

π

π

π

13. a) Si ,0 π≤< x alors ( ) .sinsin xx

xxxfx =⋅=

Si ,0=x alors ( ) .sin0sin0101 xxxfx ===⋅=⋅=

Par conséquent, ( ) xxfx sin = pour .0 π≤≤ x

b) [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube b

a

V dx= ∫

( ) [ ]

( ) ( )

00 0

2 2 sin 2 -cos

2 - -1 -1 4

π πππx f x dx π x dx π x

π π

= = =

⎡ ⎤= − =⎣ ⎦

∫ ∫

y

1

2 xy =

2

1

xy 2 −=

x



15. [ ][ ]dyVd

c

du tubehauteur du tube ncecirconfére∫=

( )

( )

( ) ( )

2

0

23 2 2

0

25 2 3

0

2 -

2

225 3

2 8 2 1 162 4 2 0 0 16 3 2 55 3 5 3 15

πy y y dy

π y y dy

y yπ

ππ π

⎡ ⎤= −⎣ ⎦

= +

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅ + − + = + = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠

∫

∫


c

V dy= ∫

( )

( )

( )3

80043

162

4322

22

22

2

0

43

2

0

32

2

0

2

ππ

π

π

π

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−=

−=

∫

∫

yy

dyyy

dyyyy


c

V dy= ∫

( )[ ]

340

314

34

22

-2

1

0

3

1

0

2

1

0

πππ

π

π

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=

−=

∫

∫

y

dyy

dyyyy

y

x-2 2

yx −= yx =

2

x

y

1

22 2 yyx −=

y

xy −= xy =

1-1

1



21. 2et −== xyxy se coupent en ( )2 ,4

[ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube d

c

V dy= ∫

( )

( )

22

0

22 3

0

23 42

0

2 2

2 2

23 4

8 162 4 4 0 0 03 3

πy y y dy

π y y y dy

y yπ y

ππ

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

= + −

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= + − − + − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

∫

23. a) [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube d

c

V dy= ∫

( ) ( )

( )5

60051

4124

5424

24 122

1

0

54

1

0

431

0

32

πππ

ππ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−=−⋅= ∫∫

yy

dyyydyyyy

b) [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube d

c

V dy= ∫

( ) ( ) ( )

( )

1 12 3 2 3 3 4

0 0

13 4 5

0

2 1 12 24

2 1 1 124 24 0 0 03 4 5 3 2 5

1 42430 5

π y y y dy π y y y y dy

y y yπ π

ππ

⎡ ⎤= − − = − − +⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = − + − − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

y

x4

2 xy =

2 −= xy



c) [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube d

c

V dy= ∫

( )

( )

1 12 3 2 3 3 4

0 0

13 4 5

0

8 8 82 12 24 5 5 5

8 13 8 13 124 24 0 0 05 3 5 4 5 15 20 5

124 212


y y yπ π

π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= − − = − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = − + − − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

d) [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube d

c

V dy= ∫

( )

( )

1 12 3 3 2 4 3

0 0

14 3 5

0

2 2 22 12 24 5 5 5

3 2 3 2 124 24 0 0 05 4 5 3 5 20 15 5

124 212


y y yπ π

π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= + − = + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= + − = + − − + −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

25. Les deux courbes se coupent en ( ).1 ,1

Autour de l'axe des x

a) Méthode des tubes


c

V dy= ∫

( )

( ) ( )

152

0031

522

3522 2

2

1

0

3251

0

223

1

0

π

πππ

π

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=

−=

∫

∫

yydyyy

dyyyy



b) Méthode des disques troués

( ) ( ) ,et 2xxrxxR == d'où

( )( ) ( )( )1

2 2

0

V π R x r x dx⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫

( ) ( )

.152

0051

31

53

1

0

531

0

42

π

πππ

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−= ∫

xxdxxx

Autour de l'axe des y a) Méthode des tubes


a

V dx= ∫

( )

( ) ( )

6

0041

312

432 2

2

1

0

431

0

32

1

0

2

π

πππ

π

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=

−=

∫

∫

xxdxxx

dxxxx


( ) ( ) ,et yyryyR == d'où

( )( ) ( )( )1

2 2

0

V π R y r y dy⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫

( ) ( )

11 2 32

0 0

1 1 0 02 3 2 3

.6

y yπ y y dy π π

π

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − = − = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

=

∫



27. a) Méthode des disques troués

( ) ( ) ,et 2 xxrxR == d'où

( )( ) ( )( )2

2 2

1

V π R x r x dx⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫

( )

.3

5

314

388

34 4

2

1

32

1

2

π

πππ

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−= ∫

xxdxx

b) Méthode des tubes


a

V dx= ∫

( )

( )

34

311

3842

32 22

22

2

1

32

2

1

2

2

1

π

πππ

π

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=

−=

∫

∫

xxdxxx

dxxx

c) Méthode des tubes

[ ][ ]

( )2

1

2 22 2

1 1

23

1

circonférence du tube hauteur du tube

102 23

20 10 20 162 2 2 3 3 3 3

20 8 40 32 8 20 8 12 23 3 3 3 3 3 3 3 3

2

b

a

V dx

π x x dx

x xπ x x dx π x dx

x x xπ π

π

=

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − + − − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

=

∫

∫

∫ ∫

xy =

y

x1 2

1

2



d) Méthode des disques troués

( ) ( ) oùd' ,1et 112 −==−= xxrxR

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( )

22 2

1

2 222 2

1 1

22 32 2

1 1

1 1 1 2 1

8 12 4 13 3 3

23

V π R x r x dx

π x dx π x x dx

xπ x x dx π x π

π

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − = − + −⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

=

∫

∫ ∫

∫

29. La courbe 3yyx −= coupe l'axe des y en ( ) ( ).1 ,0et 0 ,0

a) Méthode des tubes


c

V dy= ∫

( )

( ) ( )

13

0

11 3 52 4

0 0

2

1 12 2 2 0 03 5 3 5

415

πy y y dy

y yπ y y dy π π

π

= −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − = − = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

=

∫

∫


[ ][ ]

( )( )

( )

( )

13

0

11 2 3 4 52 3 4

0 0


2 1

2 22 3 4 5

1 1 1 12 0 0 0 02 3 4 5

730

d

e

V dy

π y y y dy

y y y yπ y y y y dy π

π

π

=

= − −

⎡ ⎤= − − + = − − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − + − − − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

=

∫

∫

∫

x

y

1 3 yyx −=



31. Les courbes 8et 2xyxy == se coupent en ( ) ( ).2 ,4et 0 ,0

a) Méthode des disques troués

( ) ( ) ,8et 2xxrxxR == d'où

( )( ) ( )( )[ ]dxxrxRV 4

0

22∫ −= π

.5

24

3202

64

4

0

524

0

4

π

ππ

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫

xxdxxx



a

V dx= ∫

( )

548

00324

5422

32522

8

2 8

2

4254

0

425

4

0

323

4

0

2

π

ππ

ππ

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫∫

xx

dxxxdxxxx

33. La courbe 411 xy = coupe la droite 1=y au point ( ).1 ,1

a) ( ) ( ) ,1et 1 4-141 === xrxxxR d'où

( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )

12 2

1 16

1 2-1 4 2

1 16

1 1-1 2 1 21 16

1 16

1

1 11 2 2 1 24 16

9 .16

V π R x r x dx

π x dx

π x dx π x x π

π

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤= − = − = − − ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

=

∫

∫

∫

y

x4

2 xy =

8/ 2xy =

0,2 0,4 0,6 0,8 1

0,5

1,5

1

1 =y

41 −= xy

y

x



b) Méthode des tubes, avec 2=y lorsque .161=x


c

V dy= ∫

2

41

22 -2 2-3

1 1

1 12 16

2 216 -2 32

1 1 1 1 -4 4 16 12 - - 28 8 2 32 32

9 .16

πy dyy

y y yπ y dy π

π π

π

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞= − = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ − + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦

=

∫

∫

35. Méthode des disques

21 VVV −= où

( )( )1 1

21 1

-2 -2

2 3

xV π R x dx π dx+⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

11 2

-2 -2

2 2 3 3 6 3

1 2 4 4 36 3 6 3 2

x x xπ dx π

ππ

⎡ ⎤⎛ ⎞= + = +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

et ( )( )11 1 22

2 20 0 0

1 0 .2 2 2x πV π R x dx πx dx π π

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫

Donc .22

321 πππ

=−=−= VVV

Méthode des disques troués 21 VVV += où

( )( ) ( )( )0 0

2 21 1 1

-2 -2

2 0 3

xV π R x r x dx π dx+⎛ ⎞⎡ ⎤= − = −⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫

( )3

234

3200

32

6

32

3

0

2-

20

2-

ππ

ππ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += ∫

xxdxx



et ( )( ) ( )( )1 1

2 22 2 2

0 0

2 3

xV π R x r x dx π x dx⎡ ⎤+⎛ ⎞⎡ ⎤= − = −⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

( )3

0031

32

332

32

32

32

3

1

0

21

0

1

0

ππ

πππ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= ∫∫

xxdxxdxxx

.33

221 πππ

=+=+= VVV

Méthode des tubes


c

V dy= ∫

( )

( )

( )

12 2

0

11 43 2

0 0

2 3 2

2 2 2 22

12 1 0 02

πy y y dy

yπ y y dy π y

π

π

⎡ ⎤= − −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

=

∫

∫

Les méthodes des disques et des disques troués requièrent le calcul de deux intégrales,

alors que la méthode des tubes ne nécessite qu'une intégrale. De plus, cette intégrale

est facile à calculer. La méthode des tubes est donc préférable dans ce cas.

134 Chapitre 2 Applications de l'intégrale


Exercices 2.4 - Longueur des courbes planes et aire des surfaces de révolution

1. Puisque ( ) 22223

31 2212 +=⋅+⋅= xxxx

dxdy est continue sur l'intervalle [ ],3 ,0 la courbe est

lisse sur cet intervalle.

( )

( ) ( )

( ) ( ) 1200393

1 1 1

21 21

21 1

3

0

3

3

0

23

0

23

0

22

3

0

243

0

22

3

0

22

2

=+−+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

+=+=+=

++=++=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

∫∫∫

∫∫

∫∫

xx

dxxdxxdxx

dxxxdxxx

dxxxdxdxdyL

b

a

3. Puisque 22

41y

ydydx

−= est continue sur l'intervalle [ ],3 ,1 la courbe est lisse sur

cet intervalle.

653

41

31

1219

41

3

4

1 4

1 4

1

16

121

161

211

4

11 1

3

1

3

3

12

23

12

23

1

2

22

3

14

43

14

4

3

1

2

22

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

++=+−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∫∫∫

∫∫

∫∫

yy

dyy

ydyy

ydyy

y

dyy

ydyy

y

dyy

ydydydxL

d

c

x

y

3

( ) 232

32

+

=x

y

1

y

yyx 4

1 3 3

+=

1

3

4x



5. 33

41y

ydydx

−= est continue sur l'intervalle [ ].2 ,1 Donc la courbe est lisse sur

cet intervalle et

32123

81

41

3214

81

4

41

41

41

16

121

161

211

411 1

2

12

4

2

1

3-32

13

32

1

2

33

2

16

62

16

6

2

1

2

33

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

++=+−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∫∫∫

∫∫

∫∫

yy

dyyydyy

ydyy

y

dyy

ydyy

y

dyy

ydydydxL

d

c

7. 313131-31

41

32

83

34

43

xxxx

dxdy

−=⋅−⋅= est continue sur l'intervalle [ ].8 ,1 Donc la courbe est

lisse sur cet intervalle et

899

83

434

8316

43

23

41

43

41

41

41

16

121

161

211

4

11 1

8

1

3234

8

1

31-318

131

318

1

2

3131

8

132

328

132

32

8

1

2

3131

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

++=+−+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

∫∫∫

∫∫

∫∫

xx

dxxxdxx

xdxx

x

dxx

xdxx

x

dxx

xdxdxdyL

b

a

2

4

81 4 y

yx +=

1

2

y

x

41 2 3 5 6 7 8 9

20

15

10

5

x

y

5 83 4

3 3234

+−= xxy



9. ∫ −=−=y

ydttdyd

dydx

0

44 1sec 1sec est continue sur l'intervalle [ ].4 ,4- ππ Donc la courbe

est lisse sur cet intervalle et

( )

[ ] ( ) ( ) ( )

2 4 24

- 4

4 44 4

- 4 - 4

4 42 2

- 4 - 4

4- 4

1 1 sec 1

1 sec 1 sec

sec sec

tan tan 4 tan - 4 1 -1 2.

πd

c π

π π

π π

π π

π π

ππ

dxL dy y dydy

y dy y dy

y dy y dy

y π π

⎛ ⎞= + = + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + − =

= =

= = − = − =

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

11. ( )2xxfy == est une fonction non négative et lisse sur [ ],4 ,0 puisque ( )

21

=′ xf est continue sur

cet intervalle.

( ) ππππ

ππ

540825

225

25

211

22 12

4

0

24

0

4

0

22

=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

∫

∫∫

xdxx

dxxdxdxdyyA

b

a

Vérification

Aire de la surface d'un cône

.5424

222=

apothème2

base la de ncecirconfére

22 ππ=+

⋅

×=

4

2

y

x

2 xy =

-0,5 0,5

4π

4π−

y

x



13. ( )21

2+==

xxfy est une fonction non négative et lisse sur [ ],3 ,1 puisque ( )21

=′ xf est continue

sur cet intervalle.

( )

ππ

πππ

ππ

53625

1213

29

25

225 1

25

211

21

22 12

3

1

23

1

3

1

22

=⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

∫

∫∫

xxdxx

dxxdxdxdyyA

b

a

Vérification

La courbe 21

2+=

xy coupe l'axe des x en -1.=x

Aire de la surface du tronc de cône entre 3et 1 == xx

πππ

ππ

53554

122

12242

221et 1- entre cônedu surface la de aire3et 1- entre cônedu surface la de aire

2222

=−=

+⋅

−+⋅

=

−=

15. Puisque ( )3

2xxf =′ est continue sur [ ] ( )xf ,2 ,0 est lisse sur cet intervalle. De plus, elle est non

négative sur l'intervalle.

( )

( ) [ ]

8198

27125813

9254

94427

2 +9272

3

19

2 12

2

0

234

2

0

21432

0

43

2

0

2232

π

ππ

ππ

ππ

=

−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +=

+×

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

∫∫

∫∫

x

dxxxdxxx

dxxxdxdxdyyA

b

a

3

2

y

x1-1

21

-1

1

x

y

9 3xy =



17. ( )22 2

12222

1

xx

xxxxdx

dy

−

−=−⋅

−= est continue sur [ [0, 2 , donc la courbe est lisse sur cet

intervalle*.

De plus, la fonction est non négative sur l'intervalle [ ],2 ,0

( ) ( )

[ ] ( ) ππππ

ππ

ππ

212222

2122 2

1222

2

1+122 12

21

2

1

2

1

222

12

222

2

1

2

2

22

=−===

+−+−=−

−+−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

∫

∫∫

∫∫

xdx

dxxxxxdxxx

xxxxx

dxxx

xxxdxdxdyyA

b

a

*La dérivée n'est pas définie au point 2, de sorte que l'intégrale utilisée est une intégrale impropre

du 2e type (voir la section 3.5). Cependant, comme la discontinuité est située en une des bornes

d'intégration et que l'intégrande simplifiée ne comporte plus

l'expression ,2 2xx − l'intégrale peut être calculée.

En fait, l'aire recherchée est celle d'une demi-sphère

de centre ( )0 ,1 et de rayon 1. Cette aire ( ) ,2214 2

ππ==

ce qui confirme le résultat obtenu précédemment.

19. 2ydydx

= est continue sur [ ],1 ,0 donc la courbe est lisse sur cet intervalle. De plus, la fonction est

non négative sur l'intervalle [ ].1,0

( )

( )

( )

2 1 3 22

0

1 1 1 23 4 3 4

0 0

13 24

0

2 1 2 1 3

2 21 4 1 3 3 4

2 1

6 3

2 2 19

d

c

dx yA πx dy π y dydy

π πy y dy y y dy

yπ

π

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + = +⋅

⎡ ⎤+⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= −⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

21

1

x

y

2 2 x xy −=

1

1

y

x

3 3yx =



21. yydy

dx−

⋅−

=4

1-=-1422 est continue sur ,

415 ,0 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ donc la courbe est lisse sur cet intervalle.

De plus, la fonction est non négative sur cet intervalle.

( )

( ) ( )( )

3535

5453

-3

524-

51-1-

4 4

1+-444

41-1422 12

2323415

0

23

415

0

21415

0

415

0

22

π

ππ

ππ

ππ

=

−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

−⋅=−

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+⋅−⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∫∫

∫∫

y

dyydyy

yy

dyy

ydydydxxA

d

c

23. Nous cherchons ( )xfy = telle que .0pour 120

2

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= ∫ adx

dxdya

a

Si dxdy est constante, alors ( ),012

2

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= a

dxdya de sorte que ,12

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

dxdy

2 2

2 1 , 1 et 1.dy dy dydx dx dx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = = ±⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,Cxy +±= où C est une constante arbitraire, est la famille des fonctions recherchées.

25. a) xdx

dy412

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ de sorte que .et

21 Cxy

xdxdy

+==

Puisque la courbe passe par le point ( ) .0et 11 ,1 ,1 =+= CC

La courbe recherchée est celle de la fonction ,xy = entre les points ( ) ( ).2 ,4et 1 ,1

b) Une seule, puisque nous connaissons à la fois la dérivée de la fonction et la valeur

de la fonction en un point donné.



27. 2222

-2-2

1

xa

xxxadx

dy

−=⋅

−= est continue sur ] [, ,- aa donc la courbe est lisse sur cet

intervalle*.

De plus, la fonction est non négative sur l'intervalle [ ]. , aa−

[ ] ( )

222 2

2 2-

2 2 22 2 2

2 2- - - -

2-

-2 1 2 1+

2 2 2 2

2 2 - 4

b a

a a

a a a a

a a a a

aa

dy xA πy dx π a x dxdx a x

a x xπ a x dx π a dx π a dx πa dxa x

πa x πa a a πa

⎛ ⎞⎛ ⎞= + = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ −⎝ ⎠

− += − = = =

−

⎡ ⎤= = − =⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

*La dérivée n'est pas définie aux points ,et - aa de sorte que l'intégrale utilisée est une intégrale

impropre du 2e type (voir la section 3.5). Cependant, comme les discontinuités sont situées aux

bornes d'intégration et que l'intégrande simplifiée ne comporte plus l'expression ,22 xa −

l'intégrale peut être calculée.

29. a) Puisque 21-

xdxdy

= est continue sur l'intervalle [ ],2 ,1 la fonction xy 1= est lisse sur cet

intervalle.

2 22 2

2 41 1

-1 11 1 1 b

a

dyL dx dx dxdx x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

b)

c) 1,1321

21

1

x

y



31. a) Puisque ydydx cos= est continue sur l'intervalle [ ], ,0 π la fonction yx sin= est lisse sur

cet intervalle.

2

2

0

1 1 cos d π

c

dxL dy y dydy

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

b)

c) 3,8202

33. a) ,222dydxy =+ de sorte que .1+= y

dydx La dérivée est continue pour 31- ≤≤ y et la

courbe est lisse sur cet intervalle.

( ) dyydydydxL

d

c

11 13

1-

22

∫∫ ++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

b)

c) 9,2936

2

1

3

2,5

1,5

0,5

0,2 0,4 0,6 0,8 10

yx sin =

x

y

0

1

2

3

-1 1 2 3 4 5 6 7

-1

y

x

1 2 2 2+=+ xyy



y = tan t dto

x∫

35. a) ∫ ==x

xdttdxd

dxdy

0

tan tan est continue sur [ ],6 ,0 π de sorte que la courbe est lisse sur cet

intervalle.

dxxdxdxdyL

b

a

tan1 16

0

22

∫∫ +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

π

b)

c) 0,5493

Note : La valeur exacte de l'intégrale s'obtient sans trop de difficulté. 6 6 6

620

0 0 0

1 tan sec sec ln sec tan π π π

πx dx x dx x dx x x⎡ ⎤+ = = = +⎣ ⎦∫ ∫ ∫

( )

ln sec 6 tan 6 ln sec0 tan 0

2 1ln ln 1+0 3 3

ln 3

π π= + − +

= + −

=

37. a) xdxdy 2sec= est continue sur [ ],4 ,4- ππ de sorte que la courbe est lisse sur cet

intervalle. De plus, la fonction xtan est symétrique par rapport à l'origine, d'où l'aire de la

surface de révolution entre 4et 4- ππ == xx est égale au double de l'aire de la

surface de révolution entre .4et 0 π== xx

0,1 0,2 0,3 0,4 0,50

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

x

y



Ainsi, ( )2 4

22

0

2 1 2 2 tan 1 sec πb

a

dyA πy dx π x x dxdx

⎛ ⎞= + = ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

. sec1tan44

0

4 dxxx∫ +=π

π

b)

c) 7,6782

39. a) ,1-et 12ydy

dxy

x == de sorte que la dérivée est continue sur [ ]2 ,1 et que la courbe

est lisse sur l'intervalle. De plus, la fonction est positive sur l'intervalle.

dyyy

dyyy

dydydxxA

d

c

1112

1-112 12

2

14

2

1

2

2

2

∫

∫∫

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

π

ππ

-1

1

4π4π−

xy tan=

y

x



b)

c) 5,0164

41. a) ( ) ( ),32121

dxdyx

dxd

=+ d'où .-

et 02

12

1xy

dxdy

dxdy

yx==⋅+ La dérivée

dxdy est

continue sur l'intervalle [ ],4 ,1 donc la fonction est lisse sur cet intervalle. De

plus, la fonction est non négative sur l'intervalle.

( )

( ) ( )∫

∫∫

−+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

4

1

221-2

4

1

22

2

31132

3+132 12

dxxx

dxx

xxdxdxdyyA

b

a

π

ππ

b)

c) 63,3659

1 2

1

2

x

y

xy 1 =



43. La longueur de la courbe ,200où ,203sin ≤≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= xxy π est donnée par . 1

20

0

2

dxdxdyL ∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

203

203cos ππ

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= x

dxdy est une fonction continue sur [ ],20 ,0 donc la courbe est lisse sur cet

intervalle.

0679,21 203cos

40091

203cos

2031

20

0

2220

0

2

≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+= ∫∫ dxxdxxL ππππ (intégration numérique).

45. ( ) ( ),25622

dydyx

dyd

=+ d'où .-et 022xy

dydxy

dydxx ==+⋅

La dérivée est continue sur l'intervalle [ ],7- 16,- de sorte que la courbe est lisse sur cet intervalle. De plus, la fonction est non positive partout sur l'intervalle.

[ ] ( )( )

2

7-16-

7-

16-

2

7-

16-

2

2

27-

16-

2

2

2

7-

16-

22

cm 288

16-7-32--32= 162-

256

2562562-

256

12562-

256-

-1256-2 12

π

πππ

π

π

ππ

=

−=⋅=

−−=

−+−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+−⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∫

∫

∫

∫∫

ydy

dyy

y

dyy

yy

dyy

yydydydxxA

d

c

3cm 24,4505,0288 =×= πV

L 2,226cm 67,194 226 3 ==TOTALV

Il devra donc y avoir 226,2 L de chaque produit.



Approximation par des polygones Pour les numéros 47 à 52, nous allons utiliser une procédure qui trace le trajet polygonal et calcule l'approximation de la longueur d'arc pour un nombre donné de sous-intervalles. Cette procédure n'est pas disponible dans la palette, il vous faut donc la taper au début pour la rendre fonctionnelle. Elle prend en paramètres la fonction, la variable, les bornes de l'intervalle et le nombre de sous-intervalles.

{ }{ }

{ }

TrajetPolygonalLongueurArc f_, x_, a_, b_, n_ : =

Module h, j, Dessin, Valx, Valy, Approx ,

b a h = N ;n

Valx = Table a+j h, j, 0, n ;

Valy = Table f /

⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡⎣

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦

[ ] { }

[ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }{ } { }

[ ] [ ]( ) { }

{ } { }

22

. x Valx j , j, l, n+1 ;

Ligne Valx j , Valy j , Valx j+1 , Valy j+1 , j, 1, n ;

Approx = Table h Valy j Valy j+1 , j, 1, n ;

Tracer f, x, a, b , Style bleu , Imag

⎡ ⎡ ⎤ ⎤→ ⎦⎣ ⎦⎣

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

→ { }

( ) ]e Tout, Epilog Dessin ;

Plus@@Approx // N

⎡ ⎤→ →⎣ ⎦

Exercices réalisés avec Mathématica 47. a) et b) [ ] 2f x_ : = 1 x−

[ ] { }

[ ] { }[ ] { }

a = -1 ; b = 1 ;

TrajetPolygonalLongueurArc f x , x, a, b, 2



⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦

c) [ ] [ ] 2df x

L x_ 1 // Simplifierdx

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

[ ]

[ ]

1

-1LongueurArc = L x dx

N LongueurArc

∫



49. a) et b) [ ]Nouveau f, L, LongueurArc, a, b

[ ]

[ ] { }

[ ] { }

[ ] { }

2f x_ : = Log 1 x

1a = 0 ; b = ;2




⎡ ⎤−⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦

c) [ ] [ ] 2df x

L x_ 1 // SimplifierPlusdx

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

[ ]

[ ]

b

aLongueurArc = NIntégrer L x dx

N LongueurArc

⎡ ⎤⎣ ⎦∫

51. a) et b) [ ]Nouveau f, L, LongueurArc, a, b

[ ]

[ ] { }

[ ] { }

[ ] { }

2x 1f x_ : =

4x 1-1a = ; b = 1 ;2




−+

⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦

c) [ ] [ ] 2df x

L x_ 1 // SimplifierPlusdx

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

[ ] { }LongueurArc = NIntégrer L x , x, a, b⎡ ⎤⎣ ⎦



Approximation par des troncs de cône

Pour les numéros 53 à 56 nous utilisons une procédure semblable à la procédure précédente. Elle trace

le trajet polygonal et calcule l'approximation de l'aire de la surface engendrée par la rotation d'une

courbe autour de l'axe des x. Vous devez lui fournir les mêmes paramètres que la procédure précédente.

[ ]{ }

{ }

Nouveau f, L, LongueurArc, TrajePolygonalLongueurArc

TrajetPolygonalAireSurfaceRévolution f_, x_, a_, b_, n_ : =

Module h, j, Dessin, Valx, Valy, Approx ,

b-a h = N ;n

⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡⎣

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

{ }

[ ] { }

[

[ ] [ ] [ ] [ ]{ }{ }{

Valx = Table a+j h, j, 0, n ;

Valy = Table f / . x valx j , j, 1, n+1 ;

Dessin = Table

Ligne Valx j , Valy j , Valx j+1 , Valy j+1 , j,

⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤→ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎥⎦ { }

[ ] [ ]( )[ ] [ ]( ) { }

{ } { } { }( ) ]

22

1, n ;

Approx=Table Abs Valy j Abs j+1

h Valy j Valy j+1 , j, 1,n ;

Tracer f, x, a, b , Style bleu , Image Tout, Epilog Dessin ;

Plus@@Approx / / N

π

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎡ ⎤ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎦⎢⎣

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤+ − ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤→ → →⎣ ⎦

53. a) et b) [ ] [ ]f x_ : = Sin x

[ ] { }

[ ] { }

[ ] { }

a = 0 ; b = ;

TrajetPolygonalAireSurfaceRévolution f x , x, a, b, 2



π

⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦

c) [ ] [ ] 2df x

L x_ = 1+dx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

[ ] [ ]

[ ]

b

aAireSurfaceRévolution= 2 f x L x dx

N AireSurfaceRévolution

π∫



55. a) et b) [ ]Nouveau f, L, AireSurfaceRévolution, a, b

[ ] [ ]

[ ] { }

[ ] { }

[ ] { }

f x_ : = x+Sin 2x

-2 2a = ; b = ;3 3




π π

⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦

c) [ ] [ ] 2df x

L x_ = 1+dx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

[ ] [ ] { }AireSurfaceRévolution=NIntégrer 2 Abs f x L x , x, a, bπ⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦

Exercices réalisés avec Maple 6 47. a) Commandes Maple


xi:=seq(a+(i-1)*delta,i=1..n+1):

with(plots):

f1:=plot(f(x),x=a..b,color=black,thickness=2):

f2:=plot({seq([[xi[k],f(xi[k])],[xi[k+1],f(xi[k+1])]],k=1..n)},x=a..b,style=line,color=black):

display(f1,f2);



b) Commandes Maple

n:=2:

delta:=(b-a)/n:


seq([xi[k],f(xi[k])],k=1..n+1):

with(student):

dist:=evalf(seq(distance([xi[k],f(xi[k])],[xi[k+1],f(xi[k+1])]),k=1..n)):

longueur:=sum(dist[k],k=1..n):

`nombre de partitions`=n,`longueur approximative`=longueur;

, = nombre de partitions 2 = longueur approximative 2.828427124



c) Commandes Maple

Int(sqrt(1+diff(f(x),x)^2),x=a..b)=evalf(int(sqrt(1+diff(f(x),x)^2),x=a..b),6);

`Longueur de la courbe =`,evalf(rhs(%),6);

= d⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮⎮-1

1

+ 1x2

− 1 x2 x 3.14159

49. a)

b) , = nombre de partitions 2 = longueur approximative .5932976330

, = nombre de partitions 4 = longueur approximative .5972909428

, = nombre de partitions 8 = longueur approximative .5982824020

c) Longueur de la courbe = .598610



51. a)

b) , = nombre de partitions 2 = longueur approximative 1.725321563



c) Longueur de la courbe = 2.10895 53. a) Commandes Maple



with(plots):

f1:=plot(f(x),x=a..b,title="2 partitions",color=black,thickness=2):

f2:=plot({seq([[xi[k],f(xi[k])],[xi[k+1],f(xi[k+1])]],k=1..n)},x=a..b,style=line,color=black):

display(f1,f2);



b) Commandes Maple

n:=2:

delta:=(b-a)/n:


seq([xi[k],f(xi[k])],k=1..n+1):

with(student):

dist:=evalf(seq(distance([xi[k],f(xi[k])],[xi[k+1],f(xi[k+1])]),k=1..n)):

cone:=seq(Pi*(f(xi[k])+f(xi[k+1]))*dist[k],k=1..n):

aire_approx:=evalf(sum(cone[i],i=1..n)):

`nombre de cones`=n,`aire approximative`=aire_approx;

, = nombre de cones 2 = aire approximative 11.69989353



c) Commandes Maple

Int(2*Pi*f(x)*sqrt(1+diff(f(x),x)^2),x=a..b)=evalf(int(2*Pi*f(x)*sqrt(1+diff(f(x),x)^2),x=

a..b),6):

`aire de la surface`= rhs(%);

= aire de la surface 14.4236 55. a)

b) , = nombre de cones 2 = aire approximative 18.73980098


, = nombre de cones 8 = aire approximative 53.03148089 c) = aire de la surface 54.9496



Exercices 2.5 - Équations différentielles du premier ordre à variables séparables et applications 1. a) Si ,-xey = alors ,-x-ey =′ de sorte que

( ) xxxxx eeeee-yy ----- 3-23232 =+=+=+′

et l'équation différentielle est vérifiée.

b) Si ( ) ,23-- xx eey += alors ( ) ,23 23-- xx e-ey −=′ de sorte que

( ) ( )( )

( ) ( )

- 3 2 - 3 2- -

- 3 2 - 3 2- - -

32 3 2 32

-2 3 3 3

x xx x

x xx x x

y y -e e e e

e e e e e

⎛ ⎞′ + = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= − + + =

et l'équation différentielle est de nouveau vérifiée.

c) Si ( ) ,23-- xx eCey += alors ( ) ,23 23-- xx eC-ey −=′ de sorte que

( ) ( )( )

( ) ( )

- 3 2 - 3 2- -

- 3 2 - 3 2- - -

32 3 2 32

-2 3 3 3 .

x xx x

x xx x x

y y -e Ce e Ce

e Ce e Ce e

⎛ ⎞′ + = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= − + + =

Encore une fois, l'équation différentielle est vérifiée.

3. Si ( ) ,22-xexy −= alors ( ) xexey xx 2-21

22 -- ⋅−+⋅=′

.22- xye x −=

L'équation différentielle est donc vérifiée. La condition initiale l'est aussi, puisque

( ) ( ) .022222- =−= ey

Note : La vérification d'unicité n'est pas pertinente ici.

5. dxxdyydxdyyxdxdyxy 2 212 21-212121 =⇒=⇒=⋅

.21où

,32 encoreou ,2

34

21232 2

1

21231

2123

1

212321-21

CC

CxyCxy

Cxydxxdyy

=

=−+=⇒

+=⇒=⇒ ∫∫



7. dxedyeee

dxdye

dxdy xy

y

xyx =⇒=⇒= −

Cee

Ceedxedyexy

xyxy

=−⇒

+=⇒=⇒ ∫∫

9. dxyy

dyyydxdy

=⇒=2

2

coscos

CxyCxy

dxdyy

ydx

yydy

=−⇒+=⇒

=⇒=⇒ ∫∫ ∫∫

tan2tan2

2

sec2

cos

2

2

11. xyxy eedxdyxe

dxdyx ⋅=⇒= +

.-où ,2

2

2

2 1-

-

1-

1

-

--

CCCee

Ce-e

dxx

edye

dxx

edyedxx

edye

yx

xy

xy

xx

xy

==+⇒

+=⇒

=⇒

=⇒=⇒

−

∫∫

∫∫

13. ∫∫ =−

⇒=−

⇒−= dxxy

dydxxy

dyyxdxdy 2

1 2

112

22

2

( ).sin sin 22 CxarcyCxyarc +=⇒+=⇒

15. a) s.kilopascal 3,101où 00 ==⇒= peppkpdhdp kh

Nous avons ( ) ,93,10120 20 == ⋅kep de sorte que

.121,0-3,101

9ln201et

3,1019ln20 ,

3,101920 ≈⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=⋅=⋅ kkek

Ainsi, .3,101 -0,121hep =

b) ( ) s.kilopascal 2389,03,10150 50121,0- ≈= ×ep



c) Nous cherchons h telle que .3,10190 121,0- he=

km. 977,03,101

90ln121,0-1et

3,10190ln121,0- ,

3,10190121,0- ≈⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛== hhe h

17. Soit ( )tQ la quantité de sucre après t heures.

. que sorte de , 0kteQQkQ

dtdQ

==

( ) ( ) kg. 35,5851000100024

.10

8,0ln8,01000800

108,0ln2424

1010

≈⇒=

=⇒=⇒=

⋅⋅

⋅⋅

eeQ

kee

k

kk

19. ( )teVVVdtdV 401-

0401-

=⇒=

( ) ( )-1 40 -1 40

0 00,1 0,1

-1 ln 0,1 -40ln 0,1 92,1 s.40

t tV V e e

t t

= ⇒ =

⇒ = ⇒ = ≈

21. a) Soit ( )tQ la quantité de glucose à l'instant t.

positive. constante uneest où , kkQrdtdQ

−=

b) dtk

krQ

dQkrQkkQr

dtdQ -- =

−⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=

( ) .0

.et où ,

- ln -

-0000

22--

2

--

1

1

11

kt

Cktkt

CktCkt

ekrQ

krQ

krQC

krCQQQ

CCeCeCkrQeC

krQ

eekrQe

krQ

CktkrQdtk

krQ

dQ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⇒−=⇒+=⇒=

±===−⇒±=−⇒

⋅=−⇒=−⇒

+=−⇒=−

⇒

+

∫∫

Comme ( ) .limlim ,0 -0 k

rekrQ

krtQk kt

tt=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=>

∞→∞→



23. ( ) ( ) ( ) kkkt eTeTeTT -200

10-0

-0 202010et 202022020 −+=−+=⇒−+= .

Il en découle ( ) ( ) ,20=10-et 20=18- -200

-100

kk eTeT −− de sorte que

( )( ) .

108,1ln= ,8,1et

2020

10-18- 10

20-0

-100 ke

eTeT k

k

k

=−−

=

Nous avons donc ( ) ( )[ ]101,8ln01-0 20=18- eT −

( )

C -12,4=20+1,8-188,120=-18

20=-18

o0

0

8,1ln-0

×=⇒

−⇒

−⇒

T

TeT

25. a) ∫ ∫=⇒=⇒= dxp

dpdxp

dppdxdp 0,01- -0,01-0,01

( ) x1

xCCx eCeeepCxp -0,01-0,0101,0--0,01ln =⋅==⇒+=⇒ +

( ) ( )( )

( ) dollars).(en 61,5461,5409,20

09,2009,201000,01-

1

1-100-0,011

x

1

expeC

eCeCp

=⇒≈=⇒

==⇒=

b) ( ) ( )( ) $ 41,4961,5410 10-0,01 == ep

( ) ( )( ) $ 20,2261,5490 90-0,01 == ep

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),xpxxpxrxxpxr ′+=′⇒=

( ) ( ) ,-0,54610,01-61,54où 01,0-01,0- xx eexp =⋅=′

de sorte que

( ) ( )

( ) .5461,061,54

5461,0-61,5401,0-

01,0-01,0-

x

xx

ex

exexr

−=

+=′

Nous avons ( ) 0=′ xr lorsque ,05461,061,54 =− x

c'est-à-dire .100=x

( ) 0>′ xr ( ) ,100pour 0et 100pour ><′< xxrx

de sorte que ( )xr atteint un

maximum en .100=x



27. ,-kydtdy

= où k est une constante positive et y est non négative.

( ) .0

-ln

- -

-00

000

---1

11

kt

ktktCCkt

eyyyCCeCyyy

eCeeeyCkty

dtky

dydtky

dy

⋅=⇒=⇒=⋅=⇒=

⋅=⋅==⇒+=⇒

=⇒=⇒

+

∫ ∫

29. À l'exercice 27, kteyy -

0= et à l'exercice 28 a),

vie-Demi2ln2ln=vie-Demi =⇒ k

k.0001216,0

57002ln≈=

Si 10% de la quantité a été désintégrée, il en reste 90 %, de sorte que kteyy -009,0 =

.8640001216,0

9,0ln--

9,0ln-9,0ln9,0 - ≈==⇒=⇒=⇒k

tkte kt Le fossile a donc 864 ans environ.

31. Note : La question devait se lire : « Un os fossilisé a été retrouvé en l'an 2000 en Illinois. »

D'après l'exercice 29, la constante k associée à la désintégration du carbone -14 est .0001216,0=k

a) tt eccecc 0001216,0-00

0001216,0-0 17,0 =⇒=

ans. 572 14

0001216,0-17,0ln0001216,0-17,0ln

≈⇒

=⇒=⇒

t

tt

La mort de l'animal remonte à 12 572 ans av. J.-C. environ.

b) En procédant comme en a), nous trouvons . 96,101 140001216,0-

18,0ln anst ≈=

La mort de l'animal remonterait alors à 12 102 ans av. J.-C. environ.

c) ans. 57,070 150001216,0-

16,0ln≈=t

La mort de l'animal daterait de 13 071 ans av. J.-C. environ.



33. a) Distance parcourue sur l'erre ( )( ) m. 18738070 ≈==

kmv

b) ( ) ( )ttmk eevv 803--0 71=⇒=

s. 52

37ln80

8037ln1ln

≈=⇒

−=⇒

t

t

Exercices réalisés avec Mathématica

Champs de directions et courbes solutions

Vous devez charger un Package fourni par Mathematica afin d'utiliser la commande qui produira le

champ scalaire de pentes. Ce package est Graphics «PlotField», et la commande à utiliser est

PlotVectorField. Afin d'obtenir des graphiques plus adéquats, il suffit de modifier les paramètres des

options ScaleFactor, PlotPoints et AspectRatio de la commande PlotVectorField ainsi que les limites

pour les valeurs de x et de y.

35. a) { }ChampPente = PlotVectorField 1, y ,⎡⎣

{ } { } ]x, -1, 2 , y, 0, 8 , ScaleFactor 0.8, PointsTracés 20, AspectRatio 1→ → →

[ ] [ ] [ ]{ } [ ]

{ } { }[ ]

x

Solution = DSolve y x = y x , y 0 1 , y x , x

CourbeSolution = Tracer , x, -1, 2 , Style bleu

Montrer CourbeSolution, ChampPente, AspectRatio 0.8

e

⎡ ⎤′ =⎣ ⎦

⎡ ⎤→⎣ ⎦

→

b) [ ]Nouveau ChampPente, Solution, CourbeSolution

{ }ChampPente = PlotVectorField 1, y ,⎡⎣


[ ] [ ] [ ]{ } [ ]

{ } { }[ ]

x

Solution = DSolve y x = y x , y 0 2 , y x , x

CourbeSolution = Tracer 2 , x, -1, 2 , Style bleu


e

⎡ ⎤′ =⎣ ⎦

⎡ ⎤→⎣ ⎦

→



c) [ ]Nouveau ChampPente, Solution, CourbeSolution

{ }ChampPente = PlotVectorField 1, y ,⎡⎣

{ } { } ]x, -1, 2 , y, 0, -7 , ScaleFactor 0.8, PointsTracés 20, AspectRatio 1→ → →

[ ] [ ] [ ]{ } [ ]

{ } { }[ ]

x

Solution = DSolve y x = y x , y 0 -1 , y x , x

CourbeSolution = Tracer - , x, -1, 2 , Style bleu


e

⎡ ⎤′ =⎣ ⎦

⎡ ⎤→⎣ ⎦

→

37. a) [ ]Nouveau ChampPente, Solution, CourbeSolution

( ){ }ChampPente = PlotVectorField 1, y 2 y ,⎡ −⎣


[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]

{ } { }

[ ]

2x

2x

1Solution = DSolve y x = y x 2 y x , y 0 , y x , x2

2CourbeSolution = Tracer , x, -2, 2 , Style bleu3+


ee

⎡ ⎤⎧ ⎫′ − =⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦

⎡ ⎤→⎢ ⎥

⎣ ⎦

→



{ } { } ]x, -3, 3 , y, 0, 3 , ScaleFactor 0.8, PointsTracés 15, AspectRatio 0.8→ → →

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]

{ } { }

[ ]

2x

2x

3Solution = DSolve y x = y x 2 y x , y 0 , y x , x2

6CourbeSolution = Tracer , x, -3, 3 , Style bleu1+3


ee

⎡ ⎤⎧ ⎫′ − =⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦

⎡ ⎤→⎢ ⎥

⎣ ⎦

→





{ } { }

]x, -1, 1 , y, 1, 3 , ScaleFactor 0.8, PointsTracés 15,

AspectRatio 0.8, Axes True

→ →

→ →

[ ] [ ] [ ]( ) [ ]{ } [ ]Solution = DSolve y x = y x 2 y x , y 0 2 , y x , x

Aucune solution

⎡ ⎤′ − =⎣ ⎦

d) [ ]Nouveau ChampPente, Solution, CourbeSolution


{ } { } ]x, -2, 2 , y, -20, 20 , ScaleFactor 1, PointsTracés 20, AspectRatio 1→ → →

[ ] [ ] [ ]( ) [ ]{ } [ ]

{ } { }

{ }

2x

2x

Solution = DSolve y x = y x 2 y x , y 0 3 , y x , x

6CourbeSolution = Tracer , x, -2, 2 , Style bleu-1+3

Montrer CourbeSolution, ChampPente, AspectRatio 1, Image -20, 20

ee

⎡ ⎤′ − =⎣ ⎦

⎡ ⎤→⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤→ →⎣ ⎦

39. a) [ ]Nouveau ChampPente, Solution, CourbeSolution

3yChampPente = PlotVectorField 1, ,x

⎡⎧ ⎫⎨ ⎬⎢⎩ ⎭⎣


[ ] [ ] [ ] [ ]

{ } { }

{ }

3

3y xSolution = DSolve y x = , y -3 2 , y x , x

x

2xCourbeSolution = Tracer - , x, -5, 5 , Style bleu27


⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪′ =⎢ ⎥⎨ ⎬⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦

⎡ ⎤→⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤→ →⎣ ⎦


3yChampPente = PlotVectorField 1, ,x

⎡⎧ ⎫⎨ ⎬⎢⎩ ⎭⎣




[ ] [ ] [ ] [ ]

{ } { }

{ }

3

3y xSolution = DSolve y x = , y 1 1 , y x , x

x

CourbeSolution = Tracer x , x, -2, 2 , Style bleu


⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪′ =⎢ ⎥⎨ ⎬⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦

⎡ ⎤→⎣ ⎦

⎡ ⎤→ →⎣ ⎦


,x

3y 1,FieldPlotVector = ChampPente ⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

{ } { } ]1oAspectRati ,20ésPointsTrac 1,rScaleFacto ,9 1,- y, ,3 1,- x, →→→

[ ] [ ] [ ] [ ]

{ } { }

{ }[ ]9 1,-Image ,1oAspectRati ,ChampPente tion,CourbeSoluMontrer

bleuStyle ,3 1,- x, ,2xTracer =tion CourbeSolu

x,xy ,42y ,x

x3y=xyDSolve =Solution

3

→→

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡→

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =′

Exercices réalisés avec Maple 6 35. Commandes Maple

ed:=diff(y(x),x)=y(x):

dsolve(ed,y(x)):

f1:=unapply(rhs(dsolve({ed,y(0)=1},y(x))),x):

f2:=unapply(rhs(dsolve({ed,y(0)=2},y(x))),x):

f3:=unapply(rhs(dsolve({ed,y(0)=-1},y(x))),x):

with(DEtools):

with(plots):

g1:=dfieldplot(ed,y(x),x=-1..4,y=-10..10,color=black):



g2:=plot({f1(x),f2(x),f3(x)},x=-1..4,y=-10..10,thickness=2,color=black,thickness=2):

g3:=textplot({[1,9,`sol B`],[2.5,9,`sol A`],[2.5,-7,`sol C`]},font=[TIMES,BOLD,12]):

display(g1,g2,g3);

37.

39.



Exercices 2.6 - Travail et pression

1. La masse de l'eau varie uniformément de 20 kg à 0 kg sur une distance de 6 m.

Lorsque le seau est à x m du sol, le poids de l'eau est ( ) N.6

1961968,96

620 xxxF −=×−

×=

Le travail est donc J. 588588117612

196196 6

1961966

0

26

0

=−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ∫ xxdxxW

3. ( ) ( )∫∫ −=×−=50

0

50

0

624,02,31 624,050 dxxdxxW

J 78078015602

624,02,3150

0

2

=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

xx

5. ( ) ( )∫∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=××−=

55

0

55

0

255

0 266,653,3611 66,653,3611 8,97,655 xxdxxdxxW

J 75,310 99

75,310 995,621 198=

−=

7. La force agissant contre le piston est .pA Si ,AxV = où x désigne la hauteur du cylindre, alors

( )

( )

∫ ∫∫ ====22

11

,

,

. et Vp

Vp

dVpdxpAdxFWdxAdV

9. ,J 1800 3

0∫ == dxkxW d'où N/m 400et 1800

29 ,1800

2

3

0

2

==⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡kkxk

11. N/m 10002,02

===⇒=xFkkxF

Pour cm. 4=m 04,0100

4 ,N 4 ====kFxF

[ ] J 08,050 001 04,0

0

04,00

2 ==== ∫ ∫ xdxxdxkxW



13. a) mN 000 982

16,026,0200 98

=−

==⇒=xFkkxF

b) [ ] J 1,49000 491 000 982 01,0

0

01,00

2 ==== ∫ ∫ xdxxdxkxW

c) [ ] [ ] J 3,1470001,00004,0000 491000 491 000 98202,0

01,0

02,001,0

2 =−=== ∫ xdxxW

15. a) Volume iV de la ei tranche : 3m 1234 yyVi ∆=∆××=

N. 912 117 129826=

volume volumiquepoidsyy

Fi

∆=∆××=

Choisissons arbitrairement un point ic dans l'intervalle [ ].6 ,0 La force s'exerce

donc sur une distance de ic m et le travail requis pour soulever la tranche est

J. 912 117 ii ycFdW ∆==

Le travail total est ( ) J. 416 122 218912 1172

912 117 912 1176

0

6

0

2

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== ∫

ydyyW

b) Temps min. 44h 1 =min 104=s 6260sJ339

J 416 122 2==

c) Travail pour vider la moitié :

( ) J. 046 5305,4912 1172

912 117 912 1173

0

3

0

2

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== ∫

ydyyW

Temps min. 26=s 1565sJ339J 046 305==

d) Poids volumique de 3mN 9804 :

( ) J. 646 171 218486 1172

486 117 1298046

0

6

0

2

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=×= ∫

ydyyW

Temps min. 44h 1 =min 104=s 6247sJ339

J 646 117 2==



Poids volumique de 3mN 9856 :

( ) J. 968 821 218722 1182

722 118 1298566

0

6

0

2

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=×= ∫

ydyyW

Temps min. 45h 1 =min 105=s 6280sJ339

J 968 128 2==

17. Volume iV de la ei tranche : .m 9 26 3

22 yyyrVi ∆=∆⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∆⋅= πππ

N. 585 7290628=


Fi

∆=∆××=

ππ

Choisissons arbitrairement un point ic−9 dans l'intervalle [ ].9 ,0 La force s'exerce

sur une distance de ic−9 m et le travail requis pour soulever la tranche est

( )J. 9585 72 ii cyFdW −∆== π

Le travail total est

( ) J. 818 312 928181585 72

29585 72 9585 27

9

0

9

0

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−= ∫ πππ yydyyW

19. a) Le volume iV de la ei tranche est approximativement

,m 21épaisseur 3

22 ycrV ii ∆⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=×= ππ

où ic est un point arbitraire de l'intervalle [ ].8 ,0

N.

4150 10=

volume volumiquepoids

2 yc

F

i

i

∆×

×=π

La force s'exerce sur une distance de ( )ic−10 m et le travail requis pour soulever la

tranche est : ( ) J. 104

150 10 2iii cycFdW −∆==

π




( ) ( )

J. 076 442 510243

51204

150 10

4310

4150 1010

4150 10 10

4150 108

0

8

0

438

0

322

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=−= ∫ ∫

π

πππ yydyyydyyyW

b) La force iF par tranche est la même qu'à l'exemple 5, soit N, 4

4,8947 2 yci ∆π mais

elle s'exerce sur une distance de ( )ic−11 m.


( ) ( )

J. 056 969 510243

56324

4,8947

4311

44,894711

44,8947 11

44,89478

0

8

0

438

0

322

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=−= ∫ ∫

π

πππ yydyyydyyyW

21. Le volume de la ei tranche est approximativement

( ) ,m 2525épaisseur 322

22 ycycrV iii ∆−=∆⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=×= πππ où ic est un point arbitraire de l'intervalle

[ ].0 ,5-

( ) N. 259800=

volume volumiquepoids2 yc

F

i

i

∆−×

×=

π

La force s'exerce sur une distance de ( )ic−4 m et le travail requis pour soulever la tranche est :

( ) ( )J. 4259800 2iii cycFdW −∆−== π


( )( )

( )

( ) J. 001 730 154

6252

6253

500500-00009800

4225

341009800 2541009800

4259800

0

5-

4230

5-

32

0

5-

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+−+−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−=+−−=

−−=

∫

∫

π

ππ

π

yyyydyyyy

dyyyW



23. Nous avons dxdvmv

dtdx

dxdvm

dtdvmF === d'après la règle de dérivation en chaîne.

Il s'ensuit que

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 21

221

22

22

21

21

21

21

2

1

2

1

2

1

2

1

mvmvxvxvmxvmdxdxdvvmdx

dtdvmdxxFW

x

x

x

x

x

x

x

x

−=−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==== ∫∫∫ .

25. ,sm 0et

sm

3125

hkm 150 12 === vv d'où

( ) J. 26,12303

125142,021

21

21 2

21

22 =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−= mvmvW

27. m/s, 0et sm

9500

hkm 200 kg, 057,0g 57 12 ===== vvm d'où

( ) J. 96,879

500057,021

21

21 2

21

22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−= mvmvW

29. m/s, 0et m/s 40 kg, 185,0g 185 12 ==== vvm d'où

( )( ) J. 148040185,021

21

21 22

122 =−=−= mvmvW

31. Volume iV de la ei tranche : .m 926épaisseur 3

22 yyrVi ∆=∆⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=×= πππ

N. 434 88= 99826=


Fi

∆∆××=

ππ

Choisissons arbitrairement un point ic dans l'intervalle [ ].99 ,0 La force s'exerce sur une

distance de ( )y−114 m et le travail requis pour soulever la tranche est

( ) J. 114434 88 yyFdWi −∆== π

Le travail total est ( ) J. 628 042 774 12

114434 88 114434 8899

0

99

0

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−= ∫

yydyyW ππ



33. ∫∫ ==000 780 35

000 370 62

000 780 35

000 370 62 MG 1000 MG 1000

rdrdr

rW

( )( )

35 780 000

6 370 000

24 -11

10

11000 MG -

-1 11000 5,975 10 6,6720 1035 780 000 6 370 000

5,144 10 J

r⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞= × × +⎜ ⎟⎝ ⎠

≈ ×

35. Dans ce nouveau système de coordonnées, le bord situé du côté droit de la plaque suit la droite

de pente 1 et d'ordonnée à l'origine -5, soit .5−= xy Si nous désignons par x la largeur de la

plaque au niveau y, alors yx += 5 et la largeur totale est ( ) ( ).522 yxyL +== La distance entre

y et la surface de l'eau est -y.

La force exercée par l'eau contre une des faces de la plaque est

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )

-2

-5

-2-2 2 32

-5 -5

1000 9,8 - 2 5

-519 600 -5 19 6002 3

8 125 12519 600 -10 - 264 600 N.3 2 3

b

a

F ρgh y L y dy y y dy

y yy y dy

= = +

⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

∫

Nous constatons avec soulagement que le résultat obtenu pour la force exercée par l'eau contre

une des faces de la plaque ne dépend pas du système de coordonnées utilisé ! 37. Si nous utilisons le système de coordonnées de l'exercice 35, le bord situé du côté droit de la

plaque suit toujours la droite 5−= xy , et ,5+= yx de sorte que la largeur totale demeure

( ).52 y+

La profondeur est maintenant de ,2 y− puisque la surface du bassin est située en .2=y

La force exercée par l'eau contre une des faces de la plaque est



( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

-2

-5

-2 -22 2

-5 -5

-22 3

-5

1000 9,8 2 2 5

19 600 2 10 5 19 600 10 3

319 600 102 3

8 75 12519 600 -20 6 -50 441 000 N.3 2 3

b

a


y y y dy y y dy

y yy

= = − +

= − + − = − −

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

39. En utilisant le système de coordonnées ci-contre,

nous constatons que le bord situé du côté droit de

la plaque suit la droite de pente 2 et d'ordonnée à

l'origine -4, soit .42 −= xy Si nous désignons par

x la largeur de la plaque au niveau y, alors 2

4+=

yx

et la largeur totale est ( ) .42 +== yxyL

La profondeur, soit la distance entre y et la surface

du lac, est .1 y−

a) La force exercée par l'eau (douce) contre une des faces de la plaque est

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

( )

0

-4

0 02 2

-4 -4

02 3

-4

1000 9,8 1 2 4

9800 4 4 9 800 4 3

39800 42 3

649800 0 0 0 -16 24 182 933 N.3

b

a


y y y dy y y dy

y yy

= = − +

= − + − = − −

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − − − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

b) N. 507 1873

6424168,91025 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+×=F

2-2x

y

-4

Surface du lac à y = 1



41. Selon le système de coordonnées ci-contre,

( ) 60,1=yL et la profondeur au niveau y est ( ).85,0 y−

Ainsi, ( ) ( )dyyLyghFb

a

∫= ρ

( )( )( )

( )

( )( ) ( ) ( )

0,8375

0

0,83750,8375 2

0 0

2

10 078 0,85 1,60

16 124,8 0,85 16 124,8 0,852

0,837516 124,8 0,85 0,8375 0 0

2

5824 N.

y dy

yy dy y

= −

⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

=

∫

∫

43. Selon le système de coordonnées ci-contre,

le bord situé du côté droit de la plaque suit

la courbe d'équation ( ) 222 09,03,0 yyx −=−=

pour .03,0- ≤≤ y

La largeur totale de la plaque au niveau y est

( ) .09,022 2yxyL −== La distance ( )yh entre

y et la surface de l'eau est -y.

La force exercée par l'eau sur un côté de la plaque est

( ) ( ) ( )( )( )

( )

( )( )

02

-0,3

02

-0,3

03 223 2

-0,3

1000 9,8 - 2 0,09

9800 0,09 -2

0,09 19 6009800 0,09 03 2 3

176,4 N.

b

a


y y dy

y

= = −

= −

⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎡ ⎤= = −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

=

∫ ∫

∫

x (m)

y (m)

0,8375

0,85

-0,80 0,80

Surface de l'eau

x (m)

y (m)

-0,3 0,3

-0,3



45. Le bord situé du côté droit suit la courbe d'équation yx = pour .10 ≤≤ y La largeur totale au niveau y est ( ) .22 yxyL ==

a) La distance ( )yh entre y et la surface est .2 y− La force exercée sur la lame de fermeture est

( ) ( ) ( )

( )

( )

1

0

11 3 2 5 23 2

0 0

7874 2 2

215 748 2 15 7483 2 5 2

4 215 748 0 0 14 698,1 N.3 5

b

a


y yy y dy

= = −

⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

∫

b) Désignons par H la hauteur maximale que peut atteindre le niveau de liquide sans

que la limite de charge ne soit dépassée.

La distance ( )yh est alors yH − et la force exercée sur la lame de fermeture est

( ) max

1

0

27874 FdyyyHF =−= ∫ , où N. 000 25max =F

Par conséquent,

( )

( )

( ) ( )

1

0

11 3 2 5 23 2

0 0

7874 2

15 748 15 7483 2 5 2

2 2 15 74815 748 0 0 10 6 .3 5 15

F H y y dy

Hy yH y y dy

H H

= × −

⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − − = −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

∫

Lorsque F atteint sa valeur maximale de 25 000 N, nous avons

( ) ,000 2561015748 15

=−H d'où 98,2=H m.



47. a) La profondeur h est donnée par -y et

la pression au niveau y est donnée par

( ) ( ).- ygghyp ρρ ==

La valeur moyenne de la pression est

( ) ( )

( )

.2

20-

2- -1

-0

1

20

-

20

-

0

-

bg

bb

gyb

gdyygb

dyypb

p

bb

b

ρ

ρρρ

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡==

−=

∫

∫

Elle correspond à la pression au milieu de la plaque.

b) La force exercée par le fluide est

( ) ( )

( )

aire, 22

0-

2- - -

2

0

-

20

-

0

-

0

-

⋅=⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡===

=

∫∫

∫

pabbgbga

ygadyygadyayg

dyyLyghF

bbb

b

ρρ

ρρρ

ρ

où p est la valeur moyenne de la pression.

49. a) Le côté droit du triangle isocèle suit la droite d'équation .23 xy = La largeur totale

au niveau y est ( ) .3

43

222 yyxyL =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== La distance ( )yh est .3 y−

Par conséquent,

( ) ( )

( ) ( )3 3

2

0 0

32 3

0

4 49826 3 9826 3 3 3

4 3 4 27 279826 98263 2 3 3 2 3

58 956 N.

b

a

F ρgh y L y dy

yy dy y y dy

y y

=

= − = × −

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= × − = × −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

=

∫

∫ ∫

2 a−

y

x2a

b −



b) Nous cherchons le niveau d'eau Y tel que N. 478 29956 5821

=×=YF

La distance ( )yh sera yY − et nous aurons

( ) ( )Y

2

0 0

2 3 3 3

0

33

4 49826 9826 3 3

4 49826 98263 2 3 3 2 3

4 19 6529826 .3 6 9

Y

Y

Y

yF Y y dy Yy y dy

Yy y Y Y

Y Y

= − = × −

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= × − = × −⎜ ⎟⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎝ ⎠

= × × =

∫ ∫

Comme ,478 29=YF il s'ensuit que m 38,25,13et m 5,1365219

478 299 333 ≈==×

= YY ,

de sorte que 62,038,233 =−=−=∆ YY m ou 62 cm environ.

c) Non, la longueur de la citerne n'a pas d'importance. La pression exercée par le fluide

et la force résultante ne dépendent que de la profondeur du fluide. 51. Selon le système de coordonnées ci-contre,

( ) ( ) m. 20,0et m 095,0 yyhyL −==

Ainsi, ( ) ( )dyyLyghFb

a

∫= ρ

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

0,20

0

0,202

0

22

1033 9,8 0,20 0,095

1033 9,8 0,095 0,202

0,201033 9,8 0,095 0,20 19,23 N.2

y dy

yy

= −

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫

y (m)

x (m)-0,0475 0,0475

0,20



Exercices 2.7 - Moments et centres de masse 1. Pour que la balançoire soit en équilibre, le moment du système par rapport à l'origine doit être

nul : ,455,136 x=× où x désigne la distance de l'enfant le plus lourd au point d'appui.

m 2,145

5,136=

×=x

3. Le centre de masse de chaque tige est situé en son centre géométrique (voir l'exemple 1,

page 174). Le système est équivalent à deux masses ponctuelles situées au centre des tiges en

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 0 ,

2L et .

2 ,0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ L

Par conséquent,

4

02

21

2211 Lmm

mL

mmmxmx

MM

x y =+

+⋅=

++

== et

.4

20

21

2211 Lmm

mL

mmmymy

MMxy =

+

⋅+=

++

==

Le centre de masse est donc localisé en .4

,4

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LL

5. ( ) 80242

4 42

0

2

0

2

0 =−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⋅= ∫

xdxxM

[ ] ( )

188

80244 4

0

2

0

20

===

=−=== ∫

MMx

xdxM



7. 3

0

3

0

323

0

2

0 92

3

31∫ ∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

xxdxxxdxxxM

( )

( )

35

29215

2900

233

6

31

215003

29

0

3

0

3

0

2

===

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∫

MMx

xxdxxM

9. ( )4

1

4

1

2324

10 232

11∫ ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

xxdxxxdxx

xM

( ) ( )[ ]

3073

5673

5214421

11

673

32

21

3168

0

4

1

4

1

21

===

=+−+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∫

MMx

xxdxx

M

11. ( )∫ ∫ ⋅+−=1

0

2

10 2 dxxxdxxxM

( )

( ) 331

3800

311

33

2

2

1

31

0

32

1

0

2

1

22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

+−= ∫ ∫

xxx

dxxdxxx

( )

( )

133

321200

212

222 2

0

2

1

21

0

1

0

22

1

===

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=+−= ∫ ∫

MMx

xxxdxxdxxM



13. Puisque la plaque est symétrique par rapport à l'axe

des y et que sa masse surfacique est constante,

la distribution de la masse est symétrique par

rapport à l'axe des y et le centre de masse est

situé sur l'axe des y. Donc 0=x . Il ne reste

plus qu'à trouver .MMy x=

Nous utilisons la méthode des bandes verticales. Une bande verticale typique possède les

caractéristiques suivantes :

Centre de masse : ( ) ; 2

4 ,~ ,~2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

xxyx longueur : ; 4 2x− largeur : ; dx

aire : ( ) ; 4 2 dxxdA −= masse : ( ) . 4 2 dxxdAdm −== δδ

Le moment de la bande par rapport à l'axe des x est

( ) ( ) . 162

42

4 ~ 422

dxxdxxxdmy −=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

δδ

( )

( )

( )

.5

128

005

3232

516 16

22

162

~est des axel' àrapport par plaque la demoment Le

2

0

52

0

4

42

2-

δ

δ

δδ

δ

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−×=

−==

∫

∫∫

xxdxx

dxxdmyMx x

( )

( )

( )

.3

32

003882

342 42

4est plaque la de masse La

2

0

2

0

32

2

2-

2

2-

2

δ

δ

δδ

δ

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=

−==

∫

∫ ∫

xxdxx

dxxdmM

y

2-2

4

x

2xy =



Par conséquent, .5

123325128===

δδ

MMy x

Le centre de masse de la plaque est situé au point ( ) .5

12 ,0 , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=yx


( ) .2ou 00202- 22 ==⇒=−⇒=−⇒=− xxxxxxxxx

Caractéristiques d'une bande verticale typique :

centre de masse :

( ) ( ) ( ) ; 2

- ,2

- ,~ ,~22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=

xxxxxxyx

longueur : ( ) ( ) ; 2- 22 xxxxx −=−−

largeur : ; dx aire : ( ) ; 2 2 dxxxdA −=

masse : ( ) . 2 2 dxxxdAdm −== δδ

Le moment de la bande par rapport à l'axe des x est ( )dxxxxdmy 22

- ~ 22

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= δ et par rapport

à l'axe des y, ( ) . 2 ~ 2 dxxxxdmx −⋅= δ

( )

( )

( )

54-

005

3282

-

522- 2

2-

22

- ~ Ainsi,

2

0

5443

22

0

2

δ

δ

δδ

δ

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=

−==

∫

∫∫

xxdxxx

dxxxxdmyM x

( )

( )

( )

.3

4

0043

16

432 2

2 ~et

2

0

432

0

32

2

0

2

δ

δ

δδ

δ

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=

−==

∫

∫∫

xxdxxx

dxxxxdmxM y

2

2xxy −=

- xy =

y

x



( )

( ) .3

400384

3 2est plaque la de masse La

2

0

32

2

0

2

δδ

δδ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−== ∫ ∫

xxdxxxdmM

Par conséquent, .53-3454-et 1

3434

======δδ

δδ

MMy

MM

x xy

Le centre de masse de la plaque est situé au point ( ) ( ).53- ,1 , =yx 17. Caractéristiques d'une bande horizontale typique :

centre de masse : ( ) ; ,2

~ ,~3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= yyyyx

longueur : ; 3yy − largeur : ; dy

aire : ( ) ; 3 dyyydA −= masse : ( ) . 3 dyyydAdm −== δδ

Le moment de la bande par rapport à l'axe des y est

( ) ( )dyyyydyyyyydmx 22

2

~ 64233

+−=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

δδ

( ) ( ) . ~ , des axel' àrapport par et 423 dyyydyyyydmyx −=−= δδ

Ainsi, ( ) ( )15200

51

31

53 ~

1

0

531

0

42 δδδδ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−== ∫∫∫

yydmyydmyM x et

( ) ( ) .1054000

71

52

31

2752

32 2

2 ~

1

0

7531

0

642 δδδδ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=+−== ∫∫

yyydyyyydmxM y

La masse de la plaque est ( ) ( ) .4

0041

21

42

1

0

421

0

3 δδδδ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−== ∫ ∫

yydyyydmM

Par conséquent, .158

4152et

10516

41054y ======

δδ

δδ

MMy

MM

x x

Le centre de masse de la plaque est situé au point ( ) ( ).158 ,10516 , =yx

x

y

1

3 yyx −=



19. Puisque la plaque est symétrique par rapport à l'axe

des y et que sa masse surfacique est constante,

la distribution de la masse est symétrique par rapport à

l'axe des y et le centre de masse est situé sur l'axe des y.

Donc .0=x Il ne reste plus qu'à trouver .MMy x=

Caractéristiques d'une bande horizontale typique :

centre de masse : ( ) ; 2

cos ,~ ,~ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xxyx

longueur : ; cos x largeur : ; dx

aire : ; cos dxxdA = masse : . cos dxxdAdm δδ ==

( ) . 2cos14

2

2cos12

cos2

cos2

cos ~est des axel' àrapport par bande la demoment Le 2

dxxdxx

dxxdxxxdmyx

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

==

δδ

δδ

( ) ( )

.4222

0sin02

sin22

22sin

2 2cos1

42 2cos1

4 ~ Ainsi,

2

0

2

0

2

2-

δππδππδ

δδδ πππ

π

=⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=+⋅=+== ∫∫∫

xxdxxdxxdmyM x

[ ]

[ ] ( ) .20120sin2sin2

sin2 cos2 cosest plaque la de masse La 20

2

0

2

2-

δδπδ

δδδ πππ

π

=−=−=

==== ∫∫ ∫ xdxxdxxdmM


4 πδ

δπ===

MMy x

Le centre de masse de la plaque est situé au point ( ) ( ).8 ,0 , π=yx

1

x

y

xy cos=

2/π2/-π




( ) .2ou 0023063422 222 ==⇒=−⇒=−⇒−=− xxxxxxxxxx

Puisque la plaque est symétrique par rapport à la

droite x = 1 et que sa masse surfacique est

constante, la distribution de la masse est

symétrique par rapport à la droite et le centre de

masse est situé dessus. Donc .1=x Il ne reste

plus qu'à trouver .MMy x=


centre de masse : ( )( ) ( )2 2 22 2 4 2, , , ;

2 2

x x x x x xx y x x⎛ ⎞− + − ⎛ ⎞−⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

longueur : ( ) ( ) ( ); 2336422 2222 xxxxxxxx −=−=−−−

largeur : ; dx aire : ( ) ; 23 2 dxxxdA −= masse : ( ) . 23 2 dxxxdAdm −== δδ


( )( ) ( ) ( ) . 44-23 242

23 22

23 ~ 234342322 dxxxxdxxxxxdxxxxxdmy −+=+−−=−−= δδδ

( )

( )

.58-1516-

23

0003

32165

32-23

34

5-

23

44-23 ~ Ainsi,

2

0

34

5

2

0

234

δδ

δδ

δ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=

−+== ∫∫

xxx

dxxxxdmyM x

( )

( ) .4003843

33

23est plaque la de masse La

2

0

32

2

0

2

δδδ

δ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−== ∫ ∫

xx

dxxxdmM

Par conséquent, .52-

458-===

δδ

MMy x

Le centre de masse de la plaque est situé au point ( ) ( ).52- ,1 , =yx

y

x

2

2

1

-2

-1

xxy 4 2 2 −=

2 2xxy −=

0



23. Puisque la plaque est symétrique par rapport à la droite yx =

et que sa masse surfacique est constante, la distribution de

la masse est symétrique par rapport à la droite. Donc .yx =


centre de masse : ( ) ; 293 ,~ ,~

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −+=

xxyx

longueur : ; 93 2x−− largeur : ; dx

aire : ; 93 2 dxxdA ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=

masse . 93 2 dxxdAdm ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−== δδ

( )( )

( )

2 2

22

3 9 3 9Le moment de la bande par rapport à l'axe des est

2

9 9 .2 2

δ x xx y dm dx

δ δxx dx dx

+ − − −=

⎡ ⎤= − − =⎣ ⎦

Ainsi, [ ] .2

909232

2

~3

0

33

0

2 δδδδ=−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=== ∫∫

xdxxdmyM x

La masse de la plaque est ,AM δ= où A = aire d'un carré de côté 3-aire d'un quart de cercle de

rayon ( ) ( ).449

4993

4133 22 πππ −=−=−=

Donc, ( ).44

9 πδ−=M

Par conséquent, ( ) .4

2494

29

ππδδ

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

MMy x

Le centre de masse de la plaque est situé au point ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

− ππ -42 ,

42

x

y

3

3

9 22 =+ yx



25. Bandes verticales : ( ) ,1 ,2

2

,~ ,~2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=x

xxxyx

( )dAxdmdxx

dA , 22 δ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

.1121-2

1-2 2 21 ~

2

1

1-2

122

22

12 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡==⋅⋅== ∫∫∫

xdxx

dxx

xx

dmyM x

3142

2 2 2 ~2

1

22

12

22

1

=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==⋅⋅== ∫∫∫

xdxxdxx

xxdmxM y

[ ] ( ) 212222 2 21

2

12

2

1

2 =−===⋅== ∫∫∫ xdxdxx

xdmM

Par conséquent, .21et

23

====MMy

MM

x xy

Le centre de masse de la plaque est situé au point ( ) .21 ,

23 , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=yx

27. a) Méthode des tubes (voir la figure en c)

[ ][ ]

( )3

224183

3223

16

16 82 4-42

du tubehauteur du tube ncecirconfére

4

1

23

4

1

4

1

4

1

πππ

πππ

=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

=

∫∫∫

∫

x

dxxdxx

xdxxx

x

dxVb

a

b) Puisque la plaque est symétrique par rapport à l'axe des x et que sa masse surfacique ( )xδ

est une fonction de x uniquement, la distribution de la masse est symétrique par rapport à

l'axe des x. Donc .0=y

Par la méthode des bandes verticales :

( ) .16141621

8 8 4-41 ~4

1

214

1

21-4

1

=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅== ∫∫∫

xdxxdxxxx

xdmxM y

1 2

2 2xy =

x

y



821--16

11

41-16

21-8 84-4 1

4

1

21-4

1

23-4

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−== ∫∫∫

xdxxdxxxx

dmM


16===

MM

x y

Le centre de masse de la plaque est situé au point ( ) ( ).0 ,2 , =yx

c)

29. La masse d'une bande horizontale typique est , dyLdAdm δδ == où L est la largeur du triangle,

à une distance y au-dessus du côté placé sur l'axe des x (voir la figure 2.7.11 b).

Par les propriétés des triangles semblables, ,h

yhbL −= de sorte que ( ).yh

hbL −=

( ) ( )

( )

.66

003232

~ Ainsi,

23

33

0

32

0

2

0

bhhhb

hhhbyhy

hb

dyyhyhbdyyh

hbydmyM

h

hh

x

δδ

δδ

δδ

=⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−=−== ∫∫∫

( ) ( )

( )

.22

0022

2

22

0

2

00

bhhhb

hhhbyhy

hb

dyyhhbdyyh

hbdmM

h

hh

δδ

δδ

δδ

=⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−=−== ∫∫∫

x

y

4

-4

1 4

xy 4 =

4- x

y =

(2,0)

0



Par conséquent, .3

26

2 hbh

bhMMy x =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

δδ

Le centre de masse est donc situé au tiers de la distance entre le côté reposant sur l'axe des x

et son sommet opposé. Comme les deux autres côtés du triangle peuvent être placés

alternativement sur l'axe des x, on obtient également le même résultat pour les deux autres

côtés. Le centroïde du triangle est donc effectivement le point d'intersection des trois médianes. 31. Puisque la figure est symétrique par rapport à la droite ,yx =

nous avons .yx = Le milieu du côté opposé au sommet

( )0 ,0 est ,21 ,

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ de sorte que la droite passant par ces

deux points est une médiane. Selon le résultat du numéro 29,

.310

21

32 xy ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Le centroïde du triangle est donc le point .31 ,

31

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

33. La médiane issue du sommet ( )b ,0 coupe le côté opposé en ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 0 ,

2a et la médiane issue de

( )0 ,a coupe le côté opposé en .2

,0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ b


202

et 33

202

bbyaax =⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −==⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Le centroïde du triangle est donc le point .3

,3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ba

35. xdx

dyxy2

1=⇒=

La longueur d'un petit segment ds du fil est donnée par . 411 1

2

dxx

dxdxdyds +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

( )

613

81

827

32

2341

41

411

2

0

23

2

0

2

0

δδδ

δδ

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +=

+=+= ∫∫

x

dxxdxx

xM x

(0,1)

(0,0) (1,0)

(0,0) (a,0)

(0,b)

Exercices récapitulatifs page 185


Chapitre 2 - Exercices récapitulatifs 1. Point d'intersection des deux courbes :

.111 32 =⇒=⇒= xx

xx

1

121

2121

2

1-2 1

2

1

2

2

1

1-22

12

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ∫

xx

xxdxx

xA

3. ,1 xy −= d'où ( ) .1

2xy −=

La courbe coupe l'axe des x en 1=x

et l'axe des y en .1=y

( ) ( )

( )61000

21

341

2232

21 1

1

0

223

1

0

1

0

2

=+−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

+−=−= ∫ ∫

xxx

dxxxdxxA

5. Pour tout x, .sin xx ≤

( )

( )

122

32

1022

32

cos2

sin

2

2

4

0

24

0

−+=

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=−= ∫

π

π

ππ

xxdxxxA

1

xy =

2

1

2

x

y

/1 2xy =

xy =

xy sin =

4 / πx

y




xxxx cossin22sinsin2 == lorsque ( ) ,0cos1sin2 =− xx

c'est-à-dire lorsque ,ou 00sin π==⇒= xxx

ou lorsque ,01cos =⇒= xx dans l'intervalle [ ]. ,0 π

( )

421+2-

212

20cos0cos2-

22coscos2-

22coscos2- 2sinsin2

0 0

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=−= ∫

ππ

π πxxdxxxA

9. ( ) ,3 23 xxxf −= d'où ( ) ( ).2363 2 −=−=′ xxxxxf Ainsi, ( ) 0=′ xf lorsque .2ou 0 == xx

La fonction admet donc un maximum relatif en 0=x x 0 2

et un minimum relatif en .2=x ( )xf ′ + 0 - 0 +

Nous avons ( ) ( ) -4.2et 00 == ff ( )xf

De plus, ( ) ( )33 223 −=−= xxxxxf coupe l'axe des x en ,3et 0 == xx de sorte que la fonction

est entièrement située sous l'axe des x dans l'intervalle ] [.3 ,0

( )

( )

33 43 2 3

0 0

3 4

81 27 27 0 0 4 4

xA x x dx x⎡ ⎤

= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞= − − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

11. Les deux courbes se coupent en .4et 4- ππ == xx

En effet, ( ) ( ) ( ) ( ) .24sec4cos2et 24-sec4-cos2 ==== ππππ

( )

4

- 4

4

- 4

2cos sec

2sin ln sec tan

π

π

π

π

A x x dx

x x x

= −

⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

∫

x

y

sin 2 xy =

2sin xy =π

-4

3 x

y

23 3 xxy −=



( )( ) ( )

- - -2sin ln sec 4 tan 4 2sin ln sec tan 4 4 4 4

2 ln 2 1 - 2 ln 2 1

2 2 ln 2 1 ln 2 1

π π π ππ π⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

= − + − − −

= + − − +

Note : L'utilisation de la propriété ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

baba lnlnln permet d'obtenir l'une ou l'autre des

réponses équivalentes suivantes : ( )223ln22 −+=A ( ).223ln22ou +−=A

13. a) ( ) ( ) ( )∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+

−=

1

1-

1

1-

2

221

1-11moy bxmxdxbmxf

bbmbm=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+=

2221

b) ( ) ( ) ( )∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+

−=

k

k

k

k

bxmxk

dxbmxkk

f- -

2

221

-1moy

bbkk

bkmkbkmkk

==⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+= 2

21

2221 22

15. ( ) ( ) ( )[ ]bab

a

xfab

dxxfab

f−

=′−

=′ ∫1 1moy

( ) ( )( ) ( ) ( )1 f b f af b f a

b a b a−

= − =− −

Ainsi, la valeur moyenne de f ′ sur l'intervalle [ ]ba , est la pente de la sécante passant par les

points ( )( ) ( )( ), et , .a f a b f b

y

x2/-π

4/-π2/π

4/π

xy sec =

xy cos 2 =



17. ( ) ( ) dxxf 5983652sin18

03651moy

365

0∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

−=

π

( )365

0

o

2-18cos 981 365 52365

365

1 3285 534 3285 196- cos 1825 - cos - 0365 365 365

9 534 9 196- cos 5 cos - -5 C365 365

π xxπ

πππ π

πππ π

⎡ ⎤⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

19. ( ) ( ) [ ]300

230

0

201200301 401200

301moy ttdttS −=−= ∫

( ) ( )1 36 000 18 000 0 0 60030

⎡ ⎤= − − − =⎣ ⎦ caisses.

Coût moyen de stockage quotidien $. 18$ 03,0600 =×=

21. ( )30

0

330

0

2

6450

301

2450

301moy ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫

ttdttS

( ) ( )1 13 500 4500 0 0 30030

⎡ ⎤= − − − =⎣ ⎦ caisses.

Coût moyen de stockage quotidien $. 6$ 02,0300 =×= 23. ( ) ( ) ,secet cos2 xxrxxR == d'où

( )( ) ( )( ) ( )

( )

4 42 2 2 2

- 4 - 4

42

- 4

4

- 4

4cos sec

2 1 cos 2 sec

2sin 22 tan2

π π

π π

π

π

π

π


π x x dx

xπ x x

⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

∫



2

- - -sin tan 2 sin tan2 2 4 4 2 4

1 1 1 12 2

π π π π π ππ

π ππ π

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤= + − + + − =⎢ ⎥⎣ ⎦

25. ( ) ( )2 22 2diamètre

2 4πA x πr π x x⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )

( ) ( )

( )

2 4

1 12 4 5 2 4

0 0

12 7 2 5

0

24

2 2 4 4

2 1 4 1 0 0 04 2 7 2 5 4 2 7 5

9280

π x x x x

π πV x x x x dx x x x dx

π x x x π

π

= − ⋅ +

= − ⋅ + = − +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = − + − − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

=

∫ ∫

27. ( )2

2

2diamètre

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== ππrxA

( )( )

2

2 2

2sin 2cos2

sin 2sin cos cos

1 sin 2

x xπ

π x x x x

π x

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

= − +

= −

( ) ( )

( ) ( )

5 4 5 4

4 4

5 4

4

2

1 sin 2 1 sin 2

cos 5 2 cos 2cos2 52 4 2 4 2

5 0 04 4

π π

π π

π

π

V π x dx π x dx

π πx π ππ x π

π ππ π

= − = −

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= + = + − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤= + − + =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

1

1xy =

x

y

2 xy =

4π

sin 2 xy =

xy cos 2 =

x

y

45π

-2

2



29. ( )2

2

2diamètre

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== ππrxA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

164

442

4

425

22 xxxxx ππ

( )

4 45 2

0

47 2 52

0

4 4 16

256 642 32 0 0 04 7 2 80 4 7 5

288 724 35 35

π xV x x dx

π x x πx

π π

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = − + − − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

= ⋅ =

∫

31. a) Méthode des disques

( ) ,3 4xxR = d'où

( ) ( )1 1 22 4

-1 -1

1 18 8

-1 -1

19

0

3

9 9 2

118 18 0 2 .9 9

V π r x dx π x dx

π x dx π x dx

xπ π π

⎡ ⎤= =⎣ ⎦

= = ×

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫


[ ][ ]

( )11 1 6

4 5

0 0 0


2 3 6 66

16 0 .6

b

a

V dx

xπx x dx π x dx π

π π

=

⎡ ⎤= = = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤= − =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

∫ ∫

Note : Le solide est engendré par la rotation de la région comprise dans l'intervalle [ ].1 ,0

4

4 x

y

xy 4 2 =

yx 4 2 =

-1x

y

1

43 xy =




[ ][ ]

( )( ) ( )1 1

4 4 5

-1 -1

15 6

-1


2 1 3 6

1 1 1 16 6 -5 6 5 6 5 6

12 .5

b

a

V dx

π x x dx π x x dx

x xπ π

π

=

= − = −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

=

∫

∫ ∫

d) Méthode des disques troués ( ) ( ) ( ),133et 3 44 xxxrxR −=−== d'où

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1 1 22 2 4

-1 -1

1 14 8 4 8

-1 -1

15 9

-1

9 9 1

9 1 1 2 9 2

2 2 1 2 19 9 -5 9 5 9 5 9

26 269 .45 5


π x x dx π x x dx

x xπ π

ππ

⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − + = −⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫

33. a) Méthode des disques

( ) ,1−= xxR d'où

( ) ( )

( )

5 5 22

1 1

55 2

1 1

1

1 2

25 15 1 8 .2 2

V π R x dx π x dx

xπ x dx π x

π π

⎡ ⎤= = −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

∫

x

y

2

-2

5

1 2 += yx




( ) ( ) 1et 5 2 +== yyryR d'où

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2 22 2 2

-2 -2

2 24 2 4 2

0 0

25 3

0

25 1

2 25 2 1 2 24 2

2 32 162 24 2 48 0 0 05 3 5 3

1088 .15

V π R y r y dy π y dy

π y y dy π y y dy

y yπ y π

π

⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − − − = − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − = − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

=

∫ ∫

∫ ∫

c) Méthode des disques ( ) ( ) ,415 22 yyyR −=+−= d'où

( ) ( )

( )

( )

2 2 22 2

-2 -2

22 3 52 4

0 0

4

82 16 8 2 163 5

64 322 32 0 0 03 5

512 .15

V π R y dy π y dy

y yπ y y dy π y

π

π

⎡ ⎤= = −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + = − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + − − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

=

∫ ∫

∫

35. Méthode des disques troués

( ) ( ) ,1et 2 == xrexR x d'où

( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

ln3 ln3 22 2 2 2

0 0

ln3 ln3

00

1

1

3 ln3 1 0

2 ln3 .

x

x x

V π R x r x dx π e dx

π e dx π e x

π

π

⎡ ⎤⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦

= −

∫ ∫

∫



37. Intersection de la courbe avec l'axe des x : 022 =− xx

( ) .2ou 002 ==⇒=−⇒ xxxx

a) Méthode des disques

( ) ,22 xxxR −= d'où

( ) ( )

( )

( )

2 2 22 2

0 0

24 3 2

0

25 34

0

2

4 4

45 3

32 32 1616 0 0 0 .5 3 15

V π R x dx π x x dx

π x x x dx

x xπ x

ππ

⎡ ⎤= = −⎣ ⎦

= − +

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + − − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

∫


( ) ( ) ,21et 1 2 xxxrxR −+== d'où

( )( ) ( )( ) ( )

( )

( )

2 2 22 2 2 2

0 0

22 4 3 2

0

22 4 3

0

1 1 2

1 1 2 4 4 4

-6 4 4


π x x x x x dx

π x x x x dx

⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + + − + −⎣ ⎦

= − + +

∫ ∫

∫

∫

( )

253 4 2

0

-2 25

32 8-16 16 8 0 0 0 0 .5 5

xπ x x x

ππ

⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + + − − + + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦


[ ][ ]

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

2 22 2

0 0

2 22 2 3 2 3

0 0


2 2 0 2 2 2 2

2 4 2 2 2 4 4

b

a

V dx

π x x x dx π x x x dx

π x x x x dx π x x x dx

=

⎡ ⎤= − − − = − −⎣ ⎦

= − − + = − +

∫

∫ ∫

∫ ∫

-1

2x

y

xxy 2 2−=



( )

23 42

0

4 322 2 2 8 4 0 0 03 4 3

8 .3

x xπ x π

π

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = − + − − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

=

d) Méthode des disques troués

( ) ( ) ( ) ,2et 22 2 =−−= xrxxxR d'où

( )( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( )

2 2 22 2 2 2

0 0

22 4 3 2

0

22 54 3 4 2

0 0

2 2 2

4 4 4 4 8 4

4 8 45

32 3216 16 0 0 0 .5 5


π x x x x x dx

xπ x x x dx π x x

ππ

⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − + − + + −

⎡ ⎤= − + = − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + − − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

∫

∫

39. Le volume de matériau qui a été enlevé correspond au

volume du solide engendré par la rotation de la

région colorée autour de l'axe des x.

Utilisons la méthode des tubes :

[ ][ ]

( )3

2 2

0

32

0


2 4 - 4

2 2 4

d

c

V dy

πy y y dy

π y y dy

=

⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

= −

∫

∫

∫

Posons .4 2yu −= Alors .- 2et 2- dudyyydydu

==

De plus, .13et 40 =⇒==⇒= uyuy

-2 21-1

y

x

3 4 22 =+ yx



( )

( )

1 41 2 1 2

4 1

43 2

1

Ainsi, 2 - 2

4 282 8 1 .3 2 3 3

V π u du π u du

u π ππ

= ⋅ =

⎡ ⎤= = − =⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫

41. Puisque xx

xxdx

dy21

21

23

31

21 21 −=⋅−= est continue sur l'intervalle [ ],4 ,1 la courbe

est lisse sur cet intervalle.

310

3118

314

2321

2121

21

21

21

21

21

21

41

21

41

41

21

411

=21

211 1

4

1

23214

1

2121-

4

1

4

1

2

4

1

4

1

4

1

22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

++=+−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

∫

∫∫

∫∫

∫∫

xxdxxx

dxxx

dxxx

dxxx

dxxx

dxxx

dxdxdyL

b

a

43. Puisque 515151-51

21

21

54

85

56

125

xxxx

dxdy

−=⋅−⋅= est continue sur l'intervalle [ ],23 ,1 la courbe

est lisse sur cet intervalle.

8285

85

12516

8564

125

5421

5621

21

21

2

121

21

21

4

121

41

41

21

411

2

1211 1

32

1

545632

1

51-51

32

151

5132

1

2

5151

32

152

5232

152

52

32

1

2

5151

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

++=+−+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

∫

∫∫

∫∫

∫∫

xxdxxx

dxx

xdxx

x

dxx

xdxx

x

dxx

xdxdxdyL

b

a



45. ( ) xxxdx

dy tan-sin-cos

1=⋅=

( )

[ ]

( )32ln 01 ln 32 ln

0tan0sec ln 3

tan3

sec ln

tansec ln

sec sec sec

tan1 tan-1 1

30

3

0

3

0

3

0

2

3

0

3

0

223

0

2

+=+−+=

+−+=

+=

===

+=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

∫∫∫

∫ ∫∫

ππ

π

πππ

π ππ

xx

dxxdxxdxx

dxxdxxdxdxdyL

47. Puisque 12

12122

1+

=⋅+

=xxdx

dy est continue sur l'intervalle [ ],12 ,0 la courbe

est lisse sur cet intervalle. De plus, la fonction est non négative sur l'intervalle.

22 12

0

12 1 2 2 1 1 2 1

b

a

dyA πy dx π x dxdx x

⎛ ⎞⎛ ⎞= + = + + ⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

( )( )

( )

12 12

0 0

12 121 2

0 0

2 1 2 22 1 12 2 1 2 2 1 2 1

2 2 2 2 2 1

x xxπ x dx π dxx x

π x dx π x dx

+ ++ += + =

+ +

= + = +

∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )( )

( )

123 23 2 3 2

0

1 4 22 2 13 13 2 3

4 2 13 13 1 271,7403

xπ π

π

⎡ ⎤+⎢ ⎥= = −⎢ ⎥⎣ ⎦

= − ≈

49. Puisque 212121-21

21

21

21

23

31

yyyy

dydx

−=−⋅= est continue sur l’intervalle [ ],9 ,4 la courbe

est lisse sur cet intervalle. De plus, la fonction est non négative sur l’intervalle.

22 9 3 2

1 2 1 21 2

4

1 12 1 2 1 3 2 2

d

c

dx yA πx dy π y y dydy y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= + = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫



9 93 2 3 21 2 1 2

4 4

29 93 2 1 2 3 2 1 21 2 1 2

1 2 1 24 4

1 1 1 12 1 2 3 4 2 4 3 4 2 4

1 12 2 3 2 3 22 2

y y y yπ y dy π y dyy y

y y y yπ y dy π y dyy y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫

9 93 2 1 2 21 2

1 24 4

99 2 3 2

4 4

1 12 2 3 2 6 2 6 22

12 26 3 2 18 6 2

81 27 9 32 8 4252 22 2 2 9 3 9

y y y y yπ y dy π dyy

y y y y yπ dy π

ππ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − − = − −⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

∫

51. dxxdyydxxdyyyxdxdy 221-221-2 ∫∫ =⇒=⇒=

CxyCxy=−⇒+=⇒

32

321

3321

ou encore

.6

,2

où ,63

223

11

33

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⇒=+=⇒+= CxyCCCxyCxy

53. dxxxdy

yxy

dxdyx ln 1ln =⇒=

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ).et où ,

2ln ln ln 1

22

ln21ln

21

2

ln21

2

ln21ln

21

1

2

1

22

2

1

21

2

CCeCeCyeCy

eCeeey

Cxydxxxdy

y

Cxx

xCxCx

±===⇒±=⇒

=⋅==⇒

+=⇒=⇒

+

∫∫

55. ( ) dtdxx

xxdtdxx =⇒= sec sec

22

∫∫ =⇒ . sec2

dtdxx

x

Posons .xu = Alors . 2 1et 2

1 dudxxxdx

du==



L'équation devient ,tan2tan2 sec2 2∫ ∫ +=⇒+=⇒= CtxCtudtduu ou encore

.tan2 Ctx =− 57. Équipement seul

La force nécessaire pour soulever l'équipement est égale à son poids, soit ( ) N. 1001 =xF

Le travail effectué est ( ) [ ] J. 4000100 100 40

0

40011 ==== ∫∫ xdxdxxFW

b

a

Corde seule

La force nécessaire pour soulever la corde est égale au poids de sa partie mobile, soit

( ).408,0 x−

Le travail effectué est

( ) ( ) [ ]4040 2

2 20 0

0,8 40 0,8 40 0,8 1600 800 640 J.2

b

a

xW F x dx x dx x⎡ ⎤

= = − = − = − =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

J. 4640640400021total =+=+= WWW

59. mN 67,296

3,089

===⇒=xFkkxF

[ ]

[ ]

0,30,3 2

0 0

0,60,6 2

0,3 0,3

296,67 296,67 296,67 0,045 13,35 J2

296,67 296,67 296,67 0,18 0,045 40,05 J2

xW kx dx x dx

xW kx dx x dx

⎡ ⎤= = = = =⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤= = = = − =⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

61. Partageons le volume d'eau en tranches horizontales d'épaisseur .y∆

Le volume de la ei tranche est approximativement

,m

2536

56épaisseur

32

22

yc

ycrV

i

ii

∆=

∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=×=

π

ππ

où ic est un point arbitraire de l'intervalle [ ].5,2 ; 0

y

x

y56 =x

-3 3

2,5

4,5

Coupe transversale du réservoir



N

25369826


2 yc

F

i

i

∆×=

×=

π

La force s'exerce sur une distance de ( )ic−+ 5,22 m et le travail requis pour soulever la tranche

est ( ) J. 5,425369826 2

iii cycFdW −∆×== π

( )

( )

J. 739 60740625,394375,23

25369826

435,4

25369826 5,4

25369826

5,425369826est total travailLe

5,2

0

5,2

0

4332

5,2

0

2

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −×=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−×=−×=

−×=

∫

∫

π

ππ

π

yydyyy

dyyyW

63. Partageons le volume de liquide en tranches horizontales d'épaisseur .y∆

Le volume de la ei tranche est approximativement

,m

4

21épaisseur

32

22

yc

ycrV

i

ii

∆=

∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=×=

π

ππ

où ic est un point arbitraire de l'intervalle [ ].3 ,0

N 2352

48,9960


22 ycyc

F

ii

i

∆=∆××=

×=

ππ

La force s'exerce sur une distance de ( )ic−+ 6,03 m et le travail requis pour soulever la tranche

est ( ) J. 6,32352 2iii cycFdW −∆== π

( )

( )

J. 777 894814,322352

436,32352 6,32352

6,32352est total travailLe

3

0

3

0

4332

3

0

2

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=

−=

∫

∫

π

ππ

π

yydyyy

dyyyW

Temps s. 1min 4=s 241J/s 373

J 777 89==

y

x

y21 =x

-1,5 1,5

33,6

Coupe transversale du réservoir



65. Pour y située dans l'intervalle [ ],1 ,0 ( ) ( ) ( ) .4222et 1 yyxyLyyh ===−=

( ) ( ) ( )

( )

( ) N 65330031

21200 39

32200 39 200 39

419800

1

0

1

0

322

1

0

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=

−==

∫

∫∫

yydyyy

dyyydyyLyghFb

a

ρ

67. Pour y située dans l'intervalle [ ],4 ,0 ( ) ( ) .2

22et 5,5 yy

xyLyyh ===−=

( ) ( ) ( )

( )

N 027 162

32528

3119800

25235,59800

5,59800

5,59800

4

0

2523

4

0

23

4

0

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×−×=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−=

−==

∫

∫∫

yy

dyyy

dyyydyyLyghFb

a

ρ


.113323 2222 ±=⇒=⇒=⇒=− xxxxx

Puisque la plaque est symétrique par rapport à l'axe des y et que

sa masse surfacique est constante, la distribution de la masse est

symétrique par rapport à l'axe des y et le centre de masse est

situé sur l'axe des y. Donc .0=x


centre de masse : ( ) ( ) ; 2

3 ,232 ,~ ,~

222

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

xxxxxyx

longueur : ( ) ( ); 133323 2222 xxxx −=−=−− largeur : ; dx aire : ( ) ; 13 2 dxxdA −=

masse : ( )dxxdAdm 13 2−== δ (nous pouvons, sans perte de généralité, poser 1=δ ).


1x

24 xy =

y

-1

4

5,5 Niveau de l'eau

y

x-1 1

3

2 2xy =

3 2xy −=



( )( )

( ) ( ) . 32-23 33

23

1323 ~

24242

22

dxxxdxxxx

dxxxdmy

+−=−−+=

−+=

( )

( )

( ) .5

32000332

51-3

33

25

-3 32-232

32-23 ~ Ainsi,

1

0

351

0

24

1

1-

24

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=+−×=

+−==

∫

∫∫

xxxdxxx

dxxxdmyM x

La masse de la plaque est

( ) ( ) ( ) .4003116

36 16 13

1

0

31

0

21

1-

2 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=−== ∫∫ ∫

xxdxxdxxdmM


532===

MMy x

Le centroïde de la plaque est situé au point ( ).58 ,0

71. Caractéristiques d'une bande verticale typique :


44

,~ ,~

2

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛+

=

x

xyx

longueur : ; 4

42x

− largeur : ; dx aire : ; 4

42

dxxdA ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

masse : dxxdAdm 4

4 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−== δ (nous pouvons, sans perte de généralité, poser 1=δ ).


dxxdxxx

dmy 16

1621

44

24

4 ~

42

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= et le moment par rapport à l'axe des y,

. 4

4 4

4 ~32

dxxxdxxxdmx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

x4

4

y

( ) 2 4/1 xy =



( )

( ) ( )[ ]

( ) .3

32003

1616

124

44

1600163216

2 4

4 ~

et 5

128005

646421

8016

21

1616

21 ~ Ainsi,

4

0

4

0

32

4

0

4

0

42

3

4

0

54

0

4

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

=−−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

∫∫

∫∫

∫∫

xxdxxxdmM

xxdxxxdmxM

xxdxxdmyM

y

x

Par conséquent, .5123325128et

23

33216

======MMy

MM

x xy

Le centroïde de la plaque est situé au point ( ).512 ,23


( ) .2ou 002022 22 ==⇒=−⇒=−⇒= yyyyyyyy

Caractéristiques d'une bande horizontale typique :

centre de masse : ( ) ; ,2

2 ~ ,~2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += yyyyx

longueur : ; 2 2yy −

largeur : ; dy aire : ( ) ; 2 2 dyyydA −=

masse : ( )( ) . 21 2 dyyyydAdm −+== δ


( )( ) ( ) ( )dyyyydyyyyydyyyyydmy 2- 22 21 ~ 23443322 ++=−−+=−+=

et par rapport à l'axe des y,

( )( ) ( )( ) ( ) . 4421 +14

21 21

22 ~ 5342422

2

dyyyyydyyyydyyyyyydmx −+−=−=−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

x4

2

yx 2 =

2 yx =

y



( )

( ) et 1544000

3164

532-

32

45-

2- ~ Ainsi,

2

0

345

2

0

234

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++=

++== ∫∫

yyy

dyyyydmyM x

( )

( )

( )( ) ( )

( )

( ) .380004438

43 2

22 21

.52400003

32165

323

3221

6534

21 44

21 ~

2

0

2

0

243

32

2

0

2

0

3222

2

0

2

0

64

535342

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=+−=

−−+=−+==

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−=−+−==

∫

∫ ∫ ∫

∫∫

yyydyyyy

dyyyyydyyyydmM

yyyydyyyyydmxM y

Par conséquent, .1011381544et 59

38524

======MMy

MM

x xy

Le centre de masse de la plaque est donc situé au point .1011 ,

59

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛



Chapitre 2 - Exercices supplémentaires : théorie, exemples et applications

1. Soit f la fonction. Alors ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 21

021 1moy

1

0

2

1

2

0∫ ∫ ∫∫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

−=

−=

b

a

dxxfdxxfdxxfdxxfab

f

Nous pourrions trouver la règle qui donne chaque morceau de la fonction, mais il est plus

simple de procéder géométriquement en

calculant l'aire de chaque triangle.

( ) ( )2111

21

2

1

1

0

=××== ∫∫ dxxfdxxf

Donc ( ) .21

21

21

21moy =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=f

3. Selon la méthode des disques, avec ( ) ( ),xfxR = ( ) ( )2 2 2

0 0

,a a

V π R x dx π f x dx a a⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ d'où

( ) 2 2

0

x

π f t dt x x⎡ ⎤ = +⎣ ⎦∫ pour tout .0>x Il s'ensuit, par le théorème fondamental du calcul, que

( ) ( )2 2 2 1dπ f x x x xdx

⎡ ⎤ = + = +⎣ ⎦ et que ( ) .12π+

=xxf

5. ( ) ( ).11ln xfxdx

dLxfxL ′+=⇒−+=

De plus, ( )[ ] , 11

2 dttfLx

∫ ′+= d'où ( )[ ]21 xfdxdL ′+= par le théorème fondamental du calcul.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

22

2 2

1Ainsi, 1 1

1 1 2 2 11

f x f x f xx

f x f x f x f xx x xx x

′ ′ ′⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = + ⇒ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤′ ′ ′ ′⎡ ⎤= + = + + ⇒ = −⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

et ( ) .21

2 xxxf −=′

Il s'ensuit que ( ) .ln21

4

2

Cxxxf +−=

x1 2

y

0

1

Exercices supplémentaires page 205


Comme la courbe de ( )xf passe par le point ( ),1 ,1 nous avons ,1ln21

411

2

C+−= d'où .43

=C

La fonction recherchée est donc ( ) .43ln

21

4

2

+−= xxxf

7. La longueur de la courbe de la fonction ( ) xxf sin= entre ( ) ( )αα sin ,et 0 ,0 est donnée par

( ) 2 2

0 0

1 1 cos .α α

L f x dx θ dθ′⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦∫ ∫

Par ailleurs, la longueur du segment de droite joignant les points ( ) ( )αα sin ,et 0 ,0 est

( ) ( ) .sin0sin0 2222 αααα +=−+−

Comme la droite est le plus court chemin entre deux points, 2 2 2

0

1 cos sinα

θ dθ α α+ > +∫

pour .2

0 πα ≤<

9. kteAAkAdtdA

0=⇒=

Après 24 heures, on a ( )24007

6 keAA = d'où ( ) ( ) .0064,0-24

76lnet 76ln24 ≈== kk

La demi-vie s'obtient par ( ) ,21 0064,0-

00teAA = d'où ( ) ( ) ( )ln 1 2

-0,0064 ln 1 2 et 108,30 h.-0,0064

t t= = ≈

La quantité atteindra le 51 de sa quantité initiale lorsque ( ) ,51 0064,0-

00teAA = d'où

( ) ( ) h. 47,251et 51ln0064,0- == tt 11. ( ) kt

ss eTTTT -0 −=− où .1et C 88 C, 93 C, 21 0 ==== tTTT ooo

s

Il s'ensuit que ( ) ( ) ( ) .0720,07267ln-et 21932188 1- ≈=−=− ke k

À 15 h 30, ( ) ( )( ) C, 96,76219321et h 5,3 5,30720,0- oeTt ≈−+== soit de 77o C environ.



13. Note : La valeur de la constante de rappel du ressort doit se lire : .mN 350=k

( )

J 9375,30215,0350

2350

350

N. 350

215,0

0

2

15,0

0

15,0

0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

==

==

∫∫

x

dxxdxxFW

xkxF

Or, ,21

21 2

120 mvmvW −= où 0 kg, 0455,0g 5,45 J, 9375,3 vmW === désigne la vitesse initiale de la

bille et .sm 01 =v

Il s'ensuit que ( ) ,00455,0219375,3 2

0 −= v d'où .sm 16,130455,0

9375,320 =

×=v

De plus, nous savons que tvv g0 −= en tout instant t et que 0=v au moment où la bille

atteint sa hauteur maximale, d'où s. 34,1et 8,916,130 =−= tt

La hauteur maximale atteinte est ( ) ( )( ) m. 84,834,18,92134,116,13g

21 22

0 =−=−= ttvs

15. La profondeur h est donnée par -y et

la pression au niveau y est donnée par

( ) ( ).- ygghyp ρρ ==

La valeur moyenne de la pression est

( ) ( )

( )

0

-

02 2

-

1 0 -

1 - -- 02 2

.2

b

b

p p y dyb

ρg y ρg bρg y dyb b b

bρg

=−

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎝ ⎠

=

∫

Elle correspond à la pression au milieu de la plaque.

2 a−

y

x2a

b −



( ) ( )

( )

0

-

00 0 2

- - -

2

La force exercée par le fluide est

- - -2

- 0 aire,2 2

b

b b b

F ρgh y L y dy

yρg y a dy ρga y dy ρga

b bρga ρg ab p

=

⎡ ⎤= = = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎛ ⎞= − = ⋅ = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫

∫ ∫

où p est la valeur moyenne de la pression. 17. Il faut supposer que n est pair car la courbe ,1 nx− avec n impair, ne délimite pas avec l'axe des

x une région fermée dont le centroïde peut être calculé.

Quel que soit n pair, la courbe coupe l'axe des x en ,1et 1- == xx et est symétrique par rapport

à l'axe des y, d'où .0=x



1 ,~ ,~⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

nxxyx longueur : ; 1 nx− largeur : ; dx

aire : ( ) ; 1 dxxdA n−= masse : ( ) . 11 dxxdAdm n−=⋅=

Le moment de la bande par rapport à l'axe des x est ( ) ( ) . 2

1 12

1 ~2

dxxdxxxdmyn

nn −

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

( )( )

21 1

2

-1 0

11 2 1

0

2

2

1 1Ainsi, 2 1 2 2 2

2 2 111 2 1 1 2 1

1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 4 2 11 2 1 1 2 1

2 .1 2 1

nn n

x

n n

xM y dm dx x x dx

x xxn n n n

n n n n n n n n nn n n n

nn n

+ +

−= = = − +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦⎣ ⎦

+ + − + + + + + + − − + += =

+ + + +

=+ +

∫ ∫ ∫

Par ailleurs, ( ) ( ) .1

21

1121

2 12 11

0

11

0

1

1- +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=−=−==+

∫∫ ∫ nn

nnxxdxxdxxdmM

nnn

Par conséquent, ( )( )

22 1 .1 2 1 2 2 1

xM n n nyM n n n n

+= = ⋅ =

+ + +



Le centroïde de la région est situé au point .12

,0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+nn Lorsque ,

21 , →∞→ yn de

sorte que la position limite du centroïde est .21 ,0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

19. a) Soit une bande verticale de centre de masse ( ).~ ,~ yx Si la plaque se situe du côté droit de

la droite, alors le moment de la bande par rapport à la droite bx = est

( ) ( ) dAbxdmbx ~ ~ δ−=− et le premier moment de la plaque par rapport à la droite bx =

est l'intégrale ( ) . ∫∫ ∫ −=−=− AbMdAbdAxdAbx y δδδδ

b) Si la plaque se situe du côté gauche de la droite, alors le moment d'une bande verticale par rapport à la droite bx = est ( ) ( ) dAxbdmxb ~ ~ δ−=− et le premier moment de la plaque par rapport à la droite bx = est l'intégrale ( ) ∫∫ ∫ −=−=− . yMAbdAxdAbdAxb δδδδ

21. a) Sur l'intervalle [ ], ,0 a une bande verticale

typique a les caractéristiques suivantes :


,~ ,~2222

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −+−=

xaxbxyx

longueur : ; 2222 xaxb −−− largeur : ; dx

aire : ; 2222 dxxaxbdA ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−=

masse : . 2222 dxxaxbdAdm ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−== δδ

Sur l'intervalle [ ], , ba une bande verticale typique a les caractéristiques suivantes :


,~ ,~22

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −=

xbxyx longueur : ; 22 xb − largeur : ; dx

aire : ; 22 dxxbdA −= masse : . 22 dxxbdAdm −== δδ


ax

y

22 xby −=a

b

b

22 xay −=



( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )

( )[ ]b

a

a

b

a

a

b

a

a

b

a

a

x

xxbxab

dxxbdxab

dxxbdxxaxb

dxxbxbdxxaxbxaxbdmyM

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−=

−+−=

−+−−−=

−−+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+−==

∫∫

∫∫

∫∫∫

322

2

2

2

2

21

21 ~

32

022

22

0

22

22

0

2222

22222222

0

2222

δδ

δδ

δδ

δδ

( )

( ).33

232

2

332

3322

3333

32

3332

32

3322

abab

aabbbaab

aabbbaab

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−+−=

δδ

δ

δδ

Le moment de la bande par rapport à l'axe des y est

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

.3

-3

03

033

-

232232232-

~

332322332322

23222322322322

2322

0

2322

0

2322

22

0

22

0

22

22

0

2222

x

b

a

aa

b

a

aa

b

a

a

y

M

abababab

ababab

xbxaxb

dxxbxdxxaxdxxbx

dxxbxdxxaxbxdmxM

=

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+−+−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

−+−−−=

−+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−==

∫∫∫

∫∫∫

δδ

δδδ

δδδ

δδδ

δδ

Nous pouvons calculer la masse au moyen d'un raisonnement géométrique :

( ).444

2222

ababAM −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

δππδπδδ

Par conséquent,

( )( )

( )( )( )( )

( )( )

3 3 2 2 2 2

2 2

44 4 .3 3 3

y δ b a b a b ba a a ab bMx

M π b a b a π a bδπ b a

− − + + + += = ⋅ = =

− + +−



Également, ( )( ) .

34 22

bababa

MMy x

+++

==π

b) .223

34

34

34lim

222222

ππππb

bb

bbbbb

bababa

ba=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

→

La position limite du centroïde lorsque ba → est ( ) , 2 ,2 , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ππbbyx qui représente le

centroïde d'un quart de cercle de rayon a (puisque les deux cercles coïncident lorsque

ba = ).

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CALCUL INTÉGRAL - cheneliere.info · CALCUL INTÉGRAL Thomas . Weir . Hass . Giordano Onzième édition SOLUTIONNAIRE DE L’ÉLÈVE Chapitre 2 : Application de l’intégrale Adaptation