Absence darbitrage et proprits des optionsIntroduction la
modlisation stochastique en nanceLe mouvement Brownien comme limite
dune marche alatoirePremires proprits du mouvement brownienCALCUL
STOCHASTIQUE ET FINANCEPA MAP, Dpartement de
MathmatiquesAppliquesNizar TOUZISEANCE 1: 14 septembre 2011Nizar
TOUZI Calcul stochastique& nanceAbsence darbitrage et proprits
des optionsIntroduction la modlisation stochastique en nanceLe
mouvement Brownien comme limite dune marche alatoirePremires
proprits du mouvement brownienOutline1 Absence darbitrage et
proprits des options2 Introduction la modlisation stochastique en
nance3 Le mouvement Brownien comme limite dune marche alatoire4
Premires proprits du mouvement brownienNizar TOUZI Calcul
stochastique& nanceAbsence darbitrage et proprits des
optionsIntroduction la modlisation stochastique en nanceLe
mouvement Brownien comme limite dune marche alatoirePremires
proprits du mouvement brownienFigure: Wall Street, New YorkNizar
TOUZI Calcul stochastique& nanceAbsence darbitrage et proprits
des optionsIntroduction la modlisation stochastique en nanceLe
mouvement Brownien comme limite dune marche alatoirePremires
proprits du mouvement brownienFigure: London Stock Exchange,
LondresNizar TOUZI Calcul stochastique& nanceAbsence darbitrage
et proprits des optionsIntroduction la modlisation stochastique en
nanceLe mouvement Brownien comme limite dune marche
alatoirePremires proprits du mouvement brownienFigure: Salles de
marchsNizar TOUZI Calcul stochastique& nanceAbsence darbitrage
et proprits des optionsIntroduction la modlisation stochastique en
nanceLe mouvement Brownien comme limite dune marche
alatoirePremires proprits du mouvement brownienFigure: Evolution du
NASDAQNizar TOUZI Calcul stochastique& nanceAbsence darbitrage
et proprits des optionsIntroduction la modlisation stochastique en
nanceLe mouvement Brownien comme limite dune marche
alatoirePremires proprits du mouvement brownienOutline1 Absence
darbitrage et proprits des options2 Introduction la modlisation
stochastique en nance3 Le mouvement Brownien comme limite dune
marche alatoire4 Premires proprits du mouvement brownienNizar TOUZI
Calcul stochastique& nanceAbsence darbitrage et proprits des
optionsIntroduction la modlisation stochastique en nanceLe
mouvement Brownien comme limite dune marche alatoirePremires
proprits du mouvement brownienLes options Le but de cette partie
est de prsenter les proprits que doiventsatisfaire les prix des
options indpendamment du modledvolution des actifs nanciers. Une
option dachat (call) donne son dtenteur le droit dacheterun certain
actif un prix dexercice (strike) K> 0 x lasignature du contrat
Une option de vente (put) donne son dtenteur le droit devendre un
certain actif un prix dexercice (strike) K> 0 x lasignature du
contrat Ces options sont dites europennessi le droit dachat ou
devente ne peut tre exerc qu une maturit donne Les options
amricainespeuvent tre exerces tout momentavant la maturit.Nizar
TOUZI Calcul stochastique& nanceAbsence darbitrage et proprits
des optionsIntroduction la modlisation stochastique en nanceLe
mouvement Brownien comme limite dune marche alatoirePremires
proprits du mouvement brownienNotations Le paiement terminal dun
call europen est(ST K)+ La valeur intrinsque dun call europen
est(St K)+, son prix la date t Tsera notc(t, T, St, K) , en
particulier c(T, T, ST, K) = (ST K)+ Le paiement terminal dun put
europen est(K ST)+ La valeur intrinsque dun put europen est(K St)+,
son prix la date t Tsera notp(t, T, St, K) , en particulier p(T, T,
ST, K) = (K ST)+ Une option (call ou put) est dite dans la monnaie
si sa valeurintrinsque 0, en dehors de la monnaie si sa valeur
intrinsque 0, la monnaie si sa valeur intrinsque= 0.= Un call est
dans la monnaie si St> K= Un put est dans la monnaie si St<
KNizar TOUZI Calcul stochastique& nanceAbsence darbitrage et
proprits des optionsIntroduction la modlisation stochastique en
nanceLe mouvement Brownien comme limite dune marche
alatoirePremires proprits du mouvement brownienPrincipe dabsence
darbitrage Considrons deux produits drivs (actifs contingents) dnis
parles paiements A et B une mme maturit, et de prix a et b. Si A
Bdans tous les tats du monde, alors a b. Sinon : acheter le produit
driv qui dlivre le paiement A, etvendre celui qui dlivre le
paiement B= on encaisserait immdiatement la somme b a > 0, et
onobtiendrait le paiement positif A B la maturit !NA Soit Xle gain
gnr par un portefeuille de cot initial nul. SiX 0 dans tous les
tats du monde, alors X 0.Exemple Le modle binomial est sans
arbitrage ssi d< R0< uNizar TOUZI Calcul stochastique&
nanceAbsence darbitrage et proprits des optionsIntroduction la
modlisation stochastique en nanceLe mouvement Brownien comme limite
dune marche alatoirePremires proprits du mouvement brownienPremires
relations On notera les prix du call et du put amricain parC(t, T,
St, K) et P(t, T, St, K) Une option amricaine vaut toujours plus
que loption europennecorrespondante, et plus que sa valeur
intrinsqueC(t, T, .) maxc(t, T, .), c(t, t, .)P(t, T, .) maxp(t, T,
.), p(t, t, .)Nizar TOUZI Calcul stochastique& nanceAbsence
darbitrage et proprits des optionsIntroduction la modlisation
stochastique en nanceLe mouvement Brownien comme limite dune marche
alatoirePremires proprits du mouvement brownienParit call-put, eet
de la maturit Si lactif sous-jacent ne verse pas de dividendes, on
ap (t, T, St, K) = c (t, T, St, K) St+ KBt(T)o Bt(T) est le prix la
date tde lobligation zro-coupon (ZC)de maturit T, i.e. actif
contingent de paiement 1 en TIl sut de remarquer que :(K ST)+= (ST
K)+ST+ K T1 T2=C(t, T1, .) C(t, T2, .) et P(t, T1, .) P(t, T2,
.)Nizar TOUZI Calcul stochastique& nanceAbsence darbitrage et
proprits des optionsIntroduction la modlisation stochastique en
nanceLe mouvement Brownien comme limite dune marche
alatoirePremires proprits du mouvement brownienMonotonie,
sensibilit et convexit par rapport au strike Le prix dun call
europen ou amricain est dcroissant en K Le prix dun put europen ou
amricain est croissant en K Sensibilit au strike :Bt(T)()c (t, T,
St, K2) c (t, T, St, K1)K2K10() vendre un call europen de strike
K1, acheter un call europende strike K2 ainsi quune quantit K2K1
dobligations ZC=paiement en T: (ST K1)++ (ST K2)++ (K2K1) 0.
NAimplique que le cot initial de cette stratgie est 0 Les prix dun
call ou dun put europen ou amricain est convexeen K: (cas du call
US) acheter un [0, 1] call de strike K1 et(1 ) put de strike K2, et
vendre un call de strikeK1 + (1 )K2. Si toutes les options sont
exerces une dateu [t, T], on obtient un paiement 0. NA implique que
le cotinitial de cette stratgie est 0Nizar TOUZI Calcul
stochastique& nanceAbsence darbitrage et proprits des
optionsIntroduction la modlisation stochastique en nanceLe
mouvement Brownien comme limite dune marche alatoirePremires
proprits du mouvement brownienBornes sur les prix des options
dachat Borne suprieurec(., St, .)C(., St, .)StEn eet : C(t, T, St,
K) C(t, T, St, 0) St(galit en absencede dividendes) borne infrieure
: si lactif sous-jacent ne verse pas de dividendes,C(t, T, St, K)
c(t, T, St, K)(St KBt(T))+En eet : acheter un call Euro et
Kobligations ZC, vendre uneunit de lactif sous-jacent= paiement
terminal 0. NA...Nizar TOUZI Calcul stochastique& nanceAbsence
darbitrage et proprits des optionsIntroduction la modlisation
stochastique en nanceLe mouvement Brownien comme limite dune marche
alatoirePremires proprits du mouvement brownienExercice immdiat des
call amricainProposition Suposons que Bt(T) < 1. En labsence
dedividendes, il nest jamais optimal dexercer loption
amricaineavant la maturit TEn eet : C(t, T, St, K) c(t, T, St, K)
St KBt(T) > St K Ce rsultat nest plus vrai en prsence de
dividendes Mme en absence de dividendes, ce rsultat nest pas vrai
pourles options de ventes : supposons que SuKBu(T)()p(u, T, Su,
K)() = K paiement terminal du putNizar TOUZI Calcul
stochastique& nanceAbsence darbitrage et proprits des
optionsIntroduction la modlisation stochastique en nanceLe
mouvement Brownien comme limite dune marche alatoirePremires
proprits du mouvement brownienAutres exemples dactifs contingents :
contratforward Contrat Tforward : cest un accord pour payer un prix
K unematurit Tpour un actif donn. Le prix dun contrat Tforward la
date test la valeur de Kqui implique une valeur du contratforward
nulle la date t, i.e.0 = prix en tdu payo ST K =St KBt(T)On en
dduit que le prix du contrat Tforward estStBt(T).Nizar TOUZI Calcul
stochastique& nanceAbsence darbitrage et proprits des
optionsIntroduction la modlisation stochastique en nanceLe
mouvement Brownien comme limite dune marche alatoirePremires
proprits du mouvement brownienAutres exemples dactifs contingents :
options exotiques Option barrire : le paiement terminal est celui
dune optionclassique (call ou put) conditionnellement au passage au
dessus ouen dessous dune barrire B. Le paiement dun call barire
estup-and-out call : (ST K)+1I ST B ; ST:= maxuTSudown-and-out call
: (ST K)+1I ST B ; ST:= minuTSuup-and-in call : (ST K)+1I ST
Bdown-and-in call : (ST K)+1I ST B Option Lookback : paiement
terminal f (ST, ST) Option asiatique : paiement terminal_1T_T0Sudu
K_+.Nizar TOUZI Calcul stochastique& nanceAbsence darbitrage et
proprits des optionsIntroduction la modlisation stochastique en
nanceLe mouvement Brownien comme limite dune marche
alatoirePremires proprits du mouvement brownienOutline1 Absence
darbitrage et proprits des options2 Introduction la modlisation
stochastique en nance3 Le mouvement Brownien comme limite dune
marche alatoire4 Premires proprits du mouvement brownienNizar TOUZI
Calcul stochastique& nanceAbsence darbitrage et proprits des
optionsIntroduction la modlisation stochastique en nanceLe
mouvement Brownien comme limite dune marche alatoirePremires
proprits du mouvement brownienLe modle binomial : march nancier On
considre un march nancier constitu- dun actif sans risque de
rendement R0= ersur chaque priode(rest le taux dintrt)- dun actif
risqu de rendement R. Le modle binomial supposeque(Rt)1tTsont iid
avecP[Rt= u] =1 P[Rt= d] =p o 0 < p< 1 Les acteurs du march
peuvent faire des changes en ces deuxactifs toute date t= 0, . . .
T(soit T+ 1 priodes) sanscontraintes sur les volumes, sans cots de
transaction, sans taxes... On notera pas Stle prix de lactif risqu
la date t, par dnitionSt= RtSt1= =R1 . . . Rt S0Nizar TOUZI Calcul
stochastique& nanceAbsence darbitrage et proprits des
optionsIntroduction la modlisation stochastique en nanceLe
mouvement Brownien comme limite dune marche alatoirePremires
proprits du mouvement brownienPortefeuilles autonancs Allocation
dynamique de la richesse :- Richesse initiale X0= xrpartie en0S0 en
actif risquX00S0 en actif sans risque- Richesse la date t:
Xtrpartie entSten actif risquXt tSten actif sans risque- Valeur de
la richesse la date t + 1 :Xt+1= tSt+1 + (Xt tSt) R0Nizar TOUZI
Calcul stochastique& nanceAbsence darbitrage et proprits des
optionsIntroduction la modlisation stochastique en nanceLe
mouvement Brownien comme limite dune marche alatoirePremires
proprits du mouvement brownienPortefeuilles autonancs - suite On
calcule alors simplement que :XtR0t= X0 +t
k=1k1_SkR0k Sk1R0k1_Nizar TOUZI Calcul stochastique&
nanceAbsence darbitrage et proprits des optionsIntroduction la
modlisation stochastique en nanceLe mouvement Brownien comme limite
dune marche alatoirePremires proprits du mouvement
brownienPortefeuilles et structure dinformation La valeur de la
richesse :XtR0t= X0 +t
k=1k1_SkR0k Sk1R0k1_est connue la date t La dcision
dinvestissement est base sur linformation disponible la date
dinvestissement Mathmatiquement la structure de linformation est
dnie par ladonne dune suite croissante dealgbres(Tt)0tT, etles
variables alatoirest, Xtsont Tt mesurablesNizar TOUZI Calcul
stochastique& nanceAbsence darbitrage et proprits des
optionsIntroduction la modlisation stochastique en nanceLe
mouvement Brownien comme limite dune marche alatoirePremires
proprits du mouvement brownienValeur actualise, choix de numraire
Les valeurs actualises de la richesse et des cours de lactif risqu
:Xt:=XtR0tetSt:=StR0ti.e. valeur exprime en termes de nombre dunits
dactif sans risque sapplique toute variable reprsentant un montant
nancier En termes de valeurs actualise, la richesse sexprime
simplementXt= X0 +t
k=1k1_ Sk Sk1_Nizar TOUZI Calcul stochastique& nanceAbsence
darbitrage et proprits des optionsIntroduction la modlisation
stochastique en nanceLe mouvement Brownien comme limite dune marche
alatoirePremires proprits du mouvement brownienValeur actualise,
choix de numraire - suite On peut aussi utiliser un autre actif de
rference de prix_S0t_0tT:XtS0t,StS0tUn tel actif est alors appel
numraireNizar TOUZI Calcul stochastique& nanceAbsence
darbitrage et proprits des optionsIntroduction la modlisation
stochastique en nanceLe mouvement Brownien comme limite dune marche
alatoirePremires proprits du mouvement brownienExtension : taux
dintrt stochastique, multi-actifs Le rendement R0t= ertsur la
priode[t 1, t] peut varier demanire alatoire. Comme il est rattach
un actif sans risqueR0test une variable alatoire Tt1mesurableOn dit
que(R0t )1tTest un processus prvisible Les valeurs actualises sont
alors dnies parXt=XtR01 R0tetSt=StR01 R0t Si le march contient
dactifs risqus, la richesse se gnralise Xt= X0 +t
k=1k1
_ Sk Sk1_o les processus et Ssont maintenant valeurs dans
RdNizar TOUZI Calcul stochastique& nanceAbsence darbitrage et
proprits des optionsIntroduction la modlisation stochastique en
nanceLe mouvement Brownien comme limite dune marche
alatoirePremires proprits du mouvement brownienOutline1 Absence
darbitrage et proprits des options2 Introduction la modlisation
stochastique en nance3 Le mouvement Brownien comme limite dune
marche alatoire4 Premires proprits du mouvement brownienNizar TOUZI
Calcul stochastique& nanceAbsence darbitrage et proprits des
optionsIntroduction la modlisation stochastique en nanceLe
mouvement Brownien comme limite dune marche alatoirePremires
proprits du mouvement brownienLes grands thormes en probabilit Loi
des grands nombres (LGN) Soit(Ui)i 1 une suite devariables
alatoires relles indpendantes et de mme loi (iid)intgrables ou
positives. Alors1nn
i =1UiE[U1] P p.s. Thorme de la limite centrale (TCL) Soit(Ui)i
1 une suitede variables alatoires relles iid et de carr intgrable.
Alorsn_1nn
i =1Ui E[U1]_N(0, Var[U1]) en loiNizar TOUZI Calcul
stochastique& nanceAbsence darbitrage et proprits des
optionsIntroduction la modlisation stochastique en nanceLe
mouvement Brownien comme limite dune marche alatoirePremires
proprits du mouvement brownienLes gaussiennes Xest distribu suivant
N(0, 1) siP[X [x, x + dx]] =12exp_x22_ dx Xest distribu suivant
N(m, 2) siX mest distribu suivantN(0, 1) Une variable alatoire X
valeurs dans Rnest un vecteurgaussien si a.Xest une gaussienne pour
tout a Rn Soit X valeur dans Rnun vecteur gaussien N(m, V), a Rpetb
/R(p, n) de rang p. Alorsa + bX est distribu suivant N_a + bm ,
bVbT_Nizar TOUZI Calcul stochastique& nanceAbsence darbitrage
et proprits des optionsIntroduction la modlisation stochastique en
nanceLe mouvement Brownien comme limite dune marche
alatoirePremires proprits du mouvement brownienLes gaussiennes -
suite Transforme de Laplace dun vecteur gaussien Xsuivant N(m,
V)E_eX_= em+12TV(caractrise une gaussienne) Soit(Xn)n1 une suite de
gaussiennes qui converge en loi versune variable alatoire X. Alors
Xest une gaussienne Lensemble G des variables alatoires
gaussiennes, muni duproduit scalaire X, Y= E[XY], est un espace de
HilbertNizar TOUZI Calcul stochastique& nanceAbsence darbitrage
et proprits des optionsIntroduction la modlisation stochastique en
nanceLe mouvement Brownien comme limite dune marche
alatoirePremires proprits du mouvement brownienLimite en temps
continu du modle binomial Le temps continu est une modlisation plus
riche qui inclut letemps discret, puisquil sut de se restreindre
des stratgiesdiscrtes... Que devient ce modle trs simple si le pas
de temps tend verszro ? i.e. dates de transaction ti= iTn , i = 0,
. . . , n On dnit Yi:= 1I{Sti=uSti 1}1I{Sti=dSti 1} pour i = 1, . .
. , n,alorsln STS0=n2 ln (ud) + ln_ud_n
i =1Yio Yiiid12 (1 + 1)Thorme de la limite centrale= ln_ud_
Cn1/2etln (ud) = O_n1_ (ici, on a suppos p= 1/2)Typiquement, si
rest le taux dintrt par priode unitaireu =er Tn+
Tnet d =er Tn
TnNizar TOUZI Calcul stochastique& nanceAbsence darbitrage
et proprits des optionsIntroduction la modlisation stochastique en
nanceLe mouvement Brownien comme limite dune marche
alatoirePremires proprits du mouvement brownienMarche alatoire
symtrique change dchelle Fixons p=12, les variables alatoires Yi, i
= 1, . . . , n, sontindpendantes de mme loi P[Yi= 1] =1 P[Yi= 1]=12
marche alatoire : S0=0 et Si=
ij =1 Yj, i 1= Ontend t 0 par interpolation linaire, et on
dnitMnt:=1nSnt , t 0Alors, avec tk:= k/n, k 0 : Mnt
Mntket Mntj Mntiindpendants, 0 i j k n E[Mntk Mnti] =0 et
Var[Mntk Mnti] =tkti , 0 i k Proprit de martingale : Ei[Mntk] =
Mnti, 0 i k Variation quadratique : [Mn, Mn]tk=kj =1_Mntj Mntj 1_2=
tkNizar TOUZI Calcul stochastique& nanceAbsence darbitrage et
proprits des optionsIntroduction la modlisation stochastique en
nanceLe mouvement Brownien comme limite dune marche
alatoirePremires proprits du mouvement brownienLimite en temps
continu de la marche alatoire symtrique On dnitMntpour tout t [0,
1] par interpolation linaire Daprs le thorme de la limite centrale
: Mnt N(0, t) en loi. En utilisant un thorme de la limite centrale
fonctionnel, onobtient la convergence de la suite de processus Mnt
, t [0, 1] versle ... mouvement Brownien (Thorme de Donsker)Figure:
Marche alatoire change dchelleNizar TOUZI Calcul stochastique&
nanceAbsence darbitrage et proprits des optionsIntroduction la
modlisation stochastique en nanceLe mouvement Brownien comme limite
dune marche alatoirePremires proprits du mouvement brownienDe la
marche alatoire au brownienNizar TOUZI Calcul stochastique&
nanceAbsence darbitrage et proprits des optionsIntroduction la
modlisation stochastique en nanceLe mouvement Brownien comme limite
dune marche alatoirePremires proprits du mouvement brownienLe
mouvement brownien T= R+ ou[0, T] Un processus valeurs dans Rnest
une application de Tdans Rn Si Xest un processus, X(., ) est une
trajectoire correspondant ltat du monde Dnition W:(t, ) TW(t, ) R
est unmouvement brownien standard si W0= 0 et West trajectoires
continues p.s. West accroissements indpendants : Wt4 Wt3et Wt2
Wt1indpendants si 0 t1 t2 t3 t4 Wt+hWtest distribu suivant N(0, h)
pour t> s 0Nizar TOUZI Calcul stochastique& nanceAbsence
darbitrage et proprits des optionsIntroduction la modlisation
stochastique en nanceLe mouvement Brownien comme limite dune marche
alatoirePremires proprits du mouvement brownienMouvement brownien
et nance Louis Bachelier a t le premier introduire le
mouvementbrownien dans la modlisation mathmatique en nance, mais
sestravaux nont pas eu le succs mrit... Fisher Black, Myron
Scholes, et Robert Merton (Prix NobeldEconomie 1997) ont crit les
articles fondateurs entre 1969 et1973 de la thrie moderne de la
nance mathmatique. Ils ontintroduit la thorie de lvaluation par
arbitrage et de gestion deportefeuille.Nizar TOUZI Calcul
stochastique& nanceAbsence darbitrage et proprits des
optionsIntroduction la modlisation stochastique en nanceLe
mouvement Brownien comme limite dune marche alatoirePremires
proprits du mouvement brownienIntgration stochastique et nance
Rappelons que la valeur actualise dun portefeuille estXt= X0 +t
k=1k1
_ Sk Sk1_ Si on veut dnir ce processus en temps continu, on doit
trecapable de passer la limite quand le pas de temps tend vers
zro.Si tout se passe bien, on sattend obtenirXt= X0 +_t0u
dSu(intgrale stochastique) Ce passage la limite nest pas trivial
car la variation totalelimnk
j =1Mtj Mtj 1=1nn !Nizar TOUZI Calcul stochastique&
nanceAbsence darbitrage et proprits des optionsIntroduction la
modlisation stochastique en nanceLe mouvement Brownien comme limite
dune marche alatoirePremires proprits du mouvement brownienOutline1
Absence darbitrage et proprits des options2 Introduction la
modlisation stochastique en nance3 Le mouvement Brownien comme
limite dune marche alatoire4 Premires proprits du mouvement
brownienNizar TOUZI Calcul stochastique& nanceAbsence
darbitrage et proprits des optionsIntroduction la modlisation
stochastique en nanceLe mouvement Brownien comme limite dune marche
alatoirePremires proprits du mouvement brownienDistribution
marginale du mouvement brownien Par dnition Wtest distribu suivant
N(0, t) :P[Wt [x, x + dx]] =12tex2/2tvrie lquation de la chaleur !
!Figure: Une trajectoire brownienne et les courbes 1.96tNizar TOUZI
Calcul stochastique& nanceAbsence darbitrage et proprits des
optionsIntroduction la modlisation stochastique en nanceLe
mouvement Brownien comme limite dune marche alatoirePremires
proprits du mouvement brownienMoments, proprit de martingale
Fonction de covariance :Cov (Wt, Ws) = E[WtWs] =t s =mint, s
Proprit de martingale : avec Ts:= (Wu, u s),E[Wt[Ts] =Wspour 0 s t
E_W2t [Ts W2s , s t, et _W2t t, t 0_ est martingale. Avec ti:= itn,
(p.s.-) limnn
j =1_Wtj Wtj 1_2=t(LGN)- Nous verrons que cette limite ne dpend
pas du choix de lasubdivision de[0, t], et quelle dnit la variation
quadratique- Pour f : R+ R de classe C1, on alimnn
j =1(f (tj) f (tj 1))2= 0...Nizar TOUZI Calcul stochastique&
nanceAbsence darbitrage et proprits des optionsIntroduction la
modlisation stochastique en nanceLe mouvement Brownien comme limite
dune marche alatoirePremires proprits du mouvement brownienProprits
dinvarianceSoit W= Wt, t 0 un mouvement brownien. Alors Symtrie :
West un MB Proprit dchelle (scaling) : pour tout c>
0,_Wct:=1cWc2t, t 0_ est un MB Retournement du temps : pour tout
T> 0,_ WTt:= WT Wt, t [0, T]_ est un MB Inversion du temps :_
Wt:= tW1/t, t> 0,W0= 0_ est un MB(continuit en zro !)Nizar TOUZI
Calcul stochastique& nance
