Calcul Tensoriel
Universite de Bretagne Sud
Herve LAURENT/Gerard RIO
version 2001/2002
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Table des matieres
1 Rappels sur les espaces vectoriels en geometrie differentielle 71.1 Espace vectoriel sur IR [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Sous Espace Vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Base dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Combinaison lineaire de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Espace vectoriel engendre et famille generatrice . . . . . . . . . . 81.3.3 Partie libre, partie liee dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . 81.3.4 Base dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Dimension dun espace vectoriel fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Espace vectoriel euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Espace affine euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Introduction a la notion de tenseurs 112.1 Extension de la notion de vecteurs et scalaires . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Somme de deux sous espace vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Base duale 153.1 Produit scalaire dans une base ~ei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Utilisation du symbole de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Definition generale du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Composantes contravariantes et covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Changement de base 194.1 Changement de base pour les composantes dun vecteur . . . . . . . . . 19
4.1.1 Etude du comportement des composantes contravariantes dansun changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1.2 Etude du comportement des composantes covariantes dans unchangement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Changement de base pour les composantes dun tenseur . . . . . . . . . 21
5 Operations sur les tenseurs 235.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Addition et multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.3 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.4 Contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.5 Produit Contracte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.6 Tenseur symetrique et anti-symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
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6 Tenseur metrique ou tenseur fondamental 276.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7 Coordonnees curvilignes 297.1 Reperes rectilignes et curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.2 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.3 Notion de tenseur absolu et relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8 Determinant et produit vectoriel 338.1 Tenseur permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.1.1 Expression generale du determinant . . . . . . . . . . . . . . . . 348.1.2 Passage entre 2 bases naturelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.1.3 Passage entre le repere absolu et le parametrage i . . . . . . . . 35
8.2 Tenseur permutation absolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.3 Produit vectoriel (cross product en anglais) . . . . . . . . . . . . . . . . 368.4 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378.5 Element de surface et de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9 Derivees et integrales 399.1 Symboles de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.1.1 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.2 Derivee covariante dun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.3 Gradient-Derivee covariante dun scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 429.4 Derivee covariante dun tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439.5 Cas du tenseur metrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449.6 Derivees seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449.7 Operateur de derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9.7.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459.7.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459.7.3 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469.7.4 Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
9.8 Theoreme de la divergence et du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . 469.8.1 Theoreme de la divergence : cas dune surface . . . . . . . . . . . 469.8.2 Theoreme de Gauss : cas dune volume . . . . . . . . . . . . . . . 479.8.3 Theoreme du rotationnel ou theoreme de Stockes . . . . . . . . . 47
Notations
Notation matricielle :[ ] matrice( ) vecteur colonne< > vecteur ligneNotation indicielle :a . . . h concerne les coordonnees dans le repere cartesien (variant de 1 a 3)i . . . q concerne les coordonnees curvilignes (variant de 1 a 3) . . . concerne les coordonnees curvilignes (variant de 1 a 2)
Algebre
a, . . . , z; A, . . . , Z scalaire ( IR)a , . . . ,z vecteurs ( IRn)A, . . . , Z
tenseurs ( IRn)
ij = ij = ij symbole de Kronecker
Id
tenseur identite
eijk composantes du tenseur permutationijk composantes du tenseur permutation absolu a norme euclidienne du vecteur a|a| = det
[a
]determinant du tenseur a
a .b produit scalaire des vecteurs a et
b
a b produit vectoriel des vecteurs a et
b
a
: b
produit contracte des tenseurs a
et b
a b
produit tensoriel des tenseurs a
et b
i parametrage curviligneijk symbole de Christoffel de premiere especeijk symbole de Christoffel de seconde espece
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Chapitre 1
Rappels sur les espaces vectorielsen geometrie differentielle
1.1 Espace vectoriel sur IR [5]
Definition : Un ensemble de vecteurs e est un espace vectoriel sur IR si leselements de e composes des vecteurs x , y , z , . . . ont les proprietes suivantes :
1. Operations daddition (loi de composition interne)
(a) Commutativite : x +y = y +x(b) Associativite : x + (y +z ) = (x +y ) +z(c) Element neutre : un vecteur nul
O | x +
O = x
(d) Element symetrique : pour chaque vecteur, un vecteur oppose notex tel que : x + (x ) =
O
2. Operations de multiplication par un scalaire (loi de composition ex-terne)
(a) Pour tout x e on a : 1.x = x(b) Associativite : pour tout x e et pour tous reels et , on a :
. (.x ) = (.) .x(c) Distributivite des scalaires par rapport a laddition : pour tout x e
et pour tous reels et , on a : ( + ) .x = .x + .x(d) Distributivite des vecteurs par rapport a laddition : pour tout x e
et pour tous reels et , on a :
. (x +y ) = .x + .y
Un espace vectoriel possede les proprietes suivantes :
1. Pour tout x , y , z de e : x +y = x +z y = z2. Pour tout x , y de e, il existe un unique vecteur z tel que x = y +z3. Pour tout x e et pour tout reel on a :
.x = 0 = 0 ou x = 0
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1.2 Sous Espace Vectoriel
Definition : On nomme sous espace vectoriel dun espace vectoriel e, toutepartie e non vide de e stable pour les operations daddition et de multiplicationdefinies sur e. x , y e et pour tout reel et :
(x + y ) appartient a e
On montre alors que e est un espace vectoriel muni des operations daddition etde multiplication.
1.3 Base dun espace vectoriel
1.3.1 Combinaison lineaire de vecteurs
Soit e un espace vectoriel sur IR et soit (e1 , e2 , . . . , en) un sous ensemble finide vecteurs de e. On appelle combinaison lineaire des vecteurs e1 , e2 , . . . , entout vecteur v tel que :
v = 1e1 + 2e2 + + nen =ni=1
iei
Rq : v est toujours un element de e.
1.3.2 Espace vectoriel engendre et famille generatrice
Lensemble des combinaisons lineaires des vecteurs de toute partie finie(e1 , e2 , . . . , en) dun espace vectoriel e est un sous espace vectoriel de e, ap-pele sous espace vectoriel engendre par : e1 , e2 , . . . , enUne partie G ou famille de vecteur dun espace vectoriel e est dite genera-trice de e si tout vecteur de e est une combinaison lineaire de G.
1.3.3 Partie libre, partie liee dun espace vectoriel
Une partie dun espace vectoriel e sur IR, est dite libre si pour tout nombrefini delements (e1 , e2 , . . . , en) de cette partie on a :
ni=1
iei =
0 = 1 = 2 = = n = 0
La partie liee dans le cas contraire.Propriete : si une partie L est une partie liee dun espace vectoriel, alors lunau moins des vecteurs de L est une combinaison lineaire dautres vecteurs de L.
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1.3.4 Base dun espace vectoriel
On nomme base dun espace vectoriel toute partie generatrice et libre decet espace vectoriel.
Propriete caracteristique dune base : pour quune partie B dun espacevectoriel e soit une base de e, il faut et il suffit que tout vecteur de e sexprimede facon unique, par une combinaison lineaire dun nombre fini de vecteursde e.
Coordonnees dun vecteur dans une base donnee soit B =(e1 , e2 , . . . , en) une base finie dun espace vectoriel e sur
