calcul tensorielPart3_Tome1

Annexe I

lments de calcul tensoriel

MOTS CLS Forme multilinaire. Tenseur. Variance. Produit tensoriel. Dcomposition. Contraction. Produit contract. Invariants. Tenseurs euclidiens. Champ de tenseurs. Gradient. Divergence. Coordonnes curvilignes.

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295

En bref...

tant donn un espace vectoriel E et son espace dual E , la notion de tenseur est lie ltude des formes multilinaires sur un espace F produit de E et de E de degr n quelconque (section 1). Une mthode vidente pour produire de telles formes consiste considrer les formes dont la valeur est donne par le produit des valeurs prises par n formes linaires sur E ou sur E . Une forme n-linaire sur F ainsi obtenue est appele tenseur dcompos dordre n, et on la note par le symbole entre chacune des formes sur E ou sur E , qui sont elles-mmes des lments de E ou de E respectivement, qui la constituent (section 2). Ce mode de construction ne sut pas pour engendrer tout lespace des formes n-linaires sur F . Par contre il permet, par exemple partir dune base de E et de la base duale dans E , de produire une base de lespace vectoriel des formes n-linaires sur F . Toutes les formes cherches, appeles tenseurs (dordre n) sur F , sont engendres partir dune telle base (section 3). Lespace vectoriel correspondant est identi un produit tensoriel dordre n de E et de E . On dnit sur les tenseurs deux oprations fondamentales. Dune part le produit tensoriel, not , qui permet, partir de deux tenseurs dordres p et q dnis sur des espaces Fp et Fq , de constituer un tenseur dordre (p+ q) sur lespace F produit de Fp par Fq (ou inversement) en gnralisant la procdure de construction des tenseurs dcomposs partir des lments de E et de E (section 2). Dautre part la contraction qui permet, sous certaines conditions, partir dun tenseur dordre n sur F , dobtenir des tenseurs dordre (n 2), (n 4), . . . sur des espaces Fn2 , . . . (section 3). Ces oprations peuvent tre combines : on obtient le produit contract de deux tenseurs, dont la mcanique fait grand usage (section 4). On sait que pour un espace E muni dune structure euclidienne, on met en vidence un isomorphisme dit canonique qui permet didentier E et son dual E en substituant au produit de dualit le produit scalaire dans E. Cet isomorphisme permet aussi de montrer que les espaces pro-

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Annexe I lments de calcul tensoriel

duits de E et de E de degr n quelconque sont isomorphes entre eux. Il en rsulte lisomorphisme des espaces de tenseurs sur ces espaces. De la mme faon que lon identie une forme linaire sur E, lment de E , son vecteur associ, lment de E, par lisomorphisme canonique, introduisant ainsi la notion de vecteur euclidien, on identiera les 2n tenseurs dordre n qui se correspondent par lisomorphisme celui dentre eux qui est lment du produit tensoriel dordre n de E par lui-mme : cest le tenseur euclidien correspondant. Les deux oprations fondamentales introduites auparavant sont transportes de faon cohrente sur les tenseurs euclidiens. La contraction est alors toujours possible ; les rgles opratoires en sont simplies et sexpriment toutes au moyen du produit scalaire dans E (section 5). Une application importante du calcul tensoriel apparat dans la possibilit de gnraliser des ordres suprieurs les notions de gradient et de divergence. Pour un champ de tenseurs dordre n, dni sur un espace ane dont E est lespace vectoriel associ, le gradient en un point est le tenseur dordre (n+1) dont le produit contract par un vecteur lmentaire de E (lment direntiel) donne la variation direntielle correspondante du champ de tenseurs en ce point. La divergence est obtenue par contraction du tenseur gradient : cest un tenseur dordre (n 1). La formule de la divergence transformant une intgrale de surface de type ux en intgrale de volume est tendue aux tenseurs dordre quelconque (section 6).

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Principales notations

Notation j i

Signication produit de dualit produit tensoriel symbole de Kronecker tenseur dterminant trace symbole de la transposition produit contract sur le dernier indice du tenseur qui prcde et le premier indice du tenseur qui le suit

1re formule (1.2) (2.1) (2.6) (3.3) (3.16) (3.17) (3.18) (4.3)

T T i j k ei ej ek det trt

:

produit doublement contract sur les deux indices adjacents : , et sur les deux indices adjacents ceux-ci tenseur mtrique produit scalaire produit contract pour les tenseurs euclidiens : mme rgle dindices que pour produit doublement contract pour les tenseurs euclidiens : mme rgle dindices que pour : tenseur euclidien matrice de T dans une base orthonorme drive selon le vecteur w gradient divergence

(4.14)

G . .

(5.1) (5.2) (5.32)

:

(5.36)

T T Dw div

5.8 5.9 (6.3) (6.4) (6.8)

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Tenseurs sur un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Tenseurs du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Tenseurs du 2me ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Produit tensoriel de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Tenseurs dcomposs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Dcomposition dun tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Tenseurs mixtes du 2me ordre . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Tenseurs du 2me ordre 2 fois contravariants ou 2 fois covariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Composantes dun produit tensoriel . . . . . . . . . . . 4 Contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Dnition de la contraction dun tenseur . . . . . . . . . 4.2 Multiplication contracte . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Produit doublement contract de deux tenseurs . . . . . 4.4 Contraction totale dun produit tensoriel . . . . . . . . 4.5 Dnition dun tenseur par dualit . . . . . . . . . . . . 4.6 Invariants dun tenseur mixte du 2me ordre . . . . . . . 5 Tenseurs sur un espace vectoriel euclidien . . . . . . . . 5.1 Dnition dun espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Tenseur des dilatations dans une application linaire . . 5.3 Isomorphisme entre E et E . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Reprage covariant dun vecteur de E . . . . . . . . . . 5.5 Tenseurs euclidiens du 1er ordre ; produit contract . . . 5.6 Tenseurs euclidiens du 2me ordre dcomposs ; produits contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Tenseurs euclidiens du 2me ordre . . . . . . . . . . . . . 5.8 Tenseurs euclidiens dordre n . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Choix dune base orthonorme dans E . . . . . . . . . . 5.10 Directions principales et valeurs principales dun tenseur euclidien du 2me ordre symtrique, rel . . . . . . . . . 6 Champs de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Drivation dun champ de tenseurs ; gradient dun champ de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Divergence dun champ de tenseurs . . . . . . . . . . . . 6.4 Calculs en coordonnes curvilignes . . . . . . . . . . . . Rcapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . .

1

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1 Tenseurs sur un espace vectoriel

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lments de calcul tensorielLobjectif poursuivi dans ce texte est, sans souci de formalisme mathmatique disponible dans dautres ouvrages, de donner au lecteur les connaissances lmentaires susantes pour lutilisation du calcul tensoriel dans la prsentation propose de la mcanique des milieux continus tridimensionnels. Cette introduction au calcul tensoriel est articule en trois parties. La premire est consacre la dnition des tenseurs sur un espace vectoriel et la prsentation de leurs proprits et des oprations essentielles du calcul tensoriel ; elle occupe les sections 1 4. La deuxime partie traite des tenseurs euclidiens : cest la section 5. La troisime aborde la question des champs de tenseurs et de la drivation de ces champs. Du point de vue des applications immdiates dans louvrage, ce sont les deuxime et troisime parties (en ce qui y concerne les tenseurs euclidiens) auxquelles il sera fait essentiellement appel : cest dailleurs pour cette raison que le rcapitulatif des formules essentielles disponible la n de cette annexe ne concerne que les rsultats relatifs aux tenseurs euclidiens. Il a pourtant sembl prfrable dadopter une prsentation initiale indpendante de la structure euclidienne de lespace dans le but de mieux dgager lintervention de la dualit.

11.1

Tenseurs sur un espace vectorielDnition

E dsignant un espace vectoriel de dimension nie n (sur R ou C) et E le dual de E, on appelle tenseur p fois contravariant et q fois covariant toute forme multilinaire T dnie sur (E )p (E)q . En notant u(i) v (j) p vecteurs quelconques de E q vecteurs quelconques de E i = 1, . . . , p j = 1, . . . , q

une telle forme associe aux vecteurs arguments u(i) et v (j) pris dans cet ordre, le scalaire : (1.1) T (u(1) , . . . , u(p) , v (1) , . . . , v (q) ) .

La somme (p + q) est appele ordre du tenseur . Les nombres p et q sont les variances. Lordre dans lequel les vecteurs arguments apparaissent dans T doit tre spci dans la dnition de la forme : ici on a choisi, pour simplier, dordonner les arguments en prenant dabord les vecteurs de E puis ceux de E. Il est clair que lensemble des tenseurs de variances p et q dtermines, et correspondant au mme ordre des vecteurs arguments, admet une structure despace vectoriel.

300


On peut examiner, titre dexemples, les cas des tenseurs du 1er ordre et du 2me ordre dont lusage est trs frquent en mcanique des milieux continus. Notation : On convient de noter par : (1.2) =< v , u >

le produit de dualit entre un vecteur u de E et un vecteur v de E.

1.2

Tenseurs du 1er ordre

Tenseur contravariant du 1er ordre Cest, par dnition, une forme linaire T sur E que lon identie classiquement par le produit de dualit un vecteur T de E. On crit : (1.3) u E , T (u ) =< T , u > .

Les tenseurs du 1er ordre contravariants sont les vecteurs de E. Tenseur covariant du 1er ordre Cest, par dnition, une forme linaire sur E qui est donc identie un vecteur de E . Les tenseurs du 1er ordre covariants sont les vecteurs de E .

1.3

Tenseurs du 2me ordre

Tenseur covariant du 2me ordre Cest une forme bilinaire sur E E. En mcanique des milieux continus, les tenseurs de dformation et de taux de dformation sont des tenseurs 2 fois covariants (cf. chapitres II et III). Tenseur contravariant du 2me ordre Cest une forme bilinaire sur E E . En mcanique des milieux continus, les tenseurs de contrainte sont des tenseurs 2 fois contravariants (cf. chapitre V). Tenseur mixte contravariant-covariant du 2me ordre Cest une forme bilinaire T sur E E associant deux vecteurs quelconques u de E et v de E le scalaire T (u , v). Elle permet de dnir, par dualit, une application linaire de E dans E, soit

2 Produit tensoriel de tenseurs

301

, en crivant : (1.4) u E , v E , T (u , v) = .

Rciproquement, la donne dune application linaire de E dans E permet de dnir un tenseur mixte T du deuxime ordre contravariant-covariant par la formule (1.4). Ce type de dnition se rencontre frquemment en mcanique des milieux continus. En particulier on dnira le tenseur inverse du tenseur T , not T 1 comme le tenseur associ lapplication linaire rciproque de si elle existe, soit 1 ; cest encore un tenseur mixte contravariant-covariant : (1.5) u E , v E , T 1 (u , v) = .

Une dmarche analogue peut tre suivie en se plaant du point de vue des applications linaires de E dans E .

22.1

Produit tensoriel de tenseursDnition

Soient, titre dexemple, les deux tenseurs : T , forme trilinaire sur E E E , T , forme bilinaire sur E E , on dnit le tenseur T , produit tensoriel de T par T , not T = T T par : v (1) , v (2) , v (3) E , u(1) , u(2) E (2.1) T (v (1) , u(1) , v (2) , u(2) , v (3) ) = T (v (1) , u(1) , v (2) )T (u(2) , v (3) ) . Lopration produit tensoriel est distributive ( gauche et droite) par rapport laddition, et associative. Elle nest pas commutative.

2.2

Exemples

Produit tensoriel de 2 vecteurs de E Soient a , b E (2.2) T = a b est dni par (2.1) ; il vient :

u(1) , u(2) E , (a b)(u(1) , u(2) ) =< a , u(1) > .

Ainsi T = a b est une forme bilinaire sur (E )2 . Produit tensoriel dun vecteur de E par un vecteur de E Soient a E et b E , T = a b est dni par (2.1) ; il vient : (2.3) u E , v E , (a b )(u , v) =< a , u >< v , b >

302


et lon voit que T = a b est un tenseur mixte contravariant-covariant. Lapplication linaire de E dans E correspondante, dnie par (1.4), peut ici tre explicite ; daprs (2.3), T (u , v) scrit aussi : T (u , v) => do : (2.4) v E , (v) =< v , b > a

2.3

Tenseurs dcomposs

Soit T un tenseur dordre n = p + q , p-contravariant et q-covariant. On dit que T est dcompos sil peut tre mis sous la forme du produit tensoriel, dans lordre voulu , de p vecteurs de E par q vecteurs de E . Dsignant par {ek } une base de E, on dnit {ek } la base duale de celle-ci dans E cest--dire telle que

(2.5)

j < ei , ej >= i

j o i , symbole de Kronecker, prend les valeurs :

(2.6)

j i = 1

j si i = j , i = 0

si i = j .

On peut alors dcomposer les vecteurs de E et E sur ces bases suivant les formules : (2.7) v=v e u = u e

(2.8)

dans lesquelles on adopte la convention dite des indices muets (ou rpts) cest--dire quil y a sommation par rapport aux couples dindices rpts placs lun en haut et lautre en bas (1) . Considrant alors, titre dexemple, le tenseur dcompos : (2.9) on a : (2.10) u(1) , u(2) E , v E , (ei ej ek )(u(1) , v , u(2) ) = ui v j uk .(1) (2)(1) La convention sur la position des indices est dusage gnral. Elle prsente lintrt, comme on le verra dans la suite, par son caractre systmatique de faciliter la lecture et lcriture des formules (cf. par exemple 3.2).

T = ei ej ek

3 Dcomposition dun tenseur

303

33.1

Dcomposition dun tenseurDnition

Soit, titre dexemple, T un tenseur dordre 3, 1-contravariant, 1-covariant et 1-contravariant. Avec les bases {ek } et {ek } introduites ci-dessus, on pose (3.1) T (ei , ej , ek ) = T i j k , i, j, k = 1, . . . , n . (3.2)

On en dduit, T tant linaire, que : u(1) , u(2) E , v E (1) (2) T (u(1) , v , u(2) ) = ui v j uk T (ei , ej , ek ) ou encore (1) (2) T (u(1) , v , u(2) ) = ui v j uk T i j k

avec la convention de sommation sur les indices rpts qui sera sous-entendue dans toute la suite sauf mention explicite du contraire. Par comparaison de (3.2) avec (2.10) on obtient les formules essentielles : (3.3) (3.4) T T i j k ei ej ek T i j k = T (ei , ej , ek )

La formule (3.3) donne la dcomposition du tenseur T 1-contravariant, 1-covariant, 1-contravariant quelconque sur les n3 tenseurs dcomposs ei ej ek (i , j , k = 1, . . . , n). De plus la formule (2.10) assure lindpendance de ces n3 tenseurs dcomposs. En eet on remarque que lon peut crire compte tenu de (2.5) : (3.5)p j r i , j , k , p , q , r = 1, . . . , n , (ei ej ek )(ep , eq , er ) = i q k .

Ainsi les tenseurs dcomposs ei ej ek (i , j , k = 1, . . . , n) constituent une base de lespace vectoriel des tenseurs T dont la variance a t indique plus haut. Les T i j k sont les composantes de T dans cette base. Dsignant alors par u(1) , u(2) , v, des vecteurs arguments quelconques de T , dcomposs selon (2.7) et (2.8), on obtient immdiatement, par application de (2.10) et (3.3) la valeur de T (u(1) , v , u(2) ) : (3.6) T (u(1) , v , u(2) ) = T i j k ui v j uk .(1) (2)

Les rsultats noncs dans ce cas particulier de tenseurs T sont videmment de porte gnrale.

304


Remarque La notion de produit tensoriel de tenseurs a t introduite au paragraphe 2.1. Une prsentation mathmatique plus gnrale dnit la notion de produit tensoriel despaces. On peut alors montrer que lespace vectoriel des tenseurs T choisis comme exemples pour la dmonstration qui prcde de la dcomposition dun tenseur est isomorphe au produit tensoriel despaces vectoriels E et E not E E E. Il est commode didentier ces deux espaces, crivant ainsi pour les tenseurs T ci-dessus : T E E E , notation cohrente avec la formule de dcomposition (3.3). Cette criture sera adopte de manire gnrale dans toute la suite.

3.2

Changement de base

On considre encore, titre dexemples, les mmes tenseurs T de lespace E E E. On suppose connus, outre les bases duales {ek } et {ek } de E et de E utilises au paragraphe prcdent, un autre couple de bases duales de ces mmes espaces, soit {ek } et {e k } , et lon dnit la nouvelle base {ek } de vecteurs de E dans lancienne base {ek } par la formule : (3.7) ei = k ek i

(k : composantes de la nouvelle base de E dans lancienne base). Linversion de cette i formule exprime lancienne base dans la nouvelle : (3.8) avec la relation (3.9)j j k k = i i j ek = k e j

j (qui rappelle que les matrices de coecients k et k sont videmment inverses). i

Les relations entre la nouvelle et lancienne base duale dans E sobtiennent par identication partir des formules prcdentes dans lexpression mme du produit de dualit : < e j , e >= j , do lexpression de la nouvelle base duale dans lancienne : (3.10) et la formule inverse : (3.11) ek = k e i . ij e j = k ek


305

Toutes ces formules de passage tant tablies, on sintresse maintenant la dcomposition de T dans la base {ei e j ek } : T =Ti k j

ei e j ek .

Les nouvelles composantes sobtiennent sans dicult en exploitant, dans (3.3), les formules (3.8) et (3.11) compte tenu de la distributivit du produit tensoriel de tenseurs. Il vient : (3.12) et les formules inverses : (3.13)m T i j k = i j k T n m n

T

i k j

k = i m n T j

m

n

.

Lapplication de ces formules au cas dun tenseur du 1er ordre T = Ti ei lment de E forme linaire sur E, cest--dire 1-covariant ( 1.2), fournit la relation : Ti

= i T

qui explique la terminologie : le tenseur est dit covariant parce que ses composantes, dont les indices sont infrieurs, se transforment, dans le changement de base, comme la base primale elle-mme, dont les vecteurs ont eux aussi des indices infrieurs. Pour un tenseur du 1er ordre de E, soit T = T j ej , on obtient : Tj j = k T k

qui explique, de la mme manire, la terminologie de contravariance. On peut alors retenir la formule gnrale pour un tenseur T quelconque sous la forme : chaque covariance, indice infrieur, introduit un facteur et chaque contravariance, indice suprieur, introduit un facteur (2) .

3.3

Tenseurs mixtes du 2me ordre

Soit T un lment de E E et lapplication linaire de E dans E qui lui est associe par (1.4). On dsigne par i j les coecients de la matrice (3) de dans la base {ek } de E, cest--dire que : (3.14) v = v j ej , (v) = i j v j ei .

Soient dautre part T i j les composantes de T dans la base {em en } de E E . On a alors en appliquant (3.4) et (1.4) : T i j = T (ei , ej ) =< ei , (ej ) >(2) Dans la pratique, lorsque lon procde de tels changements de bases, il est souvent plus commode, plutt que dappliquer la formule gnrale (3.12), de reproduire sur le cas particulier considr le raisonnement qui permet de lobtenir par identication. (3) 1er indice : ligne ; 2me indice : colonne.

306


do, avec (3.14) : (3.15) T i j = i j i , j = 1, . . . , n .

Ainsi, les composantes de T dans la base {em en } sont identiques aux coefcients de la matrice de lapplication linaire de E dans E associe T dans la base {ek }. Il sensuit que les composantes T i j de T possdent vis--vis des changements quelconques de bases {ek } dans E, les bases {ek } dans E tant toujours les bases duales, les proprits connues pour les coecients de la matrice dune application linaire. En particulier on sait que dans ces changements de base certaines expressions polynomiales sont invariantes. On rappelle que det [ i j ] est un invariant , donc : (3.16) det [ T i j ] = det T est un invariant .

Il en va de mme de tous les coecients du polynme caractristique en obtenu en crivant linvariance du dterminant de la matrice de lapplication linaire de E dans E dnie par : v E (v) v E ( scalaire quelconque) .

Ces coecients constituent une base de n invariants polynomiaux indpendants de degrs 1 n en i j . Parmi ceux-ci, outre det[ i j ] de degr n, on trouve tr [ i j ] de degr 1 : (3.17) Ti i

= tr T est un invariant

(on le vrie dailleurs directement sans dicult puisque par (3.12) on a : T i i = i k j k T j k = j T j k = T k k ). Cette opration trace est un cas particulier de la i contraction tudie dans la suite. De mme on utilisera souvent en mcanique une base de n invariants polynomiaux indpendants de degrs 1 n, autre que celle voque ci-dessus, obtenue par contraction (cf. 4.6). On introduit aussi le tenseur t T transpos de T ; cest llment de E E dni par : u E , v E (3.18) t T (v , u ) = T (u , v)t

T se met sous la forme :t

T = (t T )i j ei ej

et lon a, par (3.4) et (3.18), la relation : (3.19) (t T )i j = T j i .

Si T est un tenseur dcompos T = a b, on a videmment : t T = b a .


307

3.4

Tenseurs du 2me ordre 2 fois contravariants ou 2 fois covariants

On considre titre dexemple les tenseurs du 2me ordre 2 fois covariants. Tenseurs symtriques. Par dnition, T E E est symtrique si lon a : v , v E , T (v , v ) = T (v , v ) ; do, pour toute base {ei } de E et base duale {ej } de E , daprs (3.3) et (3.4) : (3.20) T = Tij ei ej , Tij = Tji .

Tenseurs antisymtriques. De mme, T E E est antisymtrique si lon a v , v E , T (v , v ) = T (v , v ) do, comme ci-dessus : (3.21) T = Tij ei ej , Tij = Tji .

Tout tenseur T E E peut tre mis, de faon unique, sous la forme de la somme dun tenseur symtrique Ts et dun tenseur antisymtrique Ta de E E : (3.22) T = Ta + Ts .

Ces tenseurs Ts et Ta sont en eet dnis de manire unique par : v , v E , Ts (v , v ) = 1 ( T (v , v ) + T (v , v ) ) 2 (3.23) v , v E , T (v , v ) = 1 ( T (v , v ) T (v , v ) ) , a 2 qui implique, pour toute base {ej } de E et base duale {ek } de E : (3.24) (Ts )ij = 1 1 (Tij + Tji ) (Ta )ij = (Tij Tji ) . 2 2

Les mmes rsultats, aux positions suprieures des indices prs, sont valables pour les tenseurs 2 fois contravariants.

3.5

Composantes dun produit tensoriel E E :

Soient, titre dexemple, T E E E et T T =T T =Tj i i ke m

ej ek

e em

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alors on a videmment, pour T = T T T = Ti avec : (3.25) Ti j km j k me i

:

ej ek e em =Tj i kT

m

.

Ainsi, dans le cas particulier dun tenseur T dcompos tel que : T = a b c d on aura : (3.26) T i j k = a i b j ck d .

44.1

ContractionDnition de la contraction dun tenseurSoit, titre dexemple, un tenseur T lment de E E E E. Soit {ek } une base de E et {ej } la base duale de E . Alors llment Tc dni par : v E , u E , Tc (u , v) = T (u , ei , v , ei )(4)

(4.1)

est indpendant du choix de la base {ek } et est un tenseur lment de E E . En eet {ek } dsignant une autre base de E, on a avec les notations du paragraphe 3.2 : i T (u , e i , v , e i ) = j k T (u , ej , v , ek ) i do, daprs (3.9) : T (u , e i , v , e i ) = T (u , ej , v , ej ) . Llment Tc , dni par (4.1) est donc bien intrinsque : cest une forme bilinaire sur E E, cest--dire un tenseur 1-contravariant 1-covariant. Ce tenseur Tc est dit contract de T sur les vecteurs arguments 2 et 4, ou sur les indices 2 et 4. On remarquera que la contraction ne peut se faire que sur des indices correspondant des vecteurs arguments pris lun dans E lautre dans E . Du point de vue des composantes, on vriera sans peine que lon a : (4.2) (Tc )i j = T i kj k

(sommation sur les indices en position 2 et 4 situs lun en bas et lautre en haut). La dnition donne sur cet exemple est gnrale. La contraction dun tenseur dordre n et de variances p et q conduit un tenseur dordre (n 2) et de variances (p 1) et (q 1).(4) Bien

remarquer la sommation sur les indices rpts.

4 Contraction

309

4.2

Multiplication contracte

La multiplication contracte de deux tenseurs T et T consiste eectuer le produit tensoriel T = T T que lon contracte ensuite suivant un indice de T et un indice de T de variance contraire. Le cas le plus courant est celui o le produit tensoriel T = T T est contract sur le dernier indice de T et le premier indice de T , sous rserve bien entendu que cette opration soit possible cest--dire que les variances correspondantes soient contraires. Le rsultat de cette multiplication contracte sera not : (4.3) Tc = T T .

Lopration (4.3) se rencontre frquemment en mcanique et on en examinera dans la suite quelques cas particuliers. On remarque que la multiplication contracte est distributive gauche et droite par rapport laddition. Produit contract de a E et b E On a : do : Tc = a T = a b = ai bj ei ej b = ai b i

qui nest autre que le produit de dualit < a , b > : (4.4) a b =< a , b > .

Produit contract de T E E et v E Ici : do : T v = T i j v j ei qui nest autre que le vecteur de E image de v par lapplication linaire associe au tenseur mixte du deuxime ordre donn : (4.5) T v = (v) . T v = T i j v k ei ej ek

On remarquera aussi que si lon considre le produit tensoriel de v et t T soit v t T , sa contraction conduit au rsultat : (4.6) vt

T =T

v = (v) .

310


Produit contract de deux tenseurs mixtes du 2me ordre Soient T et T E E , et les applications linaires de E dans E correspondantes. On vrie sans dicult que le produit contract Tc = T T est, lui aussi, un tenseur mixte du deuxime ordre, lment de E E et que, si lon dsigne c lapplication linaire de E dans E associe Tc , on a : (c )i j = (Tc )i j = Ti k

T

k

j

=

i

k

kj .

qui montre que c est le produit des applications linaires et : (4.7) On en dduit aussi le rsultat : (4.8) v E , (T T ) v=T (T v) c = .

qui exprime lassociativit de la multiplication contracte dans ce cas et permet dcrire, sans autre prcision, des formules du type : T T T v , etc . En particulier, soit T E E et T 1 le tenseur inverse dni au paragraphe 1.3. On a, par application immdiate de (4.8) : (4.9) T 1 T =T T 1 = I , o lon dsigne par I le tenseur de E E associ lapplication identique de E dans E. Pour les composantes, on a videmment : (4.10)i T i j (T 1 )j k = k .

Enn, il est immdiat de vrier partir de (4.6) et (4.8) que, si T et T deux lments de E E on a : (4.11)t

sont

(T

T ) = tT

t

T .

Produit doublement contract de T E E , v E et v E En se rfrant la dnition du symbole voit que la notation : Tc = v T donne plus haut (formule 4.3), on v

sinterprte sans ambiguit et correspond la double contraction du tenseur T = v T v sur ses indices 1 et 2 et sur ses indices 3 et 4. On vrie que Tc nest autre que le scalaire : (4.12) cest--dire que, daprs (3.6) : (4.13) v T v = T (v , v ) . Tc = Tij v i vj

,

4 Contraction

311

4.3

Produit doublement contract de deux tenseurs

T et T dsignant deux tenseurs dordres suprieurs ou gaux 2, on considre le produit tensoriel T = T T . Le produit doublement contract, not : , correspond la double contraction de T sur le dernier indice de T et le premier indice de T , puis sur lavant dernier indice de T et le second indice de T , si ces deux contractions sont possibles cest--dire si les variances correspondantes sont eectivement contraires(5). On crit ainsi : (4.14) Tc = T : T .

Le produit doublement contract est videmment distributif, gauche et droite, par rapport laddition. Produit doublement contract dun tenseur 2 fois covariant et dun tenseur 2 fois contravariant du 2me ordre Soient deux tenseurs du deuxime ordre : A = aij ei ej E E et B = bij ei ej E E .

Pour ces deux tenseurs, le produit doublement contract dni par (4.14) scrit : (4.15) scalaire qui sidentie aussi : (4.16) A : B = tr (A B) . Tc = A : B = aij bji ,

On remarquera que, dans ce cas, le produit doublement contract est commutatif : A : B = B : A. En application des rsultats du paragraphe 3.4, on peut mettre chacun des tenseurs A et B sous la forme de la somme de sa partie symtrique et de sa partie antisymtrique obtenues par la formule (3.23) : A = As + Aa (4.17) B =B +B . s a On vrie alors, en explicitant par exemple As : Ba par la formule (4.15) compte tenu des proprits caractristiques de As et Ba , que : As : Ba = (as )ij (ba )ji = (as )ij (ba )ij = (as )ji (ba )ij = As : Ba(5) La convention adopte ici relativement aux indices concerns par la double contraction symbolise par : sera conserve aux paragraphes 5.6 et 5.7 pour les tenseurs euclidiens et leur double contraction symbolise par : . Elle nest pas gnrale dans la littrature (on peut rencontrer des cas, notamment pour les tenseurs euclidiens, o la double contraction, symbolise de la mme faon, porte dabord sur lavant-dernier indice de T et le premier indice de T , puis sur le dernier indice de T et le deuxime indice T ) et il sera donc prudent de contrler la signication des notations employes.

312


do (4.18) Il sensuit que : (4.19) A : B = As : Bs + Aa : Ba . As : Ba = 0 et de mme Aa : Bs = 0 .

Le produit doublement contract : apparat ainsi comme un produit de dualit entre les espaces E E et E E. La formule (4.19) en donne lexpression lorsque E E sont dcomposs sur les tenseurs symtriques et antisymtriques selon (4.17).

4.4

Contraction totale dun produit tensoriel

Dune faon gnrale, tant donns deux tenseurs dordre n, dont le premier A est p fois contravariant et q fois covariant et le second B est q fois contravariant et p fois covariant, on peut eectuer la contraction totale du produit tensoriel T = A B ; tous les couples dindices de variances contraires sur lesquels on eectue la contraction doivent tre noncs ; on obtient ainsi un scalaire Tc . Le produit doublement contract dun tenseur 2 fois covariant et dun tenseur 2 fois contravariant examin au paragraphe prcdent est videmment un cas particulier de cette contraction totale, de mme que le produit contract dun vecteur de E et dun vecteur de E .

4.5

Dnition dun tenseur par dualit

Soit, titre dexemple, A un tenseur donn de E E E. Soit X un tenseur quelconque de E E E . On eectue le produit tensoriel : (4.20) T =AX .

La contraction totale de ce produit tensoriel, sur les couples dindices 1 et 4, 2 et 5, 3 et 6 donne un scalaire Tc fonction linaire de X . Ainsi, partir du tenseur A donn de E E E, on peut dnir une forme linaire a sur E E E , cest--dire un lment de (E E E ) . E E E et (E E E ) sont isomorphes. En mcanique des milieux continus (cf. par exemple le chapitre V, section 3 pour la reprsentation des eorts intrieurs) on utilisera la rciproque de cette proprit : la donne dune forme linaire a sur un espace vectoriel de tenseurs X , p fois contravariants et q fois covariants, dnit un tenseur A de variances contraires (on prcisera les couples dindices sur lesquels on eectue la contraction totale du produit tensoriel (4.20)).

5 Tenseurs sur un espace vectoriel euclidien

313

En particulier, une forme linaire a donne sur E E dnit un tenseur A de E E travers le produit de dualit : par la formule : (4.21) X E E A : X = a(X ) ;

si la forme linaire a nest dnie que sur le sous-espace des tenseurs symtriques de E E, soit pour X (E E)s , alors le tenseur A associ a par la formule : (4.22) X (E E)s A : X = a(X )

nest connu qu un tenseur antisymtrique arbitraire prs car, en consquence de (4.19), la formule (4.22) ne dtermine que la partie symtrique de A.

4.6

Invariants dun tenseur mixte du 2me ordre

T dsignant un tenseur mixte contravariant-covariant, on a vu au paragraphe 3.3 i que les n coecients du polynme caractristique en , qui scrit det[ T i j j ], k sont des invariants dans tout changement de base {ek } de E , la base {e } de E tant la base duale. Il est courant en mcanique de substituer ces n invariants polynomiaux classiques (tr T , . . . , det T ) de degrs 1 n par rapport aux composantes T i j , le jeu de n invariants polynomiaux indpendants de degrs 1 n, obtenus par les contractions totales suivantes : I1 = tr T = T i i I = 1 tr (T T ) = 1 T i T j 2 j i 2 2 1 i j k 1 I3 = tr (T T T ) = T j T k T i (4.23) 3 3 etc. I = 1 tr (T T T ... T ) = 1 T i T j . . . T p . n j k i n n

55.1

Tenseurs sur un espace vectoriel euclidienDnition dun espace euclidien

Lespace vectoriel E est muni dune structure euclidienne par la donne dune forme bilinaire symtrique fondamentale dnie positive sur E E, soit G appele produit scalaire . Avec la notation (4.13) on crit : (5.1) v , v E , G(v , v ) = v G v ,

et en adoptant la notation usuelle pour le produit scalaire : (5.2) v , v E , G(v , v ) = v . v ,

314


expression sur laquelle on reviendra au paragraphe 5.5. G est appel tenseur mtrique. On dsigne par gij ses composantes pour une base {ek } de E et la base duale {ek } de E ; on a, en consquence de (3.3) et (3.4) : (5.3) G = gij ei ej , gij = G(ei , ej ) = ei . ej .

5.2

Tenseur des dilatations dans une application linaireSoit une application linaire de E dans E , et F le tenseur mixte de E E associ celle-ci. On cherche valuer, pour deux vecteurs quelconques v , v , le produit scalaire de leurs images dans E par soit : (v ) . (v ). Cest videmment une forme bilinaire symtrique de v et v , qui est dnie positive si est inversible. En utilisant les expressions de (v ) et (v ) donnes par (4.6) il vient : (5.4) (v ) . (v ) = (vt

F)

G

(F

v ).

En introduisant le tenseur C = tF G F , lment de E E , on vrie que la formule (5.4) possde une proprit dassociativit et que lon peut crire : (5.5)tF

(v ) . (v ) = v

(tF

G

F)

v =v

C

v .

G F est le tenseur 2 fois covariant sur E E donnant le produit scalaire Le tenseur C = des images par de deux vecteurs quelconques de E. La comparaison de ce tenseur C avec le tenseur mtrique G permet de caractriser la dformation du milieu par lapplication linaire (cf. chapitre II, section 3).

5.3

Isomorphisme entre E et E

On sait que la structure euclidienne de E permet de mettre en vidence un isomorphisme dit canonique entre E et son dual E . Cet isomorphisme, not , est dni par : (5.6) v E , v E , v . v =< v , (v) >

o (v) est limage dans E de v par (6) . En introduisant le produit contract G alors de faon vidente que : (5.7) (v) = G v on peut expliciter (5.6) dont on dduit v.

Avec les bases {ei } dans E et {ek } duale dans E , on dsigne par ij les coecients de la matrice de dnis par : (5.8) (ej ) = ij ei .

Par comparaison avec (5.7) il vient : (5.9) gij = ij .

(6) En dautres termes lisomorphisme associe v la forme linaire (v) telle que son produit de dualit avec tout vecteur v , de E soit gal au produit scalaire de v avec ce mme vecteur v .


315

Ainsi les coecients de la matrice de lisomorphisme dans les bases duales {ei } et {ek } de E et E sont identiques aux composantes du tenseur mtrique dans la base {ei ej }. Lisomorphisme induit naturellement dans E une structure euclidienne. La forme bilinaire fondamentale G sur E E est dnie comme limage de la forme bilinaire G sur E E : pour deux lments u(1) , u(2) de E , elle a pour valeur le produit scalaire de leurs originaux dans E : u(1) , u(2) E , (5.10) u(1) G u(2) = 1 (u(1) ) G 1 (u(2) ) . On dsigne par g ij les composantes de G pour les bases {ek } et {ek } do, daprs (3.3) et (3.4) : G = g ij ei ej (5.11) g ij = G (ei , ej ) .

Figure 1 Bases primale et duales dans E et E

Il est commode dintroduire les vecteurs de E, nots ek , images par 1 , isomorphisme rciproque de , des vecteurs ek de la base duale de {ek } dans E : (5.12) ek = 1 (ek ) .

On a alors, de faon vidente, en consquence de (5.11) et (5.10) : (5.13) g ij = ei . ej

tandis que ei . ej =< ei , ej > daprs (5.6) et (5.12), do : (5.14)j e i . e j = i .

Les vecteurs ei constituent une base {ek } de E qui est appele duale dans E de la base {ek } : chaque vecteur ei de la base {ek } est ainsi orthogonal (n 1) vecteurs de la base primale {ek } et tel que son produit scalaire avec le n-ime vecteur de cette base soit gal 1 (cf. gures 1 et 2).

316


Les composantes ij de lisomorphisme rciproque 1 sont donnes par : 1 (ej ) = ij ei = ej et lon dduit de (5.13) et (5.14) que : (5.15) do : (5.16) ej = g ij eij gik g kj = i

g ij = kj ei . ek = ij

et aussi, en rapprochant (5.9) et (5.15) : (5.17) et (5.18) ei = gij ej

(on rappelle que G et G sont symtriques). On retiendra les formulesj e i . e j = i

gij = ei . ej , g ij = ei . ej (5.19)j gik g kj = i

ei = g ij ej , ei = gij ej On remarque que si la base primale {ek } est orthonorme, sa base duale {ek } dans E lui est identique.

5.4

Reprage covariant dun vecteur de E

La construction de la base duale dans E laquelle on a procd ci-dessus permet maintenant de dnir, pour tout vecteur de E, ce que lon appelle son reprage covariant sous la forme : (5.20) u E , u = u e ,

dans laquelle les u sont dsignes comme les composantes covariantes du vecteur u. La justication de cette terminologie tient au fait que les composantes u dnies par (5.20) sont aussi les composantes de la forme linaire (u) dans la base duale {ek } de E : (u) = u (e ) = u e ; ces composantes se transforment selon la rgle de covariance expose au paragraphe 3.2. La gure 2 illustre les rsultats (5.19) et (5.20) sur le cas concret o E = R2 .


317

Figure 2 E = R2 , base {ei } norme ; les composantes contravariantes sont les coordonnes obliques suivant e1 et e2 ; les composantes covariantes sont les mesures des projections orthogonales de u sur les directions de e1 et e2 ; par exemple : u1 = u . e1

5.5

Tenseurs euclidiens du 1er ordre ; produit contract

Lisomorphisme entre E et E signie que tout lment u de E peut recevoir indiremment deux interprtations : interprtation primale, vecteur de E interprtation duale, forme sur E, travers le produit scalaire. Lintroduction de la reprsentation covariante des lments de E illustre cette dualit dinterprtation comme on la vu prcdemment : (5.21) (5.22) Dnition Pour rendre compte de cela on introduit la notion de tenseur euclidien du 1er ordre. Tout vecteur u de E (tenseur contravariant du 1er ordre) et son tenseur covariant associ par lisomorphisme canonique, u = (u) , seront dsormais considrs comme un unique tenseur appel tenseur euclidien du 1er ordre, identi au vecteur u de E, sur lequel on verra quil est possible deectuer toutes les oprations prcdemment dnies pour les tenseurs du 1er ordre. Le tenseur euclidien u pourra tre dcompos selon (5.21) et (5.22) qui sont respectivement appeles ses reprsentations contravariante et covariante. Produit contract Considrant deux tenseurs euclidiens du 1er ordre, soient u et v on dnit le produit contract en remarquant que : (5.23) u v = ui vi = ui gij v j = uj v j = u v. u=u e u=u e traduit laspect primal traduit laspect dual .

318


Cest cette valeur, obtenue en contractant un des vecteurs avec la forme linaire associe lautre, qui est naturellement adopte pour le produit contract des tenseurs euclidiens u et v. Lexamen de la formule (5.23) rappelle de plus que u v = u v nest autre que le produit scalaire u . v de u et v vecteurs de E. Il est ainsi possible dutiliser dsormais le symbole . pour noter la contraction de deux tenseurs euclidiens du 1er ordre : (5.24) u . v = ui gij v j = ui vi = ui v i .

Lutilisation du symbole . manifeste que le produit contract de deux tenseurs euclidiens du 1er ordre sobtient simplement en calculant le produit scalaire des vecteurs u et v de E compte tenu des relations (5.19) et (5.20) ; ainsi par exemple : u . v = (ui ei ) . (v j ej ) = ui v j (ei . ej ) = gij ui v j (5.25) ou encore u . v = (ui ei ) . (vj ej ) = ui vj (ei . ej ) = ui vi = ui v i , o lon voit lintrt de lintroduction de la reprsentation covariante.

5.6

Tenseurs euclidiens du 2me ordre dcomposs ; produits contracts

Lisomorphisme tabli entre E et E , entrane naturellement que les espaces produits E E , E E , E E et E E sont isomorphes. Il en rsulte alors que les espaces de tenseurs du 2me ordre, E E , E E , E E et E E sont, eux aussi, isomorphes. On se propose, pour examiner les consquences de ces isomorphismes, de considrer dabord le cas des tenseurs dcomposs. a et b dsignant deux vecteurs de E les isomorphismes entre les espaces de tenseurs ci-dessus mettent en correspondance les tenseurs dcomposs a b , a b , a b et a b , (5.26) o a = (a) et b = (b) en sorte que, considrant par exemple T = a b et T = a b on a : (5.27) u, v E T (u , v) = T (u , v )

o u = (u) et v = (v) . En explicitant T (u , v ) et T (u , v) selon (2.2), (4.4) et (4.13) il vient : (5.28) et (5.29) T (u , v) = u T v = (a u)(b v) . T (u , v ) = u T v = (a u )(b v )


319

Dnition La comparaison de ces formules avec (5.23) et (5.24) qui dnissent le produit contract de deux tenseurs euclidiens du 1er ordre, montre que, de faon cohrente, on dnira le tenseur euclidien du 2me ordre dcompos, not T , identi au tenseur a b de E E , dont (5.26) fournit les quatre formes associes : T =ab ; on notera par le symbole . la contraction de ce tenseur avec un tenseur euclidien du 1er ordre (en conservant les conventions antrieures cf. (4.3) et (4.13) au paragraphe 4.2 sur les indices concerns) : (5.30) T (u , v) = u . T . v = u . (a b) . v ;

cette expression sexplicite en : (5.31) u . (a b) . v = (a . u)(b . v)

qui fait intervenir les produits contracts des tenseurs euclidiens du 1er ordre a et u , b et v , calculables comme indiqu plus haut par (5.25). Produit contract dun tenseur euclidien du 2me ordre dcompos et dun tenseur euclidien du 1er ordre De mme on vrie la cohrence de la notation (5.32) T . v = (a b) . v

pour le produit contract dun tenseur euclidien du 2me ordre dcompos et dun tenseur euclidien du 1er ordre dni comme le produit contract selon (4.5) de la forme mixte associe T dans E E et du vecteur v de E. Cette formule sexplicite en : (5.33) (a b) . v = a(b . v)

qui en permet le calcul selon (5.24) et (5.25) . Produit contract de deux tenseurs euclidiens du 2me ordre dcomposs On dnit aussi le produit contract de deux tenseurs euclidiens du 2me ordre dcomposs, T = a b et T = a b , par la contraction du produit des formes mixtes associes T et T dans E E . On vrie partir de (5.32) et (5.33), que la notation (5.34) T = T . T = (a b ) . (a b )

est bien cohrente pour ce produit qui sexplicite en :

320


(5.35)

T = (b . a )a b

dont le calcul est ais en termes de tenseurs euclidiens. Produit doublement contract de deux tenseurs euclidiens du 2me ordre dcomposs Le produit doublement contract des tenseurs euclidiens dcompos T et T cidessus est dni comme le produit doublement contract selon (4.4) de deux formes associes respectivement T et T dont les variances concernes sont contraires. On adopte pour ce produit la notation (5.36) T : T = (a b ) : (a b ) ;

sa dnition est bien univoque (cest--dire indpendante du choix particulier des formes associes T et T ) et lon a : (5.37) (a b ) : (a b ) = (a . b )(b . a )

qui en permet le calcul ais.

5.7

Tenseurs euclidiens du 2me ordre

Les rsultats prcdents pour les tenseurs du 2me ordre dcomposs ont montr : lintroduction de la notion de tenseur euclidien ; celui-ci est identi llment de E E et les quatre formes (5.26) lui sont associes par lisomorphisme canonique ; que toutes les oprations de contraction dnies dans la section 4 sous conditions de variances contraires, sont maintenant toujours dnies sur les tenseurs euclidiens ; que ces oprations sexpriment toutes au moyen du produit scalaire sur E, ce qui conduit des rgles opratoires trs simples. Ces rsultats essentiels stendent aux tenseurs dordre 2 en gnral en sappuyant sur la dcomposition (section 3) et sur la distributivit du produit tensoriel de tenseurs. Dnition Lisomorphisme entre E E, . . . , E E induit par lisomorphisme est tabli par des formules telles que (5.27). Considrant le tenseur (5.38) T = T ij ei ej de EE


321

il lui est associ dans E E , dans E E , et dans E E : = T i k ei ek avec T i k = T ij gjk , T j k T = Tk e ej avec Tk j = gki T ij , (5.39) k = Tk e e avec Tk = gki T ij gj . T Le tenseur euclidien correspondant ces quatre tenseurs associs est T , identi llment de E E : (5.40) T = T ij ei ej

La distributivit du produit tensoriel par rapport laddition ( 2.1) tant videmment conserve au niveau des tenseurs euclidiens travers cette dnition, on peut dans (5.40) dcomposer les vecteurs ei et ej sur la base duale {ek } selon (5.19). On obtient alors pour T de nouvelles expressions ; par exemple : T = T ij ei (gjk ek ) = T ij gjk ei ek cest--dire, selon (5.39) : T = T i k ei ek T = T k j ek ej (5.41) T = T k ek e

avec avec avec

T i k = T ij gjk , Tk j = gki T ij , Tk = gki T ij gj .

On dit que (5.40) et (5.41) constituent les quatre reprsentations du tenseur euclidien T : respectivement reprsentations 2 fois contravariante, 1-contravariante 1-covariante, 1-covariante l-contravariante, 2 fois covariante. Cette terminologie se justie, comme au paragraphe 5.4, par la comparaison de ces expressions avec celles des dirents tenseurs associs T . On insistera toutefois sur le fait que (5.40) et (5.41) reprsentent quatre expressions du mme tenseur T lment de E E. Produits contracts La notion de tenseur euclidien du 2me ordre tant ainsi introduite dans le cas gnral, toutes les dnitions et tous les rsultats relatifs aux tenseurs dcomposs sont gnralisables, en remarquant notamment la distributivit du produit contract de tenseurs euclidiens par rapport laddition qui permet le calcul ais des produits contracts. titre dexemple : T . v = (T ij ei ej ) . (vk ek ) = T ij vk (ej . ek ) ei = T ij gjk vk ei = T ij vj ei = T i k vk ei ; et aussi T . T = (T ij ei ej ) . (T k ek e ) =T ou bien T . T = (Tij

Tj

k

(ej . ek ) ei e = Tk

ij

gjk Ti j

k

(ei e ) = Tj

ij T

j

ei e = etc.

i

ei ej ) . (T

ek e ) = T

T

ei e ;ij

et encore, pour le produit doublement contract T : T = (T ij ei ej ) : (T k ek e ) = T ij T k (ej . ek )(ei . e ) = gi T T :T =Tj

gjk T

k

T

j

.

322


On remarquera aussi lidentit (utilise notamment au chapitre V) : (A . B) : C = (C . A) : B = (B . C) : A (valable aussi pour un nombre plus lev de tenseurs), qui est vidente dans le cas des tenseurs dcomposs A = a a , B = b b , C = c c car alors (A . B) : C = (c . a)(a . b)(b . c) , et qui stend sans dicult au cas gnral.

Les exemples ci-dessus mettent en vidence que les contractions sont toujours possibles pour les tenseurs euclidiens et quelles se calculent en adoptant pour les tenseurs en cause des reprsentations telles que les indices concerns soient toujours lun suprieur et lautre infrieur. On voit aussi quune mthode sre et systmatique pour calculer les produits contracts, tant que lon nest pas familier avec ce genre dexercice, consiste simplement expliciter les produits scalaires dans E qui correspondent aux diverses contractions. Transposition partir de la dnition donne au paragraphe 3.3 et de la proprit caractristique (4.6) on dnit le transpos du tenseur euclidien T , not t T , par la formule : (5.42) v , T . v = v . tT

quivalente dire que le tenseur mixte associ t T dans E E est le transpos du tenseur mixte associ T dans E E . Les reprsentations de T tant T = T ij ei ej = Tij ei ej = T i j ei ej = Ti j ei ej on trouve pour les t T les reprsentations : (5.43) t t

T T t T t T

= (t T )ij ei ej = (t T )ij ei ej = (t T )i j ei ej = (t T )i j ei ej

= T ji ei ej , = Tji ei ej , = T j i ei ej , = T j i ei ej ,

qui montrent que pour les reprsentations 2 fois contravariante et 2 fois covariante les coecients de T et de t T se correspondent par permutation des deux indices, et que pour les reprsentations mixtes il y a permutation de lordre des deux indices qui conservent leur position (suprieure ou infrieure). ce stade il est intressant de reprendre lexemple du calcul du tenseur des dilatations dans une application linaire de E dans E trait au paragraphe 5.2. Il vient : (v ) . (v ) = (F . v ) . (F . v ) = v . C . v avec C = tF . F . On peut expliciter C , par exemple sous la forme C = ((tF )i k ei ek ) . (F C= (tF )i k gk Fj j

e ej ) do

ei ej

o lon retrouve lcriture de la formule (5.5), et qui devient comptej

tenu de (5.43) : C = F k i gk F

ei ej .

Tenseurs euclidiens du 2me ordre symtriques et antisymtriques On dnit la symtrie dun tenseur euclidien T par la symtrie (cf. 3.4) de ses tenseurs associs dans E E ou dans E E (lune implique lautre).


323

Pour un tel tenseur on a donc les relations de symtrie suivantes pour les reprsentations 2 fois contravariante, 2 fois covariante et mixtes : T = T ij ei ej avec T ij = T ji , (5.44) T = Tij ei ej avec Tij = Tji , T = T j i ej ei = Ti j ei ej avec T j i = Ti j . La symtrie de T sexprime aussi par la proprit caractristique : (5.45) u, v , u.T .v = v.T .u.

De la mme manire on dnit les tenseurs euclidiens antisymtriques pour lesquels les formules ci-dessus (5.44 et 5.45 ) sont modies par adjonction dun signe moins : u . T . v = v . T . u u, v, (5.46) ij ji T = T , Tij = Tji , T j i = Ti j . La comparaison de ces formules avec les rsultats donns plus haut pour la transposition met en vidence les proprits caractristiques : T = tT T symtrique (5.47) T antisymtrique T = t T . Suivant la dmarche du paragraphe 3.4, on peut dcomposer un tenseur euclidien du 2me ordre quelconque en ses parties symtrique et antisymtrique ; les formules deviennent : T = Ts + Ta 1 T s = (T + t T ) (5.48) 2 T = 1 (T t T ) . a 2 Considrant alors deux tenseurs T et T dcomposs selon (5.48) leur produit doublement contract sexprime sous la forme : (5.49) car Ts : Ta = 0 Convention de notation La forme bilinaire G sur E E , lment de E E , correspond au tenseur euclidien identi llment g ij ei ej de E E. On conviendra dadopter pour ce tenseur euclidien la notation 1 l (5.50)j i 1 = g ij ei ej = j ei ej = i ei ej = gij ei ej . l

T : T = Ts : Ts + Ta : Ta et T a : T s = 0 .

On remarquera, titre de justication de cette notation, que : l T , T .1 = T .

324


Invariants dun tenseur euclidien du 2me ordre Les invariants dnis par (4.23) des tenseurs mixtes associs un tenseur euclidien T dans E E et dans E E sont gaux et sexpriment en termes de tenseurs euclidiens de la faon suivante : (5.51) I1 = T : 1 = tr T l I2 =(7)

1 1 T : T = tr (T 2 ) 2 2 1 1 I3 = (T . T ) : T = tr (T 3 ) 3 3 etc. In = 1 1 (T . T . . . ) : T = tr (T n ) . n n

On a l un jeu dinvariants principaux de T . On peut galement dnir det T de faon analogue : par (3.16) sur les tenseurs mixtes associs T dans E E ou E E. Il est invariant par changement de base, et lon a aussi det(T . T ) = det T det T .

Limportance des invariants principaux en mcanique (cf. chapitres VI et VII par exemple) tient au rsultat qui suit. Fonction isotrope dun tenseur euclidien du 2me ordre symtrique Considrons une fonction du tenseur T valeur scalaire. Une telle fonction est invariante par changement de base : cela signie que la valeur de cette fonction pour un tenseur T donn, qui rsulte videmment de calculs algbriques eectus sur les composantes de T aprs choix dune base {ek } dans E , est indpendante du choix de cette base. Pour insister sur cette caractristique on dira quil sagit dune fonction du seul tenseur T ou encore dune fonction isotrope de T (8) . On a alors lnonc suivant appel thorme de reprsentation , pour les tenseurs T symtriques : Toute fonction (isotrope) du (seul) tenseur T symtrique sexprime en fonction des seuls invariants principaux de T (ou dun jeu quivalent). Il en va videmment ainsi pour det T .(7) On remarque quavec la convention adopte ici pour les indices concerns par la double contraction note . , explicite au paragraphe 4.3, on a : A : B = tr (A . B) , (A . B) : C = tr (A . B . C) , etc. (8) Cf. chapitre VI ( 2.7 et 4.2) pour une explication de cette terminologie.


325

5.8

Tenseurs euclidiens dordre n

La construction faite au paragraphe prcdent pour les tenseurs euclidiens dordre 2 peut tre reprise pour les tenseurs euclidiens dordre n quelconque. On adoptera pour dsigner un tenseur euclidien dordre n le symbole dune lettre (le plus souvent capitale) souligne dun nombre de traits gal lordre du tenseur. Cette notation deviendrait videmment rapidement impraticable si n tait grand. Pour les applications qui en seront faites la mcanique elle se rvle commode malgr une apparente lourdeur car elle permet de distinguer vue la nature scalaire, vectorielle ou tensorielle des tres mathmatiques qui interviennent dans les formules et den contrler lhomognit de ce point de vue.

5.9

Choix dune base orthonorme dans E

Comme on la remarqu au paragraphe 5.3 le choix dune base primale {ek } orthonorme dans E implique que la base duale correspondante dans E , {ek } , lui est identique. On a alors, cf. (5.19) : ei eij gij = i = g ij

dont il rsulte que pour tout tenseur euclidien les diverses reprsentations concident : Ti j k = Tijk = T ijk = . . . Autrement dit, si la base est orthonorme, la position des indices na plus dimportance. On notera aussi que dans le cas de bases orthonormes les formules de changement de base et de transformation des composantes donnes au paragraphe 3.2 se simplient considrablement. On posera dsormais (tous indices infrieurs) : e i = ik ek o, par suite de lorthonormalit de la base {ek } , ik = e i . ek ; la formule inverse scrit alors, la base {e k } tant elle aussi orthonorme : ek = ik e i . La formule de transformation des composantes devient alors, pour un tenseur euclidien quelconque (ici, par exemple, T ) : ik = e i . ek (5.52) T ijk = i jm kn T mn

326


Pour les tenseurs euclidiens du 1er ordre et du 2me ordre les oprations de contraction peuvent tre crites sous forme matricielle : en base orthonorme on introduira le symbole pour dsigner par T la matrice du tenseur T (1er indice : ligne ; 2me indice : colonne) et par la matrice colonne du vecteur v ; (il sagit des tableaux correspondants dans la base v orthonorme donne). On obtient alors, le point notant ici le produit matriciel : (T . v) = T . v , (T . T . v) = T . T . v , v . T . v = tv . T . v , (T . v ) . (T . v ) = t . tT . T . v . v

5.10

Directions principales et valeurs principales dun tenseur euclidien du 2me ordre symtrique, rel

Soit T un tenseur euclidien du 2me ordre, symtrique, rel. On se propose de rechercher les vecteurs propres et valeurs propres de lapplication linaire associe T , cest--dire les vecteurs v i non nuls et les scalaires i (i = 1, 2, . . . , n) tels que : (5.53) T . v i = i v i sans sommation .

La dtermination des i conduit la rsolution de lquation polynomiale en ( 4.6) : l) det(T 1 = 0 dont les racines sont relles ou imaginaires conjugues. La symtrie de T permet de dmontrer les rsultats classiques suivants. Les vecteurs propres correspondant deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux.On a en eet : (5.54) v 1 . T . v2 = v 1 . 2 v 2 = 2 v 1 . v 2

et aussi, par la symtrie de T (cf. (5.45)) : (5.55) do v 1 . v 2 = 0 si v 1 . T . v 2 = v 2 . T . v 1 = 1 v 1 . v2 1 = 2 .

Toutes les valeurs propres sont relles.Si i est une valeur propre et i la valeur imaginaire conjugue, les vecteurs propres correspondants sont aussi imaginaires conjugus : T . v i = i v i T . v i = i v i car T est rel, et les formules (5.54) et (5.55) donnent alors : i v i . vi = i v i . v i dont les seules solutions sont : i = i v i = 0 et v i = 0 i = i .

Lanalyse du cas des valeurs propres multiples est classique et lon dmontre que lon peut toujours ainsi construire une base de vecteurs propres orthogonaux e1 , e2 , . . . , en correspondant aux n valeurs propres 1 , 2 , . . . , n (ventuellement multiples).

6 Champs de tenseurs

327

Dans cette base et sa base duale {ek } , T sexplicite de faon simple partir de (5.53) : T = 1 e1 e1 + 2 e2 e2 + + n en en (5.56) T = 1 e1 e1 + 2 e2 e2 + + n en en . On en dduit, pour la forme bilinaire u . T . v : (5.57) u . T . v = 1 u1 v 1 + + n un v n = 1 u1 v1 + + n un vn .

Il est commode de choisir la base e1 , e1 . . . , en orthonorme (cf. 5.9) ; alors : T = 1 e1 e1 + + n en en u . T . v = 1 u1 v1 + + n un vn et la forme quadratique u . T . u scrit : (5.58) u . T . u = 1 (u1 )2 + + n (un )2 .

Les directions dnies par les vecteurs propres de lapplication linaire associe T , et les valeurs propres correspondantes, sont appeles directions principales et valeurs principales du tenseur euclidien T . Les invariants de T sexpriment de faon simple en fonction des valeurs principales, ainsi : I1 = 1 + 2 + + n I2 = 1 (2 + 2 + + 2 ) 2 n 2 1 (5.59) etc. I = 1 (n + n + + n ) , n 2 n n 1 et aussi : (5.60) det T = 1 2 . . . n .

66.1

Champs de tenseursDnition

On suppose, comme cest le cas en mcanique des milieux continus, que lespace vectoriel E partir duquel on a dni les tenseurs au paragraphe 1.1, est lespace vectoriel associ dun espace ane : chaque point M de lespace ane est caractris par son vecteur-position M ou x, partir dune origine xe dans cet espace. On dnit un champ de tenseurs sur cet espace ane en associant chaque point M un tenseur dun type dtermin (variances prcises) : la valeur du champ de tenseurs au point courant M , cest--dire le tenseur correspondant, sera note

328


T (x) ; on dsignera typiquement par H lespace vectoriel des tenseurs T (x) et lon dira que lon a aaire un champ de H-tenseurs. On dsigne par {ek } une base de E , par {ek } la base duale dans E . Le vecteur position x a pour coordonnes xk dans la base {ek }.

6.2

Drivation dun champ de tenseurs ; gradient dun champ de tenseurs

On considre un champ de tenseurs T (x) et lon fait lhypothse de la drivabilit de ses composantes par rapport aux coordonnes xk du vecteur position x. Soit alors w un vecteur quelconque de E. On sait dnir, au point courant M , la drive du champ T suivant le vecteur w : cest, le H-tenseur not Dw T (x) dni par le passage la limite : (6.1) Dw T (x) = lim T (x + w) T (x) H .

0

Les hypothses de drivabilit sur les composantes de T (x) assurent lexistence de cette limite et permettent de dmontrer que Dw T (x) dpend linairement de w . En particulier, en choisissant pour w chacun des vecteurs de la base {ek } on obtient : (6.2) et par linarit (6.3) Dw T (x) = T (x) k w = (Dek T (x) ek ) xk w. Dek T (x) = T (x) xk

Cette formule met en vidence le tenseur Dek T (x) ek qui est associ lapplication linaire de E dans H : w Dw T (x) ; ce tenseur, lment de H E est appel gradient du champ de tenseurs au point M et not T (x) : (6.4) et (6.5) Dw T (x) = T (x) w. T (x) = Dek T (x) ek = T (x) ek xk

Gradient dun champ de tenseurs euclidiens Lespace E tant maintenant suppos muni dune structure euclidienne on considre le champ de tenseurs euclidiens dont H constitue un espace de tenseurs associs, soit par exemple le champ T pour xer les ides.


329

La dnition du gradient donne ci-dessus est transposable sans ambigut, et les formules essentielles scrivent (en sous-entendant la dpendance en x pour allger les expressions) : (6.6) T = Dek T ek = T ek xk

T . w = Dw T (6.7) ou encore, sous forme direntielle , T . dM = dT .

6.3

Divergence dun champ de tenseurs

On suppose que le champ de H-tenseurs concerne des tenseurs dont le dernier indice est contravariant. On dnit alors, en chaque point M la divergence du champ T par la contraction du tenseur T (x) H E sur ses deux derniers indices. Do, partir de la formule (6.4) : (6.8) div T (x) = T (x) xk ek = Dek T (x) ek ,

ce qui correspond la double contraction de T (x) avec le tenseur I de E E :i I = j ei ej = ek ek ;

ainsi (6.9) div T (x) = T (x) : I = T : (ek ek ) .

On obtient donc un nouveau champ de tenseurs qui ne prsente plus lultime indice contravariant des tenseurs du champ initial. Dans le cas particulier o T (x) H = E E par exemple, on a : div T (x) E ; cest un vecteur et lon vrie que lon a : (6.10) div T (x) = T ij (x) ei . xj

Divergence dun champ de tenseurs euclidiens Lintrt essentiel de la notion de divergence apparat dans le cas o E est muni dune structure euclidienne. En se plaant dsormais dans cette hypothse, on ne sintressera plus, pour simplier lexpos, quaux tenseurs euclidiens.

330


Pour un champ de tenseurs euclidiens T lopration divergence est toujours possible. On la dnit par la formule : (6.11) div T = T : 1 , l

homologue vidente de (6.9), et qui revient appliquer la dnition (6.9) lun quelconque des champs de tenseurs associs T pour lesquels cela est possible. Cette dnition permet la gnralisation de la formule de la divergence , bien connue pour les champs de vecteurs (tenseurs euclidiens du 1er ordre) aux champs de tenseurs euclidiens dordre quelconque. Considrant par exemple : T = T ijk ei ej ek on a : T ijk = ei ej div(T ijk ek ) . xk On voit alors que, pour un volume , dans les conditions classiques dapplication du thorme de la divergence chacun des vecteurs T ijk ek i et j xs, cest--dire si les T ijk sont de classe C 1 , il vient : div T = ei ej (6.12)

div T d = ei ej

(T ijk ek ) . n da

o da dsigne llment daire de et n sa normale sortante. En regroupant les termes de (6.12) on reconnat au second membre le tenseur T et lon aboutit la formule : (6.13)

div T d =

T . n da

valable quel que soit lordre du champ de tenseurs euclidiens concern.

6.4

Calculs en coordonnes curvilignes

Les formules prcdentes relatives au gradient ou la divergence dun champ de tenseurs, dans lesquelles interviennent les drives par rapport aux variables xi , concernent le cas o les points de lespace euclidien sont reprs par les coordonnes xi de leur vecteur-position dans un repre dorigine xe et de base {ei } xe (coordonnes cartsiennes). Il peut se faire aussi que lon ait considrer des champs de tenseurs dans lesquels les points M sont reprs par des paramtres i dnissant dans lespace euclidien un systme de coordonnes curvilignes. Cest le cas par exemple pour les coordonnes cylindriques et les coordonnes sphriques couramment employes.


331

Les tenseurs T (x) sont alors en gnral dnis par leurs composantes dans une base locale constitue partir dune base de E tangente aux lignes coordonnes en M et de sa base duale. Ces composantes sont donnes en fonction des coordonnes curvilignes. Il est clair que dans la dtermination des composantes de T (x) dans la base locale au point M on rencontrera deux types de termes provenant de contributions direntes dune part des termes dus la drivation des composantes de T (x) par rapport aux i , dautre part des termes provenant de la variation de la base locale elle-mme avec les i . Il nest pas utile de dvelopper ici les formules classiques (coecients de Christoel) pour cette opration dite de drivation covariante ; les applications dans le cadre de ce cours ne le justient pas. Le lecteur trouvera dans la suite un formulaire relatif aux principaux types de coordonnes curvilignes utiliss et limit aux expressions des gradients et divergences des champs de tenseurs euclidiens strictement ncessaires ltude du cours. Ces expressions stablissent par identication partir de la formule (6.7). On examinera deux exemples bidimensionnels simples de ce type de calculs. Calcul du gradient dune fonction vectorielle en coordonnes polaires La position du point M de R2 est repre par les paramtres : (6.14) 1 = r , 2 = .

Les lignes coordonnes sont les cercles de centre O et les rayons vecteurs issus de O (gure 3).

Figure 3 Coordonnes polaires

On considre en chaque point M la base locale orthonorme tangente en ce point aux lignes coordonnes : e1 = er , e2 = e , (e1 , e2 ) = +/2 .

332


Une fonction vectorielle U est couramment dnie, dans ce systme de coordonnes polaires, par la formule : (6.15) U (r , ) = Ur (r , ) er + U (r , ) e

dans laquelle les vecteurs er et e sont eux-aussi fonctions de r et . Une mthode commode pour le calcul de U consiste exploiter la formule (6.7) sous la forme direntielle : U U dr + d U . dM = dU = (6.16) r dM = e dr + e r d .r

Compte tenu de la variation de la base locale caractrise par : e er =0, =0 r r (6.17) er e = e , = er il vient : Ur U U = e + e r r r r 1 Ur 1 U 1 U = U er + + Ur e . U . e = r r r U . er = On en dduit, par identication, lexpression de U : (6.18) U = Ur 1 Ur U 1 U er er + U er e + e er + + Ur e e . r r r r

Calcul du gradient dune fonction vectorielle en coordonnes curvilignes orthogonales quelconques Gnralisant lexemple prcdent, la gure 4 reprsente les lignes coordonnes dun systme de coordonnes curvilignes orthogonales : le long de chaque ligne 1 , 1 varie tandis que 2 reste constant le long de chaque ligne 2 , 2 varie tandis que 1 reste constant. En chaque point M repr par les paramtres 1 et 2 (6.19) OM = M (1 , 2 ) ,

on dnit la base locale naturelle tangente aux lignes coordonnes, constitue des vecteurs E 1 , E 2 partir de la formule direntielle : (6.20) dM = E 1 d1 + E 2 d2 ;


333

Figure 4 Coordonnes curvilignes orthogonales quelconques

on crit aussi, en se rfrant (6.19) : (6.21) E1 = M M , E2 = . 1 2

Lindication (1 ou 2) des lignes coordonnes est dsormais suppose choisie de sorte que (E 1 , E 2 ) = +/2. La base locale orthonorme colinaire la base naturelle est constitue des vecteurs unitaires e2 , e2 : (6.22) e1 = E 1 /| E 1 | , e2 = E 2 /| E 2 | .

Les composantes de dM dans cette base sont ds1 et ds2 o s1 et s2 dsignent les abscisses curvilignes sur les lignes coordonnes passant par le point M : (6.23) dM = e1 ds1 + e2 ds2 .

Une fonction vectorielle U est couramment dnie, dans ce systme de coordonnes curvilignes, par la formule : (6.24) U (1 , 2 ) = U1 (1 , 2 ) e1 + U2 (1 , 2 ) e2

dans laquelle les vecteurs e1 et e2 de la base locale orthonorme sont eux aussi fonctions de 1 et 2 . Pour le calcul de U on crit que : U . dM = dU = U d + U d 1 2 1 2 (6.25) dM = E 1 d1 + E 2 d2 = e1 ds1 + e2 ds2 . On dsigne par R1 (resp. R2 ) le rayon de courbure en M de la ligne coordonne 1 (resp. 2 ) , compt positivement(9) selon E 2 (resp. E 1 ).(9) Cela signie que si est langle fait par e avec une direction xe, on a : R = ds /d . De 1 1 1 1 1 mme avec 2 pour e2 : R2 = ds2 /d2 .

334


La variation de la base locale orthonorme est caractrise par les formules classiques : 1 e2 e1 = 1 e = e s R1 2 s1 R1 1 1 (6.26) e1 e2 1 1 = e = e s2 R2 2 s2 R2 1 en notant, de faon plus parlante(10) (6.27) Il vient alors : U = e1 1 U U . E 2 = DE 2 U = = e1 2 U . E 1 = DE 1 U = 1 U1 U2 | E 1 | + e2 1 R1 1 U1 U2 | E 2 | + e2 2 R2 1 U2 + U1 | E 1 | 1 R1 1 U2 + U1 | E 2 | . 2 R2 De1 = s1 et De2 = . s2

On en dduit lexpression de U : U1 U2 U1 U2 e1 e1 + e e2 s1 R1 s2 R2 1 U1 U1 U2 U2 e2 e1 + e e2 + + s1 R1 s2 R2 2

U = (6.28) +

De cette formule on dduit videmment lexpression de div U : div U = U1 U2 U2 U1 + + . s1 R1 s2 R2

Le calcul du rotationnel du champ U seectue en crivant que, dans R3 : v R3 , (rot U ) v = (U t U ) . v do ici : rot U = U2 U1 U1 U2 + + e . s1 R1 s2 R2 3

1 1 = et = . s1 | E 1 | 1 s2 | E 2 | 2 La fonction U ne peut tre dnie en fonction de s1 et s2 (si les coordonnes curvilignes sont authentiques) car s1 et s2 ne constituent pas un systme de coordonnes ; les drives partielles par rapport s1 et s2 ont la signication donne par (6.27).(10)

Rcapitulatif des formules essentielles

335


Base primale dans E : {ek } Base duale dans E : {ek }j ei . ej = i , ei . ej = gij , ei . ej = g ij

Tenseur euclidien (reprsentations) T = T ijk ei ej ek = T i j k ei ej ek = = Tijk ei ej ekj i 1 = g ij ei ej = i ei ej = j ei ej = gij ei ej l

Produit tensoriel (exemple) AB = (Ai j k ei ej ek )(B mn em en ) = Ai j k B mn ei ej ek em en Contraction (exemples) T Tc Tc

= T ij k ei ej ek e = T ij k (ej . ek ) ei e = T ik k ei e = T ij k (ei . ej ) ek e = gij T ij k ek e

Produit contract (exemples) A.B = (Ai j k ei ej ek ) . (B mn em en ) = Ai j k B mn (ek . em ) ei ej en = Ai j k gkm B mn ei ej en = (Ai j k ei ej ek ) . (Cm n em en ) = Ai j k Cm n (ek . em ) ei ej en = Ai j k Ck n ei ej en Produit doublement contract (exemple) A:B = (Ai j k ei ej ek ) : (B mn em en ) = Ai j k B mn (ek . em )(ej . en ) ei = Ai j k gkm B mj ei

A.C

336


Tenseurs du 2me ordre (proprits et formules remarquables) T .v = (v) : application linaire de E dans E dont la matrice par rapport la base {ek } a pour coecients T i j . T . T 1 = T 1 . T = 1 l T 1 : tenseur inverse, correspond 1 (sil existe) .

T . v = v . tTt

T : tenseur transpos

(t T )ij = Tji , (t T )ij = T ji , (t T )i j = T j i , . . .t

(A . B) = t B . tA

tenseur symtrique :

T = tT

tenseur antisymtrique : T = t T

T = Ts + Ta , Ts =

1 1 (T + t T ) , T a = (T t T ) 2 2 A : B = As : B s + Aa : B a

Invariants I1 = tr T = T : 1 l 1 tr (T 2 ) = 2 1 I3 = tr (T 3 ) = 3 ... I2 = In = 1 T :T 2 1 (T . T ) : T 3

1 tr (T n ) n det (T . T ) = det T det T


337

Gradient dun champ de tenseurs (exemple) T = T ek xk

T . dM = dT Divergence dun champ de tenseurs (exemple) div T = T : 1 l div T d =

T . n da

formule de la divergence

Annexe II

Oprateurs direntiels : formules essentielles1 Coordonnes cartsiennes orthonormes . . . . . 1.1 Coordonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Fonction scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Champ de tenseurs du 2me ordre . . . . . . . . Coordonnes cartsiennes quelconques . . . . . . 2.1 Coordonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Fonction scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Champ de tenseurs du 2me ordre . . . . . . . . Coordonnes cylindriques . . . . . . . . . . . . . 3.1 Paramtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Fonction scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Champ de tenseurs du 2me ordre symtriques Coordonnes sphriques . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Paramtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Fonction scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Champ de tenseurs du 2me ordre symtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 341 341 342 342 343 343 343 343 344 344 344 345 345 345 346 346 346 347 347

2

3

4

339

1 Coordonnes cartsiennes orthonormes

341

Oprateurs direntiels : formules essentielles

11.1

Coordonnes cartsiennes orthonormesCoordonnes

Figure 1 Coordonnes cartsiennes orthonormes

Les coordonnes dun point M sont xi (i = 1, 2, 3) notes aussi x , y , z ; ce sont les composantes de OM dans la base ei (i = 1, 2, 3) note aussi (ex , ey , ez ) : OM = xi ei .

1.2

Champ de vecteursv(M ) = v(x) = v i (x) ei = vi (x) ei .

Ici les composantes contravariantes et covariantes sont gales, et les bases {ei } et {ei } sont identiques : v(x) = vx (x) ex + vy (x) ey + vz (x) ez vi v(x) = (x) ei ej xj

342

Annexe II Oprateurs direntiels : formules essentielles v =

vx x vy x vz x

vx y vy y vz y

vx z vy z vz z

vy vz vi vx + + = xi x y z 2 vi e . v = div (v) = xj xj i div v =

1.3

Fonction scalaire

f (M ) = f (x) f = f e xi i 2f . xi xi

f = div (f ) =

1.4

Champ de tenseurs du 2me ordre

T (M ) = Tij (x) ei ej T (M ) = div T = Tij e ej ek xk i

Tij e xj i 2 Tij e ej xk xk i

T = div (T ) =

2 Coordonnes cartsiennes quelconques

343

22.1

Coordonnes cartsiennes quelconquesCoordonnes

Figure 2 Coordonnes cartsiennes quelconques

Les coordonnes dun point M sont xi (i = 1, 2, 3) composantes de OM dans la base ei (i = 1, 2, 3) : OM = xi ei .

2.2

Champ de vecteurs

v (M ) = v (x) = v i (x) ei = vi (x) ei v = v i e ej xj i v i xi 2 vi e . xk xj i

div v =

v = div (v) = g kj

2.3

Fonction scalaire

f (M ) = f (x) f = f i e xi 2f . xi xj

f = div (f ) = g ij

344

Annexe II Oprateurs direntiels : formules essentielles

2.4

Champ de tenseurs du 2me ordreT (M ) = Tij (x) ei ej = T ij (x) ei ej = . . . T (M ) = div T = T ij e ej ek xk i

T ij e xj i 2 T ij e ej . xk x i

T = div (T ) = g k

33.1

Coordonnes cylindriquesParamtrage

er =

M r 1 M e = r M ez = z

Figure 3 Coordonnes cylindriques

La position dun point M est repre par les paramtres r, , z (gure 3). La base locale orthonorme est er , e , ez : dM = er dr + e r d + ez dz ; sa variation est donne par er =0 r er = e er =0 z , , , e =0 r e = er e =0 z , , , ez =0 r ez =0 ez =0. z

3 Coordonnes cylindriques

345

3.2

Champ de vecteurs

Un vecteur v au point M est dcompos dans la base locale orthonorme er , e , ez . Ses composantes sont vr , v , vz : (3.1) v (M ) = vr (r , , z) er + v (r , , z) e + vz (r , , z) ez .

On a, dans cette base : v = vr r v r vz r 1 vr v r 1 v + vr r 1 vz r vr z v z vz z

vr 1 v vz vr + + + r r r z vr v 2 v 2 vr 2 ) er + (v + 2 2 ) e + vz ez . v = div (v) = (vr 2 r r r r div v =

3.3

Fonction scalaire

f (M ) = f (r , , z) f = f 1 f f er + e + e r r z z 1 2f 2f 1 f 2f + 2 2 + 2 . + r2 r r r z

f = div (f ) =

3.4

Champ de tenseurs du 2me ordre symtriquesT (M ) = T (r , , z) = Tij (r , , z) ei ej

on se limitera lexpression de div T (r , , z) : div T (r , , z) = 1 Tr Trz Trr T Trr + + + er r r z r 1 T Tz 2Tr Tr + + + e + r r z r Tzr 1 Tz Tzz Tzr + + + + ez . r r z r

346

Annexe II Oprateurs direntiels : formules essentielles

44.1

Coordonnes sphriquesParamtrage

er =

M r 1 M e = r 1 M e = r sin

Figure 4 Coordonnes sphriques

La position dun point M est repre par les paramtres r , , (gure 4). La base locale orthonorme est er , e , e : dM = er dr + e r d + e r sin d ; sa variation est donne par : er =0 r er = e er = e sin e =0 r e = er e = e cos e =0 r e =0 e = er sin e cos .

,

,

,

,

,

,

4.2

Champ de vecteurs

Un vecteur v au point M est dcompos dans la base locale orthonorme (er , e , e ) : v (M ) = vr (r , , ) er + v (r , , ) e + v (r , , ) e .

4 Coordonnes sphriques

347

On a dans cette base : vr r = v v r v r div v =

1 vr v r 1 v + vr r 1 v r

1 1 vr v r sin 1 1 v v cot r sin 1 1 v + v cot + vr r sin

1 v 1 v v vr vr + + + cot + 2 . r r r sin r r 2 1 1 v (v sin ) + ) er + (vr + r2 sin sin v 2 vr cos v ) e + ( 2 2 r 2 sin sin2 r2 vr v v 2 ( + cot ) e . sin 2 sin

v = div (v) = vr + v +

+ v +

4.3

Fonction scalaire

f (M ) = f (r , , ) f = f 1 f 1 f er + e + e r r r sin 1 2f 1 2f 2f 2 f 1 f + 2 2 + 2 cot + 2 + . r2 r r r r r sin2 2

f = div (f ) =

4.4

Champ de tenseurs du 2me ordre symtriquesT (M ) = T (r , , ) = Tij (r , , ) ei ej

div T (r , , ) =

1 Tr 1 Tr 1 Trr + + + (2 Trr T T + Tr cot ) er r r r sin r + 1 T 1 T 1 Tr + + + ((T T ) cot + 3 Tr ) e r r r sin r Tr 1 T 1 T 1 + + + (3 Tr + 2 T cot ) e . r r r sin r

+

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calcul tensorielPart3_Tome1