PCSI 1 - Stanislas Devoir Surveillé N◦8 - 18/03/17 - durée 2H A. MARTIN

MÉCANIQUECe devoir comporte 2 parties totalement indépendantes, à traiter sur des copies séparées.

CALCULATRICES AUTORISÉES

I. Variations d’intensité du champ de pesanteurPlusieurs causes contribuent aux variations spatiales du champ de pesanteur terrestre : la rotation propreterrestre (qui induit une force dite « centrifuge »), l’inégale valeur des rayons de la Terre aux pôles età l’équateur, les inhomogénéités de composition et de topographie de la Terre. On cherche une méthodeexpérimentale pour mesurer localement l’intensité de ce champ à la surface de la Terre, noté −→g . Nousallons pour cela envisager tout à tour deux types différents de pendules.

Pendule sans ressort de rappelUn pendule est composé par un solide de masse m, de centre d’inertie G, mobile autour d’un axehorizontal (Oz) et de moment d’inertie J par rapport à l’axe (Oz). Il peut effectuer des mouvements derotation dans le plan vertical (Oxy) autour de l’axe (Oz). La position du pendule est repérée par l’angleθ entre verticale descendante et la droite (OG). On notera a la distance OG. L’étude sera menée dans leréférentiel terrestre R considéré galiléen. Les frottements au niveau de l’axe de rotation et les frottementsde l’air seront négligés. Le pendule ainsi décrit se trouve dans le champ de pesanteur terrestre caractérisépar le vecteur −→g tel que −→g = g−→ux où −→ux désigne un vecteur unitaire de l’axe (Ox).

1. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par l’angle θ au cours du temps.En déduire l’expression la période T des petites oscillations du pendule autour de la positiond’équilibre stable θ = 0, en fonction de J , m, a et g.

2. On souhaite étudier l’influence d’une variation d’intensité ∆g du champ de pesanteur sur la périodedu pendule. Pour cela, on définit la sensibilité s du pendule comme le rapport s = ∆T

T où ∆Treprésente une variation infiniment petite de la période du pendule engendrée par une variationinfiniment petite ∆g du champ de pesanteur.Exprimer la différentielle dT due à une variation infinitésimale dg de l’intensité du champ depesanteur. En déduire l’expression de la sensibilité s en fonction de ∆g et g.

Pendule avec ressort spiral de rappelLe pendule précédent est maintenant soumis à l’action d’un ressort spiral (non représenté sur la figure)qui exerce, par rapport à l’axe (Oz), un coupe de rappel Γ = −Kθ où K est une constante positive. Laposition du pendule est repérée par l’angle θ entre la verticale ascendante et la droite (OG). (Attentionaux nouvelles orientations des axes : dans cette partie −→g = −g−→ux.)

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3. Déterminer l’expression de l’énergie potentielle Ep,r associée au couple de rappel du ressort Γ. Onchoisira la référence d’énergie potentielle telle que Ep,r = 0 pour θ = 0.

4. Exprimer l’énergie potentielle totale Ep du pendule, en gardant comme référence pour Ep la positionθ = 0.

5. En déduire une équation permettant de connaître la ou les positions d’équilibre du système. Dis-cuter graphiquement le nombre de ces positions d’équilibre. Montrer que θ = 0 est solution.

6. Établir la condition pour que cette position soit une position d’équilibre stable. Cette conditionsera supposée réalisée dans toute la suite.

7. Exprimer l’énergie mécanique totale Em du pendule. En déduire une équation différentielle dumouvement vérifiée par l’angle θ.

8. En considérant que θ reste petit (on reste au voisinage de θ = 0), établir l’expression de la périodeT ′ des petites oscillations du pendule autour de la position θ = 0.

9. On souhaite étudier la sensibilité s′ de ce pendule à une variation ∆g du champ de pesanteur.On définit, tout comme précédemment, s′ par le rapport s′ = ∆T ′

T ′ . Déterminer l’expression de lasensibilité s′ en fonction de ∆g, K, g, a, et m.

10. Montrer que l’on peut choisir la constant K de telle sorte que le pendule avec ressort spiral derappel soit plus sensible que le premier et permette ainsi de détecter des variations plus faibles duchamp de pesanteur. Exprimer cette condition sous forme d’une relation entre K, g, m et a.

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II. Rosetta : une mission hors normes

Le 30 septembre 2016, l’Agence Spatiale Européenne (EAS) a mis un terme à la mission de la sondeRosetta, la faisant entrer en collision avec la comète Churyumov-Gerasimenko.1994 : Les états membres de l’Agence Spatiale Européenne (ESA) décident, à l’initiative de la France,d’aller étudier in situ le noyau d’une comète pour rechercher les origines de la vie. En 2004, la sondeeuropéenne Rosetta quitte la Terre à bord d’Ariane 5 pour un voyage long de dix ans, destination la comèteChuryumov-Gerasimenko, dont elle s’est approchée au cours de l’année 2014. Une fois à proximité decette dernière, Rosetta entame ses observations en juillet 2014. Puis en novembre 2014, la sonde larguePhilae, un atterrisseur venu se poser à la surface de la comète. La mission de Philae a consisté à analyserla comète sous tous ses aspects : composition du sol, propriétés physiques, niveau d’activité... Objectif :mieux comprendre comment notre système solaire s’est formé (les comètes se sont formées en mêmetemps que le système solaire, il y a 4,5 milliards d’année).

Données :• masse de la comète : mcom = 1, 0× 1013 kg.• masse volumique de la comète : µcom = 400 kg.m−3.• période de rotation propre de la comète : Tcom = 12, 4 h.• constante de gravitation universelle : G = 6, 67×10−11 m3.kg−1.s−2.• distance de largage par rapport au centre : rlarg = 22, 5 km.• masse de la sonde Rosetta : mros = 1500 kg.• masse de l’atterisseur Philae : mph = 98 kg.• vitesse de la lumière dans le vide : c = 3, 00× 108 m.s−1.

Dans cette partie, la comète est modélisée par une boule homogène de massemcom et de masse volumiqueµcom. La distance entre un point M et le centre O de la comète est notée r = OM .

1. Déterminer le rayon rcom de la boule équivalent à la comète.

II.1. Trajectoire de Philae

Approche numérique de l’équation du mouvement

On étudie la chute libre de l’atterrisseur Philae, dans un référentiel R dont l’origine est le centre O de lacomète et qui tourne avec Rosetta, de sorte que le vecteur ~er qui pointe vers l’atterrisseur est constant(accélération ~a = r ~er). Ce référentiel peut être considéré comme galiléen.

2. Établir l’équation du mouvement de Philae, une fois séparé de Rosetta, en projection sur l’axeradial.

Cette équation peut être résolue numériquement. L’évolution temporelle de la distance r est représentéesur la figure 1, à partir de la distance initiale r(t = 0) = rlarg, pour différentes vitesses verticales initialesv0 = r(t = 0) :

a : v0 = 0 m.s−1 b : v0 = −0, 15 m.s−1 c : v0 = −0, 30 m.s−1

d : v0 = −0, 45 m.s−1 e : v0 = −0, 60 m.s−1 f : v0 = −0, 75 m.s−1

g : v0 = −0, 90 m.s−1 h : v0 = −1, 05 m.s−1 i : v0 = −1, 20 m.s−1

3. Déterminer la durée τ0 de la chute de Philae s’il est abandonné par rosetta avec une vitesse verticalenulle.La durée réelle de la chute est τ ≈ 7 h. En déduire la vitesse verticale initiale communiquée àl’atterrisseur.

Différentes trajectoires de phase sont représentées sur la figure 2, en fonction de la vitesse verticaleinitiale.

4. Par lecture graphique, déterminer la vitesse verticale atteinte par Philae au moment du contactavec la comète.

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Figure 1 – Évolution temporelle de l’altitude pour différentes vitesses initiales.

Figure 2 – Trajectoires de phase pour différentes vitesses initiales.

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Approche énergétique

L’objectif est de trouver la vitesse atteinte par l’atterrisseur au moment du contact avec la comète.

5. Établir l’expression de l’énergie potentielle gravitationnelle Epcom d’un point matériel de masse msitué à la distance r > rcom du centre de la comète.

6. En déduire, littéralement puis numériquement, la vitesse atteinte par l’atterrisseur lors du contactavec la comète.

II.2. Philae à la surface de la comèteOn s’intéresse à présent au module Philae, une fois celui-ci posé sur la surface de la comète.

7. Lors du largage de Philae, le 12 novembre 2014, plusieurs journalistes commentent l’événement :« Philae pèse 1,7 g sur la comète ». Expliciter la signification de cette assertion ?

II.3. Rosetta autour de la comèteAvant de larguer l’atterrisseur Philae, la sonde Rosetta s’est rapprochée par paliers de la comète. Le 10septembre 2014, elle se situe sur une orbite circulaire de rayon r1 = 30 km.

8. À l’aide du principe fondamental de la dynamique ou d’une approche énergétique, déterminerl’expression de la vitesse v1 de la sonde en orbite circulaire de rayon r1 autour de la comète, enfonction de G, mcom et r1. Effectuer l’application numérique.

9. En déduire sa période T1. Effectuer l’application numérique.

La sonde parcourt, à partir du 8 octobre 2014, une orbite elliptique avec un apocentre A situé à la distancera = rmax = 20 km du centre O de la comète et un péricentre P caractérisé par rp = rmin = 10 km. Le15 octobre, la propulsion est utilisée pour placer la sonde sur une orbite circulaire de rayon rp = 10 km.

10. Représenter sur un schéma l’orbite elliptique, en faisant apparaître le centre O de la comète ainsique les distances ra et rp.

11. Exprimer l’énergie mécanique de la sonde sur l’orbite elliptique.12. Sur cette orbite, en déduire la vitesse vp de Rosetta en P , en fonction de G,mcom, ra et rp. Effectuer

l’application numérique.13. Pour placer la sonde en orbite circulaire de rayon rp, la propulsion est utilisée lorsque Rosetta est

au péricentre. Calculer littéralement puis numériquement la variation de vitesse ∆v nécessaire.

* * * Fin de l’épreuve * * *

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