Calculatrices symboliques TI-92 Plus/TI-89 · ln « Une suite monotone bornée converge » ... on remarque la présence de la courbe dans le ... Exemple 1 : puisque toute fonction

Des mathématiques pour le monde

Université Laval, 5-7 mai 2000

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Calculatrices symboliques TI-92 Plus/TI-89

[email protected]

http://www.etsmtl.ca/seg/math/index.htm

• À l’École de technologie supérieure, nous continuons

toujours d’utiliser des logiciels (DERIVE, Maple, Matlab, Excel, ...) mais les calculatrices TI-92Plus ou TI-89 sont obligatoires depuis septembre 99. Ces calculateurs symboliques portables constituent une véritable aubaine ! En effet, on a accès à du calcul symbolique, en restant assis à son pupitre : pas besoin de se déplacer au labo d’ordinateurs pour évaluer de façon exacte une intégrale, obtenir une série de Fourier, effectuer une convolution, inverser une matrice 5 x 5, dessiner des courbes de niveau, ... Puisque chaque étudiant possède le même outil, on peut en faire usage n’importe quand mais pas nécessairement tout le temps ! ! !



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• Dans un premier temps, nous allons simplement nous

limiter aux avantages que présente l’utilisation d’une simple calculatrice graphique (sans faire appel au calcul symbolique). Nous puisons certains des problèmes suivants dans le livre de Mat 536 de Guy Breton. D’autres sont des exemples du niveau collégial et dans certains cas, l’approche papier/crayon est peu utile. Nous prenons aussi des exemples à partir des traductions, par la maison Chenelière/McGraw-Hill, des livres de calcul du consortium Harvard. Nous sommes loin d’affirmer qu’il n’y a que des avantanges à utiliser une calculatrice graphique ; mais les inconvénients que l’on rencontre peuvent être récupérés à notre avantage. C’est ce que nous allons tenter de faire à travers les exemples qui suivent.

• Les étudiants apprécient les démonstrations « live »

avec la calculatrice. Face à cette technologie, un enseignant peut adopter le point de vue suivant : continuer d’enseigner des sujets classiques mais illustrer comme jamais auparavant. Et se permettre d’improviser des exemples qui « n’arriveront pas juste » !



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Exercice 1 :

a) résoudre l’inéquation

x x x2 3 1 2 1+ − ≤ + .

Voilà le genre d’inéquation qu’il est passablement

plus facile de résoudre graphiquement plutôt

qu’analytiquement ! ! !

b) résoudre les système d’équations

3 32

28

x y

x y

− =

+= −

RS|T|

x y

xy

2 2 4

1

+ =

=

RST

La bonne vieille méthode de substitution fonctionne

toujours ; et on peut aussi utiliser les matrices pour le

premier système et le second système force un tracé

implicite/paramétrique ...



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Exercice 2 : trouver vers quelle valeur semble

converger les suites définies par

a) un

n

n

= +FHIK1

1

b) uk

nn

k

n

= −=

∑1

1

ln

« Une suite monotone bornée converge »

Pour le prochain problème, l’éditeur de suite

des TI-92/89 est grandement apprécié !

c) u ru u un n n= − =− −1 1 01 0 5a f, . .

0 4< <r

(suite logistique, « chaos »)



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Exercice 3 : résoudre des équations admettant un

nombre fini/infini de solutions, certaines faciles à

résoudre, d’autres moins.

a) 5 6 1210

12x x

x− = + −

+

b) cos .x = −05 sur l’intervalle [0, 2π]

c) 6 3sin x x= − + sur [−2π, 2π]

d) cos x ex=

e) cos cos2 2 0x x− =

f) x x+ = 1

g) x x+ + =1 23



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Exercice 4 : avec une calculatrice graphique, on peut

passer plus de temps à faire des problèmes

d’optimisation (justement prendre le temps de poser

les fonctions à optimiser, modéliser).

a) trouver le point sur la parabole y x= 2qui est le

plus près du point (1, 0). Cet exemple nous force à

résoudre une cubique ...

b) en voulant trouver le minimum de temps pour se

rendre à un arrêt d’autobus, on est amené à minimiser

la fonction suivante sur [0, 600] :

t xx

x( ) ( )= + − +2

600 2002 2

Quelle est cette valeur minimale ?



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Exercice 5 : peut-on se fier aveuglément à un

graphique ?

a) Par exemple, il peut être bon de regarder à quoi

ressemble le graphique de la fonction polynomiale

x x x3 29 48 52− − + dans la fenêtre −10 ≤ x ≤ 10,

−10 ≤ y ≤ 10 (ainsi que les min/max/inflexions).

b) Ou encore de se demander, à partir du graphique

de la fonction x2 0 0001+ . , si cette dernière est

dérivable au point x = 0.

c) « Une fonction continue sur un intervalle fermé et

borné atteint un maximum absolu et un minimum



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absolu sur cet intervalle ». Illustrons avec

f x x x x x( ) sin sin cos= + − sur [−10, 10].

d) Le graphe de la fonction r suivante semble

« bizarre » ...

r xx

x x( )

( )( )( )

=−

− −

1000 1101 100 100 99

.

Et profitons-en pour remarquer que les tests de la

dérivée première et de la dérivée seconde sont

toujours importants !

e) En traçant le graphique de la fonction

f x x( ) cos=

on remarque la présence de la courbe dans le

deuxième quadrant ... Pourtant , x ∉ R si x < 0 ...



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• Dans un deuxième temps, nous allons faire usage, en

plus des capacités graphiques, des capacités symboliques des TI-92Plus/TI-89. Nous puisons la plupart des exemples qui suivent dans les traductions, par la maison Chenelière/McGraw-Hill, des livres de calcul du consortium Harvard. Le genre de livres où il n’y a pas d’exercices à faire nécessairement à la main et d’autres avec ordinateurs ou calculatrices. L’utilisateur doit se servir de son jugement avant de faire usage de technologie. Nous pensons sincèrement qu’il est devenu impossible d’enseigner les mathématiques sans calculateur performant. On se prive alors d’exemples intéressants et on doit se contenter de faire des problèmes où « tout arrive juste » !

• Loin de ne plus utiliser les logiciels de calcul

symbolique, nous devons quand même constater que l’introduction des TI symboliques a permis (ou en voie de le faire) d’atteindre les objectifs suivants : pour être

efficace, un outil de calcul formel doit être individuel,

on doit pouvoir l’utiliser dans le cours et aussi à la



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maison. Son utilisation ne doit pas entraîner de

perte de temps. Pas besoin d’attendre le chargement

d’un système d’exploitation.

• Avec la technologie Flash, les calculatrices symboliques

TI sont utilisables sur une longue période de temps puisqu’on peut les mettre à jour via internet et peuvent évoluer avec les besoins de l’utilisateur. Si, avec ses dimensions plus grosses que la normale, la TI-92 se rapproche plus du portable, la TI-89, quant à elle, ressemble vraiment à une calculatrice « simplement » graphique. Et pourtant ...

• L’introduction suivante devrait convaincre ceux et celles

qui pensent encore qu’on doive utiliser les gros systèmes sur ordinateur pour avoir accès à du calcul symbolique performant. Mais non seulement performant mais aussi très « souci pédagogique ». Par exemple, les auteurs de la TI symbolique ont volontairement décidé qu’il ne valait pas la peine d’utiliser les formules de Cardan. Cela aurait « encombré » l’écran inutilement. On a limité également le nombre de fonctions mathématiques trop avancées (dépassant le bac en génie par exemple). Mais qu’on se rassure ! Le système symbolique des TI n’a



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rien à envier à ceux des « gros » systèmes. Lors du « challenge » opposant les systèmes symboliques de la conférence ISSAC-97, la TI a terminé au premier rang ! ! !

Introduction : les menus F2 et F3 des TI symboliques. Jettons un coup d’œil rapide en : a) résolvant « à la main » l’équation

2 4 7 9x x+ = −

(« théorie de l’échaffaudage »...)

b) factorisant

x x x x x x3 3 39 8 9− − +, ,

(« différents niveaux de factorisation »)

c) résolvant les équations



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sin

sin

x

x x

e x

x x

x

=

+ − =

=

+ + =

−

0

3 2 7 0

1 0

2

5

,

,

,

« Revenir aux courbes de bases ! »

d) en calculant l’intégrale dx

x3

0

1

8+z ainsi que

l’intégrale e dxx−z 2

0

2

(« visualiser sur le graphe »)

e) en se rappelant la formule de longueur d’arc f) en faisant un survol des identités trigonométriques g) en obtenant quelques séries remarquables h) en « voyant » où est l’asymptote horizontale/oblique



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i) en intégrant « mentalement » via « expand » ! ! ! j) en utilisant intelligemment le « deSolve » : dans certains cas, utiliser la méthode des coefficients indéteminés ou la transformée de Laplace et comparer avec ce que donne la machine.

Exemple 1 : puisque toute fonction de croissance exponentielle finit par dominer éventuellement une fonction puissance, il devient intéressant de résoudre une équation du type

2 16xx=

À moins d’utiliser les fonctions Lambert-W de Maple ou celles équivalentes dans Mathematica et qui sont absentes dans Derive fonctions qui ne sont pas implémentées dans les TI ! , il n’y a pas de formule close pour notre équation.



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En utilisant une table de valeurs, graphiquement, numériquement (« solve » et « nsolve »), par la méthode de Newton, nous faisons, à partir d’une seule équation une bonne révision de plusieurs concepts ! ! ! En particulier, notre équation pour x

positif est équivalente à l’équation

ln lnx

x=

216

Exemple 2 : le concept de limite à l’ère des calculateurs symboliques peut être enrichi ! Considérons par exemple

limcos

x

x x

x→

+ −

0

2

3

2 3 9 22

Nous utiliserons :

une table des valeurs,



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un graphique,

nous trouverons un δ pour un ε donné,

un développement de Taylor est possible,

la règle de l’Hospital, ...

Exemple 3 : (question posée par un étudiant) Pourquoi n’y a-t-il pas, dans la fenêtre graphique du mode paramétrique 2D, un item « intersection » comme dans celui que l’on retrouve dans la fenêtre graphique des fonctions d’une variable ? Pour fixer les idées, regardons si les 2 courbes

Cx

tt

y t t

C

xt

yt

t1

2

2

2

83 2

21

21

0 5: sin

cos:

sin= −

= −

= +FHIK

=+

RS|

T|≤ ≤

RS|

T|



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se rencontrent (intersection et/ou collision). Cela nous amènera à la méthode de Newton à plusieurs variables ... ou, à tout le moins, à l’importance d’un point de départ dans les méthodes itératives ...

Exemple 4 : les sommes de Riemann ou comment renforcer le théorème fondamental du calcul !

x dxi

n

n n

nn ni

n2

0

1 2

3

2

20

1 2 3 16

13z ∑= =

− +=

→∞ →∞=

−

lim lim



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sin lim sin

limsin

cos

x dxn

i

n

n

nn

ni

n

n

0 0

1

12

ππ π

ππ

π

z ∑=FHIK

=

FHIK

−FHIK

FH

IK

=

→∞=

−

→∞

En faisant calculer de telles sommes aux étudiants, nous nous sommes aperçus rapidement que le simple fait de définir une fonction n’est pas quelque chose de si facile qu’on le pense... Alors pratiquons en définissant des fonctions ! Par exemple, la fonction suivante admet-elle une réciproque ?



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f xx

x( ) =

−

+

23 4

On peut aussi définir une fonction de plusieurs variables, e.g. de remboursement d’un prêt personnel

remb( , , )( )

( )p r n

pr r

r

n

n=

+

+ −

11 1

Exemple 5 : en équations différentielles, la comédie de recettes a assez duré ! ! ! Nous allons, à partir d’exemples aussi simples que les suivants (équation linéaire du premier ordre, équation séparable)

a) dy

dty t y a+ = =3 2 0cos( ) ( ), ,



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b) dy

dt

t t

yy=

+ +

−= −

3 4 22 1

0 22

( )( ), ,

en profiter pour introduire la notion de solution en régime permanent et tenter de faire comprendre l’importance de l’intervalle de définition de la solution. En traçant un champ de pentes pour commencer ... Les cours d’équations différentielles classiques ne peuvent se permettre de faire un usage trop abondant de champ de direction et des méthodes numériques (Euler, RK). Maintenant, on peut le faire et enrichir le contenu des cours d’équations différentielles. c) Pour un système d’équations différentielles, il est plus intéressant de l’ étudier dans le plan de phase :



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dw

dtw wr

dr

dtr wr

= −

= − +

RS|

T|

Il devient intéressant de regarder les différents graphes : celui des trajectoires (w, r), celui des solutions (t, w) et (t, r). L’éditeur du mode Équations différentielles des TI symboliques permet de faire tout cela !

d) Pourquoi se priver de la convolution ? Pourquoi remplir des tableaux afin de calculer une transformée inverse ? Le théorème de convolution est très important en traitement de signal et en utilisant cette propriété, on peut calculer des transformées inverses assis à son pupitre ! Il y a peu de livre de tables utiles pour inverser quelque chose du genre



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F ss s s

( )( )

=− + +

1

1 6 132 2c h

Pourtant, tout étudiant devrait retenir les propriétés/formules suivantes de sa table de transformée de Laplace :

12 2

s ae

s ae t

at at

−↔

− +↔, ,

ω

ωω

( )sin

F s G s f t g t f g t d

t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )↔ ∗ ≡ −z τ τ τ 0

e) Les séries de Fourier : trouvons quelle fraction de l’énergie est contenue dans le terme constant et les 2 premières harmoniques du signal périodique



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f xx x

xf x f x( ) ) ( )=

< <

< <

RST+ =

si

si , (

0 2

0 2 33

Théorème de l’énergie/identité de Parseval :

22

2 02

2 2

1Tf x dx

aa b

T

n n

n

( ) z ∑= + +=

∞

En laissant le calcul des coefficients de Fourier à la machine, on peut passer plus de temps sur les concepts de convergence par points et en moyenne quadratique.

Exemple 6 : les problèmes de multiplicateurs de Lagrange et d’optimisation à plusieurs variables. Quand on cherche les valeurs minimale et maximale d’une fonction soumise à une contrainte, il devient particulièrement intéressant, lorsqu’il est facile de



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paramétriser la contrainte, de comparer avec ce que donne la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Par exemple, on peut illustrer avec

a) f x y z x y z( , , ) = − +2 22 2 sous la contrainte

g x y z x y z( , , ) = + + − =2 2 2 1 0 .

b) sans outil de calcul performant, il serait difficile de demander aux étudiants de trouver le minimum absolu de la fonction

f x y x yx y

( , ) ( ) ( )= + + − ++

1 11

14 4

2 2

Exemple 7 : les systèmes symboliques possèdent plein d’avantages ... mais comportent aussi des inconvénients qu’il faut chercher à récupérer ...



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a) En analysant un graphe, on peut découvrir des points critiques cachés ...

− + +

− − +

1234567890 2695140459 605435400

411401250 60600000 25000000

2 3

4 5 6

x x

x x x

b) Au sujet des réponses données par les systèmes concernant le calcul d’intégrales

sincos sin

6

2x dx

dx

x

dx

x , , z zz +

dx

xx xz = ln ln ou ? ? ?

Pourquoi le système c) ne simplifie-t-il pas ln lna b+ ? ? ?



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d) ne simplifie-t-il pas lnez

? ? ? e) ne simplifie-t-il pas cos( )nπ ? ? ?

f) simplifie-t-il x2

mais pas z2

? ? ?

(travaille-t-on dans R, dans R+ ou dans C ? ? ?)

g) simplifie-t-il −81

3a f en 1 3+ i ? ? ?

h) ne « pense-t-il pas » à passer en coordonnées polaires/cylindriques/sphériques en ce qui concerne le calcul de certaines intégrales multiples ? ? ? Un exemple éloquent est donné par

1 2 2

0

1

0

1 2

− −

−

zz x y dydx

x

Quelques éléments de conclusion/réflexion • Certaines clientèles étudiantes se prêtent mieux à

l’utilisation de calculateurs symboliques portables :



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par exemple, les utilisateurs de mathématiques que sont les futurs ingénieurs de l’ÉTS.

• On peut continuer d’enseigner en faisant usage de

manuels traditionnels et, en plus, faire usage de calculatrices graphiques/symboliques/logiciels de calcul symbolique. Il suffit pour cela de d’exploiter intelligemment les qualités pédagogiques de l’outil : c’est là un net avantage des TI symboliques et d’un logiciel comme DERIVE.

• Et quand un manuel nécessite l’utilisation de la

technologie, on devrait toujours continuer d’insister sur les résultats théoriques et même renforcer la compréhension des concepts : si, avant l’introduction de la technologie, plusieurs étudiants en venaient qu’à oublier ce que signifie la dérivée en un point ou l’intégrale définie, il ne faudrait pas maintenant, avec la technologie, en venir qu’à évacuer la partie théorique de nos cours ! ! !

• Pour terminer, il faudra être conscient d’une chose :

on ne peut pas tout faire ... donc, si l’on décide d’incorporer la technologie dans son enseignement, il est clair que certains sujets classiques devront disparaître ou se voir alloués un temps



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d’apprentissage moindre : exemple, certaines techniques d’intégration (très souvent, les calculateurs symboliques n’utilisent pas les mêmes « techniques » d’intégration que le font les textes et évitent de fournir des primitives discontinues à des intégrandes continues ...). Le temps gagné pourrait être consacré à faire plus de problèmes d’optimisation et d’applications de l’intégrale définie. Il faudra également accepter le fait que l’utilisation d’un calculateur symbolique peut et

doit permettre d’apprendre les mathématiques et, pour l’étudiant plus faible, servir d’échaffaudage.

• En terminant, notre expérience de la dernière année

nous permet d’affirmer que les étudiants restent très sensibles aux propos et consignes de l’enseignant. Donc, s’ils savent qu’ils n’auront pas droit à leur calculateur pour une partie d’un examen, ils se préparent en conséquence !

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