Calculer Une Structure, De La Théorie à l'Exemple

LE Chapitre I : Rappels gnraux. ________

1

Chapitre 1

Bases

Calculer une structure : de la thorie l'exemple _____________________________________________________________________________________________________________

12

Illustration au recto : Avant-projet de restoroute Orival, Belgique. Architectes et ingnieurs Samyn and Partners avec le bureau dtudes Setesco, Bruxelles, 1999.

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

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1. PRELIMINAIRE Ce chapitre rappelle l'essentiel du calcul des structures sans aucune dmonstration et jette les bases indispensables la comprhension des chapitres suivants. Les fondements de la rsistance des matriaux sont supposs acquis : statique de base des structures, quilibre, lasticit linaire, calcul des lments flchis, comprims et/ou tendus, diagrammes des efforts internes dans les structures isostatiques simples, calcul des contraintes, flambement, etc. On aborde aussi quelques notions plus avances telles que les lments finis, l'instabilit d'ensemble, la dynamique des structures ou les effets du second ordre. 2. LA PLACE DU PRESENT OUVRAGE DANS LE CONTEXTE

GENERAL DE LA MECANIQUE DES STRUCTURES APPLIQUEE AUX CONSTRUCTIONS

Comme le rsume le schma de la page 14, le prsent ouvrage occupe une place de transition dans le contexte gnral de la mcanique des structures applique aux constructions. En effet, le stade ultime et prliminaire toute construction, c'est--dire le dimensionnement dfinitif d'une structure et des lments qui la composent, ncessite avant tout : la connaissance prliminaire des lois gnrales de la rsistance des

matriaux : quelles sont les quations d'quilibre d'un corps, qu'est-ce que l'lasticit linaire, qu'est-ce qu'un effort interne, qu'est-ce qu'une contrainte de cisaillement ou une contrainte normale, quelles sont les relations fondamentales qui lient les efforts internes aux contraintes qui rgnent dans la matire, qu'est-ce que le flambement, qu'est-ce qu'une structure isostatique ou hyperstatique, comment calculer les efforts internes dans une structure isostatique simple, etc.

le calcul des efforts internes par des mthodes gnrales ou particulires

(mthode des forces, mthode des dplacements, mthode des lments finis, etc.) dans les lments d'une structure hyperstatique ou non (poutre, portique, treillis, arc, cble, grillage, etc.), soumise des actions diverses (vhicules, effets thermiques, tassements d'appuis, etc.), ventuellement sensible d'un point de vue du comportement dynamique ou de l'instabilit lastique : c'est dans ce contexte que se situe cet ouvrage.


14

Rsistance des matriaux : - lois constitutives des matriaux;

- quations d'quilibre; - description des efforts internes et des contraintes

qui y sont associes; - calcul des structures isostatiques simples; - dformations des structures simples, etc.

Calcul des structures : - calcul des efforts internes dans les structures hyperstatiques;

- structures particulires : arcs, cbles, portiques, ...; - tude d'effets particuliers : effets thermiques, tassements d'appuis,

appuis lastiques, ...; - mthodes de calcul avances : lments finis, flambement spatial,

calcul dynamique...

Dimensionnement particulier des structures en :

Acier Bton Bois Alu Verre ... mixtes

Aprs le calcul des efforts internes (calcul des structures) et partir de la connaissance des relations fondamentales de la rsistance des matriaux, on

dimensionne les structures et leurs lments en fonction du comportement propre chaque matriau (fissuration du bton, htrognit du bois, plasticit des

mtaux et instabilit des lments mtalliques, etc...)

Conception et optimisation des structures : Choisir le(s) matriau(x), le type, la forme et les dimensions de la structure, les

dimensions "visuelles" des lments qui la composent, les types d'appuis, les types d'assemblages, ... tout en s'insrant dans un contexte de dveloppement durable et

cologique, en rpondant un programme et aux exigences du matre de l'ouvrage, aux normes en vigueur, aux critres de disponibilit des matriaux, aux limites

financires, une architecture cohrente, ...

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

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Le stade ultrieur, qui consiste donner des dimensions dfinitives aux lments de la structure 1, ncessitera de la part du calculateur une connaissance des caractristiques propres au matriau choisi. Les matriaux usuels ont des comportements si diffrents les uns des autres que leur dimensionnement est sous-tendu par des lois particulires et trs diffrentes : les lments en acier sont davantage sensibles aux instabilits et l'acier comporte un palier plastique, le bton ne rsiste pas la traction et se fissure, le bois est htrogne... un point tel que la matrise simultane de chacun de ces matriaux et des eurocodes correspondants (EC2 : bton, EC3 : acier, EC4 : structures mixtes, EC5 : bois, etc.) est rarement rencontre dans le chef d'un seul ingnieur pratiquant ou thoricien. Jusqu'ici, il n'a t fait mention que du calcul des structures. Il est clair que la ralisation d'une structure passe ncessairement par un stade essentiel de conception. Celle-ci doit faire intervenir de nombreux facteurs : le respect du programme et des possibilits financires du matre d'ouvrage tout en s'inscrivant dans un contexte de dveloppement durable et cologique, les normes en vigueur, les nombreuses contraintes architecturales, les cots et la disponibilit de la main-d'oeuvre, et bien d'autres facteurs encore. Mais cette conception ne peut se faire sans une connaissance suffisante de toutes les composantes de la mcanique des structures : comment porter son choix sur tel ou tel matriau si on ne connat pas les contraintes structurales qu'il implique au niveau des assemblages, des dimensions des lments, du comportement long terme ou des fondations ? Comment dterminer la hauteur la cl d'un arc de porte donne pour que son poids propre soit le plus petit possible (et donc le cot global de la structure) ? Comment dterminer l'impact visuel des contreventements d'une structure sans pouvoir valuer les efforts qu'ils devront supporter, et ceci ds le stade de la conception ? ... Dans ce contexte, on assiste malheureusement trop souvent un dialogue difficile entre des auteurs de projets qui imaginent des structures aussi audacieuses que peu ralistes et des ingnieurs chargs de les faire tenir, de les calculer et les dimensionner, de produire leurs plans d'excution et de les mettre en oeuvre. Ds lors, un dialogue constructif et ouvert entre ingnieurs et architectes est indispensable, ds les premiers stades de la conception.

1 Il est toutefois utile de rappeler qu'on ne peut pas toujours calculer une structure si on

ne connat pas, l'avance, les dimensions et les matriaux qui la caractrisent. L'tape de conception initiale s'accompagne donc toujours d'un prdimensionnement indispensable et prliminaire tout calcul et tout dimensionnement dfinitif. Le choix de la structure dfinitive ncessitera d'ailleurs bien souvent une dmarche itrative faite d'essais et de retours en arrire successifs.


16

3. LES CATEGORIES DE STRUCTURES PLANES Les structures planes les plus frquemment rencontres, qui peuvent tre isostatiques ou non, sont les suivantes :

La poutre chargement transversal

Dans ce type de structure, l'effort normal est inexistant. Lorsque la poutre repose sur plus de deux appuis, on parlera de poutre continue.

L'ossature plane charge dans son plan

Le chargement se trouve dans le plan de dfinition gomtrique et tous les types d'efforts peuvent co-exister, except le moment de torsion. Comme cas particulier, on peut citer le treillis plan :

Dans un treillis, l'extrmit de chaque barre est relie aux autres par l'intermdiaire d'une rotule qui permet une rotation libre. Si les efforts sont appliqus aux nuds 2, les barres ne peuvent tre le sige que d'un seul

2 On nglige le poids propre des barres.

Q [kN]

q [kN/m]

Q [kN] Q [kN] Q [kN]

Q [kN] q [kN/m] q' [kN/m]

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

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type d'effort : l'effort normal. Celui-ci sera de plus constant au sein d'une mme barre. Cette particularit permet l'emploi de mthodes de rsolution simplifies et systmatiques qui seront dcrites au chapitre 8. En pratique, leurs nuds sont rarement matrialiss par une rotule parfaite, mais il est prouv que si les efforts extrieurs ne sappliquent quaux nuds et que si les axes des barres sont concourants, le modle rotules approche la ralit de faon relativement prcise (voir chapitre 8, 3).

L'ossature plane charge perpendiculairement son plan

Pour ce type de structure, un moment de torsion peut apparatre dans certains lments.

Dans le cadre de cet ouvrage, seules les structures planes dont le chargement s'applique dans le plan de dfinition gomtrique de la structure seront considres. Le moment de torsion sera donc toujours absent. 4. LES TYPES D'APPUIS Selon les cas, on peut avoir une, deux ou trois ractions d'appui. Les appuis les plus frquents sont les suivants :

L'appui encastr, ou encastrement (3 ractions d'appui)

L'appui rotule, ou appui articul (2 ractions d'appui)

Q [kN]


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L'appui rouleaux (1 raction d'appui)

L'appui encastr rouleaux (2 ractions d'appui)

Mme passerelle : les poutres principales reposent sur la tte des colonnes par lintermdiaire dun appui en noprne permettant ainsi un mouvement rotatif des extrmits. On peut donc faire l'hypothse que les poutres reposent sur des appuis rotule. (photo de lauteur)

Tablier de passerelle vu du dessous : poutres principales isostatiques supportes par des colonnes. (conception et tudes de stabilit : bureau Greisch, Lige. Louvain-la-Neuve, Belgique ; photo de lauteur)

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

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Mme passerelle, vue dtaille sur le pied d'une colonne : lencastrement est presque ralis grce la prsence d'une large plaque d'about et de grands plats pais entre celle-ci et les crous. (photo de lauteur)

5. LES DISPOSITIFS DE LIBERATION D'EFFORTS INTERNES (OU COUPURES)

Un lment de structure peut tre soumis diffrents types d'efforts : moment flchissant M, effort tranchant V, effort normal N, moment de torsion T. Le moment de torsion est toutefois absent dans les structures planes dont le chargement s'effectue dans leur plan de dfinition gomtrique (seules structures tudies dans le cadre de cet ouvrage).

M

N V


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Un dispositif de libration d'effort, ou coupure simple, est un dispositif mcanique qui annule un effort interne. On considrera trois types de dispositifs de libration d'effort :

La rotule ou articulation (annule le moment flchissant : M = 0)

La glissire tangente (annule l'effort tranchant : V = 0)

La coulisse normale (annule l'effort normal : N = 0)

On peut videmment combiner un ou plusieurs dispositifs. La combinaison la plus classique est la runion des trois, que l'on appellera coupure totale : Selon le nombre de dispositifs combins, on parlera de coupure simple, double ou triple (ou totale). Notons que lorsqu'un appui est supprim, par exemple dans le contexte dune leve dhyperstaticit (chap. 3) on parlera galement de coupure simple, double ou totale, selon le nombre de ractions d'appui annules. 6. LA RESOLUTION DES STRUCTURES ISOSTATIQUES Pour qu'une structure plane quelconque soit l'quilibre, il faut que les trois quations fondamentales de la statique soient respectes :

===

0

0

0

,

,

ii

iiy

iix

M

F

FStructure

plane

x

y

Lvres de la coupure totale

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

21

Dans cette relation, Fx,i et Fy,i reprsentent respectivement la composante horizontale et verticale de chaque force extrieure d'indice i. Le troisime terme reprsente la somme des couples extrieurs et des moments dus aux forces exerces sur la structure. Une structure sera isostatique si les trois quations fondamentales de la statique suffisent calculer tous les efforts internes. Dans le cas contraire, il faudra utiliser des artifices de calcul pour dterminer ces efforts internes et la structure sera dite hyperstatique. Notons que, si une structure est l'quilibre, chaque lment de cette structure doit ncessairement l'tre aussi. Cette proprit sera particulirement utile pour deux types de structures isostatiques : les structures isostatiques dont la connaissance des ractions d'appuis ne

permet pas de dterminer immdiatement tous les efforts internes (voir exemple 1, 16);

les structures isostatiques ayant plus de trois ractions d'appuis (voir exemple 3, 16).

7. LOI DE HOOKE, ELASTICITE LINEAIRE DU MATERIAU Il est utile de rappeler la loi de Hooke (1635-1703) qui exprime l'lasticit et la linarit entre les contraintes et les dformations relatives (ou entre les forces F et les allongements ) d'un lment soumis un effort normal. Cette loi sera sous-jacente tous les dveloppements ultrieurs de cet ouvrage.

)/(: LEAkaveckFouEHookedeLoi

L

AF

===

=

=

Avec : : contrainte normale en [N/mm2] : allongement spcifique [adimensionnel] E : module d'lasticit ou module de Young en [N/mm2]

,

,F

E,k

F

Section A Allongement

L


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8. EFFORTS ET CONTRAINTES 8.1. Les conventions de signes pour la reprsentation des efforts internes On dessine habituellement le moment flchissant M du ct de la fibre tendue, sans lui attribuer de signe. La reprsentation de l'effort tranchant V et de l'effort normal N sur une barre se fera d'un ct quelconque de celle-ci condition de noter le signe de l'effort. Pour un observateur qui se trouverait l'intrieur de la poutre, les conventions adoptes ultrieurement sont reprsentes sur la figure ci-dessous :

L'effort normal sera donc positif si la barre est en traction et l'effort tranchant sera positif s'il a tendance faire tourner la barre dans le sens horlogique. 8.2. Relation fondamentale entre le moment flchissant et l'effort tranchant Le paramtre x tant une abscisse courante prise le long de l'lment considr, il est important de rappeler une proprit fondamentale qui relie le diagramme des efforts tranchants celui des moments flchissants :

( ) ( )dx

xdMxV = A un diagramme des moments parabolique correspondra donc un diagramme des efforts tranchants linaire, un diagramme des moments linaire un diagramme des efforts tranchants constant et un diagramme des moments constant une absence d'effort tranchant. Il en dcoule aussi qu'une valeur nulle de V correspondra un extremum de M :

M M

V>0

V>0 N>0

N>0 Fibre comprime

Fibre tendue

M L M

V = + M/L +V

V = M/L

M :

V : V

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

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8.3. Lien entre les efforts et les contraintes Il est utile de rappeler les lois qui lient les efforts internes aux contraintes normales et aux contraintes de cisaillement dans un lment constitu d'un matriau lastique homogne : Contraintes normales dans un lment d'aire A et d'inertie I

Traction simple : AN=

Flexion simple : ( )I

Myy =

Flexion compose : ( )I

MyANy =

Notons que le signe ngatif provient de la convention > 0 en traction. En flexion compose, le diagramme des contraintes rsulte de la superposition du diagramme d'effort normal avec celui de flexion simple. Il peut alors correspondre soit une section compltement comprime, soit une section compltement tendue, soit une section la fois comprime et tendue (comme c'est le cas sur la figure ci-dessus), selon l'importance relative de M et de N.

Contraintes de cisaillement dues l'effort tranchant

( ) ( )( )y

y

IbVS

y =

dybydAyS yy

y

y

y)(

supsup

== est le moment statique de la partie hachure de la section (pris par rapport la fibre moyenne).

Selon le type de section (section rectangulaire, section en I, section creuse, etc), l'allure et l'amplitude des contraintes de cisaillement sera diffrente.

Fibre moyenne V y ysup

(Inertie I, aire A)

b(y) yinf

Fibre moyenne N

Fibre moyenne M y

N

Fibre neutre ( = 0)

Fibre moyenne M y


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8.4. Polygone des forces et Cremona La mthode de Cremona s'applique aux structures ou parties de structures constitues de barres soumises uniquement un effort normal, comme c'est le cas pour les treillis. Le principe est simple et repose sur un quilibre successif des efforts externes et internes appliqus sur chaque nud. Considrons la structure isostatique ci-contre : Comme les barres AB et BC sont rotules chaque extrmit, le seul type d'effort prsent dans ces barres est l'effort normal (voir chap. 8, 2). Soit donc NAB et NBC les deux efforts appliqus par les barres sur le nud. La structure tant l'quilibre aprs application de la charge Q et dformation, le nud B l'est videmment aussi et la somme vectorielle des efforts Q, NAB et NBC doit donc tre nulle. Il suffit ds lors de dessiner le polygone des forces en B pour calculer NAB et NBC. Rappelons que les efforts ainsi considrs sont les efforts appliqus par les barres sur le nud. On en dduit donc que :

la barre AB "tire" sur le nud B. Celle-ci est donc en traction; la barre BC "pousse" sur le nud B. Celle-ci est donc en compression.

En rgle gnrale, cette procdure pourra s'appliquer en un nud reliant un nombre quelconque n de barres condition d'y connatre l'effort normal relatif au moins (n2) barres. Il faudra toujours garder l'esprit que la mthode dcrite ci-dessus ne s'applique pas si les barres sont flchies, et donc soumises un effort tranchant. Ainsi, si l'effort Q s'applique, par exemple, au milieu de la barre AB, celle-ci sera, en plus, le sige d'un effort tranchant (et d'un moment flchissant) dont il faudra tenir compte dans l'quilibre du nud B 3. La mthode de Cremona est davantage dveloppe dans le chapitre 8 (en particulier dans lexemple 1, 9). 3 Voir exemple 1, 16.

A B

C

Q

A B

C

Q NAB

NBC NAB

NBC Q

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

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9. LE CALCUL DES DEPLACEMENTS : LE THEOREME DE LA FORCE UNITE

Lorsqu'un chargement est appliqu une structure, celle-ci se dforme et chacun de ses points se dplace par rapport la situation initiale jusqu une position dquilibre. On s'intresse principalement quatre types de dplacements :

Le dplacement rectiligne absolu d'un point dans une direction

donne

Le dplacement angulaire absolu selon un sens de rotation donn

Le dplacement rectiligne relatif de deux points de la structure selon une direction donne

Le dplacement angulaire relatif

Q

Flche ?

Q

Dplacement angulaire ?

Q Q

Ecartement des lvres de la coupure ?

Q

Variation de l'angle entre les deux

lments ?


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Il y a principalement deux voies pour dterminer de tels dplacements : en calculant la structure par la mthode des dplacements. Son principe

repose sur la rsolution d'un systme d'quations dont les inconnues sont prcisment les dplacements aux noeuds. Cette mthode est rserve au calcul par ordinateur et sera dveloppe dans le chapitre 14;

en appliquant le thorme de la force unit, comme expliqu ci-dessous. L'expression gnrale d'un dplacement absolu ou relatif, rectiligne ou angulaire, dcoulant donc du thorme de la force unit, est la suivante 4 :

++= dlGAvVdlEAnNdlEImM v000000

Il est important de faire remarquer que le dernier terme, qui provient des dformations d'effort tranchant, est ngligeable dans la plupart des cas. De plus, le deuxime terme, qui se rapporte aux dformations d'effort normal, est aussi d'un ordre de grandeur infrieur au premier, sauf pour les structures dans lesquelles l'effort normal est prpondrant, comme les treillis ou les arcs (voir exemple 2 du 16). L'expression ci-dessus peut donc souvent se simplifier pour devenir :

= dlEImM00

La signification des diffrents termes est la suivante :

l'indice suprieur "0" signifie "isostatique"; dl reprsente la longueur d'un morceau d'lment de structure de longueur

infinitsimale : l'intgration s'effectue donc le long des lments de la structure; E est le module d'lasticit du matriau utilis; G est le module de cisaillement du matriau G = E/[2(1+)]; est le coefficient de Poisson du matriau; I est l'inertie de la section de la barre sur le tronon dl; A est l'aire de la section de la barre sur le tronon dl; Av est la section rduite ou aire de cisaillement de la barre sur le tronon dl; M 0, N 0 et V 0 sont, respectivement, le moment flchissant, l'effort normal et l'effort

tranchant relatifs la structure de base avec son chargement 5.

4 On suppose l'inexistence du moment de torsion. 5 Si la structure est hyperstatique, consulter le chapitre 3 .

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

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Quant la signification de m0, n0, v0, on distingue deux cas :

Dans le cas du calcul d'un dplacement rectiligne absolu, m0, n0 et v0 sont, respectivement, le moment flchissant, l'effort normal et l'effort tranchant dans la structure soumise uniquement un effort unitaire dirig dans la direction du dplacement cherch. On parlera de structure soumise effort unitaire. Le rsultat du calcul sera ngatif si le dplacement rel s'effectue dans le sens inverse de celui de l'effort unitaire introduit.

Dans le cas du calcul d'un dplacement angulaire absolu, m0, n0 et v0 sont, respectivement, le moment flchissant, l'effort normal et l'effort tranchant dans la structure soumise uniquement un couple unitaire dirig selon le dplacement cherch. Prenons l'exemple d'une poutre isostatique encastre soumise un effort ponctuel vertical Q et calculons, d'une part, la flche l'extrmit (figures de gauche) et, d'autre part, la rotation de cette mme extrmit (figures de droite). Seuls les moments flchissants sont reprsents :

Dans le cas du calcul d'un dplacement rectiligne relatif, m0, n0 et v0 sont,

respectivement, le moment flchissant, l'effort normal et l'effort tranchant dans la structure soumise uniquement deux efforts unitaires dirigs en sens inverses et appliqus sur la lvre de chaque section considre. Comme exemple, prenons un maillon rectangulaire ouvert dans une chane en traction dont l'effet est modlis par les deux forces Q :

Q Q M0

cartement ? 1 [kN]

m0

1 [kN]

Q A M

0

1 [kNm] A m0

Q A M

0 Structure de base

Structure soumise effort unitaire

1 [kN]

A m0

Calcul du dplacement vertical en A :

Calcul de la rotation angulaire en A :


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Si on s'intresse maintenant au dplacement angulaire relatif des lvres de l'ouverture, il faut introduire deux couples unitaires, comme indiqu ci-contre, et calculer les rpartitions de m0, n0 et v0 (seul le diagramme de m0 est indiqu) :

Except dans certains cas particuliers (inertie ou section variable des barres, structures mixtes, ...), le calcul des intgrales sera relativement simple puisque, d'une part, les diagrammes des efforts internes sont linaires ou paraboliques et, d'autre part, il existe des tables spcifiques, appeles tables de Mohr, qui donnent une solution immdiate ces intgrales. Ces tables de Mohr sont d'une utilisation trs simple puisqu'elles indiquent la valeur de l'intgrale suivante :

L ji dlMML 01 dans laquelle : L est la longueur de la barre considre; Mi est reprsent dans la premire ligne de la table; Mj est reprsent dans l'une des lignes suivantes de la table.

Il est vident que ces tables s'appliquent aussi bien au calcul des intgrales relatives au moment flchissant, l'effort normal et l'effort tranchant. Elles sont reprises la fin de ce chapitre et ne sont applicables qu des lments dinertie ou d'aire constante. Leur utilisation est dcrite dans l'exemple 2 du 16. 10. MATERIAUX A COMPORTEMENT NON LINEAIRE ET

FISSURATION Dans le cas des structures en bton arm, la prsence darmatures, dune part, et de zones fissures, dautre part, complique le calcul des dplacements et les leves dhyperstaticit de faon non ngligeable. En effet, il faut en principe calculer les inerties transformes de chaque section : cette tape est complexe car la quantit darmatures est rarement constante et les caractristiques des zones fissures varient en fonction de la valeur des efforts internes. Le calcul rigoureux des dplacements et les leves d'hyperstaticit qui en dcoulent pour une structure en bton arm est donc dune difficult bien relle.

1 [kNm] m0

1 [kNm]

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

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11. LE FLAMBEMENT DES ELEMENTS DROITS Le flambement 6 d'un lment comprim s'explique facilement : tout lment, aussi parfait soit son mode de fabrication, n'est jamais exactement droit : il existe toujours, ne serait-ce qu' l'tat microscopique, l'une ou l'autre imperfection. Cette imperfection peut aussi provenir d'un dcentrement, mme infinitsimal, de l'effort de compression par rapport la fibre moyenne, ou tout simplement de l'application simultane d'un moment flchissant sur l'lment. De ce fait, un effort normal de compression N agit toujours avec une certaine excentricit e0, aussi infime soit-elle, qui va crer un moment flchissant parasitaire M0 = Ne0. Celui-ci va tre responsable d'une courbure qui va aggraver l'excentricit de l'effort de compression appliqu, et ainsi de suite : le flambement se produira s'il y a amplification croissante de ces dformes successives : on parle de flambement par divergence.

Le mathmaticien et physicien suisse Euler (1707-1783) donna son nom la clbre formule qui exprime la charge critique d'un lment comprim :

2

2

flcrit L

EIN =

(E : module d'lasticit, I : inertie de la section, Lfl : longueur de flambement, Ncrit : charge de compression critique).

6 Ainsi que les autres phnomnes d'instabilit comme le voilement (flambement d'une

plaque mince) ou le dversement (flambement de la zone comprime d'une poutre flchie).

e0

N

N

M0 = Ne0

Gnre e1

e1

N

N

M1 = Ne1

Gnre e2

e2

N

N

M2 = Ne2

Gnre e3

y

x

Imin = min(Ix,Iy)

Q Ncrit


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Il est important de remarquer que la charge critique n'est pas ncessairement dtermine par l'inertie minimale Imin = min(Iy,Ix) de la section. En effet, selon les conditions d'extrmits de l'lment et la prsence ventuelle d'appuis intermdiaires qui bloquent le mouvement transversal dans un sens ou dans un autre, la longueur de flambement peut-tre diffrente selon les deux axes principaux. En toute rigueur, la formule d'Euler doit donc tre rcrite comme suit :

( )

= 2

,2

,

2 ,minzfl

z

yfl

ycrit L

IL

IEN

Ainsi, plus les appuis sont rigides, plus la longueur de flambement Lfl est petite et plus la situation est favorable :

Simulation, l'aide du logiciel ISSD, du flambement d'un mme lment comprim ayant des conditions d'appui diffrentes.

Lf = L Lf = L/2 Lf 0,7L Lf = 2L

L

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

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La formule d'Euler peut se rcrire en fonction de la contrainte critique crit=Ncrit/A et de l'lancement de l'lment, dfini par IALfl /= :

2

2

Ecrit =

L'lancement est rvlateur de la sensibilit au flambement de l'lment comprim : Vu la prsence de l'inertie au numrateur de la formule d'Euler, il est clair que la sensibilit au flambement se fera moins sentir si l'inertie est grande. Dans le mme ordre d'ide, mme effort de compression reprendre, une section creuse permettra d'conomiser beaucoup de matire. Ces considrations sont dtailles dans le chapitre 15.

Par ailleurs, la formule d'Euler est incorrecte pour les lments trapus, peu lancs ( petit), car elle autorise alors des valeurs infinies de la contrainte de compression, ce qui est incompatible avec la proprit fondamentale de tout

Comportement rel : pour leslments peu lancs, la formuled'Euler doit tre corrige car lacontrainte maximale est alorsdtermine par les caractristiquesintrinsques du matriau considr.

2

2

E crit =Formule dEuler

IAL fl=

crit

= 20 = 50 = 10 = 200 = 80 = 20 = 50 = 10 = 200 = 80

Sensibilit au flambement0 20 aucune20 50 faible moyenne50 80 forte

80 200 trs forte> 200 proscrire


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matriau d'avoir une limite de rupture. Elle doit donc tre corrige pour les petits lancements, comme l'indique la figure ci-dessus. Soit la contrainte maximale de compression que l'on peut admettre dans un matriau insensible au flambement (qui correspond, selon la mthode de calcul utilise, la contrainte admissible ou la limite d'lasticit entache de son coefficient de scurit : on parlera de contrainte de dimensionnement). Bien que chaque matriau soit caractris par une ou plusieurs formules de flambement particulires tablies en fonction d'essais exprimentaux, la relation suivante (dite de Rankine) approche relativement bien la ralit pour tous les matriaux. Pour l'acier, elle induit cependant un surdimensionnement des sections comme le montre la figure ci-dessous (comparaison avec les courbes a, b ou c dfinies pour les aciers dans l'Eurocode 3).

211+=

crit avec E

dfinitionpar =

Et : ( )

=

=

01

)flambementaulit(insensibi1

2

0

crit

crit

Lim

Lim

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

a

cb

2

121

1+

IALfl /= crit

E

=

(EULER)

Courbes de flambement pour l'acier (types a, b, c), courbe d'Euler (en pointills), et courbe d'Euler corrige/Rankine (en gras).

Elancement rduit

(forte sensibilit au flambement : on retrouve la formule d'Euler)

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

33

12. PREMIER ORDRE, DEUXIEME ORDRE, SECOND ORDRE, EFFET P-, EFFET EPSILON, EFFET P-,... Supposons une structure non charge de gomtrie donne. Si un chargement s'applique sur celle-ci, elle va se dformer pour atteindre un tat d'quilibre correspondant une structure gomtriquement diffrente de la premire, bien qu'en gnral les dformations soient petites et quasi invisibles l'oeil nu. On devrait donc en toute rigueur considrer cette structure dforme pour en crire les quations d'quilibre et en calculer les efforts internes. Or, ceci est impossible car pour calculer la dforme de la structure il faut connatre les efforts internes, qu'il faut avoir calculs au moins une premire fois sur base d'un quilibre de la structure non dforme. Ce calcul initial, dont on se contente dans la plupart des cas, s'appelle calcul au premier ordre. 12.1 Exemple prliminaire Considrons une barre encastre d'inertie I et de longueur L l'extrmit de laquelle s'exerce une force Q incline d'un angle : Si on effectue un calcul au premier ordre, on considre la poutre dans sa gomtrie initiale non dforme et on obtient les ractions d'appui et le diagramme des moments suivants : En ralit, la poutre flchit et la flche l'extrmit vaut : = QLcos/3EI. Si on refait un quilibre des efforts partir de cette structure dforme, la projection horizontale de Q possde maintenant un bras de levier non nul par rapport l'encastrement et la valeur initiale du moment flchissant y est multiplie par un facteur (1 + QLsin/3EI) :

Q

L

Q

Qsin Qcos

QLcos QLcos

Q

Qsin Qcos

QLcos + (Qsin)( QL3cos/3EI)

QL3cos/3EI


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L'analyse prcdente s'appelle analyse au deuxime ordre. On peut prolonger indfiniment celle-ci en calculant une srie de situations successives correspondant des incrments de flches et des ordres croissants. Dans le cas o ces flches successives divergent, on retrouve le phnomne de flambement.

__________

Application numrique base sur l'exemple prcdent : poutre en acier de module de Young 210.000 [MPa], section rectangulaire pleine (10 [mm] 50 [mm]), inertie = bh/12 = 10,42.104 [mm4]), L = 2000 [mm], = 45, Q = 600 [N]. Valeurs obtenues au premier ordre : moment l'appui = QLcos = 0,85.106 [Nmm]; effort normal l'appui = Qsin = 424,26 [N]; contrainte max. aux fibres extrmes = Mh/2I+N/A = 203,65 + 0,85 = 204,50

[MPa] (il s'agit de la contrainte ngative de compression).

Calcul au deuxime ordre : le moment l'appui est multiplier par le facteur (1+QLsin/3EI) = 1,026.

Ceci correspond une contrainte totale valant 209,76 [MPa], soit un cart de 5,26 [MPa] par rapport la premire valeur.

12.2 Deuxime ordre, troisime ordre, ..., second ordre L'explication physique du flambement a montr que celui-ci se produit lorsqu'il y a divergence des flches successives du premier ordre, deuxime ordre, troisime ordre, etc. Cette interprtation est toutefois purement mathmatique puisqu'en ralit l'ensemble des phnomnes d'ordres successifs allant de 2 l'infini se rsume un seul effet que l'on dsignera, dans le cadre de cet ouvrage, par effet du second ordre. 12.3 Effet P- (P-DELTA) Notons d'emble que l'effet P- ne doit pas tre confondu avec l'effet P-. Le premier est en effet associ au comportement d'une structure alors que le second correspond au comportement individuel d'un lment. Dans une ossature, les dfauts de verticalit invitables ont pour consquence que les charges gravitaires s'appliquent sur les colonnes avec une certaine excentricit, crant ainsi des moments flchissants additionnels qui s'ajoutent aux efforts calculs au premier ordre. Si la structure est souple ou mal contrevente, ces effets s'amplifient et peuvent tre aggravs par les charges horizontales, le plus souvent dues au vent qui agit sur les faades.

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

35

Ce phnomne, proportionnel l'tat dform de la structure, s'appelle effet P-. On peut en tenir compte, soit par amplification des effets du premier ordre (dans une certaine mesure 7), soit en effectuant une analyse au second ordre vis--vis de l'effet P- par un logiciel de calcul. 12.4 Effet P- (P-delta), appel aussi effet epsilon On dmontre 8 qu'un effort normal de compression N agissant sur un lment prsentant un dfaut de rectitude e0, aussi infime soit-il, induit des moments de second ordre qui ne sont pas proportionnels la charge mais qui multiplient le moment maximum de premier ordre Ne0 par un facteur d'amplification gal :

1/(1 N/Ncrit)

Dans cette expression, Ncrit est la charge critique d'Euler de l'lment. De mme, si l'lment est initialement le sige d'une flexion compose (effort normal N + moment flchissant M), le moment flchissant du premier ordre M sera amplifi par le mme facteur 1/(1 N/Ncrit). Cet effet est connu sous le nom d'effet P-. Au niveau du dimensionnement de l'lment, deux cas peuvent se prsenter : celui-ci est en compression simple, auquel cas les formules analytiques de

flambement sont applicables et tiennent compte implicitement de cet effet; celui-ci est en flexion compose et il convient de tenir compte de cet effet

non seulement par application des formules de flambement mais aussi en multipliant le moment flchissant du premier ordre par le mme facteur correctif 1/(1 N/Ncrit.).

Au niveau de la structure : l'effet d'amplification P- a pour consquence de diminuer la raideur

flexionnelle apparente de l'lment, ce qui peut donc en principe induire une redistribution diffrente des efforts dans la structure, surtout si elle est hyperstatique 9.

7 Pour davantage d'informations ce sujet, se rfrer aux eurocodes. 8 Une dmonstration est prsente dans : Analyse des structures et milieux continus,

Mcanique des structures, Volume 2 du Trait de gnie civil, de Franois Frey, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, 2000.

9 Pour davantage d'informations ce sujet, se rfrer aux eurocodes.


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13. ELEMENTS FINIS, CARTOGRAPHIES DE CONTRAINTES La mthode des lments finis, presque impossible utiliser la main mme pour des structures trs simples, est devenue, depuis les progrs fantastiques de l'informatique, l'outil universel de calcul des structures. Il existe de nombreux types d'lments finis, allant de la barre de treillis 2D l'lment volumique en passant par l'lment surfacique. On se reportera au chapitre 14 pour l'application de cette mthode aux poutres, aux treillis et aux ossatures. Le principe gnral de la mthode des lments finis applique un problme statique est le suivant : dcomposer la structure en un certain nombre de "petits morceaux" appels

lments finis; tablir, pour chacun de ces lments, une relation entre les dplacements et

les efforts qui rgnent ses extrmits, relation qui se traduit par une notion de matrice de rigidit locale;

tablir par les quations d'quilibre une relation de compatibilit des

dplacements (relations de "voisinage") entre tous les lments finis en associant leurs matrices locales respectives pour former un seul systme bas sur une matrice de rigidit globale K , un vecteur des dplacements d et un vecteur des forces extrieures F : FdK = .

La rsolution de ce systme fournit tous les dplacements aux noeuds de la structure. Ceux-ci tant connus, on peut en dduire les efforts internes (pour les barres d'une ossature, ceci se fait par l'intermdiaire des matrices de rigidits locales).

Structure en coque mince mtallique de 8 mtres de diamtre. Ci-contre : modlisation par lments finis surfaciques. Cette modlisation permet, entre autres, de calculer les contraintes principales qui y rgnent ou mme la contrainte de Von Mises. (Oeuvre du sculpteur J. M. Mathot destine au rond-point des trois cls Gembloux, Belgique. Atelier Moker, bureau d'tudes Setesco; source : Pierre Latteur, simulation sur le logiciel ROBOT Millennium, 2001)

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

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Modlisation par lments finis d'une portion de voile de contreventement d'un immeuble de grande hauteur. Figure du haut, gauche : modle 3D. Figure du haut, droite : dcomposition en lments finis de l'un des voiles et dforme sous vent latral. Figure du bas, gauche : cartographies des contraintes principales de compression. Figure du bas, droite : direction des contraintes principales. (Tour Rogier/Dexia Tower, architectes Samyn and Partners et Jaspers, Eyers & Partners, bureau d'tudes Setesco; source : Pierre Latteur, simulation sur le logiciel ROBOT Millennium, 2004)


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14. LE FLAMBEMENT D'ENSEMBLE Indpendamment du flambement isol d'un lment droit, une partie ou la globalit d'une structure peut devenir instable. Ainsi, un treillis peut flamber dans son ensemble dans son plan ou hors de celui-ci, de mme que le tablier comprim d'un pont hauban, un portique tag, un arc ou une coque. Qu'il s'agisse d'un flambement 2D qui ne se produit que dans un plan particulier, d'un flambement 3D (spatial, par exemple par flexion/torsion d'une poutre) ou mme du voilement d'une coque, on parlera de flambement d'ensemble. La dtermination des modes de flambement d'ensemble et des charges critiques qui leur correspondent est souvent inaccessible par des moyens manuels et un recours une approche numrique par logiciel de calcul est presque toujours indispensable. Pour un cas de charge donn, le logiciel fournira 10 : le coefficient critique, qui est la valeur par laquelle il faut multiplier le cas de

charge considr pour que l'instabilit se produise (ce coefficient doit donc tre suprieur l'unit);

la forme de la structure dforme associe au mode d'instabilit li ce coefficient critique.

Une telle approche repose sur la rsolution d'un problme aux valeurs propres ( ne pas confondre avec l'lancement IALf= ) s'exprimant comme suit : ( ) 0= dGK

Dans cette expression, K est la matrice de rigidit 11 de la structure et G est la matrice des contraintes initiales (calcule pour le cas de charge considr). Une valeur propre fournira le coefficient critique et le vecteur propre d qui lui est associ. La dimension de ce vecteur propre est gale 3 fois le nombre de noeuds pour une ossature plane et 2 fois ce nombre pour un treillis plan ou une poutre. Il donne les dplacements de tous les noeuds et reprsente donc la dforme associe la valeur propre considre et ce mode d'instabilit. En ralit, la rsolution du problme aux valeurs propres fournira plusieurs solutions caractrises par des coefficients critiques diffrents et des formes de flambement diffrentes : tous les modes de flambement correspondant un coefficient critique (au moins) infrieur l'unit seront donc des modes de 10 En principe, la dmarche devra tre mene pour toutes les combinaisons de cas de

charges auxquelles la structure peut tre soumise. 11 Pour de plus amples informations sur la matrice de rigidit, consulter le chapitre 14.

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

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flambement potentiels contre lesquels il faudra se prmunir, soit en modifiant les caractristiques des lments, soit en modifiant la gomtrie de la structure ou ses conditions d'appuis.

15. COMPORTEMENT DYNAMIQUE DES STRUCTURES L'analyse dynamique fait intervenir un nouveau paramtre dans le problme de de la stabilit d'une structure : le temps. Une action dynamique est en effet variable et elle est caractrise par un spectre d'excitation qui dtermine son intensit en fonction du temps. La rponse de la structure, c'est--dire la faon dont elle va ragir cette excitation en terme de dplacements, d'efforts internes et de contraintes, sera elle aussi fonction du temps et de la manire dont elle va pouvoir dissiper l'nergie cintique qu'elle emmagasine. Il existe des ouvrages entiers consacrs au calcul dynamique d'une structure (voir bibliographie, [6]) et l'objectif n'est ici nullement de dvelopper la thorie

Structure de la toiture de la gare de Leuven (Belgique) Illustration du dessus : modlisation d'une partie de la structure mtallique (arcs de 52 m et 39 m de porte). Illustration du dessous : premier mode de flambement latral en l'absence de croisillons. (Architectes et ingnieurs Samyn and Partners avec le bureau d'tudes Setesco; source : Pierre Latteur; simulation sur le logiciel ROBOT Millennium, 2002)


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qui lui est relative. Dans la pratique, en effet, une analyse dynamique est si complexe qu'elle passe automatiquement par l'emploi d'un ou plusieurs logiciels de calcul. Il semble donc plus judicieux dans un ouvrage comme celui-ci de dvelopper des notions qui permettront au lecteur d'utiliser ces logiciels de manire efficace et en connaissance de cause plutt que de se lancer dans de longs dveloppements qui, en fin de compte, ne lui seront pas d'une grande utilit (sauf dans le cas o il devrait lui-mme implmenter le code du programme). Les mthodes de calcul volues, associes des logiciels de plus en plus puissants et conviviaux, permettent de pousser trs loin l'analyse d'une structure. Du mme coup, les architectes soumettent aux bureaux d'tudes des propositions de plus en plus complexes, parfois la limite de la faisabilit, allant souvent dans le sens de structures de plus en plus lances et d'apparence lgre. Or, ces structures dites lgres sont, paradoxalement, plus lourdes et plus "consommatrices" de matire. En effet : rduire la section apparente des lments comprims, mme effort et

mme longueur, les rend plus sensibles au flambement. Il faut donc augmenter leur inertie et donc leur paisseur 12;

rduire la section apparente des lments flchis, mme charge et mme longueur, les rend plus dformables et plus sensibles la flexion. On est galement dans ce cas amen augmenter l'inertie des profils et donc leur paisseur :

Le concepteur n'est pas toujours conscient du dilemme paradoxal auquel il est confront : "construire visuellement lger et structuralement lourd" ou "visuellement lourd et structuralement lger". Notons toutefois que le terme 12 Ou, dans le cas de colonnes en bton, y noyer un profil mtallique. Ceci gnre des

colonnes minces mais bourres d'acier, et donc plus onreuses, difficiles raliser ou recycler et impliquant des assemblages complexes. Des colonnes de diamtre lgrement suprieur (celui-ci intervenant avec un carr dans la rsistance la compression), en bton normalement arm, assainiraient pourtant la structure tout en respectant le parti architectural. Les matres d'ouvrages, mais aussi parfois les architectes, sont malheureusement rarement conscients du surplus financier que de telles dcisions impliquent.

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

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"visuellement lourd" n'est que subjectif : le Harbour Bridge difi en 1932 Sydney, d'apparence massive, occupe une place de toute beaut dans le port. En plus de cette consommation supplmentaire de matriaux, la lgret visuelle des structures gnre des problmes de comportement dynamique qui sont parfois difficiles prvoir : les problmes d'oscillations dues aux pitons sur de trs rcentes passerelles construites sur la Seine Paris et sur la Tamise Londres lors de leurs inaugurations respectives, bien qu'tudies par des bureaux d'tudes expriments et comptents, en sont la preuve. Une structure peut tre soumise diffrents types dactions dynamiques, souvent dlicates valuer avec prcision : les rafales de vent : leur spectre d'excitation est alatoire et peut dpendre

trs fortement de la configuration topologique du lieu. Les frquences qui y sont associes sont rarement suprieures 2 Hz;

les tourbillons de Von Karman (1911) : un vent constant qui rencontre un profil gnre, au droit de ce profil, des turbulences ou des tourbillons qui se dtachent de celui-ci avec une certaine frquence et qui sollicitent la structure de manire dynamique. Ainsi, les tabliers de certains ponts suspendus ou haubans sont profils, la manire d'une aile d'avion, afin de minimiser l'importance des ces tourbillons 13. Les frquences de ces tourbillons dpendent de la vitesse du vent, de sa direction par rapport la structure et de la gomtrie de celle-ci;

les pitons : sur une passerelle, l'action dynamique des pitons peut tre d'une grande importance. Un petit groupe de pitons, voire un seul piton dont la course ou le pas est proche de l'une des frquences de rsonance de la structure, peut solliciter celle-ci de manire non ngligeable. Ici encore, l'analyse est complexe car une infinit de cas doivent en principe tre pris en compte : un piton qui marche (frquence approximative 2 Hz), un piton qui court (frquence approximative 3 Hz), un groupe de pitons qui marchent ou qui courent de manire synchronise, une foule dont l'effet global rsulte d'une somme de comportements alatoires, etc.;

les sismes : ce sont des actions dynamiques redoutables caractrises par des spectres et des amplitudes difficiles valuer et qui dpendent du lieu gographique;

autres : chocs ou explosions, charges roulantes (par exemple passage d'un train sur un pont), charges tournantes (moteur mal quilibr), etc.

13 Le tablier du pont suspendu de Tacoma aux Etats-Unis, qui se rompit de faon

spectaculaire six mois aprs son inauguration en 1940, sous un vent rgulier de 60 km/h, avait un tablier non profil. Les modes propres de vibration de la structure taient proches des frquences d'excitation de ces tourbillons.


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Passerelle mtallique haubane de 140 mtres de porte. Deux des modes propres de vibration (Projet architectes et ingnieurs Samyn and Partners avec le bureau d'tudes Setesco; source : Pierre Latteur, simulation sur le logiciel ROBOT Millennium, 2002).

MODE 3 : 0,97 Hz (mode de vibration latral du tablier)

MODE 5 : 1,44 Hz (mode de vibration sinusodal vertical du tablier)

Vue du dessus :

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

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Le lecteur l'aura compris, l'ingnieur qui dimensionne une structure potentiellement sensible des actions dynamiques se trouvera la plupart du temps face une situation extrmement complexe que les meilleurs logiciels du monde ne pourront pas forcment dominer. Il faut parfois se rsigner accepter des interventions sur la structure construite : placer par exemple des dispositifs base de masses pendulaires ou damortisseurs14. Plusieurs approches abordes ci-aprs et qui peuvent tre complmentaires, permettent de traiter un problme de comportement dynamique d'une structure. 15.1. Le calcul des modes propres de vibration La notion de mode propre de vibration (ou frquence propre, frquence naturelle) peut se comprendre si on observe le mouvement d'une balanoire que l'on fait osciller en poussant rgulirement le sige. Si on la pousse trop vite ou trop lentement, celle-ci bougera peine ou de manire dsordonne. Par contre, il y a une frquence d'excitation bien particulire pour laquelle cette balanoire va prendre des oscillations de plus en plus grandes : c'est sa frquence propre. On peut aussi imaginer de pousser la balanoire dans le sens transversal : pour ce type de mouvement, la balanoire possde aussi une frquence propre, diffrente de la premire et associe un autre type de mouvement. Un mode propre de vibration correspond donc une certaine frquence d'excitation pour laquelle une dforme particulire d'amplitude maximale peut se produire (et thoriquement infinie si la structure ne peut dissiper l'nergie cintique qu'elle reoit). La plupart des logiciels sont capables de fournir les modes propres de vibration de structures trs complexes. Les figures de la page prcdente illustrent ces propos pour une passerelle mtallique haubane de 140 mtres de porte. Malheureusement, une telle dmarche ne fournit qu'une partie de l'information. En effet, elle ne donne aucune indication sur l'amplitude (en termes de dplacements, d'efforts internes et de contraintes) de la rponse de la structure une sollicitation dont la frquence est proche de l'une de ses frquences propres. A ceci s'ajoute le fait que l'amortissement de la structure, c'est--dire la faon dont elle va dissiper l'nergie emmagasine au dpart, est presque impossible dterminer avec prcision (sauf par des essais sur la structure dj construite). Cet amortissement dpend d'une multitude de facteurs : type de matriau(x), caractristiques des assemblages et des appuis, charges appliques... 14 Ce fut le cas de la passerelle Solferino sur la Seine (des masses pendulaires ont t

places sous le tablier, au centre de la passerelle) et du Millenium Bridge Londres (des amortisseurs ont t rajouts sous le tablier).


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Mode 2 : 5,9 Hz

Mode 1 : 5,5 Hz

Structure en coque mince mtallique de 8 mtres de diamtre. Les deux premiers modes propres de vibration se situent trs loin des frquences d'excitation dues au vent : dans ce cas toute investigation complmentaire est superflue. (Oeuvre du sculpteur J. M. Mathot destine au rond-point des trois cls Gembloux (Belgique), atelier Moker, Bureau d'tudes Setesco; source : Pierre Latteur, simulation sur le logiciel ROBOT Millennium, 2001)

Vue du dessus

Vue de face

Vue de profil

Vue du dessus

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

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Malgr les propos prcdents, la connaissance des modes propres de vibration d'une structure peut toutefois s'avrer trs utile pour les deux raisons suivantes : dans le cas o la ou les frquences d'excitation de la structure sont loignes

de ses modes propres, on peut en conclure que toute investigation complmentaire concernant le comportement dynamique de la structure est superflue;

dans le cas contraire, la connaissance des modes propres de la structure permet en principe de calculer le coefficient dynamique Cd. Ce coefficient, suprieur l'unit, reprsente la valeur par laquelle les actions statiques doivent tre multiplies pour tenir compte implicitement de leur effet dynamique. Les mthodes permettant de calculer ce coefficient dynamique sont toutefois trs approximatives, souvent trs complexes et ne s'appliquent avec prcision que pour des structures de gomtrie simple.

D'un point de vue numrique, la dtermination des modes propres de vibration repose de nouveau sur la rsolution d'un problme aux valeurs propres qui s'exprime comme suit : ( ) 0= dMK

Dans cette expression, K est la matrice de rigidit (voir chapitre 14) et M est la matrice de masse. Une valeur propre fournira le carr de la frquence propre et le vecteur propre d qui lui est associ. La dimension de ce vecteur propre est gale 3 fois le nombre de noeuds pour une ossature plane et 2 fois ce nombre pour un treillis plan ou une poutre. Il reprsente la dforme associe la valeur propre considre et au mode propre de vibration correspondant. 15.2. Le calcul de la rponse temporelle de la structure un spectre

d'excitation L'objectif est ici de faire un calcul de la rponse temporelle de la structure, en termes de dplacements, d'efforts internes ou de contraintes, une action variable dans le temps. Cette approche demandera un temps de calcul plus ou moins grand selon la complexit de la structure, l'intervalle de temps pendant lequel on tudie la rponse et le pas de discrtisation. Si l'excitation est harmonique (de frquence et d'amplitude connue) ou quelconque (de spectre connu), une telle approche permet par exemple d'obtenir la valeur du coefficient dynamique Cd de la structure, en comparant l'amplitude maximale d'un effet (par exemple une raction d'appui) avec la valeur de cet effet sous charge statique quivalente. Dans l'exemple donn la page suivante, on soumet la structure de l'auvent une charge de vent sinusodale de 1,5 Hz


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Raction d'appui temporelle au noeud 2 (kN)

-500-400-300-200-100

0100200300400500

0 1 2 3 4 5 6

Temps (s)

Ra

ctio

n (k

N) 1,5 Hz

Raction d'appui temporelle au noeud 2 (kN)

-500-400-300-200-100

0100200300400500

0 1 2 3 4 5 6

Temps (s)R

act

ion

(kN

) 4 Hz

Auvent de 400 m2 compos de poutres mtalliques recomposes, inertie variable. Figure du haut : vue 3D. Figure du milieu : 1er mode propre de vibration (4,2 Hz) des poutres centrales. Figure du bas, gauche : rponse d'une poutre centrale, en termes de raction d'appui, une sollicitation de 1,5 Hz (vent vertical). L'amplitude de cette raction d'appui est 1,5 fois plus grande que sous cette mme charge en situation statique (dans ce cas le coefficient Cd vaut donc 1,5). Figure du bas, droite : rponse d'une poutre centrale, en termes de raction d'appui, une sollicitation de 4 Hz (vent vertical). L'amplitude de cette raction d'appui est 9 fois plus grande que sous cette mme charge en situation statique (dans ce cas le coefficient Cd vaut donc 9). (Tour Rogier/Dexia Tower, architectes Samyn and Partners et Jaspers, Eyers & Partners, bureau d'tudes Setesco; source : Pierre Latteur, simulation sur le logiciel Robobat, 2003)

pendant 5 secondes et on constate que l'amplitude maximale de l'effet produit est 1,5 fois plus leve que si on considrait la charge de vent statique. Pour une charge de 4 Hz, trs proche de la premire frquence propre de la structure, l'amplification s'lve une valeur de 9. D'un point de vue numrique, la rsolution d'un problme transitoire temporel repose sur le systme diffrentiel suivant :

( )tF=++ dKdCdM &&&

Dans cette expression, K est la matrice de rigidit de la structure, M est la matrice de masse, C la matrice d'amortissement (dont l'valuation exacte reste

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

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hasardeuse car il est difficile d'valuer la faon dont la structure va dissiper l'nergie) et ( )tF est le vecteur des forces extrieures dpendant du temps. d& et d&& sont les vecteurs vitesse et acclration. 15.3. Le modle de mcanique des fluides Ce type de modle, purement numrique, permet de simuler les coulements du vent autour d'une structure. Il donne une information sur le type d'coulement, sur les pressions qui peuvent se produire ou encore sur les vecteurs vitesse. C'est un complment qui peut tre utile non seulement l'analyse dynamique d'une structure mais aussi son analyse statique.

15.4. Le modle rduit Une autre approche, onreuse et dlicate mais parfois indispensable, consiste fabriquer un modle rduit de la structure en exploitant les lois de la similitude. Le modle peut tre instrument et plac dans une soufflerie.

Dexia Tower - Lignes de courant le long de la faade frontale, au niveau de l'auvent, pour un vent Beaufort 3 de direction NE.

Dexia Tower - Champ de pression statique sur les faces frontale et latrale pour un vent Beaufort 3 de direction SO. (Simulations effectues par la firme NUMECA International, Bruxelles, 2004)


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16. EXEMPLES : RESOLUTION DE QUELQUES STRUCTURES ISOSTATIQUES SIMPLES

Exemple 1 Une grue pourvue d'un contrepoids de P [kN] est prvue pour supporter une

charge de Q [kN] son extrmit. On propose de calculer les ractions d'appui et la rpartition des efforts internes. Calcul des ractions d'appui

Equilibre des efforts verticaux : RV = Q + P [kN] Equilibre des efforts horizontaux : RH = 0 [kN] Equilibre des moments par rapport au pied : M = 4QL PL [kNm]

Q [kN] E

P [kN]

D C

B

A

2L 2L L

F

H

L

Q [kN] P [kN]

2L 2L L

RH RV

M

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

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On peut constater que les ractions d'appui ne dpendent pas de la hauteur de la grue. Cette hauteur est donc, au poids propre prs, essentiellement conditionne par le danger de flambement.

Calcul des efforts dans la barre FC

Suite au calcul des ractions d'appui, il est possible de dterminer la rpartition des efforts internes dans la barre FC. Si on effectue une coupure fictive dans celle-ci une hauteur quelconque x et que l'on fait l'quilibre de la partie isole, on obtient :

Calcul des efforts dans la barre DE

Si on effectue une coupure fictive entre les points D et E et que l'on fait l'quilibre du "morceau" de droite, on trouve :

Le moment flchissant dans la section D vaut donc 2QL.

RH = 0 RV = Q+P

M = 4QLPL

x

V

N M

M(x) = Cste = (4Q P)L [kNm] V(x) = 0 [kN] N(x) = Cste = (Q +P) [kN]

M(x) = Qx [kNm] V(x) = Cste = + Q [kN] N(x) = 0 [kN]

x

V N

M Q [kN] E


50

Calcul des efforts dans les barres AB et AC

Les barres AB et AC sont uniquement le sige dun effort normal. En effet, ces barres possdent des rotules leurs extrmits respectives et aucun effort n'est appliqu sur les barres elles-mmes. On peut donc pratiquer un simple quilibre du noeud A via le polygone des forces qui lui est associ. Soit NAB et NAC respectivement les efforts normaux dans les barres AB et AC. On obtient :

NAB = P/sin45 = + 2 P (traction) NAC = P (compression)

Calcul des efforts dans les barres BD et CD

Soit NBD l'effort de traction dans la barre BD et V et N respectivement l'effort tranchant et l'effort normal l'extrmit C de la barre CD. Il n'y a pas de moment en C grce la rotule qui s'y trouve. Cette partie de structure est caractrise par 3 efforts inconnus NBD, N et V que l'on peut obtenir en crivant les 3 quations d'quilibre :

( )

=+==+

02:DenmomentsdesEqu.0sin:vertical Equ.0cos:horizontal Equ.

LQVNVQNN

BD

BD

==+=

=

QQNQN

QV

BD

4tan2sin2

NAC

NAB P NAB

NAC

P

A

B

C

Q [kN] E D

C

B

2L 2L

L

V N

NBD

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

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Calcul des efforts dans la barre BC Les barres AB et BD, qui ne sont le sige que d'un effort normal, exercent chacune en B un effort qui peut se dcomposer en deux composantes respectivement parallle et perpendiculaire la barre BC. La composante parallle met cette barre en compression simple tandis que la composante perpendiculaire y cre un moment flchissant. Si on effectue une coupure fictive de la barre BC une distance x du nud B et que l'on fait l'quilibre des efforts par rapport cette coupure sur le morceau de structure isol, le calcul des efforts internes est immdiat :

Diagrammes des efforts internes

+==

=

)2()()4()(

4)(

PQxNxPQxM

PQxV

P/sin45

B

45 2Q/sin

V N M

x P

P/sin45

P

2Q/sin

(2Q/sin)cos = 2Q/tg = 4Q

2Q

Q P

M

2QL

(4Q P)L

Q P

V

+Q

Q +(4QP)


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On remarquera la concordance entre le diagramme de V et la drive du diagramme de M.

Immeuble de grande hauteur en construction (Tour Rogier/Dexia Tower, architectes Samyn and Partners et Jaspers, Eyers & Partners, bureau d'tudes Setesco; photo de lauteur, 2005)

Q

P N

P

(Q+P)

4Q

(*) : (2QP)

+2Q/sin26,6 +P/sin45

(*)

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

53

Exemple 2 Un maillon rectangulaire ouvert en acier est soumis deux forces gales et opposes.

En application du thorme de la force unit (9), on propose de calculer l'cartement latral des lvres de l'ouverture et de comparer les contributions respectives de M, V et N ce terme.

Diagrammes des efforts internes dans la structure de base

Q Q

Ouverture

3L

L

Q Q M = QL/2 M0

Q Q

V = Q V0

V = +Q

Q Q

N = +Q

N0


54

Diagrammes des efforts dans la structure soumise efforts unitaires

A l'aide des tables de Mohr reprises la fin de ce chapitre, il est possible de calculer les contributions respectives de M, V et N au dplacement recherch :

Calcul du terme relatif aux moments flchissant

M1 = QL/2

M2 = LM3 = L/2

L/2

M2 = L

M1 = QL/2

3L

+2 x

( )

+

+

= LQLLLLQLLEIdlEImMstruct 232226

12

21

.

00

EIQL

2441=

m = L m0

v = 1 v0 v = +1

n = +1 (traction)

n0

1 [kN] 1 [kN]

1 [kN] 1 [kN]

n = 1 (compr.)

1 [kN] 1 [kN]

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

55

Calcul du terme relatif aux efforts tranchants

( )( ) ( )( )EA

QLQLQLEA

dlGA

vV

struct v

)1(212

12

)1(2

.

00 +=

++++

(on approche la section rduite par la section totale Av A) Calcul du terme relatif aux efforts normaux

( ){ }EAQLQL

EAdl

EAnN

struct

3)1()(31

.

00

=++= Comparaison des trois termes

Le dplacement total cherch vaut : EA

QLEAQL

EIQL )1(23

2441 +++

Si on prend une valeur de 0,3 pour le coefficient de Poisson, on obtient :

++=AAI

LE

QL 6,2371,1totalEcartement

Cette expression suggre les commentaires suivants : les termes provenant respectivement des efforts tranchants et des efforts

normaux sont du mme ordre de grandeur; le terme d au moment flchissant est nettement suprieur aux deux

autres puisqu'il comporte une dimension principale au carr. Dans la majorit des cas, on se limitera donc au calcul du terme dlEIMm qui est nettement suprieur aux deux autres. Le terme relatif aux efforts normaux ne sera pris en compte que dans le cas de structures soumises principalement aux efforts normaux comme les treillis, les arcs funiculaires ou les cbles.


56

Exemple 3 On propose de calculer les ractions d'appui de la structure suivante en considrant leur sens arbitraire not ci-dessous et d'en dduire les diagrammes d'efforts internes :

Il faut videmment 4 quations pour dterminer les 4 ractions d'appui. Toutefois, la prsence de la rotule ramne le nombre total d'inconnues trois ce qui indique que la structure est bien isostatique. Si la procdure habituelle est applique, on dispose dj de trois quations : quilibre vertical, quilibre horizontal et quilibre des moments en un point (par exemple l'appui A). On en dduit donc : quilibre horizontal : RHA + RHB +qL = 0 quilibre vertical : RVA + RVB = 0 quilibre des moments autour du nud A : RVB(2L) + qL(3L/2) = 0

A ce stade, il manque une dernire quation, que l'on obtiendra en faisant l'quilibre des moments agissant sur la partie gauche de la structure par rapport la rotule en C :

RHAL + RVAL = 0

q [kN/m]

L

L L L

A

C

B

RHA RVA

RHB RVB

A

RHA RVA

C

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

57

La rsolution des 4 quations fournit le rsultat suivant :

===

=

4/4/34/3

4/3

qLRqLRqLR

qLR

HB

VB

HA

VA

Remarquons que l'on obtient le mme rsultat en choisissant comme quatrime quation l'quilibre de la partie droite CB de la structure, mais l'quation est plus lourde cause de la prsence d'un terme d la charge extrieure. A partir des ractions, il est ais de dessiner les diagrammes des efforts internes :

3qL/4

C

3qL/4 3qL/4

qL/4 3qL/4

qL +3qL/4 qL/4

V

3qL/4

C

3qL/4 3qL/4

qL/4 3qL/4

3qL/4 +3qL/4

N

3qL2/4

C

3qL/4 3qL/4

qL/4 3qL/4

qL2/2 qL2/4

3qL2/4 M


58

TABLE 1 Intgrales de Mohr L dlMML 0 211

M1

L

M2

M2

M2

M2

M2

M2

M2

M2

M2

M2M3

M2

M2M2

M2 M3

2121 MM

21MM

2121 MM

2121 MM

2121 MM

( )32121 MMM +

( )32121 MMM

0

2131 MM

2131 MM

2132 MM

2132 MM

2132 MM

M1

L

M2

M2

M2

M2

M2

M2

M2

M2

M2M3

M2

M2M2

M2 M3

2131 MM

2121 MM

2161 MM

2141 MM

LxMM 2

61

21

( )321 261 MMM +

( )321 261 MMM

2161 MM

2141 MM

21121 MM

2131 MM

2141 MM

21125 MM

M2x

21M

213

1 M

Chapitre 1. Bases _____________________________________________________________________________________________________________

59


M3

M3

M3

M3

M3

M3M4

M3M3

M3 M4

M3 M4

M3

M3

M3

M3

M3

( )

+++

3241

4231261

MMMMMMMM

( )213 3121 MMM +

( )21331 MMM +

M1 M2

L L

M1M2

M3M4

M3M3

M3 M4

M3 M4( )( )

+++

342

431

22

61

MMMMMM

( )

+

4132

4231261

MMMMMMMM

( )21361 MMM

( )213 3121 MMM +

( )213 53121 MMM +

( )213 35121 MMM +

( )( )

++

3241

4231261

MMMMMMMM

( )21361 MMM +

( )213 3121 MMM

( )21331 MMM

( )213 3121 MMM

( )213 53121 MMM

( )213 35121 MMM

( )

+

3241

4231261

MMMMMMMM

( )

+

3241

4231261

MMMMMMMM

( )22212131 MMMM ++ ( )22212131 MMMM +


60


M2

M2

M3

M3

M2

M2M3

M2M2

M2 M3

M2

M2

M2

M2

M2

LxL

xMM

32

22

21

2

21

+ 2

212

213

121

Lx

LxMM

0

21487 MM

214817 MM

M2M3

M2M2

M2 M3

L

M1

M2 M2

2131 MM

( )( )

+++

LxMLxMM

13

221

11

6

( )( )

++

LxMLxMM

13

221

11

6

( )L

xxMM 12216

+ 2

221

213

121

Lx

LxMM

+ 2 2121 13

1LxxMM

+ 2

211

2133

121

Lx

LxMM

+ 2

222

2133

121

Lx

LxMM

LxL

xMM

32

22

21

2

21

2131 MM

( )32141 MMM +

( )32141 MMM

21487 MM

21125 MM

214817 MM

x2M2

x1x2M2

x1L

M1

x2x1

213

1 M 2131 M

Chapitre II : Degr dhyperstaticit __________________________________________________________________________________________________________________

___

57

Chapitre 2

Dtermination du degr d'hyperstaticit

58 Calculer une structure : de la thorie l'exemple _____________________________________________________________________________________________________________

Illustration au recto : Tour d'observation Gedinne, Belgique. Architecture Dethier & Associs, Lige. Bureau d'tude Ney & Partners, Bruxelles, 2000.

Chapitre 2. Degr dhyperstaticit ____________________________________________________________________________________________________________

63

1. DEFINITION DU DEGRE D'HYPERSTATICITE

On ne considre dans l'expos ci-dessous que les ossatures planes charges dans leur plan. Lorsqu'on parle du degr d'hyperstaticit, il faut distinguer :

le degr d'hyperstaticit externe Is,ext; le degr d'hyperstaticit interne Is,int; le degr d'hyperstaticit total Is.

Prenons lexemple dun cadre soumis un cas de charge quelconque. Les trois ractions d'appui peuvent tre dduites directement des trois quations d'quilibre, mais les trois efforts internes M, V et N au sein mme du cadre restent inconnus. On a donc un degr d'hyperstaticit externe nul mais un degr d'hyperstaticit interne valant trois. Le degr d'hyperstaticit total est alors la somme des deux degrs d'hyperstaticit partiels.

On voit qu'une coupure totale dans le cadre (qui correspond la runion de trois dispositifs de libration d'effort, voir chap. 1, 5) transformera celui-ci en une structure isostatique dans laquelle tous les efforts internes pourront tre calculs partir des seules ractions d'appui et des charges. En conclusion :

degr d'hyperstaticit externe = nombre de ractions d'appui 3; degr d'hyperstaticit total = nombre total de coupures simples

effectuer dans la structure pour la transformer en une structure compltement isostatique;

degr d'hyperstaticit interne = degr d'hyperstaticit total degr d'hyperstaticit externe.

La dtermination du degr d'hyperstaticit n'est pas toujours immdiate et, que l'on dtermine celui-ci de manire intuitive ou systmatique, un certain nombre de dfinitions s'imposent.

Is,ext = 0 Is,int = 3 Is = 3

Is,ext = Is,int = Is = 0

coupure totale


2. DEFINITION D'UNE BARRE (ELEMENT) ET D'UN NUD

Le terme barre ou lment s'applique indistinctement tout tronon de structure dont la fibre moyenne ne prsente pas de discontinuit et dont la longueur est nettement suprieure ses dimensions transversales. Une barre pourra avoir une gomtrie quelconque (par exemple courbe), tre inertie variable ou non. Par ailleurs, on appelle noeud chacune des extrmits d'une barre. En outre, une barre ne pourra de plus contenir aucun autre nud intermdiaire. Un nud peut tre :

Un point d'appui de la structure

La structure comporte 6 noeuds et 6 barres.

Un point de discontinuit dans la structure

La structure comporte 5 noeuds et 4 barres. Tout endroit de la structure o il existe un ou plusieurs dispositifs de

libration d'efforts

La structure comporte 8 noeuds et 7 barres. Notons que, dans cet exemple, les barres BD et DA sont solidaires l'une de l'autre. La rotule ne concerne que l'extrmit D de la barre CD. Il faut donc distinguer ce cas de celui o la rotule relierait chacune des barres CD, BD et AD :

3 appuis = 3 noeuds

3 discontinuits = 3 noeuds

C D

A

B

2 dispositifs = 2 noeuds

1 noeud 1 noeud

Chapitre 2. Dtermination du degr dhyperstaticit ____________________________________________________________________________________________________________

65

3. PROCEDURE INTUITIVE DE CALCUL DU DEGRE D'HYPERSTATICITE

Bien qu'une procdure systmatique soit dcrite plus loin au 4, il est souvent possible, avec un peu d'habitude, de dterminer trs rapidement le degr d'hyperstaticit d'une structure. En effet, le degr d'hyperstaticit total tant gal au nombre de coupures simples effectuer pour rendre la structure isostatique, il suffira d'introduire ces coupures simples de manire judicieuse pour se ramener une structure que l'on sait isostatique ou dont on connat le degr d'hyperstaticit. Exemple 1 : poutre Dans cet exemple, la suppression de 4 appuis rouleaux transforme la structure en une poutre isostatique sur deux appuis. Le degr d'hyperstaticit vaut donc 4. Exemple 2 : portique plusieurs tages Ici, une coupure totale (suppression de 3 efforts internes) dans 3 lments horizontaux ramne la structure un portique d'hyperstaticit 3. Le degr d'hyperstaticit total vaut donc 3 + 33 = 12. Exemple 3 : structure haubane

B D

E

B

E


Dans la structure ci-dessus, les lments BE et ED possdent des rotules leurs extrmits. En considrant qu'ils ne sont soumis aucune charge sur leur longueur, ils ne peuvent donc tre le sige que d'un seul type d'effort : l'effort normal. Le degr d'hyperstaticit total vaut donc 2 car la suppression de BE et ED transforme le tout en une structure isostatique. Exemple 4 : multi portique Si aucune charge ne s'applique sur l'lment DG lui-mme, il ne peut tre le sige que d'un effort normal. Sa suppression diminue donc de 1 le degr d'hyperstaticit de la structure. Par ailleurs, si l'unique raction en H est connue, tous les efforts internes dans l'lment FH peuvent tre dtermins. La suppression de l'lment FH diminue donc lui aussi de un le degr d'hyperstaticit de la structure. La structure ainsi obtenue tant isostatique (de type portique 3 rotules), il en rsulte que la structure initiale est 2 fois hyperstatique. 4. PROCEDURE SYSTEMATIQUE DE CALCUL DU DEGRE

D'HYPERSTATICITE La dtermination dductive du degr dhyperstaticit ncessite une gymnastique intellectuelle qui peut devenir hasardeuse lorsque la structure est complexe. Il est ds lors utile de disposer dune mthode systmatique pour le calcul de celui-ci. Nous avons vu au 1 que le degr d'hyperstaticit total est gal au nombre de coupures simples effectuer dans la structure pour la transformer en une

A E H

B C

F

G D

A E H

C

F B

A E

C

F

B


67

structure compltement isostatique. Ce nombre de coupures simples correspond videmment au nombre d'efforts (internes ou ractions d'appui) que les trois quations de la statique appliques la structure entire ne permettent pas de calculer. Il faut ds lors dterminer : le nombre total d'quations d'quilibre disponibles Ne ; le nombre total d'efforts inconnus Ni (ractions dappui et/ou efforts

internes).

Dtermination du nombre Ne d'quations d'quilibre disponibles

La structure tant l'quilibre, chacun de ses nuds l'est aussi. On peut donc crire les trois quations dquilibre en chacun de ceux-ci :

quilibre horizontal; quilibre vertical; quilibre de rotation.

Si le paramtre n dsigne le nombre total de nuds de la structure, on dispose donc en principe de 3n quations d'quilibre. Mais, si un nud est, par exemple, une rotule pour chacune des barres qu'il relie 1, l'quilibre de rotation en ce nud perd tout son sens 2 et il ne reste que deux quations d'quilibre en ce nud. On dfinit donc un paramtre m qui reprsente le nombre total d'quations inexploitables dues la prsence d'un tel dispositif. De mme, si on considre deux barres relies par une coulisse normale, m=1 en ce nud puisque les efforts normaux y sont a priori nuls. En rsum, m vaut 1 en un nud si l'effort considr (M, V ou N) est a priori nul l'extrmit de chaque barre joignant ce noeud. Finalement, le nombre dquations disponibles vaut :

1 Dans le troisime cas du 2, la rotule ne relie qu'une seule des trois barres du nud D

(l'horizontale) : le paramtre m y vaut alors zro. 2 De par la nature mme de la rotule, les barres qu'elle relie ne peuvent exercer aucun

couple sur le nud. L'quilibre est donc une identit 0 = 0 inutile.

Ne = 3n m Nombre total de noeuds

Nombre d'quations inexploitables

Nombre d'quations disponibles


Dtermination du nombre total defforts inconnus

Si aucun dispositif (annulant un effort interne ou une raction d'appui) nest prsent aux extrmits d'une barre, il y a trois efforts dterminer chaque extrmit :

Si trois de ces six efforts sont dtermins, les trois autres peuvent tre obtenus immdiatement par application des trois quations d'quilibre de la statique. Si b est le nombre total de barres de la structure et r le nombre de ractions d'appui, il y a donc, a priori, (3b + r) inconnues dterminer. Mais, si l'extrmit d'une barre est constitue d'une rotule, d'une coulisse normale ou d'une glissire tangente, l'effort correspondant (respectivement M, N ou V) y est nul et il n'y a plus que deux efforts dterminer cette extrmit, donc une inconnue en moins. Si e est le nombre d'efforts d'extrmits de barres annuls par l'un de ces dispositifs, on aura :

Finalement, le degr d'hyperstaticit total Is d'une structure plane vaut donc :

( ) ( )mnerbNNI eis +== 33

Des dfinitions sous-jacentes l'tablissement de la formule ci-dessus, on dduit les cas suivants :

m = 0, e = 0 m = 1, e = 2 m = 1, e = 1 m = 2, e = 2

V2 N2

M2

M1

V1

N1

Ni = 3b + r e

Nombre total de barres

Nombre de ractions d'appui Nombre d'efforts inconnus

Nombre d'efforts d'extrmits de barres annuls par des dispositifs


69

Remarques : pour les poutres horizontales charges verticalement, les ractions dappui

horizontales et leffort normal sont inexistants. La relation s'crit alors : ( ) ( )mnerbIs += 22

dans les barres des treillis, seul leffort normal est non nul. De plus, au

niveau des appuis, la raction de moment est inexistante. On peut donc en dduire la relation suivante :

nrbIs 2+=

nous verrons dans le chapitre 4 que le degr d'hyperstaticit effectif d'une structure symtrique peut, si on tient compte de cette symtrie, tre diminu d'une ou plusieurs units.

5. HYPOSTATICITE, MECANISMES Une structure hypostatique est une structure instable 3 qui, sous lapplication des charges ou sous le simple effet de son poids propre, se transforme en un mcanisme dont la gomtrie peut tre trs diffrente de la gomtrie initiale.

3 Par instable on entend mobile, ce qui n'a aucun lien avec le phnomne de flambement.

m = 1, e = 5 m = 0, e = 3 (AC et CB sont solidaires en C)

m = 0, e = 1 m = 1, e = 3

B

C

A

m = 1, e = 2 m = 1, e = 2

m = 0, e = 2 m = 1, e = 4


Exemple :

Il faut toujours garder lesprit quune structure peut comporter un mcanisme alors que son degr dhyperstaticit total est nul ou mme positif. Il suffit pour cela quune partie de la structure soit hyperstatique et une autre partie hypostatique, conduisant ainsi un degr dhyperstaticit total positif ou nul. Lisostaticit globale nest donc pas une condition suffisante la stabilit dune structure. Par exemple, la structure ci-contre possde un degr d'hyperstaticit total gal 2 mais est mobile sous l'effet de charges latrales. 6. AVANTAGES ET INCONVENIENTS DE LHYPERSTATICITE

ET DE LISOSTATICITE Les structures isostatiques sont insensibles, en termes d'efforts internes gnrs, aux variations de temprature et aux mouvements dappuis (voir chapitres 5 et 7), ce qui peut tre un grand avantage dans certaines situations. Ce n'est par contre pa

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Calculer Une Structure, De La Théorie à l'Exemple