CAOCAOElaboré par : Ayadi walid

Ayadi.walid@gmail.com

novembre 2010

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Introduction

Conception?On peut décrire la conception ou le design comme un processus itératif au cours duquel un objet est conçu et modifié afin qu'il puisse remplir des fonctions bien définies et se conformer à un ensemble de contraintes.

On identifie plusieurs étapes dans cette démarche:

i) Création d'un modèle de l'objet,ii) Analyses, essais et simulation,iii) Construction de prototypes,iv) Modifications,v) Réalisation de l'objet.

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Domaines de La CAO

À quelques variantes près dans l'enchaînement de ces étapes, la méthodologie est la même que l'objet, soit

un barrage, un circuit électrique, une pièce mécanique, etc.

Ayant des caractéristiques communes

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caractéristiques communesL'ensemble des activités de conception sont les moyens ou média

utilisés par le concepteur:

i) outils analytiques - formules empiriques et équations issues de modèles mathématiques. Ceux-ci sont utilisés aussi bien lors de la création d'un modèle, lors de son analyse, ou des modifications;

ii) information - propriétés et caractéristiques de toutes sortes, design antérieurs, etc. Ces informations auxquelles l'ingénieur fait appel sont contenues dans des manuels, dans sa propre mémoire, dans des plans, etc. Leurs formes sont variées : chiffrées, graphiques, textuelles. On a recours aux informations également à toutes les phases du processus de conception;

iii) communication - l'ingénieur doit communiquer ou consacrer les résultats de son travail à l'une ou l'autre des phases. Par exemple, il lui faut communiquer la forme du modèle pour la réalisation d'un prototype, ou bien les résultats d'un calcul de contraintes pour réaliser certaines modifications. Les modes de communication sont graphiques, chiffrés ou bien textuels.

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Organigramme de la conception

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Conception assistée

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Conception assisté par ordinateur

Voir exemple1 Voir exemple2 Voir exemple3 Voir exemple4

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Exemples de conceptionsDomaine : mécanique/statique

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Exemples de conceptionsDomaine : électronique/micro électronique

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Exemples de conceptionsDomaine : mécanique/thermodynamique

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Exemples de conceptionsDomaine : électronique/automatique

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AVANTAGES DE LA CAO

Sous l'effet de fortes pressions provenant de la compétition, de la

conjoncture économique, de diverses contraintes du public et des

organismes gouvernementaux pour de meilleurs produits (et à

meilleur marché), l'industrie est forcée de hausser la productivité

du personnel technique. Il est vite apparu qu'à l'aide de

l'informatique, des économies appréciables sont possibles pour

chacune des différentes phases du processus de conception.

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AVANTAGES DE LA CAO(suite) i) Création du modèle

À l'aide des systèmes CAO disponibles sur le marché, la création et la

présentation d'un objet (pièce, circuit, etc.) est grandement facilitée.

On peut également étudier l'objet sous divers angles et en tirer des

copies à volonté à différents niveaux de réalisme (Vue 3D, rendu

réaliste,dessin technique assisté,bibliothèque de modèle,

import/export sous plusieurs formats.

Exemple : dessiner un pont

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AVANTAGES DE LA CAO (suite) ii) AnalyseLes caractéristiques de l'objet, une fois créé, sont immédiatement

disponibles pour des programmes d'analyse ou de simulation (éléments finis, vibrations, réponses en fréquence..) et, en retour, l'usager reçoit les résultats de ces calculs sous forme graphique ou tableau pour évaluer si l'objet est conforme aux contraintes.

Les calculs sont de plus en plus rapides grâce à l’évolution des performances des computers

Exemple : calcul des poutres (RDM)

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AVANTAGES DE LA CAO (suite) iii) ModificationsSuite à l'analyse ou à la simulation, des modifications sont

faciles et rapides à incorporer, au modèle informatique. Avec un tel outil, il est possible d'envisager plusieurs solutions et de choisir la plus adéquate.

A titre d'exemple, on cite dans l'industrie de l'automobile pour la mise au point d'un nouveau modèle.

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1. Mise en forme

2. Discrétisation

3. Simulation

3 ActivitésProcessus industriel

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Fichier typé de données:Permet la reconstruction de l’objet

1. Mise en forme

Objet

Modélisation géométrique des courbes et surfaces : Modèle de Bézier : courbes ; algorithmes d'évaluation de De Casteljau et autres (subdivision, élévation de degré…) ; Carreaux de Bézier ; Recollement de carreaux et continuité géométrique. Limitations du modèle. Modèle B-Spline , algorithme d'évaluation de De Boor, propriétés géométriques et limitations. Modèle NURBS : courbes et surfaces.

Voir exemple

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Ensembles de mailles interconnectés

2. Discrétisation

Objet

Méthode de calcul par éléments finis (FEM)

Une maille ayant: Type : cubique, triangulaire Définie par : Nœuds, éléments Paramètres

Attention! raffinement des maillesVoir exemple

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3. Simulation

Ensembles de mailles interconnectés

Résultats et analysesExemple en mécanique (Contraintes, déformation, déplacement, …)

Pour calculer il faut : Les conditions aux limites Les conditions initiales Loi de comportement

Attention! incertitude des résultats obtenus

Méthode de calcul par éléments finis (FEM)

Voir exemple

Historique (Analyse des structures née vers 1850)

RDM (Résistance des matériaux) calculs ⇒« manuels »   Maxwell, Castigliano, Mohr

Concept d'éléments finis né vers 1940    Newmark, Hrenikoff, Mc Henry, Courant

Développement réel depuis 1960   Calcul numérique sur ordinateur

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Domaines d'application

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•Calcul de structures•étude des contacts•Électricité•électromagnétisme,•hydraulique•Aérodynamique• ...

Principes et difficultés

Principe Le milieu continu est « idéalisé » par la subdivision en un nombre

fini d'éléments dont le comportement est représenté par un nombre finis de paramètres.

La résolution du problème global, obtenu par assemblage des éléments, suit les règles qui régissent les structures discrètes.

Les difficultés D'ordre théorique : formulation des éléments D'ordre pratique :

Discrétisation du milieu continu (maillage) Qualité des résultats (convergence de la méthode)

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Méthode de calcul FEM la méthode des éléments finis est utilisée pour résoudre numériquement

des équations aux dérivées partielles. Celles-ci peuvent par exemple représenter analytiquement le comportement dynamique de certains systèmes physiques (mécaniques, thermodynamiques, acoustiques, etc.).

La méthode des éléments finis fait partie des outils de mathématiques appliquées. Il s'agit de mettre en place, un algorithme discret mathématique permettant de rechercher une solution approchée d' une équation aux dérivées partielles (ou EDP) sur un domaine compact avec conditions aux bords et/ou dans l'intérieur du compact. On parle couramment de conditions de type Dirichlet (valeurs aux bords) ou Neumann (gradients aux bords) ou de Robin (relation gradient/valeurs sur le bord).

Fig 7. Solution bidimensionnelle d'une équation magnétostatique obtenue par éléments finis (les lignes donnent la direction du champ et la couleur son intensité)

Problème modélisé :

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Problème simplifié :

En calcul de structures, un élément fini est caractérisé par deux matrices : •La matrice de raideur •La matrice de masse

Définition d’un élément fini

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Qualité de la discrétisation

outre l'algorithme de résolution en soi, se posent les questions de qualité de la discrétisation :

existence de solutions, unicité de la solution, stabilité, convergence, et bien sûr: mesure d'erreur entre une solution

discrète et une solution unique du problème initial.

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Choix d'un maillage et Discrétisation La méthode des éléments finis repose sur un découpage de l'espace selon

un maillage. D'habitude l'on choisit un maillage carré ou triangulaire mais rien n'interdit de choisir des maillages plus complexes. Il n'est pas non plus nécessaire que le maillage soit régulier et l'on a tendance à resserrer le maillage près des endroits d'intérêts (par exemple aux endroits où l'on pense que la solution va beaucoup varier), cependant il faut veiller à avoir des éléments faiblement distordus (se rapprocher d'un polygone régulier). Plus ce maillage est resserré plus la solution que l'on obtient par la méthode des éléments finis sera précise et proche de la « vraie » solution de l'équation aux dérivés partielles.

Fig 8. (a)Un exemple de maillage triangulaire (b) maillage plus resserré autour de la zone d'intérêt

(a)(b)

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Fonctions de base 1/2

Après le choix du maillage on doit prendre une base de fonctions qui lui est « adaptées ». Plusieurs choix sont alors possibles. En général, les fonctions des bases utilisées pour les éléments finis sont interpolant, c'est-à-dire que les valeurs nodales sont les valeurs des grandeurs inconnues aux nœuds.

La plus simple est l'emploi des polynômes de Lagrange. Dans cette méthode les fonctions de base valent 1 à un nœud du maillage et 0 a tous les autres. La fonction de base i est alors la fonction valant 1 au nœud i et 0 sur les autres nœuds et qui est polynomiale sur chaque élément. Il y a autant de fonctions de base par éléments que de nombre de nœuds.

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Fonctions de base 2/2

On appelle élément la donnée d'une géométrie (souvent polygonale en 2D, polyédrique en 3D) et de fonctions de bases associées à cette géométrie.

D'autres solutions peuvent exister pour les fonctions de base. On cite ici un seul exemple les éléments finis de Hermite qui ont la particularité d'avoir deux fonctions de base associées à chaque nœud. Dans cette version, la valeur de la solution est ajustée avec la première fonction alors que la deuxième permet d'ajuster la valeur de la dérivée. Ce type de fonctions de base peut avoir un intérêt pour la résolution de certaines équations aux dérivées partielles (par exemple l'équation des plaques en mécanique des milieux continus) même si elle nécessite d'avoir deux fois plus de fonctions pour un maillage donné.

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Quelques éléments classiques

En 2D triangles de degré 1, (triangles à 3 nœuds, fonctions

linéaires) triangles de degré 2 (triangles à 6 nœuds, polynômes de

degré 2) quadrangles de degré 1 (carrés à quatre nœuds,

fonctions linéaires) quadrangles de degré 2 (carrés à 8 ou 9 nœuds,

polynômes de degré 2) En 3D tétraèdre de degré 1, (quatre nœuds, linéaires) cube de degré 1, (huit nœuds, linéaire)

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La résolution d'un problème de structure

La résolution d'un problème de structure consiste à étudier trois champs vectoriels ainsi que leur relation :

Le champ de déplacementdéplacement, noté uLe champ des déformationsdéformations noté εLe champ des contraintescontraintes noté σ

Les relations entre ces quantités est :

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La résolution d'un problème de structure

Dans le cas général, on montre que les équations d'équilibre s'écrivent sous la forme

qui se simplifient dans le cas de la statique à :

où f est une force volumique dans le cas 3-D.

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Formulation du problème

La loi de comportement relie le tenseur des déformations au tenseur des contraintes. A chaque catégorie de matériau correspond un type de loi.

σ=L εLes conditions aux limites :

U(x) déplacements imposés

F(x) Chargements appliqués

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Problème sous forme matricielle

Si l'on note: la matrice A ayant pour composantes les a(ei,ej), le vecteur U ayant pour composantes les ui qui sont les coordonnées de la solution approché sur

la base b le vecteur B pour composantes les alors ce problème revient à résoudre l'équation linéaire de n équations à n inconnues :

La matrice A est appelée matrice de rigidité par analogie avec certain problèmes de mécanique des solides. A est par construction symétrique, et puisque a est coercitive, alors A est symétrique, définie positive donc inversible. On obtient donc l'existence et l'unicité de U = A − 1B. grâce aux coordonnées de sur la base b on peut alors construire la solution approchée . Quand le maillage se resserre cette solution approchée va tendre vers la vraie solution de l'équation aux dérivées partielles de départ.

Pour le cas avec une deuxième discrétisation de on obtient:

où M est appelée la matrice de masse et contient les . f est un vecteur contenant les

coordonnées de f dans la base. La méthode est alors la même qu'avec une seule discrétisation

puisque A vérifie les mêmes propriétés. Cette méthode peut parfois être préférée quand on peut obtenir de façon simple la projection de f sur la base et la matrice M.

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Algorithme

La méthode des éléments finis doit être conduite ainsi : On calcule la matrice de rigidité A On détermine le membre de droite, en calculant les termes ou

alors par l'intermédiaire de la matrice de masse. On résout le problème AU=B ou le problème AU=Mf suivant le

niveau de discrétisation choisi. U est alors donné par U = A − 1B. Selon la base qui a été choisie et selon les données du problème, il faut choisir la méthode d'inversion la plus efficace pour A. C'est l'étape la plus consommatrice en termes de puissance de calcul et l'efficacité de la méthode en termes de temps de calcul se joue principalement sur cette étape.

On peut écrire grâce au vecteur U qui contient les coordonnées de sur la base b et obtenir une solution approchée au problème.

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Processus de calcul (cas statique)

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Exemple de formulation : Barre en tractionBarre en traction

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Exemple de formulation : Barre en traction (suite)Barre en traction (suite)

Exemple de problème discret : un réseau électrique

1) Équation locale du composant e :

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2) On écrit : •La continuité des potentiels en chaque connexion •L'équilibre des courants à chaque connexion •L'adjonction des courants externes 3) On obtient l'équation globale du système assemblé :

soit

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Quelques exemples de logiciels d'éléments finis appliqués à la mécanique des structures

ABAQUS : logiciel développé par la société Simulia (Dassault Systèmes) ANSYS : logiciel développé par Ansys CAST3M : logiciel français mis à disposition gratuitement pour l'enseignement et la recherche Code Aster : logiciel libre français CosmosWorks : Logiciel Franco-Américain appartenant à SolidWorks qui lui-même appartient à Dassault Dytran : logiciel américain développé par MSC.Software EuroPlexus : logiciel français JMAG : logiciel Japonais (distribué en Europe par Powersys) permet un couplage entre les analyses

électromagnétiques et structurelles. LS DYNA : logiciel américain Marc : logiciel américain développé par MSC.Software pour les traitements non-linéaires (grandes

déformations/grands déplacements/matériaux caoutchouc/composites...) Morfeo : logiciel belge MSC.Nastran : logiciel américain développé par MSC.Software, traite des calculs structurels, thermiques et thermo-

mécaniques NX.Nastran : logiciel développé par Siemens PAM : logiciel français développé par la société ESI PERMAS : logiciel allemand Radioss : logiciel développé par la société américaine Altair ROBOT MILLENIUM : logiciel français développé par ROBOBAT pour le calcul de structures de type génie civil et

bâtiment. Et integre ensuite par AutoDesk. SAMCEF : logiciel belge SYSTUS : logiciel français, traite des calculs mécaniques, thermiques et thermo-mécaniques linéaires et non-

linéaires SYSWELD : logiciel français, basé sur SYSTUS et permettant le calcul de traitement thermique, thermo-chimique,

soudage, avec couplage mécanique/thermique/métallurgique voir éléctromagnétisme (trempe par induction)

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Simulation numérique d'un Essai de choc sur une voiture: les cellules utilisées pour le maillage sont visibles sur la surface du véhicule.

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Conclusion

Il est évident que la CAO n'est qu'un outil, mais un outil qui modifie l'exercice de la profession de l'ingénieur et permet de faire un meilleur travail. Par exemple, dans le domaine des structures, les programmes d'analyses sont devenus très précis et complets de manière à ce que le comportement d'éléments telles les poutres, etc., peut être analysé avec beaucoup plus de fiabilité et de détails qu'avec les formules empiriques utilisées auparavant. Il est alors envisageable d'optimiser un design par l'utilisation itérative de ces outils et de déceler des comportements qui ne seraient apparus que lors de la réalisation du prototype (ou pire, lors du produit fini).

Cette approche est en vigueur depuis plusieurs années dans les domaines de haute technologie (aviation, nucléaire, électronique ...) où les méthodes traditionnelles sont devenues désuètes.

La progression de ces méthodes avancées de conception est rapide et à moyen terme, elles seront utilisées dans la plupart des entreprises.

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FIN

MERCI POUR VOTRE ATTENTION

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Retour

48Axe de bielle Retour

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modèle éclaté

Retour

50réglage de course manuelle

Retour