Cash Flow Et Taux d'Axtualisation

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    Carteret CoralieDe Chappedelaine AngliqueDi ponio Olivier

    DESS Stratgie et ingnierie financire desgroupes

    SUJET : Principes et dfinitions des lmentsdu calcul : cash-flows, taux dactualisation,

    valeur rsiduelle.

    Anne 2000-2001

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    PLAN

    Sujet : Principes et dfinitions des lments du calcul : cash-flows,taux dactualisation, valeur rsiduelle

    1er partie : Les concepts.................................................Page 1-5

    Titre I : Lactualisation.................................................................Page 1Titre II : La valeur actuelle ...........................................................Page 2

    A. Dfinition littraire et mathmatique...............................................Page 3B. Il faut ce stade indiquer les cas particuliers...................................Page 4

    Titre III : Les cash-flows...............................................................Page 4Titre IV : La valeur rsiduelle.......................................................Page 5

    2me partie : Dans un univers certain............................Page 7-19

    Titre I : La Valeur Actuelle Nette.............................................Page 7A. Dfinition littraire.........................................................................Page 7B. Dfinition mathmatique classique..................................................Page 7C. Objectif du calcul et interprtation de la VAN.................................Page 7D. Principe dadditivit........................................................................Page 9E. La simple comparaison de la VAN ne suffit plus ds quun paramtrede calcul a vari entre les diffrents projets ..........................................Page 9F. La prise en compte de linflation.....................................................Page 11

    Titre II : Le taux Interne de Rentabilit........................................Page 12A. Dfinition du TIR...........................................................................Page 12B. Les critiques du TIR.......................................................................Page 14C. Principe dadditivit........................................................................Page 14

    Titre III : La comparaison VAN et TIR.........................................Page 15A. Pourquoi cette comparaison............................................................Page 15B. Les cas doppositions des critres....................................................Page 15C. Conclusion......................................................................................Page 17

    Titre IV : La VANG et TIRG........................................................Page 17Titre V : Autres critres du choix des investissement...................Page 19

    A. Taux de profitabilit........................................................................Page 19B. Dlais de rcupration.....................................................................Page 19C. Taux moyen de rendement..............................................................Page 19

    3me partie : Si l univers nest pas certain ..................Page 20

    Memento des principales formules ................................Page 22

    Bibliographie ..................................................................Page 23

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    Principes et dfinitions des lments du calcul :cash-flows, taux dactualisation, valeur

    rsiduelle.

    Le but de toute entreprise est de raliser des profits. Lentreprise gnre des flux de

    trsorerie nets. Donc, pour valuer une entreprise, on peut utiliser une mthode consistant

    analyser les flux de trsorerie.Lorsque lon suit cette mthode, il faut valuer les investissements que projette de

    raliser lentreprise. Pour connatre la valeur future de linvestissement, on actualiselinvestissement en essayant dvaluer les flux futurs quils soient positifs ou ngatifs.

    Pour arriver ce but, il existe des outils tels que lactualisation et les flux de trsorerieou cash-flows.

    La dcision dinvestissement peut tre prise en univers certain, cest--dire lorsque lesflux gnrs par linvestissement sont connus avec certitude, ou bien en univers incertain,cest--dire lorsque les flux montaires sont des flux prvisionnels donc alatoires, incertains.

    Quand la dcision dinvestissement est prise en univers certain, certaines mthodesdvaluation du projet dinvestissement comme la VAN et le TIR peuvent tre mise en uvre.

    Quand la dcision dinvestissement est prise en univers incertain, on remplacelutilisation du simple taux dactualisation par une formule combine : le MEDAF.

    Partie 1 : Les concepts

    Titre I - Lactualisation

    Actualiser, cest chercher la valeur aujourdhui dune somme future. Cette techniquepermet de comparer aujourdhui des flux qui ne se produisent pas la mme date dans letemps.

    Lactualisation dprcie le futur. La mthode consiste appliquer aux flux de demain uncoefficient multiplicateur [1/(1+t)] qui est toujours infrieur 1, cest le coefficientdactualisation. Ce coefficient sert ramener une valeur future une valeur actuelle comptetenu dune dprciation propre au temps.

    Cette technique permet donc la comparaison de sommes reues ou verses des datesdiffrentes. Le fondement de lactualisation est la valeur donne au temps. Donc, toutesomme reue en retard vaut moins et toute somme perue en avance vaut plus.

    Le raisonnement repose sur la dprciation du futur et le prfrence pour la liquidit ; ilsuppose enfin lexistence dun march de capitaux efficients.

    Lactualisation est linverse de la capitalisation. Actualisation et capitalisation sont lesdeux faces dun mme phnomne : le prix du temps.

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    Capitalisation : x(1+t)

    _________ Vo ___________ Vn __________ temps

    Actualisation : x 1/ (1+t)n

    Le coefficient dactualisation et le taux dactualisation :

    Le coefficient de capitalisation est obtenu par lopration suivante : (1+t)n, si le taux est lemme chaque anne.Le coefficient dactualisation tant linverse du coefficient de capitalisation, il est obtenu parlopration inverse : 1/(1+t)n.1/ (1+t)n est le coefficient dactualisation qui dprcie la valeur future : VF et la transforme enla valeur daujourdhui VA.

    Titre II - La Valeur Actuelle

    A/ Dfinition littraire et mathmatique

    La valeur actuelle dun titre financier est la valeur des diffrents flux actualiss. Par latechnique de lactualisation, on peut retrouver la valeur actuelle dune somme future.

    Soit pour une dure quelconque n :

    [ ] VArrrVF n *)1....(*)1(*)1( 21 +++= si r chaque anne

    Ou ( )nrVAVF += 1* quand r est identique

    Ainsi si on place pendant 10 ans, un capital de 10 000 francs au taux de 8%, intrtscapitaliss, nous disposerons dans 10 ans dun somme de : ( )1008.1*10000=VF

    Par consquent, la valeur actuelle obtenue lorsque lon connat la valeur future est :

    ( ) ( ) ( )

    +++= nn rrrVFVA 1...*1*11*21

    ou ( )n

    n

    rVFVA+

    =1

    Nous avons vu le cas o nous navons quun seul flux situ en anne n.

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    Dans le cas, o chaque anne, il y a un flux Ft qui lui correspond, alors nous obtenons

    cette formule : ( )= +=n

    tt

    t

    rFVA

    1 1

    B/ Il faut ce stade indiquer les cas particuliers :

    B-1/ Lors de flux identiques chaque anne, soit nFFF === ...21 , nous obtenons desannuits (sries de flux identiques effectus des intervalles de temps gaux).

    alors ( )= +=

    n

    ttr

    FVA1 1

    or, comme il sagit dune progression gomtrique, nous pouvons

    ramener cette expression ( )r

    rFVAn-+-= 11*

    Remarque : Cette formule actualise une priode avant la premire annuit F (en t1)

    exercice : Combien vaut aujourdhui, en t = 0, une somme annuelle de 1000 francs reue dst = 1 et ceci pendant 5 ans sachant que le taux dactualisation est de 10%.

    Soit ( ) ( ) 79,3790

    1,01,11*1000

    %10%10.11*1000

    55

    =-=+-=--

    VA frs

    B-2/ Si les versements dbutent une date prcise et se perptuent indfiniment,alors :

    ( )rF

    rrFVA

    n

    n=+-=

    -

    11*lim tend vers 0 lorsque n est trs grand.

    exercice : Combien vaut aujourdhui, en t = 0, une somme annuelle de 1000 francs reue ds t = 1 etceci vie, sachant que le taux dactualisation est de 10%.

    Soit 100001,0

    1000==VA frs

    B-3/ On suppose que chaque anne, les annuits augmentent ou diminuent dunpourcentage constant b de telle sorte que :

    F ( )11 bF + ( )( ) ( )2111 bFbbF +=++ ( ) 21 -+ nbF ( ) 11 -+ nbF

    0 1 2 n-1 n

    Soit ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )bFrbFrbFrFVF nnnn ++++++++++= ---- 111.....111 1221

    ( ) ( )-

    =

    --++=1

    0

    111n

    t

    tnt rbFVF or, comme il sagit dune progression gomtrique dont le 1er terme est

    ( ) 11 -+ nrF et de raison rb

    ++

    11

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    do ( )[ ][ ] 111

    111

    1 1

    -++

    -++

    += -

    rbrb

    rFVF

    n

    n ou ( )[ ]

    -

    -++

    +=rb

    rb

    rFVF

    n

    n1

    11

    1

    Remarque : Si b = 0 alors [ ]rrFVF

    n 11 -+=

    En appliquant une perptuit en plus, la formule se rduit :

    Rappel : ( ) nrVFVA -+= 1

    ( )[ ][ ] ( )

    [ ]brrb

    Fxrx

    rbrb

    xrFVA

    n

    n

    n

    n

    -++-

    =+-+

    +

    -++

    += -- 111

    11

    11

    111

    1 1

    et [ ]

    brF

    brrb

    FxVA

    n

    n -=

    -++-

    =

    111

    lim puisque [ ] 011 ++ n

    rb quand n tend vers linfini et si b< r.

    Titre III - Les cash-Flows

    Les cash-flows sont les flux de trsorerie que gnre toute entreprise. Ils permettent decalculer la contribution marginale de linvestissement la rentabilit de lentreprise. Onmesure donc les cash-flows nets annuels supplmentaires quapporte lentreprise laralisation du projet : ce sont les diffrents accroissements annuels de recettes et de dpensesqui constituent les cash-flows du projet.

    Le cash-flow net est la diffrence entre les produits encaissables (sourcesdenrichissement) et les charges dcaissables (sources dappauvrissement) ; il doit tre corrigdes flux rsultant doprations bilantielles entre la date de la dcision et la date de cessation.

    Les profits ou les cash-flows nets sont une somme de flux montaires aprs impt.

    Chaque projet dinvestissement peut tre clairement identifi et est considr comme unesrie de flux montaires ayant lieu des moments prcis dans le temps : les encaissements, lesdcaissements et les conomies de dcaissements. On distingue souvent les fluxdinvestissement des flux dexploitation et des valeurs rsiduelles.

    Mode de calcul des cash-flows nets :

    Cash-flow brut = chiffres daffaires charges dexploitation dcaissables dotation auxamortissements.Cash-flow net = [Cash-flow brut - impt sur les bnfices] + conomies dimptsSil ya lieu.

    On peut approcher la valeur des cash-flows nets par la capacit dautofinancement.

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    exercice : On se fixe un taux de rendement minimal de 10 % ; le montant de linvestissementslve 5 000 000 F totalement amortissable dpenser immdiatement et 3 000 000 Famortissables pour moiti verser dans un an. Le taux damortissement linaire est de 10 %.La mise en service aura lieu dans 1 an. Le produit espr est de 3 000 000 F par an de la fin dela deuxime la fin de la sixime anne. La valeur rsiduelle la fin des 6 ans est gale lavaleur comptable nette. Le taux de limpt sur les bnfices est de 50%.

    Tableau rcapitulatif, en milliers de KFAnne 0 1 2 3 4 5 6

    Investissement-5000 -3000Cash-flows 1825 1825 1825 1825 1825Impts -2500 +1175 +1175 +1175 +1175 +1175Valeurrsiduelle

    5750

    Nous aurons un montant de dotation aux amortissements gale :5 000 KF +1 500 KF = 6 500 KF amortissable sur 10 ans, soit 650 KF par an.Et ainsi un rsultat net partir de la seconde anne de :3 000 KF 650 KF = 3 650 KF3 650 KF 1 175 KF (Impts) = 1 175 KFEt donc un montant de cash-flows net qui vaut, par approximation de la CAF, 1 825 KF

    *CAF = Rsultat net + DAP - reprise

    Titre IV - La valeur rsiduelle :

    Avant de procder un investissement, il faut mesurer les paramtres de linvestissementqui sont :

    - Le montant du capital investi.- La dure de vie de linvestissement.- Le montant des revenus futurs qui doivent tre indpendamment des modalits de

    financement de linvestissement.- La valeur rsiduelle du bien qui peut ventuellement exister la fin de la priode

    dinvestissement.

    La dcision de dsinvestissement ncessite la connaissance, la fin de chaque priode, dela valeur rsiduelle du projet. La valeur rsiduelle doit au moins comprendre les lmentssuivants :- La valeur des immobilisations corporelles values au prix de cession et non la valeur

    comptable, le prix tant ventuellement corrig des implications fiscales.- La valeur des actifs incorporels et financiers value dire dexpert ou au prix du march.

    La valeur rsiduelle est la valeur du bien comptablement.

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    Mode de calcul de la valeur rsiduelle :

    Valeur rsiduelle = Prix de cession du bien [ (Prix de cession du bien Valeur comptablenette) Taux dimpt]

    Exemple : On souhaite vendre un prix de 15 000 Francs un bien immobilier qui une VNCde 9 000 francs.La valeur rsiduelle nette dimpt est gale : 15 000 [(15 000 9 000) 331/3%] = 13 000.Soit le taux dimposition gal 331/3 %.

    Partie 2 : Dans un univers certainNous allons tudier deux outils possibles pour comparer et valuer des projets

    dinvestissement diffrents (la VAN et le TIR). Nous verrons quil existe des zones de conflitspossibles entre eux et nous essayerons de trouver une mthode pour les rsoudre.

    Enfin, nous dpasserons ce conflit par la cration dune nouvelle formulation le TIRG etla VANG.

    Titre I - La Valeur Actuelle Nette (Terme US : NPV : Net Present Value)

    A/ Dfinition littraire

    Cest la comparaison, la date 0, entre le montant du capital investi et les flux engendrs parlinvestissement. Soit autrement dit, la diffrence entre la valeur actuelle et la valeur demarch.

    B/ Dfinition mathmatique classique

    Soit :I0: montant de linvestissement en t=0Ft : les flux attendus chaque priodet =1 n : nombre dannesr : taux dactualisation

    avec une valeur rsiduelle nulle. Le projet dinvestissement est compltement amorti.

    C/ Objectif du calcul et interprtation de la VAN

    Elle permet de dterminer sil est rentable de mettre en place le ou les projetsdinvestissements. Une VAN positive signifie conomiquement que les capitaux investis 0I

    [ ]=

    -+

    =n

    tIt

    r

    tFVAN1

    01

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    sont au moins couverts par les flux montaires futurs. Ce projet peut accrotre la valeur delentreprise. Ainsi, au seul critre de la VAN, le ou les projets peuvent tre accepts, dans unpremier temps. Dans le cas dune VAN nulle, il y a indiffrence quant lacceptation ou aurejet du projet.

    De plus, les projets dinvestissement se classent par ordre dcroissant de la VAN et onchoisit celui qui a la VAN positive la plus leve.

    exemple :

    Temps 0 1 2 3Flux -5 000 +100 +600 +2 000

    au taux de 10%, soit r = 10%

    [ ] [ ] [ ]059.2910

    1.12000

    1.1600

    1.11005000

    32

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    exemple : Soit un projet industriel de 20 000 francs avec des Cash Flows suivants :

    Temps 0 1 2 3Flux -20 000 +5 000 +8 000 +12 000

    que lon compare avec un placement de 20 000 francs sur le march pendant 3 ans au taux de8%.

    Soit ( ) ( ) 33,101408.1

    1200008.1

    800008.1

    500020000 32 =+++-=VAN frs

    Le projet industriel est rentable.

    La valeur de lentreprise a augment de 1 014,33 Frs, et le patrimoine total de la socit est de20 000 + 1 014,33 = 21 014,33 Frs.

    N.B. : ( ) [ ]VANIIrxFIVANn

    t

    tt ++-=

    ++-=

    =

    -00

    1

    0 1 par substitution et VANIWetIW +== 0100

    Si maintenant, les 20 000 Frs sont placs au taux de 8% pendant 3 ans, avec capitalisationalors :

    VF = 20000[1.08]3 = 25194,24 Frs

    A premire vue, le 2nd rapporte plus que le 1er. Cependant, en investissant chacun des fluxobtenus par le projet, sur le march, alors,

    VF = 5000[1.08]2 + 8000[1.08] +12000 = 26472 Frs

    Il y a une diffrence de 26 472 - 25 194,24 = 1 277,76 Frs en faveur du projet industriel.

    Cette diffrence correspond la valeur capitalise 8% de la VAN du projet industrielpuisque :1014,33 x [1.08]3 = 1277,76 Frs

    D/ Le principe dadditivit

    Pour obtenir la VAN combine de deux projets, cela revient additionner la VANindividuelle de chaque projet.

    ( ) ( ) BABABABA VANVANVANetVANVANVAN -=+= -+

    E/ La simple comparaison de VAN entre elle ne suffit plus ds quun paramtrede calcul a vari entre les diffrents projets.

    a) Le montant de linvestissement initial est diffrent.

    Nous pouvons alors employer lindice de profitabilit qui est le rapport entre les cash flowsnets actualiss (cash flows et valeur rsiduelle) et linvestissement initial :

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    Si le rapport est suprieur 1, le projet est dit rentable. Comme pour la VAN, on choisit leprojet dont lindice, suprieur 1, est le plus leve. Il est possible de faire une comparaisonpuisque cest un rapport et donc une notion relative face la mise initiale.

    b) La dure de vie est ingale.

    A premire vue, il sagit dun problme telle que le montre le tableau suivant :

    Temps 0 1 2Flux projet A - 3 000 + 4 000Flux Projet B - 3 000 + 3 400 + 900

    Pour rsoudre ce problme, il suffit :

    soit 1rement que dans les annes o il ny a pas de flux observables, de considrer des fluxgaux 0 et dactualiser. Ainsi la dure de vie des deux projets est dsormais identique.

    Soit deffectuer un renouvellement lidentique de chacun des projets pour obtenir dans lefutur deux dures de vie semblables.

    Soit, calculer une annuit constante quivalente.

    exemple :Pour 2 projets initiaux de la sorte :

    Temps 0 1 2Flux Projet A - 3 000 + 4 000 0Flux projet B - 3 000 + 3 400 + 900

    Si le taux dactualisation est de 10%, alorsVAN (A) = 636.36 frsVAN (B) = 834.71frs

    Ainsi, le projet B est meilleur.

    Cependant, si les projets peuvent se renouveler lidentique alors nous avons ce tableau :

    Temps 0 1 2Flux Projet A - 3 000 + 4 000

    - 3 0000

    + 4 000Flux projet B - 3 000 + 3 400 + 900

    Soit en sommant,

    Temps 0 1 2Flux Projet A - 3 000 + 1 000 + 4 000Flux projet B - 3 000 + 3 400 + 900

    Do :VAN (A) = 1214.88frs

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    VAN (B) = 834.71frs

    Le projet A est choisi.

    On peut galement choisir de calculer les annuits constantes, il faut calculer lannuitconstante qui permettrait damortir un emprunt gale la VAN ; dont la dure serait celle duprojet, et dont le taux dintrt serait celui gale au taux dactualisation de la VAN. Soit :

    ni

    iVANa-

    +-=

    )1(1*

    Ainsi , nous aurons :Projet A : 636.36 x 0.1/1-(1.1)-1 = 700Projet B : 834.71 x 0.1/1-(1.1)-2 = 480.95

    Ici i = 10 %Donc, on choisira le projet A.

    F- La prise en compte de linflation

    Il faut avant le calcul de la VAN, savoir en quoi sont exprims les flux afin de les actualiserles plus correctement possibles. La prise en compte de linflation peut devenir ncessaire dansun cas :Si les flux sont exprims en francs constants les actualiser avec un taux dflat (ou rel), maissils sont en francs courants (ou nominaux), il suffit de prendre un taux non dflat et doncnominal.

    Franc courant : 1 F aujourdhui = [ 1Fr courant/ (1+r) ]Franc constant : 1 F aujourdhui = [ 1/(1+r) ] * [ 1/(1+i) ] Fr courant avec i = inflation

    Mais plus gnralement, on ramne ces quations cette unique formule :

    (1+r) = (1+t)x(1+i)

    avec t = le taux rel r = le taux nominal

    Pour une facilit de raisonnement, les calculs se Font en francs courants. Il nest pas ais deconnatre avec exactitude le taux dinflation.

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    Titre II Le Taux Interne de Rentabilit

    A- Dfinition du TIR

    La notion du TIR fut introduit en 1935, par Boulding sous lintitul de Internal Rate ofReturn (I.R.R).

    Le Taux Interne de Rentabilit, appeler aussi Taux Interne de Rendement, est le taux r ,pour lequel la somme des flux de liquidit actualiss est gale au montant du capital investi.Le but tant de pouvoir porter un jugement, une valuation sur la rentabilit dun projetdinvestissement. On investira dans le projet, si la somme actualis des diffrents cash-flowsest suprieur la valeur de linvestissement de dpart. O, plus prcisment les encaissementssont suprieurs aux dcaissements.

    On posera alors lquation suivante et la dtermination du taux dactualisation r nouspermettra dobtenir le taux dactualisation appel Taux Interne de Rentabilit (T.I.R).

    I = Capital de dpart Investi.F = Cash-flow, cest dire ce que rapporte le placement.t = Taux dactualisationn = Priode de tempsVn= Valeur Rsiduelle

    On peut galement inclure dans les derniers cash-flows net, la valeur rsiduelle Vn. Onaura alors la formule suivante :

    En reprenant la formule prcdente nous pouvons reprsenter la fonction f(i) :

    Cette fonction tant une fonction dcroissante du taux dactualisation, on peut alors lintersection de la VAN et de laxe des abscisses retrouver le TIR. Ainsi graphiquement nousaurons la courbe suivante :

    n0 = - I + F.(1+ t)-n + Vn . (1+ t)-n t =1

    n0 = - I + F.(1+ t)-n t =1

    nf(i) = - I + F.(1+ t)-n t =1

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    Exemple : On suppose un investissement de 834 904 F qui serait rgl au comptant. CetInvestissement permettra des recettes annuelles nettes estimes 200 000F par an. Quel seraalors le TIR de ce projet ? En sachant que la dure du projet est fix 4 ans et que lon auraalors une valeur rsiduelle du bien de 300 000 F, au terme des 4 annes. Nous aurons alors :

    Anne 0 Anne 1 Anne 2 Anne 3 Anne 4 TIRProjet A -980 000 200 000 200 000 200 000 200 000 10 %

    En effet, nous aurons le calcul suivant :

    - 834 904 +{200 000(1+r)-4 + 200 000(1+r)-3 + 200 000(1+r)-2 + 200 000(1+r)-1 }+ 300 000(1+r)-4 = 0

    Ainsi, nous aurons un TIR qui sera gale 10%. On va alors comparer ce taux au tauxminimum exig, si le taux du TIR est suprieur au taux minimum exig alors on pourrainvestir dans le projet et inversement.

    On peut calculer le TIR de deux faons diffrentes :

    Par ttonnement, on va chercher de trouver le TIR en essayant possibilit parpossibilit. Mais il existe un autre moyen, celui de linterpolation linaire

    En effet, comment retrouver le TIR, par la mthode de linterpolation linaire :

    iaIbixIb

    VANaVANbVANxVANb

    --=

    --

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    B- Critiques du TIR:

    Le TIR, donne un rsultat sous forme de pourcentage, ce qui donne lavantagedtre plus lisible et comprhensible dun autre indice. Mais, cela implique uneforte sensibilit aux capitaux investis (ainsi, il prfre un rendement de 500% sur 1Euro que de 20% sur 100 Euros).Donc, le TIR va raisonner en ignorant la taille delinvestissement.

    On peut rencontrer plusieurs TIR, sur un mme investissement, cest le cas lorsquelon rencontre une alternance de flux montaires positifs et ngatifs, il y a alorsune certaine incohrence. En effet nous aurons une courbe qui coupe plusieursendroits diffrents la droite des abscisses il y a alors plusieurs TIRs.

    On peut galement avoir une absence de TIR, si la courbe ne coupe jamais laxedes abscisses, cest le cas lorsque lon rencontre une succession de cash-flowsngatifs.

    Exemple :Anne 0 Anne 1 TIR VAN 10%

    Projet A -10000 -1200 Pas de pointdintersection.

    -11091

    Le TIR, ne fait pas la diffrence entre un emprunt et un investissement, en effetlorsque lon investi on aura un dcaissement puis un rendement alors que pourlemprunt nous aurons un encaissement puis un remboursement. Le TIR pourratre identique dans les deux cas, mais la VAN sera tantt positive tantt ngative.

    Anne 0 Anne 1 TIR VAN 10%Investissement -1000 1200 20% 91Emprunt +1000 -1200 20% -91

    C . Le principe dadditivit :

    Pour obtenir le TIR combine de deux projets, on ne peut additionner le TIR individuelle dechaque projet.En effet, TIR(L-K) # TIRL - TIRK

    Exemple :

    Projet Anne 0 Anne 1 TIR VAN 10%K -1000 1250 25% 136,4L -5000 +6000 20% 454,5

    L-K -4000 +4750 18,75% 318,1

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    Pour pallier a ces diffrentes critiques, et notamment pour rsoudre le problme deconflit entre le choix des 2 critres, certains auteurs ont essay de trouver uneformulation diffrente de la VAN et du TIR.

    Titre III - La comparaison VAN et TIR

    A/ Pourquoi cette comparaison ?

    Par ltude distincte du critre de la VAN et du TIR, nous remarquons quil existe des caso linterprtation conomique des rsultats se contredit entre les deux critres.

    Cette raison repose sur des hypothses diffrentes concernant ltablissement des formulesamenant au calcul de la VAN et du TIR et portant sur le taux de rinvestissement des cash-flows.Ainsi, la VAN suppose que les cash flows nets sont rinvesties jusqu la fin de la dure devie au taux dactualisation choisi, tandis que dans le TIR, ceux-ci sont rinvestis au taux TIR.

    Nous considrons que la premire hypothse est plus vraisemblable.

    B/ Les cas doppositions des critres

    Avec un investissement initial Io identique et une mme tendance de survenance des cash-flows la VAN et le TIR doivent gnralement fournir le mme rsultat.A contrario, avec un investissement initial qui diffre avec une survenance alatoire des cash-flows, les conclusions peuvent sopposer.

    Afin dexpliciter ces conclusions, nous allons dmontrer les divers cas possibles :

    1/ Investissement initial identiqueA-1/ Et tendance la hausse des cash flows.

    TEMPS 0 1 2 VAN 5% TIRA - 2 000 3 000 3 800 4 303,85 131,93%B - 2 000 2 300 4 500 4 272,11 118,15%

    VAN (A) > VAN (B) et TIR (A) > TIR (B). On choisit le projet A.

    B-1/ Et Tendance la baisse des cash flows

    TEMPS 0 1 2 VAN 5% TIRA - 2 000 3 800 3 000 4 340,14 150%B - 2 000 4 500 2 300 4 371,88 167,92%

    VAN (B) > VAN (A) et TIR (B) > TIR (A). On choisit le projet B.

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    2/ le montant de linvestissement initial diffre selon le projetA-2/ Et tendance la hausse des cash flows

    TEMPS 0 1 2 VAN 10% TIRA -1200 +500 +1000 80.99 14.47%B -1000 +500 +800 115.70 17.87%

    On choisit le projet B.

    B-2/ Et tendance la baisse des cash flows

    TEMPS 0 1 2 VAN 10% TIRA -1200 +1000 +500 122 18.50%B -2000 +1500 +1000 190 17.54%

    Il y a conflit entre les critres de la VAN et du TIR entre les deux projets.

    C-2/ Et tendance divergente des cash flows

    TEMPS 0 1 2 VAN 10% TIRA -1200 +1000 +500 122 18.50%B -2000 +1000 +1700 314 20.52%

    On choisit le projet B.

    En conclusion, nous observons bien que, malgr des principes sur la survenance desoppositions, il ny a pas toujours forcment cette affirmation, nanmoins elle est trs gnrale.

    3/ Rsolution de cette opposition : Linvestissement diffrentiel

    Soit en reprenant le cas prcdantB-2/ , nous observons que la VAN privilgie le projet Btandis que le TIR donne le projet A. Afin de dterminer la solution privilgiable, nouspouvons utiliser le projet diffrentiel.

    Rappel : VAN (A-B) = VAN (A) - VAN (B) mais TIR (A-B) TIR (A) - TIR (B)

    TEMPS 0 1 2 VAN 10% TIRFLUX B-A -800 +500 +500 67.77 16.26%

    Le TIR du projet diffrentiel est de 16.26%, soit suprieur 10%. Ainsi le projet B estprfrable au projet A. Par ailleurs, ce TIR peut sinterprter comme lintrt rapport parlinvestissement marginal calcul par la diffrence des deux projets.

    Mais pour dterminer rellement quel est le meilleur projet, il faut prendre en considration lecot du capital et la VAN de chacun des projets.Nous savons qu 16.26%, la VAN de chacun des projets est identique. En tenant compteaussi du TIR de chacun des projets, voici le rsultat :

    pour r [0%, 16.26%[, le choix est le projet B pour r = 16.26% ; le choix est indiffrenci pour r ] 16.26%, 18.50%], le projet A est choisi.

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    pour r ]18.50%, [, nous ninvestissons dans aucun des projets mais optons pour investirsur le march des capitaux un taux sans risque.

    En conclusion, cette mthode permet de choisir entre deux projets qui nont aucun lmentsde commun ( de mise initiale dinvestissement ou de survenance des cash flows).

    C- CONCLUSION

    Les divergences entre la VAN et le TIR sont fonds sur des hypothses diffrentes quiaffectent la mthode de calcul.Pour le TIR : Celui-ci privilgie les investissements faible mise initiale et/ou retour dargent rapide Les cash flows sont rinvestis ce taux : Do de conflit frquent lorsque le TIR est

    diffrent du cot du capital. De plus, il est difficile dans la ralit dinvestir au tauxdactualisation. Ainsi, chaque projet a son propre taux de rinvestissement contrairement la VAN.

    Pour la VAN : Les deux projets sont compars au mme taux dactualisation. Le taux de rinvestissement est le mme que le cot du capital.

    En dehors de la simple comparaison des projets au niveau du taux, on peut se poser laquestion suivante. Etant dans un univers certain et donc alatoire et non risqus, pourquoinobtient pas t-on un mme taux ? En outre, pourquoi ne vaut-il pas le cot du capital, commecela scrit dans le modle de droite de march, o chaque investisseur peut placer etemprunter au mme taux ?

    Titre IV La VANG et le TIRG

    La Valeur Actuelle Nette Globale :

    On va vouloir calculer ici, la valeur dgage par linvestissement en sachant , que londevra prendre en compte le taux de placement appel k mai galement le cot du capital i .

    Notons que FA (Facteur dAccumulation) va tre gale :

    nVANG = - I +[ F.(1+ k)n-t]. (1+ i)-n t =1

    nFA = [ F.(1+ k)n-t] t =1

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    Si on capitalise en avenir certain, alors en principe le taux de placement est le taux sansrisque soit k = i ainsi VANG = VAN

    Le Taux Interne de Rendement Globale :

    Nous aurons de mme la formule :

    Entre plusieurs projets dinvestissement, on retiendra celui dont le TIRG est plus lev eton accepte les projets dont le TIRG est suprieur au taux dactualisation requis i.

    Prenons un exemple :Soit deux projets dinvestissements caractris par les flux montaires ci-aprs :

    Anne 0 1 2 3Projet A -900 1000 200Projet B -800 400 400 400

    Avec un taux dactualisation i de 10% nous aurons :

    VANA = 174 TIRA = 28,42%VANB = 195 TIRB = 23,38%

    On ne peut alors pas donner un rsultat commun au deux mthodes car la VAN favorise leprojet B, alors que le TIR favorise le projet A.

    En considrant la VANG et le TIRG, nous aurons :Avec un k valent 20%.

    Cash-flows = 1000. (1,2)2 + 200. (1,2)1 = 1680Cash-flows = 400. (1,2)2 + 400. (1,2)1 + (400 + 173*) = 1629

    * Notons que dans le projet B on a pu placer 100 (900-800) pendant une priode de 3ans.Soit, 100. (1,2)3 = 173.

    Ainsi :

    VANGA = 362 TIRGA = 23,13%VANGB = 324 TIRGB = 21,87%

    Alors le projet A semble dans tous les cas tre prfrable. En effet, la VANG et le TIRGconvergent vers le mme rsultat car le problme des hypothses qui se posait pour la VAN etle TIR ne se pose plus. Dsormais, la seul diffrence repose sur le facteur dactualisation.Ainsi, cest le projet dont la FA est la plus lev, qui donnera le TIRG et la VAN les pluslevs.

    n0 = - I +[ F.(1+ k)n-t]. (1+ TIRG)-n t =1

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    Titre V Autres critres du choix des investissement

    A/ Le taux de profitabilit

    Le TIR, donnant un rsultat sous forme de pourcentage donne lavantage dtre pluslisible et comprhensible. Mais, cela implique une forte sensibilit aux capitaux investis. Eneffet, le TIR prfrera un Investissement de 1 fr qui rapporte 20%, quun investissement de1000 fr qui rapporterait 11%. Alors quil semble logique que le second choix est le meilleur.

    Pour corriger ce dfaut on peut faire appel la mthode de lindice de profitabilit. Ainsi, nous aurons :

    mentInvestisseVAN1IP +=

    On prendra comme rfrence le projet ayant le taux de profitabilit le plus lev.

    Exemple : Soit les deux projets dinvestissements suivant :

    Anne 0 1 TIR VAN IPProjet A -1 1.2 20% 0.09 1.09Projet B -1000 1110 11% 9.09 1.00909

    Ainsi il est plus intressant dinvestir dans le projet B.

    B/ Le dlais de rcupration

    Le dlais de rcupration P (de langlais : payback period ), est le temps ncessaire pourque les cash-flows nets cumuls soient gaux au montant de linvestissement initial I0.

    Ce point mort cumul avantage les projets dinvestissements dont les flux montairelevs interviennent tardivement mme sils ont une rentabilit suprieur. Il prend en comptele risque du projet puisque plus le dlai est long, plus la profitabilit de recouvrerlinvestissement initial est faible.

    Exemple : Soit les deux projets dinvestissements suivant ; en sachant que lentrEprisesest fix un seuil dacceptabilit temporelle de trois ans.

    Anne 0 1 2 3 4Projet A -100 70 30 20Projet B -100 10 20 30 60

    Selon la mthode du dlais de rcupration, il est plus avantageux dinvestir dans ce quirapporte le plus, plus court terme, soit ici le projet A.

    C/ Le taux moyen de rentabilit

    Le taux moyen de rentabilit va permettre de mettre en rapport le bnfice net moyendgag et les moyen mise en uvre pour lobtenir ainsi, nous aurons la formule suivante :

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    IBTMR=

    B = bnfice moyenI = investissement moyen

    Exemple : Soit un investissement initial de 50 000 Fr, et les rsultats nets sur 3 ans de12 000, 25 000, 30 000.Et un valeur rsiduelle de 10 000 FrLe TMR, sera alors gale 22 000/(50 000 + 10 000)/2 = 88%

    Bien videmment , il est extrmement difficile de dfinir un taux de rentabilitmoyen planch.

    Partie 3 : Et, si lunivers nest pas certainLe MEDAF

    Contrairement aux modles prcdents, en univers certain, o nous connaissions les flux et letaux dactualisation, en passant en univers incertain, les flux deviennent dabord desesprances de rendement. En raison de cette univers, il faut appliquer des taux de rendementpossibles, une probabilit de ralisation ; ceci afin de dnombrer tous les tats de la nature. Lersultat est E(Ri), lesprance du taux de rendement dun titre.

    Par ailleurs, lincertitude apporte des risques au rendement. Lopportunit dinvestissementdoit y tenir compte. La mesure de la variance est cet outil. Ainsi comme dans le choix duninvestissement par la VAN o nous prenons celle qui est la plus leve ; en univers incertain,lagent choisit son portefeuille en maximisant une fonction dutilit tenant compte delesprance de rendement et du risque du projet.Par ailleurs, la nouveaut est quau lieu que le cot de rinvestissement soit le cot du capital,on prend comme hypothse que chaque agent peut prter ou emprunter au taux sans risque.Enfin, dans lunivers certain, les projets sont gnralement indpendants entre eux, ce quipermet leur comparaison par des outils. Dans le cas o nous nous situons, malgr une relationpour les actifs individuels, nous considrons lensemble des actifs afin d'valuer la sensibilitde chacun face lensemble des titres. Do la covariance.Par le rapport (sjm / sm) = bj, nous obtenons le risque systmatique qui mesure lasensibilit du rendement de lactif j aux variations de lindice (somme pondre des actifs).

    En rsum, nous obtenons la relation suivante :

    mj = Rh + ((mm Rh)/sm)*sjm = Rh + (mm-Rh) * bj (a)

    Rh = Taux sans risque sm = variance du marchmm = Esprance du march sjm = Covariance entre le titre j et le march

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    Toutefois, pour nous permettre une meilleure analogie avec lunivers certain, nousdmontrons que cette relation de Sharpe-Litner ou MEDAF est aussi une thorie des prix.

    En effet, r = (P1-P0)/ P0 et E(R) = m do m =(E(P1)/P0)-1

    P0 = Prix en date 0 P1 = Prix en date 1 R = Taux de croissance

    Par substitution dans (a), et en posant A=(mm-Rh)/sm, nous obtenons un quivalent certain

    Po,j = (E(P1,j)/(1+Rh))-(A COV(P1,j ; Rm))/(1+Rh)

    Ainsi, nous retrouvons que la valeur actuelle peut sidentifier lactualisation de lesprancedes prix par le taux sans risque auquel on retire lensemble le risque.Ceci est quivalent Poj = (E(P1,j))/(1+Rh+A COV(j,m))

    Par consquent, nous valuons un cash flow futur incertain (P1,j).

    Pour conclure, nous terminons par cette remarque :

    Le MEDAF peut aussi servir dterminer le taux de rendement minimal k (ou tauxdactualisation) exiger sur un projet dinvestissement aveck =E(Ri). Nous comparons alors k avec le TIR espr du projet

    Ainsi le projet A est accept car : TIR > k ; mais le projet B est refus puisque : TIR < k.

    En rsum, la valeur actuelle et le TIR existant en univers certain, se retrouvent danslincertain quelques diffrences de formulation prs.

    k

    Droite demarch

    b

    Rh

    A

    B

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    MEMENTO FORMULES SUR LA VA ,VAN ,TIR ET TIRG,VANG

    La Valeur Actuelle

    Flux annuels variant

    ( )= +=n

    tt

    t

    rFVA

    1 1 flux annuel similaire

    ( )r

    rFVAn-+-= 11*

    horizon infini( )

    rF

    rrFVA

    n

    n=+-=

    -

    11*lim

    La Valeur Actuelle Nette

    flux annuel variant :

    [ ]= -+=n

    tt

    t Ir

    FVAN1

    01

    Avec des investissements annuels

    [ ]-

    =

    - ++-=1

    0

    1n

    t

    tt VArIVAN

    Avec une valeur rsiduelle

    [ ] [ ]-

    =

    -- ++++-=1

    0

    11n

    t

    tn

    tt rVRVArIVAN

    Le principe dadditivit( ) ( ) BABABABA VANVANVANetVANVANVAN -=+= -+

    TIR(L-K) # TIRL - TIRK

    La prise en compte de linflation(1+r)=(1+t)*(1+i)

    Le TIR

    Le TIRG ET VANG

    n0 =- I + F.(1+ t)-n + Vn . (1+ t)-n t =1

    nVANG = - I +[ F.(1+ k)n-t]. (1+ i)-n t =1

    n0 = - I +[ F.(1+ k)n-t]. (1+ TIRG)-n t =1

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    Bibliographie :

    - Gestion financire de G. Charreaux.

    - Finance dentreprise de P.Vernimmen.

    - Gestion financire de lentreprise de Depallens et J.P. Jobard.

    - Gestion financire de lentreprise de P. Piget.