Catégoriﬁcation d’algèbres amassées antisymétrisables

Catégorification d’algèbres amassées antisymétrisables

Laurent Demonet

Versailles - 20 janvier 2009

2001 (Fomin et Zelevinsky) : algèbres amassées (cadre combinatoire pourles bases canoniques et la positivité totale)2001 (Berenstein, Fomin et Zelevinsky) : exemples

2003 (Marsh, Reineke, Zelevinsky)2004 (Buan, Marsh, Reineke, Reiten, Todorov)2004 (Caldero, Chapoton)2004 (Geiß, Leclerc, Schröer)2007 (Palu)2007 (Dehy, Keller)2007 (Fu, Keller)

catégorification

2001 (Fomin et Zelevinsky) : algèbres amassées (cadre combinatoire pourles bases canoniques et la positivité totale)2001 (Berenstein, Fomin et Zelevinsky) : exemples

2003 (Marsh, Reineke, Zelevinsky)2004 (Buan, Marsh, Reineke, Reiten, Todorov)2004 (Caldero, Chapoton)2004 (Geiß, Leclerc, Schröer)2007 (Palu)2007 (Dehy, Keller)2007 (Fu, Keller)

catégorification

Catégorification d’algèbresamassées antisymétrisables

Laurent Demonet

Algèbres amasséesGrassmanienne des plans

Définitions

Groupes unipotents

CatégorificationG -équivarianteCatégorie équivariante

Groupe agissant sur un carquois

Sous-catégories rigides stables maximales

Mutations

Matrices d’échange

Caractères d’amas

Applications


Gr2(C6) = {plans de C6}.

Gr2(C6) ↪→ P(C(6

2))

⟨

x1x2x3x4x5x6

,

y1y2y3y4y5y6

⟩7→

(∆ĳ =

∣∣∣∣xi yixj yj

∣∣∣∣)16i<j66

1 6 i < j < k < l 6 6⇒ ∆ik∆jl = ∆ĳ∆kl + ∆il∆jk .

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



Gr2(C6) ↪→ P(C(6

2))

⟨

x1x2x3x4x5x6

,

y1y2y3y4y5y6

⟩7→

(∆ĳ =


∣∣∣∣)16i<j66


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Laurent Demonet


Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



Gr2(C6) ↪→ P(C(6

2))

⟨

x1x2x3x4x5x6

,

y1y2y3y4y5y6

⟩7→

(∆ĳ =


∣∣∣∣)16i<j66


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Laurent Demonet


Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


{coordonnéesde Plücker

}↔

{côtés et diagonales

d’un hexagone

}

∆15 7→ 1

2 3

4

56

1111

1111

11111111

qqqqqqqqqqqqq

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


1

2 3

4

56

1111

1111

11111111

qqqqqqqqqqqqq

MMMMMMMMMMMMM : ∆15∆46 = ∆14∆56 + ∆16∆45

1

2 3

4

56

1111

1111

11111111

qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq

:∆14, ∆24, ∆15, ∆12, ∆23, ∆34,∆45, ∆56 et ∆16 sont algébri-quement indépendantes.

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


1

2 3

4

56

1111

1111

11111111

qqqqqqqqqqqqq

MMMMMMMMMMMMM : ∆15∆46 = ∆14∆56 + ∆16∆45

1

2 3

4

56

1111

1111

11111111


:∆14, ∆24, ∆15, ∆12, ∆23, ∆34,∆45, ∆56 et ∆16 sont algébri-quement indépendantes.

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


Variables d’amas de Gr2(C6) : coordonnées dePlücker ;

Amas de Gr2(C6) : triangulation d’un hexagone ;Mutation :

1

2 3

4

56

1111

1111

11111111


→ 1

2 3

4

56

1111

1111

11111111

qqqqqqqqqqqqq

MMMMMMMMMMMMM .

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


Variables d’amas de Gr2(C6) : coordonnées dePlücker ;Amas de Gr2(C6) : triangulation d’un hexagone ;

Mutation :

1

2 3

4

56

1111

1111

11111111


→ 1

2 3

4

56

1111

1111

11111111

qqqqqqqqqqqqq

MMMMMMMMMMMMM .

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


Variables d’amas de Gr2(C6) : coordonnées dePlücker ;Amas de Gr2(C6) : triangulation d’un hexagone ;Mutation :

1

2 3

4

56

1111

1111

11111111


→ 1

2 3

4

56

1111

1111

11111111

qqqqqqqqqqqqq

MMMMMMMMMMMMM .

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


11

11 MMM

M1111

11

11 1111

11

11 MMM

M1111MMMM

11

11 MMM

Mqqqq11

11 MMM

MMMMM

11

11 MMM

Mqqqq

11

11 qqqq

11

11 11

11 1111MMMM

11

11 qqqq

MMMM

11

11 qqqq qqqq

11

11 qqqq qqqq

11

11 qqqq 11

11 qqqq

MMMM

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


11

11 MMM

M1111

11

11 1111

11

11 MMM

M1111MMMM

11

11 MMM

Mqqqq11

11 MMM

MMMMM

11

11 MMM

Mqqqq

11

11 qqqq

11

11 11

11 1111MMMM

11

11 qqqq

MMMM

11

11 qqqq qqqq

11

11 qqqq qqqq

11

11 qqqq 11

11 qqqq

MMMM

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


11

11 MMM

M1111

11

11 1111

11

11 MMM

M1111MMMM

11

11 MMM

Mqqqq

11

11 MMM

MMMMM

11

11 MMM

Mqqqq

11

11 qqqq

11

11 11

11 1111MMMM

11

11 qqqq

MMMM

11

11 qqqq qqqq

11

11 qqqq qqqq

11

11 qqqq 11

11 qqqq

MMMM

66

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


11

11 MMM

M1111

11

11 1111

11

11 MMM

M1111MMMM

11

11 MMM

Mqqqq

11

11 MMM

MMMMM

11

11 MMM

Mqqqq

11

11 qqqq

11

11 11

11 1111MMMM

11

11 qqqq

MMMM

11

11 qqqq qqqq

11

11 qqqq qqqq

11

11 qqqq 11

11 qqqq

MMMM

UU

66

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


11

11 MMM

M1111

11

11 1111

11

11 MMM

M1111MMMM

11

11 MMM

Mqqqq11

11 MMM

MMMMM

11

11 MMM

Mqqqq

11

11 qqqq

11

11 11

11 1111MMMM

11

11 qqqq

MMMM

11

11 qqqq qqqq

11

11 qqqq qqqq

11

11 qqqq 11

11 qqqq

MMMM

iii UUU

��666

��

"""QQQ mmm

))))

))))

)

fff

��

HHHHHHHHH

UU

66

HHHHHHHHHHHHHHHHHH vvvvvvvvvvvvvvvvvv

))))))))))))))))))��

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications

Algèbres amasséesDéfinitions

Soient m, n ∈ N∗ avec m > n. Soit F = C(X1, . . .Xm).

DéfinitionUne graine est un couple (x,B) où

x = {x1, . . . , xm} ⊂ F est une base detranscendance de F ;B ∈Mm,n(Z) dont les n premières lignes formentune matrice antisymétrisable.

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


Soient m, n ∈ N∗ avec m > n. Soit F = C(X1, . . .Xm).

DéfinitionUne graine est un couple (x,B) où

x = {x1, . . . , xm} ⊂ F est une base detranscendance de F ;B ∈Mm,n(Z) dont les n premières lignes formentune matrice antisymétrisable.

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


DéfinitionSoient (x,B) une graine dans F et i ∈ J1, nK. Ondéfinit µi (x) = x′ où

x ′j = xj si j 6= i

x ′i =1xi

∏bì>0

xbì` +

∏bì<0

x−bì`

sinon.

On définit aussi µi (B) = B ′ où b′j` = −bj` si i ∈ {j , `}

b′j` = bj` +bji |bi`|+ |bji |bi`

2sinon.

On note µi (x,B) = (µi (x), µi (B)), (x,B)→i µi (x,B).9 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


LemmeSi (x,B) est une graine, alors µi (x,B) est aussi unegraine. De plus µi (µi (x,B)) = (x,B).

Si (x,B) est antisymétrique, µi (x,B) l’est aussi.

Définitions

(x′,B ′) ≡ (x,B)⇔ (x,B)→ · · · → (x′,B ′) ;amas : x′ tel que ∃B ′, (x′,B ′) ≡ (x,B) ;variable d’amas : élément d’un amas ;algèbre amassée : A(x,B) = C[variables d’amas] ;monôme d’amas : produit d’éléments d’un amas.

Conjecture (Fomin-Zelevinsky)Les monômes d’amas sont linéairement indépendants.

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


LemmeSi (x,B) est une graine, alors µi (x,B) est aussi unegraine. De plus µi (µi (x,B)) = (x,B).Si (x,B) est antisymétrique, µi (x,B) l’est aussi.

Définitions

(x′,B ′) ≡ (x,B)⇔ (x,B)→ · · · → (x′,B ′) ;amas : x′ tel que ∃B ′, (x′,B ′) ≡ (x,B) ;variable d’amas : élément d’un amas ;algèbre amassée : A(x,B) = C[variables d’amas] ;monôme d’amas : produit d’éléments d’un amas.


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



Définitions(x′,B ′) ≡ (x,B)⇔ (x,B)→ · · · → (x′,B ′) ;

amas : x′ tel que ∃B ′, (x′,B ′) ≡ (x,B) ;variable d’amas : élément d’un amas ;algèbre amassée : A(x,B) = C[variables d’amas] ;monôme d’amas : produit d’éléments d’un amas.


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



Définitions(x′,B ′) ≡ (x,B)⇔ (x,B)→ · · · → (x′,B ′) ;amas : x′ tel que ∃B ′, (x′,B ′) ≡ (x,B) ;

variable d’amas : élément d’un amas ;algèbre amassée : A(x,B) = C[variables d’amas] ;monôme d’amas : produit d’éléments d’un amas.


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



Définitions(x′,B ′) ≡ (x,B)⇔ (x,B)→ · · · → (x′,B ′) ;amas : x′ tel que ∃B ′, (x′,B ′) ≡ (x,B) ;variable d’amas : élément d’un amas ;

algèbre amassée : A(x,B) = C[variables d’amas] ;monôme d’amas : produit d’éléments d’un amas.


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



Définitions(x′,B ′) ≡ (x,B)⇔ (x,B)→ · · · → (x′,B ′) ;amas : x′ tel que ∃B ′, (x′,B ′) ≡ (x,B) ;variable d’amas : élément d’un amas ;algèbre amassée : A(x,B) = C[variables d’amas] ;

monôme d’amas : produit d’éléments d’un amas.


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Groupes unipotents




Mutations



Applications



Définitions(x′,B ′) ≡ (x,B)⇔ (x,B)→ · · · → (x′,B ′) ;amas : x′ tel que ∃B ′, (x′,B ′) ≡ (x,B) ;variable d’amas : élément d’un amas ;algèbre amassée : A(x,B) = C[variables d’amas] ;monôme d’amas : produit d’éléments d’un amas.


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



Définitions(x′,B ′) ≡ (x,B)⇔ (x,B)→ · · · → (x′,B ′) ;amas : x′ tel que ∃B ′, (x′,B ′) ≡ (x,B) ;variable d’amas : élément d’un amas ;algèbre amassée : A(x,B) = C[variables d’amas] ;monôme d’amas : produit d’éléments d’un amas.


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Groupes unipotents




Mutations



Applications

Algèbres amasséesGroupes unipotents

N =

1 ∗ ∗ ∗0 1 ∗ ∗0 0 1 ∗0 0 0 1

(type A3)

N =

{M ∈ N | tMΦM = Φ

}(type C2)

=

{M ∈ N |M = Φ−1 tM−1Φ

}

où Φ =

0 0 0 10 0 1 00 −1 0 0−1 0 0 0

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


N =

1 ∗ ∗ ∗0 1 ∗ ∗0 0 1 ∗0 0 0 1

(type A3)

N =

{M ∈ N | tMΦM = Φ

}(type C2)

=

{M ∈ N |M = Φ−1 tM−1Φ

}

où Φ =

0 0 0 10 0 1 00 −1 0 0−1 0 0 0

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


Un amas dans C[N] :

∣∣∣∣∣∣∣∣1 · · ·

1 • •• •

1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣∣∣

1 · • ·1 · ·

1 ·1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣∣∣

1 · · ·1 • ·

1 ·1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 • • •• • •• • •

1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣∣∣

1 · · •1 · ·

1 ·1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣∣∣

1 · • •1 • •

1 ·1

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


Exemple de mutation :

∣∣∣∣∣∣∣∣1 · · ·

1 • •• •

1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ×∣∣∣∣∣∣∣∣

1 • • ·• • ·

1 ·1

∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣1 · · ·

1 • ·1 ·

1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ×∣∣∣∣∣∣∣∣

1 • • •• • •• • •

1

∣∣∣∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∣∣∣1 · • •

1 • •1 ·

1

∣∣∣∣∣∣∣∣

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Groupes unipotents




Mutations



Applications


Un amas dans C[N] :

∣∣∣∣∣∣∣∣1 · · ·

1 • •• •

1

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 · • ·

1 · ·1 ·

1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣∣∣

1 · · ·1 • ·

1 ·1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 • • •• • •• • •

1

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 · · •

1 · ·1 ·

1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣∣∣

1 · • •1 • •

1 ·1

∣∣∣∣∣∣∣∣14 / 42

Catégorietriangulée ou exacte

2-Calabi-Yau

caractère d’amas

(CC, CK, GLS, FK)

��

Catégorie exacte2-Calabi-Yau

munie d’une actiond’un groupe fini

Algèbre amasséeantisymétrique

catégorification

(MRZ, BMRRT, GLS)

NN

Algèbre amasséeantisymétrisable

Catégorietriangulée ou exacte

2-Calabi-Yau

caractère d’amas

(CC, CK, GLS, FK)

��

Catégorie exacte2-Calabi-Yau

munie d’une actiond’un groupe fini

caractère d’amas

��

Algèbre amasséeantisymétrique

catégorification

(MRZ, BMRRT, GLS)

NN

Algèbre amasséeantisymétrisable

catégorification

NN


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications

Catégorification G -équivarianteDéfinitions

Soit k un corps algébriquement clos et C unek-catégorie. Soit G un groupe fini.

Définition (catégorie G = mod Fun(G ))

objets simples : {g | g ∈ G} ;morphismes : HomG(g,h) = kδgh ;produit tensoriel : g ⊗ h = gh.

Définition (action de G sur C)Structure de catégorie G-module sur C.

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications






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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications






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Groupes unipotents




Mutations



Applications

Catégorification G -équivarianteCatégorie équivariante

Définition (objet équivariant (X , ψ))

X ∈ C ; (ψg )g∈G avec ψg : g ⊗ X −→ X .

g ⊗ (h⊗ X )Idg ⊗ψh // g ⊗ X

ψg

��gh⊗ X

α

OO

ψgh // X

Définition (morphisme f de (X , ψ) dans (Y , χ))

g ⊗ X

Idg ⊗f��

ψg // X

f��

g ⊗ Yχg // Y

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications




g ⊗ (h⊗ X )Idg ⊗ψh // g ⊗ X

ψg

��gh⊗ X

α

OO

ψgh // X


g ⊗ X

Idg ⊗f��

ψg // X

f��

g ⊗ Yχg // Y

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Mutations



Applications




g ⊗ (h⊗ X )Idg ⊗ψh // g ⊗ X

ψg

��gh⊗ X

α

OO

ψgh // X


g ⊗ X

Idg ⊗f��

ψg // X

f��

g ⊗ Yχg // Y

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Groupes unipotents




Mutations



Applications


ExempleSi C est la catégorie des espaces vectoriels sur k, alorsCG ' mod k[G ].

Q = 1← 2→ 1′ G = Z/2Z

(X , ψ) ∈ (mod kQ)G indécomposable :

1⊕ 1′

2, Id 2,− Id2

��1

⊕2

��>>

1′

2��>

>��

1 1′, ψ′

2��>

>��

1 1′, ψ

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Groupes unipotents




Mutations



Applications



Q = 1← 2→ 1′ G = Z/2Z

(X , ψ) ∈ (mod kQ)G indécomposable :

1⊕ 1′

2, Id 2,− Id2

��1

⊕2

��>>

1′

2��>

>��

1 1′, ψ′

2��>

>��

1 1′, ψ

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



Q = 1← 2→ 1′ G = Z/2Z(X , ψ) ∈ (mod kQ)G indécomposable :

1⊕ 1′

2, Id 2,− Id2

��1

⊕2

��>>

1′

2��>

>��

1 1′, ψ′

2��>

>��

1 1′, ψ

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


PropositionCG est une catégorie mod k[G ]-module.

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


On suppose désormais que C est

exacte,Hom-finie,Krull-Schmidt,de Frobenius.

On suppose de plus quecar k ne divise pas #G ,l’action est exacte.

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Groupes unipotents




Mutations



Applications



exacte,

Hom-finie,Krull-Schmidt,de Frobenius.


20 / 42


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Groupes unipotents




Mutations



Applications



exacte,Hom-finie,

Krull-Schmidt,de Frobenius.


20 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



exacte,Hom-finie,Krull-Schmidt,

de Frobenius.


20 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications





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Groupes unipotents




Mutations



Applications




On suppose de plus quecar k ne divise pas #G ,

l’action est exacte.

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Groupes unipotents




Mutations



Applications





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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


PropositionLa catégorie équivariante CG est

k-additive exacte, Hom-finie,Krull-Schmidt,de Frobenius.

PropositionSi H C G, il y a une équivalence de catégories

CG ' (CH)(G/H).

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


PropositionLa catégorie équivariante CG est

k-additive exacte, Hom-finie,Krull-Schmidt,de Frobenius.

PropositionSi H C G, il y a une équivalence de catégories

CG ' (CH)(G/H).

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


Définition (catégorie 2-Calabi-Yau)

Ext1C(X ,Y ) ' Ext1

C(Y ,X )∗.

Définition (action 2-Calabi-Yau)

Ext1C(X ,Y )

c��

g⊗− // Ext1C(g ⊗ X , g ⊗ Y )

c��

Ext1C(Y ,X )∗ Ext1

C(g ⊗ Y , g ⊗ X )∗(g⊗−)∗

oo

PropositionSi C est 2-Calabi-Yau et si l’action de G est2-Calabi-Yau, alors CG est 2-Calabi-Yau.

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



Ext1C(X ,Y ) ' Ext1

C(Y ,X )∗.


Ext1C(X ,Y )

c��

g⊗− // Ext1C(g ⊗ X , g ⊗ Y )

c��


C(g ⊗ Y , g ⊗ X )∗(g⊗−)∗

oo


22 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



Ext1C(X ,Y ) ' Ext1

C(Y ,X )∗.


Ext1C(X ,Y )

c��

g⊗− // Ext1C(g ⊗ X , g ⊗ Y )

c��


C(g ⊗ Y , g ⊗ X )∗(g⊗−)∗

oo


22 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


Si Q est un carquois,{Q0 = Q0Q1 = Q1

∐Q∗

1

où, pour q ∈ Q1, s(q∗) = t(q) et t(q∗) = s(q).

Définition

L’algèbre préprojective ΛQ de Q est CQ/(r) où

r =∑

q∈Q1

(qq∗ − q∗q).

Propositionmod ΛQ est 2-Calabi-Yau.

23 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



∐Q∗

1


Définition


r =∑

q∈Q1

(qq∗ − q∗q).


23 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



∐Q∗

1


Définition


r =∑

q∈Q1

(qq∗ − q∗q).


23 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


PropositionLe foncteur d’oubli F : CG → C, (X , ψ) 7→ X admetun adjoint −[G ] : C → CG tel queF (X [G ]) =

⊕g∈G g ⊗ X.

Si i ∈ N, on a ExtiC(X ,FY ) ' Exti

CG (X [G ],Y ).Y indécomposable est facteur direct de (FY )[G ].

Notation

Add(C) = {T ⊂ C additive, pleine, stable parisomorphisme et par facteur direct}

Proposition

{T ∈ Add(C) G-stables}F←−−→

−[G ]{T ∈ Add(CG ) mod k[G ]-stables}

24 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



⊕g∈G g ⊗ X.


CG (X [G ],Y ).

Y indécomposable est facteur direct de (FY )[G ].

Notation


Proposition



24 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



⊕g∈G g ⊗ X.



Notation


Proposition



24 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



⊕g∈G g ⊗ X.



Notation


Proposition



24 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



⊕g∈G g ⊗ X.



Notation


Proposition



24 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications

Catégorification G -équivarianteGroupe agissant sur un carquois

Soit Q un carquois.

G fini agit sur kQ en stabilisant{ei | i ∈ Q0}.

QG ,0 =⋃

i∈X0

{i} × irr(Gi )

(X0 = {représentants de Q0/G} Gi = Stab(ei ))

{(i , r)→ (j , r ′)} = base de⊕(g ,h)∈Fĳ

Hommod k[Ggi,hj ]((g · r)|Ggi,hj ⊗Agi ,hj , (h · r ′)|Ggi,hj )

(Agi ,hj = 〈gi → hj ∈ Q1〉)

25 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


Soit Q un carquois. G fini agit sur kQ en stabilisant{ei | i ∈ Q0}.

QG ,0 =⋃

i∈X0

{i} × irr(Gi )


{(i , r)→ (j , r ′)} = base de⊕(g ,h)∈Fĳ


(Agi ,hj = 〈gi → hj ∈ Q1〉)

25 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



QG ,0 =⋃

i∈X0

{i} × irr(Gi )


{(i , r)→ (j , r ′)} = base de⊕(g ,h)∈Fĳ


(Agi ,hj = 〈gi → hj ∈ Q1〉)

25 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



QG ,0 =⋃

i∈X0

{i} × irr(Gi )


{(i , r)→ (j , r ′)} = base de⊕(g ,h)∈Fĳ


(Agi ,hj = 〈gi → hj ∈ Q1〉)

25 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


Q G QG

1 // 2��?

??

3

1′ // 2′@@��

Z/2Z3+

1 // 2

??~~~

��@@@

3−

1

β

YY

α

��D6

0��

4tt2

''SS

tt

3gg

44

��1

44

5

SS

26 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


Théorème (Reiten, Riedtmann ; Reiten, Van denBergh ; D.)

(mod kQ)G ' mod k(QG ) ;

(mod ΛQ)G ' mod ΛQG ;

Si Q = 1

β

YY

α

�� et G ⊂ SL(Cα⊕ Cβ) est fini alors

(ΛQ)G ' Λ∆ où ∆ est le diagramme de Dynkinaffine correspondant à G dans la correspondancede McKay.

27 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



(mod kQ)G ' mod k(QG ) ;(mod ΛQ)G ' mod ΛQG ;

Si Q = 1

β

YY

α



27 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



(mod kQ)G ' mod k(QG ) ;(mod ΛQ)G ' mod ΛQG ;

Si Q = 1

β

YY

α



27 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


Q = 1← 2→ 1′ G = Z/2ZQG = 2− → 1← 2+

X ∈ (mod kQ)G indécomposable :

1⊕ 1′ 12, Id 2+

2,− Id 2−2

��1

⊕2

��>>

1′

2−��@

@2+

��~~1

2��>

>��

1 1′, ψ′

2+

��~~1

2��>

>��

1 1′, ψ

2−��@

@

1

28 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


Q = 1← 2→ 1′ G = Z/2ZQG = 2− → 1← 2+

X ∈ (mod kQ)G indécomposable :

1⊕ 1′ 12, Id 2+

2,− Id 2−2

��1

⊕2

��>>

1′

2−��@

@2+

��~~1

2��>

>��

1 1′, ψ′

2+

��~~1

2��>

>��

1 1′, ψ

2−��@

@

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Groupes unipotents




Mutations



Applications

Catégorification G -équivarianteSous-catégories rigides stables maximales

Définition (sous-catégorie rigide stable maximale)

T ∈ Add(C) (resp. ∈ Add(CG )) est rigide G -stable(resp. mod k[G ]-stable) maximale si

∀X ,Y ∈ T ,Ext1C (CG)(X ,Y ) = 0 ;

G⊗ T = T (resp. mod k[G ]⊗ T = T ) ;T est maximale pour ces propriétés.

Proposition

{T ∈ Add(C) rigides G-stables maximales}F←−−→

−[G ]{T ∈ Add(CG ) rigides mod k[G ]-stables max.}

29 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications




∀X ,Y ∈ T ,Ext1C (CG)(X ,Y ) = 0 ;


Proposition



29 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications




∀X ,Y ∈ T ,Ext1C (CG)(X ,Y ) = 0 ;

G⊗ T = T (resp. mod k[G ]⊗ T = T ) ;

T est maximale pour ces propriétés.

Proposition



29 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications




∀X ,Y ∈ T ,Ext1C (CG)(X ,Y ) = 0 ;


Proposition



29 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications




∀X ,Y ∈ T ,Ext1C (CG)(X ,Y ) = 0 ;


Proposition



29 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications

Catégorification G -équivarianteMutations

Définition (G -boucle et G -2-cycle)

Si T ∈ Add(C)G,G -boucle : X → g ⊗ X irréductible ;

G -2-cycle : X → Y → g ⊗ X irréductibles.(définitions similaires dans CG )

Lemme

T ∈ Add(CG )mod k[G ] n’a pas de mod k[G ]-boucle⇔FT n’a pas de G-boucle.

T ∈ Add(CG )mod k[G ] n’a pas de mod k[G ]-2-cycle⇔FT n’a pas de G-2-cycle.

30 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications



Si T ∈ Add(C)G,G -boucle : X → g ⊗ X irréductible ;G -2-cycle : X → Y → g ⊗ X irréductibles.

(définitions similaires dans CG )

Lemme



30 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications





Lemme



30 / 42


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Groupes unipotents




Mutations



Applications





Lemme



30 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


On suppose que tout projectif P de C admet unequasi-approximation rigide à gauche.

ThéorèmeSupposons qu’il existe T0 ∈ Add(CG ) (f.e.) rigidemod k[G ]-stable maximale sans mod k[G ]-boucle.Alors ∀T ∈ Add(CG ) rigide mod k[G ]-stablemaximale,

T n’a ni mod k[G ]-boucle, ni mod k[G ]-2-cycle ;T est rigide maximale.

Le même résultat est vrai pour C.

On suppose désormais que T0 existe.

31 / 42


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Groupes unipotents




Mutations



Applications







31 / 42


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Groupes unipotents




Mutations



Applications







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Groupes unipotents




Mutations



Applications


Théorème

Soient T ′ ∈ Add(CG )mod k[G ] et X /∈ T ′indécomposable non projectif tels queadd(T ′, k[G ]⊗ X ) soit rigide mod k[G ]-stablemaximal. ∃!0→ X f−→ T g−→ Y → 0 telle que

f est une T ′-approximation minimale à gauche ;

Y /∈ T ′ est un indécomposable non projectif telque add(T ′, k[G ]⊗ Y ) soit rigidemod k[G ]-stable maximale.

32 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


Théorème

Soient T ′ ∈ Add(CG )mod k[G ] et X /∈ T ′indécomposable non projectif tels queadd(T ′, k[G ]⊗ X ) soit rigide mod k[G ]-stablemaximal. ∃!0→ X f−→ T g−→ Y → 0 telle que

f est une T ′-approximation minimale à gauche ;Y /∈ T ′ est un indécomposable non projectif telque add(T ′, k[G ]⊗ Y ) soit rigidemod k[G ]-stable maximale.

32 / 42


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Groupes unipotents




Mutations



Applications


Définition

µX (add(T ′, k[G ]⊗ X )) = add(T ′, k[G ]⊗ Y )

Proposition

µY (µX (add(T ′, k[G ]⊗ X ))) = add(T ′, k[G ]⊗ X )

Proposition

0→ X → T → Y → 0 0→ Y → T ′ → X → 0

add(T ) ∩ add(T ′) = {0}

33 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


Définition


Proposition


Proposition

0→ X → T → Y → 0 0→ Y → T ′ → X → 0

add(T ) ∩ add(T ′) = {0}

33 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


Définition


Proposition


Proposition

0→ X → T → Y → 0 0→ Y → T ′ → X → 0

add(T ) ∩ add(T ′) = {0}

33 / 42


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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications

Catégorification G -équivarianteMatrices d’échange

Q = 1← 2→ 1′ G = Z/2ZQG = 2− → 1← 2+

Une sous-catégorie mod k[G ]-stable rigide maximalede ΛQG ' (ΛQ)G :

add

2−��@

@2+

��~~1

⊕ 2− ⊕ 2+

⊕1

��~~ ��@@

2−��@

@2+

��~~1

⊕2−

��@@

1��@

@

2+

⊕2+

��~~1

��~~2−

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications

Catégorification G -équivarianteMatrices d’échange

Q = 1← 2→ 1′ G = Z/2ZQG = 2− → 1← 2+

Une sous-catégorie mod k[G ]-stable rigide maximalede ΛQG ' (ΛQ)G :

add

2−��@

@2+

��~~1

⊕ 2− ⊕ 2+

⊕1

��~~ ��@@

2−��@

@2+

��~~1

⊕2−

��@@

1��@

@

2+

⊕2+

��~~1

��~~2−

34 / 42

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸1

⊕ 2− ⊕ 2+︸︷︷︸2

⊕1

��~~ ��@@

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸3

⊕2−

��@@

1��@

@

2+

⊕2+

��~~1

��~~2−︸︷︷︸

4

0→ 2−��@

@

1

→ 2−��@

@2+

��~~1

→ 2+ → 0

0 − 21 01 0− 1 1

Proposition

B(µX (T )) = µX (B(T ))

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸1

⊕ 2− ⊕ 2+︸︷︷︸2

⊕1

��~~ ��@@

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸3

⊕2−

��@@

1��@

@

2+

⊕2+

��~~1

��~~2−︸︷︷︸

4

0→ 2−��@

@2+

��~~1

→1

��~~ ��@@

2−��@

@2+

��~~1

⊕ 2− ⊕ 2+ → 1��@

@��~~

2− 2+

→ 0

0 − 21 01 0− 1 1

Proposition

B(µX (T )) = µX (B(T ))

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸1

⊕ 2− ⊕ 2+︸︷︷︸2

⊕1

��~~ ��@@

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸3

⊕2−

��@@

1��@

@

2+

⊕2+

��~~1

��~~2−︸︷︷︸

4

0→ 2−��@

@2+

��~~1

→1

��~~ ��@@

2−��@

@2+

��~~1

⊕ 2− ⊕ 2+ → 1��@

@��~~

2− 2+

→ 0

0 − 21 0

1

0− 1 1

Proposition

B(µX (T )) = µX (B(T ))

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸1

⊕ 2− ⊕ 2+︸︷︷︸2

⊕1

��~~ ��@@

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸3

⊕2−

��@@

1��@

@

2+

⊕2+

��~~1

��~~2−︸︷︷︸

4

0→ 2−��@

@2+

��~~1

→1

��~~ ��@@

2−��@

@2+

��~~1

⊕ 2− ⊕ 2+ → 1��@

@��~~

2− 2+

→ 0

0 − 2

1

0

1

0− 1 1

Proposition

B(µX (T )) = µX (B(T ))

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸1

⊕ 2− ⊕ 2+︸︷︷︸2

⊕1

��~~ ��@@

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸3

⊕2−

��@@

1��@

@

2+

⊕2+

��~~1

��~~2−︸︷︷︸

4

0→ 1��@

@��~~

2− 2+

→2−

��@@

1��@

@

2+

⊕2+

��~~1

��~~2−

→ 2−��@

@2+

��~~1

→ 0

0 − 2

1

0

1

0− 1 1

Proposition

B(µX (T )) = µX (B(T ))

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸1

⊕ 2− ⊕ 2+︸︷︷︸2

⊕1

��~~ ��@@

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸3

⊕2−

��@@

1��@

@

2+

⊕2+

��~~1

��~~2−︸︷︷︸

4

0→ 1��@

@��~~

2− 2+

→2−

��@@

1��@

@

2+

⊕2+

��~~1

��~~2−

→ 2−��@

@2+

��~~1

→ 0

0 − 2

1

0

1

0

− 1

1

Proposition

B(µX (T )) = µX (B(T ))

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸1

⊕ 2− ⊕ 2+︸︷︷︸2

⊕1

��~~ ��@@

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸3

⊕2−

��@@

1��@

@

2+

⊕2+

��~~1

��~~2−︸︷︷︸

4

0→ 1��@

@��~~

2− 2+

→2−

��@@

1��@

@

2+

⊕2+

��~~1

��~~2−

→ 2−��@

@2+

��~~1

→ 0

0

− 2

1

0

1

0

− 1

1

Proposition

B(µX (T )) = µX (B(T ))

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸1

⊕ 2− ⊕ 2+︸︷︷︸2

⊕1

��~~ ��@@

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸3

⊕2−

��@@

1��@

@

2+

⊕2+

��~~1

��~~2−︸︷︷︸

4

0→ 2+ →2−

��@@

1��@

@

2+

→ 2−��@

@

1

→ 0

0

− 2

1

0

1

0

− 1

1

Proposition

B(µX (T )) = µX (B(T ))

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸1

⊕ 2− ⊕ 2+︸︷︷︸2

⊕1

��~~ ��@@

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸3

⊕2−

��@@

1��@

@

2+

⊕2+

��~~1

��~~2−︸︷︷︸

4

0→ 2+ →2−

��@@

1��@

@

2+

→ 2−��@

@

1

→ 0

0

− 2

1

0

1

0

− 1 1

Proposition

B(µX (T )) = µX (B(T ))

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸1

⊕ 2− ⊕ 2+︸︷︷︸2

⊕1

��~~ ��@@

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸3

⊕2−

��@@

1��@

@

2+

⊕2+

��~~1

��~~2−︸︷︷︸

4

0→ 2−��@

@

1

→ 2−��@

@2+

��~~1

→ 2+ → 0

0

− 2

1

0

1

0

− 1 1

Proposition

B(µX (T )) = µX (B(T ))

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸1

⊕ 2− ⊕ 2+︸︷︷︸2

⊕1

��~~ ��@@

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸3

⊕2−

��@@

1��@

@

2+

⊕2+

��~~1

��~~2−︸︷︷︸

4

0→ 2−��@

@

1

→ 2−��@

@2+

��~~1

→ 2+ → 0

0 − 21

0

1

0

− 1 1

Proposition

B(µX (T )) = µX (B(T ))

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸1

⊕ 2− ⊕ 2+︸︷︷︸2

⊕1

��~~ ��@@

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸3

⊕2−

��@@

1��@

@

2+

⊕2+

��~~1

��~~2−︸︷︷︸

4

0→ 2−��@

@

1

→ 2−��@

@2+

��~~1

→ 2+ → 0

0 − 21 01 0− 1 1

Proposition

B(µX (T )) = µX (B(T ))

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸1

⊕ 2− ⊕ 2+︸︷︷︸2

⊕1

��~~ ��@@

2−��@

@2+

��~~1︸︷︷︸3

⊕2−

��@@

1��@

@

2+

⊕2+

��~~1

��~~2−︸︷︷︸

4

0→ 2−��@

@

1

→ 2−��@

@2+

��~~1

→ 2+ → 0

0 − 21 01 0− 1 1

Proposition

B(µX (T )) = µX (B(T ))


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Groupes unipotents




Mutations



Applications


11

11 MMM

M1111

11

11 1111

11

11 MMM

M1111MMMM

11

11 MMM

Mqqqq11

11 MMM

MMMMM

11

11 MMM

Mqqqq

11

11 qqqq

11

11 11

11 1111MMMM

11

11 qqqq

MMMM

11

11 qqqq qqqq

11

11 qqqq qqqq

11

11 qqqq 11

11 qqqq

MMMM

iii UUU

��666

��

"""QQQ mmm

))))

))))

)

fff

��

HHHHHHHHH

UU

66

HHHHHHHHHHHHHHHHHH vvvvvvvvvvvvvvvvvv

))))))))))))))))))��

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Mutations



Applications

Catégorification G -équivarianteCaractères d’amas

CG/mod k[G ]

C // //

[FK]

��

C/G��

OO

��

X_

��

� // X_

��PX

� // PX

C(xi )i∈I // // C(xi )i∈I/G

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Mutations



Applications


n = #{facteurs mod k[G ]-stables indéc. de T }

Théorème

∃CG/mod k[G ]→ C(x1, x2, . . . , xn)

X 7→ PX

telle que PX⊕Y = PX PY et si

0→ X → Z → Y → 0 et 0→ Y → Z ′ → X → 0

sont des suites de mutation, alors PX PY = PZ + PZ ′ .

Corollaire

T 7→({PX |X ∈ ind(T )},B(T )

)commute avec µ.

ThéorèmeLes monômes d’amas sont linéairement indépendants.

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Applications



Théorème

∃CG/mod k[G ]→ C(x1, x2, . . . , xn)

X 7→ PX


0→ X → Z → Y → 0 et 0→ Y → Z ′ → X → 0


Corollaire

T 7→({PX |X ∈ ind(T )},B(T )

)commute avec µ.


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Groupes unipotents




Mutations



Applications



Théorème

∃CG/mod k[G ]→ C(x1, x2, . . . , xn)

X 7→ PX


0→ X → Z → Y → 0 et 0→ Y → Z ′ → X → 0


Corollaire

T 7→({PX |X ∈ ind(T )},B(T )

)commute avec µ.


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2−��@

@2+

��~~1

7→

∣∣∣∣∣∣∣∣1 · · ·

1 • •• •

1

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 · • ·

1 · ·1 ·

1

∣∣∣∣∣∣∣∣

2−, 2+ 7→

∣∣∣∣∣∣∣∣1 · · ·

1 • ·1 ·

1

∣∣∣∣∣∣∣∣1

��~~ ��@@

2−��@

@2+

��~~1

7→

∣∣∣∣∣∣∣∣1 • • •• • •• • •

1

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 · · •

1 · ·1 ·

1

∣∣∣∣∣∣∣∣2−

��@@

1��@

@

2+

,2+

��~~1

��~~2−

7→

∣∣∣∣∣∣∣∣1 · • •

1 • •1 ·

1

∣∣∣∣∣∣∣∣


Laurent Demonet


Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications


C[N]

C[N]

0 0 −10 0 −11 1 01 0 00 1 0−1 −1 1

0 −21 01 0−1 1

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Groupes unipotents




Mutations



Applications


C[N] C[N]

0 0 −10 0 −11 1 01 0 00 1 0−1 −1 1

0 −21 01 0−1 1

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Groupes unipotents




Mutations



Applications

Catégorification G -équivarianteApplications

Catégorification des algèbres amassées de coordonnées

des sous-groupes de groupes unipotents

N(w) = N ∩ (w−1N−w) et Nw = N ∩ (B−wB−)

où N est un sous-groupe unipotent d’un groupe de Liede type Bn, Cn, F4 ou G2 et w un élément (adaptable)du groupe de Weyl correspondant.

des variétés de drapeaux partiels

de sous-espaces isotropes pour une formebilinéaire symétrique non dégénérée en dimensionimpaire (Bn) ;de sous-espaces isotropes pour une formebilinéaire antisymétrique non dégénérée (Cn) ;en type G2 et F4.

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Groupes unipotents




Mutations



Applications




N(w) = N ∩ (w−1N−w) et Nw = N ∩ (B−wB−)


des variétés de drapeaux partielsde sous-espaces isotropes pour une formebilinéaire symétrique non dégénérée en dimensionimpaire (Bn) ;

de sous-espaces isotropes pour une formebilinéaire antisymétrique non dégénérée (Cn) ;en type G2 et F4.

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Définitions

Groupes unipotents




Mutations



Applications




N(w) = N ∩ (w−1N−w) et Nw = N ∩ (B−wB−)


des variétés de drapeaux partielsde sous-espaces isotropes pour une formebilinéaire symétrique non dégénérée en dimensionimpaire (Bn) ;de sous-espaces isotropes pour une formebilinéaire antisymétrique non dégénérée (Cn) ;

en type G2 et F4.

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Groupes unipotents




Mutations



Applications




N(w) = N ∩ (w−1N−w) et Nw = N ∩ (B−wB−)


des variétés de drapeaux partielsde sous-espaces isotropes pour une formebilinéaire symétrique non dégénérée en dimensionimpaire (Bn) ;de sous-espaces isotropes pour une formebilinéaire antisymétrique non dégénérée (Cn) ;en type G2 et F4.

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Groupes unipotents




Mutations



Applications


On classifie les algèbres amassées de variétés dedrapeaux partiels de type d’amas fini :

Cas de type fini :

droites de C2n (type d’amas (A1)n−1) ;

droites isotropes pour une f.b.s.n.d. de C2n+1

(type d’amas (A1)n−1) ;

drapeaux isotropes complets pour une f.b.s.n.d.de C5 ou pour une f.b.a.n.d. de C4 (type d’amasB2 = C2) ;sous-espaces isotropes maximaux pour unef.b.s.n.d. de C7 (type d’amas C3) ;sous-espaces isotropes maximaux pour unef.b.a.n.d. de C6 (type d’amas B3).

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Groupes unipotents




Mutations



Applications



Cas de type fini :





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Groupes unipotents




Mutations



Applications



Cas de type fini :




drapeaux isotropes complets pour une f.b.s.n.d.de C5 ou pour une f.b.a.n.d. de C4 (type d’amasB2 = C2) ;

sous-espaces isotropes maximaux pour unef.b.s.n.d. de C7 (type d’amas C3) ;sous-espaces isotropes maximaux pour unef.b.a.n.d. de C6 (type d’amas B3).

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Groupes unipotents




Mutations



Applications



Cas de type fini :




drapeaux isotropes complets pour une f.b.s.n.d.de C5 ou pour une f.b.a.n.d. de C4 (type d’amasB2 = C2) ;sous-espaces isotropes maximaux pour unef.b.s.n.d. de C7 (type d’amas C3) ;

sous-espaces isotropes maximaux pour unef.b.a.n.d. de C6 (type d’amas B3).

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Cas de type fini :





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Documents

Catégoriﬁcation d’algèbres amassées antisymétrisables