CCP MP - Banque Exo I

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1er février 2013 Enoncés 1

Banque Exo I

Exercice 1 [ 03518 ] [correction]a) On considère deux suites réelles (un) et (vn) telles que un ∼ vn.Démontrer que un et vn sont de même signe à partir d’un certain rang.b) Déterminer le signe au voisinage de l’infini de

un = sh(

1n

)− tan

(1n

)

Exercice 2 [ 03519 ] [correction]Résoudre sur ]1,+∞[ l’équation différentielle

y′ + x

1− x2 y = 2x

Exercice 3 [ 03520 ] [correction]Soient E un espace euclidien et A un sous-espace vectoriel de E.a) Démontrer que

E = A⊕A⊥

(indice : on admettra que toute famille orthonormale de E peut être complétée enune base orthonormale de E.)b) Démontrer que (

A⊥)⊥ = A

Exercice 4 [ 03521 ] [correction]Soit h une fonction continue et positive de [a, b] dans R.a) Démontrer que : ∫ b

a

h(x) dx = 0⇒ h = 0

b) Soit E le R-espace vectoriel des fonctions continue de [a, b] dans R. On posepour tout f et tout g de E

(f | g) =∫ b

a

f(x)g(x) dx

Démontrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur E.c) Majorer ∫ 1

0

√xe−x dx

en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Exercice 5 [ 03523 ] [correction]N.B. : les deux questions sont indépendantes.a) La fonction

x 7→ ln xx2 + 1

est-elle intégrable sur ]0,+∞[ ?b) La fonction

x 7→ e−x√x− 1

est-elle intégrable sur ]1,+∞[ ?

Exercice 6 [ 03524 ] [correction]N.B. : les deux questions sont indépendantesa) Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit f un endomorphisme de E.On note L(E) l’espace des endomorphismes de E. Démontrer que, dans L(E), lafamille

IdE , f, . . . , fn

2est liée et en déduire que f admet un polynôme

annulateur non identiquement nul.b) Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie et λ unevaleur propre de f .Démontrer que si P est un polynôme annulateur de f alors P (λ) = 0.

Exercice 7 [ 03525 ] [correction]a) Démontrer que si A et B sont deux matrices carrées d’ordre n alors AB et BAont même trace.b) En Déduire qu’en dimension finie toutes les matrices d’un mêmeendomorphisme ont même trace.c) Démontrer que si A et B sont semblables alors, pour tout k ∈ N, Ak et Bk ontmême trace.

Exercice 8 [ 03526 ] [correction]On définit dansM2(R)×M2(R) l’application ϕ(A,A′) = tr(tAA′)On note

F =(

a b−b a

)/(a, b) ∈ R2

On admet que ϕ est un produit scalaire surM2(R).a) Démontrer que F est un sous-espace vectoriel deM2(R).b) Déterminer une base orthonormée de F⊥.

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c) Déterminer le projeté orthogonal sur F⊥de

J =(

1 11 1

)

Exercice 9 [ 03527 ] [correction]Soient θ ∈ R et n ∈ N?. Décomposer en produit de polynômes irréductibles dansC [X], puis dans R [X] le polynôme

P (X) = X2n − 2Xn cos(nθ) + 1

Exercice 10 [ 03528 ] [correction]Soit

∑anz

n une série entière de rayon de convergence R > 0.a) Démontrer que cette série converge uniformément sur tout disque fermée decentre 0 et de rayon r tel que 0 6 r < R.

b) Démontrer que la fonction z 7→+∞∑n=0

anzn est continue en tout point du disque

ouvert de convergence.

Exercice 11 [ 03529 ] [correction]Soient E un espace euclidien et u un endomorphisme de E. On note (x | y) leproduit scalaire de deux vecteurs x et y de E.a) Soit u un endomorphisme tel que

∀x ∈ E, ‖u(x)‖ = ‖x‖

Démontrer que∀(x, y) ∈ E2, (u(x) | u(y)) = (x | y)

Démontrer que u est bijectifb) Démontrer que l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de E, muni la loi, est un groupe.

Exercice 12 [ 03530 ] [correction]Pour tout n > 1, on pose

In =∫ +∞

0

(−1

1 + t2

)ndt

a) Justifier que In est bien définie.b) Démontrer que la suite ((−1)nIn) décroît et déterminer sa limite.c) La série

∑In est-elle convergente ?

Exercice 13 [ 03531 ] [correction]a) Soit X une partie de R, (fn)n∈N une suite de fonctions de X dans R ou C quiconverge simplement vers une fonction f . On suppose qu’il existe une suite(xn)n∈N d’éléments de X telle que la suite (fn(xn)− f(xn))n∈N ne tend pas vers 0.Démontrer que la suite de fonctions (fn)n∈N ne converge pas uniformément vers fsur X.b) Pour x ∈ R. On pose

fn(x) = sin(nx)1 + n2x2

Etudier la convergence simple de la suite (fn)n∈N.Etudier la convergence uniforme de la suite (fn)n∈N sur [a,+∞[ (avec a > 0) puissur ]0,+∞[.

Exercice 14 [ 03532 ] [correction]On considère la courbe C définie paramétriquement par :

x = u2 − 1u

y = u2 + 1u+ 1

, u > 0

Donner l’allure de la courbe C, préciser la (ou les) asymptote(s) éventuelle(s)

Exercice 15 [ 03522 ] [correction]Soient F(R,R) l’espace vectoriel des applications de R dans R, E le sous-espacevectoriel engendré par les cinq applications :

f1 : x 7→ 1/√

2, f2 : x 7→ cosx, f3 : x 7→ sin x, f4 : x 7→ cos(2x) et f5 : x 7→ sin(2x)

et F le sous-espace vectoriel par f1, f2 et f3 :

F = Vect(f1, f2, f3)

a) Démontrer que

(f, g) 7→ 〈f | g〉 = 1π

∫ π

−πf(x)g(x) dx

est un produit scalaire sur E.b) Montrer que f4 et f5 sont unitaires et orthogonaux.On admettra dans la suite que B = (fi)i=1,...,5 est une base orthonormée de E.c) Déterminer le sous-espace vectoriel F⊥, orthogonal de F pour ce produitscalaire.



Exercice 16 [ 03533 ] [correction]On considère la courbe définie en coordonnées polaires par

r = 2√

cos(2θ)

a) Etudier les symétries éventuelles de cette courbe.b) Donner l’allure de cette courbe.c) Préciser la tangente en point de paramètre θ = π/4.

Exercice 17 [ 03534 ] [correction]Soit la matrice

A =

1 −1 1−1 1 −11 −1 1

1. Démontrer que A est diagonalisable de quatre manières :a) sans calculs ;b) en calculant directement le déterminant det(A− λI3) où I3 est la matriceidentité d’ordre 3 et en déterminant les sous-espaces propres ;c) en utilisant le théorème du rang ;d) en calculant A2.2. On suppose que A est la matrice d’un endomorphisme u d’un espace euclidiendans une base orthonormée.a) Que peut-on dire de l’endomorphisme u ?b) Trouver une base orthonormée dans laquelle la matrice de u est diagonale.

Exercice 18 [ 03535 ] [correction]a) Soit (fn)n∈N une suite de fonctions continues sur [a, b] à valeurs réelles.Démontrer que si la suite (fn)n∈N converge uniformément vers f alors la suite(∫ b

afn(x) dx

)n∈N

converge vers∫ baf(x) dx.

b) Justifier comment ce résultat peut être utilisé dans le cas des séries defonctions puis démontrer ∫ 1/2

0

+∞∑n=0

xn dx =+∞∑n=1

1n

12n

Exercice 19 [ 03536 ] [correction]Soit E l’ensemble des matrices deM2(R) de la forme

M(a, b) =(

a b−b a

)

où a et b sont des nombres réelsa) Démontrer que E est un sous-espace vectoriel et un sous anneau deM2(R).Quelle est sa dimension ?b) On pose ϕ(a+ ib) = M(a, b). Démontrer que ϕ est un isomorphisme d’espacesvectoriels de C sur E, C étant considéré comme un espace vectoriel de dimension2 sur R.Est-ce un isomorphisme d’anneaux ?

Exercice 20 [ 03537 ] [correction]a) Soient (un) et (vn) deux suites de nombres réels positifs. Montrez que :

un ∼ vn ⇒∑

un et∑

vn sont de même nature

b) Etudiez la convergence de la série

∑ (1− i) sin( 1n

)√n− 1

Exercice 21 [ 03538 ] [correction]Dans un repère orthonormé (O;~i, j), on considère la courbe d’équation

x2 + 2x+ 4y2 − 8y + 1 = 0

a) Préciser la nature de cette courbe.b) Tracer cette courbe.c) Calculer la pente de la tangente en chacun des points d’intersection de lacourbe et de l’axe (O;~j).

Exercice 22 [ 03539 ] [correction]Etudier au voisinage de t = 1 la courbe définie par :

x =∫ t

1

u2 − 1u2 + 1 du et y =

∫ t

1

u2 − 1u3 + 1 du

Indice : on pourra calculer les dérivées successives de x et y



Exercice 23 [ 03540 ] [correction]On considère la matrice

A =

−2 −2 1−2 1 −21 −2 −2

a) Justifier que A est diagonalisable.b) Déterminer P et D dansM3(R) telles que tP = P−1, D est diagonale ettPAP = D.

Exercice 24 [ 03541 ] [correction]Etudier la série de terme général

un = 1n(lnn)α

où n > 2 et α ∈ R.Indice : on distinguera le cas α 6 0 et le cas α > 0.

Exercice 25 [ 03542 ] [correction]a) Démontrer que dans un espace vectoriel normé complet, toute série absolumentconvergente est convergente.b) Donner un exemple d’espace normé complet.

Exercice 26 [ 03543 ] [correction]Soient E l’espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K (K = R ou C) dedegrés inférieurs ou égaux à n et f l’endomorphisme de E défini par

f(P ) = P − P ′

a) Démontrer que f est bijectif de deux manières :– sans utiliser de matrice de f ;– en utilisant une matrice de f .b) Soit Q ∈ E. Trouver P tel que f(P ) = Q.Indice : si P ∈ E, quel est le polynôme P (n+1) ?

Exercice 27 [ 03544 ] [correction]Soient E un espace vectoriel sur R ou C et f , g deux endomorphismes de E telsque

f g = Id

a) Démontrer que ker(g f) = ker f .b) Démontrer que Im(g f) = Img.c) Démontrer que E = ker f ⊕ Img.

Exercice 28 [ 03545 ] [correction]a) Donner l’idée de la démonstration de la formule de Leibniz concernant ladérivée n-ième d’un produit de fonctions.b) On pose

f(x) = e2x

1 + xpour x > −1

Calculer f (n)(x) pour tout n ∈ N.

Exercice 29 [ 03546 ] [correction]Soit la matrice

M =

0 a cb 0 cb −a 0

où a, b, c sont des réels.a) M est-elle diagonalisable dansM3(R) ?b) M est-elle diagonalisable dansM3(C) ?

Exercice 30 [ 03547 ] [correction]

Soit la matrice A =(

1 22 4

)et f l’endomorphisme deM2(R) défini par

f(M) = AM

a) Déterminer ker f .b) f est-il surjectif ?c) Trouver une base de ker f et une base de Imf

Exercice 31 [ 03548 ] [correction]Soient (un)n∈N une suite de réels strictement positifs et ` un réel positifstrictement inférieur à 1.a) Démontrer que si

limn→+∞

un+1

un= `



alors la série∑un converge.

(Indice : écrire judicieusement la définition de limn→+∞

un+1un

= ` puis majorer, pourn assez grand, un par le terme général d’une série géométrique).b) Quelle est la nature de la série de terme général

n!(3n+ 1)!?


A =

1 1 a0 2 00 0 a

où a est un nombre réel.a) Quel est le rang de A ? La matrice A est-elle inversible ?b) A est-elle diagonalisable ?

Exercice 33 [ 03551 ] [correction]Donner l’allure de la courbe définie en coordonnées polaires par

r = 2 (cos θ − cos 2θ)

Préciser la tangente à cette courbe aux points de paramètre θ = 0 et θ = π.

Exercice 34 [ 03552 ] [correction]Soit f la fonction 2π-périodique sur R définie ainsi :

f(x) = x sur ]−π, π[ et f(−π) = 0

a) La série de Fourier de f converge-t-elle vers f(x) en tout x de R ?b) Déterminer la série de Fourier de f .

Exercice 35 [ 03553 ] [correction]Soit f la fonction 2π-périodique sur R telle que

∀t ∈ [0, 2π[ , f(t) = t2

a) Expliquer pourquoi, pour tout réel t, la série de Fourier de f converge etpréciser sa limite.b) Déterminer la série de Fourier de f , puis en déduire la somme de la série∑

n>1

1n2

Exercice 36 [ 03554 ] [correction]On pose

f(x, y) = xy√x2 + y2

pour (x, y) 6= (0, 0) et f(0, 0) = 0

a) Démontrer que f est continue sur R2.b) Démontrer que f admet des dérivées partielles en tout point de R2.

Exercice 37 [ 03555 ] [correction]Soit Φ l’endomorphisme de Rn [X] défini par :

P (X) 7→ P (X)− P (X − 1)

Donner la matrice de Φ dans la base canonique de Rn [X] et en déduire ImΦ etker Φ.

Exercice 38 [ 03556 ] [correction]a) Démontrer que toute série de fonctions normalement convergente sur X estuniformément convergente sur X.b) La série de fonctions ∑ n2

n! zn

est-elle uniformément convergente sur le disque fermé de centre 0 et de rayonR ∈ R+? ?

Exercice 39 [ 03557 ] [correction]On considère la fraction rationnelle

R = X5 +X4

(X − 2)2(X + 1)2

a) Décomposer R en éléments simples.b) Déterminer les primitives de la fonction x 7→ R(x) sur l’intervalle ]−1, 2[.

Exercice 40 [ 03558 ] [correction]Soit l’intégrale curviligne

I =∫

Γω



où ω = y dx+ xy dy et Γ est la courbe fermée composée des portions de courbescomprises entre les deux points d’intersection des courbes C1 et C2 d’équationsrespectives y = x2 et y = x dans un repère orthonormé.La courbe Γ étant décrite dans le sens trigonométrique, calculer l’intégrale I :a) directement.b) en utilisant la formule de Green-Riemann.

Exercice 41 [ 03559 ] [correction]Soit (an)n∈N une suite complexe telle que la suite

(|an+1||an|

)n∈N

admet une limitefinie.a) Démontrer que les séries entières

∑anx

n et∑nanx

n−1 ont le même rayon deconvergence.On le note R.b) Démontrer que la fonction x 7→

+∞∑n=0

anxn est dérivable sur l’intervalle ]−R,R[.

Exercice 42 [ 03560 ] [correction]a) Démontrer que la fonction x 7→ e−x2 est intégrable sur [0,+∞[b) Pour chaque nombre r > 0, on note Cr le carré [0, r]× [0, r] et Dr l’ensembledéfini par :

x > 0, y > 0, x2 + y2 6 r2

b) Quelle relation y a-t-il entre∫∫Cr

e−(x2+y2) dxdy et∫ r

0e−t

2dt?

c) Calculer en fonction de r l’intégrale double∫∫Dr

e−(x2+y2) dxdy

d) Déduire de ce qui précède la valeur de∫ +∞

0e−x

2dx

Indice : on pourra remarquer que Dr ⊂ Cr ⊂ D√2r

Exercice 43 [ 03561 ] [correction]a) Démontrer que si |an| ∼ |bn| alors les séries entières

∑anz

n et∑bnz

n ont lemême rayon de convergence.b) Trouver le rayon de convergence de la série entière∑ inn2

(n2 + 1)zn

Exercice 44 [ 03562 ] [correction]Etudier la courbe définie paramétriquement par

x = u− 1u2

y = u2

u+ 1

Puis donner l’allure de cette courbe

Exercice 45 [ 03563 ] [correction]a) u est un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie n et Idésigne l’application identité de E.Rappeler la définition d’une valeur propre de puis démontrer que :

λ est valeur propre de u ⇔ det(u− λI) = 0

En déduire que u admet au plus n valeurs propres distinctes.b) Trouver un endomorphisme de R2 admettant comme valeurs propres 0 et 1.

Exercice 46 [ 03564 ] [correction]E et F désignent deux espaces vectoriels normés.a) Soient f une application de E dans F et a un point de E.Démontrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :(i) f est continue en a ;(ii) Pour toute suite (xn) d’éléments de E telle que lim

n→+∞xn = a, on a

limn→+∞

f(xn) = f(a).b) Soit A une partie dense d’une espace vectoriel normé E et soient f et g deuxapplications continues de E dans F , F désignant un espace vectoriel normé.Démontrer que si, pour tout x ∈ A, f(x) = g(x) alors f = g.



Exercice 47 [ 03565 ] [correction]a) Soit A une partie non vide d’un espace vectoriel normé E.Démontrer que

x ∈ A⇔ ∃(xn)n∈N ∈ EN,∀n ∈ N, xn ∈ A et limn→+∞

xn = x

b) Démontrer que si A est un sous-espace vectoriel de E alors A est unsous-espace vectoriel de E.

Exercice 48 [ 03566 ] [correction]E et F désignent deux espaces vectoriels normés.a) A est un sous-ensemble compact de E et f une fonction de E dans F .Démontrer que si f est continue sur A alors f(A) est un sous-ensemble compactde F .b) On suppose que g est une fonction continue de E dans C.Démontrer que si A est un sous-ensemble compact non vide de E alors– g(A) est une partie bornée de C ;– il existe x0 ∈ A tel que

supx∈A|g(x)| = |g(x0)|

Exercice 49 [ 03567 ] [correction]Soit E un espace normé complet et soit A un sous-ensemble de E.a) Démontrer que

A complet ⇔ A fermé

b) Pour chacun des sous-ensembles suivants de R, dire s’il est complet ou non enjustifiant votre réponse :– ]0, 1] ;– [−2, 2] ∪ [3,+∞[ ;– ]0, 1[ ∪ ]−∞, 2]

Exercice 50 [ 03568 ] [correction]Soient E,F deux espaces vectoriels normés sur le corps R.a) Démontrer que si f est une application linéaire de E dans F alors les propriétéssuivantes sont deux à deux équivalentes :(i) f est continue sur E ;(ii) f est continue en 0E ;(iii) ∃k > 0,∀x ∈ E, ‖f(x)‖ 6 k ‖x‖.

b) Soit E l’espace vectoriel des applications continues de [0, 1] muni de la normedéfinie par :

‖f‖ = supx∈[0,1]

|f(x)|

On considère l’application ϕ de E dans R définie par

ϕ(f) =∫ 1

0f(t) dt

Démontrez que ϕ est linéaire et continue.

Exercice 51 [ 03569 ] [correction]On note E l’espace vectoriel des applications continues de [0, 1] dans R. On posepour tout f de E

p∞(f) = supx∈[0,1]

|f(x)| et p1(f) =∫ 1

0|f(x)| dx

a) Démontrer succinctement que p∞ et p1 sont deux normes de E.b) Démontrer qu’il existe k > 0 tel que pour tout f de E, p1(f) 6 kp∞(f).c) Démontrer que tout ouvert pour la norme p1 est un ouvert pour la norme p∞.d) Démontrer que les normes p1 et p∞ ne sont pas équivalentes.

Exercice 52 [ 03570 ] [correction]On note R [X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Pour toutpolynôme P =

n∑i=0

aiXi, n désignant le degré de P , on pose :

p1(P ) =n∑i=0|ai| et p2(P ) = max

06i6n|ai|

a) Démontrer succinctement que p1 et p2 sont des normes de R [X].b) Démontrer que tout ouvert pour la norme p2 est un ouvert pour la norme p1.c) Démontrer que les normes p1 et p2 ne sont pas équivalentes.d) On note Rk [X] le sous-espace vectoriel de R [X] constitué par les polynômes dedegré inférieur ou égal à k. On note p′1 la restriction de p1 à Rk [X] et p′2 larestriction de p2 à Rk [X]. Les normes p′1 et p′2 sont-elles équivalentes ?



Exercice 53 [ 03571 ] [correction]

On note l’ensemble des suites x = (xn) de nombres complexes telles que la

série converge.

a) Démontrer que est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel dessuites de nombres complexes.

b) Démontrer que pour et,la série

∑xnyn converge. On pose

c) Démontrer que l’on définit ainsi un produit scalaire dans.

d) On suppose que est muni de ce produit scalaire et de la norme associée.Soit n ∈ N. Pour tout x = (xn) ∈ `2, on pose ϕ(x) = xn.Démontrer que ϕ est une application linéaire continue de `2 dans C et calculer‖ϕ‖ où ‖ϕ‖ désigne la norme usuelle dans l’espace vectoriel des applicationslinéaires continues de `2 dans C.

Exercice 54 [ 03572 ] [correction]Soit A une algèbre normée de dimension finie ayant e pour élément unité.a) Soit u un élément de A tel que ‖u‖ < 1.Démontrer que la série

∑un est convergente.

Démontrer que (e− u) est inversible et que

(e− u)−1 =+∞∑n=0

un

b) Démontrer que pour tout u de A, la série∑

un

n! converge.

Exercice 55 [ 03575 ] [correction]Déterminer le développement en série entière à l’origine de la fonction

f(x) = ln(

1 + x

1− x

)en précisant le rayon de convergence.

Exercice 56 [ 03574 ] [correction]a) Etudier les extrema de la fonction définie par :

f(x, y) =√

4− x2 − y2

en utilisant la méthode générale de recherche d’extrema d’une fonction de deuxvariables.b) Retrouver géométriquement le résultat précédent.Indice : quelle est la surface d’équation z =

√4− x2 − y2 ?

Exercice 57 [ 03573 ] [correction]Résoudre sur R l’équation différentielle

y′′ + y = cosx

en utilisant la méthode de variation des constantes.

Exercice 58 [ 03579 ] [correction]Soient X un ensemble, (fn)n∈N une suite de fonctions de X dans C et f unefonction de X dans C.a) On suppose que

∀x ∈ X,∀n ∈ N, |fn(x)− f(x)| 6 αn

où (αn)n∈N est une suite de réels telle que limn→+∞

αn = 0.Démontrer que la suite (fn)n∈N converge uniformément vers f sur X.b) La suite (zn)n∈N converge-t-elle uniformément dans le disque ouvert D(0, 1/2)de centre 0 et de rayon 1/2 ?Converge-t-elle uniformément dans le disque ouvert D(0, 1) de centre 0 et derayon 1 ?



Exercice 59 [ 03580 ] [correction]Soit (un)n∈N une suite décroissante positive de limite nulle.a) Démontrer que la série

∑(−1)kuk est convergente.

Indice : on pourra considérer (S2n)n∈N et (S2n+1)n∈N avec Sn =n∑k=0

(−1)kuk.

b) Indiquer un majorant du reste de cette série. Démontrez ce résultat.

Exercice 60 CCP MP [ 03584 ] [correction]I) Soient E un espace vectoriel sur R ou C et f , g deux endomorphismes de E telsque

f g = Ida) Démontrer que ker(g f) = ker f .b) Démontrer que Im(g f) = Img.c) Démontrer que E = ker f ⊕ Img.II) On pose

In =∫ +∞

0

dx1 + xn

pour n ∈ N, n > 2

a) Déterminer une suite de fonctions (fn) telle que

In =∫ 1

0fn(t) dt

b) Déterminer deux réels a et b tels que

In = a+ b

n+ o

(1n

)quand n→ +∞

Exercice 61 [ 03585 ] [correction]Soit E un espace vectoriel de dimension n.a) Soit e1, e2, . . . , en une base de E.Démontrer que pour tout i = 2, 3, . . . , n, e1 + ei, e2, . . . , en est une base de E.b) Déterminer tous les endomorphismes de E dont la matrice est diagonale danstoute base de E.

Exercice 62 [ 03586 ] [correction]On considère les polynômes

P = 3X4 − 9X3 + 7X2 − 3X + 2 et Q = X4 − 3X3 + 3X2 − 3X + 2

a) Décomposer P et Q en facteurs premiers sur R [X] puis sur C [X] (on pourracalculer les valeurs de P et Q en 1 en 2).b) Déterminer les polynômes pgcd et ppcm des polynômes P et Q.

Exercice 63 [ 03587 ] [correction]Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension n.a) Démontrer

E = Imf ⊕ ker f ⇒ Imf = Imf2

b) DémontrerImf = Imf2 ⇔ ker f = ker f2

c) DémontrerImf = Imf2 ⇒ E = Imf ⊕ ker f

Exercice 64 [ 03588 ] [correction]On noteMn(C) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre n à coefficientscomplexes. Pour A = (ai,j)16i,j6n ∈Mn(C), on pose

‖A‖ = sup16i,j6n

|ai,j |

a) Démontrer que ‖AB‖ 6 n ‖A‖ ‖B‖ puis que, pour tout entier p > 1,‖Ap‖ 6 np−1 ‖A‖p.b) Démontrer que pour toute matrice A ∈Mn(C), la série

∑Ap

p! est absolumentconvergente.Est-elle convergente ?

Exercice 65 [ 03589 ] [correction]Soit E un espace euclidien et F,G des sous-espaces vectoriels de E.a) Démontrer que

(F +G)⊥ = F⊥ ∩G⊥

b) Démontrer que(F ∩G)⊥ = F⊥ +G⊥

Exercice 66 [ 03590 ] [correction]Soit E l’espace vectoriel des applications continues et 2π-périodiques de R dans R.a) Démontrer que

(f | g) = 12π

∫ 2π

0f(t)g(t) dt

définit un produit scalaire sur E.b) Soit F le sous-espace vectoriel engendré par f : x 7→ cosx et g : x 7→ cos(2x).Déterminer le projeté orthogonal sur F de la fonction u : x 7→ sin2 x.



Exercice 67 [ 03592 ] [correction]a) Pour une suite de réels (un), énoncer le critère de Cauchy.b) Soit f une dérivable de ]0, 1] dans R telle que

∀x ∈ ]0, 1] , |f ′(x)| 6 1

On pose, pour tout entier naturel n non nul

un = f(1/n)

Démontrer, en utilisant le critère de Cauchy, que cette suite converge.

Exercice 68 [ 03593 ] [correction]Soit f une fonction de [a, b] dans R, continue sur [a, b]. On suppose que f estdérivable sur ]a, b[ sauf peut-être en un point x0 de ]a, b[.a) Démontrer que si la fonction f ′ admet une limite en x0, alors la fonction f estdérivable en x0 et

f ′(x0) = limx→x0

f ′(x)

b) Démontrer que la réciproque de la propriété de la question précédente estfausse.Indice : on pourra considérer la fonction g définie par g(x) = x2 sin(1/x) si x 6= 0et g(0) = 0.

Exercice 69 [ 03594 ] [correction]On considère la série de fonctions de terme général un définie par :

∀n ∈ N?,∀x ∈ [0, 1] , un(x) = ln(

1 + x

n

)− x

n

On pose, lorsque la série converge,

S(x) =+∞∑n=1

[ln(

1 + x

n

)− x

n

]a) Démontrer que S est dérivable sur [0, 1].b) Calculer S′(1).Indice : penser à décomposer une fraction rationnelle en éléments simples.

Exercice 70 [ 03595 ] [correction]Pour tout n ∈ N, on pose

fn(x) = e−x

1 + n2x2 et un =∫ 1

0fn(x) dx

a) Etudier la convergence simple sur [0, 1] de la suite de fonctions (fn)n∈N puisl’uniforme convergence sur [0, 1].b) Trouver la limite de la suite (un)n∈N.

Exercice 71 [ 03596 ] [correction]a) Enoncer le théorème de dérivation sous le signe intégrale.b) Démontrer que la fonction

f : x 7→∫ +∞

0e−t

2cos(xt) dt

est de classe C1 sur R.c) Trouver une équation différentielle linéaire d’ordre 1 dont f est solution.

Exercice 72 [ 03597 ] [correction]a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière

∑xn

(2n)!On pose

S(x) =+∞∑n=0

xn

(2n)!

b) Déterminer le développement en série entière en 0 de la fonction x 7→ ch(x) etpréciser le rayon de convergence.c) Déterminer S(x).d) On considère la fonction f définie sur R par :

f(0) = 1, f(x) = ch√x pour x > 0 et f(x) = cos

√−x pour x < 0

Démontrer que f est de classe C∞ sur R.

Exercice 73 [ 03599 ] [correction]On note Sn l’ensemble des permutations de l’ensemble constitué par les premiersentiers non nuls 1, 2, . . . , n.a) Démontrer que, muni de la loi , Sn est un groupe.



b) On note σ l’élément de S8 défini de la manière suivante :(1 2 3 4 5 6 7 85 4 1 7 8 6 2 3

)l’image de chaque terme de la première ligne étant écrit juste en dessous.Démontrer que la permutation σ est égale à la composée de deux cycles que l’onprécisera.c) On note σn la permutation σ σ . . . σ (n facteurs)Déterminer σ12, σ24, σ4 et σ2016.

Exercice 74 [ 03600 ] [correction]E désigne un espace euclidien. On note x | y le produit scalaire de x et de y.Si u est un endomorphisme de E, on note u? l’endomorphisme adjoint de u.a) Si u est un endomorphisme de E, préciser, en justifiant votre réponse,l’endomorphisme (u?)?.b) Si u et v sont deux endomorphismes de E, préciser, en justifiant votre réponse,l’endomorphisme (u v)?.c) Soit (ei) une base orthonormale de E. On note A la matrice d’unendomorphisme u de E dans la base (ei) et B la matrice de u? dans la base (ei).En justifiant votre réponse, donner la relation qui existe entre A et B ?d) Retrouver le résultat de la question a) à l’aide du résultat de la question c).

Exercice 75 [ 03601 ] [correction]On considère la quadrique (S) d’équation xy + yz = 1 dans le repère orthonormé(O;~i,~j,~k).On note q la forme quadratique associée à (S).a) Déterminer la matrice de q dans la base (~i,~j,~k). On la notera A.b) Déterminer une base orthonormée (~u,~v, ~w) constituée par des vecteurs propresde A.c) On note P la matrice de passage de la base (~i,~j,~k) à la base (~u,~v, ~w).Expliquer pourquoi la matrice de q dans la base (~u,~v, ~w) est égale à P−1AP .d) Quelle est la nature de la quadrique (S) ?

Exercice 76 [ 03602 ] [correction]Soit l’équation différentielle

x(x− 1)y′′ + 3xy′ + y = 0

a) Trouver les solutions de cette équation développables en série entière à l’origine.Déterminer la somme des séries entières obtenues.b) Indiquer une méthode pour trouver toutes les solutions de l’équationdifférentielle sur chacun des intervalles ]0, 1[, ]−∞, 0[ et ]1,+∞[.


f(x) = 1(x+ 1)(3− x)

a) Décomposer f(x) en éléments simples et déduisez-en les primitives de f surl’intervalle ]3,+∞[.b) Déterminer le développement en série entière en 0 de la fonction f et préciser lerayon de convergence.c) Déterminer le développement limité à l’ordre 3 en 0 de la fonction f .

Exercice 78 [ 03604 ] [correction]Calculer l’intégrale double

I =∫∫

D

√x2 + y2 dxdy

où D est défini par :

x2 + y2 − 2y > 0, x2 + y2 − 1 6 0, x > 0, y > 0


A =(−1 −41 3

)a) Démontrer que A n’est pas diagonalisable.b) On note f l’endomorphisme de R2 canoniquement associé à A. Trouver unebase (v1, v2) de R2 dans laquelle la matrice de f est de la forme(

a b0 c

)c) En déduiser une méthode de résolution du système différentiel

x′ = −x− 4yy′ = x+ 3y



Exercice 80 [ 03607 ] [correction]Soit un entier n > 1. On considère la matrice carrée d’ordre n à coefficients réels

A =

2 −1 0 · · · 0

−1 2 −1. . .

...

0 −1. . . . . . 0

.... . . . . . 2 −1

0 · · · 0 −1 2

Pour n > 1, on désigne par Dn le déterminant de A.a) Démontrer que

Dn+2 = 2Dn+1 −Dn

b) Déterminer Dn en fonction de n.c) Justifier que la matrice A est diagonalisable. Le réel 0 est-il valeur propre de A ?


A =(

2 14 −1

)a) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A.b) Déterminer toutes les matrices commutant avec la matrice

D =(

3 00 −2

)et en déduire l’ensemble des matrices qui commutent avec A.

Exercice 82 [ 03608 ] [correction]Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension n et soite1, . . . , en une base de E.On suppose f(e1) = f(e2) = . . . = f(en) = v où v est un vecteur de E.f est-il diagonalisable ? (discuter en fonction du vecteur v).


[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1er février 2013 Corrections 13

Corrections

Exercice 1 : [énoncé]a) Puisque un ∼ vn, on peut écrire

un = vn + o(vn)

et à partir d’un certain rang|o(vn)| 6 1

2 |vn|

On peut donc affirmer qu’alors un est du signe de vn.b) Quand n→ +∞,

sh 1n

= 1n

+ 16n3 + o

(1n3

)et tan 1

n= 1n

+ 13n3 + o

(1n3

)donc

un ∼ −1

6n3

et un est négatif pour n assez grand.

Exercice 2 : [énoncé]C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 définie sur ]1,+∞[.La solution générale est

y(x) = C√x2 − 1 + 2(x2 − 1) avec C ∈ R

Exercice 3 : [énoncé]a) Posons n = dimE et p = dimA.Soit (e1, . . . , ep) une base orthonormale de A. On peut la compléter en (e1, . . . , en)base orthonormale de E.Puisque A = Vect(e1, . . . , ep), on a l’équivalence

x ∈ A⊥ ⇔ ∀i ∈ 1, . . . , p , (ei | x) = 0

et donc A⊥ = Vect(ep+1, . . . , en). On en déduit

E = A⊕A⊥

b) On sait dimA⊥ = n− dimA et donc dim(A⊥)⊥ = dimA. Or on a aussi

A ⊂(A⊥)⊥

car∀x ∈ A,∀y ∈ A⊥, (x | y) = 0

Par inclusion et égalité des dimensions, on conclut(A⊥)⊥ = A

Exercice 4 : [énoncé]a) Soit H une primitive de la fonction h ; celle-ci existe car la fonction h estcontinue.Puisque la fonction h est positive, sa primitive H est croissante.Si l’intégrale de h sur [a, b] est nulle, alors H(a) = H(b) et la croissance de Hentraînent sa constance. On en déduit que la fonction dérivée h est nulle.b) On vérifie que l’on a bien défini une forme bilinéaire symétrique définiepositive. . .c) L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne

∫ 1

0

√xe−x dx 6

√∫ 1

0x dx

√∫ 1

0e−2x dx =

√1− e−2

2

Exercice 5 : [énoncé]a) La fonction f : x 7→ ln x

x2+1 est définie et continue par morceaux sur ]0,+∞[.Les propriétés x3/2f(x) −−−−−→

x→+∞0 et√xf(x) −−−→

x→00 assurent l’intégrabilité de f .

b) La fonction g : x 7→ e−x√x−1 est définie continue par morceaux sur ]1,+∞[.

Les propriétés x2f(x) −−−−−→x→+∞

0 et g(x) ∼x→1

e−1√x−1 assurent l’intégrabilité de g.

Exercice 6 : [énoncé]a) (IdE , f, . . . , fn

2) est une famille de n2 + 1 vecteurs de l’espace L(E) qui est dedimension n2 ; cette famille est nécessairement liée. Une relation linéaire sur leséléments de la famille (IdE , f, . . . , fn

2) fournit alors un polynôme annulateur nonnul de f , polynôme dont les coefficients sont les coefficients de la relation linéaireécrite.b) Soit x 6= 0E vecteur propre de f associé à la valeur propre λ. On a f(x) = λxet, par une récurrence immédiate, fn(x) = λnx pour tout n ∈ N. Par linéarité, onobtient

∀P ∈ K [X] , P (f)(x) = P (λ)x



Pour P annulateur de f , on a

P (λ)x = 0E avec x 6= 0Eet donc nécessairement

P (λ) = 0

Exercice 7 : [énoncé]a) A = (ai,j), B = (bi,j), AB = (ci,j) et BA = (di,j) avec

ci,j =n∑k=1

ai,kbk,j et di,j =n∑k=1

bi,kak,j

donc

tr(AB) =n∑i=1

n∑k=1

ai,kbk,i et tr(BA) =n∑i=1

n∑k=1

bi,kak,i

En réorganisant les deux sommes, on obtient tr(AB) = tr(BA).b) Si B = P−1AP alors

trB = tr(P−1(AP )

)= tr

((AP )P−1) = trA

Ainsi, si les matrices A et B sont semblables, elles ont même trace.Les matrices d’un même endomorphisme étant semblables entres elles, on peutconclure.c) Ak et Bk représentent le même endomorphisme, ces matrices sont doncsemblables et ont même trace.

Exercice 8 : [énoncé]a) On a immédiatement F = Vect(I,K) avec

K =(

0 1−1 0

)On peut donc affirmer que F est un sous-espace vectoriel deM2(R).b) Puisque dimF = 2, dimF⊥ = 4− 2 = 2. Les matrices

A = 1√2

(1 00 −1

)et B = 1√

2

(0 11 0

)sont deux éléments unitaires, orthogonaux entre eux et orthogonaux à I et K.On peut alors affirmer que la famille (A,B) est une base de F⊥.c) On peut écrire

J = I +√

2Bet donc le projeté orthogonal de J est

√2B.

Exercice 9 : [énoncé]Les racines du polynôme Y 2 − 2 cos(nθ)Y + 1 sont einθ et e−inθ donc

X2n − 2Xn cos(nθ) + 1 = (Xn − einθ)(Xn − e−inθ)

Les racines de Xn − einθ sont les eiθ+2ikπ/n avec k ∈ 0, . . . , n− 1 et celles deXn − e−inθ s’en déduisent par conjugaison. Ainsi

X2n − 2Xn cos(nθ) + 1 =n−1∏k=0

(X − eiθ+2ikπ/n)n−1∏k=0

(X − e−iθ−i2kπ/n)

dans C [X] puis en regroupant les facteurs conjugués entre eux

X2n−2Xn cos(nθ)+1 =n−1∏k=0

(X − eiθ+2ikπ/n)(X − e−iθ−2ikπ/n) =n−1∏k=0

[X2 − 2X cos

(θ + 2kπ

n

)+ 1]

Cette décomposition dans R [X] se comprend comme la décomposition en facteursirréductibles sauf s’il y a la présence d’un facteur

X2 − 2X cos(θ + 2kπ

n

)+ 1 = X2 − 1 = (X − 1)(X + 1)

Exercice 10 : [énoncé]a) Posons fn : z 7→ anz

n définie sur D(0, r). On a

‖fn‖∞ = supz∈D(0,r)

|fn(z)| = |an| rn

Or la série numérique∑anr

n est absolument convergente, la série de fonctions∑fn converge donc normalement et donc aussi uniformément.

b) La fonction z 7→+∞∑n=0

anzn est définie sur le disque ouvert de convergence et y

est continue par convergence uniforme d’une série de fonctions continues sur toutcompact inclus dans ce disque.

Exercice 11 : [énoncé]a) Soient x, y ∈ E. On a d’une part

‖u(x+ y)‖2 = ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + 2(x | y) + ‖y‖2

et d’autre part

‖u(x+ y)‖2 = ‖u(x) + u(y)‖2 = ‖u(x)‖2 + 2(u(x) | u(y)) + ‖u(y)‖2



On en déduit(u(x) | u(y)) = (x | y)

Si x ∈ keru alors0 = ‖u(x)‖2 = ‖x‖2

donc keru = 0E.Puisque E est de dimension finie, on peut conclure que l’endomorphisme u estbijectif.b) Montrons que l’ensemble O(E) des endomorphismes étudiés est un sous-groupedu groupe linéaire (GL(E), ).On a O(E) ⊂ GL(E) en vertu de ce qui précède.On a aussi évidemment IdE ∈ O(E).Soient u, v ∈ O(E). Pour tout x ∈ E,∥∥u v−1(x)

∥∥ =∥∥u(v−1(x))

∥∥ =∥∥v−1(x)

∥∥ car u ∈ O(E)

et ∥∥v−1(x)∥∥ =

∥∥v(v−1(x))∥∥ = ‖x‖ car v ∈ O(E)

On a donc u v−1 ∈ O(E) et l’on peut conclure.

Exercice 12 : [énoncé]a) La fonction intégrée est définie et continue sur [0,+∞[, elle est de plus dominéepar t 7→ 1/t2 en +∞, on en déduit qu’elle est intégrable et que l’intégrale Inqu’elle définit converge.b) Pour tout t ∈ [0,+∞[,

1(1 + t2)n+1 6

1(1 + t2)n

donc en intégrant(−1)n+1In+1 6 (−1)nIn

La suite des fonctions intégrées converge simplement vers la fonction nulle sur]0,+∞[ et est dominée par

t 7→ 11 + t2

intégrable sur ]0,+∞[.Par convergence dominée

(−1)nIn → 0

c) Par application du critère spécial des séries alternées, on peut affirmer laconvergence de la série

∑In.

Exercice 13 : [énoncé]a) Par contraposée : si (fn) converge uniformément vers f alors pour n assezgrand ‖fn − f‖∞ existe et ‖fn − f‖∞ → 0. On a alors

|fn(xn)− f(xn)| 6 ‖fn − f‖∞ → 0

et donc fn(xn)− f(xn)→ 0.b) Pour tout x > 0, fn(x)→ 0 donc la suite (fn) converge simplement vers lafonction nulle sur ]0,+∞[.Pour x > a,

|fn(x)| 6 11 + a2n2

donc‖fn‖∞,[a,+∞[ = sup

x∈[a,+∞[|fn(x)| 6 1

1 + a2n2 → 0

On en déduit que la suite (fn) converge uniformément vers la fonction nulle sur[a,+∞[ (avec a > 0).Pour xn = π/2n, on a

fn(xn) = 11 + π2

4

qui ne tend pas vers 0.On en déduit que la suite de fonctions (fn) ne converge pas uniformément sur]0,+∞[.

Exercice 14 : [énoncé]Les fonctions u 7→ x(u) et u 7→ y(u) sont définies et de classe C∞ sur l’intervalle]0,+∞[.Il n’y a pas de réduction remarquable du domaine d’étude

x′(u) = u2 + 1u2 et y′(u) = (u+ 1 +

√2)(u+ 1−

√2)

(u+ 1)2

Le tableau des variations simultanées est

u 0√

2− 1 +∞x′(u) +x(u) −∞ −2 +∞y(u) 1 2

(√2− 1)

) +∞

y′(u) − 0 +

En +∞,y(u)/x(u)→ 1 et y(u)− x(u)→ (−1)+



La droite d’équation y = x− 1 est asymptote, courbe au dessus.En 0+,

x(u)→ −∞ et y(u)→ 1−

La droite d’équation y = 1 est asymptote, courbe en dessous.

plot([(u^2-1)/u,(u^2+1)/(u+1),u=0..5],view=[-8..3,-6..6],numpoints=200);

Courbe donnée par x(u) = u2−1u et y(u) = u2+1

u+1

Exercice 15 : [énoncé]a) On vérifie aisément que l’on a bien défini une forme bilinéaire symétrique sur E.Pour f ∈ E, on a évidemment 〈f | f〉 > 0 par intégration bien ordonnée d’unefonction positive.Si 〈f | f〉 = 0 alors, puisque la fonction f2 est continue et positive sur [−π, π], onpeut affirmer que f2, et donc f , est nulle sur [−π, π]. Enfin, puisque f est2π-périodique, on peut conclure que f est la fonction nulle.b) On a

〈f4, f5〉 = 1π

∫ π

−π

12 sin(4x) dx = 0

Par périodicité et translation∫ π

−πcos2(2x) dx =

∫ π

−πsin2(2x) dx

et en sommant ∫ π

−πcos2(2x) dx+

∫ π

−πsin2(2x) dx =

∫ π

−πdx = 2π

On en déduit‖f4‖2 = ‖f5‖2 = 1

c) F = Vect(f1, f2, f3) donc F⊥ = Vect(f4, f5) car on a admit la famille(f1, . . . , f5) orthonormée.

Exercice 16 : [énoncé]a) La fonction r : θ 7→ 2

√cos(2θ) est définie sur la réunion des intervalles

Ik = [−π/4, π/4] + kπ, k ∈ Z.Puisque r(θ + π) = r(θ), il y a une symétrie de centre O.Puisque r(−θ) = r(θ), il y a une symétrie d’axe (Ox) (et donc aussi d’axe (Oy) ).Au final, on peut réduire l’étude à l’intervalle [0, π/4].b) La fonction r décroît de 2 à 0 sur [0, π/4].Puisque r′(0) = 0, la tangente est orthoradiale en 0.c) Puisque r s’annule en θ = π/4, la tangente est la droite d’équation polaireθ = π/4 en le pôle O.

plot(2*sqrt(cos(2*t)),t=-Pi..Pi,coords=polar,numpoints=1001,scaling=constrained);



La courbe d’équation polaire r = 2√

cos(2θ)

Exercice 17 : [énoncé]1.a) La matrice A est symétrique réelle donc diagonalisable par une matrice depassage orthogonale.1.b) On obtient det(A− λI3) = −λ2(λ− 3).

E3(A) = Vect(1,−1, 1) et E0(A) : x− y + z = 0

donc A est diagonalisable car

dimE3(A) + dimE0(A) = 3

1.c) rgA = 1 donc dimE0(A) = 2 et 0 est valeur propre au moins double de lamatrice APuisque trA = 3 et que trA est la somme des valeurs propres complexes de Acomptées avec multiplicité, la matrice A admet une troisième valeur propre quivaut 3 et qui est nécessairement simple. Comme ci-dessus on peut conclure parl’argument

dimE3(A) + dimE0(A) = 3

1.d) On obtient A2 = 3A donc A est diagonalisable car cette matrice annule lepolynômes scindé simple X2 − 3X.2.a) L’endomorphisme u est autoadjoint.2.b) Il suffit de former une base orthonormée à partir de la connaissance de E3(A)et E0(A).Les vecteurs

~u = 1√3

(~i−~j + ~k), ~v = 1√2

(~i+~j) et ~w = 1√6

(~i−~j − 2~k

)conviennent (en ayant notés ~i,~j,~k les vecteurs de la base orthonormée de départ).

Exercice 18 : [énoncé]a) La convergence uniforme donne

‖fn − f‖∞ = supx∈[a,b]

|fn(x)− f(x)| → 0

et donc ∣∣∣∣∣∫ b

a

fn(x) dx−∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣∣ 6 (b− a) ‖fn − f‖∞ → 0

b) S’il a convergence uniforme d’une série de fonctions continues sur [a, b], alorson peut intégrer terme à terme∫ b

a

+∞∑n=0

fn(x) dx =+∞∑n=0

∫ b

a

fn(x) dx

avec continuité de la fonction somme et convergence de la série des intégrales.Puisque la série entière

∑xn est de rayon de convergence R = 1, cette série de

fonctions converge normalement et donc uniformément sur [0, 1/2] ⊂ ]−1, 1[. Onen déduit la relation ∫ 1/2

0

+∞∑n=0

xn dx =+∞∑n=0

1n+ 1

12n+1

Exercice 19 : [énoncé]a) On observe que E = Vect(I2, J) avec I2 = M(1, 0) et J = M(0, 1). Les matricesI2 et J étant indépendantes, E est un sous-espace vectoriel de dimension 2.De plus E est aussi un sous-anneau en vérifiant l’appartenance de I2 la stabilitépar différence et produit (car J2 = −I2)b) ϕ est évidemment linéaire et bijective, c’est un isomorphisme d’espacesvectoriels.C’est aussi un isomorphisme d’anneaux car ϕ(1) = I2 et ϕ(zz′) = ϕ(z)ϕ(z′) (aprèscalculs).

Exercice 20 : [énoncé]a) Supposons un ∼ vn et supposons la série

∑vn convergente

A partir d’un certain rang N0, un 6 2vn et alors

N∑k=1

uk 6N0−1∑k=1

uk + 2N∑

k=N0

vk 6 2+∞∑k=1

vk + Cte

car les termes de la série∑vn sont positifs.

Puisque∑un est une série à termes positifs aux sommes partielles majorées, elle

converge.De même on montre que si un ∼ vn et que

∑un converge alors

∑vn converge.

b) On a ∣∣∣∣∣ (1− i) sin( 1n

)√n− 1

∣∣∣∣∣ ∼√

2n3/2



or∑ 1

n3/2 converge car 3/2 > 1.Par comparaison de séries à termes positifs,

∑(1− i) sin

( 1n2

)(√n− 1) est

absolument convergente et donc convergente.

Exercice 21 : [énoncé]a) On a

x2 + 2x+ 4y2 − 8y + 1 = 0⇔ (x+ 1)2

22 + (y − 1)2

12 = 1

La courbe est une ellipse de centre Ω(−1, 1) déterminée par a = 2, b = 1.b) Un joli dessin. . .c) Un paramétrage de l’ellipse est

x = −1 + 2 cos ty = 1 + sin t

avec t ∈ [−π, π]

La courbe intercepte l’axe des y pour les paramètres t = ±π/3 et la pente de latangente en ce point est

m = y′(t)x′(t) = ± 1

2√

3On peut aussi déterminer l’équation de la tangente puis sa pente pardédoublement mais cette méthode est sensiblement moins efficace.

Exercice 22 : [énoncé]Par intégration de développements limités (ce qui est plus efficace que desdérivations successives. . . )

x(t) = 12 (t− 1)2 − 1

6 (t− 1)3 + o((t− 1)3)

y(t) = 12 (t− 1)2 − 1

3 (t− 1)3 + o((t− 1)3)

On en déduit p = 2 et q = 3Le point de paramètre t = 1 est donc un point de rebroussement de premièreespèce de tangente dirigée par le vecteur ~i+~j.

Exercice 23 : [énoncé]a) La matrice A est symétrique réelle donc diagonalisable.b) Après calculs

χA = −(X − 3)(X + 3)2

Le sous-espace propre associé à la valeur propre −3 est le plan d’équation

x− 2y + z = 0

Les sous-espaces propres d’une matrice symétrique réelle étant deux à deuxorthogonaux, on peut affirmer que le sous-espace propre associé à la valeur propre−3 est la droite Vect(1,−2, 1).On en déduit une base orthonormée de diagonalisation puis une matrice Pconvenable

P =

1/√

6 1/√

2 1/√

3−2/√

6 0 1/√

31/√

6 −1/√

2 1/√

3

pour D =

3 0 00 −3 00 0 −3

Exercice 24 : [énoncé]Cas α ∈ R−.Pour n > 3, lnn > 1 puis un > 1/n.Par comparaison de séries à termes positifs, on peut affirmer la divergence de lasérie de terme général un.Cas α > 0.La fonction f : x 7→ 1

x(ln x)α est décroissante et positive donc la nature de la sériede terme général f(n) est celle de l’intégrale

∫[2,+∞[ f(x) dx.

Puisque ∫ X

2f(x) dx =

t=ln x

∫ ln(X)

ln 2

dttα

on peut affirmer que la série de terme général un converge si, et seulement si,α > 1.

Exercice 25 : [énoncé]a) Soit

∑un une série absolument convergente de l’espace normé et (Sn) la suite

de ses sommes partielles.La série numérique

∑‖un‖ converge, notons (Tn) la suite de ses sommes

partielles.On a

Sn =n∑k=0

uk et Tn =n∑k=0‖uk‖

donc‖Sn+p − Sn‖ 6 |Tn+p − Tn|



Puisque la suite (Tn) converge, elle vérifie le critère de Cauchy et donc

∀ε > 0,∃N ∈ N,∀n > N, ∀p ∈ N, |Tn+p − Tn| 6 ε

et alors∀ε > 0,∃N ∈ N,∀n > N, ∀p ∈ N, ‖Sn+p − Sn‖ 6 ε

La suite (Sn) est donc de Cauchy et l’espace normé étant supposé complet, celle-ciconverge.b) N’importe quel R-espace vectoriel ou C-espace vectoriel de dimension finie estcomplet.

Exercice 26 : [énoncé]a) L’application f est évidemment linéaire et c’est donc un endomorphisme deRn [X]Méthode sans les matrices.Pour P polynôme non nul, on a degP ′ < degP donc deg f(P ) = degP . On endéduit ker f = 0.Puisque f est un endomorphisme injectif en dimension finie, c’est unautomorphisme et donc une application bijective.Méthode avec les matrices.La matrice de f dans la base canonique de Rn [X] est

1 −1 (0)

1. . .. . . −n

(0) 1

∈Mn+1(R)

Cette matrice est inversible car de déterminant 1 et on peut donc conclure ànouveau que f est un automorphisme.b) Si f(P ) = Q alors

P − P ′ = Q,P ′ − P ′′ = Q′,. . . , P (n) − P (n+1) = Q(n)

Or P (n+1) = 0 doncP = Q+Q′ + · · ·+Q(n)

Exercice 27 : [énoncé]a) On a toujours ker f ⊂ ker(g f).

Inversement, pour x ∈ ker(g f), on a g f(x) = 0 donc

f g f(x) = f(0) = 0

Or f g = Id donc f(x) = 0.Ainsi ker(g f) ⊂ ker f puis ker(g f) = ker f .b) On a toujours Im(g f) ⊂ Img.Inversement, pour y ∈ Img, il existe x ∈ E tel que y = g(x) et alors

y = g f g(x) = (g f)(g(x)) ∈ Im(g f)

Ainsi Img ⊂ Im(g f) puis Im(g f) = Imgc) Soit x ∈ ker f ∩ Img. Il existe a ∈ E tel que x = g(a) et alors f(x) = 0 donnef(g(a)) = 0 d’où a = 0 car f g = Id. On en déduit x = g(a) = 0 et doncker f ∩ Img = 0.Soit x ∈ E. On peut écrire x = (x− g(f(x))) + g(f(x)) avec g(f(x)) ∈ Img etx− g(f(x)) ∈ ker f car

f (x− g(f(x))) = f(x)− (f g)(f(x)) = f(x)− f(x) = 0

Ainsi E = ker f + Img et finalement

E = ker f ⊕ Img

On aurait aussi pu remarque que g f est un projecteur et conclure plusimmédiatement.

Exercice 28 : [énoncé]a) Une récurrence, une séparation d’une somme en deux, un décalage d’indice etune exploitation de la formule du triangle de Pascal. . .b) La fonction f est de classe C∞ par produit de fonctions qui le sont. Puisque

(e2x)(k) = 2ke2x et

(1

1 + x

)(k)= (−1)kk!

(1 + x)k+1

on obtient (e2x

1 + x

)(n)

= n!n∑k=0

(−1)k2n−k

(n− k)!e2x

(1 + x)k+1



Exercice 29 : [énoncé]Par Sarrus

χA = −X(X2 + ca− ba− bc)Si ba+ bc > ca alors A est diagonalisable dansMn(R) car possède trois valeurspropres distinctes.Elle est a fortiori diagonalisable dansMn(C).Si ba+ bc = ca alors 0 est la seule valeur propre et donc A est diagonalisable si, etseulement si, a = b = c = 0.Si ba+ bc < ca alors 0 est la seule valeur propre réelle et donc A n’est pasdiagonalisable dansMn(R).En revanche A est diagonalisable dansMn(C) (trois valeurs propres distinctes).

Exercice 30 : [énoncé]a) Posons

M =(a bc d

)∈M2(R)

On af(M) =

(a+ 2c b+ 2d2a+ 4c 2b+ 4d

)On en déduit

ker f = Vect(

2 0−1 0

),

(0 20 −1

)b) L’endomorphisme ne peut être surjectif car en dimension finie, unendomorphisme surjectif est bijectif et dans ce cas son noyau est réduit àl’élément nul.c) On forme une base du noyau à l’aide des matrices(

2 0−1 0

)et(

0 20 −1

)Par la formule du rang, rgf = 2. On forme alors une base de l’image par lesmatrices

f(E1,1) =(

1 02 0

)et f(E2,2) =

(0 20 4

)

Exercice 31 : [énoncé]a) Soit q ∈ ]`, 1[. A partir de la définition quantifiée de la limite avecε = q − ` > 0, il existe un rang N ∈ N à partir duquel

un+1

un6 q

et alors par récurrence∀n > N, un 6 uNq

n−N

Puisque la série de terme général qn est convergente, par comparaison de séries àtermes positifs, la série de terme général un est convergente.b) Si on pose

un = n!(3n+ 1)!

alorsun+1

un= n+ 1

(3n+ 4)(3n+ 3)(3n+ 2) → 0

et donc la série de terme général un converge.

Exercice 32 : [énoncé]a) rgA = 3 si a 6= 0 et rgA = 2 si a = 0.La matrice A est inversible si, et seulement si, a 6= 0.b) Si a /∈ 1, 2, la matrice A est diagonalisable de valeurs propres 1, 2, a.Si a = 1 alors dim ker(A− I3) = 3− rg(A− I3) = 1 or 1 est valeur propre demultiplicité 2 donc A n’est pas diagonalisable.Si a = 2 alors dim ker(A− 2I3) = 3− rg(A− 2I3) = 2 et puisquedim ker(A− I3) > 1, la matrice A est diagonalisable car la somme des dimensionsdes sous-espaces propres vaut au moins 3.

Exercice 33 : [énoncé]Posons r : θ 7→ 2(cos θ − cos 2θ).La fonction r est définie et de classe C∞ sur R, 2π-périodique et paire. On limitel’étude à [0, π] et on complète la courbe par une symétrie d’axe (Ox).

r′(θ) = −2(sin θ − 2 sin 2θ) = −2 sin θ(1− 4 cos θ)

On en déduit les variations suivantes

θ 0 α πr(θ) 0 9/4 −4

avec α = arccos(1/4).En θ = α et θ = π, la tangente est orthoradiale car il y a annulation de r′ sansannulation de r.En θ = 0, il y a passage par l’origine, la tangente est d’équation θ = 0.En θ = 2π/3, il y a passage par l’origine, la tangente est d’équation θ = 2π/3.



plot(2*(cos(t)-cos(2*t)),t=0..2*Pi,coords=polar);

La courbe d’équation polaire r = 2(cos θ − cos 2θ)

Exercice 34 : [énoncé]a) La fonction f est de classe C1 par morceaux et régularisée donc par le théorèmede Dirichlet, sa série de Fourier converge simplement vers f .b) La fonction f est impaire donc an = 0 et

bn = 2π

∫ π

0t sin(nt) dt = (−1)n+1 2

n

La série de Fourier de f est ∑n>1

(−1)n+1 2n

sin(nt)

Exercice 35 : [énoncé]a) La fonction f est de classe C1 par morceaux donc par le théorème de Dirichlet,sa série de Fourier converge simplement vers sa régularisée f?.b) La fonction f est ne présente pas de parité.

a0 = 1π

∫ 2π

0t2 dt = 8

3π2

Pour n ∈ N?, par intégration par parties

an = 1π

∫ 2π

0t2 cos(nt) dt = 4

n2

etbn = 1

π

∫ 2π

0t2 sin(nt) dt = −4π

n

La série de Fourier de f a pour somme

43π

2 ++∞∑n=1

(4 cos(nt)

n2 − 4π sin(nt)n

)En t = 0, on obtient

12(f(0+) + f(0−)

)= 4

3π2 +

+∞∑n=1

4n2

ce qui donne+∞∑n=1

1n2 = π2

6



Exercice 36 : [énoncé]a) Par opérations, f est continue sur l’ouvert R2\ (0, 0).Quand (x, y)→ (0, 0), on peut écrire x = r cos θ et y = r sin θ avecr =

√x2 + y2 → 0 et alors

f(x, y) = r sin θ cos θ → 0 = f(0, 0)

Ainsi f est continue sur R2.b) Par opérations, f admet des dérivées partielles en tout point de l’ouvertR2\ (0, 0).En (0, 0),

limt→0

1t

(f(t, 0)− f(0, 0)) = 0

donc f admet une première dérivée partielle en (0, 0) et

∂f

∂x(0, 0) = 0

De même∂f

∂y(0, 0) = 0

Exercice 37 : [énoncé]En indexant les matrices à partir de 0 et non de 1, le coefficient d’indice

(i, j) ∈ 0, . . . n2 de la matrice cherchée est 0 si i > j et (−1)j−i+1

(j

i

)sinon.

On en déduitrgΦ = n

On en déduit aussiImΦ = Rn−1 [X]

en raisonnant, par exemple, par inclusion et égalité des dimensions.Par la formule du rang dim ker Φ = 1 et puisque les polynômes constants sontéléments du noyau de φ, on peut conclure que

ker Φ = R0 [X]


∑fn une série de fonctions normalement convergente sur X.

Les fonctions fn sont donc bornées et la série numérique∑‖fn‖∞ converge

Pour x ∈ X, on a|fn(x)| 6 ‖fn‖∞

donc par comparaison de série à termes positifs, la série∑fn(x) est absolument

convergente et donc convergente. Ainsi la série de fonctions∑fn converge

simplement sur X.De plus, pour tout x ∈ X,∣∣∣∣∣

+∞∑k=n+1

fk(x)

∣∣∣∣∣ 6+∞∑

k=n+1|fk(x)| 6

+∞∑k=n+1

‖fk‖∞

donc

supx∈X

∣∣∣∣∣+∞∑

k=n+1fk(x)

∣∣∣∣∣ 6+∞∑

k=n+1‖fk‖∞ → 0

et l’on peut affirmer que la série de fonctions∑fn converge uniformément sur X.

b) La série entière∑

n3

n! zn a un rayon de convergence égal à +∞, cette série

entière converge donc normalement sur tout compact de C. En particulier, cettesérie entière converge uniformément sur tout disque de centre O et de rayon R.

Exercice 39 : [énoncé]a) La fraction rationnelle R peut être réduite

R = X4 +X3

(X − 2)2(X + 1)

La partie entière vaut X + 3, −1 est pôle simple et 2 est pôle double.On obtient

R = X + 3 + 1/9X + 1 + 16/3

(X − 2)2 + 80/9X − 2

b) Les primitives de x 7→ R(x) sur ]−1, 2[ sont

x 7→ 12x

2 + 3x+ 19 ln(x+ 1)− 16

31

x− 2 + 809 ln(2− x) + Cte

Exercice 40 : [énoncé]a) Directement

I =∫

Γ(y dx+ xy dy) =

∫ 1

0t2 + 2t4 dt−

∫ 1

0t+ t2 dt = − 1

10



b) La forme différentielle ω étant de classe C1 sur l’ouvert R2∫Γ

(y dx+ xy dy) =∫∫D

(y − 1) dx dy

ce qui donne

I =∫ 1

0

(∫ x

x2y − 1 dy

)dx =

∫ 1

0

12x

2 − 12x

4 − x+ x2dx = − 110

Exercice 41 : [énoncé]a) Pour x 6= 0, posons

un = anxn et vn = nanx

n−1

En notant ` la limite de la suite de terme général |an+1|/|an|, on obtient∣∣∣∣un+1

un

∣∣∣∣→ ` |x| et∣∣∣∣vn+1

vn

∣∣∣∣→ ` |x|

On en déduit que le rayon de convergence des deux séries entières∑anx

n et∑nanx

n−1 vaut R = 1/` (avec R = +∞ dans le cas ` = 0)b) Puisqu’une série entière de rayon de convergence R > 0 converge uniformémentsur tout segment inclus dans ]−R,R[, on peut affirmer que la fonction

x 7→+∞∑n=0

anxn est de classe C1 sur ]−R,R[ car c’est la somme d’une série de

fonctions de classe C1 convergeant simplement sur ]−R,R[ et dont la série desdérivées converge uniformément sur tout segment inclus dans ]−R,R[.

Exercice 42 : [énoncé]a) La fonction x 7→ e−x2 est définie, continue par morceaux sur [0,+∞[ etnégligeable devant 1/x2 quand x→ +∞, cette fonction est donc intégrable sur[0,+∞[.b) On a∫∫

Cr

e−(x2+y2) dxdy =∫ r

0

(∫ r

0e−x

2e−y

2dy)

dx =(∫ r

0e−x

2dx)2

c) En passant en coordonnées polaires∫∫Dr

e−(x2+y2) dx dy =∫ π/2

0

∫ r

0ρe−ρ

2dρdθ = π

4

(1− e−r

2)

d) Puisque Dr ⊂ Cr ⊂ D√2r et que la fonction (x, y) 7→ e−(x2+y2) est positive, onpeut affirmer

π

4

(1− e−r

2)6

(∫ r

0e−x

2dx)2

6π

4

(1− e−2r2

)En passant à la limite cet encadrement, on obtient(∫ +∞

0e−t

2dt)2

= π

4

puis ∫ +∞

0e−t

2dt =

√π

2

car∫ +∞

0 e−t2 dt > 0.

Exercice 43 : [énoncé]a) Si |z| < Ra alors

∑anz

n est absolument convergente or |anzn| ∼ |bnzn| donc∑bnz

n est absolument convergente puis |z| 6 Rb.Ainsi Ra 6 Rb puis de même Rb 6 Ra et enfin Ra = Rb.b) Puisque

∣∣∣ inn2

(n2+1)

∣∣∣ ∼ 1 on obtient R = 1.

Exercice 44 : [énoncé]Les fonctions x 7→ (u− 1)/u2 et y 7→ u2/(u+ 1) sont définies et de classe C∞ surrespectivement R? et R\ −1.Il n’y a pas de réductions remarquables du domaine d’étude.

x′(u) = 2− uu3 et y′(u) = u(u+ 2)

(u+ 1)2

On obtient le tableau des variations simultanées suivant :

u −∞ −2 −1− −1+ 0− 0+ 2 +∞x′(u) − − + 0 −x(u) 0 −3/4 −2 −2 −∞ −∞ 1/4 0y(u) −∞ −4 −∞ +∞ 0 0 4/3 +∞y′(u) + 0 − − +

En −1+/−, la droite d’équation x = −2 est asymptote.En 0+/−, la droite d’équation y = 0 est asymptote.En ±∞, la droite d’équation x = 0 est asymptote.



plot([(u-1)/u^2,u^2/(u+1),u=-5..5],view=[-5..2,-5..5],numpoints=500);

La courbe donnée par x = (u− 1)/u2, y = u2/(u+ 1)

Exercice 45 : [énoncé]a) Par définition λ est valeur propre de u s’il existe x 6= 0E tel que u(x) = λx.Cela revient à dire ker(u− λI) 6= 0E et, en dimension finie, cela équivaut àsignifier que u− λI n’est pas bijectif. On en déduit l’équivalence écrite.Puisque la fonction λ 7→ det(u− λI) est polynomiale de degré n, celle-ci admet auplus n racines.b) L’endomorphisme p : (x, y) 7→ (x, 0) convient car

p(1, 0) = 1.(1, 0) et p(0, 1) = 0.(0, 1)

Exercice 46 : [énoncé]a) (i) ⇒ (ii) Supposons f continue en a.Soit (xn) une suite d’éléments de E convergeant vers a.Soit ε > 0. Par continuité de f en a, il existe α > 0 tel que

∀x ∈ E, ‖x− a‖ 6 α⇒ ‖f(x)− f(a)‖ 6 ε

Par convergence de (xn) vers a, il existe N ∈ N tel que

∀n ∈ N, n > N ⇒ ‖xn − a‖ 6 α

et donc∀n ∈ N, n > N ⇒ ‖f(xn)− f(a)‖ 6 ε

On peut donc conclure que (f(xn)) converge vers f(a).(ii) ⇒ (i) Par contraposée, supposons f discontinue en a.Il existe ε > 0 tel que :

∀α > 0,∃x ∈ E, ‖x− a‖ 6 α et ‖f(x)− f(a)‖ > ε

En prenant α = 1/n pour n ∈ N?, ce qui précède permet de déterminer les termesd’une suite (xn) d’éléments de E vérifiant

‖xn − a‖ 6 1/n et ‖f(xn)− f(a)‖ > ε

Cette suite (xn) vérifie alors

xn → a et f(xn) 6 →f(a)

b) Soit a ∈ E. Puisque la partie A est dense dans E, il existe une suite (xn)d’éléments de A vérifiantxn → a. On a alors

∀n ∈ N, f(xn) = g(xn)et en passant à la limite, sachant f et g continues, on obtient

f(a) = g(a)



Exercice 47 : [énoncé]a) Si x ∈ A alors, par définition, ceci signifie

∀α > 0, B(x, α) ∩A 6= ∅

Pour α = 1/(n+ 1) (avec n ∈ N), ce qui précède permet de construire les termesd’une suite (xn) d’éléments de E vérifiant

∀n ∈ N, xn ∈ B(x, 1n+ 1) ∩A

On a alors xn → a avec (xn) ∈ AN.Inversement, si x est la limite d’une suite (xn) d’éléments de A alors pour toutα > 0, les termes de la suite (xn) sont à partir d’un certain rang dans B(x, α) etdonc B(x, α) ∩A 6= ∅.b) Evidemment A ⊂ E et 0E ∈ A car 0E ∈ A et A ⊂ A.Soient x, y ∈ A et λ, µ ∈ K.Il existe deux suites (xn) et (yn) d’éléments de A convergeant respectivement versx et y.On a alors

λxn + µyn → λx+ µy

avec λxn + µyn ∈ A avec xn, yn ∈ A et A sous-espace vectoriel de E.On en déduit que λx+ µy ∈ A.

Exercice 48 : [énoncé]a) Soit (yn) une suite d’éléments de f(A).Il existe une suite (xn) d’éléments de A vérifiant

∀n ∈ N, yn = f(xn)

Puisque la partie A est compacte, il existe ϕ : N→ N extractrice telle que

xϕ(n) → x∞ ∈ A

et alors, par continuité de f en x∞ ∈ A, on a

yϕ(n) = f(xϕ(n))→ f(x∞) ∈ f(A)

On en déduit que la partie f(A) est compacte.b) g(A) est une partie compacte de C, c’est donc une partie bornée et on peutintroduire

M = supx∈A|g(x)|

Pour n ∈ N?, le réel M − 1/(n+ 1) ne majore pas la fonction |g| sur A et donc ilexiste xn ∈ A vérifiant

M − 1n+ 1 6 |g(xn)| 6M

La suite (xn) évoluant dans le compact A, il existe ϕ : N→ N extractrice telle que

xϕ(n) → x∞ ∈ A

et en passant à la limite l’encadrement

M − 1ϕ(n) + 1 6

∣∣g(xϕ(n))∣∣ 6M

on obtient |g(x∞)| = M

Exercice 49 : [énoncé]a) Si la partie A est complète alors toute suite de Cauchy d’éléments de Aconverge dans A. En particulier, A contient toutes les limites de ses suitesconvergentes car une suite convergente est de Cauchy. On peut donc conclure quela partie A est fermée.Inversement, supposons la partie A fermée. Soit (xn) une suite de Cauchyd’éléments de A. C’est aussi une suite de Cauchy d’éléments de E, or l’espacenormé E est supposé complet, donc la suite (xn) converge dans E. Mais la partieA étant fermée, elle possède toutes les limites de ses suites convergentes et onpeut donc affirmer que la suite (xn) converge dans A. Finalement la partie A estcomplète.b) ]0, 1] n’est pas complet car non fermée :

1n∈ ]0, 1]→ 0 /∈ ]0, 1]

[−2, 2] ∪ [3,+∞[ est complet car fermé par réunion de deux intervalles fermés.]0, 1[ ∪ ]−∞, 2] = ]−∞, 2] est complet car c’est un intervalle fermé.

Exercice 50 : [énoncé]a) (i) ⇒ (ii) clair(ii) ⇒ (iii) Supposons f continue en 0E . Pour ε = 1 > 0, il existe α > 0 tel que

∀x ∈ E, ‖x− 0E‖ 6 α⇒ ‖f(x)− f(0E)‖ 6 1

Posons alors k = 1/α > 0.Soit x ∈ E



Si x = 0E on a évidemment ‖f(x)‖ 6 k ‖x‖.Si x 6= 0E , posons y = α

‖x‖x. Puisque ‖y‖ = α, on a ‖f(y)‖ 6 1 et par linéarité def on obtient

‖f(x)‖ 6 k ‖x‖

(iii) ⇒ (i) Supposons (iii).Pour tout x, y ∈ E,

‖f(y)− f(x)‖ = ‖f(y − x)‖ 6 k ‖y − x‖

La fonction f est alors lipschitzienne donc continue.b) L’application ϕ est une forme linéaire par linéarité de l’intégrale et continue car

|ϕ(f)| =∣∣∣∣∫ 1

0f(t) dt

∣∣∣∣ 6 ∫ 1

0|f(t)| dt 6

∫ 1

0‖f‖ = ‖f‖

Exercice 51 : [énoncé]a) Les applications p∞ et p1 sont bien définies de E dans R+ et on vérifieaisément les axiomes définissant ce qu’est une norme.b) k = 1 convient assez immédiatement.c) L’application identité de E, muni de la norme p∞, vers E, muni de la normep1, est continue car linéaire et vérifiant

∀f ∈ E, p1(f) 6 kp∞(f)

L’image réciproque d’un ouvert est alors un ouvert et donc un ouvert pour lanorme p1 est un ouvert pour la norme p∞.d) Pour fn(x) = xn, on a p1(fn) = 1

n+1 → 0 et p∞(fn) = 1 donc la suite (fn)converge vers la fonction nulle pour la norme p1 mais pas pour la norme p∞ : cesnormes ne sont donc pas équivalentes.

Exercice 52 : [énoncé]a) Les applications p1 et p2 sont bien définies de R [X] dans R+ (encore que ladéfinition en P = 0 n’est pas claire. . . ) et on vérifie aisément les axiomesdéfinissant ce qu’est une norme.b) L’application identité de R [X], muni de la norme p1, vers E, muni de la normep2, est continue car linéaire et vérifiant

∀P ∈ R [X] , p2(P ) 6 p1(P )

L’image réciproque d’un ouvert est alors un ouvert et donc un ouvert pour lanorme p2 est un ouvert pour la norme p1.

c) Pour Pn = 1 +X +X2 + · · ·+Xn on a p1(Pn) = n+ 1→ +∞ et p2(Pn) = 1.La suite (Pn) est bornée pour la norme p2 mais pas pour la norme P1 : ces normesne sont donc pas équivalentes.d) En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, en particulier p′1 et p′2.

Exercice 53 : [énoncé]a) On a évidement `2 ⊂ CN, 0 = (0)n∈N ∈ `2 et

∀λ ∈ C,∀x ∈ `2, λ.x ∈ `2

Soient x, y ∈ `2. On a

|xn + yn|2 6 |xn|2 + 2 |xn| |yn|+ |yn|2 6 2(|xn|2 + |yn|2

)en vertu de l’inégalité 2ab 6 a2 + b2.Par comparaison de série à termes positifs, on en déduit x+ y ∈ `2.b) On a

|xnyn| 612

(|xn|2 + |yn|2

)Par comparaison de série à termes positifs, on peut affirmer que la série

∑xnyn

est absolument convergente et donc convergente.c) L’application (x, y) 7→ x | y est bien définie de `2 × `2 vers C.On vérifie aisément que cette application est une forme sesquilinéaire hermitiennedéfinie positive. . .d) L’application ϕ est évidemment linéaire et elle est continue car

|ϕ(x)| 6 |xn| 6(+∞∑k=0|xk|2

)1/2

= ‖x‖

En substance, on en déduit ‖ϕ‖ 6 1.De plus pour la suite x = (δk,n)k∈N ∈ `2 on a ϕ(x) = 1 et ‖x‖ = 1 donc ‖ϕ‖ = 1.

Exercice 54 : [énoncé]a) Une norme d’algèbre est par définition sous-multiplicative et donc

∀n ∈ N, ‖un‖ 6 ‖u‖n

Puisque ‖u‖ < 1, la série numérique∑‖u‖n est convergente et par comparaison

de série à termes positifs, on peut affirmer que la série vectorielle∑un est



absolument convergente. Puisque l’algèbre A est de dimension finie, elle estcomplète et la série précédente converge.Pour tout N ∈ N, on a

(e− u)N∑n=0

un = e− uN+1

avec ∥∥uN+1∥∥ 6 ‖u‖N+1 → 0

donc en passant à la limite

(e− u)+∞∑n=0

un = e

De même (+∞∑n=0

un

)(e− u) = e

et donc e− u est inversible avec

(e− u)−1 =+∞∑n=0

un

b) On a ∥∥∥∥unn!

∥∥∥∥ 6‖u‖n

n!

avec convergence de la série exponentielle∑‖u‖n/n! donc, par comparaison de

série à termes positifs, la série vectorielle∑un/n! est absolument convergente et

donc convergente.

Exercice 55 : [énoncé]On a

f(x) = ln(1 + x)− ln(1− x)

Or pour x ∈ ]−1, 1[,

ln(1 + x) =+∞∑n=1

(−1)n−1

nxn et − ln(1− x) =

+∞∑n=1

1nxn

donc

f(x) =+∞∑p=0

22p+ 1x

2p+1

Le rayon de convergence de cette série entière est au moins égale à 1 en vertu descalculs qui précèdent puis exactement égal à 1 car la fonction f tend vers l’infinien 1−.

Exercice 56 : [énoncé]a) La fonction f est définie sur le disque D =

(x, y) ∈ R2/x2 + y2 6 4

.

La fonction f est nulle sur le cercle constituant le bord de D et la fonction f estpositive, le cercle bord de D est donc constitué de minimums absolus de f .Sur l’intérieur de D, la fonction f est de classe C1 et par calcul des dérivéespartielles d’ordre 1, on observe que seul (0, 0) est point critique de f . Puisquef(0, 0) = 2 et que pour tout (x, y) ∈ D, f(x, y) 6 2, on peut conclure que (0, 0) estmaximum absolu.b) Géométriquement, la surface définie par l’équation z =

√4− x2 − y2 est le

scalp au dessus de l’équateur de la sphère d’équation

x2 + y2 + z2 = 4

Les conclusions précédentes sont dès lors immédiates.

Exercice 57 : [énoncé]C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants desolution générale homogène

y(x) = λ cosx+ µ sin x

On obtient une solution particulière y(x) = λ(x) cosx+ µ(x) sin x avec λ, µfonctions dérivables vérifiant

λ′(x) cosx+ µ′(x) sin x = 0−λ′(x) sin x+ µ′(x) cosx = cosx

i.e. λ′(x) = − sin x cosxµ′(x) = cos2 x

Les expressions λ(x) = − 12 sin2 x et µ(x) = 1

4 sin 2x+ 12x conviennent et

y(x) = 12x sin x est solution particulière.

Finalement, la solution générale de l’équation est

y(x) = 12x sin x+ λ cosx+ µ sin x avec λ, µ ∈ R



Exercice 58 : [énoncé]a) Soit ε > 0. Puisque αn → 0, il existe N ∈ N tel que

∀n ∈ N, n > N ⇒ αn 6 ε

et alors∀n ∈ N, n > N ⇒ ∀x ∈ X, |fn(x)− f(x)| 6 ε

ce qui signifie la convergence uniforme de (fn) vers f sur X.b) Notons fn : z 7→ zn.La suite fonctions (fn) converge simplement vers la fonction nulle sur D(0, 1/2) etaussi sur D(0, 1).Puisque

supz∈D(0,1/2)

|fn| = 1/2n → 0

la suite de fonctions (fn) converge uniformément sur D(0, 1/2).Puisque

supz∈D(0,1)

|fn| = 1 ne tend pas vers 0

la suite de fonctions (fn) ne converge par uniformément sur D(0, 1).

Exercice 59 : [énoncé]a) On a S2n+2 − S2n+1 = u2n+2 − u2n+1 6 0 et S2n+3 − S2n+1 > 0.De plus S2n − S2n+1 = u2n+1 → 0 donc les suites (S2n)n∈N et (S2n+1)n∈Nconvergent vers une même limite.On en déduit que la suite (Sn)n∈N converge aussi vers cette limite ce qui signifie laconvergence de la série

∑(−1)kuk.

b) Le reste Rn =+∞∑

k=n+1(−1)kuk vérifie

|Rn| 6 un+1

En effet la somme S de la série est par adjacence encadrée par (S2n) et (S2n+1) :

S2n+1 6 S 6 S2n

doncS2n+1 − S2n 6 R2n 6 0 et 0 6 R2n+1 6 S2n+2 − S2n+1

ce qui donne−u2n+1 6 R2n 6 0 et 0 6 R2n+1 6 u2n+2

Exercice 60 : [énoncé]I) a) On a toujours ker f ⊂ ker(g f).Inversement, pour x ∈ ker(g f), on a g f(x) = 0 donc f g f(x) = f(0) = 0.Or f g = Id donc f(x) = 0.Ainsi ker(g f) ⊂ ker f puis ker(g f) = ker f .b) On a toujours Im(g f) ⊂ Img.Inversement, pour y ∈ Img, il existe x ∈ E tel que y = g(x) et alorsy = g f g(x) = (g f)(g(x)) ∈ Im(g f).Ainsi Img ⊂ Im(g f) puis Im(g f) = Imgc) Soit x ∈ ker f ∩ Img. Il existe a ∈ E tel que x = g(a) et alors f(x) = 0 donnef(g(a)) = 0 d’où a = 0 car f g = Id. On en déduit x = g(a) = 0 et doncker f ∩ Img = 0.Soit x ∈ E. On peut écrire x = (x− g(f(x))) + g(f(x)) avec g(f(x)) ∈ Img etx− g(f(x)) ∈ ker f car

f (x− g(f(x))) = f(x)− (f g)(f(x)) = f(x)− f(x) = 0

Ainsi E = ker f + Img et finalement

E = ker f ⊕ Img

II) Notons que l’intégrale In est bien définie.a) En découpant par la relation de Chasles et en procédant au changement devariable x = 1/t sur la deuxième intégrale, on obtient.

In =∫ 1

0

1 + tn−2

1 + tndt

b) On peut écrire

In = 1 +∫ 1

0

tn−2 − tn

(1 + tn) dt

D’une part ∫ 1

0

tn

1 + tndt = 1

n

∫ 1

0tntn−1

1 + tndt

ce qui donne par intégration par parties∫ 1

0

tn

1 + tndt = 1

nln 2− 1

n

∫ 1

0ln(1 + tn) dt

avec

0 6∫ 1

0ln(1 + tn) dt 6

∫ 1

0tn dt = 1

n+ 1 → 0



D’une part ∫ 1

0

tn−2

1 + tndt = 1

n

∫]0,1]

1t

ntn−1

1 + tndt

avec par intégration par parties∫ 1

ε

1t

ntn−1

1 + tndt =

[ln(1 + tn)

t

]1

ε

+∫ 1

ε

ln(1 + tn)t

dt

Quand ε→ 0+, on obtient∫]0,1]

1t

ntn−1

1 + tndt = ln 2 +

∫]0,1]

ln(1 + tn)t

dt

où0 6

∫]0,1]

ln(1 + tn)t

dt 6∫ 1

0tn−1 dt = 1

n→ 0

On en déduitIn = 1 + o(1/n)

Exercice 61 : [énoncé]a) Parmi les multiples arguments possibles proposons

det(e1,...,en)

(e1 + ei, e2, . . . , en) = 1 6= 0

b) Soit u un endomorphisme de E dont la matrice est diagonale dans toute basede E.La matrice de u dans la base e1, e2, . . . , en est de la forme diag(λ1, . . . , λn).Puisque la matrice de u dans la base e1 + ei, e2, . . . , en est aussi diagonale, ilexiste µ ∈ K tel que

u(e1 + ei) = µ(e1 + ei)

Oru(e1 + ei) = u(e1) + u(ei) = λ1e1 + λiei

Par identification des coefficients d’une combinaison linéaire de vecteurs d’unefamille libre, on obtient

λ1 = µ = λi

On en déduit λ1 = λ2 = . . . = λn et en posant λ cette valeur commune, on conclutu = λ.IdE .La réciproque est immédiate.


P = (X − 1)(X − 2)(3X2 + 1) = (X − 1)(X − 2)(√

3X + i)(√

3X − i)

etQ = (X − 1)(X − 2)(X2 + 1) = (X − 1)(X − 2)(X − i)(X + i)

b) On en déduitpgcd(P,Q) = (X − 1)(X − 2)

etppcm(P,Q) = (X − 1)(X − 2)(X2 + 1/3)(X2 + 1)

(en choisissant un représentant unitaire).

Exercice 63 : [énoncé]a) Supposons E = Imf ⊕ ker f .Indépendamment de l’hypothèse on peut affirmer Imf2 ⊂ ImfSoit y ∈ Imf . On peut écrire y = f(x) avec x ∈ E.On peut aussi écrire x = f(a) + b avec b ∈ ker f car E = Imf ⊕ ker f .On a alors y = f2(a) ∈ Imf2. Ainsi Imf ⊂ Imf2 puis Imf = Imf2.b) On a Imf2 ⊂ Imf et ker f ⊂ ker f2 puis par la formule du rang

Imf = Imf2 ⇔ rgf = rgf2 ⇔ dim ker f = dim ker f2 ⇔ ker f = ker f2

c) Supposons Imf = Imf2. On a ker f = ker f2.Soit x ∈ Imf ∩ ker f . On peut écrire x = f(a) et f(x) = 0E donne f2(a) = 0Edonc a ∈ ker f2. Or ker f2 = ker f donc x = f(a) = 0E .Ainsi Imf ∩ ker f = 0E.De plus, par la formule du rang rgf + dim ker f = dimE, donc

E = Imf ⊕ ker f

Exercice 64 : [énoncé]a) On a [AB]i,j =

n∑k=1

ai,kbk,j donc∣∣∣[AB]i,j

∣∣∣ 6 n∑k=1‖A‖ ‖B‖ = n ‖A‖ ‖B‖ puis

‖AB‖ 6 n ‖A‖ ‖B‖.Une récurrence facile donne alors ‖Ap‖ 6 np−1 ‖A‖p.b) On a ∥∥∥∥App!

∥∥∥∥ 61n

(n ‖A‖)p

p!



Or la série exponentielle∑

zp

p! converge pour tout z ∈ C donc, par comparaison desérie à termes positifs, la série

∑Ap

p! est absolument convergente.Cette série est donc convergente car l’espaceMn(C) est de dimension finie donccomplet.

Exercice 65 : [énoncé]a) Soit x ∈ F⊥ ∩G⊥.Pour tout y = a+ b ∈ F +G avec a ∈ F et b ∈ G, on a

(x | y) = (x | a) + (x | b) = 0

donc x ∈ (F +G)⊥.Inversement, soit x ∈ (F +G)⊥.Pour tout y ∈ F , on a (x | y) = 0 car y ∈ F ⊂ F +G. Ainsi x ∈ F⊥ et de mêmex ∈ G⊥.Finalement, par double inclusion

(F +G)⊥ = F⊥ ∩G⊥

b) Puisque E est un espace euclidien, on peut affirmer H⊥⊥ = H pour toutsous-espace vectoriel H de E.On en déduit ce qui suit par la relation précédente appliquée aux espaces F⊥, G⊥

F⊥ +G⊥ = (F⊥ +G⊥)⊥⊥ = (F⊥⊥ ∩G⊥⊥)⊥ = (F ∩G)⊥

Exercice 66 : [énoncé]a) On vérifie aisément que (. | .) définit une forme bilinéaire symétrique sur E.Pour f ∈ E, (f | f) > 0 en tant qu’intégrale bien ordonnée d’une fonction positive.De plus, si (f | f) = 0 alors, puisque la fonction f2 est continue, positive etd’intégrale nulle sur [0, 2π], on peut affirmer

∀t ∈ [0, 2π] , f2(t) = 0

et, par périodicité, f est la fonction nulle.b) On a

∀x ∈ R, sin2 x = 12(1− cos(2x))

Puisque la fonction x 7→ 1 est orthogonale à f et à g, on peut assurer que leprojeté orthogonal de u sur F est

x 7→ −12 cos(2x)

Exercice 67 : [énoncé]a) Si (un) est de Cauchy alors

∀ε > 0,∃N ∈ N,∀m,n ∈ N, (m,n > N ⇒ |um − un| 6 ε)

b) Par l’inégalité des accroissements finis

|um − un| =∣∣∣∣f ( 1

m

)− f

(1n

)∣∣∣∣ 6 ∣∣∣∣ 1m− 1n

∣∣∣∣Puisque la suite (1/n)n∈N? converge, pour ε > 0, il existe N ∈ N tel que

∀m,n > N,

∣∣∣∣ 1m− 1n

∣∣∣∣ 6 ε

et alors∀m,n > N, |um − un| 6 ε

La suite (un)n∈N? est de Cauchy et donc converge car R est complet.Notons que plus simplement, f ′ est intégrable sur ]0, 1] et donc f converge en 0 envertu de la relation

f(x) = f(1)−∫ 1

x

f ′(t) dt

Exercice 68 : [énoncé]a) Soit h 6= 0 tel que x0 + h ∈ [a, b].En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction f entre x0 etx0 + h, on peut affirmer qu’il existe ch strictement compris entre x0 et x0 + h telque

f(x0 + h)− f(x0) = f ′(ch)h

Quand h→ 0 (avec h 6= 0), on a par encadrement ch → x0 et par composition delimites

1h

(f(x0 + h)− f(x0)) = f ′(ch)→ limx→x0

f ′(x)

On en déduit que f est dérivable en x0 et

f ′(x0) = limx→x0

f ′(x)

b) La fonction g construite est évidemment dérivable sur ]−∞, 0[ et ]0,+∞[ maisaussi en 0 car

1h

(g(h)− g(0)) = h sin (1/h) −−−−−−→h→0,h 6=0

0



Cependant la dérivée de g diverge en 0 car

g′(x) = 2x sin(1/x)− cos(1/x2)

avec 2x sin(1/x) −−−→x→0

0 et cos(1/x2) divergeant en 0.

Exercice 69 : [énoncé]a) Soit x ∈ [0, 1].Quand n→ +∞,

un(x) = −12x2

n2 + o

(1n2

)est sommable.On en déduit que la série des fonctions un converge simplement sur [0, 1].La fonction S est donc définie sur [0, 1].Les fonctions un sont toutes de classe C1 et

u′n(x) = 1x+ n

− 1n

= −xn(x+ n)

On a‖u′n‖∞ = sup

x∈[0,1]|u′n(x)| 6 1

n2

qui est sommable.On en déduit que la série des fonctions u′n converge normalement, et doncconverge uniformément, sur [0, 1].On peut alors affirmer que la fonction S est de classe C1 et donc dérivable sur[0, 1].b) En vertu de ce qui précède

S′(1) =+∞∑n=1

u′n(1) =+∞∑n=1

(1

n+ 1 −1n

)Or

N∑n=1

(1

n+ 1 −1n

)= 1N + 1 − 1 −−−−−→

N→+∞−1

donc S′(1) = −1.

Exercice 70 : [énoncé]a) Pour x = 0, fn(0) = 1→ 1 et pour x ∈ ]0, 1], fn(x)→ 0.Par conséquent la suite de fonctions (fn) converge simplement sur [0, 1] vers lafonction f définie par

f(x) =

0 si x ∈ ]0, 1]1 si x = 0

Les fonctions fn étant continues et la limite simple f ne l’étant pas, on peutassurer qu’il n’y a pas convergence uniforme sur [0, 1].b) Les fonctions fn sont continues par morceaux sur [0, 1] et convergentsimplement vers f .De plus

∀x ∈ [0, 1] , |fn(x)| 6 e−x 6 1 = ϕ(x)avec ϕ : [0, 1]→ R+ continue par morceaux et intégrable.Par convergence dominée, on peut donc affirmer

un =∫ 1

0fn(x) dx −−−−−→

n→+∞

∫ 1

0f(x) dx = 0

Exercice 71 : [énoncé]a) Soit u : (x, t) 7→ u(x, t) une fonction définie de X × I vers C avec X et Iintervalles non singuliers de R.On suppose que pour tout x ∈ X, l’intégrale f(x) =

∫Iu(x, t) dt converge.

Si u admet une dérivée partielle ∂u∂x vérifiant :

– ∀x ∈ X, t 7→ ∂u∂x (x, t) est continue par morceaux sur I ;

– ∀t ∈ I, x 7→ ∂u∂x (x, t) est continue sur X ;

– il existe ϕ : I → R+ continue par morceaux et intégrable vérifiant

∀(x, t) ∈ X × I,∣∣∣∣∂u∂x (x, t)

∣∣∣∣ 6 ϕ(t)

Alors la fonction f est de classe C1 et

∀x ∈ X, f ′(x) =∫I

∂u

∂x(x, t) dt

b) Il suffit d’appliquer le résultat qui précède avec u(x, t) = e−t2 cos(xt) sachantque

|u(x, t)| 6 e−t2

ce qui assure que f est bien définie et∣∣∣∣∂u∂x (x, t)∣∣∣∣ =

∣∣∣−te−t2 sin(xt)∣∣∣ 6 te−t

2= ϕ(t)



avec ϕ intégrable.c) On a

f ′(x) =∫ +∞

0−te−t

2sin(xt) dt

Procédons à une intégration par parties. Soit A > 0.∫ A

0−te−t

2sin(xt) dt =

[12e−t

2sin(xt)

]A0−∫ A

0

x

2 e−t2

cos(xt) dt

En passant à la limite quand A→ +∞, on obtient

f ′(x) + x

2 f(x) = 0

Exercice 72 : [énoncé]a) Pour x 6= 0, posons un = xn/(2n)!.Quand n→ +∞, on observe |un+1/un| → 0.On en déduit que la série entière

∑xn

(2n)! converge pour tout x ∈ R et doncR = +∞.b) Avec un rayon de convergence égal à +∞

ch(x) =+∞∑n=0

x2n

(2n)!

c) Pour x > 0, on peut écrire x = t2 et alors

S(x) =+∞∑n=0

xn

(2n)! =+∞∑n=0

t2n

(2n)! = ch(t) = ch√x

Pour x < 0, on peut écrire x = −t2 et alors

S(x) =+∞∑n=0

xn

(2n)! =+∞∑n=0

(−1)nt2n

(2n)! = cos(t) = cos√−x

d) La fonction f n’est autre que la fonction S. Elle est donc de classe C∞ cardéveloppable en série entière.

Exercice 73 : [énoncé]a) La composition de deux permutations est une permutation.On peut donc munir Sn de la loi .

La loi est associative en général, elle l’est en particulier sur Sn

La permutation Id est élément neutre pour la loi .Toute permutation σ de Sn possède une permutation inverse σ−1 vérifiant

σ σ−1 = σ−1 σ = Id

On en déduit que tous les éléments de la structure (Sn, ) sont inversibles.Finalement (Sn, ) est bien un groupe.b) La décomposition de σ en cycles de supports disjoints est

σ =(

1 5 8 3)(

2 4 7)

c) Un cycle de longueur n est un élément d’ordre n.Puisque les cycles précédents commutent car de support disjoints, on a

σ12 = σ24 = Id, σ4 =(

2 4 7)4 =

(2 4 7

)et σ2016 = σ168×12 = Id

Exercice 74 : [énoncé]a) L’endomorphisme u? est l’unique endomorphisme vérifiant

∀x, y ∈ E, u(x) | y = x | u?(y)

On observe alors

∀x, y ∈ E, u?(x) | y = y | u?(x) = u(x) | y = y | u(x)

ce qui assure que l’adjoint de u? est u. Ainsi

(u?)? = u

b) On a

∀x, y ∈ E, (u v)(x) | y = u(v(x)) | y = v(x) | u?(y) = x | v?(u?(y)) = x | v? u?(y)

et donc(u v)? = v? u?

c) A = (ai,j) et B = (bi,j) avec

ai,j = ei | u(ej) et bi,j = ei | u?(ej) = ej | u(ei) = aj,i

On en déduitB = tA

d) On retrouve a) par la relation t(tA) = A.



Exercice 75 : [énoncé]a)

A = 12

0 1 01 0 10 1 0

b) Après calculs

χA(X) = −X(X2 − 1/2)

Après résolution

~u = 1√2

(~i−~j), ~v = 12

(~i+√

2~j + ~k)

et ~w = 12

(~i−√

2~j + ~k)

conviennent.c) La matrice P est orthogonale et par formule de changement de base de formequadratique, la matrice de q dans la base (~u,~v, ~w) est

tPAP = P−1AP

d) L’équation de (S) dans le repère (O; ~u,~v, ~w) est

1√2y2 − 1√

2z2 = 1

Cette équation lacunaire en x définit un cylindre dont la section droite est unehyperbole.


∑anx

n une série entière de rayon de convergence R > 0 et de somme S.Pour tout x ∈ ]−R,R[,

S(x) =+∞∑n=0

anxn, S′(x) =

+∞∑n=1

nanxn−1 et S′′(x) =

+∞∑n=2

n(n− 1)anxn−2 =+∞∑n=1

(n+ 1)nan+1xn−1

donc

x(x− 1)S′′(x) + 3xS′(x) + S(x) =+∞∑n=0

((n+ 1)2an − n(n+ 1)an+1

)xn

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, la fonction S estsolution sur ]−R,R[ de l’équation étudiée si, et seulement si,

∀n ∈ N, nan+1 = (n+ 1)an

ce qui revient à∀n ∈ N, an = na1

Le rayon de convergence de la série entière∑nxn étant égale à 1, on peut affirmer

que les fonctions développables en série entière solutions de l’équation sont

x 7→ a1

+∞∑n=0

nxn = a1xd

dx

(1

1− x

)= a1x

(1− x)2

définies sur ]−1, 1[.b) On applique la méthode de Lagrange qui consiste à chercher une solution de laforme

y(x) = xλ(x)(1− x)2

avec λ fonction deux fois dérivable non constante de sorte d’obtenir un systèmefondamental de solutions.


f(x) = 14

1x+ 1 −

14

1x− 3

Les primitives de f sur l’intervalle ]3,+∞[ sont

x 7→ 14 ln x+ 1

x− 3 + Cte

b) On a

f(x) = 14

11− (−x) + 1

121

1− x/3+ =+∞∑n=0

((−1)n

4 + 14.3n+1

)xn

Le rayon de convergence vaut 1 car il est supérieur au minimum des rayons deconvergence des séries entières sommées et parce que F (x) −−−−−→

x→−1++∞ ce qui

empêche un rayon de convergence strictement supérieur à 1.c) Les coefficients d’un développement en série entière étant ceux de la série deTaylor associée, on obtient par troncature du développement en série entière undéveloppement limité.

f(x) = 13 −

29x+ 7

27x2 − 20

81x3 + o(x3)



Exercice 78 : [énoncé]Le domaine étudié est le suivant

et sa description en coordonnées polaire est

D = (r cos θ, r sin θ)/0 6 θ 6 π/6, 2 sin θ 6 r 6 1

L’intégrale I s’exprime

I =∫ π/6

0

(∫ 1

2 sin θr2 dr

)θ

et au terme des calculsI = π

18 +√

3− 169

Exercice 79 : [énoncé]a) χA = (X − 1)2. SpA = 1.Si A était diagonalisable alors A serait semblable à I2 dont égale à I2. Ce n’estvisiblement pas le cas et donc A n’est pas diagonalisable.b) χA étant scindé, A est trigonalisable.

E1(A) = Vect(

2−1

)

Pour v1 = (2,−1) et v2 = (−1, 0) (choisi de sorte que f(v2) = v2 + v1) on obtientune base (v1, v2) dans laquelle la matrice de f est

T =(

1 10 1

)c) On a A = PTP−1 avec

P =(

2 −1−1 0

)

Posons X =(x

y

)et Y = P−1X =

(a

b

).

Le système différentiel étudié équivaut à l’équation X ′ = AX qui équivaut encoreà l’équation Y ′ = TY .Cela nous amène à résoudre le système

a′ = a+ b

b′ = b

de solution générale a(t) = λet + µtet

b(t) = µet

et par la relation X = PY on obtient la solution générale du système initialx(t) = ((2λ− µ) + 2µt) et

y(t) = (λ− µt) et

Exercice 80 : [énoncé]a) C’est un déterminant tri-diagonal.b) (Dn) est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristiquer2 − 2r + 1 = 0.Son terme général est de la forme Dn = (λn+ µ)× 1n et puisque D1 = 2 etD2 = 3 on obtient

Dn = n+ 1

c) La matrice A est symétrique réelle donc diagonalisable. 0 n’en est pas valeurpropre car A est inversible puisque Dn 6= 0.

Exercice 81 : [énoncé]a) χA = (X − 3)(X + 2). SpA = −2, 3 et

E3(A) = Vect(

11

)et E−2(A) = Vect

(1−4

)

b) Soit

N =(a bc d

)On a ND = DN si, et seulement si, b = c = 0 ce qui ramène à N diagonale.



On a A = PDP−1 avecP =

(1 11 −4

)donc pour M ∈M2(R), en posant N = P−1MP , on a

AM = MA⇔ DN = ND

et donc l’espace des matrices commutant avec A estP

(a 00 d

)P−1/a, d ∈ R

C’est un plan vectoriel qui, pour des raisons d’inclusion et d’égalité desdimensions, est simplement

K [A] = Vect(I2, A)

Exercice 82 : [énoncé]Si v = 0E alors f = 0 est donc f est diagonalisable.Si v 6= 0E alors rgf = 1 avec Imf = Vect(v) puis dim ker f = n− 1.On en déduit que si 0 est la seule valeur propre de f alors f n’est pasdiagonalisable et si f admet une valeur propre non nulle alors f est diagonalisable.Supposons que f possède une valeur propre λ non nulle et soit x un vecteurpropre associé.La relation f(x) = λx avec λ 6= 0 donne x ∈ Imf et donc x colinéaire à v.Ainsi, si f possède une valeur propre non nulle, v est forcément vecteur propreassocié.Si f(v) = 0 alors 0 est la seule valeur propre de f et f n’est pas diagonalisable.Sinon, on peut écrire f(v) = λv et alors f est diagonalisable.


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