CDI-Guia10-Ver-12

8/12/2019 CDI-Guia10-Ver-12

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Clculo Diferencial e Integral - Derivacin implcita. Farith J. Briceo N.

Objetivos a cubrir Cdigo : MAT-CDI.10

Derivadas de orden superior. Derivacin implcita. Recta tangente a una curva. Teorema de monotona. Denicin de mximos y mnimos locales y globales. Concavidad y puntos de inexin. Grca de una funcin real.

Ejercicios resueltos

Ejemplo 194 : Hallardy=dx, parax2y+ y2 =

px + y

Solucin : Derivamos implictamente

x2y+ y2

0=

px + y

0 =) 2xy+ x2y0+ 2yy0 = 1 + y

0

2p

x + y

despejamos y0

2xy+ x2y0+ 2yy0 = 1 + y0

2p

x + y =) 2xy+ x2y0+ 2yy0 = 1

2p

x + y+

y0

2p

x + y

=) x2y0+ 2yy0 y0

2p

x + y =

1

2p

x + y 2xy

=)

x2 + 2y 12p

x + y

y0 =

1

2p

x + y 2xy

2xy+ x2y0+ 2yy0= 1 + y0

2p

x + y =)

2

x2 + 2yp

x + y 12p

x + y

!y0 =

1 4xypx + y2p

x + y

=) y0= 1 4xyp

x + y

2 (x2 + 2y)p

x + y 1 ;

por lo tanto,

y0= 1 4xypx + y2 (x2 + 2y)

px + y 1

F

Ejemplo 195 : Encuentre los puntos de 2

x2 + y22

= 25

x2 y2, donde la tangente sea horizontal.Solucin : Derivamos implictamente

2

x2 + y220

=

25

x2 y20 =) 2x2 + y220 = 25 x2 y20=) 4 x2 + y2 (2x + 2yy 0) = 25(2x 2yy0)=) 8 x

2 + y2 (x + yy0) = 50 (x yy0)

=) 8 x2 + y2 (x + yy0) = 50 (x yy0)

despejamos y0

8

x2 + y2

(x + yy 0) = 50 (x yy0) =) 4x x2 + y2 + 4y x2 + y2 y0 = 25x 25yy 0=) 4y x2 + y2 y0+ 25yy0 = 25x 4x x2 + y2=) y 4x2 + 4y2 + 25 y0 = 25x 4x x2 + y2=) y0= 25x 4x

x2 + y2

y (4x2 + 4y2 + 25)

:

229

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2/31

Luego

y0=25x 4x x2 + y2

y (4x2 + 4y2 + 25)

Buscamos los puntos (x0; y0), que pertenecen a la curva tales que, y0 se anule

25x0 4x0

x20+ y20

y0(4x

20+ 4y

20 + 25)

= 0

de aqu,

25x0 4x0 x20+ y20 = 0 =) x0 25 4 x20+ y20 = 0;es decir,

x0 = 0 25 4

x20+ y20

= 0:

Si x0 = 0, entonces

2

(0)2 + y20

2= 25

(0)2 y20

=) 2 y202 = 25 y20 =) 2y40+ 25y20 = 0

=) 2y20+ 25 y20 = 0 =) y0 = 0 2y20+ 25 = 0observemos que 2y20 + 25 = 0 no tiene solucin en R, mientras que y0 = 0, no puede ser solucin. puesto que

y0

(x0;y0) =25x0

4x0 x20+ y20

y0(4x20+ 4y20+ 25)

no est denida all, por lo tanto x0 = 0 no puede ser solucin de x0

25 4 x20+ y20 = 0Si 25 4 x20+ y20 = 0, es decir, x20+ y20 =254, entonces

2

x20+ y20

2= 25

x20 y20

=) 2

25

4

2= 25

x20 y20

=) 25

8 =x20 y20

Por lo tanto, los puntos de la curva 2

x2 + y22

= 25

x2 y2, donde la tangente sea horizontal, son los puntos queestn sobre la curva x2 y2 =25

8. F

Ejemplo 196 : Encontrar una ecuacin de la(s) recta(s) tangente(s) a la curva x2 + 4y2 4x 8y +3 = 0 que pasa(n)a travs del punto (1; 3).

Solucin : Veamos si el punto dado es punto de tangencia, para ello sustituimos en la curva

(1)2 + 4 (3)2 4 (1) 8 (3) + 3 = 20 6= 0;por lo tanto, el punto (1; 3) no es punto de tangencia. Sea (x0; y0) el punto de tangencia, as, se cumple que

x20+ 4y20 4x0 8y0+ 3 = 0;

adems, mtan= dy

dx

(x0;y0)

, donde para obtener dy

dx derivamos implicitamente

2x 8y0+ 8yy0 4 = 0 =) y0= 2 x4y 4 ;

entonces,

mtan= 2 x04y0 4

y la ecuacin de la recta tangente es

y y0 = 2 x04y0 4 (x x0) ;

como esta recta debe pasar por el punto (1; 3), se tiene

3 y0 = 2 x04y0

4

(1 x0) =) (3 y0) (4y0 4) = (2 x0) (1 x0)

230

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3/31

es decir,

16y0 4y20 12 = x20 x0 2 =) 16y0 12 + x0+ 2 =x20+ 4y20 =) 16y0 10 + x0 = x20+ 4y20como x20+ 4y

20 4x0 8y0+ 3 = 0, tenemos que x20+ 4y20 = 4x0+ 8y0 3, as,

16y0 10 + x0 = 4x0+ 8y0 3 =) 8y0 3x0 7 = 0 =) y0 = 3x0+ 78

sustituyendo en x20+ 4y20

4x0

8y0+ 3 = 0, obtenemos

x20+ 4

3x0+ 7

8

2 4x0 8

3x0+ 7

8

+ 3 = 0 =) x0 = 1

5 y x0 = 3;

por lo tanto, existen dos puntos de tangencia y en consecuencia, dos rectas tangentes.

Si x0 =1

5, entonces, y0 =

3

15

+ 7

8 =

19

20. Punto de tangencia

1

5;19

20

y la pendiente es

mtan= 2 15

4

1920

4= 9;luego, la ecuacin de la recta tangente a la curva en el punto de tangencia 1

5;19

20 es

y 1920

= 9

x 15

Si x0 = 3, entonces, y0 =3 (3) + 7

8 = 2. Punto de tangencia (3; 2) y la pendiente es

mtan= 2 34(2) 4=

1

4;

luego, la ecuacin de la recta tangente a la curva en el punto de tangencia (3; 2) es

y 2 = 14

(x 3)

F

Ejemplo 197 : Demuestre que si f(x) = arcsen x, entonces f0(x) = 1p1 x2 , con 1< x < 1.

Demostracin : Es conocido que la funcin inversa de g (x) = sen x, es f(x) = arcsen x, denida en1 x 1, esdecir,g1 (x) = f(x), adems si una funcin g tiene inversa y es diferenciable, entoncesg1 es diferenciable y su derivadaviene dada por

g

1

(x)0

=

1

g0(g1 (x)) :Como g0(x) = cos x, se tiene que

g1 (x)0

= (arcsen x)0= 1

cos (arcsen x);

puesto que,sen2 () + cos2 () = 1 entonces, cos() =

p1 sen2 ();

por lo tanto, al componer la expresin del cos() con la funcin f(x) = arcsen x, como Rgof=h

2;

2

iy el coseno

es positivo en ese intervalo, (ver grco) se tiene que,

cos (arcsen x) =

p1 sen2 (arcsen x) =

q1 (sen (arcsen x))2 =

p1 x2;

231

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4/31

52.50-2.5-5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

f(x) = cos x

luego,

(arcsen x)0 = 1p1 x2

denida para 1< x < 1. FEjemplo 198 : Hallar la derivada de las siguientes funciones

1: f(x) = arcsen xp1 x2 2: f(x) = arctan

1 + x

x2

Solucin : 1:Aplicando la regla de la derivada de un cociente, tenemos

f0(x) =

arcsen xp1 x2

0=

[arcsen x]0p

1 x2 arcsen x p1 x20p1 x22

donde,

[arcsen x]0 = 1p1 x2 y

hp1 x2

i0=

2x2p

1 x2 = xp

1 x2as,

f0(x) = arcsen xp1 x2

0

=

[arcsen x]0p

1

x2

arcsen x

p1

x2

0

p1 x22

=

1p1 x2

p1 x2 arcsen x xp

1 x21 x2 =

1p1 x2

p1 x2 + x arcsen x1 x2

=

p1 x2 + x arcsen x

(1 x2)3=2 ;

por lo tanto,

f0(x) =

p1 x2 + x arcsen x

(1 x2)3=2 :

2:Puesto que f es una funcin compuesta, aplicamos la regla de la cadena

f0(x) =

arctan

1 + x

x2

0=

1

1 +

1 + x

x2

2

1 + x

x2

0=

x4

x4 + (1 + x)2[x + 1]0 x2 (x + 1) x20

(x2)2

= x4

x4 + (1 + x)2x2 (x + 1)(2x)

x4 = x

2 + 2x

x4 + (1 + x)2;

por lo tanto,

f0(x) = x2 + 2x

x4 + (1 + x)2

F

232

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5/31

Ejemplo 199 : Sea f(x) = x

x + 1. Hallar la sucesin de nmero ak = f

(k) (1), con k = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.

Solucin : Tenemos

f(x) = x

x + 1 =) f(1) = (1)

(1) + 1=

1

2

f0(x) = 1

(x + 1)2 =) f0(1) = 1

((1) + 1)2 =

1

4

f00(x) = 2(x + 1)3

=) f00(1) = 2((1) + 1)3

= 14

f000(x) = 6

(x + 1)4 =) f000(1) = 6

((1) + 1)4 =

3

8

f(4) (x) = 24(x + 1)5

=) f(4) (1) = 24((1) + 1)5

= 34

f(5) (x) = 120

(x + 1)6 =) f(5) (1) = 120

((1) + 1)6 =

15

8

f(6) (x) = 720(x + 1)7

=) f(6) (1) = 720((1) + 1)7

= 458

;

por lo tanto,

a0 =1

2; a1 =

1

4; a2 = 1

4; a3 =

3

8; a4 = 3

4; a5=

15

8 ; a6 = 45

8 :

F

Ejemplo 200 : Sea f(x) =x3 x2 +x 1 una funcin diferenciable que admite inversa en todo su dominio. Hallarf1

0(0).

Solucin : Es conocido que,

f1

0(0) =

1

f0(f1 (0)):

Puesto que, f admite inversa, entonces, f es inyectiva, as, existe un x= x02 Domf, tal que,

f1 (0) =x0; es decir, f(x0) = 0

el cual viene dado por la solucin de la ecuacin

x30 x20+ x0 1 = 0:

Dicha ecuacin se puede resolver usando el mtodo de Runi manipulando algebraicamente la misma, de la siguienteforma

x30 x20+ x0 1 = 0 =) x20(x0 1) + (x0 1) = 0 =) (x0 1)

x20+ 1

= 0;

de aqu, x0 = 1.

Luego, f1

0(0) =

1

f0(f1 (0))=

1

f0(1);

como,f0(x) =

x3 x2 + x 10 = 3x2 2x + 1;

entonces,f0(1) = 3 (1)2 2 (1) + 1 =) f0(1) = 2;

por lo tanto, f1

0(0) =

1

2

F

233

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6/31

Ejemplo 201 : Hallar la ecuacin de la recta tangente a f1 en el punto de tangencia (2; 3) si se conoce que laecuacin de la recta tangente a f en el punto correspondiente es y = 5x 2

Solucin : Puesto que, el punto (2; 3) es de tangencia, entonces

f1 (2) = 3 =) f(3) = 2:Tenemos que mtg =f0(3) = 5, as, la pendiente de la recta tangente a f1 viene dada por

f10(2) =

1

f0(f

1 (2))

= 1

f0(3)

=1

5;

luego, la recta tangente a f1 en el punto (2; 3) es

y 3 = 15

(x 2) =) x 5y+ 13 = 0:

F

Ejemplo 202 : Encuentre valores a, b, c y d tales que f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un mnimo relativo de 3en x= 0 y un mximo relativo de 4 en x= 1.

Solucin : Tenemos que f(x) = ax3 + bx2 + cx + d pasa por los puntos (0; 3) y (1; 4), asf(0) =a (0)3 + b (0)2 + c (0) + d= 3 =) d= 3

y f(1) =a (1)3 + b (1)2 + c (1) 3 = 4 =) a + b + c= 7Por otra parte f0(0) = 0 y f0(1) = 0, entonces como

f0(x) = 3ax2 + 2bx + c;

asf0(0) = 0 =) 3a (0)2 + 2b (0) + c= 0 =) c= 0

yf0(1) = 0 =) 2b (1) + 3a (1)2 = 0 =) 3a + 2b= 0

Resolvemos el sistema de ecuaciones

( a + b= 73a + 2b= 0

=)

a=

14; y b= 21;

Luegoa= 14; b= 21; c= 0; d= 3:

F

Ejemplo 203 : Determine monotona, valores extremos, concavidad y puntos de inexin de la funcin

f(x) = x1=2 x3=2

Solucin : Observemos, en primer lugar, que el dominio de la funcin en [0; 1), para conocer la monotona de lafuncin debemos estudiar el signo de su primera derivada, donde f0 viene dada por

f0(x) = x1=2 x3=2

0= x1=2

0

x3=2

0=

1

2px

3

2

px=

1 3x

2pxestudiamos el signo de f0,

0;1

3

1

3; 1

1 3x +

2p

x + +

f0 + Monotona % &

" "mnimo mximo

234

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7/31

donde, los valores extremos son

Para el valor mnimo : f(0) = (0)1=2 (0)3=2 = 0

Para el valor mximo : f

1

3

=

1

3

1=2

1

3

3=2=

2

9

p3

entonces

Crecimiento :0;13 ; Decrecimiento :1

3;1 ; Valor mnimo : (0; 0) ; Valor mximo :

1

3;2

9

p3

Estudiemos, ahora, la concavidad de la funcin f, para ello calculamos la segunda derivada

f00(x) =

1

2p

x 3

2

px

0=

1

2p

x

0

3

2

px

0= 1

4x3=2 3

4p

x= 3x + 1

4x3=2

veamos el signo de f00

(0; 1) (3x + 1)

4x3=2 +

f0 Concavidad y

por lo tanto, f siempre es concava hacia abajo.

Finalmente

Crecimiento :

0;1

3

; Decrecimiento :

1

3; 1

; Valor mnimo : (0; 0) ; Valor mximo :

1

3;2

9

p3

Concava hacia arriba :?; Concava hacia abajo : (0; 1) ; Punto de inexin : No tiene

F

Ejemplo 204 : Se tiene un alambre de 4 m de longitud y se divide en dos trozos para formar un cuadrado y un crculo.

Expresar el rea total encerrada en ambas guras en funcin de x, siendo x el lado del cuadrado. Hallar el dominiodonde est denida la funcin. Dnde debe cortarse el alambre si la suma de las dos reas debe ser minima.?

Solucin : Del alambre de 4m debemos formar un cuadrado y un circulo de tal forma que cada lado del cuadradomida x m.

Sea x la longitud del lado del cuadrado. El rea del cuadrado es Acuadrado = (lado)2, mientras que, el rea del circulo

es Acirculo= (radio)2, por lo tanto

Acuadrado= x2;

235

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8/31

deduzcamos el radio del circulo, observemos que el permetro del crculo es 4 x, que es la longitud del alambre quetenemos para forma la gura geomtrica, puesto que el permetro del crculo es P = 2 (radio), entonces,

4 x= 2 (radio) =) radio = 4 x2

;

por lo tanto,

Acirculo=

4 x

2

2=) Acirculo= (4 x)

2

4 :

Luego, el area total es

Atotal(x) = Acuadrado+ Acirculo= x2 +

(4 x)24

cuyo dominio es Dom Atotal= (0; 1). Busquemos donde esta funcin alcanza sus valores extremos, para ellos derivamosA= Atotal y buscamos sus puntos crticos,

A0(x) =

x2 +

(4 x)24

!0= 2x 4 x

2 :

Punto crtico estacionario :

2x 4 x2

= 0 =) 2x= 4 x2

=) 4x = 4 x =) (4+ 1) x= 4 =) x= 44+ 1

Usamos el criterio de la segunda derivada para conocer si en este punto estacionario se alcanza un valor mnimo unvalor mximo.

f00(x) =

2x 4 x2

0= 2 +

1

2;

observemos que f00 siempre es positiva, en partcular en x = 4

4+ 1, por lo tanto, f tiene un valor mnimo en

x= 4

4+ 1, as, se debe cortar el alambre en este punto para obtener el rea minima. F

Ejemplo 205 : Encuentre los puntos de la parbola x= 2y2 que estn ms cercanos al punto (10; 0).

Solucin : Sea A (x; y) un punto de la parbola x= 2y2, entonces la distancia entre el punto Ay el punto B (10; 0)viene dada por

d (A; B) =q

(x 10)2 + (y 0)2 = q(x 10)2 + y2; Funcin que depende de x y ypuesto que, el punto A (x; y) est sobre la parbola, entonces dicho punto satisface la ecuacin de la parbola, de all,x= 2y2, y tenemos que y2 =

x

2, as,

d (A; B) =

r(x 10)2 + x

2 Funcin que depende de x

deseamos hallar un valor mnimo de la funcin d (x), para ello derivamos, pero observe que la funcin d es la composicinde la funcin raz cuadrada y de la funcin cuadrtica, como la funcin raz cuadrada es creciente, entonces, podemos hallarel valor mnimo de la funcin

f(x) = (x 10)2 + x2

y donde la funcin falcance su valor mnimo, all tambin lo alcanza la funcin d (por qu?)Busquemos, entonces, donde la funcin f alcanza su valor mnimo, derivamos

f0(x) = 2 (x 10) +12

Punto crtico estacionario :

f0(x) = 0 =) 2 (x 10) +12

= 0 =) 2 (x 10) = 12

=) x= 394

Usamos el criterio de la segunda derivada para conocer si en este punto estacionario se alcanza un valor mnimo unvalor mximo.

f00(x) =

2 (x 10) +12

0= 2;

236

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9/31

observemos que f00 siempre es positiva, en partcular en x = 39

4 , por lo tanto, f tiene un valor mnimo en x=

39

4,

as,

y2 =1

2

39

4 =) y=

r39

8

Luego, los puntos de la parbola x= 2y2 que estn ms cercanos al punto (10; 0) son39

4 ;

r39

8

! y

39

4;

r39

8

!

F

Ejemplo 206 : Graque f(x) = x1=2 x3=2

Solucin : Para obtener un esbozo de la grca de f se recomienda conocer

1: Dominio 2: Punto de corte con los ejes 3: Valor(es) mximo(s)

4: Valor(es) mnimo(s) 5: Intervalos de decrecimiento 6: Intervalos de crecimiento

7: Concavidad hacia arriba 8: Concavidad hacia abajo 9: Puntos de inexin

10: Asntota horizontal 11: Asntota vertical 12: Asntota oblicua

En el ejemplo 203 se estudiaron gran parte de estas propiedades de la funcin f, nos falta conocer los puntos de cortescon los ejes coordenados y el comportamiento asinttico.

Puntos de cortes con los ejes :

Eje x: (y= 0)0 = x1=2 x3=2 =) x1=2 (1 x) = 0 =) x= 0 y x= 1;

por lo tanto, f corta al eje x en los puntos (0; 0) y (1; 0).

Eje y: (x= 0)y= (0)1=2 (0)3=2 =) y= 0;

por lo tanto, f corta al eje y en el punto (0; 0).

Comportamiento asinttico :

Asntota vertical : Como Domf= [0; 1), la funcin no tiene asntota vertical Asntota horizontal :

limx!1

f(x) = limx!1

x1=2 x3=2

el cual es una indeterminacin de la forma 1 1, levantamos la indeterminacin

limx!1

x1=2 x3=2

= lim

x!1x1=2 (1 x) = 1;

por lo que f no tiene asntota horizontal.

Asntota oblicua :m= lim

x!1f(x)

x = lim

x!1x1=2 x3=2

x = lim

x!1x1=2 (1 x)

x = lim

x!11 xx1=2

el cual es una indeterminacin de la forma 11 , dividimos cada trmino de la expresin entre la mayor potencia, en

este caso, dividimos entre x

m= limx!1

1

x x

xx1=2

x

= limx!1

1

x 11

x1=2

! 1

por lo que f no tiene asntota oblicua.

237

8/12/2019 CDI-Guia10-Ver-12

10/31

Finalmente

Dominio : [0; 1) ; Punto corte con el eje x: (0; 0) ; (1; 0) ; Punto corte con el eje y: (0; 0) ;

Crecimiento :

0;1

3

; Decrecimiento :

1

3; 1

; Valor mnimo : (0; 0) ; Valor mximo :

1

3;2

9

p3

Concava hacia arriba :?; Concava hacia abajo : (0; 1) ; Punto de inexin : No tieneAsntota vertical : No tiene; Asntota horizontal : No tiene; Asntota oblicua : No tiene

54. 543. 532. 521. 510. 50

0

-2.5

-5

-7.5

x

y

x

y

F

Ejemplo 207 : Graque f(x) = x3

(x 1)2 .

Solucin : Para obtener un esbozo de la grca de f se recomienda conocer

1: Dominio 2: Punto de corte con los ejes 3: Valor(es) mximo(s)

4: Valor(es) mnimo(s) 5: Intervalos de decrecimiento 6: Intervalos de crecimiento

7: Concavidad hacia arriba 8: Concavidad hacia abajo 9: Puntos de inexin

10: Asntota horizontal 11: Asntota vertical 12: Asntota oblicua

Dominio : Observemos que la funcin f tiene sentido slo si x 6= 1, luego Domf= R f1g.Puntos de cortes con los ejes :

Eje x: (y= 0)0 =

x3

(x 1)2 =) x3 = 0 =) x= 0;

por lo tanto, f corta al eje x en el punto (0; 0).

Eje y: (x= 0)

y= (0)3

((0) 1)2 =) y = 0;

por lo tanto, f corta al eje y en el punto (0; 0).

Monotona : Para conocer la monotona de la funcin debemos estudiar el signo de su primera derivada, donde f0

viene dada por

f0(x) =

x3

(x 1)2!0

=

x30

(x 1)2 x3

(x 1)20

(x 1)4 =3x2 (x 1)2 2x3 (x 1)

(x 1)4 =x2 (x 3)

(x 1)3

238

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11/31

estudiamos el signo de f0,(1; 0) (0; 1) (1; 3) (3; 1)

x2 + + + +

x 3 +(x 1)3 + +

f0 + + +

Monotona % % & %" "No es valor extremo mnimo

donde, el valor extremo es

Valor mnimo : f(3) = (3)

3

((3) 1)2 =27

4 ;

entonces,Crecimiento : (1; 0) [ (0; 1) [ (3; 1) ; Decrecimiento : (1; 3) ;

Valor mnimo :

3;27

4

; Valor mximo : No tiene

Concavidad : Estudiemos, ahora, la concavidad de la funcin f, para ello calculamos la segunda derivada

f00(x) =

x2 (x 3)(x 1)3

!0=

x2 (x 3)0 x2 (x 3)(x 1)30

(x 1)6 = 6x

(x 1)4

veamos el signo de f00

(1; 0) (0; 1) (1; 1)6x + +

(x 1)4 + + +

f0 + +

Concavidad _ ^ ^" "Punto de inexin No es punto de inexin

donde, el punto de inexin es

Punto de inexin : f(0) = (0)3

((0) 1)2 = 0;

entonces,

Concava hacia arriba : (0; 1) [ (1; 1) ; Concava hacia abajo : (1; 0) ; Punto de inexin : (0; 0)

Comportamiento asinttico :

Asntota vertical : Como Domf= R f1g, entonces, unaposibleasntota vertical es x= 1.

limx!1

f(x) = limx!1

x3

(x 1)2 = 1

luego, x= 1 es una asntota vertical.

Asntota horizontal :lim

x!1f(x) = lim

x!1x3

(x 1)2


este caso, dividimos entre x3

239

8/12/2019 CDI-Guia10-Ver-12

12/31

limx!1

x3

(x 1)2 = limx!1

x3

x3

x2

x2 2x

x3 +

1

x3

= limx!1

11

x 2

x2+

1

x3

! 1

similarmente

limx!1

x3

(x 1)2 = limx!1

x3

x3

x2

x2

2x

x3

+ 1

x3

= limx!1

11

x

2

x2

+ 1

x3

! 1

por lo que f no tiene asntota horizontal.

Asntota oblicua :

m= limx!1

f(x)

x = lim

x!1

x3

(x 1)2x

= limx!1

x3

x (x 1)2 = limx!1x2

(x 1)2 = limx!1

x

x 12

=

limx!1

x

x 12


este caso, dividimos entre x

limx

!1

x

x

1

= limx

!1

x

xx

x1

x

= limx

!1

1

1 1

x

= 1;

por lo tanto, m= (1)2 = 1, calculamos el punto de corte de la asntota oblicua con el eje y ,

b= limx!1

(f(x) mx) = limx!1

x3

(x 1)2 x!

= limx!1

x3 x (x 1)2(x 1)2 = limx!1

2x2 x(x 1)2


este caso, dividimos entre x2, as,

b= limx!1

2x2 x(x 1)2 = 2:

Similarmente para 1, por lo que f tiene una asntota oblicua igual a y= x + 2.

Finalmente

Dominio :R f1g ; Punto corte con el eje x: (0; 0) ; Punto corte con el eje y: (0; 0) ;Crecimiento : (1; 0) [ (0; 1) [ (3; 1) ; Decrecimiento : (1; 3) ;

Valor mnimo :

3;27

4

; Valor mximo : No tiene,

Concava hacia arriba : (0; 1) [ (1; 1) ; Concava hacia abajo : (1; 0) ; Punto de inexin : (0; 0) ;Asntota vertical : x= 1; Asntota horizontal : No tiene; Asntota oblicua :y = x + 2

543210-1-2-3-4-5

50

40

30

20

10

0

x

y

x

y

240

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13/31

Ejercicios

1. Determinar los puntos de la funcin 2x2 + y x 5 = 0 para los cuales la tangente pasa por el punto Q (1; 10).2. Halle la primera derivada de las funciones inversas de las siguientes funciones

1: y= sen x 2: y= cos x 3: y= tan x 4: y= csc x 5: y= sec x 6: y= cot x

3. Derive implcitamente, dy=dx, las siguientes curvas

1: y sen2x x sen y= 4

2: x2 + 4xy y2 = 19 3: yx y =x

2 + 1 4: x2 = y2

y2 x

5: 2y2 + 3p

xy= 3x2 + 7 6: x2y+ y2 =p

x + y 7: 3xy4 x2

x + y = 1 8: xy= cot(xy)

9: y5 + 3x2y2 + 5x4 = 8 10: 4p

x +p

y=p

2 11: p

xy x2

=p

y 12: x4 + y4 = 16

13: cos(x y) = y sen x 14: xy+ y arcsen x= 1 15: xy2

+y 2

x = 1 16: x2 =

y2

y2 117: 3x sen y= y cos x + 1 18: x + y= sen (xy) 19: cos y= y cos2x 20: x= tan 3y

21:

y3 x2 = (x + 2)4 22: x2 + 2xy= y2 + 2x 23: 3y+ cos y = x2 24: y2 = 4x2 825: 3

pxy+ 2xy= 9 + y2 26:

px2 + y2 + 2y = x2 27: 3x y2 = 5y 28: x =y2 2y

29: p

x + y+p

xy= 6 30: cos2 x + sen2 y= 1 31: sec y= 3ty+ 7 32: 2y y2 =x2

33: xp

1 + y+ yp

1 + 2x= 2x 34: x sen y+ cos 2y= cos y 35:p

x sen y py sen x= xy

36: 2xy=

x2 + y23=2

37: xy= arcsen (x + y) 38: y3 + y x cos x2y+ x2y2 =y39: x3 + xy y7x2 = 0 40: sen

xy3

2y

= 1 41: x4 6xtan y

=y4 1

4. Encuentre y00 si: a) 2x2y

4y3 = 4 en P(2; 1); b) cos x2y + y2 = 6.5. Encuentre y00 si: a) x2 + y2 = 25 en P(3; 4); b) x3 4y2 + 3 = 0.6. Deduzca la ecuacin de la recta tangente a la curva en el puntoPdado

1:p

y+ xy2 = 5; P(4; 1) 2: sen y= cos 2x; P

4 ; 0

3: x2 xpxy 2y2 = 6; P(4; 1)

4:p

y = x3 (2 y) ; P(1; 1) 5: sen(xy) = y; P2 ; 1 6: y+ cos xy2 + 3x2 = 4; P(1; 0)7: x3y+ y3x= 10x; P(1; 2) 8: (x y)2 =x; P(1; 0) 9: x sen y+ y cos x=

2p

2; P

4 ;

4

7. Encuentre los puntos de 2

x2 + y2

2= 25

x2 y2, donde la tangente sea horizontal.

8. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse x2 + 4y2 = 36, que pasan por el punto (12; 3).

9. Hay dos rectas tangentes a la curva x2 + 4y2 4x 8y+ 3 = 0 que pasan a travs del punto (1; 3). Encontraruna ecuacin de cada una de estas rectas.

10. Hallar el rea del tringulo que forman los ejes coordenados y la recta tangente a la curva sen y = cos2x en unpunto de abscisa igual a

4

11. Encuentre todos los puntos de la curva x2y2 + xy= 2, donde la pendiente de la recta tangente sea 1.12. La tangente a la curva x2 + y2 = 25 en el punto P(3; 4) forma un tringulo rectngulo con los ejes coordenados.

Calcular su rea.

13. Determinar la(s) ecuacin(es) de la(s) recta(s) tangente(s) a la curva x3 + y3 = 3xy en el punto cuando dicha curvase corta con la recta y= x.

241

8/12/2019 CDI-Guia10-Ver-12

14/31

14. Calcular las ecuaciones de la recta tangente a la curva que representa sen(xy) = cos (x + y) en el punto de corte dela misma con el eje y en el intervalo (0; ).

15. Dada la funcin 3x2y2 = 2, calcular la ecuacin de la recta tangente a la misma con pendiente negativa y ordenadaen el origen igual a 2.

16. Encuentredx=dy

1: y4 + x2y2 + yx4 =y+ 1 2: Si x [f(x)]3 + xf(x) = 6; encuentre f0(3)

3:

x2 + y2

2 =ax2y 4: Si [g (x)]2 + 12x= x2g (x) y g (4) = 12; encuentre g0(4)

17. Demuestre que la suma de las intersecciones x y y de cualquier recta tangente a la curvap

x +p

y=p

c, es iguala c.

18. Encontrar una ecuacin de la recta tangente a la curva 16x4 + y4 = 32 en el punto (1; 2).

19. Verique que las rectas tangentes a las curvas y2 = 4x3 y 2x2 + 3y2 = 14 en el punto (1; 2) son perpendicularesentre si.

20. Vericar que las rectas tangentes a las curvas 4y3 x2y x + 5y= 0 y x4 4y3 + 5x + y = 0 en el origen, sonperpendiculares

21. Encuentre la ecuacin de la recta tangente de la curva en el punto o valor indicado

Curva Punto Curva Punto Curva Punto

x2 + y3 1 = 0 x= 2; tan 2y = x y= =2; y3 + 2x= 7y y = 1;

x2 xy+ y2 = 3 x= 0; 2y2 2xy= 1 x= 1=2; y2 =x2 4x + 7 x= 0;

sen y= x y= =6; sen y+ 2y= x2 y = 0

22. Dos curvas se llaman ortogonales si en todo punto de interseccin sus rectas tangentes son perpendiculares. De-muestre que las curvas dadas son ortogonales

1: 2x2 + y2 = 3; x= y2 2: x2

y2 = 5; 4x2 + 9y2 = 72

23. Demuestre, utilizando derivacin implcita, que cualquier recta tangente en un punto Pa una circunferencia concentro en0 es perpendicular al radio OP.

24. Encuentre la ecuacin de la recta tangente a la hiprbola x2

a2 y

2

b2 = 1 en el punto (x0; y0).

25. En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre la ecuacin de la recta tangente a la curva dada en el puntoindicado

151050-5-10-15

15

10

5

0

-5

-10

-15

x

y

x

y

1.510.50-0.5-1-1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

Hiprbola: x2

16 y

2

9 = 1;

5;9

4

Astroide: x2=3 + y2=3 = 4;

3p3; 1

242

8/12/2019 CDI-Guia10-Ver-12

15/31

420-2-4

7.5

5

2.5

0

-2.5

-5

-7.5

x

y

x

y

420-2-4

2

1

0

-1

-2

x

y

x

y

Elipse: x2

9 +

y 2

36= 1;

1; 4p2 Lemniscata: 2 x2 + y22 = 25 x2 y2 ; (3; 1)

2.521.510.50

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

1050-5-10

5

2.5

0

-2.5

x

y

x

y

Piriforme: y2 =x3 (2 x) ; (1; 1) Concoide de Nicomedes:

9y2 = (y 1)2 x2 + y2 ; (0; 2)26. Derive las siguientes funciones

1: f(x) = x arcsen x 2: f(x) =p

x arcsen x 3: f(x) = arcsenp

x 4: f(x) = arcsen 3p

x

5: f(x) = x arctan x 6: f(x) =p

x arctan x 7: f(x) = arctanp

x 8: f(x) = arctan 3p

x

9: f(x) =arctan x

arcsen x 10: f(x) =

arcsen x

arctan x 11: f(x) =

parcsen x 12: f(x) = 3

parcsen x

13: f(x) = (arctan x)4 14: f(x) = (arcsen x)4 15: f(x) = (arcsen x arctan x)4

16: f(x) = arcsen

1

x

17: f(x) = sec (arcsen x + sen x) 18: f(x) = arcsen (1 px)

19: f(x) = cos (arcsen x) 20: f(x) = arcsen (cos x) 21: f(x) = arcsen (tan x)

22: f(x) = tan (arcsen x) 23: f(x) = sec (arcsen x) 24: f(x) = arctan

sen2 x + cos2 x

25: f(x) = arctan (arcsenp

x) 26: f(x) = arcsen (arctanp

x) 27: f(x) = arctan (cot x)

28: f(x) = arcsen

x

x + 1

29: f(x) = arcsen

2x2 + 5

30: f(x) = arcsen (csc x)

31: f(x) = cot (arctan x) 32: f(x) = csc (arcsen x) 33: f(x) = sen (arctan x)

34: f(x) = arccos

5

arccos x

35: f(x) = arcsen (arccos x) 36: f(x) =

px

arctan x

37: f(x) = arccos

2x5 + 1

38: f(x) = arctan

2

x

39: f(x) = arccos (arcsen x)

243

8/12/2019 CDI-Guia10-Ver-12

16/31

40: f(x) = sen x

sec1 (3x2 + 2) 41: f(x) = csc1

px

arccos x

42: f(x) = arctan (x arcsen x)

43: f(x) = 1

arcsen x 44: f(x) = sen1 x (sen x)1 45: f(x) = tan1 x (tan x)1

46: f(x) =

parctan

px px

arcsen (arcsen x) 47: f(x) =

r csc x

sen1 x 48: f(x) = cos1 (cos x)1

49: f(x) =p

tan1 x tan1p

x 50: f(x) = 4qcot1 ( 3px) +

pcot1 x

sen1 x2

27. Encuentre todas las rectas tangentes a la grca de f(x) = arctan x cuya pendiente sea igual a 1

2.

28. Si f y

f10

son diferenciables, encuentre una frmula para

f100

(x).

29. Encuentre una ecuacin de la recta tangente a la grca de la funcin dada en el valor indicado de x

1: f(x) = x arctan x; x= 1; 2: f(x) = arcsen (x 1) ; x= 12

30. Sea f(x) = x x2 + x3 1 una funcin diferenciable que admite inversa en todo su dominio. Hallarf10(0).31. Sea f(x) =

1

4 x4

5

2 x2

1

3 x3

3x una funcin diferenciable que admite inversa para todo x2(1; 3). Hallarf1

0(0).

32. Sea f(x) = 3p

x3 + 2x2 1 una funcin diferenciable que admite inversa para todo x2

1;12

. Hallar

f10

(1).33. Hallar la ecuacin de la recta tangente a f1 en el punto (2; 1) si se conoce que la ecuacin de la recta tangente a

f en el punto correspondiente es y= 5x 2.34. Hallar la ecuacin de la recta tangente a f1 en el punto (2; 4) si se conoce que la ecuacin de la recta tangente

a f en el punto correspondiente es paralela a la recta y= x 2.

35. Hallar la ecuacin de la recta tangente a f1

en el punto13 ;12 si se conoce que la ecuacin de la recta tangente

a f en el punto correspondiente es perpendicular a la recta y= x 2.36. Hallar la ecuacin de la recta tangente a f1 en el punto (3; 2) si se conoce que la ecuacin de la recta tangente

a f en el punto correspondiente es y = 5.

37. Encuentre el o los puntos sobre la grca de f(x) =1

2x2 5x + 1 donde

a: f00(x) = f(x) b: f0(x) = f00(x)

38. Si f(x) =x + 1

x Cul es la pendiente de la recta tangente a la grca de f00 en x= 2?

39. Sea f(x) = arctan x. Hallar la sucesin de nmero ak = f(k) (0), con k= 0; 1; 2; 3; 4; 5.

40. Sea f(x) = arcsen x. Hallar la sucesin de nmero ak = f(k) (0), con k= 0; 1; 2; 3; 4; 5.

41. Sea f(x) =p

x2 + 1. Hallar la sucesin de nmero ak = f(k) (0), con k= 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.

42. Sea f(x) = x

x + 1. Hallar la sucesin de nmero ak = f(k) (1), con k= 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.

43. Se dice que una funcin f espar si f(x) = f(x) para todo x en su dominio e imparsi f(x) = f(x) paratodo x en su dominio. Demuestre que

(a) La derivada de una funcin par es una funcin impar.

(b) La derivada de una funcin impar es una funcin par.

244

8/12/2019 CDI-Guia10-Ver-12

17/31

(c) La segunda derivada de una funcin par es una funcin par.

(d) La segunda derivada de una funcin impar es una funcin impar.

44. Demuestre que f00(0) no existe para f(x) = x jxj.45. Considere la funcin f(x) = x2 jxj. Existe f00(0)?46. Encuentre los intervalos en los que f es creciente o decreciente.

1: f(x) = 20 x x2 2: f(x) = x3 x + 1 3: f(x) = 4x3 3x2 18x + 54: f(x) = x3 + x + 1 5: f(x) = x3 2x2 + x 6: f(x) = x4 4x3 8x2 + 3

7: f(x) = 2x2 x4 8: f(x) = x2 (1 x)2 9: f(x) = 3x5 25x3 + 60x

10: f(x) = x4 + 4x + 1 11: f(x) = x3 (x 4)4 12: f(x) = xp1 x2

13: f(x) = xp

6 x 14: f(x) = x2=3 (x 2)2 15: f(x) = x1=5 (x + 1)

16: f(x) = 3p

x 3p

x2 17: f(x) = xp

x x2 18: f(x) = x3 + 2x2 x + 119: f(x) = x2 3

p6x 7 20: f(x) = x6 + 192x + 17 21: f(x) = 2tan x tan2 x

47. Qu condiciones sobre a, b y c harn a f(x) = ax3 + bx2 + cx + d siempre creciente?

48. Considere la funcin f(x) = Ax2 + Bx + C, siendo A > 0. Demuestre que f(x) 0, para toda x, s y solo s,B2 4AC 0.

49. Use el Teorema de monotonia para demostrar cada proposicin si 0< x < y

(a) x2 < y 2 (b) p

x

1

y

50. Suponga que f0(x)> 0 y g0(x)> 0, para toda x. Qu condiciones adicionales simples (si las hay) se necesitanpara garantizar que

(a) f(x) + g (x) es creciente para toda x.

(b) f(x) g (x) es creciente para toda x.

(c) f(g (x)) es creciente para toda x?51. Demuestre que

a +1

a< b +

1

b siempre que 1< a < b:

52. Demuestre quetan b

tan a>

b

a siempre que 0< a < b 0 y cncava hacia abajo cuando a 0 y g00(x)> 0, para todax. Qu condiciones adicionales simples (si las hay) se necesitanpara garantizar que

(a) f(x) + g (x) es cncava hacia arriba para toda x.

(b) f(x) g (x) es cncava hacia arriba para toda x.

(c) f(g (x)) es cncava hacia arriba para toda x?

68. Demuestre que una ecuacin cuadrtica no tiene puntos de inexin.

69. Demuestre que una ecuacin cbica tiene exactamente un punto de inexin.

70. Encuentre valores a, b y c, tales que f(x) = ax3 + bx2 + cx pase por (1; 0) y tenga un punto de inexin en(1; 1).

71. Obtenga valores de a, b y c, tales que la grca de f(x) =ax3 + bx2 + cx tenga una tangente horizontal en elpunto de inexin (1; 1).

72. Sea f(x) = (x x0)n, donde n es un entero positivo.

(a) Demuestre que (x0; 0) es un punto de inexin de la grca de f si n es impar.(b) Demuestre que (x0; 0) no es un punto de inexin de la grca de f, pero que corresponde a un mnimo

relativo cuando n es par.

73. Qu conclusiones puede sacar acerca de f de la informacin f0(c) = f00(c) = 0 y f000(c) = 0?

74. Determine monotona, valores extremos, concavidad y puntos de inexin de la funcin

1: h (x) = 3x3 + 2x 1 2: g (x) = x2

x + 2+ 3 3: f(x) = x px 4: g (x) = x (2 x)1=3

5: f(x) = x1=3 (6 x)2=3 6: f(x) = 3x5 5x3 7: f(x) = x2

p1 + x

8: f(x) = x4=3 4x1=3

246

8/12/2019 CDI-Guia10-Ver-12

19/31

9: f(x) = 2x2 + 3x 4 10: f(x) = x1=2 x3=2 11: g (x) = 1x 1 12: g (x) = 1 + x

1=3

13: f(x) = 3x4 4x3 5 14: h (x) = 1x

+p

x 15: y= x2

x + 1 16: f(x) =

x 1x + 1

75. Bosqueje la posible grca de una funcin f que tenga las siguientes propiedades:

a) fes continua; b) f(2) = 3; f(3) = 2; c) f0(x) = 0si x >2; d) f00(x)< 0 si x 0; para x 6= 0; f0(6) = 3d) f00(6) = 0; f00(x)> 0; para2 < x < 6; f00(x)< 0; parax >6


(a) f es continua en (0; 2) ; (b) f tiene una mximo relativo en x= 1, pero f0(1) no existe.

78. Trazar la grca de una funcin que satisfaga todas las condiciones siguientes

a) limx!1

f(x) = 2 b) limx!0

f(x) = 1 c) f(0) = 3 d) limx!0+

f(x) = 2 e) limx!1

f(x) = 0

79. Dibuje la grca de una funcin continua f en el intervalo [0; 6] que satisfaga todas las condiciones establecidas.

(a)

8>>>>>>>>>>>:

f(0) =f(4) = 1; f(2) = 2; f(6) = 0

f0(x)> 0 en (0; 2) ; f0(x)< 0 en (2; 4) [ (4; 6)f0(2) =f0(4) = 0; f00(x)> 0 en (0; 1) [ (3; 4) ;f00(x)< 0 en (1; 3) [ (4; 6)

(b)

8>>>>>:

f(0) = 3; f(3) = 0; f(6) = 4

f0(x)< 0 en (0; 3) ; f0(x)> 0 en (3; 6)

f00(x)> 0 en (0; 5) ; f00(x)< 0 en (5; 6)

(c)

8>>>>>>>>>>>:

f(0) = 3; f(2) = 2; f(6) = 0

f0(x)< 0 en (0; 2) [ (2; 6) ; f0(2) = 0f00(x)< 0 en (0; 1)

[(2; 6) ;

f00(x)> 0 en (1; 2)

(d)

8>>>>>>>>>>>:

f(0) =f(3) = 3; f(2) = 4; f(4) = 2; f(6) = 0;

f0(x)> 0 en (0; 2) ; f0(x)< 0 en (2; 4) [ (4; 5)f0(2) =f0(4) = 0; f0(x) =

1en (5; 6) ;

f00(x)< 0 en (0; 3) [ (4; 5) ; f00(x)> 0 en (3; 4)

80. Dibuje una grca de una funcin continua f que cumpla con las siguientes propiedades

(a)

8>>>>>>>>>>>:

f(1) = 0; f(0) = 1;f0(3) no existe; f0(5) = 0

f0(x)> 0 en x 5;

f0(x)< 0 en (3; 5)

(b)

8>>>>>>>>>>>:

f(0) = 0;

f0(1) = 0; f0(0) = 0; f0(1) = 0f0(x)< 0 en x < 1y 1< x < 0;f0(x)> 0 en 0 < x < 1 y x >1

(c)

8>>>>>>>>>>>:

f(

2) = 0; f(4) = 0

f0(3) = 0; f00(1) = 0; f00(2) = 0

f00(x)< 0 en x 2;

f00(x)> 0 en 1 < x >>>>>>>>>>:

f(0) = 5; f(2) = 0

f0(2) = 0; f00(3) no existe

f00(x)> 0 en x 3

81. Bosqueje la posible grca de una funcin f que tenga las siguientes propiedades

(a) f es continua en toda su extensin,

(b) f(3) = 1;(c) f0(x)< 0, para x < 3, f0(x)> 0, para x > 3, f00(x)< 0, para x 6= 3.

247

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20/31

82. Bosqueje la posible grca de una funcinfque tenga las siguientes propiedades

(a) f es continua en toda su extensin,(b) f(4) = 3, f(0) = 0, f(3) = 2;(c) f0(4) = 0, f0(3) = 0, f0(x)> 0, parax < 4, f0(x)> 0, para4< x < 3, f0(x)< 0, para x >3,(d) f00(4) = 0, f00(0) = 0, f00(x)< 0, para x > 4, f00(x)> 0, para4< x < 0, f00(x)< 0, para x > 0.

83. Encuentre las asntotas verticales y horizontales de las grcas de las funciones indicadas.

1: f(x) = 3

x + 1 2: f(x) =

3

(x + 1)2 3: F(x) =

2x

x 3 4: F(x) =

3

9 x2

5: g (x) = 14

2x2 + 7 6: g (x) =

2xpx2 + 5

7: f(x) = x

x + 4 8: h (x) =

x2 + 4

x2 1

9: P(x) = x

(x + 1)2 10: h (x) =

x3 + 1

x3 + x 11: Q (x) =

x 2x + 2

12: g (x) = x3

x2 + 3x 1084. La recta y= ax + b se llama asntota oblicuade la grca de la funcin y = f(x) si

limx!1

[f(x) (ax + b)] = 0 limx!1

[f(x) (ax + b)] = 0Encuentre la asntota oblicua de

f(x) =

2x4 + 3x3

2x

4

x3 185. Encuentre la astonta oblicua de

f(x) =3x3 + 4x2 x + 1

x2 + 1

86. Estudie el comportamiento asinttico de la funcin

f(x) =

8>>>>>:

2x4 + 3x3 2x 4x3 1 si x < 1

2 si x= 1

arctan x si x > 1


a) f(0) = 2; f(2) =f(2) = 1; c) f0(x)> 0 para x < 0; f0(x)< 0 para x > 0;b) f0(0) = 0; d) f00(x)< 0 para jxj 0 para jxj >2.

88. Graque una funcin que satisfaga las siguientes condiciones

Funcin 1 Funcin 2Mximo local en (0; 2)

Mnimo local en (4; 6)Asntota vertical en x= 2

Asntota oblicua y= xSin asntotas horizontales

Sin puntos de inexin

Mximo local en (2; 3)Mnimo local en (4; 1)

Puntos de Inexin en (4; 0), (0; 1) y (6; 1)Asntota horizontal en y= 3, cuando x ! 1

Sin asntota horizontal cuando x ! 1Sin asntotas verticales

Funcin 3 Funcin 4Funcin parMnimo local en (2; 1)

Puntos de Inexin en (1; 1) y (4; 0)limx!1 f(x) = 1

Simtrica con el origenAsntota vertical en x= 1Asntota horizontal en y= 2

No hay puntos de la grca para x 1

Funcin 5 Funcin 6Simtrica con el eje y

Asntota vertical en x= 2Mnimos en (1; 0) y (4; 2)

Mximo en (0; 3)Punto de inexin en (1=2; 2)

No tiene asntota horizontal

Simtrica con el origenMximo local en (2; 2)Mnimo local en (2; 2)

Puntos de Inexin en (1:4; 1:2), (0; 0) y (1:4; 1:2)Sin asntotas horizontales

Sin asntotas verticales

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89. Las siguientes tablas representan las caractersticas principales de ciertas funciones reales de variable real, esbozarsus grcas.

(a)1 1=2 1 1

f0(x) f00(x) + +

5 1f(x) & 1=4 & &1

(b)

1 1 p

33 0

p3

3 1 1

f0(x) + + +f00(x) + + + +

1 0 1f(x) & % 1

5 % & 1

5 & %

1

1

(c)1 2 0 2 1

f0(x) + + f00(x) + +

1 0 1f(x) % % & &

1 1 1 1(d)

1 0 1 2 1

f0(x) + +f00(x) + +

3 1f(x) % & 1 & %

1 1(e)

1 p3 1 0 1 p3 1

f0(x) + + f00(x) + + +

0 0 0

f(x) & p34 & % % & p34 &12

12

(f)1 1 0 2 1

f0(x) + f00(x) +

1 5f(x) & 6 & % &

0 1

249

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22/31

(g)1 4 0 4 1

f0(x) + + + +f00(x) + +

1f(x) % % 0 % %

1

(h)1 2 1 4 6 1

f0(x) + + f00(x) + + + +

0f(x) 1 % & % 1 & &

2 2(i)

1 5 4 2 1

f0(x) + f00(x)

+ +

5f(x) & 0 & % &

3

(j)

1 4 2 0 1 3 5 6 1

f0(x) + + + +f00(x) + +

1 3f(x) & % & & % 2 % & %

0

(k)1 2 0 2 1

f0(x) + + f00(x) + +

3f(x) % 0 % & 2 &

2 0

90. La siguiente grca corresponde a la derivada de una cierta funcin f: a. Halle los extremos relativos de dichafuncin; b. Trace una grca aproximada de f

a) b)

250

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c) d)

91. Dadas las siguientes grcas de funciones, construya una tabla que contenga:1. Signo de f0 y f00 2. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de f3. Valores extremos. 4. Intervalos de concavidad y puntos de inexin

Especique el dominio y el rango de la funcin.

a) b)

c) d)

92. Graque las siguientes funciones, haciendo el anlisis correspondiente

1: f(x) = 2 + (x 3)2=3 2: f(x) = (x + 1)2

x2 + 1 3: f(x) =

1

x 1 x 4: f(x) =x2 1

2x

5: y= x3 3x2 9x + 7 6: y = 1

x 1+ 2 7: y= 2 + (x 3)1=3

8: f(x) =x2 + 1

2x

9: y= x4 3x3 + 3x2 + 1 10: f(x) = x3

(x 1)2 11: f(x) = x1=3 + x4=3 12: y = (x + 2)

px

13: y= (x 1)2 (x + 1)2 14: f(x) = 2x2

x2 1 15: f(x) = 3x2=3 2x 16: y = x

2 + 2x 4x2

17: f(x) = x3

x2 1 18: f(x) = 1p

x 2 19: f(x) = 3x4=3 4x 20: f(x) = x

x2 + 1

21: f(x) = 3x5 + 5x3 22: f(x) =

r x

x 5 23: y= 5x2=3 x5=3 24: f(x) = x

3

x2 + 1

251

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93. Graque las siguientes funciones, haciendo el anlisis correspondiente

1: f(x) =

8>:

x2 2x + 4x 2 si x 1

3: f(x) =

8>>>>>>>:

x3

x2 + 1 si x < 0

arcsen px si 0 x 15 3p

x2 3p

x5 si x > 1

4: f(x) =

8>>>>>>>>>>>:

x3

x2 1 si x < 012x (x

1)

x 2 si 0 x

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111. Un alambre de longitud 1 metro se va a cortar en dos partes. Una se dobla para formar un cuadrado y la otra paraformar un crculo. Dnde debe cortarse el alambre si la suma de las dos reas debe ser mnima?

112. Pes un punto en el primer cuadrante sobre la curva y= 7 x2. Por P se traza la tangente a la curva y sean Ay B los puntos en que corta a los ejes coordenados. Hallar la ordenada de P para que AB sea mnimo.

113. Dos postes de 5 m y 7 m de altura, tienen una separacin de 30 m y se han de sujetar con cables jados enun solo punto, desde el suelo a los extremos superiores de los postes. Dnde se han de jar los cables para que lacantidad a emplear sea mnima?

114. La granja Victoria tiene 80 pies de tela de alambre con la que se planea cercar un corral rectangular al lado de ungranero de 100 pies de largo, como se muestra en la gura (el lado que est junto al granero no necesita cerca).Cules son las dimensiones del corral de mxima rea?

115. La granja Victoria del Problema 114 decide hacer tres corrales idnticos con sus 80 pies de tela de alambre, comose muestra en la gura. Qu dimensiones debe tener el cercado total para que el rea de los corrales sea tan grandecomo se pueda?

116. Suponga que el dueo de la granja del Problema 114 decide usar 80 pies de cerca para construir un corral rectangularque se ajuste a una esquina de 20 40 pies, como se muestra en la gura (toda la esquina debe ser aprovechada yno necesita barda). Qu dimensiones darn al corral la rea mxima?

Ejercicio114 Ejercicio 115 Ejercicio116

117. Encuentre los puntos de la parbola x= 2y2 que estn ms cercanos al punto (10; 0).

118. Se va a cortar una viga rectangular de un tronco de seccin transversal circular. Si la resistencia de una viga esproporcional al ancho y al cuadrado de su altura. Encontrar las dimensiones de la seccin transversal que da la vigade mayor resistencia.

119. Una pgina para impresin va a contener 24pul2 de rea impresa, un margen de 1 12 pul en las partes superiore inferior y un margen de 1 pul en los lados. Cules son las dimensiones de la pgina ms pequea que llenaraestas condiciones?

Respuestas: Ejercicios

1: (1; 4) ; (3;14) ; 2:1: y0 = 1p1x2

; 2:2: y0 = 1p1x2

; 2:3: y0 = 11+x2

; 2:4: y0 = 1jxjpx21

;

2:5: y0 = 1jxjp

x21; 2:6: y0 = 1

1+x2; 3:1: sen y2y cos 2xsen 2xx cosy ; 3:2:

x+2yy2x ; 3:3:

y+2x3+2xy24yx2x ;

3:4: 2x3y2+2xy44x2y22xy ; 3:5:y18x2 3pxy

x(12y2+3pxy); 3:6:

14xypx+y2px+y(2y+x2)1 ; 3:7:

2xy+x23y5x(x+9y4+12xy3)

; 3:8: yx ;

3:9: 20x3+6xy25y4+6x2y

; 3:10: py

24p

x3; 3:11:

ypxypxx ; 3:12:

x3

y3; 3:13: y cosx+sen(xy)sen(xy)sen x ;

3:14: yp1x2

1+p

1x2x+arcsenx ; 3:15:

y2x ; 3:16:

xy21

2y ; 3:17:

y senx+3sen ycosx3x cos y; 3:18:

y cos(xy)11x cos(xy) ;

3:19: 2y sen2xcos 2xsen y ; 3:20: cos2 3y

3 ; 3:21: 2(x+2)3+y3x

3(y3x)y2 ; 3:22: 1xy

xy ; 3:23: 2x3sen y ; 3:24:

4xy ;

3:25: y2x+x 3

pxy2y

2 + 1

33p

(xy)2

; 3:26: 2x

px2+y2x

2px2+y2+y

; 3:27: 35+2y ; 3:28: x1

2y2 ; 3:29: pxy+y

px+yp

xy+xpx+y

;

3:30: sen2xsen 2y ; 3:31: 3x

sec y tan y3x ; 3:32: x1y ; 3:33:

2 yp2x+1

py+1x

2py+1

+p2x+1

; 3:34: sen ysen y+x cosy2sen2y ;

3:35:y 1

2px sen y+

py cosx

pxp

1y2 1

2py senxx

; 3:36: 3x

px2+y22y

2x3ypx2+y2

; 3:37: yp

1(x+y)211x

p1(x+y)2

;

3:38:cos

x2y+x2y2

x

2xy+2xy2

sen

x2y+x2y2

3y2+y(1)1+x(x2+2x2y) sen(x2y+x2y2)

; 3:39: 2xy7y3x2

x7x2y6 ; 3:40:y4 cos

xy3

sen(xy3)3xy3 cos(xy3) ;

253

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26/31

3:41: 3 cot y2x3

3x csc2 y2y3; 4:a: 15; 4:b:y2x cos3 xy+9y5 sen xy

(x cosxy+3y2)3

; 5:a: 2564 ; 5:b: 3x2

8y ;

6:1: 17y 25 + 2x = 0; 6:2: y =2x+ 2; 6:3: 8y 5x+ 12 = 0; 6:4: y= 2x 1; 6:5: y = 1;6:6: y = 6 6x; 6:7: 13y+ 4 x 30 = 0; 6:8: 2y x+ 1 = 0; 6:9: y = 4 + 4+4

x 4

;

7: x2 y2 = 258 ; 8: y = 3; y = 2429 x 837145 ; 9: 4y+ 11x 1 = 0 y 4y+ x 11 = 0; 10: A = 2

16;

11: (x0; x0) y

x0; 12x0

; x06= 0; 12: A= 62524 ; 13: y = 0 y y = 1 x; 14: y = 22 + 1

x;

15: y =

3x+ 2; 16:1: x0 = 14y

3x42yx22y2x+4yx3

; 16:2: x0 =

x+3y2x

y+y3 ; f0(3) =

16 ; 16:3: x

0 =4yx2+y2

ax2

2axy

4x(x2+y2)

;

16:4: x0 = 2yx2

2xy12 ; g0(4) = 212 ; 17: y =2x+ 4; 21:1: Para x2 +y3 1 = 0 : y+ 3

p3 = 49

3p3 (x+ 2) ;

21:2: Para tan 2y = x : 2y x+ = 0; 21:3: Para y3 + 2x = 7y: 2y x+ 1 = 0;21:4: Para x2 xy+ y2 = 3 : 2y x 2p3 = 0 y 2y x+ 2p3 = 0;21:5: Para 2y2 2xy = 1 : 3y x+ 2 = 0 y 3y 2x+ 4 = 0;21:6: Para y2 =x2 4x+ 7 : y = 27

p7x p7 y y =27

p7x+

p7; 21:7: Para sen y= x : y 6 = 23

p3

x 12

;

21:8: Para sen y+ 2 y= x2 : y = 0; 24: a2y0y+ b2x0x= 1; 25:1: Para x2

16 y2

9 = 1 : 4y+ 5 x+ 16 = 0;

25:2: Para x2=3 +y2=3 = 4 : 4y+ 5x+ 16 = 0; 25:3: Para x2

9 + y2

36 = 1 : y 4p

2 =p22 (x+ 1) ;

25:4: Para 2

x2 +y22

= 25

x2 y2 : 13y+ 9 x 40 = 0; 25:5: Para y2 = x3 (2 x) : y = x;25:6: Para 9y2 = (y 1)2 x2 +y2 : y =2; 26:1: arcsen x+ xp

1x2;

26:2: arcsenx

2px +

px

p1x2; 26:3: 1

2pxx2; 26:4: 1

33px2p1x2=3; 26:5: arctan x+

xx2+1 ;

26:6: arctanx2px

+px

x2+1; 26:7: 1

2px(x+1)

; 26:8: 133p

x23p

x2+1

; 26:9: 1(x2+1) arcsenx

arctan xp1x2 arcsen2 x

;

26:10: 1p1x2 arctanx

arcsenx(x2+1) arctan2 x

; 26:11: 12parcsenx

p1x2

; 26:12: 133p

arcsen2 x

1p1x2

; 26:13: 4 arctan3 x

x2+1 ;

26:14: 4 arcsen3 xp

1x2 ; 26:15: 4 (arcsen x arctan x)3

1p1x2

1x2+1

; 26:16: 1

x2r1 1

x2

;

26:17: sec (arcsen x+ sen x) tan(arcsen x+ sen x)

1p1x2

+ cos x

; 26:18: 1

2pxq1(1px)2

; 26:19: xp1x2

;

26:20: 1; 26:21: sec2 xp1tan2 x

; 26:22: 1(1x2)3=2

; 26:23: sec(arcsen x) tan(arcsenx)p

1x2 ; 26:24: 0;

26:25: 12pxx2(1+arcsen2px)

; 26:26: 12

px3+

px

p1arctan2px

; 26:27: 1; 26:28:q

(x+1)2

2x+11

(x+1)2;

26:29: 4xq1(2x2+5)2

; 26:30: cotx cscxp cot2 x

; 26:31: 1x2

; 26:32: 1x2

; 26:33: 1q(x2+1)3

;

26:34: 5p1x2

parccos2 x25 arccosx

; 26:35: 1p1x2

p1arccos2 x

; 26:36: 12px arctanx

px

(arctan2 x)(x2+1);

26:37: 10x4q

1(2x5+1)2; 26:38: 2

4+x2; 26:39: 1p

1x2p

1arcsen2 x; 26:40:

cosx sec13x2+2

sen x 6x

(3x2+2)q

(3x2+2)21(sec1(3x2+2))2

;

26:41: 2x+p

1x2 arccosx2xq

(1x2)(x2arccos2 x); 26:42: 1

x2 arcsen2 x+1

arcsen x+ xp

1x2

; 26:43: 1p

1x2 arcsen2 x;

26:44: 1p1x2

+ csc x cot x; 26:45: 11+x2

+ csc2 x; 26:46:

1

4p

arctanpxpx

px1+x

arcsen(arcsenx)

parctan

pxpxp

1arcsen2 x1p

1x2arcsen2(arcsenx)

;

26:47: 12p

csc x sen1 xp

1x2 cot x sen1 x+1p1x2 arcsen2 x

; 26:48: secx tan xp1sec2 x

; 26:49: 12p

tan1 x1

1+x2 tan1

px+

ptan1 x 11+x

12px

;

26:50: 1

44

scot1( 3px)+

pcot1 x

3 11+3px2 133px2 12pcot1 x 11+x2 2xp1x4; 27: y+ 4 = 12 (x+ 1) y y 4 = 12 (x 1) ;29:1: 4y (+ 2) x+ 2 = 0; 29:2: y+ 6 = 23

p3

x 12

; 30: 12 ; 31: 13 ; 32: 3;33: x 5y+ 13 = 0; 34: x+ y 2 = 0; 35: x 6y+ 5 = 0; 36: x= 3;37:a: x = 0; x= 10; 37:b: x = 6; 38: 14 ; 39: a0 = 0; a1 = 1; a2 = 0; a3 =2; a4 = 0; a5 = 24;40: a0 = 0; a1 = 1; a2 = 0; a3 = 1; a4 = 0; a5 = 9; 41: a0 = 1; a1 = 0; a2 = 1; a3 = 0; a4 =3; a5 =3; a6 = 45;42: a0 =

12 ; a1 =

14 ; a2 = 14 ; a3 = 38 ; a4 =34 ; a5 = 158 ; a6 = 458 ;

46:1: Creciente :1; 12 ; Decreciente : 12 ;1 ; 46:2: Creciente : 1;p33 [ p33 ;1 ; Decreciente : p33 ; p33 ;

46:3: Creciente :(1;1)[ 32 ;1 ; Decreciente : 1; 32 ; 46:4: Creciente :R; Decreciente :?;46:5: Creciente :

1; 13 [ (1;1) ; Decreciente : 13 ; 1 ; 46:6: Creciente :(1; 0)[ (4;1) ; Decreciente :(1;1)[ (0; 4) ;46:7: Creciente :(1;1)[ (0; 1) ; Decreciente :(1; 0) [ (1;1) ; 46:8: Creciente : 0;

12 [ (1;1) ; Decreciente :(1; 0) [

12 ; 1 ;

254

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46:9: Creciente :(1;2)[ (1; 1)[ (2;1) ; Decreciente :(2;1) [ (1; 2) ; 46:10: Creciente :(1;1) ; Decreciente :(1;1) ;

46:11: Creciente :(1; 0) [ 0; 127 [ (4;1) ; Decreciente : 127 ; 4 ; 46:12: Creciente : p22 ; p22 ; Decreciente : 1;p22 [ p22 ; 1 ;46:13: Creciente :(1; 4) ; Decreciente :(4; 6) ; 46:14: Creciente : 0; 12 [ (2;1) ; Decreciente :(1; 0) [ 12 ; 2 ;46:15: Creciente :

16 ; 0 [ (0;1) ; Decreciente : 1; 16 ; 46:16: Creciente : 1; 18 ; Decreciente : 18 ;1 ;46:17: Creciente :

0; 34

; Decreciente :

34 ; 1

; 46:18: Creciente :

1; 2+

p7

3

[p

723 ;1

; Decreciente :

2+

p7

3 ;p723

;

46:19: Creciente :(1

; 0)[ 1; 76 [ 76 ;1 ; Decreciente :(0; 1) ; 46:20: Creciente :(2;1) ; Decreciente :(1;2) ;

46:21: Creciente :14+ n;

12 + n

j n2 Z; Decreciente : n 12 ; 14 + n jn2 Z; 47: a >0 y b2 3ac 0 y g (x) > 0; 50:c: Ninguna; 53:1: Valor mnimo :(1;12) ; Valor mximo :(1; 2) ;53:2: Valor mnimo :(1; 2) ; Valores mximos :

12 ;

52

;

3; 103

; 53:3: Valores mnimos :1; 12 ; 5; 526 ;

Valores mximos :5; 526 ; 1; 12 ; 53:4: Valores mnimos :(4;2) ; (1;2) ; Valores mximos :(3; 2) ; (0; 2) ;

53:5: Valores mnimos :(0; 1) ; (1; 1) ; Valor mximo :34 ;

54

; 53:6: Valor mnimo :

4 ;

p2

; Valores mximos :2 ;1 ; 2 ; 1 ;

54:1: Valor mnimo : No tiene, Valor mximo : 12 ; 814 ; 54:2: Valor mnimo : p33 ; 1 29p3 ; Valor mximo :p33 ; 1 + 29p3 ;

54:3: Valor mnimo :32 ; 614

; Valor mximo :(1; 16) ; 54:4: No tiene valores extremos; 54:5: Valor mnimo :(1; 0) ;

Valor mximo :13 ;

427

; 54:6: Valores mnimos :(1; 0) ; (4;125) ; Valor mximo :(0; 3) ;

54:7: Valor mnimo :(0; 0) ; Valores mximos :(1; 1) ; (1; 1) ; 54:8: Valores mnimos :(0; 0) ; (1; 0) ; Valor mximo : 12 ; 116 ;54:9: Valores mnimos :(

1;

38) ; (2; 16) ; Valores mximos :(

2;

16) ; (1; 38) ; 54:10: Valor mnimo :(

1;

2) ; Valor mximo : No;

54:11: Valor mnimo :(4; 0) ; Valor mximo :127 ; f

127

; 54:12: Valores mnimos :

p22 ; 12

; (1; 0) ;

Valores mximos :(1; 0) ;p

22 ;

12

; 54:13: Valor mnimo :(6; 0) ; Valor mximo :

4; 4

p2

;

54:14: Valores mnimos :(0; 0) ; (2; 0) ; Valor mximo :12 ;

98

3p2

; 54:15: Valor mnimo : 16 ; 565p6

; Valor mximo : No tiene;

54:16: Valor mnimo : No tiene, Valor mximo :18 ;

14

; 54:17: Valores mnimos :(0; 0) ; (1; 0) ; Valor mximo :

34 ;

316

p3

;

54:18: Valor mnimo :p

723 ;

6127 1427

p7

; Valor mximo : 2+

p7

3 ; 1427

p7 + 6127

; 54:19: Valor mnimo :(1;1) ; Valor mximo :(0; 0) ;

54:20: Valor mnimo :(2;202) ; Valor mximo : No tiene; 54:21: Valor mnimo : 14 + n; 1 j n2 Z; Valor mximo : No tiene;55: Mnimo en : x= 3; Mximo en : x =2; 58: a=12 ; b= 2; c= 4; 59: a=14; b= 21; c= 0; d=3;60:1: Concava : Hacia arriba :(0;1) ; Hacia abajo :(1; 0) ; 60:2: Concava : Hacia arriba : 56 ;1 ; Hacia abajo : 1; 56 ;60:3: Concava : Hacia arriba :

13 ;1

; Hacia abajo :

1; 13

; 60:4: Concava : Hacia arriba :(1;1)[ (1;1) ; Hacia abajo :(1; 1) ;

60:5: Concava : Hacia arriba :(0;1) ; Hacia abajo :(1; 0) ; 60:6: Concava : Hacia arriba :(1;1) ; Hacia abajo :(1;1) ;60:7: Concava : Hacia arriba :

p22 ; 0

[p

22 ;1

; Hacia abajo :

1;

p22

[

0;p22

;

60:8: Concava : Hacia arriba :(1;1)[

p55 ;

p55

[ (1;1) ; Hacia abajo :

1;

p55

[p

55 ; 1

;

60:9: Concava : Hacia arriba :1; 12 [ (1;1) ; Hacia abajo : 12 ; 1 ; 60:10: Concava : Hacia arriba :(1;2)[ (0;1) ;

Hacia abajo :(2; 0) ; 60:11: Concava : Hacia arriba :(0;1) ; Hacia abajo :(1; 0) ; 60:12: Concava : Hacia arriba :(1;1) ;Hacia abajo : No tiene ; 60:13: Concava : Hacia arriba :(1;3) [ (3; 0) ; Hacia abajo :(0;1) ;

60:14: Concava : Hacia arriba :(1; 1) ; Hacia abajo : No tiene; 60:15: Concava : Hacia arriba : (4n 1) 4 ; (4n+ 1) 4 j n2 Z;Hacia abajo :

(4n+ 1) 4 ; (4n+ 3)

4

jn2 Z; 60:16: Concava : Hacia arriba : (4n+ 1) 4 ; (4n+ 3) 4 jn2 Z;Hacia abajo :

(4n 1) 4 ; (4n+ 1) 4

j n2 Z; 60:17: Concava : Hacia arriba :(1; 0) ; Hacia abajo :(0;1) ;60:18: Concava : Hacia arriba :

(4n+ 1) 2 ; (4n+ 3)

2

jn2 Z; Hacia abajo : (4n 1) 2 ; (4n+ 1) 2 j n2 Z; 62: a= 398 ; b= 132 ;63: a=

1; b= 3; 64: a = 2

9

; b= 1

3

; c =

4

3

; d= 7

9

; 65: a = 6; b= 3; 66: a= 2; b = 2; c = 0; d= 3;

67:a: Ninguna; 67:b: g (x)> 0; f(x)> 0; f; g con la misma monotonia ; 67: c: f 0(g (x))> 0; 70: a=16 ; b= 12 ; c= 23 ;71: a= 1; b=3; c = 3; 74:1: Creciente :R; Decreciente :?; Valor Mnimo : No tiene, Valor Mximo : No tiene,

Concava hacia arriba : (0;1) ; Concava hacia abajo :(1; 0) ; Punto de inexin :(0;1) ;74:2: Creciente :(1;4)[ (0;1) ; Decreciente :(4; 0) f2g ; Valor Mnimo :(0; 3) ; Valor Mximo :(4;5) ;

Concava hacia arriba : (2;1) ; Concava hacia abajo :(1;2) ; Punto de inexin : No tiene;74:3: Creciente :

14 ;1

; Decreciente :

0; 14

; Valor Mnimo :

14 ; 14

; Valor Mximo :(0; 0) ;

Concava hacia arriba : (0;1) ; Concava hacia abajo :?; Punto de inexin : No tiene;

74:4: Creciente :1; 32 ; Decreciente : 32 ; 2 [ (2;1) ; Valor Mnimo : No tiene, Valor Mximo : 32 ; 3 3p44 ;

Concava hacia arriba :1; 95 ; Concava hacia abajo : 95 ; 2 [ (2;1) ; Punto de inexin : 95 ; 9 3p2525 ;

255

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28/31

74:5: Creciente :(1; 0)[ (0; 2) [ (6;1) ; Decreciente :(2; 6) ; Valor Mnimo :(0; 0) ; Valor Mximo :

2; 3p

32

;

Concava hacia arriba :(2; 6) [ (6;1) ; Concava hacia abajo :(1; 0) ; Punto de inexin :(0; 0) ;74:6: Creciente :(1;1)[ (1;1) ; Decreciente :(1; 1) ; Valor Mnimo :(1;2) ; Valor Mximo :(1; 2) ;

Concava hacia arriba :

p22 ; 0

[p

22 ;1

; Concava hacia abajo :

1;

p22

[

0;p22

;

Punto de inexin :

p22 ;

7p2

8

; (0; 0) ;

p22 ; 7

p2

8

;

74:7: Creciente :(0;1) ; Decreciente :(1; 0) ; Valor Mnimo :(0; 0) ; Valor Mximo : No tiene, Concava hacia arriba :(1;1) ;Concava hacia abajo :?; Punto de inexin : No tiene ;

74:8: Creciente :14 ;1

; Decreciente :

1; 14 f0g ; Valor Mnimo : 14 ; 158 3p2 ; Valor Mximo : No tiene,Concava hacia arriba :

1; 12 [ (0;1) ; Concava hacia abajo : 12 ; 0 ; Punto de inexin : 12 ; 94 3p4 ; (0; 0) ;74:9: Creciente :

1; 34 ; Decreciente : 34 ;1 ; Valor Mnimo : No tiene, Valor Mximo : 34 ; 238 ; Concava hacia arriba :?;Concava hacia abajo :R; Punto de inexin : No tiene;

74:10: Creciente :

0; 13

; Decreciente :13 ;1

; Valor Mnimo :(0; 0) ; Valor Mximo :

13 ;

29

p3

; Concava hacia arriba :?;

Concava hacia abajo :(0;1) ; Punto de inexin : No tiene;74:11: Creciente :R; Decreciente :?; Valor Mnimo : No tiene, Valor Mximo : No tiene, Concava hacia arriba :(1;1) ;

Concava hacia aba jo :(1; 1) ; Punto de inexin : No tiene;74:12: Creciente :R; Decreciente :?; Valor Mnimo : No tiene, Valor Mximo : No tiene, Concava hacia arriba :(0;1) ;

Concava hacia aba jo :(

1; 0) ; Punto de inexin :(0; 1) ;

74:13: Creciente :(1;1) ; Decreciente :(1; 1) ; Valor Mnimo :(1;6) ; Valor Mximo : No tiene,Concava hacia arriba :(1; 0) [ 23 ;1 ; Concava hacia abajo : 0; 23 ; Punto de inexin :(0;5) ; 23 ; 15127 ;

74:14: Creciente :

3p4;1

; Decreciente :

0; 3p

4

; Valor Mnimo : No tiene, Valor Mximo :

3p4; 13p4

+ 6p

4

;

Concava hacia arriba :(0; 4) ; Concava hacia abajo :(4;1) ; Punto de inexin : 4; 94 ;74:15: Creciente :(1;2) [ (0;1) ; Decreciente :(2; 0) ; Valor Mnimo :(0; 0) ; Valor Mximo :(2;4) ;

Concava hacia arriba :(1;1) ; Concava hacia abajo :(1;1) ; Punto de inexin : No tiene;74:16: Creciente :R; Decreciente :?; Valor Mnimo : No tiene, Valor Mximo : No tiene, Concava hacia arriba :(1;1) ;

Concava hacia aba jo :?; Punto de inexin : No tiene; 83:1: A.H. :y = 0; A.V. :x =1;83:2: A.H. :y = 0; A.V. :x =1; 83:3: A.H. :y = 2; A.V. :x= 3; 83:4: A.H. :y= 0; A.V. :x =3;83:5: A.H. :y = 0; A.V. : No tiene ; 83:6: A.H. :y= 2; A.V. : No tiene ; 83:7: A.H. :y = 1; A.V. :x=4;

83:8: A.H. :y = 1; A.V. :x =1; 83:9: A.H. :y = 0; A.V. :x=1; 83:10: A.H. :y = 1; A.V. :x= 0;83:11: A.H. :y= 1; A.V. :x =2; 83:12: A.H. : No tiene; A.V. :x=5; x= 2; 84: y = 2x+ 3;85: y = 3x+ 4; 86: A.H. :y = 2 ; A.V. :x= 1; A.O. :y = 2x+ 3;

92:1:

52.50-2.5-5

6

5.5

5

4.5

4

3.5

3

2.5

x

y

x

y ; 92:2:

20100-10-20

2

1.5

1

0.5

0

x

y

x

y ;

92:3:

52.50-2.5-5

20

10

0

-10

-20

x

y

x

y ; 92:4:

2.51.250-1.25-2.5

20

10

0

-10

-20

x

y

x

y ;

256

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29/31

92:5:

52.50-2.5-50

-25

-50

-75

-100

-125

xy

xy

; 92:6:

52.50-2.5-5

25

12.5

0

-12.5

-25

x

y

x

y ;

92:7:

1050-5-10

3.75

2.5

1.25

0

x

y

x

y ; 92:8:

210-1-2

15

10

5

0

-5

-10

-15

x

y

x

y ;

92:9:

2.51.250-1.25

50

37.5

25

12.5

0

x

y

x

y ; 92:10:

52.50-2.5-5

50

37.5

25

12.5

0

x

y

x

y ;

92:11:

2.51.250-1.25-2.5

6.25

5

3.75

2.5

1.25

0

x

y

x

y ; 92:12:

0-1.25-2.5-3.75-5

0

-1.25

-2.5

-3.75

-5

-6.25

x

y

x

y ;

92:13:

2.51.250-1.25-2.5

30

25

20

15

10

5

0

x

y

x

y ; 92:14:

2.51.250-1.25-2.5

25

12.5

0

-12.5

-25

x

y

x

y ;

257

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30/31

92:15:

53.752.51.250-1.25

10

7.5

5

2.5

0

x

y

x

y ; 92:16:

1050-5-10

2.5

0

-2.5

-5

-7.5

-10

x

y

x

y ;

92:17:

2.51.250-1.25-2.5

15

10

5

0

-5

-10

-15

x

y

x

y ; 92:18:

6.2553.752.51.250

15

12.5

10

7.5

5

2.5

0

x

y

x

y ;

92:19:

420-2

20

15

10

5

0

x

y

x

y ; 92:20:

151050-5-10-15

0.5

0.25

0

-0.25

-0.5

x

y

x

y ;

92:21:

2.51.250-1.25-2.5

500

250

0

-250

-500

x

y

x

y ; 92:22:

0-1.25-2.5-3.75-5

0.625

0.5

0.375

0.25

0.125

0

x

y

x

y ;

92:23:

52.50-2.5

15

10

5

0

-5

x

y

x

y ; 92:24:

52.50-2.5-5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y ;

258

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31/31

93:1:

107.552.50-2.5-5

1.25

0

-1.25

-2.5

-3.75

-5

x

y

x

y ; 93:2:

20-2-4

5

3.75

2.5

1.25

0

-1.25

x

y

x

y ;

93:3:

52.50-2.5-5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y ; 93:4:

52.50-2.5-5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y ;

94: 2p3 y 2p3; 95: x = 9; 96: (0; 0) : (4; 0) : (0; 6) ; 97: Lado del cuadrado : 10p3

9+4p3

Lado del tringulo : 309+4

p3

;

98: 50 25; 99: No existe; 100: x= 5 y y = 5; 101: x = 5 : y =5 y d= 5p2; 102: 9p7

km:;

103: Se corta en 4p3l

9+4p3

; 104: 50 50; 105: x= 9; y = 18; 106: 8p5; 107: x = 3; y = 34 (4 ) ;

108: Ancho = 40p

3; Altura = 40p

6; 109: 2p

2; 110: x= 2; 111: Mnimo :

44+ ;

(+2)2

4(+4)2

Se corta en 44+ ;

112: y = 39964 ; 113: x= 252 ; 114: x= 20; y = 40; 115: 10 40; 116: 20 50;

117:

394 ;

q398

;

394 ;q

398

Bibliograa

1. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: Clculo". Novena Edicin. PEARSON Prentice Hall.

2. Stewart, J.: Clculo". Grupo Editorial Iberoamericano.

Documents

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