Ces problèmes, issus de sujets de baccalauréat, présentent

Problèmes concrets niveau 1S

Ces problèmes, issus de sujets de baccalauréat, présentent des problèmes concrets à résoudre, entreautre, en première S. Pour certains d’entre-eux, deux version sont présentes, en fonction de l’interacti-vité avec des chapitres qui n’ont pas été traités (produit scalaire par exemple), dans la progression.

Première S Lycée Cassini

CHOISIR UNE BELLE ASSISE

On veut réaliser une chauffeuse (fauteuil sans ac-coudoirs) dont le profil est représenté sommaire-ment dans le repère (O ; x, y) ci-contre.Le repère étant orthonormal (unité non spéci-fiée), on donne les indications suivantes :– la ligne reliant les points A et B est un arc decercle de rayon 2.– [BC] est un segment de droite horizontal, [EF]un segment de droite vertical.– la ligne reliant C à E en passant par le sommet Dest la courbe représentative C f d’une fonction f

définie sur [0 ; 3] parf (x) = ax3

+bx2+cb, où a ,b et c sont des nombres

à déterminer.b

b b

b

b

b

A

B C

D

E

FO x

y

1. En utilisant les coordonnées des points C(0 ; 2), D(2 ; 6) et E(3 ;2) et la fonction f , écrire un systèmed’équations dont les inconnues sont a et b et c, puis résoudre ce système.

2. On note f ′ la fonction dérivée de f . Donner l’expression de f ′(x) pour tout x.

3. a. Justifier à l’aide de la fonction f ′ que le segment [BC] et la courbe C f ont des tangentes com-munes au point C.

b. Donner le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse E.

Cette tangente est-elle la droite (EF) ?

4. Étudier les variations de la fonction f sur [0 ; 3].

5. À l’aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant :x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

f (x)

Sachant de plus que l’abscisse du point A vaut −4, réaliser dans le repère donné ci-dessous, unprofil précis de la chauffeuse.

O −→

ı

−→

x

y

2 Problèmes concrets


UN FAUTEUIL POUR DEUX

Un designer de l’entreprise « Duo » lance un projet de fauteuil double (figure 1). Le profil du dossier de cefauteuil est modélisé mathématiquement. On se propose, au cours des deux parties du problème, d’eneffectuer le tracé en annexe 1.

Figure 1

Partie A : Étude de la fonction associée à un premier dossier

Le profil de l’un des deux dossiers de ce fauteuil peut être modélisé par un arc de parabole noté P f dontl’équation est de la forme y =−x2

+6x −8.On considère la fonction f définie sur [2 ; 4] par :

f (x) =−x2+6x −8.

1. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 4]. Justifier.

2. Recopier et compléter, à l’aide de la calculatrice, le tableau de valeurs de la fonction f ci-dessous(on laissera les valeurs exactes).

x 2 2,25 2,5 2,75 3 3,25 3,5 3,75 4f (x)

3. Tracer, sur l’annexe 1, l’arc de parabole P f représentatif de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 4].

4. a. Justifier que f ′(2), nombre dérivé de la fonction f en 2, est égal à 2.

Interpréter graphiquement ce résultat.

b. Tracer, sur l’annexe 1, la tangente (T ) à P f au point A d’abscisse 2.

Partie B : Détermination de la fonction associée au second dossier

Le profil du second dossier du fauteuil est un arc de parabole noté Pg représentant la fonction g définiesur [2 ; 4] par :

g (x) = ax2+bx +c où a, b et c sont des nombres réels.

1. a. Cet arc de parabole Pg passe par l’origine du repère O(0 ; 0) et se raccorde à l’arc P f au pointA de coordonnées (2 ; 0).

En déduire les valeurs de g (0) et de g (2).

b. On veut que les deux arcs de parabole admettent une tangente commune au point d’abscisse2.

À l’aide de la question 4. a. de la partie A, préciser la valeur du nombre dérivé g ′(2).



2. En exploitant les résultats des deux questions précédentes 1. a. et 1. b., établir que c = 0, puis quea et b sont solutions du système :

4a+2b = 04a+b = 2

Résoudre le système et en déduire l’expression de la fonction g .

3. On admet que l’arc de parabole Pg est symétrique de l’arc P f par rapport au point A. Tracer Pg ,sur l’annexe 1.

0,5

1,0

1,5

−0,5

−1,0

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0O



MATHÉMATIQUES ET DÉCORATION

Le but de cet exercice est de donner une construction à l’aide d’outils mathématiques de la frise sui-vante :

On appellera « motif » la figure suivante :

Partie A :

La courbe C f tracée sur le graphique donné en fin de problème est la représentation graphique d’unefonction f définie pour tout nombre réel x de l’intervalle [0 ; 2] par f (x) = ax2

+ bx + c ; nous allonsdéterminer les trois nombres a, b et c.On précise que cette courbe passe par les points O(0 ; 0), A(1 ; 1) et B(2 ; 0).

1. a. En utilisant la situation de la fonction f relative au point O, montrer que c = 0.

b. Montrer ensuite que les deux nombres a et b sont solutions du système :

4a+2b = 0

a+b = 1

2. Calculer a et b.

Partie B :

On considère par la suite la fonction f définie sur [0 ; 2] par f (x) =−x2+2x.

1. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f . Déterminer l’expression de f ′(x) pour tout nombreréel x.

2. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point B ; tracer cette tangentesur la courbe du graphique ci-dessous :



0

1

2

−1

−2

1 2 3 4 5 6

Ab

−→

ı

−→

Partie C :

Soit g la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle [2 ; 3] par :

g (x) = 2x3−14x2

+30x −20

et Cg sa représentation graphique.

1. Calculer g (2) ; en déduire que la courbe Cg passe par le point B.

2. On note g ′ la fonction dérivée de la fonction g . Déterminer l’expression de g ′(x) pour tout nombreréel x.

3. Calculer g ′(2) ; en déduire que les courbes C f et Cg admettent la même tangente au point B.

4. Calculer g (3) et g ′(3) ; quelle est la particularité de la tangente à la courbe Cg en son point Cd’abscisse 3 ?

Placer le point C et cette tangente.

Partie D :

1. Déterminer le signe de g ′ sur l’intervalle [2 ; 3]. En déduire le tableau de variations de g sur cemême intervalle.

2. Tracer une représentation graphique de la fonction g sur l’intervalle [2 ; 3] sur le graphique 1 del’annexe 1.

3. Indiquer par quelles transformations du plan on peut maintenant obtenir le motif dessiné enpréambule. Construire ce motif sur l’annexe 1.

4. Par quelle(s) transformation(s) peut-on obtenir la frise à partir du motif tracé ?

5. En utilisant des points judicieusement choisis, tracer une allure de la frise ainsi obtenue sur legraphique ci-dessous :

1

2

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12−1−2−3−4−5−6



AMÉNAGEMENT DU TERRITOIRE VERSION 1

Afin d’éviter le passage en centre ville d’une ligne TGV, on effectue un changement de tracé de cetteligne. On procède à un contournement de la ville, dont une partie aura la forme d’un arc de cercle C . Cetarc de cercle a pour centre le point G (ancienne gare) et débute en A (nouvelle gare) pour s’achever en Bet se poursuivre de façon rectiligne. Le tronçon initial s’arrête en O.

b b

b b

O

A BC

G

Vue aérienne du tracé de la ligne TGV

Il s’agit donc de relier les points 0 et A par une courbe F qui admette en 0 une tangente horizontale, etsoit tangente en A à l’arc de cercle C (c’est-à-dire admettant la même tangente en ce point).

Pour déterminer précisément la courbe F , on se place dans un repère orthonormé(O ;

−→

OI ,−→

OJ).

0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0

b

b b

bO

A B

G

Dans ce repère, on a les coordonnées suivantes : G(5,5 ; 0) et A(4 ; 3)

Partie A

On considère le point H(6 ; 4).

1. Déterminer le coefficient directeur de la droite (AH).

2. Démontrer que les vecteurs−−→

AG et−−→

AH sont orthogonaux.

3. En déduire que la droite (AH) est tangente en A à la courbe C .

Partie B

La courbe F est la courbe représentative sur l’intervalle [0 ; 4] d’une fonction f de la forme :

f (x) = ax3+bx2

+cx +d .

1. Déterminer graphiquement f (0) et f (4).



2. a. On note f ′ la dérivée de la fonction f . En interprétant le fait que le raccordement est tangentaux deux tronçons existants, déterminer f ′(0).

b. Justifier que f ′(4) vaut 12 .

3. Donner l’expression de f ′(x).

4. En utilisant les trois questions précédentes, déterminer les valeurs de c et de d , puis un systèmed’équations dont les coefficients a et b soient solution. Résoudre ce système.

5. On admet que f est définie sur [0 ; 4] par f (x) = −

1

16x3

+

7

16x2. Étudier les variations de f sur

[0 ; 4].

6. Représenter graphiquement f sur l’intervalle [0 ; 4] sur la figure fournie précedemment.



AMÉNAGEMENT DU TERRITOIRE VERSION 2 (SANS PRODUIT SCALAIRE)

Afin d’éviter le passage en centre ville d’une ligne TGV, on effectue un changement de tracé de cetteligne. On procède à un contournement de la ville, dont une partie aura la forme d’un arc de cercle C . Cetarc de cercle a pour centre le point G (ancienne gare) et débute en A (nouvelle gare) pour s’achever en Bet se poursuivre de façon rectiligne. Le tronçon initial s’arrête en O.

b b

b b

O

A BC

G

Vue aérienne du tracé de la ligne TGV

Il s’agit donc de relier les points 0 et A par une courbe F qui admette en 0 une tangente horizontale, etsoit tangente en A à l’arc de cercle C (c’est-à-dire admettant la même tangente en ce point).

Pour déterminer précisément la courbe F , on se place dans un repère orthonormé(O ;

−→

OI ,−→

OJ).

0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0

b

b b

bO

A B

G

Dans ce repère, on a les coordonnées suivantes : G(5,5 ; 0) et A(4 ; 3)

Partie A

On considère le point H(6 ; 4).

1. Montrer que le triangle AGH est rectangle en A.

2. En déduire que la droite (AH) est tangente en A à la courbe C .

3. Déterminer le coefficient directeur de la droite (AH).

Partie B

La courbe F est la courbe représentative sur l’intervalle [0 ; 4] d’une fonction f de la forme :

f (x) = ax3+bx2

+cx +d .

1. Déterminer graphiquement f (0) et f (4).



2. a. On note f ′ la dérivée de la fonction f . En interprétant le fait que le raccordement est tangentaux deux tronçons existants, déterminer f ′(0).

b. Justifier que f ′(4) vaut 12 .

3. Donner l’expression de f ′(x).

4. En utilisant les trois questions précédentes, déterminer les valeurs de c et de d , puis un systèmed’équations dont les coefficients a et b soient solution. Résoudre ce système.

5. On admet que f est définie sur [0 ; 4] par f (x) = −

1

16x3

+

7

16x2. Étudier les variations de f sur

[0 ; 4].

6. Représenter graphiquement f sur l’intervalle [0 ; 4] sur la figure fournie précedemment.



MATHÉMATIQUES ET PAVAGE, L’ART D’EMBELLIR UNE TERRASSE.

Dans cet exercice on s’intéresse à la réalisation d’un pavé autobloquant.

Les parties A et B sont consacrées à la construction géométrique du pavé. La partie C concerne l’utilisa-tion du pavé pour constituer un pavage. Les trois parties sont indépendantes.

Dans un repère orthogonal(O,

−→

ı ,−→

), on considère les six points A(−6 ; 0), B(6 ; 0), C(12 ; −6), D(6 ; −12),

E(−6 ; −12) et I(0 ; −6).Ces points sont placés sur l’annexe 2 où l’on effectuera tous les dessins demandés.Le contour du pavé est fait d’une suite d’arcs de cercle et d’arcs de parabole joignant les points A, B, C,D et E. Nous allons définir et construire ces différents arcs.

Partie A

1. L’arc ØAE est une portion de cercle de centre I.

a. Calculer son rayon.

b. Donner une équation cartésienne de ce cercle.

c. Tracer sur l’annexe 2, l’arc de cercle ØAE.

2. Montrer que le triangle AIE est rectangle en I.

3. Soit F le symétrique de I par rapport à la droite (AE).

a. Donner les coordonnées de F.

b. Quel est la nature du quadrilatère IAFE ? Justifier votre réponse.

c. Montrer que la droite FE est tangente en E à l’arc ØAE.

d. Vérifier que la droite (FE) a pour équation y =−x −18.

4. Le but de cette question est de construire l’arc de cercle ØED.

a. Quelle est la médiatrice du segment [ED] ?

Soit J le point d’intersection de la droite (FE) avec cette médiatrice. Déterminer ses coordon-nées.

b. Sachant que les tangentes en E aux arcs de cercles ØAE et ØED sont perpendiculaires :• Que représente le point J ? Justifier votre réponse.• Tracer sur l’annexe 2 l’arc de cercle ØED.

5. On considère les points K(6 ; −6) et L(12 ; 0). Tracer sur l’annexe 2 le quart de cercle de centre Kjoignant C à D, ainsi que le quart de cercle de centre L joignant B à C.

Partie B

La portion de contour du pavé joignant A à B est constituée de deux arcs de paraboles se raccordant enO. Nous allons définir ces deux arcs de parabole.

OA Bbb b

Partie supérieure du pavé



L’arc ØAO est un arc de parabole. C’est la représentation graphique d’une fonction f définie sur [−6 ; 0]

par f (x) = ax2+bx+c dans le repère orthonormé

(O,

−→

ı ,−→

). L’objectif est de déterminer les coefficients

a, b et c. On note f ′ la dérivée de la fonction f .

1. a. Sachant que la tangente en A à l’arc de parabole ØAO est la droite (AI), quel est le coefficientdirecteur de cet tangente ?

b. Déduire des informations géométrique les valeurs numériques de f ′(−6), f (−6) et f (0).

c. Exprimer ces valeurs en fonction des coefficients a, b et c.

d. En déduire l’expression de la fonction f .

2. a. Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole.

b. Tracer l’arc de parabole ØAO sur la figure ci-dessous :

0

2

0 2O −→

ı

−→

b

bb

bb

bA B

C

DE

I

3. Soit g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 6] par g (x) = −

x2

6+ x. On admet que l’arc ØOB est

la courbe représentative de la fonction g dans le repère orthonormé(O,

−→

ı ,−→

). On note g ′ la

dérivée de g .

a. Calculer g (0), g (6) et g ′(0).

b. En déduire que les arcs ØAO et ØOB se raccordent en O avec des tangentes identiques.

4. a. Établir le tableau de variation de g sur l’intervalle [0 ; 6].

b. Fn déduire les coordonnées du sommet S′ de cette parabole.

c. Quelle relation y a-t-il entre S et S′ ? En déduire une construction de l’arc ØOB à partir de l’arcØAO et le tracer sur la figure précédente.



PARTIE C

On considère le dessin joint sur lequel est mis en évidence un motif grisé. Les points figurant sur cedessin seront utilisés pour définir les transformations demandées.

P1 P2

P3 P5 P6

P8 P11

P12 P13

1. Donner une suite de transformations permettant d’obtenir ce motif à partir du pavé construitdans les parties A et B.

2. Donner deux translations qui permettent de recouvrir le plan à partir de ce motif.



MATHÉMATIQUES ET INFOGRAPHIE. Sur Internet, un site de banque d’images propose une illustrationdu drapeau flottant au vent de chaque nation ou région.

On se propose de réaliser un prototype de ce drapeau comme le montre le schéma ci-dessous.

motif supérieur

motif inférieur

Partie A Étude de la fonction f définie sur [0 ; 4] par

f (x) =−x3+7x2

−11x.

La courbe C représentant f dans un repère orthogonal est tracée en fin de problème.

1. Montrer que pour tout x, on a f (x) = x(−x2

+7x −11).

2. a. Résoudre dans l’intervalle [0 ; 4] l’équation f (x) = 0. La solution non nulle sera notée xE.

b. On note E le point de C d’abscisse xE. Placer le point E sur cette courbe.

3. Étudier le signe du trinôme du second degré −3x2+14x −11 sur R.

4. En déduire le tableau de variation de f sur [0 ; 4].

On donnera une valeur approchée à 0,01 près du maximum de f sur [0 ; 4]

Partie B Raccordement de deux courbes

On souhaite terminer le motif inférieur du drapeau en raccordant au point A(4 ; 4) la courbe C à uneautre courbe D.

On appelle g la fonction affine définie sur [4 ; 7] par :

g (x) =−3x +16.

On note D la représentation graphique de g dans le repère de la partie A.

1. Tracer D sur l’annexe 3 (on se limite à l’intervalle [4 ; 7]).

2. Montrer par un calcul que A est un point commun à C et D.

3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à C au point A.

4. En déduire que la tangente au point A à C et la droite D sont confondues.

Partie C Fin de la construction du prototype

On considère le vecteur−→

u dessiné sur la figure ci-dessous, on appelle t la translation de vecteur 8−→

u . Lemotif supérieur est l’image du motif inférieur par la translation t .

Achever sur l’annexe 3 la construction du dessin du drapeau flottant au vent.



5

10

15

20

25

30

35

40

45

−5

−10

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5−0,5−1,0−1,5

−→

u

b

b

OA



MATHÉMATIQUES ARCHITECTURE.

Une volute est un motif d’ornementation, constitué par un enroulement en forme de spirale et utilisénotamment dans les chapiteaux de colonnes ioniques.

Le but de ce problème est de déterminer une fonction f dont la courbe C f restreinte à l’intervalle [0 ; 4]permet de raccorder le segment [RO] à une spirale au point I en respectant les trois contraintes sui-vantes :

— La fonction f est une fonction polynôme de degré 3— Au point O, les tangentes à la courbe C f et au segment [RO] sont communes.— Au point I, les tangentes à la courbe C f et à la spirale sont communes.

Sur la figure ci-dessous, le repère est orthonormé. Les points R, O , I et C ont pour coordonnées :

R(−1 ; 0), O(0 ; 0), I(4 ; 3) et C(6 ; 2).

1

2

3

4

5

6

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3

b b

b

b

b

C f

R O

I

B

C

1. Expliquer pourquoi f (0) = 0 et f ′(0) = 0.

2. Soit (T ) la tangente en I à l’arc de cercle BI de centre C. Soit le point A de coordonnées A(5 ; 5).

a. Calculer les coordonnées des vecteurs−→

IA et−→

IC . Calculer−→

IA ·

−→

IC et en déduire que la droite(IA) et la tangente (T ) sont confondues.



b. Quel est le coefficient directeur de (T ) ?

c. En déduire que f (4) = 3 et f ′(4) = 2.

3. La fonction f cherchée est une fonction polynôme de degré 3, et s’écrit

f (x) = ax3+bx2

+cx +d où a,b,c et d sont des nombres réels.

a. Déterminer l’expression de f ′(x).

b. En utilisant la question 1, montrer que e = d = 0.

c. On admet que f est définie par

f (x) =1

32x3

+

1

16x2.

Vérifier les quatre conditions de raccordement : f (0) = 0, f ′(0) = 0,

f (4) = 3, f ′(4) = 2.

4. Montrer que f ′(x) =x(3x +4)

32et en déduire le tableau de variation de f sur [0 ; 4].



MATHÉMATIQUES ET INFOGRAPHIE

Un designer-graphiste a imaginé le logo ci-dessous. Il est constitué de deux demi-cercles concentriqueset d’une courbe. L’objectif de cet exercice est de reproduire ce logo.

Partie A : Les demi-cercles

1. Dans le repère orthonormal(O,

−→

ı ,−→

)de l’annexe 1, on a placé les points A(5 ; 2) et B(−1 ; 2)

puis on a tracé le demi-cercle supérieur joignant les points A et B.

a. Donner une équation cartésienne du cercle de diamètre [AB].

b. Déterminer par le calcul les coordonnées exactes du point d’intersection de l’axe des ordon-nées avec ce demi-cercle.

2. a. Sur la figure fournie en fin de problème, placer le point C(4 ; 4) puis tracer le demi-cerclejoignant les points C et O, correspondant au deuxième demi-cercle du logo.

b. Tracer la droite (T ), tangente à ce demi-cercle au point O. Déterminer graphiquement le co-efficient directeur de (T ).

Partie B : La courbe

On souhaite construire la base du logo avec un raccordement lisse en O.Soit f la fonction définie sur [0 ; 5] par

f (x) =−0,072x3+0,64x2

−x.

On note C f la courbe représentant la fonction f dans le repère de la figure fournie en fin de problème.

1. Justifier que la courbe C f passe par les points O et A.

2. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f .

a. Calculer f ′(x).

b. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 0.

c. Calculer f ′(5) et donner une interprétation graphique du résultat obtenu.

d. Vérifier que f ′(x) = 0,008(5−x)(27x −25).

3. En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 5].

4. Compléter le tableau de valeurs de la fonction f (on arrondira à 10−3 près) :x 0 1 2 3 4 5

f (x) −0,016 1,632

5. Sur la figure, compléter le logo en traçant C f



b b

b

b b bB A

OI

J



MATHÉMATIQUES ET INFOGRAPHIE, VERSION 2

Un designer-graphiste a imaginé le logo ci-dessous. Il est constitué de deux demi-cercles concentriqueset d’une courbe. L’objectif de cet exercice est de reproduire ce logo.

Partie A : Les demi-cercles

1. Dans le repère orthonormal(O,

−→

ı ,−→

)de l’annexe 1, on a placé les points A(5 ; 2) et B(−1 ; 2)

puis on a tracé le demi-cercle supérieur joignant les points A et B.

a. Donner une équation cartésienne du cercle de diamètre [AB]. (Une équation du cercle decentre Ω et de rayon r dans un repère orthonormal est (x −xΩ)2

+

(y − yΩ

)2= r 2.)

b. Déterminer par le calcul les coordonnées exactes du point d’intersection de l’axe des ordon-nées avec ce demi-cercle.

2. a. Sur la figure fournie en fin de problème, placer le point C(4 ; 4) puis tracer le demi-cerclejoignant les points C et O, correspondant au deuxième demi-cercle du logo.

b. Tracer la droite (T ), tangente à ce demi-cercle au point O. Déterminer graphiquement le co-efficient directeur de (T ).

Partie B : La courbe

On souhaite construire la base du logo avec un raccordement lisse en O.Soit f la fonction définie sur [0 ; 5] par

f (x) =−0,072x3+0,64x2

−x.

On note C f la courbe représentant la fonction f dans le repère de la figure fournie en fin de problème.

1. Justifier que la courbe C f passe par les points O et A.

2. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f .

a. Calculer f ′(x).

b. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 0.

c. Calculer f ′(5) et donner une interprétation graphique du résultat obtenu.

d. Vérifier que f ′(x) = 0,008(5−x)(27x −25).

3. En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 5].

4. Compléter le tableau de valeurs de la fonction f (on arrondira à 10−3 près) :x 0 1 2 3 4 5

f (x) −0,016 1,632

5. Sur la figure, compléter le logo en traçant C f



b b

b

b b bB A

OI

J


Documents

Ces problèmes, issus de sujets de baccalauréat, présentent