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C’est quoi, une limite ?

C’est quoi, une limite ?Eh bien, on dit qu’une fonction f admet pour limite le nombre reel L en +∞ si etseulement si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs f(x) pour xassez grand.Euh ...Tu comprendras quand tu seras plus grande.Non, mais en vrai c’est quoi une limite ?Je t’ai donne la definition officielle de terminale, mais je veux bien avouer qu’elle n’estpas tres parlante. Je crois que les mathematiciens ont mis au moins 300 ans avantd’arriver a ce genre de definition depuis le moment ou ils ont commence a introduire leconcept de limite. Ca doit vouloir dire que, bien que cette definition soit breve, elle estdifficile.

Borne, majorant, minorant

Mais quand meme, le mot limite existe dans le langage courant ! Il doit bien y avoir unrapport ! Si je cherche dans un dictionnaire, je vois des synonymes : barriere, bord, bordure,borne, bout, extremite, fin, frontiere, lisiere, mur. Cela semblerait dire qu’une limite, c’estquelque chose qu’on ne franchit jamais. Moi je dirais que f(x) n’atteint jamais la valeur L,c’est-a-dire que f(x) < L.Comme d’habitude, les mathematiques empruntent des mots au langage courant et lesdetournent de leur sens usuel. Dire que f(x) < L, ce n’est pas dire que L est la limitede f (pas au sens mathematique officiel), mais c’est dire que L est un majorant (ausens strict) de la fonction f . Toute la courbe de f est en-dessous de la droite horizontaled’equation y = L. Mais ce n’est pas cela la definition d’une limite.Le majorant, c’est le maximum ?Non, parce que le maximum est une valeur qui est effectivement prise par la fonction,c’est-a-dire qu’il existe un point de la courbe qui a pour ordonnee ce maximum. Ce n’estpas le cas pour un majorant au sens strict, puisque f(x) < L pour tout x : l’ordonneeL n’est jamais atteinte.Mais il y a un autre probleme : tu as dit « le » majorant. Ce n’est pas correct. Si unefonction admet un majorant, alors elle en admet en fait une infinite, puisque n’importequelle valeur L′ superieure a L sera aussi un majorant.Ah oui, d’apres la transitivite : si f(x) < L et si L < L′, alors f(x) < L′

« Transitivite » ! Quelle erudition ! Oui, c’est exactement ca.Mais tu as dit « si elle admet un majorant » ? Elle n’en admet pas toujours ?

Non. Par exemple la fonction f definie par f(x) = x. Elle n’admet pas de majorant, eton le demontre par l’absurde : si elle en admettait un, qu’on nommerait L, on auraitf(x) < L pour tout x reel. Mais c’est impossible, il y a des nombres superieurs a L dansR, ne serait-ce que L + 1.On dit dans ce cas que la fonction f n’est pas majoree.Donc une fonction non majoree ne peut pas avoir de limite. Et donc, finalement, avoir unelimite cela veut dire etre majoree ?

Non malheureusement, ce serait trop simple. Le probleme vient de la notion de fonction,qui est un concept tres general, presque trop. C’est quoi une fonction ?Eh bien, une fonction c’est une formule avec x, comme x2 ou 2x + 1Disons qu’on peut definir certaines fonctions par une formule contenant x (et enprecisant bien que la fonction est la correspondance entre x et le resultat de la for-mule), mais on est loin d’obtenir ainsi toutes les fonctions possibles.Une fonction, c’est n’importe quelle correspondance qui permet d’associer un nombref(x) a un nombre x (a condition que, pour un x donne, il n’y ait qu’un seul f(x)).Il y a d’autres facons de definir une correspondance que de donner une formule. Maisje n’insisterai pas ici sur ce probleme. Les mathematiciens ont longtemps cru qu’unefonction etait une formule, avant de se rendre compte de l’extraordinaire generalite dela notion de fonction.Au lycee, penser a « n’importe quelle correspondance », c’est beaucoup trop general,beaucoup trop abstrait. Cela recouvre des cas qu’on n’imagine meme pas (deja, avecune formule, on n’imagine pas tout) et qu’on n’utilisera pas. On n’a pas besoin de ceniveau de generalite.

Fonctions strictement croissantes

Pour pouvoir etre moins general, je vais me limiter ( ! si j’ose dire) a un seul type defonctions : les fonctions croissantes. Et pour eviter des cas particuliers un peu artificiels,je vais meme me limiter aux fonctions strictement croissantes. C’est deja un type defonctions d’une grande generalite (qui ne sont pas forcement toutes decrites par uneformule), mais ca restreint un peu les possibilites, ca aide a se faire une image mentale.

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Pour toute fonction, il n’y a que deux cas possibles : soit elle est majoree (exemple :x 7→ 1− e−x) soit elle ne l’est pas (exemple : x 7→ x).La premiere est majoree par 1, parce que 1− e−x < 1 (car e−x > 0).Et donc sa limite est 1 ! La limite d’une fonction strictement croissante, c’est son majorant !Oui, enfin non, pas « donc » et pas « son majorant ». Ce n’est pas parce qu’une fonctionstrictement croissante est majoree par M que sa limite est M . Rappelle-toi, il y a uneinfinite de majorants. Mais on ne va pas dire qu’il y a une infinite de limites (on pourraitdecider cela par convention, mais ce n’est pas pratique).Parmi les majorants d’une fonction strictement croissante, un seul est vraimentinteressant. Lequel ?Euh ... celui qui permet de trouver tous les autres ?Oui, et c’est lequel ?C’est le plus petit : tous les autres lui sont superieurs. Quand on connaıt le plus petit, onles connaıt tousOui, et c’est cela qu’on peut adopter comme definition d’une limite d’une fonctionstrictement croissante :

Si une fonction est strictement croissante sur un intervalle de type [a; +∞[, alors si elleest majoree sa limite en +∞ est son plus petit majorant.

Cette fois, on retrouve bien le sens usuel du mot « limite » : c’est quelque chose qu’onne peut pas depasser, c’est une frontiere, et c’est meme la frontiere la plus proche qu’onne peut pas depasser.

On s’en rapproche s’en jamais la depasserDans le cas d’une fonction croissante, oui.Mais il y a plus : apres tout, on pourrait dire cela de tout majorant. Ici, pour la limite,on peut s’en approcher d’aussi pres qu’on veut (d’un millionieme de millimetre si onveut). Et comme la fonction est croissante, une fois qu’on a atteint cette distance entrela courbe et la droite, cette distance ne peut que diminuer ensuite.C’est une autre idee qu’il y a dans le concept de limite : c’est l’idee que la limite estvraiment tres tres proche de la fonction (aussi proche qu’on veut).Cette idee de proximite se traduit par une idee d’approximation : si on veut calculerf(x) pour un x tres grand et qu’on sait que la limite de f en +∞ est L, on peut direque f(x) est quasiment egale a L. Cela peut eviter un calcul complique.

Mais c’est quoi , un x tres grand ? 100 ? 1000 ?

Malheureusement on ne pas definir dans l’absolu ce qu’est un x tres grand. Cela dependdes fonctions. Certaines fonctions deviennent tres vite proches de leur limite, d’autresnon.Par exemple, la fonction x 7→ 1 − exp(−x) est deja presque egale a sa limite 1 pourx = 4 (ou la distance est deja inferieure a un millionieme).

Au contraire, pour la fonction x 7→ 1 − 1√x

, il faut attendre x = 1012 (un million

de millions) pour que la distance a la limite (qui vaut 1) devienne inferieure a unmillionieme.Dans le premier cas, « tres grand » c’est 4 et dans l’autre c’est 1012.Donc, « tres grand », ca ne veut rien dire.

Non, tant qu’on n’a pas d’informations supplementaires sur la fonction.Donc, si j’ai bien compris, la limite c’est le plus petit majorant, et c’est une valeur dont onse rapproche sans jamais la depasser et dont on devient aussi proche qu’on veut.

Pour une fonction strictement croissante, oui.Mais pourquoi insistes-tu toujours sur cette restriction ? Le concept de limite commencepourtant a me paraıtre clair. Pourquoi ne peut-on pas generaliser ces idees a toutes lesfonctions ?

Fonctions non croissantes

Deja parce que ce n’est pas cela pour les fonctions decroissantes.Ah, oui, il faut tout renverser : la limite d’une fonction decroissante, c’est son plus grandminorant

Oui, bien.Eh bien voila, cette fois on a une definition generale de la limite, il suffit de distinguer deuxcas : croissante ou decroissante !

Non, malheureusement. T’ai-je dit que la notion de fonction etait d’une redoutablegeneralite ? Oui. J’ai une mauvaise nouvelle pour toi : il y a des fonctions qui ne sontni croissantes ni decroissantes.

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Oui, d’accord, elles peuvent changer de sens, mais ce n’est n’est pas tres grave, on nes’interesse qu’aux x tres grands. A partir d’un certain moment elle deviendra soit croissantesoit decroissante jusqu’au boutEh non, il y a des fonctions qui oscillent indefiniment sans acquerir un sens constant,et qui ont pourtant une limite

Est-ce que cette fonction « se rapproche toujours de sa limite » ?Ah non, elle s’en approche, puis s’en eloigne, puis s’en rapproche a nouveau, etc.Est-ce qu’elle « ne depasse jamais sa limite », « n’atteint jamais sa limite » ?Ah non, elle est parfois plus grande que la limite, parfois plus petite, et elle est parfois egale.Donc la limite n’est pas une frontiere infranchissable, on peut tres bien l’atteindre et ladepasser.Et pourtant, on dit bien que c’est la limite mais il faut alors une autre definitionC’est vrai, cette fois on ne peut plus parler de plus petit majorant et de plus grand minorantEn fait, on peut s’y ramener, en encadrant la fonction par deux autres, l’une croissante,l’autre decroissante et qui ont la meme limite (le plus grand minorant de l’une est leplus petit majorant de l’autre).

Les courbes qui encadrent forment une sorte de tunnel qui se retrecit inexorablement. Lacourbe rouge a l’interieur a une petite marge de manoeuvre (elle peut osciller, s’ecarterun peu) mais elle est obligee de rester dans le tunnel.

Elle est prise en sandwich et ne peut pas s’echapper !Oui, et elle finit par devenir aussi proche de la limite qu’on veut. L’idee de « proximitefinale » est toujours presente, quels que soient les petits ecarts que peut faire la courbepar rapport a la limite.Donc voici une definition :

Soit f une fonction definie sur un intervalle [a; +∞[. Soit L un reel.On dit que f admet L comme limite en +∞ s’il existe deux fonctions u et v telles que :u est croissante, v est decroissante, L est le plus petit majorant de u, L est le plusgrand minorant de v, et u et v encadrent f : u 6 f 6 v(pas forcement sur [a; +∞[ tout entier, eventuellement seulement sur [b; +∞[ avecb > a).

Bizarre, ca ne ressemble pas du tout a ta definition du debut !En fait, on peut elargir un peu les conditions : il n’est pas necessaire queC’est vrai, j’avais dit : on dit qu’une fonction f admet pour limite le nombre reel Len +∞ si et seulement si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeursf(x) pour x assez grand.On peut montrer que c’est equivalent. En gros, « contient toutes les valeurs f(x) pourx assez grand » correspond au fait que la courbe est emprisonnee dans le tunnel.« Tout intervalle contenant L » a un rapport avec la hauteur du tunnel . On peut choisirune hauteur aussi petite qu’on veut (un millionieme de millimetre), le tunnel finira paratteindre cette hauteur et elle ne pourra que diminuer ensuite.Voyons si tu as compris : c’est quoi une limite ?Eh bien, on dit qu’une fonction f definie sur un intervalle [a; +∞[ admet pour limite le reelL en +∞ si et seulement si∀ε > 0,∃A > 0,∀x > a, (x > A⇒ |f(x)− L| < ε)Euh ...Tu comprendras quand tu seras plus grand ...