UNITE DE PROGRAMME : S9UP1

Modelisation de la turbulence

Modelisation de la turbulence

Auteur : Yann MARCHESSEDepartement : Mecanique et EnergetiqueEdition : Annee universitaire 2009-2010

ECOLE CATHOLIQUE DARTS ET METIERS

40 Montee Saint-Barthelemy - 69321 Lyon Cedex 05

Tel. : 04 72 77 06 00 - Fax : 04 72 77 06 11

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1Mecanique des fluidesModelisation de la turbulence - Application a` la CFD

Yann MARCHESSEDepartement de Mecanique et Energetique

Ecole Catholique dArts et Metiers - Lyon

Date de compilation du document : 9 mars 2010

ECOLE CATHOLIQUE DARTS ET METIERS40 Montee Saint-Barthelemy - 69321 Lyon Cedex 05Tel. : 04 72 77 06 00 - Fax : 04 72 77 06 11www.ecam.fr

2

Sommaire

Avant-propos 7

Nomenclature 9

I Modelisation de la turbulence en vue dune application a`la CFD 11

1 TURBULENCE 131.1 Renseignements sur lagitation turbulente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 Structures coherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Passage du laminaire vers le turbulent : la transition . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1 Cas dune conduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.2 Cas dune couche limite sur une plaque plane . . . . . . . . . . . . 18

1.4 Influence de la paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 EQUATIONS DE LA MECANIQUE DES FLUIDES 232.1 Derivee particulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Equation de continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Bilan de quantite de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 Equation de lenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5 Bilan sur les equations obtenues par lapplication des principes fondamentaux 322.6 Conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 MODELISATION DE LA TURBULENCE 353.1 Trois approches numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1 Simulation directe numerique (DNS) . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.1.2 Simulation des grandes echelles (LES) . . . . . . . . . . . . . . . . 363.1.3 Modelisation statistique de la turbulence (RANS) . . . . . . . . . . 383.1.4 Remarques sur les trois approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Mode`le de turbulence du premier ordre - Concept de la viscosite turbulente 413.2.1 Mode`le algebrique ou mode`le a` zero equation . . . . . . . . . . . . . 433.2.2 Mode`les de fermeture a` une equation de transport . . . . . . . . . . 443.2.3 Mode`les de fermeture a` deux equations de transport . . . . . . . . . 463.2.4 Equation finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Mode`le de turbulence du deuxie`me ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4 Influence de la paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5 Choisir le mode`le de turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 SOMMAIRE

3.6 Modelisation instationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.7 Et lindustrie dans tout ca ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.8 Resolution numerique a` partir dun code de calculs . . . . . . . . . . . . . 55

4 Application de la modelisation de la turbulence a` la CFD 574.1 Structure dun code CFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.1.1 Le pre-processeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1.2 Le solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1.3 Le post-processeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Le maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3 Les conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4 Les conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.5 Les schemas numeriques de convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.6 Convergence dun calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.6.1 Les residus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.6.2 La sous-relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.6.3 Calcul permanent a` partir dune approche pseudo-transitoire . . . . 63

II Exemples de predictions numeriques decoulements et dechangesthermiques 65

Presentation des etudes 67

5 Cas test : 2D Model Hill Flow 695.1 Approche numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.1.1 Domaine de calcul et maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.1.2 Conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2 Resultats numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6 Ecoulement au passage dun obstacle prismatique 736.1 Approche numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.1.1 Domaine de calcul et maillages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.1.2 Conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.1.3 Mode`les de turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.1.4 Discretisation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.2 Resultats numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.2.1 Validation du maillage sur le pave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.2.2 Efforts aerodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.2.3 Sillage du pave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7 Etude des parame`tres turbulents dans un canal 797.1 Approche numerique du calcul annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2 Resultats numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.3 Approximation analytique des grandeurs turbulentes . . . . . . . . . . . . 827.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

SOMMAIRE 5

8 Prediction numerique dun echange thermique convectif a` partir dedifferents mode`les de turbulence 858.1 Approche numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8.1.1 Domaine de calcul et maillages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.1.2 Conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.1.3 Mode`les de turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.2 Resultats numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9 Influence de la finesse du maillage sur la prediction numerique desechanges thermiques convectifs dune plaque plane 919.1 Approche numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.1.1 Domaine et maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919.1.2 Conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.2 Mode`le propose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929.3 Resultats numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Lectures interessantes 97

6 SOMMAIRE

Avant-propos

Les ecoulements rencontres dans lindustrie ou tout simplement au quotidien sont pourla plupart domines par des mouvements chaotiques : la turbulence. Au-dela` de la dif-fusion moleculaire, les echanges de masse, de quantite de mouvement et de chaleur sontainsi essentiellement regis par ce mode decoulement. Limpact de la turbulence peut etrepositif ou negatif, lingenieur doit donc etre capable de predire ces effets lors de la concep-tion de syste`mes. Malheureusement, le mouvement turbulent est tre`s complexe et presentela plupart du temps des caracteristiques tridimensionnelles et instables. Ce mouvementconsiste en la surperposition de tourbillons dont le spectre de taille est tre`s large, celui-cibalaye des grosses structures dont la taille depend de la geometrie et correspondant a` desfluctuations de basses frequences jusquaux petites structures associees a` des fluctuationsde hautes frequences dont lechelle est celle de la dissipation energetique.

La simulation numerique peut etre dun grand secours a` lingenieur, le calcul analytiquedemeurant ici tre`s peu efficace. Il serait toute fois imprudent de considerer cette approchecomme etant lunique voie a` emprunter, en effet la modelisation des ecoulements vientplutot en complement des essais sur site ou sur maquette.

Lors dune etude, la CFD intervient souvent en amont lors de la conception et evitealors aux constructeurs de fabriquer de nombreux et surtout couteux prototypes. Elle peutalors etre caracterisee de prototypage virtuel. En effet, un des principaux avantages ducalcul numerique est la possibilite de faire varier les parame`tres geometriques, dynamiquesou thermophysiques du proble`me traite en evitant la repetition dexperiences longues etlourdes a` gerer. Ensuite, plus en aval de letude, elle peut etre utile a` lanalyse davariesdecelees sur des equipements ou pour ameliorer leur performance.

Le traite de ce cours sinscrit dans cette problematique et est compose de deux parties.

La turbulence est en premier lieu examinee (chapitre 1), suivie des ecritures desequations mathematiques traduisant trois principes fondamentaux (chapitre 2). On sinte-resse alors aux consequences des termes fluctuants, une fois ceux-ci introduits dans lesequations du mouvement des fluides. Cette etape presente essentiellement le tenseur deReynolds que lon cherchera ensuite a` estimer a` partir de mode`les de fermeture (chapitre3). Ensuite, larticulation dun code de calcul est brie`vement presentee (chapitre 4).

La deuxie`me partie du document vise dune part a` presenter quelques ecoulementssimules dans des configurations standards, mais surtout contribue a` sensibliser lutilisateurde codes de calculs aux conditions limites en entree de domaine, au choix des mode`les deturbulence, a` la finesse du maillage, et a` la pertincence de lemploi dune loi de paroi.

Enfin, cet expose a pour but unique de familiariser le lecteur a` la modelisation dela turbulence. On ny trouvera donc que le strict minimum des concepts existants. Lelecteur, plus curieux, est invite quant a` lui a` consulter quelques ouvrages cites en annexe.

8 Avant-propos

Par contre, on trouvera ici quelques informations pratiques pour utiliser tous les logicielsde calcul.

Nomenclature

La meme notation peut dans certains cas representer des quantites physiques distinctes,mais replacee dans le contexte du chapitre traite, toute ambiguite devrait etre levee.

Caracte`res usuels

cv Chaleur specifique a` volume constantCk Constante de Kolmogorov (Eq. 3.6)D Volume de controlee Energie interne par unite de masseE(k) Spectre de lenergie cinetique turbulentefi Effort volumiquefv, f Coefficients damortissement (Eqs. 3.9 et 3.15)

k Energie cinetique turbulente moyenne k = uiuj/2

k Conductivite thermique

k Nombre donde k = 2/lm Longueur de melangem massen Vecteur unitaire sortant dun volume de controlep Pression

Pk Production denergie cinetique turbulente Pk = uiujui/xjq Densite volumique du taux de chaleurq Vecteur densite surfacique de chaleur recue par conductionr Constante des gaz parfaitsRe Nombre de ReynoldsRec Nombre de Reynolds critiqueS Surface dun volume de controleSij Tenseur des vitesses de deformationt tempsT TemperatureT Duree dobservation dans loperateur moyenneTw Temperature de paroiu Composante selon x du vecteur vitesseuCL Vitesse au centre dune conduite

10 Nomenclature

Caracte`res usuels (suite)

uf Vitesse de frottement uf =p/

v Composante selon y du vecteur vitesseV Vecteur vitesse decoulementV Volume dun volume de controlew Composante selon z du vecteur vitessey+ Distance adimensionnee a` la paroi

Caracte`res grecs

Epaisseur de couche limiteij Symbole de Kronecker ij = 1 si i = j et 0 sinon Taux de dissipation moyen de lenergie cinetique turbulente Constante de von Karman (Eq. (1.3)) Longueur donde

Coefficient de pertes de charge p = LDV

2

2

Viscosite dynamiquee Viscosite effectiveT Viscosite turbulente Viscosite cinematique Masse volumiquek, Nombres de Prandtl turbulent (Eqs. 3.7 et 3.14)ij Tenseur des contraintesp Contrainte parietaleij Tenseur des contraintes visqueuses Taux de dissipation specifique moyen

Premie`re partie

Modelisation de la turbulence en vuedune application a` la CFD

Chapitre 1

TURBULENCE

La plupart des ecoulements naturels observes quotidiennement sont turbulents (fu-mee de cigarette, cre`me de lait versee dans le cafe, nuages). Ils sont dautre part tre`sdiversifies : fluides biologiques (sang), mouvements de geofluides (vents, courants marins),mouvements de fluides stellaires (circulation gazeuse autour des plane`tes). Malgre cela, cesecoulements ont des proprietes en commun que nous enoncerons plus loin. Les equationsqui gouvernent le mouvement instantane des fluides, quils soient turbulents ou non, ontete ecrites par Claude Navier1 en 1823. Elles sont appelees equations de Navier-Stokesen raison des perfectionnements apportees ulterieurement par George Stokes2. Il sagit niplus ni moins des equations de Newton quil faut appliquer a` une particule fluide. Cesequations avaient ete prealablement ecrites par Euler mais Navier eut lingeniosite dyrajouter un terme de friction entre les diverses couches de fluide.

Lequation de Navier-Stokes pour la vitesse instantanee est connue depuis longtemps,cependant sa resolution reste trop compliquee. Une solution a alors ete dessayer de pro-poser une solution pour lecoulement moyen. Malheureusement le passage de lequation deNavier-Stokes a` lequation pour la moyenne fait apparatre un terme qui nest pas connude manie`re exacte. Ce terme represente leffet des fluctuations sur la vitesse moyenne etdoit etre approche ou modelise.

La turbulence est devenue une science experimentale vers la fin du XIX sie`cle quand

1Claude Navier (1785-1836), physicien francais qui, en 1921, proposa les equations du mouvement vi-bratoire dun solide, generalisees par Cauchy, et resolue par Poisson. Stokes contribua aussi aux equationsde mouvement de fluide, connues sous le nom dequations de Navier-Stokes.

2George Stokes (1819-1903), mathematicien et physicien irlandais qui contribua enormement auxavancees scientifiques en son temps. Il ameliora a` la fois la formulation des equations de mouvementdes fluides mais aussi leur comprehension.

14 Turbulence

langlais Osborne Reynolds3 a pu observer la transition du regime laminaire vers le regimeturbulent. Il mit ainsi en evidence quelques lois assez simples et introduisit un nombreadimensionnel portant son nom qui caracterise cette transition. Malgre tout, avant lesannees 1950, la turbulence etait un sujet obscur. La seule issue pour lingenieur etaitdexperimenter sur des mode`les physiques afin dameliorer son savoir-faire. Heureuse-ment apre`s les annees 1960, la situation allait se debloquer avec quelques progre`s ac-complis en matie`re de modelisation, en meme temps que la capacite des traitementsnumeriques augmentait fortement. Cependant, la predetermination de proprietes statis-tiques locales etait encore impossible. De plus quelques proble`mes majeurs demeuraient :limpredicibilite, luniversalite des mode`les etablis, et la convergence des fermetures. Ac-tuellement, ces proble`mes ont ete en partie resolus et les calculs numeriques permettentune bonne estimation de lecoulement moyen en presence dune turbulence developpee.Des methodes plus recentes permettent aussi destimer le champ fluctuant par resolutiondes equations de Navier-Stokes instantanees. On parle de facon abusive dexperience nu-merique.

1.1 Renseignements sur lagitation turbulente

Un ecoulement represente un glissement de particules fluides les unes sur les autres.Lagitation moleculaire entrane a` son echelle des echanges entre ces couches et une dif-fusion de lecoulement (non perceptible a` lechelle du milieu continu, i.e. a` lechelle de laparticule fluide).

A lechelle du milieu continu, le regime turbulent presente, en plus, des mouvementsdesordonnes et tridimensionnels. Notons tout de meme que bien que ce que nousobservons soit tre`s complexe, tre`s desordonne, cest tre`s loin detre le desordre total. Eneffet, la turbulence est composee de structures coherentes4, en particulier de tourbillons(que lon observe en aval dun pont par exemple). Il sagit la` dun melange subtile dordreet de desordre qui en fait une des principales difficultes vis a` vis de la modelisation. Toutecette agitation porte le nom dagitation turbulente.

Notons dautre part quil sagit dun mouvement secondaire de lecoulement. La tur-bulence nest donc pas liee a` la nature du fluide mais a` son mode de mouvement. On traitela plupart du temps de la turbulence pleinement developpee, caracterisee par :

Taille supra-moleculaire : la taille admissible par une structure turbulente (ondira coherente) est guidee dune part par letendue spatiale disponible (dimensionsdun canal, epaisseur de la couche limite) et dautre part par la viscosite. Il existeen effet une echelle appelee echelle de Kolmogorov5 sinterpretant comme etant la

3Osborne Reynolds, physicien anglais (1842-1912). Ces premiers travaux concernent le magnetisme etlelectricite. Apre`s 1873, il se concentre principalement sur la dynamique des fluides. Il etudie entre autreles changements de regime dun ecoulement dans une conduite. Son experience restera cele`bre et porterason nom. En 1886, il publie The theory of lubrication et invente la tribologie (etude des frottements).

4Cette coherence nest neanmoins pas observee sur le trajet entier de la structure. Il existe une distancesur laquelle la structure reste coherente avec elle-meme, apre`s quoi elle sapparie avec une autre pourformer une autre structure de plus grande taille.

5Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987), physicien et mathematicien russe. Il est a` lorigine de

la theorie de la turbulence aux petites echelles. Il demontra entre autres la loi de puissance en k5

3 du

Renseignements sur lagitation turbulente 15

plus petite dimension des structures ou tourbillons que lon peut rencontrer dansun ecoulement turbulent. En-dessous de cette echelle, les effets visqueux font leurseffets, et lenergie mecanique est totalement transformee en chaleur. Comprenonsbien quil existe alors des structures de taille plus elevee capable de dissiper. Pourse donner une idee, dans latmosphe`re terrestre par exemple, lechelle de dissipationest de lordre du millime`tre, alors que les plus grosses structures ont des echelles deplusieurs milliers de kilome`tres.

Comportement aleatoire : les mesures mettent en evidence laspect chaotiquede toute fonction du champ de lecoulement (temperature, pression, vitesses, massevolumique). On perd alors toute notion de predictibilite presente dans lecoulementlaminaire. Une approche statistique est alors necessaire (ex : la meteo).

Denombrement infini : la mesure de la turbulence donne des resultats differentsselon le point considere. Neanmoins, ceux-ci font apparatre des oscillations recou-vrant un tre`s large spectre en frequence6 (caracterisees par le nombre donde 2/).

Structures tridimensionnelles : il ny a pas de direction priviligiee meme enpresence dun ecoulement considere comme bidimensionnel.

Intermittence7 : ce phenome`ne est observe dans des cas precis : lors du passagelaminaire/turbulent, dans les petites echelles (dissipation), et proche des frontie`reslibres (couche de melange dun jet). Ce phenome`ne est lie a` la penetration massivede fluide non turbulent dans la couche de melange.

Cinematique rotationnelle : les fluctuations de vitesse sont porteuses de fluc-tuations de rotationnel. La turbulence ne produit pas de rotationnel mais aurades effets sur cette quantite tels quun renforcement de sa production proche desparois (gradient de vitesse important), ou la diffusion de vorticite hors des zones deproduction sous leffet de lagitation moleculaire.

Dynamique non lineaire : interaction entre tous les mouvements presents danslecoulement selon une dynamique qui est regie par les equations de Navier-Stokes.

Energie dissipative : la dissipation est donnee par = 2SijSij, avec Sij le ten-

seur des vitesses de deformation. Etant donnees les faibles valeurs de pour leauou lair, seules les echelles presentant des vitesses de deformation importantes vontdissiper : il sagit des petites echelles. Pour se donner une image, les grosses struc-tures (faible nombre donde) sont porteuses denergie (ex : les bourasques de vent).Celles-ci se cassent en des structures de plus en plus fines sans production nidissipation denergie : cest la cascade denergie (Fig. 1.1). Ce processus continuejusqua` ce que la structure soit assez fine (nombre donde important) pour que leseffets de viscosite puissent agir et que la dissipation ait lieu par transfert de lenergie

spectre denergie cinetique representant le mouvement turbulent.6La large gamme de frequence est a` mettre en paralle`le avec celle des tailles de structure.7Zone ou` lon observe de facon alternee un melange dagitation et de calme au sein dun ecoulement

turbulent.

16 Turbulence

cinetique turbulente en energie interne. Ce processus, appele Cascade denergie, aete enonce par Richardson en 1922 [30] et a ete complete par Kolmogorov en 1941[14].

k =2

E(k)

Dissipation

Fig. 1.1 Spectres

denergie et de dissipa-

tion.

A` partir de toutes les caracteristiques vues ci-dessus, on propose une definition de laturbulence :

La turbulence est un mode naturel decoulement dun fluide visqueux ou` desmecanismes internes dechange denergie assurent la creation et le maintiende toute hierarchie de mouvements chaotiques repartis continument sur unelarge gamme dechelles macroscopiques.

1.2 Structures coherentes

Nous lavons vu plus haut, la turbulence apparat comme un mode decoulement chao-tique pour lequel un tourbillon cree est immediatement etire dans toutes les directions,et finalement detruit par la turbulence. Il existe neanmoins des tourbillons coherents oustructures coherentes au sein de cette turbulence, cest a` dire des structures ayant untemps de vie important devant leur temps de retournement8 selon la definition enonceepar Marcel Lesieur [20] (Fig. 1.2).

Fig. 1.2 Structures

coherentes dans une couche

de melange air/azote (dapre`s

Brown [3]).

8Il sagit la` du temps necessaire au tourbillon pour quil puisse executer une rotation autour de lui-meme.

Passage du laminaire vers le turbulent : la transition 17

1.3 Passage du laminaire vers le turbulent : la tran-

sition

La transition dun ecoulement laminaire vers un ecoulement turbulent a ete en premierlieu etudiee de facon experimentale par O. Reynolds [29]. Cette transition est un proble`metre`s complexe. En consequence, il nexiste pas a` lheure actuelle de mode`le theorique per-mettant de predire efficacement le comportement du fluide lors de cette phase. Soulignonstout de meme la premie`re approche theorique proposee par Landau en 1944 [15] danslaquelle celui-ci conside`re la transition comme lapparition de mouvements periodiquesnon-stationnaires dont la phase initiale est arbitraire. Landau baptise ce premier degredindetermination degre de liberte (introduction historique de ce terme). Lorsque lerapport des efforts dinertie et de viscosite augmente, le mouvement devient instableconduisant a` lapparition dun nouveau mouvement periodique (deux degres de liberte).On atteint alors tre`s vite un nombre tre`s important de degre de liberte, correspondant aucycle limite de Landau.

Le point de transition est difficilement determine par lobservation. On prefe`rera effec-tuer des mesures et etudier levolution dun parame`tre qui depend du nombre de Reynolds(coefficient de perte de charge dans une conduite, epaississement de la couche limite lelong dune plaque plane, etc.).

1.3.1 Cas dune conduite

La transition vers un regime turbulent, dans le cas dun ecoulement en conduite, peutetre determinee par le changement devolution des pertes de charge. Ces dernie`res sontcaracterisees par un coefficient appele coefficient de pertes de charge, tel que

p = L

DV 2

2

ou` L est la distance entre les deux mesures de pression, D le diame`tre de la conduite, et Vla vitesse moyenne de lecoulement. Le coefficient de pertes de charge depend du nombrede Reynolds et du rapport de la rugosite relative /D caracterisant letat de surface de laconduite.

Lorsque le nombre de Reynolds est inferieur a` 2000, lecoulement est laminaire, et lecoefficient de pertes de charge est le meme quelle que soit la rugosite. Il vaut dans ce cas :

=64

Re: Hagen/Poiseuille

Lecoulement quitte le regime laminaire lorsque le nombre de Reynolds depasse 2000, laregion caracterisee par des nombres de Reynolds compris entre 2000 et 4000 etant appeleeregime critique. Le coefficient de pertes de charge est tre`s mal defini dans cette region carla turbulence nest pas comple`te. En effet, lecoulement alterne entre des regimes laminaireet turbulent.

Pour des nombres de Reynolds superieurs a` 4000, lecoulement devient turbulent et lecoefficient de pertes de charge depend du nombre de Reynolds et de la rugosite relative.Pour des conduites lisses, et de`s lors que 4000 < Re < 100000, le coefficient est estimepar la relation :

=0, 316

Re1/4: Blasius

18 Turbulence

Levolution du coefficient de pertes de charge nest pas lineaire decroissante. En effet,celui-ci voit ses valeurs decroitrent tant que le nombre de Reynolds reste inferieur a` unepremie`re valeur critique (notee Rec1). Le nombre de Reynolds augmente brutalementau passage de la transition. Pour des nombres de Reynolds superieurs a` une deuxie`mevaleur critique (notee Rec2), le comportement turbulent se traduit par une nouvelle loi dedecroissance differente de celle observee en laminaire. On pourra alors trouver un crite`rede transition, Rec tel que

Rec =1

2[Rec1 +Rec2] (1.1)

Levolution des pertes de charge avec le nombre de Reynolds est etudiee sur le tube presentau departement de mecanique de lECAM (TP Etude de lecoulement dans un tube).Le diame`tre du tube vaut 3 mm, et la distance entre les deux sections de mesure est de523 mm. Les pertes de charge sont estimees a` partir de tubes piezometriques (eau/airpour les faibles debits, et eau/mercure pour des debits plus importants). Levolution ducoefficient de perte de charge est conforme a` la precedente discussion (Fig. 1.3). Le nombrede Reynolds critique, estime par la relation (1.1), vaut Rec = 2800. On note dautre partque les valeurs du coefficient de perte de charges obtenues a` partir des deux mode`lesprecedents (Hagen/Poiseuille et Blasius) sont tre`s proches des valeurs mesurees.

Fig. 1.3 Evolution du coefficient de pertes de charge avec le nombre de Reynolds. Mesures effectuees au

laboratoire de mecanique : , manome`tre Eau/Air ; N, manome`tre Eau/Mercure.

1.3.2 Cas dune couche limite sur une plaque plane

Considerons une plaque plongee dans un ecoulement de vitesse U . La vitesse sannulea` la surface de la plaque, et le passage de cette vitesse nulle a` la vitesse de lecoulementexterne seffectue sur une distance tre`s faible appelee couche limite (Region notee 1sur la figure 1.4). Ainsi la vitesse longitudinale evolue tre`s rapidement avec la distancetransversale dans cette region. Pour des positions proches du bord dattaque (x = 0), lacouche limite est laminaire, et lepaisseur de couche limite, (x) evolue selon x0,5. Pour

Influence de la paroi 19

une distance plus en aval, des instabilites se developpent, caracterisant la transition versla turbulence. Au-dela de cette abscisse critique, lepaisseur de couche limite evolue selonx0,8. Le nombre de Reynolds base sur la distance au bord dattaque, Rex = Ux/, esthabituellement utilise ici pour caracteriser cette transition. La figure 1.5 rassemble desmesures de lepaississement de la couche limite en fonction du Reynolds local. On observela transition du regime decoulement a` partir de Re = 3, 2 105 par le changementdevolution de .

Fig. 1.4 Representation schematique de la transition dune couche limite laminaire vers un regime turbulent

pour une plaque plane sans gradient de pression transversal.

Fig. 1.5 Evolution de lepaississement de la couche limite en

fonction du nombre de Reynolds local. Notez le changement

devolution de lepaississement de couche limite a` partir de

Re = 3, 2 105 (dapre`s Schlichting [32]).

1.4 Influence de la paroi

La turbulence telle que nous lavons definie plus haut est limitee a` une turbulencepleinement developpee. Lorsquune paroi est proche, les importants gradients modifientfortement cette turbulence. La figure 1.6 presente la repartition des differents phenome`neslies a` lenergie cinetique turbulente prenant place dans la couche limite (i.e. productionet dissipation de lenergie cinetique turbulente, etc.). Ces estimations ont ete effectuees a`partir de la methode numerique DNS par Moser et al. [26] dans le cas dun ecoulementdans un canal. Les resultats experimentaux confirment ces tendances, meme sil est tre`s

20 Turbulence

difficile de les obternir par cette voie. On note dapre`s ces resultats quil y a equilibreentre la production et la dissipation denergie cinetique turbulente pour y+ > 30 jusqua`une distance telle que y/h 0, 5 (cette dernie`re valeur est absente des figures). Ceci tenda` montrer le caracte`re isole de cette region, car netant pas perturbee par la paroi procheet lecoulement principal (les autres termes de transfert vus plus haut etant negligeables).Notons dautre part que dans la region caracterisee par y+ < 30, la dissipation nest plusequilibree par le terme de production (les termes fluctuants deviennent nuls par la presencede ladherence) mais par un terme de diffusion visqueux. Ces deux regions constituent laregion interne de la couche limite et est definie de facon plus generale par la relationy < 0, 1, avec lepaisseur locale de la couche limite.

Fig. 1.6 Bilan de lenergie cinetique

turbulente dans la region interne dune

couche limite (dapre`s Moser [26]). y+ estla distance a` la paroi adimensionnee.

Dans le but de decrire la couche limite, on sinteresse generalement a` levolution trans-versale de la vitesse longitudinale dans la couche limite. On peut baser notre reflexion surune approche globale pour laquelle on cherche a` decrire notre proble`me a` partir de pro-duits sans dimension. Dapre`s ce que nous venons de voir, la vitesse locale u dependdes contraintes locales de frottement exercees par la paroi (p), des proprietes du fluide( et ), et de la distance a` la paroi (y). Il est donc possible a` partir du theore`me deVashy-Buckingham de construire deux nombres sans dimension :

u+ =up/

et y+ =y p/

avecp/ homoge`ne a` une vitesse que lon nomme vitesse de frottement, notee uf , et

ne possedant pas de signification physique (on prefe`re neanmoins manipuler une vitesseau lieu dune tension surfacique). Pour des vitesses moyennes, on aura en effet plutotinteret a` sinteresser au rapport U/uf , et non pas a` U seule. De meme, il est preferablede regarder le rapport uiu

j/u

2f au lieu de u

iuj seul. La vitesse de frottement est de lordre

de 5% de la vitesse de debit.Levolution transversale de la vitesse longitudinale dans la region interne de la couche

limite temoigne de plusieurs zones composant cette region interne de la couche limite :(1) la sous-couche visqueuse (y+ < 5) dans laquelle le tenseur de Reynolds est negligeabledevant les contraintes visqueuses (Fig. 1.7) et dans laquelle la vitesse evolue lineairementavec la distance a` la paroi :

u+ = y+ (1.2)

Influence de la paroi 21

et (2) la zone logarithmique (30 < y+ < 1000) dominee par les contraintes turbulentes(Fig. 1.8) et dans laquelle une evolution logarithmique de la vitesse est observee :

u+ =1

lny+ +B (1.3)

et B etant des constantes du mode`le obtenues experimentalement sur une plaque planeet lisse (respectivement 0,41 et 5,2). La region situee entre ces deux zones precedentes(5 < y+ < 30) est appelee zone tampon. La region interne de la couche limite ne dependdonc que des parame`tres y+ et uf , et reste donc isolee de lecoulement principal.

Fig. 1.7 Profil de la vitesse moyenne dans la

sous-couche visqueuse. Estimation numerique a`

partir de la methode DNS (ligne hachuree, Re = 5

600 ; ligne, Re = 13 750 ; ligne hachuree + point,

u+ = y+) (dapre`s Kim [12]).

Fig. 1.8 Profil de la vitesse moyenne dans la

region interne de la couche limite. , Re = 2970 ; , Re = 4 914 ;, Re = 22 776 ;, Re =39 582 ; ligne, loi logarithmique, Eq. (1.3) (dapre`s

Weil [36]).

Au-dela` de la zone logarithmique, la relation (1.3) nest plus valable car les effets delecoulement principal sont de moins en moins negligeables. La relation de vitesse qui nedependait que de y+ doit tendre de facon asymptotique vers une relation cette fois fonctionde y/. On entre alors dans une region caracterisee par une loi de vitesse deficitaire etcaracterisee par une relation du type :

Uo uuf

= F (y

)

22 Turbulence

ou` Uo est la vitesse de lecoulement principal, et F une fonction a` determiner.

Ce chapitre a presente la turbulence et ses caracteristiques afin de proposer unedefinition. Les mode`les de turbulence ont pour but de formuler au mieux le compor-tement des ecoulements turbulents. Nous verrons par la suite que ces mode`les sont plusou moins complexes, et bases la plupart du temps sur lempirisme.

Le prochain chapitre presente brie`vement les equations mathematiques traduisant troisprincipes fondamentaux de la mecanique des fluides : la conservation de la masse, leprincipe fondamental de la dynamique, et la conservation de lenergie.

Chapitre 2

EQUATIONS DE LA MECANIQUEDES FLUIDES

La prediction numerique des ecoulements de fluide est basee sur la resolution dequationsde bilan traduisant trois principes fondamentaux : (1) la conservation de la masse, (2)le principe fondamental de la dynamique, et (3) la conservation de lenergie. Les troisequations mathematiques resultantes sont lequation de continuite, le bilan de quantite demouvement, et lequation de lenergie. Le but de ce chapitre est decrire ces equations.

Ces equations de bilan peuvent etre ecrites sous plusieurs formes (conservatives, nonconservatives, etc.) nentrainant pas de reels changements dans leur comprehension. Nean-moins, celles-ci deviennent importantes en CFD, car une forme particulie`re peut etreefficace dans certains types decoulements, alors quelle peut conduire a` des instabilitesde la solution dans dautres cas.

Lobtention des equations bilan repose sur la definition dun volume de controle detaille importante et finie (Fig. 2.1) ou alors sur un volume elementaire. Ceux-ci peuventetre fixes ou en mouvement. Dans le premier cas, lapproche Eulerienne, le fluide traverseles volumes, alors que dans la deuxie`me approche, les volumes suivent le mouvement dufluide et sont donc toujours constitues des memes particules fluides (on parlera dapprocheLagrangienne). Tout se passe donc comme si un observateur suivait le volume et appliquaitun bilan sur ce volume. Le principal avantage de ces approches est de focaliser notre interetsur une partie de lecoulement, et non pas sur lecoulement dans son ensemble.

Une fois ces volumes definis, lapplication des principes fondamentaux sur un volumede controle conduit a` une ecriture integrale, qui peut etre manipulee pour atteindre desrelations locales (aux derivees partielles). Ces dernie`res sont obtenues directement par

24 Equations de la mecanique des fluides

V

Surface S

V

Surface S

V

(a) (b)

Fig. 2.1 Representation dun volume de controle. Dans le cas (a), le volume de controle est fixe et est traverse

par le fluide en mouvement ; dans le cas (b), le volume de controle est en mouvement, et est alors

constitue des memes particules fluides.

lapplication des trois bilans sur le volume elementaire.La suite du document se propose de presenter les equations mathematiques caracterisant

lapplication des bilans de masse, de quantite de mouvement, et denergie sur ces volumes.Avant cette presentation, un rappel sur la derivee particulaire est effectue.

2.1 Derivee particulaire

Les particules etant en mouvement, il est parfois utile de connatre la variation dunparame`tre attache a` un volume (de controle ou elementaire) durant son mouvement. Cettevariation est a` la fois liee au point sur lequel elle est consideree, et aussi quen un pointelle peut evoluer. Dans le premier cas, la variation depend du mouvement (dependancedu parame`tre par rapport a` x , t etant fixe), alors que le deuxie`me est linstationnaritemarquee par la dependance du parame`tre par rapport au temps, x etant fixe.

La variation enoncee plus haut est traduit mathematiquement par la derivee particu-laire1, notee D/Dt, et est ecrite :

D

Dt=

t+V .grad (2.1)

Le terme /t est la derivee locale et rappelle le fait que la grandeur peut varier aucours du temps pour chacun des points de lespace (par exemple, la temperature evolue

dans la journee pour tout lieu en France). Le termeV .grad est une derivee convective

representant la variation dun point a` un autre de lespace pour lesquels les proprietesde lecoulement sont differentes (par exemple, a` un instant donne, les temperatures sontdifferentes pour tout lieu en France). Ainsi la variation de la temperature au cours duntrajet effectuee par un volume de controle peut etre traduite par la relation :

DT

Dt=

T

t+ u

T

x+ v

T

y+ w

T

z

ou` u, v, et w sont les trois composantes de la vitesseV exprimees dans un repe`re cartesien.

Nous notons de suite que si on conside`re un volume (de controle ou elementaire) fixe,le deuxie`me terme de la derivee particulaire (2.1) est nul. Ainsi seule la derivee locale sera

1Une demonstration de cet operateur est proposee dans de nombreux ouvrages, dont la reference [11].

Equation de continuite 25

consideree. Si maintenant les volumes sont en mouvement, la derivee particulaire (entie`re)sera utilisee.

2.2 Equation de continuite

Nous allons appliquer dans cette partie le fait que la masse attachee a` un volumedetude soit conservee. Lequation mathematique resultante est lequation de continuite.

Conservation de la masse sur un volume de controle fixeOn conside`re un volume de controle D fixe (Fig. 2.1.a) de volume V , borne par une surfaceS de normale exterieure unitaire n en chacun des points de sa surface. Dans ce cas, lebilan de debit de masse a` travers la surface S

S

V .n dS

est egale a` levolution temporelle de la masse du volume au cours du temps. Cette masseest donnee par lexpression

D

dV

La conservation de la masse pour un volume de controle fixe est finalement exprimee parlequation de continuite sous forme integrale :

t

D

dV +

S

V .n dS = 0 (2.2)

Conservation de la masse sur un volume de controle mobileConsiderons cette fois ce meme volume en mouvement avec le fluide et pourvu cettefois dans lecriture dun indice t pour se rappeler quil peut changer de forme au coursdu temps (Fig. 2.1.b). Il est donc constitue des memes particules fluides. La masse estidentique a` celle vue precedemment. Le volume etant constitue de volumes elementairesdotes chacun dune masse elementaire dV , il ny a aucune raison pour que la masse totalene change au cours du mouvement meme si le volume peut voir sa forme evoluer dans sonmouvement. Finalement, la conservation de la masse secrit alors dapre`s la definition dela derivee particulaire :

D

Dt

Dt

dV = 0 (2.3)

Il sagit la` de lequation de continuite integrale faisant apparatre la derivee particulaireintroduite par le fait de considerer le volume de controle en mouvement, et sera denommeeforme non-conservative. Une equation sera dte sous une forme conservative lorsquellepourra secrire sous la forme :

t+ div

F = 0

Cela ne semble pas evident a` premie`re vue, mais lequation (2.2) est de forme conservative,lintegrale surfacique pouvant etre transformee en integrale volumique avec lintroduction

26 Equations de la mecanique des fluides

dun divergent du produit V . Une discussion sur linteret de la forme de lequationest menee page 32.

Conservation de la masse sur un volume elementaire fixeOn conside`re ici un volume elementaire dV de dimension dx dy dz (Fig. 2.2) etfixe dans lespace. Une quantite de masse passe a` travers les differentes surfaces de cetelement. Ainsi la masse passant par la surface de gauche vaut (u)dydz, et celle passantpar la surface de droite secrit [

(u) +(u)

xdx

]dydz

Le bilan de masse sur ces deux surfaces secrit alors :[(u) +

(u)

xdx

]dydz (u)dydz = (u)

xdxdydz

On peut ensuite effectuer un bilan sur les six surfaces correspondant alors a` levolutiontemporelle de la masse dans le volume elementaire. Il vient alors[

(u)

x+(v)

y+(w)

z

]dxdydz =

tdxdydz

On peut finalement ecrire la forme differentielle de lequation de continuite :

t+

[(u)

x+(v)

y+(w)

z

]= 0 (2.4)

que lon peut aussi ecrire

t+ div

(V)= 0 (2.5)

ou en utilisant lecriture indicee :

t+

xj(uj) = 0 (2.6)

Ces equations ont ete obtenues en considerant un volume elementaire fixe dans lespaceet traverse par le fluide. Cette forme differentielle est ecrite sous une forme conservativeidentiquement a` lexpression (2.2) et a` lopposee de lexpression (2.3).

Conservation de la masse sur un volume elementaire mobileOn conside`re dans ce cas le volume elementaire de la partie precedente anime dun mou-vement identique a` lecoulement. Sa masse, notee m, correspond au produit dV .Lorsquon suit ce volume elementaire dans son mouvement, la variation de la masse nulle :

D(m)

Dt=

D( dV )Dt

= 0

que lon peut aussi ecrireD

Dt+

[1

dV

D(dV )

Dt

]= 0

Bilan de quantite de mouvement 27

dx

dy

dz

x

y

z

Fig. 2.2 Volume elementaire fixe.

On note que le deuxie`me terme correspond a` la variation au cours du temps du volumede lelement dV considere (par unite de volume). Cette quantite est directement liee auchamp de vitesse, et correspond a` la divergence du champ de vitesse. On obtient finalementla relation

D

t+ divV = 0 (2.7)

ou en utilisant lecriture indicee

D

t+

ujxj

= 0 (2.8)

Ces relations sont les formes locales (non conservatives) de lequation de continuite at-teinte en considerant un volume elementaire en mouvement.

Discussion sur les quatre equations obtenuesLapplication de la conservation de la masse sur des volumes de controle ou elementaire,fixe ou en mouvement, conduit a` lecriture de quatre formes differentes de lequation decontinuite : deux formes integrales (Eqs. 2.2 et 2.3) et deux formes locales (Eqs. 2.4 et 2.7).Neanmoins, il sagit la` de quatre ecritures de la meme relation. Chacune de ces equationspeut etre manipulee afin datteindre une autre forme. Le membre de gauche de la relationlocale (2.7) peut etre modifiee en utilisant la derivee particulaire :

D

t+ divV =

t+V .grad+ divV =

t+ div

(V)

correspondant ainsi au membre de gauche de la relation (2.5).

2.3 Bilan de quantite de mouvement

Nous appliquons dans cette partie le Principe Fondamental de la Dynamique enoncepar Newton et applique sur des volumes (de controle ou elementaire), animes dun mou-vement aligne sur lecoulement ou fixes dans lespace. A` lidentique de lequation de conti-nuite, quatre formes dequation du bilan de quantite de mouvement seront atteintes.

Le PFD stipule le fait que le produit de la masse dun element par son accelerationest equilibree par lensemble des efforts exterieurs agissant sur cet element. Il existe deux

28 Equations de la mecanique des fluides

types defforts : (1) les efforts volumiques agissant a` distance comme leffort de graviteet (2) les efforts surfaciques agissant directement sur la surface exterieure a` lelementconsidere.

Nous nous placerons dans le cas du volume de controle en mouvement (Fig. 2.3) pouraboutir au bilan de quantite de mouvement.

V

Surface S

V

nf

n

Fig. 2.3 Volume de controle en mouvement sur lequel

sappliquent des efforts volumiques et surfaciques.

Les efforts volumiques par unite de masse sont notesf , tandis que les efforts surfa-

ciques sont representes par le tenseur des contraintes, note , et evalues en chaque pointde la surface par le produit n . Le tenseur des contraintes est compose dune contributionliee a` la pression et dune seconde liee a` la viscosite du fluide. Il secrit lorsque lon faitlhypothe`se dun fluide newtonien :

ij = pij + ij = pij + (uixj

+ujxi

) 23ukxk

ij (2.9)

Le Principe Fondamental de la Dynamique applique au volume de controle en mou-vement secrit alors

D

Dt

Dt

VdV =

Dt

~fdV +

St

n dS (2.10)

Il sagit la` du bilan de quantite de mouvement sous forme integrale (et non conservative).

Autres ecrituresLequation (2.10) a ete obtenue en considerant un volume de controle en mouvement. Ilest possible dobtenir dautres formes de cette equation en considerant cette fois le volumecomme etant fixe dans lespace, ou en effectuant le bilan de quantite de mouvement surun volume elementaire.

Ainsi lapplication du Principe Fondamental de la Dynamique sur un volume decontrole fixe entrane la relation :

t

D

VdV +

S

V(V .n

)dS =

D

~fdV +

S

n dS (2.11)

On note labsence de la derivee particulaire, le volume etant fixe dans lespace. Lapplica-tion du PFD sur des volumes elementaires (fixe ou en mouvement avec le fluide) conduitnaturellement a` des relations locales.

Si on conside`re un volume elementaire fixe, le bilan de quantite de mouvement devient :

(uit

+ ujuixj

)= fi +

ijxj

(2.12)

Equation de lenergie 29

Cette ecriture est la forme locale (conservative) du bilan de quantite de mouvement.Lapplication du PFD sur un volume elementaire mobile conduit a` la forme locale (nonconservative) suivante

DuiDt

= fi +ijxj

(2.13)

ou, en faisant intervenir la pression et le tenseur des contraintes visqueuses :

DuiDt

= fi pxi

+ijxj

(2.14)

Encore une fois, il est important de comprendre que les expressions (2.10), (2.11), (2.12),et (2.13) ou (2.14) sont des representations differentes dune unique equation caracterisantle bilan de quantite de mouvement.

2.4 Equation de lenergie

Nous appliquons dans cette partie le premier principe de la Thermodynamique stipu-lant que la variation de lenergie associe a` un volume (de controle ou elementaire) est egalea` lenergie recue par celui-ci. Cette dernie`re est composee dune partie correspondant auflux de chaleur a` travers la surface du volume, et dune seconde composante liee au travaildes efforts surfaciques et volumiques.

Considerons un volume elementaire en mouvement (Fig. 2.2) auquel on associe uneenergie decomposee en une energie interne par unite de masse, notee e, liee au mouvementaleatoire des molecules composant le volume, et une energie cinetique par unite de masse,V 2/2, consecutive au mouvement du volume lui-meme. Ainsi, levolution au cours dutemps de lenergie du volume en suivant son mouvement vaut

D

Dt

(e+

V 2

2

)dxdydz (2.15)

Essayons devaluer a` present le travail des efforts exterieurs, estime par le produitscalaire de leffort par la vitesse. Ainsi le travail des efforts volumiques agissant sur le

volume elementaire anime dune vitesseV secrit

f .V dV (2.16)

avec dV = dxdydz le volume de lelement considere. Les efforts surfaciques, quant a`eux, impliquent les contraintes de pression et les contraintes visqueuses sappliquant surles six surfaces. Nous traiterons uniquement des surfaces ayant une normale selon x, etgeneraliserons ensuite les formulations obtenues. Ainsi le bilan du travail des efforts depression sur les surfaces gauche et droite secrit[

up(up+

(up)

xdx

)]dydz = (up)

xdxdydz

De facon identique, le bilan du travail des efforts visqueux sur les surfaces inferieure etsuperieure secrit[(

uyx +(uyx)

ydy

) uyx

]dxdz =

(uyx)

ydxdydz

30 Equations de la mecanique des fluides

A` cette relation, il faut ajouter la contribution des composantes toujours selon x calculeessur les autres paires de surfaces elementaires. Ainsi, le bilan sur les surfaces ayant unenormale selon x du travail des efforts de pression et de viscosite peut se lire :[

(up)x

+(uxx)

x+(vyx)

y+(wzx)

z

]dxdydz

Finalement, en tenant compte des contributions de toutes les composantes cartesiennes,le travail des efforts volumiques et surfaciques secrit[

(up)x

(vp)y

(wp)z

+(uxx)

x+(uyx)

y+(uzx)

z

+(vxy)

x+(vyy)

y+(vzy)

z

+(wxz)

x+(wyz)

y+(wzz)

z

]dxdydz

Interessons-nous maintenant au flux de chaleur, celui-ci provenant a` la fois dune absorp-tion ou dune emission de rayonnement, mais aussi dun flux de chaleur a` travers sa surfaceconsecutivement a` un gradient de temperature. Soit q la densite volumique du taux dechaleur. Le taux de chaleur transfere par rayonnement secrit alors

qdxdydz

Notons de la meme facon q le vecteur densite surfacique de chaleur recue par le volumepar conduction. Comme nous lavons fait precedemment, on sinteresse au bilan de chaleurtransferee par conduction par les surfaces ayant une normale selon x, soit[

qx (qx +

(qx)

xdx

)]dydz = (qx)

xdxdydz

Le bilan sur lensemble des surfaces, en considerant les effets du rayonnement conduit a`lexpression [

q (qxx

+qyy

+qzz

)]dxdydz

Le flux de chaleur par conduction peut etre modeliser par la loi de Fourier selon laquellele flux de chaleur est proportionnel au gradient de temperature :

q = k gradT

Le bilan precedent secrit donc[q +

x

(kT

x

)+

y

(kT

y

)+

z

(kT

z

)]dxdydz (2.17)

La forme finale de la conservation de lenergie appliquee sur un volume elementaireen mouvement secrit a` partir des relations mises en evidence precedemment (Eqs. 2.15,

Equation de lenergie 31

2.16, et 2.17). Il vient

D

Dt

(e+

V 2

2

)= q +

x

(kT

x

)+

y

(kT

y

)+

z

(kT

z

)

(up)x

(vp)y

(wp)z

+(uxx)

x+(uyx)

y+(uzx)

z

+(vxy)

x+(vyy)

y+(vzy)

z

+(wxz)

x+(wyz)

y+(wzz)

z

+f .V (2.18)

La relation (2.18) est la forme non conservative de la conservation de lenergie obtenueen considerant un volume elementaire en mouvement. On peut evidemment atteindredautres formes de cette equation en basant notre reflexion sur un volume element fixe,ou en considerant un volume de controle (mobile ou fixe).

On pourrait dautre part sinteresser uniquement a` la variation de lenergie interne duvolume au cours du temps. Une demarche possible consiste a` ecrire une equation similairea` lequation (2.18) mais adaptee a` lenergie cinetique. Cette dernie`re est facilement atteinteen multipliant la relation (2.14) par ui faisant apparatre alors lenergie cinetique. Cetterelation est ensuite soustraite de lequation (2.18). Il vient alors :

De

Dt= q +

x

(kT

x

)+

y

(kT

y

)+

z

(kT

z

)

p(u

x+v

y+w

z

)+ xx

u

x+ yx

u

y+ zx

u

z

+xyv

x+ yy

v

y+ zy

v

y+ xz

w

x+ yz

w

y+ zz

w

z

(2.19)

A` ce stade, le nombre de variables inconnues est de sept (u, v, w, p, , e, et T ) pourcinq equations. Afin de fermer le proble`me, on fait souvent lhypothe`se en aerodynamiquedun gaz parfait traduit par une sixie`me equation, la relation des gaz parfait :

p = rT

Une septie`me equation est necessaire, et provient generalement de la thermodynamique(toutes les equations de laerodynamique ayant ete trouvees). Il sagit la` de la relationentre lenergie interne et la temperature. Pour un gaz parfait, il vient :

e = cvT

ou` cv est la chaleur specifique a` volume constant.

32 Equations de la mecanique des fluides

2.5 Bilan sur les equations obtenues par lapplication

des principes fondamentaux

Les paragraphes precedentes avaient pour but decrire des mode`les des trois principesfondamentaux (i.e. conservations de la masse, de la quantite de mouvement, et de lenergie)appliques sur des volumes detude. Nous avons note que lorsque le volume etait animedune vitesse identique a` celle de lecoulement, les equations atteintes etaient de formenon-conservative. Ce qui nest plus le cas si on conside`re maintenant un volume fixedans lespace. Comprenons tout de meme que la distinction forme conservative/formenon conservative ne porte que tre`s peu dinteret physique. La subtilite devient importantlorsquon aborde la CFD, cest a` dire les techniques numeriques permettant de predireun ecoulement. En effet, la technique des Volumes Finis, sur laquelle la plupart des codescommerciaux reposent, est tout particulie`rement adaptee a` la mecanique des fluides carcette technique est basee sur des bilans de flux sur les surfaces des volumes.

Dautre part, les equations precedentes ont ete etablies sans poser dhypothe`ses im-portantes sur lecoulement. Ainsi ces equations traitent aussi bien des ecoulements com-pressibles a` tre`s hautes vitesses que des ecoulements incompressibles visqueux. Neanmoinsdans le deuxie`me cas, il est preferable de simplifier les equations de bilan pour les purgerde termes inutiles car negligeables. Nous ne traiterons ici que des ecritures locales desequations.

Les equations (2.13) et (2.14) sont les equations de Navier-Stokes, telles quils lesont trouvees independamment lun de lautre. Cependant, lorsquon aborde la CFD, lesequations de Navier-Stokes representent generalement la serie dequations issues des troisprincipes fondamentaux.

2.6 Conditions limites

Les equations de bilan ecrites plus haut decrivent a` la fois des ecoulements superso-niques, comme des ecoulements tre`s visqueux. Et pourtant, il sagit de la meme equation.Le type decoulement est alors genere par le type de conditions limites qui sont tre`sdifferentes dans les deux cas precedents. Celles-ci sont guidees par la physique du proble`me.

Lorsque le fluide est reel, les particules fluides adhe`rent a` toute paroi. Cette conditionde non-glissement est traduit par lexpression :

u = v = w = 0 (en paroi)

Si le fluide est denue de viscosite, et devient alors parfait, la condition devient moinsseve`re :

V .n = 0 (en paroi)et permet un glissement des particules fluides sur la paroi, seule la composante normalea` la surface de la vitesse devenant nulle. De meme si cette surface est maintenue a` unetemperature constante, Tw, on ajoute alors la condition

T = Tw (en paroi)

Il se peut neanmoins que dans certaines configurations, la temperature parietale resteinconnue et surtout liee au materiau constituant la surface. La condition limite adaptee

Conditions limites 33

est alors donnee par le flux de chaleur entre la paroi et le fluide. La condition limite estalors ecrite sous forme de gradient a` la paroi :(

T

n

)w

= qwk

(en paroi)

ou` n est la direction normale a` la surface, et k la conductivite thermique. Ainsi desconditions de parois adiabatiques seront caracterisees par un gradient de temperature nulen paroi.

Ce chapitre nous a permis decrire trois equations mathematiques traduisant le res-pect de trois principes fondamentaux de la mecanique des fluides et de la thermique.La prediction numerique des ecoulements par les codes de calculs est basee sur ces troisequations dont lecriture est adaptee a` la discretisation de la methode. Le prochain para-graphe presente tre`s brie`vement les trois methodes principales de la resolution numeriquedes ecoulements, et sattardent tout particulie`rement sur les methodes statistiques.

34 Equations de la mecanique des fluides

Chapitre 3

MODELISATION DE LATURBULENCE

Le chapitre precedent a presente les equations de mouvement dun fluide et de trans-ferts thermiques possibles entre un fluide et une paroi. Ces equations sont instantaneeset valables pour tous les types decoulement. Ce chapitre a pour but de presenter le prin-cipe des trois approches numeriques DNS, LES, et RANS. Nous nous attarderons toutparticulie`rement sur la methode statistique car tre`s employee par les codes du commerce.

Pour des raisons de simplicite decriture, seuls les ecoulements incompressibles serontdeveloppes ici.

3.1 Trois approches numeriques

Malgre des efforts importants de recherche depuis plus dun sie`cle, la modelisationdes ecoulements turbulents demeure un defi a` relever. Il existe principalement trois axesde recherche, (1) les resolutions numeriques deterministes (DNS, pour Direct NumericalSimulation), (2) les methodes semi-deterministes (LES, pour Large Eddy Simulation), etenfin (3) les methodes statistiques (RANS pour Reynolds Average Navier-stokes1) plusanciennes et donc largement developpees.

Ces trois methodes ont des objectifs et necessitent des couts de calcul differents.

1Le but de cette methode est en effet decrire une equation de Navier-Stokes moyennee a` partir dunedecomposition de Reynolds (3.1.3)

36 Modelisation de la turbulence

3.1.1 Simulation directe numerique (DNS)

Cette methode permet de resoudre directement les equations de Navier-Stokes sansaucune modelisation. Elle presente ainsi lavantage de donner acce`s a` toutes les quantitesinstantanees considerees dans lecoulement. Une application possible est donnee sur lafigure 3.1 representant la turbulence creee par un jet dair issu dune tuye`re.

Tous les mouvements doivent etre resolus par cette methode, la taille de maille doitdonc etre inferieure a` lechelle de dissipation. Le nombre de mailles est alors important.Ceci a pour consequence des temps de calcul extremement longs, et dautant plus longsque la vitesse de lecoulement est elevee2. La capacite et la performance des calculateursactuels ne cessent de progresser mais ne permettent pas encore de sonder des ecoulementscomplexes et a` hautes vitesses a` partir de cette methode. Neanmoins, celle-ci permet demieux comprendre les comportements turbulents dans des configurations simples, maisaussi dans certains cas de valider les mode`les de turbulence issus de la modelisationstatistique (paragraphe 3.1.3 page 38).

Une alternative a` cette methode est de simuler uniquement les grandes echelles et demodeliser3 les petites : LES.

Fig. 3.1 Simulation directe numerique dun jet,

M=1.92 (dapre`s Freund [7]).

3.1.2 Simulation des grandes echelles (LES)

Il sagit dune methode numerique intermediaire entre la DNS et les methodes statis-tiques consistant a` appliquer un filtre spatial en tout point du domaine. Le champ filtreest obtenu par un produit de convolution dans lespace :

(x) =

D

(x)G(x,x)dx

2Pour exemple, la simulation dun jet dair issu dune tuye`re de rayon r = 1 cm dans un domainedetendu 0 < x/r < 40, 15 < y/r < 15, 15 < z/r < 15 necessite une grille de 12 millions de points etun temps de calcul de 100 h sur un super calculateur.

3On remarquera ici la distinction entre simuler un ecoulement, cest a` dire calculer numeriquementa` partir des diverses equations, et modeliser, cest a` dire utiliser une loi qui rend compte du phenome`nephysique.

Trois approches numeriques 37

Fig. 3.2 Simulation des grandes echelles : colli-

sion axiale de deux anneaux tourbillonnaires (dapre`s

Mansfiel [21]).

ou` D est le domaine de calcul, et G le filtre determinant la taille des tourbillons a` simuler.Le filtre separe donc les grandes echelles (simulees) des petites structures (modelisees).On suppose ici que le comportement de ces dernie`res ne depend pas de la geometrieet est donc isotrope, ce qui nest pas le cas des grandes echelles qui, elles, voient leurcomportement guide par leur environnement. La simulation des grandes echelles resteneanmoins tre`s delicate car elles ont un comportement anisotrope, elles sont sujettes a` deseffets historiques, et sont fortement dependante du type decoulement et de ses conditionsaux limites. La taille de maille est choisie largement superieure a` lechelle de Kolmogorovet correspond la plupart du temps a` la taille du filtre. Le filtage precedent secrit alors :

(x) =1

V

V

(x) dx, x V

avec V le volume de la maille.

Malgre la modelisation des petites structures, le temps de calcul demeure important etles calculs sont limites, comme pour la DNS a` des nombres de Mach faibles. Neanmoins,alors que la puissance de nos ordinateurs personnels etaient insuffisantes pour ces typesde calcul, depuis les annees 2000 la tendance sest inversee (Fig. 3.3).

Fig. 3.3 Illustration des

puissances disponibles et

necessaires pour un cal-

cul numerique base sur

la methode LES (Dapre`s

Pope [27]).1980 2000 2020

besoins disponibilite

puis

sance

des

ord

inate

urs

(Log)

La figure 3.2 propose un exemple de calcul possible : la collision de deux anneauxtourbillonnaires en vue dune meilleure comprehension des interactions entre les structuresturbulentes. La figure 3.4 montre une autre forme dinteraction, ici entre deux tourbillons,resultant sur lappariement des deux structures. Les etudes fondamentales ont aussi pour

38 Modelisation de la turbulence

Fig. 3.4 Observation de lappariement de deux tourbillons.

objectif de simuler et predire ces comportements.

La DNS et la LES sont tre`s prometteuses car la perte dinformations est minimalepour la premie`re (seules les contributions moleculaires sont filtrees), un peu plus impor-tante pour la deuxie`me. Cependant, le cout dun calcul est inversement proportionnel a`la precision obtenue. Pour cette raison, dans des configurations industrielles, ces deuxmethodes sont inutilisables, et on leur prefe`rera les methodes statistiques exposees dansla suite du document.

3.1.3 Modelisation statistique de la turbulence (RANS)

La strategie adoptee ici consiste a` mettre de cote le mouvement instantane du fluide,dans le but dexprimer les equations du champ moyen. Le soucis de simuler toutes lespetites structures de lecoulement est donc elimine. La taille de maille, ainsi que la valeurdes pas de temps pour des etudes instationnaires, deviennent plus importantes. Cette ap-proche est donc moins couteuse en temps de calcul que la DNS et la LES, ceci expliquantsa grande utilisation dans le monde industriel. Neanmoins, notons tout de suite que cetteapproche presente un fort degre dempirisme, rendant alors la methode peu fiable danscertaines configurations. Le domaine dapplication est tre`s vaste, avec transfert thermique(Fig. 3.5) ou sans echange thermique (Fig. 3.6).

Le principe de cette methode repose sur la resolution des equations de Navier-Stokesmoyennees. Celles-ci sont obtenues en introduisant une decomposition des variables duproble`me a` traiter :

(xi, t) = (xi) + (xi, t)

ou` (xi) est la moyenne du parame`tre (xi, t) sur une duree dobservation T :

(xi) = limT

1

T

T0

(xi, t)dt

avec = {ui, p, T}. La duree dobservation doit etre importante comparativement a`lechelle de temps de la turbulence, theoriquement elle doit tendre vers linfini. Cependantsi elle est assez grande, la valeur moyenne nen depend plus. Cette decomposition appeleedecomposition de Reynolds (1894), a ete introduite par Boussinesq4 (1872).

4Valentin Joseph Boussinesq(1842-1929), physicien et mathematicien francais. Boussinesq apporta une

Trois approches numeriques 39

Fig. 3.5 Temperature dans un film dhuile cisaille par deux disques en rotation symbolisant un embrayage en

position ouverte (dapre`s Changenet [4]).

Fig. 3.6 Ecoulement dair au passage dune roue dentee en mouvement -Dp = 150 mm, m = 5 mm, largeur= 24 mm (dapre`s Marchesse [23]).

On suppose dans cette decomposition que les valeurs fluctuantes sont centrees, cesta` dire que leurs valeurs moyennes sont nulles. Les proprietes les plus utilisees sont lessuivantes :

() = + = + = et = +

contribution enorme a` la physique mathematique. Et son travail en hydraulique est considerable. Il etudiales tourbillons, les ondes de surface, la resistance a` lavancement dun obstacle, et les effets refroidissantsdun liquide.

40 Modelisation de la turbulence

Il existe dautres decompositions, telle que la decomposition triple : = + + ,composante moyenne, organisee et aleatoire. Cette decomposition est tre`s utilisee dans lamodelisation de la turbulence atmospherique, cas ou` les tourbillons gardent longtemps unestructure fluctuante organisee. Ce formalisme etant plus complexe, on regroupe parfoisla composante moyenne et la composante organisee dans un terme unique. On obtientalors une decomposition equivalente a` la decomposition de Reynolds. Lorsque les effetsde compressibilite deviennent non-negligeables, la decomposition de Fabre est prefereea` celle de Reynolds car plus adaptee a` ce type decoulement. On definit dans ce cas lamoyenne massique, = /, permettant de mieux tenir compte des variations de massevolumique.

Notons au passage que lapplication de la moyenne de Reynolds conduit a` une gigan-tesque perte dinformation. Il devient alors illusoire dessayer dobtenir par cette approcheun mode`le capable de reproduire correctement tous les phenome`nes, dans toutes les simu-lations. Cette reflexion renvoie a` la notion duniversalite des mode`les. Les decompositionsdes variables de notre proble`me, ui = ui + u

i et p = p + p

, sont introduites dans lesequations precedentes. On obtient alors

uixi

= 0 (3.1)

et

(uit

+ ujuixj

+ ujuixj

)= f i

p

xi+ ijxj

que lon peut mettre sous la forme suivante en utilisant le fait que ui/xi = 0 :

(uit

+ ujuixj

)= f i

p

xi+

xj[ ij uiuj] (3.2)

Les deux relations (3.1) et (3.2) representent les equations de Navier-Stokes moyen-nees. On remarque que lequation de bilan moyennee (3.2) semble identique a` celle ecritepour lecoulement instantane, a` lexception cependant dun terme ajoute, uiuj, ayantla dimension dune contrainte. Ce terme porte le nom de tenseur de Reynolds. Ainsi lechamp moyen ne satisfait pas aux equations de Navier-Stokes, telles que nous les avionsecrites dans le precedent chapitre, le tenseur de Reynolds faisant apparatre le lien etroitentre les champs moyen et fluctuant.

On note ainsi que la turbulence apporte une contrainte supplementaire a` lecoulement.Neanmoins, les contributions des contraintes de cisaillement et de celles liees a` la turbu-lence ne sont pas identiques. En effet, les effets visqueux sont dominants dans la regionproche des parois, alors que pour des regions qui en sont eloignees, la contrainte turbulentea une contribution plus importante (Fig. 3.7).

Limitant la description au champ moyen [ui(xj, t), p(xj, t)], le syste`me regissant cesfonctions se reduit en situation isovolumique aux equations (3.1) et (3.2). Le tenseur deReynolds fait donc apparatre six termes supplementaires (u2, v2, w2, uv, uw, etvw) sajoutant aux variables habituelles (u, v, w, et p). Il y a donc 10 inconnues pour 4equations, et il est alors necessaire de trouver une strategie nous permettant de fermerce syste`me.

Mode`le de turbulence du premier ordre - Concept de la viscosite turbulente 41

Fig. 3.7 Repartition des contraintes de cisaillement

et turbulentes (normalisees par la contrainte totale,

(y)) dans le cas dun ecoulement dans un canal.Lignes continues, Re = 13 750 ; lignes discontinues,

Re = 5 600 (dapre`s Moser [26]).

3.1.4 Remarques sur les trois approches

Nous venons de decrire de facon succinte les trois grandes methodes numeriques ac-tuelles. Leurs domaines de modelisation (quand il existe) et de simulation sont rassemblessur la figure 3.8. Dapre`s ce que nous venons de voir, plus le domaine de modelisation estfaible, plus le calcul sera a` meme de donner une description precise de lecoulement. Ce-pendant, celui-ci necessite alors une taille de maille tre`s fine, entranant irremediablementdes temps de calculs couteux. Pour cela, la modelisation statistique semble seduisantecar plus rapide. Neanmoins, lutilisateur sembarque de`s lors dans le choix de mode`les deturbulence5.

Fig. 3.8 Representation des domaines de

simulation et de modelisation pour la DNS,

la LES et la modelisation statistique.

3.2 Mode`le de turbulence du premier ordre - Concept

de la viscosite turbulente

Lapproche de la modelisation statistique de la turbulence necessite la fermeture dusyste`me dequations regissant le mouvement moyen. Generalement, les methodes de fer-meture sont classees en fonction du nombre dequations supplementaires a` resoudre. La

5Il utilisera dans la plupart des cas le mode`le k qui, il est vrai predit des ecoulements corrects maisaussi pour des raisons dignorance dautres mode`les.

42 Modelisation de la turbulence

strategie adoptee par les mode`les du premier ordre et presentes dans la suite du docu-ment repose sur le concept de viscosite turbulente presente par Boussinesq en 1877[2]. Son idee est basee sur lobservation tendant a` montrer que le transfert de quantitede mouvement dans un ecoulement turbulent est fortement domine par le melange desgrosses structures. Cette viscosite est notee T et relie lineairement le tenseur de Reynoldsa` lecoulement moyen :

uiuj = T

(uixj

+ujxi

)+2

3kij (a)

(3.3)

ou` k est lenergie cinetique moyenne du champ turbulent par unite de masse, appelee defacon plus concise lenergie cinetique turbulente :

k =1

2uku

k =

1

2(u2 + v2 + w2)

et ij le symbole de Kronecker (ij = 1 si i = j et ij = 0 si i 6= j). Le terme isotrope(a) est necessaire, afin de ne pas avoir k = uiu

i/2 0 par contraction des indices6. La

viscosite est a priori une fonction locale de lecoulement T T (x , t) et donc fontiondu mouvement turbulent, contrairemement a` la viscosite moleculaire qui est une proprietedu fluide.

La relation (3.3) repose sur des hypothe`ses simplificatrices de lecoulement et sa turbu-lence : (1) linstantaneite de la reponse de la turbulence a` une variation du champ moyen,cest a` dire la non prise en compte de lhistoire de la deformation et de la turbulence ;(2) la localite, la turbulence etant influencee que par son voisinage immediat, (3) la faibleinhomogeneite ; (4) la linearite de cette loi de comportement entrainant une surestimationde la production de la turbulence. La trop forte diffusivite turbulente est ainsi a` loriginede la dissipation anticipee des structures turbulentes. Ce dernier point est probablementcelui qui fait le plus defaut a` cette approche. En effet, la relation (3.3) est bien adapteea` la reproduction des composantes de cisaillement (i.e. uv et vw) qui sont produitesrespectivement par le cisaillement du au sillage et a` la couche limite. En revanche, elleest incapable de distinguer les trois composantes diagonales, predisant tout simplementu2 = v2 = w2 = 2k/3. On comprendra mieux que les mode`les du premier ordre nepuissent marcher dans toutes les situations. Ceci est grandement ameliore par lintroduc-tion dune relation non-lineaire de la loi de comportement du materiau turbulent parlintermediaire de termes quadratiques voire cubiques des gradients de vitesses moyennes.

La viscosite turbulente, inconnue de prime abord, doit donc etre definie. Par analogieavec la theorie cinetique des gaz, la determination de la viscosite necessite deux echelles, u l, ou` u est la vitesse quadratique des molecules constituant le gaz et l le libreparcours moyen de ces particules (i.e. la distance moyenne effectuee par ces particulesentre deux chocs). On pourra alors ecrire dans notre cas :

T = uT l (3.4)

ou` uT et l representent respectivement une vitesse et une longueur caracteristique dela turbulence locale. Ainsi, le propos des mode`les de turbulence est destimer ces deux

6En effet, sans ce terme, uiu

i= 2k = 2T ui

xi, ce dernier terme etant nul dapre`s la relation 3.1.

Mode`le de turbulence du premier ordre - Concept de la viscosite turbulente 43

echelles de la turbulence afin dapprocher au mieux la valeur de T . Le mode`le de turbu-lence sera dautant plus complexe quil cherchera a` se rapprocher au plus pre`s de la realite,a` savoir tenir compte des effets de la convection, de la production et de la dissipation dela turbulence le long de lecoulement.

3.2.1 Mode`le algebrique ou mode`le a` zero equation

Prandtl7 [28] propose en 1925 une formulation de la viscosite turbulente utilisant leconcept de longueur de melange, lm, telle que

T = l2m

uy (3.5)

Cette longueur, inspiree du libre parcours moyen dans la theorie cinetique des gaz reposesur le principe que le transport de la quantite de mouvement seffectue sur une distanceegale au libre parcours moyen. Lexpression de cette longueur depend de la configurationetudiee. Le tableau 3.1 rassemble quelques valeurs de longueurs de melange dans desconfigurations frequemment etudiees.

Tableau 3.1 Longueurs de melange dans le cas decoulements bidimensionnels (dapre`s Rodi [31]).

Ecoulement Longueur de melange, lm LCouche de melange 0, 07L epaisseur de la

couche de melangeJet 0, 09L demi-epaisseur du jetSillage 0, 16L demi-epaisseur du sillageJet axisymetrique 0, 075L demi-epaisseur du jetCouche limite :Sous-couche visqueuse [1 exp(y+/26)] epaisseuret region logarithmique de laPartie superieure (y/L 0, 22) 0, 09L couche-limite

Ce mode`le a un degre de generalite tre`s faible puisque dependant du type decoulementenvisage. Cependant lorsquil est applique dans des configurations decoulement adaptees,les predictions numeriques sont proches de celles mesurees (Fig. 3.9). Ce mode`le est dtincomplet car pour decrire la longueur de melange en fonction de la position celle-cidepend de lecoulement. Dautre part, cette vision de la turbulence est trop simpliste, carla longueur doit etre differente que lon se positionne dans lecoulement ou proche desparois8. Il semble en pratique que le concept de viscosite turbulente sous cette forme esttrop imprecis pour permettre des predictions satisfaisantes.

7Ludwig Prandtl (1875-1953), aerodynamicien allemand. Il est le pe`re de laerodynamique en mettanten evidence la presence dune couche limite pre`s des parois. Ceci permit dexpliquer les phenome`nes deportance et de tranee necessaires a` lamelioration de laviation. Il fut le directeur de the`se de Paul RichardHeinrich Blasius, qui utilisa le concept de couche limite dans lestimation de la tranee dune plaque plane.Il montra aussi que les pertes de charge dans une conduite est fonction du nombre de Reynolds.

8Des modifications ont ete apportees au mode`le de longueur melange pour tenir compte des effets deparois. Van Driest, Clauser et Klebanoff proposent par exemple un mode`le de longueur de melange reduitedans la region laminaire de la couche limite par lutilisation dun facteur jouant le role damortisseur.

44 Modelisation de la turbulence

De plus, si on se place au centre dune couche de melange caracterisee par un gradientde vitesse nul, la viscosite turbulente y devient nulle dapre`s la relation (3.5), ce qui estrefute par les mesures. Il devient alors necessaire davoir recours a` dautres theories pourmettre en evidence les diverses interactions entre les instabilites de tailles differentes.

Pour toutes ces raisons le mode`le de longueur de melange nest pas applicable dansune modelisation generale de la turbulence. De ce fait, il sera insere dans des mode`les deturbulence plus complexes pour traiter par exemple le comportement du fluide dans lesregions proches des parois.

(a) (b)

Fig. 3.9 Schema dun sillage (a) et predictions numeriques du champ de vitesse dans le sillage dun obstacle

cylindrique circulaire utilisant le concept de longueur de melange (dapre`s Versteeg [35] et Schlichting

[32]).

3.2.2 Mode`les de fermeture a` une equation de transport

Les mode`les de fermeture a` une equation de transport reposent sur lhypothe`se deBoussinesq, et permettent doter le proble`me dune viscosite turbulente nulle au milieudune couche de melange. On presente dans la suite deux exemples de ces mode`les a` 1equation.

Mode`le de fermeture base sur lequation de transport de lenergie cinetiqueturbulente

Prandtl et Kolmogorov [13] proposent en 1940 une relation dans laquelle la viscositeturbulente est proportionnelle a` la racine carree de lenergie cinetique tubulente :

T = Cklk (3.6)

Le choix du parame`tre k vient naturellement de sa presence dans la loi de comportement(3.3). Cette approche est ainsi basee sur la connaissance en tout point de lecoulement delenergie cinetique turbulente :

(k

t+ uj

k

xj

)

[1]

=

xj

(k

xj

)

[2]

xj

(2uju

iui + p

uj

)

[3]

uiujuixj

[4]

ui

xj

uixj

[5]

La variation totale de lenergie cinetique turbulente [1] est equilibree par :

Mode`le de turbulence du premier ordre - Concept de la viscosite turbulente 45

[3] la diffusion de lenergie cinetique turbulente par effet des fluctuations de vitesseet de pression.

[4] linteraction avec lecoulement moyen. Cette energie, cedee par lecoulementmoyen, est appelee terme de production.

[5] le taux de dissipation moyen (multiplie ici par la masse volumique), note par lasuite , et toujours positif.

Le terme de diffusion [3] doit etre modelise, cest generalement le cas a` laide dun termede diffusion par gradient :

(2uju

iui + p

uj

) T

k

k

xj(3.7)

ou` T est la viscosite turbulente vue plus haut, et k est le nombre de Prandtl turbulent(proche de lunite). On suppose la` que les deux termes ont des effets diffusifs, et peuventdonc etre modelises de facon identique. Ceci serait parfaitement justifie si lagitationturbulente avait un comportement de pure agitation (au sens moleculaire), et a` une echelletre`s petite devant celle de lecoulement moyen. Il nen est rien. En effet, la presence destructures coherentes dans la turbulence va a` lencontre de toute separation dechelles.

De la meme manie`re, le terme de production [4] doit etre modelise, ceci est realise a`partir de la definition de la viscosite turbulente (3.3) :

Pk = uiujuixj

T(uixj

+ujxi

)uixj

Lequation de transport de lenergie cinetique turbulente est ecrite a` partir dune analogieavec lequation de transport de lenergie cinetique (approche phenomenologique), et nonpas a` laide dune approche theorique. On cherche donc a` equilibrer le transport du tauxde dissipation par un terme de convection, un terme source, un terme puits, de la diffusionvisqueuse et turbulente. On peut ainsi ecrire :

(k)

t+ uj

(k)

xj=

xj

[(+

tk

)k

xj

]+ Pk (3.8)

Cette approche, plus quosee, est tre`s largement utilisee aujourdhui. Elle est loindetre parfaite, mais personne na propose autre chose pour le moment. Ce mode`le disposefinalement de cinq equations pour les cinq fonctions scalaires ui, p et k. Il a lavantagedetre peu complexe a` mettre en place, et prend en compte partiellement lhistoire de laturbulence. Ce mode`le, comme le precedent, reste incomplet car necessitant de prescrirelechelle de longueur en tout point, ce qui reste difficile pour des geometries complexes.

Lequation de transport de lenergie cinetique turbulente reste valable pour des ecou-lements tre`s fortement turbulents. Cest a` dire dans les regions eloignees des effets desparois (i.e. y+ superieur a` 30).

Mode`le de fermeture de Spalart et Allmaras base sur lequation de transportde la viscosite v

Un des mode`les de turbulence a` 1 equation de transport, autre que celle de lenergiecinetique turbulente, le plus cele`bre est le mode`le propose par Spalart et Allmaras [34]. Ce

46 Modelisation de la turbulence

mode`le a ete adapte a` des configurations de couches de melange 2D et de couches limitessur des plaques planes. La viscosite turbulente est donnee par la formulation :

T = fv1v (3.9)

ou` v est obtenue par resolution de son equation de transport :

t() +

xj(uj) = P +

1

[

xj

{(+ )

xj

}+ Cb2

(

xj

)2]D (3.10)

ou` P represente la production de viscosite turbulente etD sa destruction dans les regionsproches des parois liee a` lamortissement visqueux. et Cb2 sont des constantes, et estla viscosite dynamique.

Le mode`le de turbulence propose par Spalart et Allmaras est un mode`le dt bas-Reynolds, cest a` dire construit de telle sorte quil puisse etre utilise dans les regionsde paroi. Ceci est possible a` partir du comportement du coefficientfv1 dans lexpression(3.9). Aucune loi de paroi nest alors necessaire. Certains codes de calculs commerciauxproposent neanmoins une modification de ce mode`le adaptee a` lutilisation dune loi de pa-roi diminuant alors le nombre de mailles dans la region de paroi. Ce mode`le est performantpour des applications aeronautiques car les ecoulements attaches et decolles sont tre`s bienrepresentes. Cependant, ce mode`le est bien trop simple dans sa construction pour donnerde bons resultats dans une large gamme decoulements. En effet, son manque duniversa-lite lui fait defaut. Ce point est ameliore en considerant des mode`les a` deux equations detransport.

3.2.3 Mode`les de fermeture a` deux equations de transport

Afin de lever ce proble`me dempirisme concernant lechelle de longueur, il est vite ap-paru naturel de calculer cette grandeur en resolvant une equation de transport supplemen-taire. On acce`de ainsi aux methodes du premier ordre a` deux equations. Nous lavonsvu precedemment, il est tre`s naturel dintroduire lenergie cinetique turbulente dans laprediction de la viscosite turbulente. Le choix du second parame`tre, a` partir duquel uneequation de transport sera ecrite, est plus delicat. Plusieurs suggestions ont ete proposeesbasees sur les variables

kl 1/

ou` et sont respectivement le taux de dissipation de lenergie cinetique turbulente etle taux de dissipation specifique ( = /k) representant le taux de dissipation par unitedenergie cinetique turbulente. Dans tous ces cas, la viscosite turbulente est formulee a`partir de lenergie cinetique turbulente et du second parame`tre.

Mode`le de fermeture k

Le mode`le de fermeture k est lun des plus utilise dans le monde industriel. La viscositeturbulente est donnee par lexpression :

T = Ck

2

(3.11)

Mode`le de turbulence du premier ordre - Concept de la viscosite turbulente 47

et est donc ecrite par combinaison de lenergie cinetique turbulente et du taux de dissi-pation

= uixj

uixj

(3.12)

estimes tous deux par leur equation de transport. Respectivement :

(k)

t+ uj

(k)

xj=

xj

[(+

tk

)k

xj

]+ Pk (3.13)

()

t+(ui)

xi=

xj

[(+

t

)

xj

]+

k(C1Pk C2) (3.14)

Dans les equations (3.13) et (3.14), Pk caracterise la generation denergie cinetique turbu-lente issue de gradient de vitesse moyenne, et des effets de la pesanteur. C1, C2 sont desconstantes. k et sont appelees nombre de Prandtl, respectivement pour k et

9. Lesconstantes impliquees dans ce mode`le, que lon souhaite les plus universelles possibles,ont ete determinees dans les configurations de reference suivantes :

C = 0,09 Loi logarithmique en paroiC1 = 1,44 deformation ou cisaillement uniformeC2 = 1,92 decroissance turbulente isotropek = 1 comparaison avec experience jet-sillage = 1,3 comparaison avec experience jet-sillage

Ce mode`le a ete presente au debut des annees 1970 par W.P. Jones et B.E. Launder [10],puis les constantes ont ete determinees par B.E. Launder et D. Spalding [19]. Un desavantages de cette methode est la prise en compte de la variabilite spatiale de lagitationturbulente, et sa simplicite de mise en uvre. Il save`re etre un des mode`les les plusrepandus dans les applications pratiques a` lusage de lingenieur (ecoulements dans desconduites par exemple). Utilise en dehors decoulements cisailles simples pour lesquels ilfut initialement concu, il conduit a` des resultats qui, sans etre toujours quantitativementcorrects, restent le plus souvent qualitativement representatifs.

Rappelons que le mode`le k presente plus haut, que lon appelle aussi mode`le kstandard, nest utilisable que dans les ecoulements fortement turbulents, ce qui nest plusavere dans des regions proches des parois. Lutilisation de lois de paroi est alors unesolution pour tenir compte de la presence des effets visqueux (Cf. paragraphe 3.4). Unealternative a` lutilisation de ces lois de paroi a ete mise en place par la modificationdes equations de transport de k et en integrant un facteur damortissement pour tenircompte des effets de paroi [18]. Dans ce cas, la viscosite turbulente secrit :

T = Cfk

2

(3.15)

ou`f = 1 e0,0115y+

Ainsi lorsque lon conside`re des regions de plus en plus proches de la paroi, ce coefficienttend vers zero, et les effets de la turbulence diminuent.

9Ces deux nombres caracterisent la correlation pression-vitesse, et restent tre`s difficiles a` modeliser.

48 Modelisation de la turbulence

Le mode`le k est dautre part base sur une dependance locale et surtout lineaire destensions turbulentes vis a` vis du champ moyen (Eq. 3.3). De ce fait, le mode`le a tendancea` surestimer les contraintes turbulentes (en leur donnant un aspect diffusif quelles nontgeneralement pas) et la viscosite turbulente dans les zones de fort cisaillement (couchelimite, couche de melange). Dautre part, cette linearite fait que ce mode`le a quasimentaucune chance de bien reproduire des ecoulements complexes, en particulier tridimension-nels. De plus, lequation du taux de dissipation est une forme approchee, obtenue a` partirdarguments dont certains sont purement intuitifs. Pour cela, il parat moins adapte auxecoulements plus complexes (recirculation, anisotropie forte) que le mode`le RNG, proposedans la rubrique suivante.

Mode`le de fermeture k RNG

Le mode`le de turbulence RNG k [5] est obtenue a` partir de lequation instantanee deNavier-Stokes en utilisant une technique mathematique appelee groupe de renormalisa-tion (RNG)10. Il sagit donc dun mode`le standard ameliore. Le mode`le fait apparatredes constantes differentes de celles du mode`le standard k :

C=0,0845 ; k==0,7179 ; C1=1,42 ; C2=1,68.

et des termes supplementaires dans les equations de transport de k et . Lel