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© Roland Portait et Patrice Poncet Chapitre XXXX Les options exotiques Ce chapitre est consacré aux options exotiques dont nous étudions les caractéristiques essentielles, l’utilisation, et l’évaluation. Nous ne pouvons prétendre à l’exhaustivité et nous limitons à la présentation des options les plus importantes. En effet, la palette de ces instruments est extrêmement riche et concerne tous les types de supports (actions, indices boursiers, taux d’intérêt et de change, marchandises, et même « actifs » non négociables comme un indice des prix à la consommation, ou un niveau de catastrophe naturelle ou de température) tant les besoins spécifiques des investisseurs et des opérateurs de marché se sont développés. La contrepartie de cette diversité est la faiblesse de la liquidité qui caractérise souvent ces options, ce qui rend plus ardu le problème de leur évaluation en pratique et, parfois, de leur couverture. Par ailleurs, des caractéristiques exotiques sont fréquemment présentes dans les différents titres émis par les entreprises pour financer leurs investissements (par exemple, obligations convertibles « callables » et/ou « putables » sous certaines conditions). Il n’y a pas de nomenclature qui s’impose en matière d’options exotiques et plusieurs classifications sont donc envisageables. Celle que nous adoptons consiste à distinguer les options dites « path independent » dont le payoff ne dépend que de la valeur terminale du titre sous-jacent, et les options « path-dependent » dont le payoff dépend de la trajectoire du sous- jacent. Parmi les premières, nous décrivons brièvement, en section 1, les options « forward start », les options binaires ou digitales et double digitales, les options multi-sous-jacents, dont l’option d’échange représente le cas le plus simple, les options sur options ou composées, et les options quantos et compos (ou cross). Parmi les secondes, nous analysons, en section 2, les options barrières (dont les double barrières et les parisiennes) et digitales à barrière, les options « lookback », les options sur moyenne ou asiatiques et les options chooser. 1

Ch 20 Exotiques (1)

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Page 1: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

Chapitre XXXX

Les options exotiques

Ce chapitre est consacré aux options exotiques dont nous étudions les caractéristiques

essentielles, l’utilisation, et l’évaluation. Nous ne pouvons prétendre à l’exhaustivité et nous

limitons à la présentation des options les plus importantes. En effet, la palette de ces

instruments est extrêmement riche et concerne tous les types de supports (actions, indices

boursiers, taux d’intérêt et de change, marchandises, et même « actifs » non négociables

comme un indice des prix à la consommation, ou un niveau de catastrophe naturelle ou de

température) tant les besoins spécifiques des investisseurs et des opérateurs de marché se sont

développés. La contrepartie de cette diversité est la faiblesse de la liquidité qui caractérise

souvent ces options, ce qui rend plus ardu le problème de leur évaluation en pratique et,

parfois, de leur couverture. Par ailleurs, des caractéristiques exotiques sont fréquemment

présentes dans les différents titres émis par les entreprises pour financer leurs investissements

(par exemple, obligations convertibles « callables » et/ou « putables » sous certaines

conditions).

Il n’y a pas de nomenclature qui s’impose en matière d’options exotiques et plusieurs

classifications sont donc envisageables. Celle que nous adoptons consiste à distinguer les

options dites « path independent » dont le payoff ne dépend que de la valeur terminale du titre

sous-jacent, et les options « path-dependent » dont le payoff dépend de la trajectoire du sous-

jacent.

Parmi les premières, nous décrivons brièvement, en section 1, les options « forward start »,

les options binaires ou digitales et double digitales, les options multi-sous-jacents, dont

l’option d’échange représente le cas le plus simple, les options sur options ou composées, et

les options quantos et compos (ou cross).

Parmi les secondes, nous analysons, en section 2, les options barrières (dont les double

barrières et les parisiennes) et digitales à barrière, les options « lookback », les options sur

moyenne ou asiatiques et les options chooser.

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© Roland Portait et Patrice Poncet

La plupart des démonstrations, sauf les plus simples, sont reléguées dans l’Annexe

mathématique du chapitre et peuvent être sautées en première lecture.

Section 1

Options « path independent »

§1. - L’option « forward start » (à départ différé)

Cette option est une vanille européenne, à l’exception du fait que son strike n’est pas connu

au moment où elle est évaluée et payée par l’acheteur, mais à un instant ultérieur spécifié

dans le contrat. Notons T2 l’échéance de l’option, t l’instant courant d’évaluation et T1 (t < T1

< T2) la date d’établissement du strike. Typiquement, ce dernier sera égal au cours du titre

sous-jacent (TSJ) relevé en T1.

Une telle option présente un intérêt dans plusieurs situations. La première est celle dans

laquelle l’acheteur veut fixer le niveau de volatilité (qu’il paie) à son niveau actuel, par

exemple parce qu’il craint ou anticipe une hausse de cette dernière, tout en se laissant le

temps d’établir le strike, par exemple parce qu’il parie à court terme sur la baisse

momentanée du TSJ (dans le cas d’un call) ou sur sa hausse (dans le cas d’un put).

Plus fréquemment, ces options sont (massivement) utilisées par les fonds à capital garanti.

Rappelons que le principe d’un tel fonds est simple : dans son expression la plus élémentaire,

le fonds est constitué d’un titre zéro coupon sans risque de signature garantissant le capital

apporté par le client et d’un call écrit sur un TSJ quelconque permettant, s’il expire dans la

monnaie, de servir une rémunération proportionnelle à la hausse relative dudit TSJ. Or ces

fonds garantis, pour être effectivement commercialisés, doivent proposer à leurs clients

potentiels, pour un contrat donné, une période de souscription relativement longue,

couramment de plusieurs mois. Par exemple, la période de souscription s’étend du 01/09/n au

31/12/n et la performance du TSJ est évaluée entre le 31/12/n et le 31/12/n+5. Le gestionnaire

de ce fonds garanti va acheter, juste avant la période de souscription, un call « forward start »

de date de fixation du strike le 31/12/n, et d’échéance le 31/12/n+5 (ainsi qu’un zéro coupon

de même maturité). La multiplication et la diversité des fonds garantis a ainsi nécessité la

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Page 3: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

création de nombreux produits à départ différé, pour lesquels la performance peut être

calculée comme une moyenne, peut être « cappée » ou « floorée », peut présenter des effets

de cliquet, etc.

Dans le cadre classique du modèle de BSM, l’évaluation de ces options est facile du fait de la

propriété d’homogénéité de la valeur d’une option en prix du TSJ et en strike.

Soit St la valeur en t du TSJ et Ct (= C(St, K, T2 - t)) la valeur en t du call d’échéance T2. A la

date de fixation du strike, T1, le call vaut :

C(ST1, ST1, τ ≡ T2 - T1) = ST1 C(1, 1, τ)

En date T1, l’option est donc « équivalente » à C(1, 1, τ) unités de TSJ, où C(1, 1, τ) est une

constante donnée par la formule de BSM. Dès lors, à la date t et dans l’hypothèse où le TSJ

ne distribue pas de rémunération entre t et T1, la valeur de l’option forward start est celle de

C(1, 1, τ) unités de TSJ, c'est-à-dire St C(1, 1, τ) ; soit en vertu de la même propriété

d’homogénéité prise en sens inverse :

(1) St C(1, 1, τ) = C(St, St, τ)

Ainsi, la valeur en t (0 < t < T1 < T2) d’une option « forward start » est celle donnée par la

formule de BSM en prenant comme strike le prix courant du TSJ et comme durée de vie de

l’option, non pas la variable T2 - t, mais la constante τ ≡ T2 - T1.

§2.- Les option digitales et double digitales

Ces options, parfois également appelées binaires, doivent leur nom au mot anglais "digit"

(chiffre). Elles promettent à leur détenteur, à l'échéance T, soit un montant fixe (typiquement

1 €), soit rien, selon que la valeur S(T) du TSJ est supérieure au strike (pour un call) ou

inférieure (pour un put). Formellement, le payoff s'écrit :

1 si S(T) > K pour le call, 0 sinon 1 si S(T) < K pour le "put". 0 sinon

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Page 4: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

La formule d'évaluation d'une option digitale découle directement de celle de BSM. En effet,

rappelons que la probabilité risque-neutre que le call expire dans-la-monnaie est où : ( ),2dN

( ) ( )T

TrT

KSLndσ

σδσ

2/²/02

−−+≡ , avec δ le taux de dividende continu (noté souvent c dans

les chapitres précédents).

Le call digital vaut donc 1 € actualisé multiplié par cette probabilité, soit :

(2) Cd = e-rT N(d2).

De même, le put digital vaut :

(3) Pd = e-rT [1 – N(d2) ] = e-rT N(-d2).

Remarques :

- Les options "clic", qui connaissent un succès certain auprès des investisseurs particuliers,

sont des options digitales dont le payoff est soit X (euros) soit 0. Ce produit n’est en fait qu’un

panier composé de X options digitales identiques.

- La somme du call et du put binaires vaut 1€ actualisé car l’acheteur de ce panier est sûr

d’obtenir 1€ à l’échéance : Cd + Pd = e-rT.

Certains professionnels, par analogie avec le fait que les options digitales donnent une somme

d’argent ou rien (« cash-or-nothing »), font entrer dans cette catégorie les options "titre ou

rien" ("asset-or-nothing"). Le payoff de ces dernières s'écrit :

S(T) si S(T)> K pour le call, 0 sinon S(T) si S(T)< K pour le "put".

0 sinon

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Page 5: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

On remarque qu'un portefeuille long du call et du "put" a une valeur égale à celle du TSJ

(éventuellement actualisé au taux δ du dividende continu).

On remarque également qu’il s'agit d'options qui, contrairement aux vraies digitales (et au put

classique), ont un payoff de pente +1 (par rapport au TSJ) conformément à la Figure 1 ci-

dessous.

Figure 1. Option "Titre ou Rien"

La formule d'évaluation de ces options « titre ou rien » est également tirée directement de la

formule de BSM. Pour le call, le strike payé en cas d'exercice est 0. D'où l'on obtient :

(4) Ctor = S0 e-δT N(d1)

avec ( ) ( )T

TrT

KSLndσ

σδσ

2/²/01

+−+≡

Pour le put, l'on a :

(5) Ptor = S0 e-δT N(-d1) (du fait que S0 e-δT = Ctor + Ptor).

L'on notera qu'en AOA la somme des deux options ne vaut pas S0 si le TSJ verse un

dividende mais S0 e-δT, du fait que la possession des deux options, contrairement à celle du

TSJ, ne donne pas droit au dividende. Si ce dernier est nul, il vient : S0 = Ctor + Ptor.

Une option "gap" est une option dont le strike K (dont dépend l'exercice ou non de l’option à

maturité) est différent du montant L utilisé pour calculer son payoff. Ce dernier s'écrit :

S(T) – L si S(T) > K pour le call, 0 sinon

a) call S(T) K 0

S(T) b) put

K 0

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Page 6: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

L – S(T) si S(T) < K pour le put. 0 sinon Typiquement, l'on a L < K pour le call et L > K pour le put, de façon à rendre ces options

attrayantes, mais le contraire peut se rencontrer, ce qui diminue la valeur initiale de la prime

payée par l’acheteur.

La valorisation d'une telle option "gap" est aisée si l'on remarque qu'elle peut-être synthétisée

à partir de digitales et d'une option "titre ou rien". Le call, en effet, est constitué de L calls

binaires vendus et d’un call "titre ou rien" acheté. Dès lors :

(6) Cg = S0 e-δT N(d1) – L e-rT N(d2)

où K, et non L, figure dans d1 et d2. On retrouve évidement la formule de BSM si K = L.

Le put "gap" est constitué de L puts binaires achetés et d'un put "Titre ou Rien" vendu. Par

conséquent :

(7) Pg = L e-rT N(-d2) – S0 e-δT N(-d1)

avec les mêmes remarques que pour Cg.

L'on retrouve, par ailleurs, la relation de parité call-put, qui s'écrit ici :

Cg – Pg = S0 e-δT – L e-rT.

Enfin, les options "doubles digitales" (ODD) constituent des composants élémentaires à partir

desquels on peut structurer de nombreux produits. Une ODD est composée d'une position

longue sur une digitale de strike K1 et d'une position courte sur une digitale de strike K2

(> K1), les deux digitales ayant le même TSJ et la même maturité T. Le payoff de cette ODD

s'écrit ainsi :

1 si K1 < S(T) < K2

0 sinon

Ce payoff est représenté par une "brique" de hauteur 1 et de longueur (K2 – K1),

conformément à la Figure 2 ci-dessous.

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Page 7: Ch 20 Exotiques (1)

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Exemple

A titre d'illu

commerciali

paris sur la s

Supposons q

l'Euribor 3 m

1 €, et son p

où x est le n

l'Euribor 3 m

Si r3(t) n'es

l'investisseu

Autrement d

l'espoir d'ob

stabilité des

L'analyse fin

durée 1 jo

corresponda

expire à la fi

jour, etc. L'é

digitales (ca

-1

+1

Figure 2. Une

stration, nous décrivons un pro

sés par les grandes banques, de ty

tabilité du TSJ autour de son tren

ue le taux d'intérêt proportion

ois soit de 3,20%. Le nominal d

ayoff en euros dans exactement

ombre de jours calendaires entre

ois r3(t) est resté dans l'intervalle

t resté qu'un seul jour, par ex

r sera de 0,011%, mais s'il y

it, l'investisseur abandonne une

tenir, au mieux, 4,056% et ne se

taux).

ancière d'un tel produit est sim

ur chacune, donnant chacune

nt est compris dans l'intervalle [2

n du premier jour, la seconde (fo

valuation de ce produit est don

lls).

K2

K1 0

ODD

Double Digitale

duit fictif s'inspirant très fo

pe "Corridor" ou "Boost", e

d, plutôt que sur sa volatilité

nel sans risque à un an so

u produit structuré, appelons

un an est donné par la form

le 01-01-n et le 31-12-n (b

[2,90% - 3,50%].

emple, dans cet intervalle,

est resté constamment, ell

rentabilité certaine de 3,30

ra intéressé par ce produit q

ple : il s'agit d'un portefeuil

0,04/360 euro si l'Euribo

,90% - 3,50%] et rien sinon

rward) naît au début, et meur

c aisée, connaissant la form

Digitale achetée

S(T)

Digitale vendue

rtement de produits

t qui constituent des

.

it de 3,30% et que

-le "couloir", est de

ule : ( )360%41 x×+ ,

ornes comprises) où

la rentabilité pour

e sera de 4,056%.

% sur un an contre

ue s’il anticipe une

le de 365 ODD, de

r 3 mois du jour

. La première ODD

t à la fin, du second

ule pour les options

7

Page 8: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

Il est en général d'usage, parce que les anticipations à la stabilité du TSJ sont assez rares, de

faire évoluer les bornes de l'intervalle [K1, K2] selon une fonction déterministe du temps

spécifiée dans le contrat. Dans l'exemple précédent, si les anticipations du marché sont à la

légère hausse des taux, on pourrait spécifier les fonctions suivantes :

Borne inférieure : ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×−+

365%90,2%30,3%90,2 D

Borne supérieure : ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×−+

365%50,3%90,3%50,3 D ,

où D est le nombre de jours calendaires écoulés depuis le 1-1-n. Le "couloir" évolue dans le

temps, linéairement, entre les bornes [2,90% - 3,50%] et les bornes [3,30% - 3,90%]. On

prendrait en compte, de façon analogue, une anticipation de baisse tendancielle des taux.

§3.- Les options « multi-sous-jacents »

Ces options, parfois appelées « rainbows » (arc-en-ciel), dépendent de deux ou plusieurs TSJ

risqués.

3.1- L’option d’échange.

Nous avons déjà rencontré l’option d’échange d’un actif risqué contre un autre, payant à

l’échéance Max (0, ST – XT), étudiée par Margrabe (en 1978) et valorisée par un changement

approprié de mesure et de numéraire, comme expliqué à la fin du chapitre 12 consacré au

modèle de BSM. Pour le confort du lecteur, nous rappelons la formule dans le cas de

variances et covariance constantes :

(8) Ct = St N(d1) – Xt N(d2)

avec d1 =

212ln ( )

( )

t

t

S T tX

T t

ν

ν

+ −

−, d2 = d1 – ν )( tT − et ν2 = σS

2 + σX2 – 2 σSX.

Nous raisonnerons dans ce qui suit sur deux TSJ essentiellement, la généralisation à n sous-

jacents ne posant pas de difficultés de compréhension. Il n’en va toutefois pas de même en

8

Page 9: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

matière d’évaluation et de couverture et nous consacrerons à celles-ci quelques brefs

développements en fin de cette section.

3.2- Options « best of » ou « worst of ».

Outre l’option d’échange, les options de type « best of » ou « worst of » sont très utilisées,

notamment en matière de gestion déléguée de portefeuille.

Le payoff de l’option de recevoir le meilleur de deux actifs risqués (« best of ») s’écrit :

Max (ST, XT)

Une telle option, dont l’intérêt pour l’acheteur est évident, est naturellement assez chère.

Le payoff de l’option de recevoir le pire de deux actifs risqués (« worst of ») s’écrit :

Min (ST, XT)

L’acheteur d’un « worst of » anticipe que chacun des deux TSJ affichera une bonne

performance et est attiré par le caractère relativement bon marché de cette option.

Connaissant la formule de Margrabe, il est facile d’évaluer ces deux options. En effet, nous

avons :

Max (ST, XT) = XT + Max (0, ST – XT) et

Min (ST, XT) = XT – Max (0, XT – ST),

où l’on voit que dupliquer un « best of » ou un « worst of » à partir d’un des deux TSJ et de

l’option d’échange appropriée est extrêmement simple. Dès lors, dans le cas où le TSJ ne

distribue pas de rémunération entre t et T, leur valeur en date t s’écrit en fonction de Ct

donnée par (8) : Xt + Ct pour l’option « best of » ; Xt – Ct pour l’option « worst of ».

A titre d’illustration, prenons l’exemple d’un gérant obligataire (X est la valeur de son

portefeuille d’obligations) qui estime que, d’ici à son horizon de gestion, le marché actions (S

est la valeur du panier représentatif de ce marché) va probablement sur-performer le marché

des obligations. Il achète l’option d’échange payant Max (0, ST – XT) et est ainsi assuré, sans

aucune compétence particulière, de faire bénéficier ses clients de la meilleure des deux

performances (actions ou obligations) réalisées, au paiement de la prime initiale de l’option

près.

9

Page 10: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

Un aspect intéressant de ces options est que leur prix [(8) par exemple] reflète à la fois la

volatilité de chacun des deux TSJ et leur corrélation. Connaissant la volatilité de chaque TSJ,

évaluée à partir d’options vanilles liquides par exemple, on peut alors inférer leur corrélation

implicite. C’est pourquoi les professionnels appellent souvent ces instruments des « produits

de corrélation ». Muni de ces volatilités et corrélation, on peut alors évaluer d’autres produits,

plus complexes, faisant intervenir ces deux TSJ.

3.3- Les options sur minimum ou sur maximum.

Les calls et les puts sur le minimum ou sur le maximum de deux actifs risqués constituent

également des produits de corrélation qui bénéficient d’une relativement bonne liquidité.

Les payoffs des options sur minimum s’écrivent, respectivement :

Max (0, Min (ST, XT) – K) pour le call, et

Max (0, K – Min (ST, XT)) pour le put,

tandis que les payoffs des options sur maximum s’écrivent, respectivement :

Max (0, Max (ST, XT) – K) pour le call, et

Max (0, K – Max (ST, XT)) pour le put.

Remarques :

- Les « best of » et « worst of » sont des cas particuliers des options sur maximum et sur

minimum, respectivement, obtenus pour K = 0.

- Pour éviter de multiplier les logiciels d’évaluation et gagner du temps de calcul, on peut

utiliser les relations de parité call-put entre ces différentes options. En effet, l’on a :

Max (0, K – Min (ST, XT)) = Max (0, Min (ST, XT) – K) – Min (ST, XT) + K

Max (0, K – Max (ST, XT)) = Max (0, Max (ST, XT) – K) – Max (ST, XT) + K

- Il existe également des relations de parité Min-Max :

Max (0, Min (ST, XT) – K) = Max (0, ST – K) + Max (0, XT – K) – Max (0, Max (ST, XT) – K)

Max (0, K – Min (ST, XT)) = Max (0, K – ST ) + Max (0, K – XT) – Max (0, K – Max (ST, XT))

10

Page 11: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

Des formules analytiques existent pour toutes ces options qui font intervenir la fonction de

répartition normale bi-variée N2 où N2[x; y; ρ] est la probabilité que la première variable

normale soit inférieure à x et que la seconde soit inférieure à y ; ρ désigne le coefficient de

corrélation entre ces deux composantes.

A titre d’exemple, le call sur minimum a pour payoff en T :

CMinT = ST 1S(T)<X(T)1S(T)>K + XT 1S(T)>X(T)1X(T)>K – K 1S(T)>K1X(T)>K

et par conséquent une valeur en t = 0 égale à :

CMin0 = EQ[e-rT [ST 1S(T)<X(T)1S(T)>K + XT 1X(T)<S(T)1X(T)>K – K 1S(T)>K1X(T)>K]]

Dans le dernier terme, en K, l’espérance du produit des deux indicatrices correspond à la

probabilité jointe que les calls écrits sur S et sur X soient tous deux dans la monnaie, ce qui

donne :

– K e-rT N2[d2(σS); d2(σX); ρ]

où les d2 sont ceux de BSM et ρ est la corrélation entre ST et XT .

Les deux premiers termes sont symétriques en S et X. Il suffit donc d’évaluer le premier.

Comme la première indicatrice fait intervenir deux variables aléatoires, on divise, comme

pour l’option d’échange, S(T) et X(T) par S(T) pour n’avoir plus qu’une variable aléatoire. Il

vient alors :

EQ[e-rT ST 1S(T)>K 1X(T) / S(T)>1]

La première indicatrice donne la probabilité habituelle N(d2(σS)).

La seconde indicatrice donne la probabilité N(d2(ν)), où ν est défini dans l’équation (8), et

d2(ν) = [[Ln (X0/S0) – 0.5ν2T] /ν √T].

La probabilité jointe de ces deux événements est donc égale à : N2[d2(σS); d2(ν); ρ’]

où ρ’, le coefficient de corrélation entre ST et XT/ST, est donné par ρ’ = (ρ σX – σS) / ν. 1

Comme l’espérance fait intervenir e-rTST, on retrouve, en utilisant la valeur de ST et le

changement de variable habituel, S0 et d1(σS). On a donc :

EQ[e-rTST 1S(T)>K 1X(T) / S(T)>1] = S0 N2[d1(σS); d2(ν); ρ’]

1 La variance du produit des variables aléatoires ST et XT/ST est σ2

X. Elle s’écrit aussi σ2S + ν2 + 2σSνρ’. D’où le

résultat, en utilisant ν2 = σS2 + σX

2 – 2 ρσXσS.

11

Page 12: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

Finalement, en appliquant le même raisonnement au terme impliquant XT, on obtient :

(9) CMin0 = S0 N2[d1(σS); d2(ν); ρ’] + X0 N2[d1(σX); d’2(ν); ρ’’] – K e-rT N2[d2(σS); d2(σX); ρ]

où, outre les termes déjà définis, d’2(ν) = [[Ln (S0/X0) – 0.5ν2T] /ν √T] et ρ’’ = (ρ σS – σX)/ ν.

Remarques :

- La fonction N2[x; y; ρ] se calcule par intégration numérique en notant que :

N2[x; y; ρ] = duuyNux

⎟⎟

⎜⎜

−−∫ ∞− 2

2

12)5,0exp(

ρ

ρπ

.

- Dans le cas où les supports versent un dividende, les formules précédentes sont amendées

comme lorsque l’on passe du modèle de BS à celui de Merton.

- Il est facile, à partir de relations telles que (9), d’évaluer des options sur le meilleur ou sur le

pire de deux actifs risqués et de l’actif sans risque. En effet, on a par exemple :

Max (ST, XT, K) = K + Max (0, Max (ST, XT) – K).

- La généralisation des relations précédentes à trois actifs risqués ou plus (n de façon

générale) pose de sérieux problèmes d’évaluation (et donc de couverture) car il faudrait alors

obtenir la valeur des intégrales triples (trois actifs risqués), quadruples (quatre actifs risqués)

etc., par intégration numérique, ce qui n’est pas efficace. Il est donc préférable de procéder

par simulation de Monte Carlo (cf le chapitre XXXXX). Par ailleurs, quelle que soit la

méthode adoptée, il est nécessaire d’estimer n variances et n(n–1)/2 covariances, qui croît

comme le carré de n, avec de sérieux risques d’erreur d’estimation. Les prix de ces produits

font en conséquence l’objet d’écarts cours acheteur – cours vendeur assez importants en

pratique.

§4.- Les options sur options ou « composées »

Une option sur option (dite « mère ») est le droit, mais pas l’obligation, d’acheter ou de

vendre, à une date future T1 et à un strike K1, un call ou un put (option « fille ») d’échéance T2

12

Page 13: Ch 20 Exotiques (1)

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(> T1) et de strike K2 (en général > K1), écrit sur un TSJ quelconque. Il y a par conséquent

quatre types d’options composées, call sur call, call sur put, put sur call et put sur put.

L’option sur option est moins chère (en euros) que l’option vanille, puisque son support est

une option, mais sa cherté relative dépend évidemment des prix d’exercice des deux options

la composant (c’est-à-dire essentiellement de leur « moneyness » relative).

Comme exemples d’utilisation pratique de ces instruments, nous pouvons mentionner :

- la prise de position, à la hausse (call mère) ou à la baisse (put mère), sur la future volatilité

implicite du TSJ, puisque la variation de cette volatilité se traduit par une variation de

même signe du prix de l’option fille ;

- la prise de position sur le sens de variation du cours du TSJ à un coût faible ou très faible, le

(double) effet de levier d’une composée pouvant être considérable ;

- l’anticipation d’une amplification sensible des fluctuations du prix du TSJ sans parier sur

leur direction, par le double achat d’un call sur call et d’un call sur put, à un coût faible ou

très faible par rapport à un « straddle » ou à un « strangle » vanille.

- La couverture, très utilisée en pratique, d’une position conditionnelle. Supposons par

exemple qu’une entreprise industrielle européenne participe à un appel d’offre international

portant sur une commande libellée en US dollars. Si elle emporte l’adjudication, elle sera

longue en cette devise et subira dès lors le risque de dépréciation du dollar par rapport à

l’euro. Sinon, elle n’aura aucune position. Une solution envisageable serait d’acheter un put

$/€ pour couvrir la position en cas de gain de l’appel d’offre. Le risque est alors de ne pas

emporter le contrat et de revendre le put inutile avec une perte due au passage du temps

(thêta) et/ou une appréciation du dollar. Une meilleure solution en général consiste à acheter

un call sur put $/€, qui coûte moins cher que le put évoqué plus haut. Si l’appel d’offre n’est

pas gagné, la perte potentielle est moins élevée, et s’il l’est, et que le dollar se déprécie, le

call sur put est revendu avec profit et l’entreprise couvre sa position par une vente à terme

ferme des dollars.

L’évaluation des options sur options est due à Geske (1977, 1979). Dans la mesure où, à

l’échéance de l’option mère, son TSJ est lui-même une option (fille), la solution fait

intervenir, comme pour les options à deux sous-jacents ci-dessus, la loi normale bi-variée N2.

La solution n’est toutefois que pseudo-analytique, à l’instar de la solution de Barone-Adesi et

13

Page 14: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

Whaley pour les options américaines (cf le chapitre précédent), dans la mesure où il faut

déterminer un seuil S* pour le niveau du TSJ par procédure numérique. En notant δ le taux de

dividende, les formules sont les suivantes :

- Pour le call sur call :

(10) CC0 = S0 e-δT2 N2[a1; b1; ρ] – K2 e-rT

2 N2[a2; b2; ρ] – K1 e-rT1 N(a2)

avec : a1 = 1

120 )5.0(*)/(T

TrSSLnσ

σδ +−+ , a2 = a1 – 1Tσ

b1 = 2

2220 )5.0()/(T

TrKSLnσ

σδ +−+ , b2 = b1 – 2Tσ , ρ = 21/TT , et

S* le niveau du TSJ tel que : valeur du call(S*, K2, T2 – T1) = K1.

- Pour le call sur put :

(11) CP0 = – S0 e-δT2 N2[– a1; – b1; ρ] + K2 e-rT

2 N2[– a2; – b2; ρ] – K1 e-rT1 N(– a2)

avec S* le niveau du TSJ tel que : valeur du put(S*, K2, T2 – T1) = K1.

- Pour le put sur call :

(12) PC0 = – S0 e-δT2 N2[– a1; b1; – ρ] + K2 e-rT

2 N2[– a2; b2; – ρ] + K1 e-rT1 N(– a2)

avec S* le niveau du TSJ tel que : valeur du call(S*, K2, T2 – T1) = K1.

- Pour le put sur put :

(13) PP0 = S0 e-δT2 N2[a1; – b1; – ρ] – K2 e-rT

2 N2[a2; – b2; – ρ] + K1 e-rT1 N(a2)

avec S* le niveau du TSJ tel que : valeur du put(S*, K2, T2 – T1) = K1.

§5.- Les options Quantos et Compos

L'une des sources de risque majeures pour les investisseurs est la volatilité des taux de

change. Même entre les grandes monnaies internationales (US dollar, euro, livre sterling et

yen), les fluctuations des taux de change peuvent être très importantes et rendre, par exemple,

un investissement très rentable en monnaie étrangère désastreux quand son payoff est traduit

en monnaie domestique.

14

Page 15: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

La motivation première de produits "quantos", que ce soit les swaps de taux d'intérêt2 ou les

options, est d'éviter le risque de change tout en pariant sur un TSJ libellé en devise étrangère.

L'appellation "quanto" viendrait de la création de ces produits en réaction aux désillusions

d'investisseurs américains suite à l'effondrement du peso mexicain face, notamment, au dollar

US à la fin des années 1980.

Exemple

Un investisseur européen peut vouloir parier sur la hausse des indices boursiers US mais

craindre la dévaluation du dollar face à l'euro. La solution consiste à acheter un call "quanto"

écrit sur le Dow Jones Industrial Average. Le TSJ et le strike sont libellés en US $, mais le

payoff du call (s'il est positif) est multiplié par un taux de change €/$ fixé à l'avance, et est

donc exprimé en euros. Supposons que le taux de change négocié entre l'acheteur et le

vendeur soit le taux de change spot en vigueur, soit 0,78 (€/$). Supposons que le strike du call

écrit sur le DJIA soit 11 400 ($), et que, à l'échéance du call, le DJIA vaille 11 800 ($).

L'acheteur recevra (11 800 – 11 400) $ × 0,78 €/$ = 312 €, que le dollar se soit apprécié ou

déprécié par rapport à l'euro.

Définition : de façon générale, un produit est dit "quanto" quand son payoff est libellé dans

une devise autre que la monnaie d'origine des composantes fondamentales du produit.

Le plus souvent, la monnaie retenue est celle de l'acheteur, qui évite ainsi tout risque de

change. On peut, toutefois, envisager le cas d'un produit "quanto" destiné à prendre pari à la

fois sur le TSJ étranger et sur une autre devise étrangère. Dans l'exemple précédent, le payoff

aurait pu être libellé en yens, avec un taux de change ¥/$ fixé à l'avance. L'investisseur

européen aurait donc reçu des yens, ce qui lui aurait fait courir, outre le risque d’une baisse de

la bourse de New York, un risque de change €/¥, gagnant (perdant) en cas d'appréciation

(dépréciation) de la monnaie japonaise par rapport à l'euro.

Par ailleurs, si le taux de change fixe déterminé à l'avance est habituellement le taux de

change spot en vigueur à l'initiation du contrat, rien n'interdit aux deux parties de s'accorder

sur un taux différent, comme le taux de change forward en vigueur ou tout autre taux qu’elles

jugent convenable. Enfin, dans un autre type d'options appelées « compo », seul le prix du

TSJ est libellé en monnaie étrangère, le prix d’exercice étant fixé en monnaie nationale.

2 Sur le marché des swaps de taux d'intérêt, un swap « quanto » est appelé « diff-swap » (swap différentiel). Par exemple, on échange un taux d'intérêt japonais contre un taux d’intérêt US, les paiements reçus et donnés étant tous effectués en dollars, sur la base d'un nominal libellé en dollar.

15

Page 16: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

Dans ce qui suit, nous nous limitons au cas des calls, les puts étant valorisés et couverts selon

les mêmes principes. Nous valorisons d’abord le call « quanto », puis le call « compo ».

5.1- Le call "quanto"

Le payoff de ce call, parfois appelé "Option à Garantie de Change", s'écrit :

CQ(T) = ( )( )+− ff KTSX

où l'exposant "f" indique le caractère étranger ("foreign") de la devise d'origine dans laquelle

sont libellés le TSJ et le strike, et où désigne le taux de change monnaie domestique /

monnaie étrangère (cotation dite "à l'incertain"), fixé à l'avance.

X

Évaluons ce call à l'instant courant t = 0. Il vient :

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]++−−=⎥

⎤⎢⎣

⎡−∫= ff

Qffdssr

Q KTSETAXKTseEXCQT

ˆ)(ˆ0 0)(

où r(t) est le taux d'intérêt domestique, supposé déterministe, donc le facteur d'actualisation

domestique est connu ; l'on raisonne, comme d'habitude, sous la

probabilité RN.

( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−≡ ∫

TdssrTA

0exp

A première vue, ce problème peut paraître trivial : et A(T) étant connus, il suffirait

d'appliquer BSM à l'espérance sous Q du payoff libellé en monnaie étrangère, puis, en

multipliant le résultat BSM par A(T) obtenir le prix en monnaie domestique. L'intuition

suggère cependant que cette solution est fausse, car elle ne fait intervenir ni la volatilité du

taux de change X(t), ni sa corrélation avec le TSJ S

X

X

f(t). Cette intuition est confortée quand l’on

considère la position du vendeur du call, qui, lui, supporte un risque de change en plus du

risque affectant le TSJ, En fait, la solution triviale est erronée parce que Q, la probabilité RN

utilisée par l'investisseur domestique, diffère de Qf, la probabilité RN utilisée par

l'investisseur étranger. Sous Q, les espérances de rentabilité instantanée sont toutes égales au

taux sans risque domestique r, alors que sous Qf elles sont égales au taux sans risque étranger,

rf.

De façon générale, EQ [.], calculée du point de vue domestique n'est pas égale à [ ]•f

QE qui

aboutirait, elle, à la formule de BSM. Or il s'agit d'exprimer la dynamique du TSJ Sf(t) et

celle du taux de change X(t) sous la probabilité RN domestique.

Supposons que, sous la probabilité historique, le taux de change obéisse à :

16

Page 17: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

( )( ) ( ) ( ) ( )tWdtdtttXtdX x

XXˆσµ +=

où ( )txσ est une fonction déterministe, et ( )tW xˆ est un brownien uni-dimensionnel.

Tous les browniens utilisés ici sont de dimension un mais sont corrélés (la généralisation à un

brownien multi-dimensionnel ne pose aucun problème particulier). Par ailleurs, toutes les

variances et covariances sont supposées déterministes.

Par ailleurs, sous cette même probabilité historique, la valeur Sf(t) du TSJ est sensée obéir à3 :

( )( ) ( ) ( ) ( )tWdtdtttStdS Sf

SfSff

fˆσµ += .

Nous allons d'abord démontrer deux résultats intermédiaires. Lemme 1.

Sous la probabilité RN domestique, les dynamiques du taux de change X(t) et du TSJ

étranger Sf(t) s'écrivent, respectivement :

(14) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tdWtdttrtrtXtdX X

Xf σ+−=

(15) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tdWtdtttttrtStdS Sf

SfSfXf

f

f

σσσρ +−=

où rf(t), supposé déterministe comme le taux domestique, est le taux d'intérêt étranger, ρ(t)

désigne la corrélation entre les variations relatives du taux de change et du TSJ, et les deux

browniens sont sous la probabilité Q-domestique (dite Q pour simplifier).

Démonstration.

Définissons Z(t) ≡ Sf(t) X(t) A(t) et Y(t) ≡ [X(t)/Af(t)] A(t),

où et . ( ) ( )∫−≡t

dssrtA0

exp ( ) ( )∫−≡t ff dssrtA

0exp

On reconnaît que Z(t) est le prix Sf(t)X(t) du TSJ libellé en monnaie domestique actualisé au

taux sans risque domestique A(t), et donc est une martingale sous Q.

3 Pour simplifier, on suppose que le TSJ ne verse pas de dividende. S’il en distribue, au taux déterministe continu δf(t), il suffit de remplacer dans toutes les formules Sf(0) par Sf(0) D(0,T) où D(0,T) ≡ exp -

( )∫T f dss0

17

Page 18: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

De manière analogue, Y(t) est le prix d'un zéro-coupon étranger changé en monnaie

domestique ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ tXtA f

1 actualisé au taux d’intérêt domestique, et est donc également une Q-

martingale. Les termes de tendance de ces deux processus sont donc nuls sous Q. D'où, l'on a,

par le lemme d'Itô :

.0et0

SfXf

SfXXSfSfXXSfZ

fXX

fY

rrrrrrr

σρσσρσµµσρσµµµ

µµµ

−=−−=⇒=−++=

−=⇒=−+=

Par ailleurs, les paramètres de volatilité ne sont pas affectés par le changement de probabilité

de P (historique) à Q.

La valeur du call « quanto », A(T) EX Q[(Sf(T) - Kf)+], se calcule à partir de la dynamique (15)

du TSJ et est donnée par la relation suivante :

(16) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎥

⎤⎢⎣

⎡−= 21

0ˆ0 dNKdNTTA

STAXCQ ff

f

γ

( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) TTSVol

TTSVolKTATSLndoù

f

ffff

,

,21/0 2

1

+=

γ

( ) TTSVoldd f ,12 −=

( ) ( )∫=T

Sff dss

TTSVol

0

22 1, σ = moyenne, entre 0 et T, du carré de la volatilité du TSJ.

Démonstration.

En intégrant (15), il vient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−⎥

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

∫∫

∫ ∫

sdWsdssTTA

S

sdWsdsssssrSTS

SfT

SfSf Sff

f

SfT T

SfSfSffff

0

2 2

0 0

2

21exp0

21exp0

σσγ

σσσρ

où ( ) . ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−≡ ∫ dssssT SfX

Tσσργ

0exp

Les conditions du modèle de BSM (avec volatilité et taux déterministes non constants) sont

alors réunies, si l'on prend comme valeur courante du TSJ, non pas Sf(0), comme

18

Page 19: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

l’investisseur étranger le ferait, mais ( )( ) ( ).0 TTA

Sf

f

γ En multipliant par A(T), l'on

obtient finalement la valeur du call quanto donnée par (16)

[ ]•QE X

Remarques

- Si =1 et, pour tout t, r(t) = rX f(t) = r, ρ(t) = 0 et σSf(t) = σSf, on obtient la formule de

BSM.

- La volatilité σX du taux de change ne joue aucun rôle, la volatilité de ce produit "quanto"

restant celle du TSJ.

- Le caractère aléatoire du taux de change ne rentre en ligne de compte que par le biais de sa

corrélation ρ avec le TSJ. Si celle-ci est nulle et que les taux d'intérêt domestique et

étranger sont égaux, la formule de BSM s'applique telle quelle (il suffit de la multiplier par

la constante ). X

- Du point de vue du vendeur du call "quanto", il est utile de réécrire la solution (16) comme

suit :

(17) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]210

,00ˆ

0 dNTAKdNTSTF

XXCQ fff

X

−= γ

où FX(0,T) = X(0)Af(T)/A(T) est, en AOA (relation de cash-and-carry), le taux de change à

terme (pour la maturité T) prévalant en t = 0.

L'on comprend alors que la couverture par le vendeur du produit fait intervenir le TSJ

étranger payé en monnaie domestique et un contrat à terme sur l'inverse du taux de

change,4 ces positions étant gérées en continu. Ce sont les interventions sur le contrat à

terme qui permettent au vendeur de gérer dynamiquement le risque de change qu'il subit

à la place de l'acheteur du call « quanto ». Par exemple, si la devise étrangère se déprécie

par rapport à la monnaie domestique, le vendeur perd de l'argent sur le call. Il compense

cette perte de change par un gain sur la vente à terme de la devise, équivalente à l'achat à

terme de la monnaie domestique.

4 Comme sur le marché du spot, où ( )

( ) 11

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛TX

xTX , l'on a, sur le marché à terme : ( ) ( ) 1,1, =Ttf

X

FxTtXF , où

( )Ttf

X

F ,1 est le cours à terme du taux de change monnaie étrangère/monnaie domestique, pour 0 ≤ t ≤ T.

19

Page 20: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

Exemple numérique

Soit un TSJ américain valant Sf(0) = 100 $, et un call standard de strike 100 $. Pour T = 0,5

an, rf = 4 % et σSf = 40 %, la formule de BSM donne une valeur du call de 12,15 $, soit 9,72 €

pour X(0) = 0,8 (€/$). Si ce call est « quanto », avec = 0,8, r = 2,5 %, et ρ.σX X.σSf = - 0,02,

l'application de la formule (3) donne CQ(0) = 10,27 €, à contraster avec 9,72 €, soit une

augmentation relative de 5,66 %.

5.2- Le call "compo"

Un deuxième type d'option, appelé « compo » ou « cross », est intermédiaire entre une vanille

et une « quanto », en ce que le risque de change ne porte que sur le TSJ, pas sur le strike.

Ainsi le payoff du call s'écrit :

CC(T) = (X(T) Sf(T) – K)+

où K est exprimé en monnaie domestique.

L'investisseur parie alors tant sur la hausse du TSJ que sur l'appréciation de la devise

étrangère par rapport à la monnaie domestique, tout en maîtrisant le strike, exempt du risque

de change. Nous illustrons par un exemple la différence entre le payoff d'un call « compo » et

celui d'un call « quanto ».

Exemple.

Soient les données : Sf(0) = 100 $, X(0) = 0,8 = , KX f = 100 $ et K = 80 €. Envisageons, à

l'échéance des options, les 4 états du monde suivants : Sf(T) = 120 avec X(T) = 0,64 ou X(T) =

0,96, et Sf(T) = 95 avec X(T) = 0,64 ou X(T) = 0,96. Les payoffs du call « quanto » sont

respectivement : [16; 16; 0; 0], reflétant une immunisation complète contre le risque de

change. Les payoffs du call « compo » sont, respectivement : [0; 35,2; 0; 11,2], reflétant une

grande sensibilité au risque de change. On note de plus que les valeurs terminales de ces

options diffèrent beaucoup selon les états de nature réalisés.

L’évaluation de l’option « compo » est légèrement plus difficile que la précédente car son

sous-jacent est le produit X(T)Sf(T) dont il faut écrire la dynamique sous Q-domestique. Nous

donnons ici directement le résultat dont la démonstration figure en Annexe mathématique (§I)

de ce chapitre.

20

Page 21: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

La valeur du call « compo » est égale à :

(18) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 .000 dNTAKdNSXCC f −=

où d1, d2 et Vol2 (XSf,T) sont définis, respectivement, par :

T,TXS Voldd f )( 21 +=

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) TTXSVol

TTXSVolTAKSXLnd f

ff

,,5,0./00 2

2−

= et

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ++≡T

SfXSfXf dssssss

TTXSVol

0

222 21, σσρσσ

ce dernier terme dénotant la variance de X(T)Sf(T).

Remarques :

- Contrairement au cas des options « quanto », c'est dans la volatilité du TSJ X(t)Sf(t)

qu'interviennent la volatilité du taux de change X(t) (qui ne joue aucun rôle pour les

« quantos ») et sa corrélation (ρ(t)) avec le support étranger Sf(t) ;

- La valeur initiale du TSJ, X(0)Sf(0), n'est pas modifiée par un facteur prenant en compte la

corrélation (ρ(t)), contrairement encore au cas des « quantos » ;

- La couverture dynamique de ce call par le vendeur fait intervenir l'achat du support Sf

changé en monnaie domestique et la vente du titre zéro-coupon (taux sans risque)

domestique. Le taux sans risque étranger ne joue aucun rôle, ce qui explique le fait qu'il

n'est nul besoin de recourir, contrairement au cas des « quantos », à des contrats à terme

sur la devise étrangère.

Section 2

Options « path dependent »

Nous présentons successivement les options barrières (dont les double barrières et les

parisiennes) et digitales à barrière, les options à strike maximum ou minimum dites

« lookback », les options sur moyenne ou asiatiques et les options chooser.

21

Page 22: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

§1.- Les options barrières

Comme une option vanille, la valeur à l’échéance d’une option «barrière», parfois appelée

« limite », dépend de la différence entre le cours du TSJ à maturité et le strike fixé à l’avance.

Cependant, le contrat définissant ce type d’option stipule une condition qui assujettit

l’exercice de l’option au franchissement, ou au contraire à l’absence de franchissement, par le

TSJ d’un seuil (la barrière) déterminé. Il existe par conséquent deux sortes d’options à

barrière.

Une option à barrière activante (« knock-in », ou plus sobrement « in ») n’existe pas tant que

le cours de l’actif sous-jacent n’a pas atteint la barrière, et l’acheteur n’a par conséquent droit

à aucun flux. Si le cours du TSJ ne touche jamais la barrière, l’option expire à maturité sans

valeur. Dès que la limite est atteinte, en revanche, l’option devient vanille et peut expirer à

maturité dans la monnaie, ou pas. Ainsi, la probabilité non nulle que la barrière ne soit jamais

touchée réduit la valeur initiale de l’option par rapport à son homologue vanille, et cela

d’autant plus que la barrière est éloignée du cours initial du TSJ.

Une option à barrière désactivante (« knock-out », ou plus simplement « out ») présente la

caractéristique inverse de la précédente : l’option est au départ standard, et le reste tant que le

cours du TSJ ne touche pas la barrière. En revanche, dès que cette dernière est atteinte,

l’option disparaît définitivement et l’acheteur n’a plus droit à aucun flux, quelle que soit

l’évolution subséquente du cours du TSJ. Ainsi, la probabilité non nulle que la barrière soit

atteinte rend la valeur initiale de l’option inférieure à celle de son homologue vanille, et cela

d’autant plus que la barrière est proche du cours initial du sous-jacent.

C’est précisément leur caractère relativement bon marché qui rend ces options si populaires :

l’acheteur tente de profiter d’une anticipation assez fine concernant l’évolution du support

pour diminuer le coût de son investissement, mais, ce faisant, il prend plus de risque encore

qu’avec une option vanille car son option « In » peut ne pas être activée, ou son option

« Out » peut être désactivée.

A priori, il y a lieu de distinguer 8 (= 2 × 2 × 2) types d’options à barrière : il y a en effet des

22

Page 23: Ch 20 Exotiques (1)

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calls et des puts, des barrières « In » et « Out », et celles-ci peuvent être atteintes soit par la

hausse du cours du TSJ, d’où l’appellation « Up », soit par sa baisse, d’où le vocable

« Down ». La barrière est supérieure au cours initial du TSJ pour les options « Up » et lui est

inférieure pour les options « Down ». On désignera dans la suite ces 8 options par les trois

lettres CUI (call up-and-in), CDI (call down-and-in), CUO (call up-and-out), CDO (call

down-and-out), PUI (put up-and-in), PDI (put down-and-in), PUO (put up-and-out), et PDO

(put down-and-out). La valeur d’une de ces options sera désignée par le nom de cette option

écrit en italiques (par exemple CUI représente le prix d’un CUI).

En fait, la position de la barrière, notée L (limite) par la suite, par rapport au strike K joue un

rôle important dans l’intérêt économique et la valeur de ces options, ce qui aboutirait à

distinguer 16 (= 8×2) options selon que L est supérieur à K ou lui est inférieur. Cependant, il

est facile de voir que 2 options « In » et 2 options « Out » n’existent pas sur le marché, les

premières parce qu’elles sont classiques, la barrière ne jouant de fait aucun rôle, et les

secondes parce qu’elles ont une valeur toujours nulle, la barrière les désactivant dès qu’elles

deviennent in-the-money. Le lecteur pourra se convaincre, à titre d’entraînement au

maniement de ces options, qu’il s’agit, respectivement, du CUI avec L < K, du PDI avec L >

K, du CUO avec L < K et du PDO avec L > K. Ne sont donc effectivement négociées que 12

options barrières, 6 « In » et 6 « Out ».

Par ailleurs, il arrive souvent que le contrat prévoie une clause selon laquelle, en cas de non-

activation d’une option « In » ou de désactivation d’une option « Out », l’acheteur ait droit à

un « rebate » (remise, lot de consolation) en cash fixé d’avance, que l’on notera R.

Naturellement, les options avec « rebate » sont plus chères à l’achat que leurs homologues qui

en sont dépourvues. Dans le cas d’une barrière désactivante, R peut être payé par le vendeur,

selon le contrat, soit dès que la limite est touchée (« rebate at hit ») soit en fin de vie de

l’option (« rebate at expiry »). La première solution semble en général prévaloir sur le

marché. Dans le cas d’une barrière activante, R ne peut être payé qu’à maturité (« rebate at

expiry ») car ce n’est qu’alors que l’on est sûr que l’activation ne s’est pas produite.

L’on examinera d’abord l’évaluation des options barrière démunies de « rebate » puis on

calculera la valeur des « rebates » « at expiry » et « at hit ».

1.1- Valeur des options à barrière

23

Page 24: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

Il n'est pas nécessaire de dériver de façon analytique la valeur des 12 options barrière. Il suffit

en fait de connaître, en plus de la formule de BSM, le prix de deux d'entre elles et certaines

relations de parité pour obtenir les dix autres.

Les premières relations de parité utiles ici sont les suivantes, où C et P désignent le call et le

put standard, respectivement :

(i) C = CDO + CDI = CUO + CUI

(ii) P = PDO + PDI = PUO + PDI

Ces relations découlent directement de la définition d'une barrière. Par exemple, l'achat d'un

CDO et d'un CDI, de mêmes date d'échéance, strike et barrière, équivaut à un call standard

car soit la barrière est atteinte (baisse suffisante du cours du TSJ) et le CDO expire sans

valeur mais le CDI est activé, soit elle ne l'est pas, et le CDO reste en vie mais le CDI n'est

pas activé.

Les secondes relations de parité sont dites « des inverses ». On montre, dans l'Annexe

mathématique (§III) de ce chapitre, que les calls et les puts « désactivants » sont liés deux à

deux, ainsi que les calls et les puts « activants » :

PUO (S, K, L, T, r, δ) = S K CDO ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ rT

LKS,,,1,1,1 δ

PDO (S, K, L, T, r, δ) = S. K. CUO ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ rT

LKS,,,1,1,1 δ

PUI (S, K, L, T, r, δ) = S. K. CDI ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ rT

LKS,,,1,1,1 δ

PDI (S, K, L, T, r, δ) = S. K. CUI ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ rT

LKS,,,1,1,1 δ

(iii)

où l'on remarque en particulier l'inversion des rôles du taux sans risque r et du taux de

dividende δ.

Supposons que l'on connaisse, par exemple, le prix d'un CDO (L < K) et celui d'un CUO (L >

K). On trouvera, dans l'annexe mathématique de ce chapitre (§IV), une démonstration du

second résultat. On peut alors obtenir tous les prix d'options par la double chaîne :

24

Page 25: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

(iv) CDO PUO (par son « inverse » (iii)) PUI (du fait de (ii))

CDI (du fait de (iii), ou de (i) connaissant CDO).

(v) CUO CUI (du fait de (i)) PDI (du fait de (iii))

PDO (du fait de (ii), ou de (iii) connaissant CUO).

Le Tableau 1 présente de façon synoptique la valeur des diverses options barrière, en absence

de tout « rebate ». Les hypothèses concernant l'évolution dynamique du cours du TSJ sont

celles de BSM. Nous utilisons les notations et résultats suivants5 :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−≡

2

2σδµ r 12 +=σµε 11, −+= ouηφ

( ) TT

KSLnx σεσ

+=/ ( ) T

TLSLnx σε

σ+=

/1

( ) TT

KSLLny σεσ

+=./2

( ) TT

SLLny σεσ

+=/

1

[ ] ( ) ( )TxNKexNSe rTT φσφφφφ δ −−= −−1

[ ] ( ) ( )TxNKexNSe rTT σφφφφφ δ −−= −−112

[ ] ( )( )

( )TyNSLKeyN

SLSe rTT ησηφηφ

εεδ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−−

122

3

[ ] ( )( )

( )TyNSLKeyN

SLSe rTT ησηφηφ

εεδ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−−

1

12

1

2

4

Tableau 1 : Valeur des Options à Barrière

5 Les résultats sont dus à Rubinstein et Reiner (1991).

25

Page 26: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

K > L K < L Φ η

CDI

PDI

CUI

PUI

CDO

PDO

CUO

PUO

[3]

[2]-[3]+[4]

[1]

[1]-[2]+[4]

[1]-[3]

[1]-[2]+[3]-[4]

0

[2]-[4]

[1]-[2]+[4]

[1]

[2]-[3]+[4]

[3]

[2]-[4]

0

[1]-[2]+[3]-[4]

[1]-[3]

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

1

-1

-1

1

1

-1

-1

Remarque

On retrouve, à partir de ce tableau, les deux types de relation de parité (i) + (ii) et (iii)

mentionnés plus haut, et le fait que 2 options "In" sont vanilles et 2 autres "Out" ont une

valeur toujours nulle (en absence de « rebate »).

1.2-Valeur des « Rebates »

Comme indiqué plus haut, il faut distinguer le « rebate at expiry », facile à évaluer, du

« rebate at hit », plus délicat à calculer. Le premier concerne les options "In" (et, très

rarement, les "Out", donc on ne considère pas ce cas) et le second ne concerne que les options

"Out".

La valeur initiale d'un « rebate at expiry », qui vient s'ajouter à celle obtenue à partir du

Tableau 1, est facile à déduire de ce dernier. En effet, cette valeur est le « rebate » R actualisé

(R e–rT) multiplié par la probabilité que l'option n'ait pas été activée. Le calcul, qui suit de très

près celui qui aboutit aux résultats du Tableau 1 (voir l'annexe du chapitre, §V), donne le

résultat suivant :

[ ] ( )( )

( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

−− TyN

SLTxNRe rT ησηηση

ε

1

12

15

26

Page 27: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

On remarque que la valeur du « rebate » ne dépend pas de la position de la barrière par

rapport au strike, ce dernier ne jouant aucun rôle ici.

Par ailleurs, seul le sens d'activation de la barrière est important (η = 1 ou -1 selon que

l'option est "down" ou "up"), la nature de l'option (call ou put) étant indifférente (φ

n'intervient pas). Les résultats sont synthétisés dans le Tableau 2 ci-dessous.

La valeur initiale d'un « rebate at hit » est plus difficile à obtenir car l'éventuel lot de

consolation est reçu à un instant futur inconnu, noté τ (d’un point de vue mathématique, il

s’agit d’un temps d'arrêt). Dès lors, R e-rτ est aléatoire et il faut calculer R.EQ[e-rτ 1τ≤Τ]. On

montre dans l'annexe mathématique (§V) que l'on aboutit, en utilisant la densité du premier

instant (τ) où S(t) atteint la barrière L, à :

[ ] ( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−+−

TbyNSLyN

SLR

bb

σηηηεε

26 2

1

2

1

où ( ) TbT

SLLny σσ

+=/

2

et 2

22 2σ

σµ rb

+=

Les remarques ci-dessus concernant l'absence de rôle du strike et la nature (call ou put) de

l'option s'appliquent également ici. Le Tableau 2 récapitule tous les résultats concernant la

valeur des « rebates ».

Tableau 2 : Valeur des « Rebates »

formule η

CDI et PDI

CUI et PUI

CDO et PDO "at hit"

CUO et PUO "at hit"

[5]

[5]

[6]

[6]

1

-1

1

-1

Pour obtenir la valeur d'une option barrière avec « rebate », on additionne les résultats des

Tableaux 1 et 2.

27

Page 28: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

Remarques :

- Les valeurs des différents "paramètres" grecs s'obtiennent facilement (bien que certaines

formules soient lourdes) à partir des résultats analytiques précédents. Le comportement de

certains d'entre eux, notamment quand le cours du TSJ est proche de la barrière, est

particulièrement intéressant, mais cette analyse sortirait du cadre de cet ouvrage et nous

renvoyons le lecteur intéressé à des publications plus spécialisées.

- On peut toutefois remarquer de façon générale qu’une option « In » est plus sensible à une

augmentation de la volatilité qu’une option standard de mêmes caractéristiques (son véga

est plus grand), tant qu’elle n’a pas été activée et n’est pas ainsi devenue vanille. En effet,

la hausse de la volatilité implique une plus forte probabilité que l’option atteigne la

barrière activante (par le haut ou par le bas) et donc existe réellement.

- Symétriquement, une option « Out » non désactivée est moins sensible à une hausse de la

volatilité qu’une option standard de mêmes caractéristiques (son véga est plus petit). En

effet, une augmentation de la volatilité accroît certes la probabilité que l’option expire

dans la monnaie, comme pour une vanille, mais accroît également la probabilité de sa

désactivation. Le véga devient même négatif quand le cours du TSJ s’approche de la

barrière.

- Par ailleurs, le problème de la couverture de telles options par le vendeur se pose de façon

aiguë. Dans certains cas seulement, une duplication statique de l'option barrière est

possible par des options vanilles. Dans les autres cas, une couverture dynamique s'impose,

qui ne peut pas être parfaite en pratique.

1.3- Autres barrières

Parmi les très nombreuses options, autres que celles analysées ci-dessous, composant la

famille des barrières, nous citerons les principales.

- « Barrière Partielle ». Une telle option propose un intervalle de temps prédéterminé [T1,

T2], avec T1 ≥ 0 et T2 ≤ T, pendant lequel joue la condition d'activation ou de

désactivation. Les autres caractéristiques sont communes aux barrières simples.

L'évaluation de telles options fait intervenir la loi normale bi-variée N2 (x ; y ; ρ) comme

pour les options « chooser » ou les options sur options.

28

Page 29: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

- « Double barrière ». Le contrat spécifie deux barrières LH (haute) et LB (basse) situées de

part et d'autre de la valeur initiale du TSJ. Une option de type "In" est activée si le cours

du TSJ franchit LH à la hausse ou LB à la baisse. Une option de type "Out" est désactivée

si l'une des limites est atteinte ou franchie.

Il existe de nombreuses variantes. Par exemple, une double barrière "In" pourrait exiger

que LB puis LH soient franchies dans cet ordre (ou l'ordre inverse) pour être activée. Une

double barrière "Out" pourrait être désactivée si les deux limites sont franchies, dans

n'importe quel ordre, ou dans un ordre spécifié au départ.

Un autre cas rencontré est la « successive touch » : l'option est à la fois "Up-and-In" pour

la barrière haute puis "Down-and-Out" pour la barrière basse.

L'évaluation de ces options est complexe et nécessite en général le recours à des méthodes

numériques à un stade ou un autre du processus d'évaluation.

- « Barrière contingente ». Ici, l'activation de l'option, ou sa désactivation, dépend du

franchissement de la barrière (ou d'une double barrière) par un autre TSJ. Le TSJ est par

exemple un indice boursier étranger et l'autre TSJ, que conditionne l'option, est un taux de

change, un taux d'intérêt ou un autre indice boursier.

- « Barrière douce » (« soft barrier »). Dans ce cas, le payoff est amputé partiellement de

ce qu'il serait par une option vanille, en proportion de la distance aux deux bornes de la

barrière douce atteinte par le TSJ. Soit par exemple un CDO, de strike 100, et de barrière

douce [60; 80]. Si le minimum atteint par le TSJ est compris entre 60 et 80, le payoff sera

égal à ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

−6080

min801 % de la valeur terminale du call. Pour un minimum de 70, par

exemple, le payoff sera 50 % de celui du call vanille de strike 100.

- « Barrière à effet opposé ». Souvent appelée "roll option", cette option est une double

barrière, les deux limites LH et LB étant situées du même côté de la valeur initiale du TSJ.

Elles sont donc toutes les deux de type "Up" ou de type "Down". La barrière la plus

proche est activante, la plus éloignée désactivante. Soit par exemple un call « roll

down » : l'acheteur anticipe une baisse (limitée) du cours du TSJ suivie d'une hausse (ou

d'une stagnation). S’il a raison, son option sera activée sans désactivation ultérieure.

29

Page 30: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

- « Barrière à reset de strike ». Il s'agit d'une barrière à effet opposé pour laquelle le strike

change quand la limite activante est atteinte.

- « Option cliquet ». Cette option a une durée de vie divisée en sous-périodes de longueur

généralement égales (typiquement 5 à 10 ans divisés en autant d'années). Le premier

strike est connu. Si, au terme de la première sous-période, le TSJ est inférieur au strike

(pour un call), ce dernier ne change pas et le gain engrangé par l'acheteur est nul. Si en

revanche, le TSJ vaut plus que le strike, le gain de l'acheteur lui est définitivement acquis

quoi qu'il arrive par la suite, mais le strike est augmenté et devient égal à la première

barrière LH1 spécifiée dans le contrat. On procède de même à la fin de chaque sous-

période, les éventuels gains intermédiaires se cumulant. Cette option assure l'investisseur,

pariant sur la hausse du TSJ (pour un call, une baisse pour un put) et ayant raison

temporairement, contre un retournement de tendance qui lui ferait tout perdre avec une

option longue classique.

- « Options parisiennes ». Un inconvénient qui peut être majeur pour l'acheteur d'une

barrière simple désactivante et pour le vendeur d'une barrière simple activante est que

l'option est perdue (respectivement, née) même si le cours du TSJ ne touche la barrière L

qu'une seule fois et s'en ré-éloigne définitivement par la suite. Pour pallier cet

inconvénient, l'option parisienne stipule que l'option n'est activée ("In") ou désactivée

("Out") que si le cours du TSJ reste du même côté de L, après franchissement, pendant un

laps de temps consécutif appelé "fenêtre" et noté D (durée). Prenons le cas d'un CUI

d'échéance un an, avec D = 2 mois. Si, pendant l'année considérée, le cours du TSJ reste

pendant 2 mois consécutivement au-dessus de L, le call naît; en revanche, si ce n'est pas le

cas, le call n'est pas activé, même si le temps total passé par le cours du TSJ au-dessus de

L durant l'année est, par exemple, de 8 mois (il y a eu trop d'oscillations de part et d'autre

de L).

Ce type d'option peut-être utile si l'acheteur veut éviter des manipulations de cours (visant

à atteindre la barrière L pour désactiver l'option, par exemple) lors des toutes dernières

séances de cotation du TSJ, ou une hausse brutale mais temporaire du cours du TSJ en cas

de rumeur d'OPA non fondée, ou une hausse ou baisse importante mais passagère du

cours d'une devise trop (ou pas assez) soutenue par la banque centrale du pays concerné,

etc.

30

Page 31: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

Des formules d'évaluation quasi-explicites existent pour ces options (voir par exemple

Chesney et al., 1997) mais nécessitent le recours à des méthodes numériques pour le

calcul d'une intégrale complexe. Par ailleurs, deux types de parité existent, à l'instar des

barrières simples :

D'une part, la somme d'une parisienne DI et d'une parisienne DO est une option standard.

D'autre part, la parité des "inverses" reste vraie :

PDOpar (S, K, L, D, T, r, δ) = S.K. CUOpar (1/S, 1/K, 1/L, D, T, δ, r).

- « Options cumulatives ». Ces options constituent une variante des précédentes. La

différence est que la durée D passée au-delà ou en-deçà de la barrière L n'est pas comptée

de manière consécutive, mais de façon cumulative : le compteur de durée n'est pas remis à

zéro lorsque le cours du TSJ sort de la zone concernée. Une cumulative de type "In" est

donc plus chère que son homologue parisienne, et une cumulative de type "Out" est moins

chère que sa contrepartie parisienne. Hugonnier (1999) propose une méthode générale

d'évaluation des options définies en fonction du temps passé sous ou au-dessus d'une

barrière L donnée, dont les parisiennes et les cumulatives.

§2.- Les digitales à barrière

Comme les options digitales, les digitales (ou binaires) à barrière (ci-après DAB) peuvent être

de type « Asset-or-nothing » ou « Cash-or-nothing ». Pour éviter des répétitions fastidieuses

ou des énumérations trop longues, et parce que ce sont, de loin, les plus négociées sur le

marché, nous n'analyserons que les "vraies" digitales à payoff binaire (1 ou 0), sachant que

tout ce qui sera dit à leur propos s'applique, mutatis mutandis, aux « Asset-or-nothing »6.

Comme une option à barrière, une digitale à barrière est "path-dependent" car lui est associée

une clause d'activation ("In") ou de désactivation ("Out"). Nous identifierons une digitale par

l’indice d.

6 Consulter pour plus de détails, Rubinstein et Reiner (1991), qui dénombrent 28 types de digitales à barrière faisant l'objet de 44 formules d'évaluation (dans certains cas, il faut distinguer selon que L est supérieur ou inférieur à K).

31

Page 32: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

Une première classification distingue les DAB dont le payoff éventuel est reçu « at hit » (il

s'agit donc de DAB "In") de celles dont le payoff éventuel est reçu « at expiry » (DAB "In"

ou "Out").

Les premières sont soit de type "Down-and-In" soit de type "Up-and-In"; nous écrivons leur

payoff comme suit :

DId "at hit" : 1 (en τ) si ∃ τ ≤ T tel que S(τ) ≤ L

0 sinon

UId "at hit" : 1 (en τ) si ∃ τ ≤ T tel que S(τ) ≥ L

0 sinon

Les autres DAB, dont le payoff éventuel est reçu en T, sont de type DI, UI, DO ou UO. Une

deuxième classification s'impose alors, qui distingue les DAB qui ne font intervenir que la

barrière L de celles qui dépendent à la fois de L et d'un strike K (il faut alors différencier les

calls des puts).

Les payoffs respectifs des quatre DAB ne faisant intervenir que la barrière L s'écrivent (nous

omettons ici la mention « at expiry » pour alléger la notation) :

DId : 1 (en T) si ∃ τ ≤ T tel que S(τ) ≤ L

0 sinon

UId : 1 (en T) si ∃ τ ≤ T tel que S(τ) ≥ L

0 sinon

DOd : 1 (en T) si, ∀ τ ≤ T, S(τ) > L

0 sinon

UOd : 1 (en T) si, ∀ τ ≤ T, S(τ) < L

0 sinon

Ce sont ces quatre DAB qui constituent les DAB les plus fréquemment rencontrés.

32

Page 33: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

Les payoffs respectifs des quatre DAB de type "In" (2 calls et 2 puts) faisant intervenir un

strike en plus de la barrière s'écrivent :

CDId : 1 (en T) si S(T) > K et ∃ τ ≤ T tel que S(τ) ≤ L

0 sinon

PDId : 1 (en T) si S(T) < K et ∃ τ ≤ T tel que S(τ) ≤ L

0 sinon

CUId : 1 (en T) si S(T) > K et ∃ τ ≤ T tel que S(τ) ≥ L

0 sinon

PUId : 1 (en T) si S(T) < K et ∃ τ ≤ T tel que S(τ) ≥ L

0 sinon

Les payoffs respectifs des quatre DAB de type "Out" faisant intervenir un strike sont :

CDOd : 1 (en T) si S(T) > K et, ∀ τ ≤ T, S(τ) > L

0 sinon

PDOd : 1 (en T) si S(T) < K et, ∀ τ ≤ T, S(τ) > L

0 sinon

CUOd : 1 (en T) si S(T) > K et, ∀ τ ≤ T, S(τ) < L

0 sinon

PUOd : 1 (en T) si S(T) < K et, ∀ τ ≤ T, S(τ) < L

0 sinon

Il existe des relations de parité entre ces DAB de même barrière, date de maturité et,

éventuellement, strike. Par exemple, il est facile de montrer que :

(19) DId + DOd = UId + UOd = e-rT

33

Page 34: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

car la somme des deux premières options rapporte sûrement 1€ à l'échéance, tout comme la

somme des deux secondes. De plus, on a les relations :

CDId + CUId = Cd = CDOd + CUOd

PDId + PUId = Pd = PDOd + PUOd

où l'on rappelle que Cd et Pd dénotent, respectivement, le call et le put binaires. Enfin, l'on a :

UOd = PUO (K = L+1; L) – PUO (K = L; L)

DOd = CDO (K = L - 1; L) – CDO (K = L; L)

DId = PDI (K = L + 1; L) – PDI ( K = L; L)

UId = CUI (K = L - 1; L) – CUI (K = L; L)

Nous ne démontrons que la première de ces relations, les autres procédant de la même

analyse. Le DAB UOd vaut 0 à l'échéance si la valeur du TSJ a atteint ou dépassé la

barrière L. Les deux PUO concernés, de même barrière L, sont désactivés dans ce cas et

valent donc également 0. Si la valeur du TSJ est restée au-dessous de L, le DAB UOd vaut 1 à

l'échéance. Dans ce cas, les deux puts sont exercés à l'échéance (parce que S(T) < L,

nécessairement) et l'acheteur du panier gagne L + 1 – S(T) – L – S(T) = 1.

Finalement, nous donnons les formules d’évaluation des quatre DAB ne faisant pas intervenir

de strike :

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++−=

−−

−−

−−

−−

TyNSLTxNeUO

TyNSLTxNeDO

TyNSLTxNeUI

TyNSLTxNeDI

rTd

rTd

rTd

rTd

σσ

σσ

σσ

σσ

ε

ε

ε

ε

1

12

1

1

12

1

1

12

1

1

12

1

(22)

(20)

(21)

où x1, y1 et ε sont définis comme dans la sous-section (1.1). La démonstration de ces formules

est analogue à celle donnée dans l’Annexe mathématique (§ IV) de ce chapitre.

34

Page 35: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

Les DAB, et principalement les quatre dernières évaluées par (iv), sont importantes en

pratique car elles servent de « briques élémentaires » dans l'élaboration de nombreux

instruments plus complexes ou produits structurés.

§3.- Les options « lookback »

Les options lookback constituent l’un des archétypes d'options "path-dependent". En effet, un

call lookback (CLB) est une option européenne dont le strike, inconnu au départ, est le

minimum des cours du TSJ observés entre les deux dates TTTm

00 (typiquement la date de

création de l'option) et T, T étant l'échéance du call. Le payoff en T s'écrit par conséquent

00, T

T TMax S m⎡ −⎣ ⎤⎦ , ou plus simplement ( )0

TT TS m− puisque le call expire in-the-money

presque sûrement.

Le détenteur du call est donc assuré de payer le TSJ au cours minimum observé pendant la

période contractuelle, d'où l'expression de "call no regret". L'inconvénient est qu'évidemment

cette option est chère.

De façon similaire, un put lookback promet le payoff ( )0

TT TM S− en T, où

0

TTM est le

maximum observé du cours du TSJ entre T0 et T.

On ne donnera que la démonstration relative au call, celle du put étant similaire. Par

convention, l'instant courant étant t = 0, on a en général T0 < 0, sauf le jour de création de

l'option. On utilise par ailleurs les notations suivantes :

( ) ( )0

00

²² / 2; ' ² / 2; ; /2 Tr c r c b Ln S m

rσµ σ µ σ λ

δ≡ − − ≡ − + ≡ ≡

−,

où est le minimum des cours du TSJ (déjà) observés entre T00Tm 0 et 0. On a donc b ≥ 0.

Soit donc, à évaluer, dans le monde de BSM, le payoff ( )0

TT TS m− reçu en T. En t = 0, et sous

la probabilité risque-neutre, l'on a :

( ) 0 00 0 00 0

00 01 1T T

T T

rT TT T m m m m

CLB e E S E m E m−> <

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡= − −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦⎤⎥⎦

35

Page 36: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

(23) 0 00 0 00 0

00 0 01 1T T

T T

cT rT rT TT m m m m

CLB e S e m E e E m− − −> <

⎡ ⎤ ⎡= − −⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣⎤⎥⎦

car il faut prendre en compte l'éventualité que le minimum actuel reste en T le minimum

et la possibilité qu'un nouveau minimum apparaisse entre 0 et T

0

0Tm

( )0Tm .

La première espérance de (23) est facile à calculer à partir du Lemme (L4) (cf. l’annexe

mathématique du chapitre, §II) en remarquant que y = - b = ( )00 /

0SmLn T ≤ 0 :

(24) [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=−−

> TTbNe

TTbNE b

TT mm σ

µσ

µ σµ 2

000

21

La seconde espérance est plus longue à calculer, et requiert notamment la connaissance de la densité de . Le calcul, développé dans l’annexe mathématique (§VI), conduit à

l’expression suivante de la valeur du call lookback :

T

0m

(25) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−

⎥⎥

⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎞⎜⎝

⎛ +−⎟

⎞⎜⎝

⎛ += −−−

TTbNSe

TTbN

Sm

mS

TTbNme

TTbNSeCLB cTT

TT

rTcT

σµλ

σµλ

σµ

σµ

λ''

0

/1

0

0

000

000

0

0

On démontre de la même manière (en utilisant la densité du maximum au lieu de celle du

minimum) que la valeur du put lookback est égale à :

TM0

(26) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎥⎥

⎢⎢

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−= −−−

TTdNSe

TTdN

SM

MS

TTdNMe

TTdNSePLB cTT

TT

rTcT

σµλ

σµλ

σµ

σµ

λ''

0

/1

0

0

000

000

0

0

où d ≡ Ln ( )00 0

/ TMS et est le maximum des cours du TSJ observé entre T00TM 0 et 0.

Remarques :

- La valeur initiale des options lookback est obtenue en remplaçant dans la formule (25) ou

(26) ou par S00Tm 0

0TM 0 , et donc b ou d par 0.

- Sont négociées également sur le marché des options lookback "partielles" pour lesquelles

les strikes sont α (avec α > 1) pour le call et β (avec β < 1) pour le put, ce qui

les rend moins onéreuses que les looback classiques que l’on vient d’évaluer. En

00Tm 0

0TM

36

Page 37: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

contrepartie, elles ne sont plus "no regret" car elles peuvent expirer sans valeur, avec une

probabilité d'autant plus élevée que α est grand et que β est petit.

- Le tableau 3 donne une idée de l'ordre de grandeur relatif de la valeur des lookback. On a

supposé S0 = K = 100, σ = 20%, r = 10%, δ = 0%, T0 = 0 et α = β = 1.

Tableau 3 : valeur comparative des options lookback

Echéance

3 mois 6 mois

Call européen standard 5,30 8,28

Call lookback 8,95 13,19

Put européen standard 2,83 3,40

Put lookback 6,98 9,29

- Les valeurs des lookback figurant sur le tableau ont été calculées à partir des solutions

analytiques (25) et (26) obtenues en temps continu. En réalité, les prix de marché

seront, à données identiques, strictement inférieurs à ces valeurs théoriques. En effet, la

fréquence d'observation du cours du TSJ n'est ni infinie, bien sûr, ni même très élevée :

dans la plupart des contrats, la fréquence n'est même pas quotidienne, mais

hebdomadaire voire mensuelle pour les options les plus longues. Dans tous les cas,

c’est en général les cours de clôture des jours concernés qui sont utilisés. Le minimum

(maximum) des cours du TSJ effectivement observés est donc strictement supérieur

(inférieur) à sa valeur théorique obtenue en temps continu. Par exemple, un lookback

valant 17,4 pour des observations "continues", ne vaut plus que 16,5 pour des

observations quotidiennes et 15,4 pour des observations toutes les deux semaines.

L'évaluation en temps discret est réalisée à l'aide d'une version améliorée du modèle

binominal de Cox-Ross-Rubinstein dans lequel le pas de temps est pris égal au pas de

temps d'observation des cours du TSJ (c’est donc n, le nombre de périodes, qui

s’ajuste). L'amélioration vient du fait qu'explorer tous les chemins possibles dans l'arbre

de CRR pour déterminer, pour chaque trajectoire, le minimum (ou maximum) rencontré

est beaucoup trop coûteux en temps de calcul. L'astuce consiste à raisonner en prenant

comme numéraire le TSJ lui-même (qui vaut donc 1 en t = 0) et de construire l'arbre

37

Page 38: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

pour la variable Y(t) ≡ Max(t)/S(t) pour le put ou Y(t) ≡ Min(t)/S(t) pour le call7. Ce

changement de numéraire en temps discret est l’analogue du changement de numéraire

rencontré précédemment en temps continu.

§4.- Les options sur moyennes (asiatiques)

Nées sur le marché des changes de Tokyo, d'où leur nom d'« asiatiques », les options sur

moyennes sont de deux types : soit c'est le sous-jacent qui est une moyenne, le strike étant

fixe, soit c'est le strike qui est une moyenne. Les payoffs respectifs s'écrivent alors :

Max[0, M(T1,T2) − K] (call) ou Max[0,K − M(T1,T2)] (put)

Max[0, S(T) − M(T1,T2)] (call) ou Max[0, M(T1,T2) − S(T)] (put)

où M(T1,T2) représente la moyenne des cours du TSJ entre les instants T1 et T2

(T2 ≤ T, l'échéance des options).

L'intérêt de telles options est que, la moyenne étant par construction moins volatile que le

cours du TSJ, elles sont moins chères que leurs homologues "vanille". Par ailleurs, pour un

opérateur qui fait de nombreuses transactions sur le TSJ (par exemple une devise pour un

importateur ou un exportateur, ou un taux d'intérêt pour une institution financière), le cours

moyen du TSJ est plus pertinent que le cours ponctuel à une date donnée. Ces deux raisons

contribuent à expliquer le succès de ces options asiatiques.

Sur le plan de l'évaluation, on rencontre en pratique deux problèmes. Le premier a trait au

caractère discret, et non continu, des cours observés du TSJ. Le second concerne le calcul de

la moyenne. On n'obtient de solution analytique à la BSM que dans le cas, très rare en

pratique (mais qui sert d'étalon), d'une moyenne géométrique, continue ou discrète. Ceci vient

de ce que la moyenne géométrique d'un mouvement brownien géométrique suit un

mouvement brownien géométrique, ce qui est faux d'une moyenne arithmétique.

Cependant, dans pratiquement tous les cas, la moyenne utilisée est arithmétique. Il faut donc

avoir recours à une approximation, qui sera discutée plus avant. Comme dans la plupart des

7 On voit bien en effet que la valeur relative du payoff en T du PLB par exemple est :

PLB (T) / S (T) = (Max(T) – S (T))/S (T) = Y (T) -1 (≥ 0), ce qui permet de se ramener à un seul processus, ici Y(t), comme dans le modèle de CRR.

38

Page 39: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

cas on utilise tout ou partie de la solution analytique relative aux moyennes géométriques,

nous donnons la solution pour certaines de ces dernières, dans le cas continu, puis discret.8

4.1- Options sur prix moyen géométrique

Nous étudions d’abord le cas où la moyenne est calculée en supposant le temps et les

observations du TSJ continus, puis celui où les observations sont discrètes.

4.1.1- Moyenne continue

Soit un TSJ dont la dynamique risque-neutre est donnée par l'EDS :

tdWdtbS

dS σ+=

où b ≡ (r - δ) et δ est le taux de dividende supposé continu.

L'instant courant est t = 0. La moyenne géométrique est calculée entre T1 (≥ 0) et T2 = T.

Comme on la suppose calculée continûment, l'on a :

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

= ∫ dttLnSTT

TTMT

T111

1exp, .

Les calculs qui figurent en Annexe (§VII) permettent d’aboutir aux résultats suivants :

- La valeur en date 0 du call sur prix moyen de payoff [M(T1,T) − K]+ s’écrit :

(27) )()()0()0( 21 dN-KedNZeCPM rTcT −−=

où ( )( ) ( )

∑∑

−=++

= TddTW

TbKZLnd 121 ,

2/0 2/

∑ =+

TTT

312

σ et ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−−

−=122

exp00 121 TTTTbSZ σ .

- La valeur en date 0 du put sur prix moyen de payoff [K− M(T1,T)]+ s’écrit :

8 Il existe de nombreux cas possibles, du fait que la moyenne peut-être calculée entre deux dates quelconques T1 et T2, la première pouvant ne pas coïncider avec la date de création de l'option et la seconde pouvant être antérieure à T, la date d'échéance de l'option. De plus, on peut évaluer l'option avant, ou après, la date T1 de démarrage du calcul de la moyenne. Ainsi, à la création de l'option, on a T1 ≥ 0 mais, en cours de route, on a T1 < 0. Dans le second cas, la solution fait intervenir la moyenne déjà constatée. Nous nous contenterons d'analyser le cas T2 = T, de loin le plus rencontré en pratique. Par ailleurs, nous dériverons explicitement le cas T1 ≥ 0 et donnerons directement la solution pour le cas T1 < 0.

39

Page 40: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

(28) PPM(0) = Ke-rTN(-d2) – e-cTZ(0)N(-d1).

Remarques :

- La procédure revient à modifier le drift et la volatilité du TSJ et à appliquer BSM.

- La parité call-put classique s'applique : CPM(0) – PPM(0) = e-cT Z(0) – Ke-rT.

- Si le calcul de la moyenne démarre dès la création de l'option (T1 = 0), la formule est

plus simple, car, notamment, ∑ se réduit à 3/σ .

- Si T1 < 0, le calcul de la moyenne ayant déjà commencé à l'instant de l'évaluation

(t = 0), on peut montrer que la solution pour le call (le put s'obtient encore par parité

call-put) s'écrit :

(29) ( ) ( ) ( ) ( )211 0ˆ0,0 dNKedNZeTCPM rTcT −− −=<

où ( )( )

∑∧

∑∧

∑∧

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

= TddT

TbKZLnd 121 ,

/0ˆ 2/2

13 TTT−

∑∧

≡σ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−≡ −−−

123

2exp00 1

21

22

1

2//

0,111

1

TTTTTT

TTTbSMZ TTTTTT

et 0,1TM est la moyenne constatée entre T1 (< 0) et 0 ( )9 .

- Cette formule est évidemment identique à la précédente quand on pose T1 = 0 dans

chaque formule.

- Nous avons adopté le cas standard T2 = T. Dans le cas T2 < T, indépendamment du fait

que T1 soit égal ou inférieur à 0, il suffit de remarquer que le payoff de l’option [M(T1,

T2) – K]+ est connu en T2, bien que payé en T. La valeur de l'option (call) est alors

obtenue en remplaçant T par T2 dans les formules (27) à (29) et en multipliant le

résultat par e-r(T-T2).

9 La moyenne M(T1,T) s'écrit : ( ) ( ) ( ) ⎥

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

− ∫∫∫ dttLnSTT

MdttLnSdttLnSTT

T

T

T

T 01

0

0

1

1expˆ1exp0,1

1

où ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

≡ ∫ dttLnSTT

MTT

0

1 10,1

1expˆ est connue en t = 0. De plus, on a :

( ) ( ) ( ) .1expoù1expˆ 0

0

/0,

1

10

0 10,1

11

11

0,1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

≡=⎥⎦

⎤⎢⎣

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= ∫∫ −− dttLnST

MMTT

TdttLnST

MTT

TTTTTT

40

Page 41: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

4.1.2- Moyenne discrète

En pratique, la moyenne est calculée à partir d'observations discrètes. Le contrat prévoit n

dates d'observations pour le TSJ : iT/ni=1,…,n. Sous la probabilité risque-neutre, la valeur du

TSJ en date iT/n est égale à :

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

niTW

niTbS

niTS σσ

2exp0

2

La moyenne géométrique discrète, calculée entre 0 (la date de création de l'option) et T (son

échéance), est égale à :

( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∏= ∑

==

n

i niTW

nnnbS

niTSnTM

nn

i 121

2exp0,,0

2/1

1

σσ .

En remarquant que ∑=

∑=

=n

i

n

i iWnT

iTWn

11(propriété d'échelle du brownien) et que

donc que la variance de

, on obtient que

( )( ,1 111 −−−+= ∑=

∑= ii WWiniWiW

n

i

n

i)

]( ) ( )( )[∑=

∑=

++=−+=n

i

n

innniniW

116/1211 2

∑=

n

i niTW

n 1

σ est une gaussienne

centrée de variance σ2T(n+1) (2n+1)/6n2.

La suite des calculs s'inspire directement de BSM et l'on aboutit à la valeur du call sur prix

moyen géométrique discret (CPMD) suivante, à la date de création de l'option :

(30) CPMD (0) = ZD(0) N(d1) – Ke-rT N(d2)

avec ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎤⎢⎣

⎡ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≡

∑ rTTn

TnbSZD2

exp2

12

exp0022σ

( )( )∑ ≡

++226

1212

nnnσ

( ) ( )

∑∑

−≡

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≡

Tdd

TKTn

nbSLnT

d

12

2

1 /2

12

exp01 σ

Le put sur prix moyen géométrique discret (PPMD)est obtenu par parité call-put :

41

Page 42: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

(31) CPMD(0) – PPMD(0) = ZD(0) – Ke-rT.

Si le calcul de moyenne a déjà commencé au moment de l'évaluation, et que τ observations

ont déjà été effectuées, la moyenne géométrique discrète se décompose en deux termes dont

le premier (noté est connu : ),,0(ˆ nM τ

( ) ( )n

n

i

nn

i

n

i niTSnM

niTS

niTSnTM

/1

1

/1

1

/1

1,,0ˆ,,0 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∏≡⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∏⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∏=

+=+== ττ

ττ

En suivant les mêmes voies que précédemment, l'on obtient la valeur suivante pour le call en

date t correspondant à la τième observation (t = τT/n) :

(32) ( ) ( ) ( ) ( )21 dNKedNZDCPMD rT−∧

−= ττ

avec ( ) ( ) ( ) ( )( )

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

Σ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≡

∧−∧∧

rTTn

TnnbtSnMZD nn

2exp

21

2exp,,0

2

2

2 ττστττ

( )( )( ) ( )3

22

3

2

612212

nn

nnnn ττστττσ −

++−+−−

≡∑∧

( ) ( ) ( )( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≡

−∧

∑∧ K

nTnnbtSnMLn

Td n

n/

21

2exp,,01

2

2

1ττστ

τ

∑∧

−≡ Tdd 12 .

Le put s’obtient par parité call-put.

4.2- Options sur strike moyen géométrique

Pour ces options, c'est le strike qui est une moyenne des cours observés du support.

L'évaluation est plus complexe que précédemment car le payoff terminal fait intervenir deux

variables aléatoires, S(T) et M(T1, T). On ne peut donc pas appliquer BSM directement, il faut

utiliser la technique du changement de numéraire. On présentera les résultats et quelques

commentaires dans le corps du texte, la démonstration principale étant reléguée en Annexe

(§VIII).

4.2.1- Moyenne continue

La valeur des options sur strike moyen géométrique est donnée par les formules suivantes :

42

Page 43: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

- La valeur du call sur strike moyen géométrique de payoff [S(T) – M(T1, T)]+ est égale à :

(33) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]'2

'1 0'0.0 dNZdNSeCSM cT −= −

où ( )( )

T

TZLnd

'

²'210'/1

'1 Σ

Σ+= et Tdd ''

1'2 Σ−=

TTT

3' 1−≡Σ σ et ( ) ( ) .'²

21

21exp0' 1 ⎥

⎤⎢⎣

⎡Σ+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +≡ TTTbZ σ

- La valeur du put sur strike moyen géométrique M(T1, T) est, de même, égale à :

(34) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]'1

'20'0.0 dNdNZSePSM cT −−−= −

La démonstration repose sur le changement de probabilité associé au choix du TSJ lui-même

comme numéraire, ce qui permet d’obtenir des prix (relatifs à ce numéraire) martingales.

Remarques :

- Si T1 = 0, le calcul de la moyenne démarrant à la date de valorisation de l'option (par

exemple, à sa date de création), la formule est plus simple car alors 3' σ=Σ et

( ) .12²

2exp0' ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−=

TbTZ σ On notera de plus qu'alors ∑ ' = ∑ et S(0).Z'(0) = Z(0), ce

qui conduit à des formules très proches pour les options sur prix moyen et sur strike

moyen.

- Si T1 < 0, le calcul de la moyenne ayant déjà commencé à l'instant de l'évaluation, on

peut montrer que la solution pour le call (le put s'obtenant encore par parité) s'écrit :

(35) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=<

∧− '

2'11 0'0.0,0 dNZdNSeTCSM cT

où ( ) ( ) ( ) ( ) ,212²

21exp00'

2/

1

//0,

1111

1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Σ+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +≡

∧−−−

TTTT

TbSMZ TTTTTTT

σ

( ) 12

1

31

3' TT

TTT

T−+

−≡Σ

∧ σ ,

43

Page 44: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

MT1,0 est la moyenne constatée entre T1 et 0, et et sont définis comme

dans (33) avec et

'1d '

2d

( )0'∧

Z '∧

Σ au lieu de ( )0'Z et 'Σ .

4.2.2- Moyenne discrète

En utilisant les mêmes conventions que pour les options sur prix moyen, on aboutit à la

formule d'évaluation pour le call, dans le cas où T1 ≥ 0 :

(36) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]210 00 dNZDdNSeCSMD cT −= −

où ( ) ( ) ( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

−−

−= Tn

nnTn

nbZD²

1112

²12

exp0 σ

( )( )²3

121²²n

nn −−=Σ σ

( )[ ] TT

ZDLnd Σ+Σ

=210/1

1

Tdd Σ−= 12 .

La valeur du put s'obtient par parité call-put.

4.3- Options sur moyennes arithmétiques

En pratique, des contrats prévoient que la moyenne utilisée pour le calcul du payoff de

l'option est arithmétique. Selon que l'on se place dans un cadre de temps continu ou discret,

cette moyenne s'écrit, pour T1 quelconque (< T) :

( ) ( )∫−=−

T

TdttS

TTTTM

111

1 ou

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+Σ=−= n

TTiTSn

TTMn

i

1111

1

Comme indiqué dans l'introduction de cette sous-section §4, une moyenne arithmétique d'un

mouvement brownien géométrique n'est pas un processus brownien géométrique. C'est la

raison pour laquelle il n'existe pas de solution analytique pour le prix des options asiatiques

effectivement négociées sur le marché. Dès lors, deux principaux types d'approche sont

44

Page 45: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

adoptés par les traders10. Selon la première, on accepte une approximation pour retrouver des

formules analytiques proches de celles rencontrées dans le cas des moyennes géométriques.

Par exemple, on suppose que la moyenne arithmétique, dont on calcule facilement l'espérance

exacte, a la même variance que la moyenne géométrique, ce qui bien sûr est erroné. Une autre

hypothèse consiste à poser que la somme de lois log-normales est log-normale, caractérisée

par une espérance et une variance calculées de façon « ad hoc », bien qu'en fait la loi d'une

somme quelconque de lois log-normales ne soit pas connue analytiquement.

La seconde approche procède par simulation de Monte Carlo améliorée par l'utilisation d'une

variable de contrôle ("control variate"), technique qui a fait l'objet d'un développement au

chapitre ZZZ. L'idée est la suivante :

Puisque l'on connaît la solution exacte pour l'option sur moyenne géométrique, au lieu de

simuler directement la valeur de l'option sur moyenne arithmétique, on simule l'écart de

valeur entre les deux options. On additionne alors cet écart à la valeur (analytique) de l'option

"géométrique" (OG) pour obtenir celle de l'option "arithmétique" recherchée (OA).

Formellement, on estime par simulation :

h(0) = e-rT E[OA(T) – OG(T)],

puis on calcule :

OA(0) = OG(0) + h(0),

au lieu d’estimer par simulation :

OA(0) = e-rT E[OA(T)].

L'avantage de cette technique de Monte Carlo, par rapport à l'approche précédente par

approximation est qu'elle est très bien adaptée au problème qui se pose concrètement puisque,

on l'a vu, les moyennes sont discrètes en pratique. On adopte naturellement dans la procédure

Monte Carlo un pas de temps qui correspond à l'intervalle entre deux observations prévu dans

le contrat définissant l'option.

10 Une troisième solution, exacte celle-là mais dépassant le niveau technique de cet ouvrage, est celle de Geman et Yor (1993), qui n’est toutefois pas analytique et nécessite l’utilisation de procédures numériques (il faut notamment inverser une transformée de Laplace) pour mener les calculs jusqu’à leur terme. La procédure consiste à transformer le mouvement brownien géométrique en un processus de Bessel carré changé de temps.

45

Page 46: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

§5.- Les options « chooser »

Une option « chooser » permet à son détenteur de choisir, d'ici une échéance t, entre un call

de strike Kc et de maturité Tc (> t) et un put de strike Kp et de maturité Tp (> t). Cette option

est appropriée quand l'acheteur parie sur une forte variation du cours du TSJ d'ici la date t

sans avoir à en connaître le sens. On l'appelle parfois, de ce fait, « as you like it » (comme il

vous plaira). Son payoff en t s'écrit par conséquent :

CHt = Max[Ct (Kc, Tc), Pt (Kp, Tp)]

Comme on le verra, l'évaluation de cette option exotique implique la loi normale bi-variée

N2(.) car il faut utiliser la loi jointe de la valeur du support en t et en Tc (ou Tp). Toutefois, il

existe un cas de « chooser » dégénéré, mais intéressant, qui ne nécessite que la connaissance

de la formule de BSM. En effet, dans le cas où Kc = Kp = K et Tc = Tp = T, nous avons, à la

date t :

CHt (t, K, T) = Max [Ct (K, T), Pt (K, T)]

= Max [Ct (.), Ct (.) - St + Ke-r(T-t)], du fait de la parité call-put,

= Ct (.) + Max [0, - St + Ke-r(T-t)]

= Ct (K, T) + Pt (Ke-r(T-t),t)

c’est-à-dire la somme des valeurs en date t du call d'échéance T et strike K et du put

d’échéance t et strike Ke-r(T-t).

Donc en t = 0, ce « chooser simplifié » vaut :

(37) CH0 (t, K, T) = C0(S0, K, T) + P0(S0, Ke-r(T-t), t)

Remarques :

- Si l'on a t = T, alors l'acheteur ne se décidera qu'au dernier moment, en T, et le « chooser » a

exactement la même valeur qu'un stellage (ou « straddle »), composé du call et du put de

mêmes échéance et strike, et dont seule une jambe expirera dans-la-monnaie.

- On note d'ailleurs, à partir de la formule (37), que si t tend vers T, la valeur du « chooser »

tend vers celle du stellage. La valeur de ce dernier, C0(S0, K, T) + P0(S0, Ke-r(T-t), t), constitue

ainsi un majorant de la valeur du « chooser ». Celle-ci est moindre puisque le put inclus

46

Page 47: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

dans (37) est de maturité plus courte (t < T) et de strike plus faible (Ke-r(T-t) < K) que le put

inclus dans le stellage, donc est (doublement) moins cher que ce dernier.

- On aurait pu utiliser la parité call-put dans l'autre sens pour substituer la valeur du put

d’échéance T à celle du call (plutôt que l’inverse) et obtenir :

CH0 (t, K, T) = P0(S0, Ke-r(T-t), T) + C0(S0, Ke-r(T-t), t).

Dans le cas général, c’est-à-dire Kc ≠ Kp et/ou Tc ≠ Tp, on se place encore dans le cadre BSM

et on entreprend de résoudre l'équation :

( ) ( )( )[ ]

( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+=

=

••

••

∫∫ duePdueCe

PCMaxeECHu

tPC

u

tPC

rt

ttrt

Q

tttt ππ 22

,2/2/

0

22

Pour poursuivre le calcul il faut, préalablement, déterminer la valeur particulière A du TSJ en

date t telle que Ct = Pt, c'est-à-dire telle que :

(38) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0'' 2121 =−−−+− −−−−−−−− zNeKzNAezNeKzNAe tTrp

tTtTrc

tT ppcc δδ

où ( ) ( ) ( ) ( )tT

tTKALnztT

tTKALnzc

cc

c

cc

−−+

=−

−+=

σµ

σµ /,'/

21

avec µ = 2/²',2/² σδµσδ +−=−− rr ,

et où z'1 et z'2 sont définis comme z1 et z2, respectivement, mais avec Kp et Tp.

On démontre alors que la valeur du « chooser » est égale à :

(39) ( ) ( )( ) ( )p

rTpp

T

crT

ccT

TtwxN2eKTtwxN2eS

TtyxN2eKTtyxN2eSCHpP

cc

/,,/,,

/,,/,,

22110

221100

−−+−−−

−=−−

−−

δ

δ

avec A défini par (38), ( ) ( )

,/

,'/ 0

20

1 ttASLn

xt

tASLnx

σµ

σµ +

=+

=

( ) ( ) ( )p

pp

c

cc

c

cc

TTKSLn

wT

TKSLnyT

TKSLnyσ

µ

σµ

σµ '/

,/,'/ 01

02

01

+=

+=

+=

47

Page 48: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

et ( )

p

pp

TTKSLn

µ+=

/02 ,

et où les différents N2(.) sont calculés par intégration numérique.

48

Page 49: Ch 20 Exotiques (1)

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Annexe Mathématique

I. Valeur du Call « Combo » En appliquant le lemme d'Itô au produit X(t)Sf(t), on obtient, compte tenu des équations (14)

et (15) du corps du texte :

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]dttttttttrtrtrtStX

tStXdSfXSfXff

f

f σσρσσρ +−+−=

+ ( ) ( ) ( ) ( )tdWttdWt SfSf

XX σσ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tdWttdWtdttr SfSf

XX σσ ++=

et l'on vérifie que le prix (libellé en monnaie domestique) de ce sous-jacent, actualisé au taux

domestique, est une Q-martingale. Il s'agit de calculer :

(A-1) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]+−= KTSTXETACC f

Q0

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )AA QTAKTATSTXE fQ .1 −=

où A ≡ ω ∈ Ω : X(T)Sf(T) > K est l'évènement « l'option expire dans la monnaie ».

Notons :

(A-2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ++≡T

SfXSfXf dssssss

TTXSVol

0

222 21, σσρσσ

la variance de X(T)Sf(T).

Puisque X(t)Sf(t) est le TSJ de cette option et que X(t)Sf(t) A(t) est une Q-martingale, le terme

K.A(T).Q( A ) de l'expression (A-1) s'obtient directement par application de la formule de

BSM; ce qui donne :

K.A(T).N(d2) où

(A-3) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) TTXSVol

TTXSVolTAKSXLnd f

ff

,,5,0./00 2

2−

=

Du modèle BSM, on infère que le terme EQ[.] de l'équation (A-1) est égal à X(0) Sf(0) N(d1),

(A-4) T,TXS Voldd f )( 21 += .

Pour prouver ce résultat, on peut soit calculer EQ[.] « à la main », soit changer de probabilité

(et de numéraire) en définissant :

49

Page 50: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

( ) ( ) ( )( ) ( )00 f

fXSf

SXTATSTX

dQdQ

=

Cela donne EQ[.] = ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ),00100 1dNSXESX fQ

fXSf =A

la dernière égalité provenant du théorème de Girsanov.

Nous obtenons donc finalement la valeur du call « compo » :

(A-5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 .000 dNTAKdNSXCC f −=

où d1, d2 et Vol2 (XSf,T) sont définis par (A-4), (A-3) et (A-2), respectivement. II. Lemmes concernant les probabilités d'atteinte d'un brownien drifté

On veut calculer des probabilités faisant intervenir le passage d'un brownien drifté par une

valeur particulière donnée à priori (la barrière). Comme les lemmes font intervenir un

brownien arithmétique et que, dans le cadre de BSM, on travaille sur un brownien

géométrique, il faut au préalable montrer comment passer du second au premier.

Soit, sous la probabilité risque-neutre Q, le processus d’évolution du TSJ suivant :

( ) tt

t dWdtrS

dS σδ +−= , dont la solution intégrale est :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= tt WtrSS σσδ

2exp

2

0

Définissons ( ) ttt WtrSSLnX σσδ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=≡

2/

2

0 , et notons ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−≡

2

2σδµ r . Nous

obtenons alors le brownien arithmétique drifté sous Q : dXt = µdt + σdWt, et nous

appliquerons tous les lemmes à un TSJ dont la valeur s'écrit : ( )0/ SSLnX tt ≡ .

Soient maintenant :

Mt ≡ Sup (Xs, s ≤ t) et mt ≡ Inf (Xs, s ≤ t)

Nous démontrons le lemme suivant :

Lemme 1: soient (x, y) tels que y ≥ 0 et x ≤ y. Alors :

( ) ( ) .2;:12/2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=≤≤t

tyxNettxNyMxXPL y

tt σµ

σµ σµ

Démonstration :

50

Page 51: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

Par la propriété de complémentarité, l'on a :

( ) ( ) ( )

( )yMxXPttxN

yMxXPxXPyMxXP

tt

ttttt

≥≤−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

≥≤−≤=≤≤

;

;;

σµ

Dénotons par ∆ la probabilité restant à calculer et réécrivons-la :

( )( )σγσγ /;/ yWsSupxWtP st ≥+≤+=∆ où γ ≡ µ/σ.

Définissons la nouvelle probabilité par : Q

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=≡ tWL

dQQd

tt 2exp

ˆ 2γγ

On notera que la dynamique du titre sous-jacent devient Xt = ou . tWσ tWot eSS ˆσ=

Par le théorème de Girsanov, l'on a :

tWW tt γ−= ˆ

Il vient alors, en utilisant l'indicatrice de l'évènement recherché :

( ) ⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡=∆

+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ≥≤⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ≥+≤+

tW

ysWSupxW

QyWsSupxWt

Q t

tst

eEE 2ˆ;ˆ

ˆ

;

2

.11γγ

σσσγ

σγ

(du fait que ) ( ) ( ) mesurableYpourYLEYE tQQ −= −

tF1ˆ

=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ≥≤

tW

yWSupxW

Q t

st

eE 2ˆ

ˆ;ˆ

ˆ2

.1γγ

σσ

.

Soient maintenant le temps d'arrêt défini par :

( ) ∞+≥= ,/ˆ:inf στ yWsy s sinon,

et le nouveau brownien sW tel que ( )[ ]

( )[ ]⎪⎩

⎪⎨

∧∈−=

∧∈=

ttyssiWyW

tyssiWW

ss

ss

,ˆ2ˆ

,0ˆˆ

τσ

τ

où le symbole ∧ indique le plus petit. Alors :

( ) ⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡=∆

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ≤≤

tW

tyxW

Q t

t

eE 2ˆ

ˆ2

1γγ

τσ

( ) ⎥

⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡=

−−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ≤≤−

tWy

tyxWyQ t

t

eE 2ˆ2

;ˆ2ˆ

2

1γγ

σγ

τσσ

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡=

−−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

tW

xyW

Qy

t

t

eEe 2ˆ

ˆ2 2

1γγ

σ

σγ

51

Page 52: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

où la simplification de l'indicatrice vient de ce que

σσyxy

≥−2 puisque y ≥ x.

C'est dans cette simplification que réside tout l'intérêt d'utiliser la propriété de symétrie du

brownien (dite « lemme du miroir » ou « théorème de réflexion ») via la définition de sW .

En utilisant ,ˆ tzWt = où z est distribué selon N(0, 1), et γ = µ / σ, l'on a :

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡=∆

−∞

−−

∫ dzeeez

txy

tzty

22

22 22

2

21πσ

γγσµ ( )

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡=

+−∞

−∫ dzeetz

txy

y2

2

2 2

2

21 γ

σ

σµ

π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−=

ttyxNet

txyNe

yy

σµγ

σσ

µσµ 22 22

22

.

Le lemme (L2) suivant est symétrique du précédent et se démontre de la même façon. Les

lemmes (L3) et (L4) sont des cas particuliers, respectivement, de (L1) et (L2) :

Lemme 2 : soient (x, y) tels que y ≤ 0 et y ≤ x. Alors :

(L2) : ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=≥≥t

tyxNet

txNymxXPy

tt σµ

σµ σ

µ 2; 22

Lemme 3 : soient y ≥ 0 et x = y. Alors :

(L3) : ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=≤t

tyNettyNyMP

y

t σµ

σµ σ

µ2

2

et

(L3') : ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=≥t

tyNet

tyNyMPy

t σµ

σµ σ

µ2

2

Lemme 4 : soient y ≤ 0 et x = y. Alors :

(L4) : ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=≥ttyNe

ttyNymP

y

t σµ

σµ σ

µ2

2

(L4') : ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=≤ttyNe

ttyNymP

y

t σµ

σµ σ

µ2

2

52

Page 53: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

On obtient facilement, à partir de ces lemmes et de la propriété de complémentarité, les autres

lemmes correspondant aux autres évènements à considérer, par exemple :

( ) ( ) ( ) =≥≤−≥=≥≥ yMxXPyMPyMxXP ttttt ;; (L3') plus le second terme du (L1).

III. Démonstration de la relation des "inverses" pour les options barrières

Nous allons démontrer la première des quatre relations (iii) données dans le texte (§ 1.1 de la

section 2), les trois autres pouvant être obtenues de façon similaire :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ = rT

LKSCDOKSPUO ,,,1,1,1..) r, L, K, (S, δδ

où S = S0 pour simplifier la notation.

En date t = 0, en se rappelant que ( )2/2σδµ −−= r et σµγ /= , la valeur du PUO est égale

à :

( ) [ ] ( )[ ][ ] ( )

( )

⎥⎥

⎢⎢

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−=

−=

+−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+−−

++−•

lM

WWQ

Tr

LSSupWTWrTQ

LSSupWTrTQ

T

TT

t

TT

t

T

KSeeKSEe

SeKeeE

SeKeEPUO

ˆ

ˆˆˆ2

ˆ2ˆˆ

11..

1

1

2

2

σσγ

γ

σγγ

σµ

où la seconde égalité est justifiée dans le § I ci-dessus, et où ( SLLnl /1σ

≡ ) (> 0 car c'est un

PUO) et ( )TsWSupM sT ≤= ,ˆˆ .

Posons . Il vient : TT ZW −=ˆ

( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= −≥

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

• lm

ZZQ

Tr

T

TT

KSeeEeKSPUO ˆ

ˆ2 11..

λγ

où ( LSLnl /1σ

≡− ) )(<0), ( TsZInfm sT ≤= ,ˆ et λ ≡ -(γ + σ) = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

21 2σδσ

r ;

on remarquera l'inversion du rôle des deux paramètres r et δ. Or, on peut écrire :

( ) [ ]••⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

= QTTTr

EeeeKSPUO ˆ222

222

..λδλδγ

53

Page 54: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

Du fait des définitions de γ et λ, il est facile de vérifier que 022

22

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

λδγr . D'où

l'on obtient :

( ) [ ]

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎥

⎢⎢

⎡=

−≥

++−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

••

rTLKS

CDOKS

KSeeEeKS

EeKSPUO

lm

ZZTQT

QT

T

TT

,,,1,1,1.

11.

.

ˆ2ˆ

ˆ2

2

2

δ

σλλδ

λδ

La dernière égalité vient de ce que r et δ ont des rôles inversés et que ( LSLnl /1σ

=− ).

IV. Évaluation du CUO (Call Up-and-Out) avec L (barrière) > K (strike)

Nous avons choisi cette option car c'est l'une de celles dont la formule d’évaluation comprend

le plus de termes (huit, sans « rebate » ; cf le Tableau 1 du texte). Rappelons par ailleurs que

le CUO pour lequel L serait inférieur à K aurait une valeur nulle.

Nous avons, en date 0 (on note encore S0 = S) :

( ) [ ] ( ) [ ]( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+

−=

−=

≤+∩≥+

+−−

≤+∩≥+−

≤∩>+−

SLLnWtSupSKLnWT

WTQT

SLLnWtSupSKLnWTQrT

LSSupKSWTQrT

tT

T

tT

tT

T

eESe

EKe

KSeEerTLKSCUO

//2

//

1

1

1,,,,,

2

σµσµ

σσδ

σµσµ

σµδ

A partir des lemmes donnés dans le §II ci-dessus, il est facile d'obtenir le résultat suivant,

pour y ≥ 0 et x ≤ y (on prend t = T) :

[ ] ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=≤≥=•• ∩

TTyxNe

TTyNe

TTyN

TTxNyMxXPE

y

y

ttQ

σµ

σµ

σµ

σµ

σµ

σµ

2

;1

2

2

2

2

qui implique 4 termes. Nous calculons d'abord les 4 termes qui sont multipliés par –Ke-rT,

puis les 4 termes multipliés par Se-δT. On remarque que x = Ln (K/S) et y = Ln(L/S).

54

Page 55: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

• ( ) ( )2

/ dNT

TKSLnNT

TxN ≡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

σµ

σµ

• ( ) ( )LdN

TTLSLnN

TTyN 2

/−≡⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−σ

µσ

µ

où L, dans d2L, indique que l'on prend Ln(S/L) au lieu de l'usuel Ln(S/K).

• ( ) ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−−

TTSSLnN

SL

TTyNe

y

σµ

σµ ε

σµ /122

2

où ( )21/1 2

2 −−

=≡−σ

δσµε r ,

• ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− −

TTLKSLnN

SL

TTyxNe

y

σµ

σµ ε

σµ 2122 /22 .

Pour obtenir les termes qui font intervenir Se-δT, on remarque que, comme c'est le cas pour les

options vanilles dans le cadre BSM, l'indicatrice est multipliée par TWTe

σσ+−

2

2

. On change donc

de mesure de probabilité, en adoptant celle qui est couplée au nouveau numéraire qu'est le

TSJ, notée Q* et définie par :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= TW

dQdQ

T 2exp* 2σσ .

Par le théorème de Girsanov, l'on a : . TWWTWW TTTT2** ou σσσσ +=−=

Dès lors :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡≤+∩≥+≤+∩≥+

+−

SLLntWtSupSKLnTWTSLLntWtSupSKLnTWTQWTQ EeE T

////11

*

2

2σµσµσµσµ

σσ

( ) ( ) ( ) [ ]SLLnWtSupSKLnWT

Q

tTE /'/' **

*

1≤+∩≥+

=σµσµ

avec .2

''2

2 TrT ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⇒+≡

σδµσµµ

Comme dans la formule de BSM, nous obtenons donc les 4 mêmes formules que

précédemment, en remplaçant µ par µ'. Ceci implique en particulier que d1 remplace d2, d1L

remplace d2L et ε remplace (ε-1). Nous obtenons ainsi finalement :

55

Page 56: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) .//

'/'/

,,,,,

212

22

22

11

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−−

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−

=

−−

TTLSLnN

TTLKSLnN

SLdNdNKe

TTLSLnN

TTLKSLnN

SLdNdNSe

rTLKSCUO

LrT

LT

σµ

σµ

σµ

σµ

δ

ε

εδ

L'on vérifie que cette solution est bien celle donnée dans le Tableau 1 (ligne 7) du corps du

chapitre.

V. Évaluation des « rebates »

Nous évaluons d'abord les « rebates at expiry » caractéristiques des options activantes

("In"). Nous ne démontrons ici encore qu'un seul cas, les autres s'obtenant de la même façon à

partir des lemmes (§ II de cette annexe) appropriés.

Soit le CDI (S, K, L, T, r, δ) ou le PDI (S, K, L, T, r, δ) promettant un "rebate" R en T en cas

de non-activation. La valeur de ce "rebate" en t = 0 est donc :

( ) [ ] [ ]lmQrT

LSInfQrT

TtEReERe ≥

−≥

− = 11

où l ≡ Ln(L/S) est négatif puis l'option est un CDI ou un PDI.

D'après le lemme (L4), nous avons (en posant y = l, l < 0) :

[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=≥TTlNe

TTlNlmP

y

T σµ

σµ σ

µ²

2

Le premier terme, déjà rencontré au § IV de cette annexe, vaut ( ) ( )./2LdN

TTLSLnN ≡⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

σµ

Le second terme vaut( ) ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

TTSLLnN

SL

σµε /12

, où (ε-1) ≡ µ/σ².

La valeur du « rebate at expiry » est donc égale à :

( )( ) ( ) ./12

2⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−−

TTSLLnN

SLdNRe L

rT

σµε

On vérifie que cette solution est bien celle donnée dans le Tableau 2 (ligne 1) du corps du

chapitre.

56

Page 57: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

Nous évaluons maintenant les « rebates at hit » caractéristiques des options désactivantes

("Out"). Le problème est ici plus compliqué car il faut utiliser la densité du premier temps

d'atteinte (t), par un brownien drifté, d'une valeur l déterminée.

Il s'agit de calculer : On sait faire ce calcul, car on connaît la densité h( )∫ −T

1rt dttheR

0. l (t)11.

Cependant, il exige de nombreux changements de variables dont certains sont difficiles à

trouver. Une façon plus directe est d'utiliser le résultat probabiliste suivant :

(i) [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −≡

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ +−=− bllrlleE lrQ

22

22

2 exp2expσµ

σσµ

σµτ

où τl est le premier temps d'atteinte de (la barrière) l pour le brownien arithmétique drifté

dXt = µdt + σ dWt, et ./2 222 σσµ rb +≡

Prenons le cas du CDO ou du PDO. La barrière l ≡ Ln(L/S) est donc négative. La valeur en

t = 0 du « rebate at hit » est égale à :

(ii) [ ] [ ]lmrQ

TrQ

T

l

l

l eEReER ≤−

≤− = 1.1. τ

ττ

En utilisant la technique du changement de probabilité (et de numéraire), on obtient :

(iii) [ ] [ ] [ ]lmQrQ

lmrQ EeEeE l

T

l≤

−≤

− = ˆˆ 11 ττ

où l'on montre (dans la démonstration de (i)) que le drift de dXt sous la mesure Q n'est plus µ

mais

ˆ

.2ˆ 222 σσµµ br −≡+−=

Par ailleurs, d'après (L4') du § II de cette annexe avec t = T et y = l (< 0), l'on a :

(iv) [ ] [ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

==≤ ≤ TTlNe

TTlNElmP

l

lmQ

T T σµ

σµ σ

µ ˆˆ1ˆ 2

ˆ2

ˆˆ

En utilisant (i), (iii) et (iv), (ii) devient alors (avec l < 0) :

[ ]⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+

≤−

TTlNe

TTlNeReRE

lbll

lmrQ

T

l

σµ

σµ σ

µσµ

τ ˆˆ.1 22

ˆ2

11 Par exemple, de par la propriété de symétrie du brownien non drifté, on a P[Mt ≥ l] =2N(-l/ t ). En dérivant

cette expression par rapport à t, on obtient : ( ) ta

et

lth1

22

32

−=

π(pour l > 0, sinon, il faut prendre l ).

57

Page 58: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

ce qui, compte tenu de , l = Ln(L/S) et (ε - 1) ≡ µ/σ2ˆ σµ b−≡ 2, donne :

( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−+−

TTbSLLnN

SL

TTbSLLnN

SLR

bb

σσ

σσ εε 2121 //

conformément à la ligne 3 du Tableau 2 du corps du texte.

VI. Démonstration du prix du call « lookback »

Il reste à calculer la seconde espérance présente dans l’équation (23) du texte, .

Ce calcul requiert notamment la connaissance de la densité de . A partir du Lemme (L4)

(cf. §II ci-dessus), nous avons :

00 0

0 1 TT

Tm m

E m<

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

T

0m

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=≥−=<−

TTyNe

TTyNymPymP yTT

σµ

σµ σµ 22

00 1

La densité de est donc égale à : ymT =0

2

22

2

21

22221

2112

211 ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −− −−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ TT

TT y

yyy

eT

eTTyNee

µσµσµσ

µ

πσσµµσ

πσ

Or, nous avons :

222

21

212

21

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

=−

TT

TT yyy

eT

eT

e σ

µ

σ

µσµ

πσπσ

Donc cette densité, notée nmin(y), est égale à :

( ) .22

2 2

2

2221

min ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=−−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

TTyNee

Tyn yT

Ty

σµµσ

πσσµσ

µ

Or, on a : [ ] ( )( )( )[ ]

bSSLnSSLn

mmT

tT

t

TT eSEmE

−<<=

00

0/000 /min

min00 11 .

Nous obtenons ainsi :

(i) [ ] ( )dyyneSmE yb

mmT

TT min00 0

001 ∫

∞−<=

.22

2 2

2

2221

0 dyTTyNee

TeS yT

Tyb

y

⎥⎥

⎢⎢

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=−−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−

∞−∫ σµµσ

πσσµσ

µ

58

Page 59: Ch 20 Exotiques (1)

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Pour calculer la première intégrale, posons TTyZ

σµ−

≡ . Il vient :

dZeeeSZ

TZTT

Tb

2

2

212

0

−−−

∞−∫ πσσ

µµ .

Cette intégrale se simplifie, en utilisant un résultat général très utile 12, en :

( ) .'22 02

0

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−− −

TTbNeST

TTbNeeS TcrT

T

σµσ

σµσ

µ

Calculons la deuxième intégrale par intégration par parties :

( )b

yyb

TTyNeSdy

TTyNeeS y

∞−

+−

−−−

∞− ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + −−

∫ σµ

µσµσ

σµµσ µσσµ 12

2

2022

0

22

1222

( ) dyeT

eS T

Tyb

y 2

2 21

122

20

21

122 ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

+−

−−

∞−

+− ∫ σ

µµσ

σπµσµσ

Or on a :

( )[ ]( )[ ] ( )

λδ

σσδ

σσδµσ

µσ−=

−−=

−−−

=+−

12

12

212

2 2

2

22

2

2

r/r/r et

( ) ( )λσ

δσ

σδµσ 121212 22

22 =

−=+

−−=+− rr .

Donc l'intégrale est égale à :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−

∞−

− ∫

TTbNeS

TTbN

Sm

S

dyeT

eST

TbNeS

TcrT

TT

ybby

σµλ

σµλ

πσλ

σµλ

λ

σ

µλλ

'11

21101

0

/1

0

0

0

21

/0

/0

0

2

où le calcul du second terme est analogue à celui de la première intégrale de (i).

Cette équation (i) s'écrit par conséquent :

(12)

( )[ ] ( ) ( )

( ).

2222

2

2221

2212/

2

222

222

2

hxNe

dteehutposantendueedueduee

h

thx

hhux

hhhuxu

hux

−=

−====−−

∞−

−−

∞−

−−−

∞−

∞− ∫∫∫∫ ππππ

59

Page 60: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

(ii) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σµ−−

λ−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σµ+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

σµ−− −

λ

TT'bNe1S

TTbN

Sm

1STT'bNeS2 Tcr

0

/1

0

00T

0Tcr

0

En utilisant la relation (24) du texte, multipliée par , et la relation (ii), multipliée par 00T

rT me −−

rTe−− , en éliminant certains termes et en réarrangeant, l'équation (23) du texte donnant la

valeur du call « lookback » devient la relation (25) :

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−

⎥⎥

⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎞⎜⎝

⎛ +−⎟

⎞⎜⎝

⎛ += −−−

TTbNSe

TTbN

Sm

mS

TTbNme

TTbNSeCLB cTT

TT

rTcT

σµλ

σµλ

σµ

σµ

λ''

0

/1

0

0

000

000

0

0

.

VII. Options sur Prix moyen

La solution de l'EDS régissant la valeur du support S(t) de l’option sur prix moyen s'écrit,

pour t ≥ T1 :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 11

2

1 2exp TWtWTtbTStS σσ .

L'on obtient alors, en utilisant Ln S(t) :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫ dtTWtW

TTTTbTSTTM

T

T 11

1

2

11122

1exp, σσ

Or, la variable aléatoire a une distribution conditionnelle en T( ) ( )( dtTWtWT

T 11

−∫ ) 1 normale

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − 2

131;0 TTN .

En effet, et (intégration

par parties) =

( ) ( )( )1111

TTTWdtTWT

T−−=− ∫ ( ) ( ) ( )[ ]T

T

T

T

T

TttWttdWdttW

111

+−= ∫∫

( ) ( ) ( ).111

TWTTTWtWtdT

T−+− ∫

D'où ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .111

11 tdWtTTTWTTWttdWdtTWtWT

T

T

T

T

T−=−+−=− ∫∫∫ ( )

Cette intégrale de Wiener a une distribution normale d'espérance nulle. De plus, sa variance

est égale à ( ) ( ) .31 3

12

1

TTdttTT

T−=−∫

Comme ( ) ( ) ( ) ( )TTMTWTbSTS ,,2

exp0 111

2

1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−= σσ se réécrit :

60

Page 61: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫ dtTWtW

TTTWTTbSTTM

T

T 11

11

2

1122

1exp0, σσσ .

Du fait de l'indépendance des accroissements du brownien, les deux derniers termes dans

l'exponentielle sont indépendants. Leur somme est donc une gaussienne d'espérance nulle et

de variance ( )( ) .

32

312

31

21

2

12 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

+TTTT

TTT σσσ

Nous pouvons donc écrire, avec z distribué comme N(0,1) :

(i) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−= z

32

221exp0, 1

1

2

1TTTTbSTTM σσ

Par ailleurs, pour se ramener à BSM, il faut avoir la forme suivante pour M(T1,T) :

(ii) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑

∑ zTTbZTTM2

exp0,2

1

En identifiant les paramètres de diffusion, puis les drifts, des équations (i) et (ii), l'on obtient :

∑ =+

TTT

312

σ et ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−−

−=122

exp00 121 TTTTbSZ σ .

Le payoff en T du call sur prix moyen étant [M(T1,T)−K]+, sa valeur en t = 0 est par

conséquent, par application directe de BSM, on obtient la relation (27) du texte.

Une démonstration analogue conduit à la valeur du put sur prix moyen (relation (28)).

VIII. Options sur Strike moyen

Soit à évaluer, pour T1 ≥ 0, le call d'échéance T payant : Max [0, S(T) – M(T1, T)]. Sous la

probabilité risque-neutre Q, on a par conséquent, en t = 0 :

( ) ( ) ( )[ ][ ] ( ) ( ) ( )[ ][ ]+−−+− −−=−−= TSTTMTSEeTTMTSEeCSM rTrT 111 10 QQ

On transforme, comme d'habitude, l'espérance du produit en produit d'espérance par un

changement de probabilité. Soit QS la mesure définie par :

61

Page 62: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

( )( ) ⎥

⎤⎢⎣

⎡+−=≡ TbT

S WTeS

TSdQdQ σσ

2exp1.

0

2

La valeur de CSM (0) devient alors :

( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ]+−− −= TSTTMESeCSMS

cT 11,10.0 Q

On remarque que la mesure QS est associée au nouveau numéraire que constitue le prix du

TSJ lui-même.

Le problème revient donc à calculer, sous QS, l'espérance de M (T1,T) S-1(T). Or l'on a :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫

T

TdtTWtW

TTTWTTbSTTM

11

111

2

1 221exp0, σσσ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∫ dtTWtW

TTTWTTbS

T

T

SSS

11

111

2

221exp0 σσσ ) du fait que, de par

le théorème de Girsanov, on a : ( ) ( ) .ttWtW S σ+=

Puisque

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−= TWTbSTWTbSTS Sσσσσ

2exp0

2exp0

22

, on obtient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+−+−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∫− T

T

SSSS dtTWtWTT

TWTWTTbTSTTM1

11

11

21

1 221exp, σσσσ

( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∫

T

T

SS dttWTT

TWTTb11

1

2

221exp σσσ .

Or, conditionnellement à ℱT1, la variable aléatoire ( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+− ∫

T

T

SS dttWTT

TW11

σσ est,

sous la probabilité QS, une gaussienne ( ) .3

,0 1

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− TTN σ

En effet, en définissant ( ) ( )1TTtTtf

−−

+−≡σσ , on montre facilement que cette variable

aléatoire s’écrit : . L'espérance de cette intégrale de Wiener, qui est une

gaussienne, est nulle. Sa variance est égale à :

( ) ( )∫T

T

S tWdtf1

62

Page 63: Ch 20 Exotiques (1)

© Roland Portait et Patrice Poncet

( ) ( ) ( )( )∫ ∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−−

+−−

−=T

T

T

T

TTdtTTtT

TTtTdttf

1 1

.3

21 122

1

2

1

22 σσ

Nous obtenons ainsi :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∫− T

T

S tdWtfTTbTSTTM1

1

21

1 221exp, σ .

Définissons :

TTT

3' 1−≡Σ σ et ( ) ( ) .'²

21

21exp0' 1 ⎥

⎤⎢⎣

⎡Σ+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +≡ TTTbZ σ

L'on a alors :

( ) ( ) ( ) .''²21exp0', 1

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Σ+Σ−=− zTTZTSTTM

La valeur du call sur strike moyen géométrique est donc égale à :

(A-6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]'2

'1 0'0.0 dNZdNSeCSM cT −= −

où ( )( )

T

TZLnd

'

²'210'/1

'1 Σ

Σ+= et Tdd ''

1'2 Σ−=

et Z'(0) et ∑ ' sont définis comme plus haut.

De la même façon, par application de la parité call-put, la valeur du put sur strike moyen

géométrique est égale à :

(A-7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]'1

'20'0.0 dNdNZSePSM cT −−−= − .

63