CH01

ZORKANI Mohammed Dpartement dHydraulique

E.H.T.P.Equations des ondes en bidimensionnelle et caractristiques des houles :ondes de surface

1

Chapitre 1Equations des ondes en bidimensionnelle

Caractristiques des Houles1) Introduction : Il existe dans la nature plusieurs types donde marine : les ondes duesau vent, ondes (vagues) engendres par un navire, tsunamis [ondesengendres par un tremblement de terre :secousse tellurique] et lamare que le gnie maritime doit connatre.

Non de londe Intervalle de priode (sec) Capillarit Ultragravit Gravit Infragravit Priode longue Transtidal

de 0 0,1de 0,1 1de 1 30de 30 300de 300 86400de 86400

Le spectre des ondes dues au vent stendent jusqu 30s. Au del,les infra vagues sont dues des interactions non linaires entrevagues de vent de priodes beaucoup plus courtes. Des seiches dues des variations de la pression atmosphrique qui provoquent desoscillations stationnaires libres de priode allant de 30s 5 mn [le lac deGenve a des seiche de 63mn (uninodale) et 36mn (binodale)&dAmplitude ~50cm].Les ondes marines sont donc complexes car dans un train donde lespectre possde des composantes de diffrent dphasage dont lespriodes et les amplitudes obissent une loi de distribution alatoire,on recourt pour dpasser cette difficult aux approches statistiquesdepuis 1945. Dans ce chapitre on va dvelopper une thoriemonochromatique : priode constante et amplitude uniforme enprofondeur constante. On rencontre dans la littrature plusieurs

2S2Mre

vi

na

relativenergie

1,0 1 10210 310 410 510 secenT

soleiletlunemare

s30 mn5 h12 h24

scapillaire

ondes

mn50

tsunamis

MunkselonondesdesnertiqueSpctre

e

l

u

o

h ngravitatiosismiqueactivitbeat

surf

seiches,ressac,surfacedebattement

vents

temptes

estranstidal

vagues

Vent

tempte



2

thories, la plus simple et la plus utilise est celle faible amplitude[thorie linaire des ondes] propose par Airy en 1845 [Thorie dAiry]. 2) Thorie linaire des ondes : faible amplitude (infinitsimales)La thorie bidimensionnelle des ondes de gravit priodiques a faibleamplitude libre [pas en engendrement par le vent] est bas sur lalinarisation des conditions limites la surface libre et sur le fond ; onadmet que lcoulement est irrotationnel : lcoulement est donc potentielle de vitesse. Les hypothses sont :

Fluide homogne, incompressible Leffet de la tension superficielle ngligeable [longueur donde

grande devant 3cm].Coriolis ngligeable: 1fT ( )tu

u2 rrv

Ecoulement irrotationnel : pas de contraintes qui sexercent surla surface libre (pas de vent ) : on dit onde libre et pas defrottement sur le fond (fluide parfait) : le fluide glisse librementsur le fond et toutes autres surfaces solides.

Il existe alors un potentiel de vitesse : ( )t,z,xgradv = r selon lquationde continuit ( 0vdiv =r ) ce potentiel vrifie : 0

zx 22

2

2=

+ (1 1)

Le fond est horizontal fixe(pas de transport de sdiment), impermable. La pression atmosphrique qui sexerce sur la surface libre est

constante donc pas de vent : la surface se dforme librement. Lamplitude de londe est petite vis vis de la longueur donde

et de la profondeur deau. Puisque les vitesses des particulesfluides sont proportionnelles lamplitude alors que la clrit(vitesse de phase) de londe varie avec la profondeur ; cettecondition se traduit par les particules fluides ont une vitessefaible compares la clrit. Ce qui signifie que cette thorienest applicable que dans les eaux suffisamment profondes oon a cu car vers les eaux peu profondes on a c~u estlonde dferle [breaking wave].

La position dune particule fluide dans le plan du mouvement est represur son orbite par :

zd)z(d +=

z

gr

xH

( )t,x

h

hz =

L

c



3

orbite'ldecentreauntrelativemeentverticalem:ementhorizontal:

Par dfinition la clrit est de londe donne par :

kTLc == (1 2) o

)m(onde'dlongueurla:L)s(priodela:T

Supposons que le profil en surface est donn par :

( ) ( )txkcos2H

Tt

Lx2cos

2Ht,x =

= o

T2&

L2k == (1 3)

Au fond pas de vitesse normale [fond tant par hypothse impermable] :

0vzn

vhzhorizontalfondau

n ===

==

(1 4)

Le thorme de Bernoulli Lagrange pour un coulement non

permanent et irrotationnel est : ( ) 0t

pzgvu21 22 =

++++ (1 5)On linarise cette condition dynamique la surface libre =z o on a

tea Cpp == et en ngligeant les termes en vitesse car ils sont du second

ordre [quadratiques] ; et comme la pression atmosphrique constante

est prise comme origine des pressions alors =

=ztg

1 (1 6)

cette quation est applicable la surface libre et comme est faible parla procdure de linarisation on peut crire :

0ztg1

== (1 6/)

si la pression en surface nest pas constante on a( ) 0zpour0ett,y,xpg ztat =

==+

Voyons voir ce qui se passe si la pression atmosphrique varieharmoniquement dans le temps dans une eau profondeur constante :oscillations forces par latmosphre

On a rsoudre

( ) ( )( ) 0zent,y,xp

g1

tsinxpt,xp

LCavec0

zt

at

a

2 =

===

=

Cherchons des solutions de la forme: ( ) ( ) tsinz,xtcosz,x +=Ainsi si ( ) ( ) xsin

ke

gpz,xx:xsinpxp

z0alors

0 = +=



4

La solution gnrale est donc donne par :

tsinkxsinkxcos

Aetcoskxsinkxcos

Aexsinke

gp kzkzz0

+

+

=

On constate quil peut y avoir rsonance (amplification).On signale que si on a pris pour la pression atmosphrique une ondeprogressive : ( ) ( )xtsinpt,xp 0a = alors

( ) ( )xtcoske

gpt,z,x

z0

=

laquelle on peut ajouter nimporte quelle solution pour une pressionnulle en surface. On a rsonance si k cest dire sil existe dansle spectre atmosphrique un mode proche ce celui propagatif dans leau.Data : Note sur la technique mathmatique des perturbations Cette mthode est base sur le dveloppement en srie de Taylorautour dune position de rfrence 0 en plus de lintroduction dunparamtre de petitesse disons ; pour cela on utilise :

( ) ( ) L++

+=== 0z

2

22

0z z2zt,0y,x,t,y,x,

( )

( )( ) LL

L

L

++++

+++

=

++

=

=

==

===

0

00

00

z2

3

22

1

z

2

22

1z

z

2

0zz

zx21

zxx

zxxx

De mme pour les drives en y, z, et t :( )00 ztz2

21ztzt === +++= L

On pose :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

++++=++++=++++=

+++=

LLL

L

332210

332210

332210

33221

ppppp

ccccc D.L. en srie

Prenons par exemple la condition (1 5) ( ) 0t

pzgvu21 22 =

++++ la surface libre 0pp:z a == on a Bernoulli :



5

0xz2

1t

g2

z

2

zz=

+

+

+

=== Ainsi

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ] +++++++++

++++++++++

++++++=

LLLL

LL

LLLL

22xz

21xz

2212x

21x

2tzz

21tzz

2221

2tz

21tz

221

2t

21t

2210

2121

g0

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) =++++

++++++0O

21

21

21

g

321z

221y

221x

2

1tz

122t

21t

2210 L

( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

rordredeuxime

deConditionordrepremier

zroordre

021g

Poisson0t,0,xt,xg

0

211tz

12t

2

1t

1

0

=+++=+

=

de mme pour les autre expressions. On donnera plus bas les rsultatsdes calculs au 2imordre, 3imordre Cependant la fonction potentielle sera cyclique en fonction de la positionhorizontale x et du temps t et comme est la drive temporelle dupotentiel alors la technique de sparation des variables impose que :( ) ( )txksinzZ = (1 7)en la reportant dans (1 1) on obtient = 0Zk

zdZd 22

2

( ) zkzk BeAezZ += alors ( ) [ ] ( )txksinBeAet,z,x zkzk += vrifie lquation de Laplace. Pour dterminer les 2 constantesdintgration A et B il faut satisfaire les conditions limites(1 4) et (1 6/) :[ ] ( ) === = 0txksinBeAekzv hkhkhz hk2BeA =Alors ( ) ( ) ( ) ( )= +++ txksineeBet,z,x zhkzhkkh

( ) ( ) ( )txksinhzkchBe2t,z,x kh += (1 8)La condition (1 6/) implique que ( )

=

txkcos2H

tg1

0z



6

chkh2HgeB2 kh = Finalement on obtient pour une onde progressive :

( ) ( ) ( )txksinkhch

hzkch2Hgt,z,x += si ( )txkcos2

H (1 9)La vitesse verticale des particules fluides appartenant la surface libre

est donne par x

uttD

Dv +

== qui en thorie linaire scrit :

tv

= or 0ztg

1

== alors

0z2

2

tg1v

== et comme

zv

=

do 0zen0z

gt2

2==

+ . En y reportant notre solution (1 9 )

on obtient la relation de dispersion : ( )khthkg2 = avec kT

Lc ==

alors L

h2th2

Lgc = ou

= Lh2th

2Tgc ou

= L

h2th2TgL

2

Comme en gnral donde se propage des eaux profondes vers les eauxpeu profondes sa longueur donde et sa clrit diminuent. Son profilesurfacique change, le profil de pression sur une verticale et le champ devitesses changent galement : Mais la priode de londe reste constante.Classification des ondes de gravit en fonction de la profondeur relative :

Si la profondeur relative est plus grande que 0,5 alors 1L

h2th

ainsi : === 2Tg

Let2

Tg2Lg

c2

00

0 , Les orbites des particules sont

circulaires dont le diamtre exponentiellement dcroissant vers le

fond et sont proches de 0 pour 5,0Lz

1

5,0L/h

)L/h2(th

15,005,0

shallow deepaltransition

n

L/h2



7

[si par exemple T = 10s et une amplitude de 2m alors c=15,6 m/s etL = 156 m et les particules en surface ont une vitesse

s/m63,0T/Hpriode/ntiellecirconfreorbite == : on a alors%4

LH

3LH

T/LT/H

cu

0

== selon la thorie de Stokes on a une

limite %1471

LH max

0

=

donc pas de dferlement ].

Si la profondeur relative est infrieure 0,05 alors L

h2L

h2th

ainsi TghLet2

Tgghc === cest la condition eau peuprofonde [shallow water] (exemple londe de mare) se sont desondes de translation [c d qui affectent uniformment la section: onde longue] et cest galement le cas de la houle proche de lacote [ pour T = 10s et H =2m on a L=44,3m et alors h/L 8,,64 104



8

Rappel : Dveloppement limit de Taylor Young

( ) ( ) { }]( )( )

++++++

++ +++++=++

pppy

ppqyqpx

qpqp

py1px

1p1p

ppx

p

//yy

2//xy

//xx

2/y

/x

Rb,afk...fkhC...fkhCfh!p

1

...b,afkfkh2fh!2

1fkfh!1

1b,afkb,haf

o ( )( ) ( ) 10aveckb,haf

yk

xh

!1p1R

1p

p ++

+

+=

+

ainsi lordre 3 on a :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 10aveckb,hafy

kx

h!3

1

b,afy

kx

h!2

1b,afy

kx

h!1

1b,afkb,haf

3

21

++

+

+

+

+

+

+=++

Remarque : effet de la tension superficielle [ et les rides ]On a tablit que dans tout le fluide en linaire que :

0t

gzp =++

+== 2

21extint R

1R1ppp Loi de Laplace

Or en =z on a selon la loi de Laplace : 22

aa xp

Rpp

== . Le

signe moins signifie que si 22

x est positif cest dire la surface libre

est concavit vers le haut on a une rduction de pression.Alors si on prend : 0tetanconspa = on peut crire en thorie linaire

=

++

=

0t

gx

p

z2

2a

+

=

= 22

0z xgtg1

La vitesse verticale des particules fluides appartenant la surface libre

est donne par x

uttD

Dv +

== qui en thorie linaire scrit :

tv

= alors

+

=

= txgtg1v 2

3

0z2

2 et comme

zv

=

2

2

x~

R1

+

+

2

2

x

x



9

alors 0zen0xzz

gt 2

3

2

2==

+

reportons notre solution :

( ) ( ) ( )txksinkhch

hzkch2Hgt,z,x += pour ( )txkcos2

H On obtient la relation de dispersion avec leffet de la tension surfacique :

( )khthkkg 32

+= la vitesse de phase est donne par

kTLc ==

Cette relation de dispersion contient 2 termes, reprsentant les 2 sortesde force de rappel agissantes sur le dplacement de la surface libre.Le premier dpend de g mais pas de qui reprsente la tendance deleau en crte revenir lquilibre sous leffet de la pesanteur (repos) ;le deuxime terme reprsente leffet de la tension qui tend aplatir cettesurface et ainsi rduire sa courbure. La tension surfacique ne prend delimportance et a un effet significatif que pour les courtes longueursdonde nommes les rides. En effet les 2 termes sont du mme ordre de

grandeur quand :

3kkg gk2

g2L

Cette valeur critique de la longueur donde est de 17mm pour leau

200C [ ]33 m/Kg10,m/N073,0 == .On peut maintenant classer les ondes : Les rides : les ondes plus courtes que la valeur critique rendent la

surface plus courbe et la tension superficielle est alors dominante :

=

=

=

=

c23k

23

kc

L2k

kck

#

##

g

21

21

3

On constate que ccg les rides (les trs courtes longueurs donde)apparaissent se propager individuellement vers larrire relativementau paquet donde.

Les ondes de gravit en eau profonde :

=

=

=

c21

kg

21

kc

2Lg

kg

kc

gk

##

##

g

21



10

Les ondes de gravit en eau peu profonde :

2222 kh311khg1kh #

2

3

h61

hg:kk

N.B. : les calculs prcdents rsultent du D. L. de la tangentehyperbolique selon le cas :

( ) ( )

+=

L53alors

alors

kh152kh

31khthkh

2khsi

1thkh1khsi

Cinmatique de londe et les pressions : sans tension superficielleOn tablit que le potentiel de vitesse (en linaire), pour une onde

progressive dont le profil de la surface libre est ( )txkcos2H , est

donn par : ( ) ( ) ( )txksinkhch

hzkch2Hg

t,z,x += on dduit alors lechamp de vitesse en thorie linaire :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

+

==

+

==

txksinkhsh

hzkshTH

yt,z,xv

txkcoskhsh

hzkchTH

xt,z,xu

On observe que la vitesse rsulte de 3 termes :

Une vitesse surfacique des particules fluides TH . Proche du fond hz = la vitesse maximaleen thorie linaire hors de la couche limite est donne par

khshTHu0

= alors que lexcursion maximale des particules

fluides proche du fond est donne par khsh2

H2HA == .

Un terme hyperbolique dfinissant la dcroissance de lavitesse en fonction de la profondeur relative.

Un terme de phase en fonction de la position x et du temps t.Calculons maintenant les acclrations en thorie linaire :

( ) ( )txksinkhsh

hzkchT

H2tu

yuv

xuu

tua 2

2

x

+

=

+

+=

( ) ( )txkcoskhsh

hzkshT

H2tv

yvv

xvu

tva 2

2

y

+

=

+

+=



11

N. B. : On observe quentre lacclration et la vitesse existe undphasage : ( ) ( ) 0yx 90v,u/a,a = . Le mouvement des particules fluidesautour de leur position au repos, cest position moyenne, se calcule par :

( ) ( )( ) ( )

+

=

=

+

=

=

txkcoskhsh

hzkshT

H2ttD

Dv

txksinkhsh

hzkchT

H2ttD

Du

2

2

2

2

( ) ( )( ) ( )txkcoskhsh

hzksh2Hvdt

txksinkhsh

hzkch2Hudt

+==

+==

Lorbite des particules fluides est donne par : 1ba 2

2

2

2=+

o on a pos : ( ) ( )

+=

+=khsh

hzksh2Hbet

khshhzkch

2Ha

Ce sont donc des ellipses. On constate que 2H est le rayon des orbites

des particules en surface en eau profonde. Quand londe des eauxprofondes vers les eaux peu profondes [en passant par les eauxintermdiaires] les orbites subissent les transformations suivantes :

Eau profonde : ( ) ( )

+

+ zquandekhsh

hzkshkhsh

hzkch kz

Eau peu profonde : ( ) ( )

+

+

+hz1

khshhzkshet

kh1

khshhzkch

Calculons les vitesses en eau peu profonde :

( ) ( ) ( ) ( )txksinhz1

THt,z,xv&txkcos

hg

2Ht,z,xu

+==

On peut galement dterminer les dplacements comme avant.

profondeurfaibleeau

H5,0

M 2

L

profondeeau

kze



12

Reportons notre solution dans le thorme de Bernoulli Lagrangeon obtient alors le profil de pression :( ) ( )tkxcos

khchzhkch

2gHgzp ++=

pression statique pression dynamique due lacclration verticale (rgime non permanent)

Surpressions et sous pressions sont donc

khch2gH

fondlesurpet2H

gsurfaceenp hz2

Hz

==== ==4 ) Energie de londe et Puissance : Lnergie cintique par unit de largueur et pour une longueur donde est

( ) += L0 0h 22c vudxdz21E 16 LgHE2

c=

Si nous retranchons lnergie potentielle dune masse au repos delnergie potentielle totale du volume ondul (c d avec surfacedforme) {voir figure} on obtient lnergie potentielle due seulement londe en propagation ; ainsi lnergie potentielle par unit de largueur et

pour une longueur donde est : ( )

+ += 2hgLdx

2hhgE L0p

.L.W.S

gz

( )chkh2

zhgHchk +

dx

u

vdz

h

L

z x

16LgHE

2

p=



13

On constate quipartition dnergie : c2

p E16LgHE == . Lnergie totale

est donc : ( )eurarglde mtre/Jouleunit2pc 8LHgEEE =+=

Prenons, par exemple, une onde qui se propage travers dunestructure poreuse et supposons que la profondeur est la mme des 2cots de louvrage alors on aura la mme longueur donde de chaque

cot car

= L

h2th2gTL

2; par consquent on aura une rduction en

amplitude car la structure induit la rflexion dune partie de lnergieincidente et une autre partie dissipe dans louvrage poreux : daprs leprincipe de conservation dnergie on a :

dissipe

2T

2R

2E

8LHg

8LHg

8LHgE ++==

8

LHg8

LHg8

LHgE2T

2R

2

dissipe=

=

2

2T

2

2R

2

dissipe HH

HH1

8LHgE

or par dfinition les coefficients de rflexion et de transmission (dont lecarr sont les facteurs associs) sont respectivement :

=

HH

HH

HHR RRR et

=

HH

HH

HHT TTT

alors [ ]22dissipe TR1EE = o 8 LHgE 2=On dfinit le coefficient dabsorption par : 22 TR1A = de sorteque 2dissipe AEE = il en rsulte lgalit : 1ATR 222 =++Une rduction de ~50% de lnergie correspond une rduction delamplitude de ~71% car 2HE . On peut facilement atteindre le



14

coefficient de rflexion R et de transmission T exprimentalement et onen dduit par consquent le coefficient dabsorption A de louvrage .Lnergie tant variable dun point un autre sur une longueur donde onparle alors de lnergie moyenne par unit de surface :

( )ehorizontalsurface/Joule8Hg

LEE

LEE unit

2pc =+==

qui reprsente la densit dnergie ou lnergie spcifique.N.B. : rflexion donde par un absorbeur donde vertical

Par Madsen [J. WaterWays3(74) et Coastal Engineering7(83) ]

Lquation qui gouverne lcoulement hors de la structure poreuse est :

0kgh

2xx

2

xx =+=+ et ( ) hgigt,xU x == m

Les quations qui gouvernent lcoulement dans labsorbeur sont :

( ) mouvementdequantitladeonconservatimasseladeonconservati

0UUgUn1

0hUn

xt

xt

=+++=+

o et tiennent compte respectivement de la perte par frottement enrgime laminaire et turbulent et n la porosit de la structure. On pose :

( ) Un

fUU + linarisation du frottement (approximation)On cherche des solutions priodiques de frquence de la forme :

( )[ ]tiexRe = et ( )[ ]tiexvReU =En les reportant dans les quations du mouvement et en liminant U on

obtient : ( ) 0if1gh

2

xx =+ et xif1gnv +=

La solution gnrale, donne par Madsen et White (1976) pour uncoulement dans une structure poreuse, est :

h

tara

x w

ia

gravats

demonticule



15

( )( ) wx0:e

hgeaeaReU

wx0:eeaeaRe

tixixi

tixixi

21

21

=

+=

o

==

if1gh

if1n

A lextrieur de la structure poreuse SWW quations donnent :( ) ( )

( ) ( ) 0x:eaeahgReU

0x:eaeaRe

kxtikxti

kxtikxti

ri

ri

=

+=

+

+

o gh

k =

ri a&a sont les amplitudes de londe incidente et londe rflchie.Nos inconnues sont les amplitudes complexes r21 a&a,a . Elles peuventtre dtermines par application des conditions aux limites : au niveaude la face frontale de labsorbeur et sur le mur vertical en arrire.Lamplitude 2a peut tre limine en utilisant le faite que la vitesse est

nulle au mur ( )wx = alors : xi2eaa 12 =Les amplitudes r1 a&a sont dtermines en admettant la continuit de lapression (donc de llvation de la surface libre) et la continuit de lamasse ( donc de la vitesse) la face frontale de labsorbeur ( )0x = onobtient ainsi :

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ikw2ikw2

ikw2

ikw2

e11e11

aa

e1aaa

e1aaa

i

r

tri

rri

+++++=

=+=+

Le coefficient de rflexion est donn par : ( )kw,n,fRaaR

i

r ==

Pour un absorbeur long on a : += 1

1aaLimite

i

rkw

et pas doscillation de R.

R

kw1 2 3

5,0

1

6

5,0~n

95,0~n

10~f



16

On note que labsorbeur amortie fortement les ondes tel que kw estgrand c d les courtes longueurs donde. Un absorbeur de fortepermabilit n amortie mieux les ondes : faible rflexion. Notons quepour un court absorbeur la rflexion est presque totale.La vitesse dcoulement dans labsorbeur est obtenue en dterminant tapar le systme et en reportant dans la solution gnrale ; soit :

( )( ) ( ) wx0:ee11

ee2Re

hgaU tixi2

w2xixi

i

++

=

La dtermination des coefficients de frottement peut se faire par les

formules empiriques dEngelund : ( ) 223

0 dnn1 = & ( )

dnn1

30=

o d la taille des grains, la viscosit cinmatique et 00 & sont desconstantes qui tiennent de la forme des particules 8,2~&1000~ 00 et qui augmentent avec lirrgularit des particules :

plusou6,38,1~&plusou1500780~ 00 La puissance de londe est lnergie de londe par unit de temps sepropageant dans la direction de londe. Cette puissance peut scrirecomme le produit de la force agissante sur un plan vertical normal ladirection de propagation par la vitesse des particules fluides traversant

ce plan. On a donc : ( ) udtdzgzpT1P T0

0

h +=

selon BernoulliLagrange

( ) ( )dxdydzpdxdydzgz21E

Dt

D

2z

2y

2x +=

+++

do on a le flux dnergie cest dire la puissance or Dbouge appliquons le thorme de transport de Reynolds :

( )( )

( )

( )( )

( ) + = +

=

+ ++==

dsvp

dsvpdxdydzgradgrad

dsvpdxdydzDtDEP

ntnt

nttD

t

nttD

ztzytyxtx

( )[ ]dspvvFDtDEP

Snnnt ===

On signale quon a utilis la formule de Green pour effectuer le calcul

( ) ( ) 0dsnd 2t

nouspour

S

2 avec

=+ rrrr



17

Appliquons cela notre cas: 0vn = (la surface gomtrique S est fixe)alors ( ) ( )

== +=== dxdzdS

t,z,xugzp,dS

dtdEP ntnt

Notons que la force mise en jeu est celle dynamique ]gzp[ + ; eneffectuant le calcul alors :

+=

+=hk2sh

hk2121

TE

hk2shhk21

T16LgHP

2

Posons :

+=hk2sh

hk2121n on a alors

TEnP =

avec ( )eurarglde mtre/Joule8

LHgEEE2

pc=+=

Quand une onde se propage des eaux profondes [du large] vers leseaux peu profondes [la cte] : lnergie par unit de temps (la puissance)en un point le long de son chemin de propagation doit tre gale celle

en un autre point plus loin augmente de lnergie rflchie et de celledissipe par unit de temps entre ces 2 points. Si on nglige la rflexionet la dissipation on peut alors crire : tetanConsP = ; donc quand londese propage du large vers la cote son nergie E dcrot inversementproportionnel n car la priode T reste constante.Maintenant construisons les orthogonales aux lignes de crte, lapuissance contenue entre 2 orthogonales conscutives doit treconstante si on nglige bien entendu la dissipation et la rflexion, ondsignera par B leur espacement : T (la priode) est constanteOn dfinit ainsi les coefficients suivant :

breaking

B

plage

1

2

11

22

2

1

te

21

BB

LnLn

HH

: obtient on E reportant y en od'

CTEnB

TEnB

=

=

=

1

2

earglLe

ecotte

21C

TEn

TEnP =

=

=



18

( )[ ]

1

2R

11

22S

BBK

LnLnK

refractiondetcoefficien

gonflementprofondeurShoalingdetcoefficien

==

==: RS

2

1 KKHH =

Si pas de rfraction alors 1KR = cest le cas o les lignes de crtes sontparallles aux linges bathymetriques dgale profondeur.Si on veut tenir compte des pertes par : infiltration, frottement oudferlement il faut crire : FRS

121 KKKHH = .

Vitesse de groupe :

Quand les ondes du train donde se propagent le long dun canal houleles ondes au devant du groupe diminuent en amplitude et de nouveauxondes apparaissent en arrire, de ce fait le nombre donde augmente. Ce qui signifie que le groupe se propage plus lentement que lescomposantes individuelles du paquet.Lexplication de ce phnomne se trouve dans la faon dont une ondese propage et que seulement une fraction (n) de son nergie qui setransport avec. Chaque onde laisse de lnergie derrire elle,relativement au groupe, une nouvelle onde apparat chaque T secondeset gagne progressivement de lnergie dans le temps. Comme lnergiedans le groupe doit rester constante [en ngligeant la rflexion et ladissipation] lamplitude moyenne du groupe (enveloppe) doit continuer diminuer car le nombre donde augmente avec le temps.Une consquence et une application pratique de la notion de vitesse degroupe [ moins quon ne sintresse chaque onde caractrise par saclrit] est de prvoir le temps larriv du paquet donde en un pointdonn en utilisant la vitesse du groupe. Pour dterminer la vitesse dugroupe prenons le cas de 2 ondes monochromatiques de priode

diffrentes (voir figure) : pour parcourir dL , il faut dt avec dcdLdt = ,

pendant dt le train donde avance de dx :

ondes2des

additionSWL

( )L,c

groupeun:ondes'dtrain

gcdLL

dcc

++

)dLL,dcc( ++x



19

( ) ( ) Lcdt2

LdLLdt2

cdccdx ++

++= car 0g xtcx = alors

=

===

dcdLdt

dtLc

dtLcdt

dtdxcg

dLdcLccg =

On observe que cest du fait que c est variable avec L que le paquetdonde possde une clrit de groupe diffrente de la vitesse de phasede chacune des composantes.

On obtient alors cnhk2sh

hk212ccg =

+= avec

+=

hk2shhk21

21n :

1n5,0 avec profondepeueauen1n

profondeeauen5,0n==

Ainsi lnergie du groupe se propage vitesse du groupe.Autre mthode : notion de vitesse de groupe On peut comprendre plus clairement cette notion de vitesse de groupeen superposant deux ondes monochromatiques de mme amplitudemais de frquence trs voisine ( )k, et ( )kk, ++ :

[ ] ( ) ( )[ ]txkksinatkxsina +++=

k4

k212

k2~

kk2:fixet

t21xk

21cost

21xk

21ksina2

=

+

+

+=bb

Ainsi lenveloppe [lamplitude du groupe] se propage avec la clrit :

=

kkitelim

0k soit

k

cg

Soit LcLc

kL

Lckc

kckc

kkc

kcg

=

+=

+==

=cest ce rsultat quon a tablit prcdemment.On peut retrouver ce rsultat par une approche plus lgante encalculons le flux dnergie F pendant un temps T qui traverse unesurface S fixe dans lespace :

tdsdn

FTt

t S

nt

= +



20

En supposant que le mouvement est la superposition de 2 ondesharmoniques dans le temps, soit :( ) ( ) ( ) tsinz,y,xtcosz,y,xt,z,y,x 21 +=introduisons cette solution dans lexpression du flux dnergie qui

traverse S avec T2= (T tant la priode doscillation) on obtient :

sdnn

FS

21

12

=ainsi le flux dnergie est nul si le mouvement est stationnaire : ce quinest pas surprenons car le transfert dnergie naura lieu que si lemouvement est progressif.Maintenant si 21 et sont harmonique et si la surface S est ferme fixedans le fluide qui enveloppe un domaine D, la formule de Green nousdonne :

( ) = = D 122122S 2112 dxdydzsdnnFSi 21 et nont pas de singularits dans D (sources o puits) alors leflux dnergie est nul car 21 et sont harmoniques. Calculons dans lecas dune onde progressive la vitesse avec laquelle le plus dnergie sepropage ; prenons alors ( ) ( )+++= tkxcoshzAchk alors :

( )( ) ( ) + += = +

+2t

t

20~h

22Tt

t S

nt dttkxsindzhzkchkAtdsdn

F

ainsi le flux dnergie moyen par unit de temps est :

+==hk2hk2sh1

4khA

TFF

2

.av

comme on a k

cetthkhgk2 == alors g222

.av c.khchg2A

TFF ==

o gc a les dimensions dune vitesse donne par :

+=hk2sh

hk21c21cg

Calculons maintenant lnergie moyenne stocke dans leau due aumouvement ondulatoire par rapport la direction de propagation. Nousavons vu que lnergie stocke dans D est donne par :

( ) dxdydzgz21E

D

2z

2y

2x

+++

Calculons cette nergie pour une largeur unit sur une longueur donde nimporte quel instant :



21

( ) ( )( ) ( )

++++

++++=

hL0

222

hL0

22220

dxdzgz

dxdztxksinhzkchA21

txkcoshzkshA21kEE

o 0E est lnergie potentielle de leau de profondeur h quand elle est aurepos. En ngligeant les termes dordre lev en amplitude, nousobtenons ainsi lnergie due uniquement la propagation dondeprogressive entre 2 plans distants dune longueur donde L :

khLchg2

AEE 222

0 =ainsi lnergie moyenne .avE dans le fluide par unit de longueur dans ladirection de propagation x qui rsulte du mouvement ondulatoire de leau

est donne par : khchg2

AE 222

av =Nous constatons alors que :

=npropagatiodedirectionladanstempsdeunitparmoyennenergieE

verticalplanuntraverstempsdeunitparnergie'dfluxF

cEFav

av

avecgavav

Ainsi sous lhypothse que pas dnergie cre ou dtruite dans le fluide,celle ci est transmise dans la direction de propagation de londe lavitesse de groupe gc . Relation de dispersion des ondes linterface de 2 couches dun

fluide de masse volumique diffrente : ondes internes

On cherche des solutions pour les 2 couches de fluide sous la forme :( ) ( )txkcoshzchkA += ( ) ( )txkcoshzchkB // =

// eth

ethx

airz

/



22

Au niveau de linterface entre les 2 fluides la pression [dynamique] et lavitesse doivent tre continues; il en rsulte daprs la continuit de lapression que :

+=

+t

gt

g/

// ( )

=ttg

1 ///

( )

=

2

2

2

/2/

/ ttg

1t

Alors que la continuit de la vitesse est :

zz

/

=

mais comme par dfinition ttD

Dz

v =

= on obtient :

( ) 222 /2// ttzg =En y reportant nos 2 solutions on obtient un systme en A et B, qui a unesolution non triviale quand son dterminant est nul alors on a :( ) ( )

//

/22

//

/2

khcothkhcothkg

kc

khcothkhcothkg

+=

=+

=Note : si nous avons tenu compte de la capillarit pour les ondesinternes courtes on aura comme relation de dispersion :( ) ( )

//

/22

//

3/2

khcothkhcothkkg

kg

kc

khcothkhcothkgk

++=

=+

+=N.B. :

Si 1khet1kh / cest dire en eau profonde on a alors :

/

/2 kg +

= //

2

kgc +

=

tout se passe comme si le fluide suprieur rduit g //

/ gg += car

pour un fluide homogne on a kgc2 = en eau profonde.

On remarque que si / c d que le fluide suprieur a unedensit plus grande devient imaginaire : il y a donc instabilit. Si 1khet1kh / cest dire en eau peu profonde on a alors :

( )hhhkgk //

//22

+=



23

Si 1khet1kh / on a alors : =

//22 hgk

Pour ce qui est de ltude dynamique et cinmatique des ondes internesvoir le chapitre sur locanographie physique.5) Transport de masse et projection deau sur le rivage (wave setup):La thorie de faible amplitude (linaire) prvoit pour les particules fluidesdes trajectoires fermes, ainsi il en rsulte quil ny a pas de transport demasse. Cependant dans la ralit et surtout en eau peu profonde onobserve un transport de masse qui rsulte du fait que les trajectoires desparticules fluides ne sont pas fermes donc les particules avancependant le parcourt de chaque orbite : la vitesse de transport augmentequand la profondeur relative diminue. La vitesse de transport massiqueest plus faible que la vitesse des particules mais significative pour induireune remonte deau le long du rivage et contribuer par consquencelargement au transport des sdiments vers large proche du fond (par lecourant de retour) aprs leur mise en suspension par la turbulence car ledferlement projette deau vers la cte dans une couche de surface et

comme on a conservation de la masse il en rsulte un courant de retour.En se basant sur des tudes exprimentales en laboratoire Saville(1961) pour des ondes dferlantes sur une plage a tablit une quationdonnant la remonte deau sur le plage (wave setup at the shore) wwSqui a t propose ultrieurement (1973) par U. S. Army CoastalEngineering Research Center. Si bH est lamplitude au dferlementdans la zone du ressac (cest un retour violant des vagues)(surf zone) :

b2b

ww HgTH82,2119,0S

=

Pratiquement londe se projette en moyenne sur 15% de bH .On prsentera une modlisation mathmatique de ce genre de problmepour dterminer la descente (wave setdown) et la remonte deau (wavesetup) sur un rivage et la courantologie (transport de masse induit par lahoule : circulation ctire lchelle de la houle), ce qui permettra unemeilleur reprsentation de la courantologie marine et une bonnemodlisation du transport de sdiments et une tude de la dynamique de

wwS

SWLbH

vertical

retourdecourant

( )zone Washlavagedezone



24

la gomorphologie des cotes sableuses . A ce niveau on tient signalerque les effets non linaires sont responsables de lexcitationdharmoniques (de faibles priodes) qui modulent le profil de la surfacelibre ainsi que le champ de vitesse qui en rsulte auquel sajoute larflexion induite au moins par la pente du fond : ce qui moduleglobalement la morphologie et installe une barre sous marine quiconstitue une protection naturelle de la cote (il se peut quil sexcitegalement des ondes de coin \\ adge waves // dont lamplitude dcrotexponentiellement vers le large : ce qui modifie galement lacourantologie du littoral.Des ondes dincidence normale la cte qui sont fortement rflchiespar la ligne du rivage sont instables la perturbation induite due auxondes de coin. Ces ondes de coin extraient leur nergie de londeincidente par le billet dinteractions non linaires (Galvin 1965,Guzaet Inman 1975) le potentiel de vitesse de cette onde subharmonique est :

( )

=

=+=tgkg

2:avectsinykcosxkeAg

e2e

eee

e

ee

Les valeurs successives duprushes donnent une valeur approximative

de lamplitude :

tg2

RRA 12

o 21 RetR sont les intrusions (horizontales) successives et maximalesde londe incidente sur le rivage (voir complment vers la fin de ce chapitre).

6) Rflexion donde : ClapotisQuand une onde rencontre un changement dans les conditions limites(comme un changement de profondeur deau, une convergence ou unedivergence dans un canal houle, un obstacle submerg ou flottant lasurface libre, un mur verticale ou en talus ) il en rsulte une rflexionpartielle ou totale de lnergie incidente.On superpose 2 houles sinusodales progressives de mmecaractristiques mais qui se propagent en sens inverse, on obtient leClapotis qui est une onde stationnaire. Prenons le cas obstaclevertical inlastique et lisse (pas de frottement) : londe incidente seraalors compltement rflchie cest dire lamplitude rflchie estgale celle incidente : la superposition de ces 2 ondes donne une ondepurement stationnaire avec bien entendu des nuds parfaits et des

xy



25

ventres maximaux. On dmontre quaux nuds lenveloppe a ( ) HR1et aux ventres ( ) + HR1 o

==

HH

EER RR est le coefficient de rflexion.

Les orbites en rflexion totale sont aplaties avec un retour sur la mmetrajectoire courbe. Les trajectoires sont verticales sous les ventres ethorizontales sous les nuds. Londulation de la surface libre rsulte dela superposition des 2 ondes incidente et rflchie (on a le droit dutiliserle thorme de superposition car on tudie les ondes linaires) :

( ) ( ) ( ) tcosxkcosHtxkcos2Htxkcos

2Ht,x =++=

Lamplitude de londe stationnaire est le double de celle incidente : H2 .On verra que ceci se traduit par une surpression sur louvrage:

cest pour cela quon construit plus des ouvrages qui ont un faiblecoefficient de rflexion (en talus) et qui dissipent mieux lnergieincidente (poreux : utilisation des blocs pour revtir la carapace avecdistribution approprie cet effet ).

( ) + HR1Aventre ( ) HR1Anud

1HH

Restationair entpartiellemonde R:surfaceladeEnveloppe =

1HHR:surfaceladeEnveloppe Rpureestationaironde ==

ventre nud

x

z



26

Remarque : Formule de Healy technique exprimentale La mesure par une sonde linaire cest dire dont la rponse estproportionnelle loscillation de la surface libre nous permet dedterminer exprimentalement le coefficient de rflexion R car :( )

( ) ( ) TOS1TOS1

RR1R1

waveStationaryOfTaux.S.O.THR1A

HR1A

nud

ventre

+=

+==+=

La mesure de TOS (en dterminant lenveloppe de londe) permet doncde dterminer le coefficient de rflexion de lobstacle : Formule de HealyDe manire similaire on dtermine le potentiel de vitesse de londersultante par la superposition du potentiel incident et rflchie :

( ) ( ) ( ) ( )tsinxkcoskhch

hzkchHgt,z,x += si ( ) ( )

==

txkcos2H

t,x

1R

La fonction de courant est : ( ) ( ) ( ) ( )tsinxksinkhch

hzkshHgt,z,x +=

En dduit alors de lquation linarise de pression que :( ) ( ) ( )tcosxkcoskhch

zhkhchgHgzp ++= pression statique pression dynamique due lacclration verticale (rgime non permanent)On peut ainsi dterminer le profil de pression au mur parfaitementrflchissant 1R = (qui est un ventre en 0x = ). Dans la raliser du faiteque le mur est rugueux on a une dissipation dnergie (mme faible) quidonne un coefficient de rflexion plus petit que 1 : lamplitude de londerflchie est lgrement infrieure celle incidente.Connaissant le potentiel de vitesse 2D on peut en dduire le champ des

vitesses par : kz

ix

gradvrrr

+

==

Clapotis gaufre :Une houle se propageant dans une direction faisant un angle ( )+avec Ox sur un mur est : ( )[ ]++= sinycosxktcos

2H

1

une rflexion sur la paroi Oy provoque une houle se propageant dans la

direction , soit : ( )[ ]= sinycosxktcos2H

2

x

y

incidente

rflchie



27

Leur somme est ( ) ( )+=+= cosxkcossinyktcosH21Il y a donc des maxima et des annulations damplitude sur des parallles

Oy : = ncosxk et ( )2

1n2cosxk += respectivement. Il y a uneligne de nuds et de ventres mais il ny a pas simultanment unmaximum ou une annulation ; ceux ci se propage paralllement Oy

la clrit sinc (vers Oy ngatif si est positif).

Rflexion normale sur un talus :

Pour les houles de faible cambrure, il est constat que la rflexion tait

peu prs totale pour 41

Lb . Quand la pente du talus devient plus faible, il

se produit un dferlement qui dissipe une part apprciable de lnergieincidente et lnergie rflchie est proportionnelle au carr de lamplitude

est voisin de 0,1 quand 21

Lb = alors que lorsque

43

Lb = lnergie rflchie

nest que de 0,04 0,05 celle incidente.Pour les houles de cambrure plus grande, lnergie de londe rflchieest sensiblement plus faible que celle des houles de cambrure plus faiblecar les houles de forte cambrure dferle plus facilement.LIngnieur espagnol Iribarren propose une formule qui donne la penteminimale de lobstacle rflchissant une houle de priode T. Pour desvaleurs plus faibles la houle dferle :

g2H

T2= Iribarren

La cambrure limite que peut avoir la houle sans dferle sur la pente est

=

2

max

sin2LH M. Miche

ainsi plus une houle est longue plus elle se rflchie facilement sur unepente donne : En particulier londe de marre se rflchie sur tous lesrivages, mme ceux pente trs douce. Ces rsultats sont pour un fondlisse et monolithique :la rflexion change avec la rugosit et la porosit du fond et de la pente :

b

h



28

====

=

artificieltenrochemen5,0K

remblai6,0K

rugueuxbton9,0K

platbton,asphalte1K

radiansenosin

HL2

KR:LH

LH

si2

2

b

b

b

b

7) Le dferlement des ondes :Nous avons vue que les particules fluides appartenants la crte duneonde ont une vitesse plus faible que la clrit de londe.Comme en eau profonde la vitesse des particules en surface est

proportionnelle lamplitude de londe THu0

donc une augmentationde lamplitude correspond laugmentation de la vitesse de ces

particules qui tendent vers la clrit de londe = 2Tgc0 ainsi dans cette

limite donde ==

0

2

2

2

2

0

L

2

gT~H1

gT

H2cu %8,311~

LH

0

=

devientinstable et dferle. Miche en 1944 avait dtermin les conditions audferlement sur fond horizontal, il propose :

( ) 36,0Lh11,0:pour

Lh2th

71

LHitelimoucritiquecambrure

maxc

=

==

Soit pour 35,0hL066,0 10 et si pas de rflexion ni dissipation dnergiede londe on a : b

10 hkth= donc cest les houles de cambrure faible qui

gonflent le plus avant de dferler.Ainsi cette formule admet les 2 limites :

9,0hH

Lh2

71

LH:profondepeueauEn

2gTL;%14

71

LH:profondeeauEn

maxmax

2

00

=

=

==

Miche en 1951 proposait galement pour la cambrure limite, en eauprofonde sur un fond en pente avec rflexion totale, lexpression :

fonddupenteosin2LH 25,0

critique=

=

Des ondes de types Stockes en mer trs profonde : L

h2th318,0L=



29

On classe le dferlement sur une plage en 3 catgories : Dversant : apparition dcume mi hauteur. La crte instable

scoule sur la face avant (le front de londe est mousseux). Plongeant : formation de rouleaux. La crte se courbe et tombe ce

qui induit un emprisonnement dair et un bruit sourd. Gonflant : crte presque intacte mais pas sa base et le front avant.

La zone du dferlement en eau peu profonde est caractrise par unesaturation en nergie de la houle. Les mesures tant en laboratoire quennature montre un contrle de lamplitude de la houle a par la profondeurlocale suivant une relation linaire :

La constante , initialement introduite par Mac Cowan (1891 94) dansltude thorique de londe solitaire ( )78,0= .En eau peu profonde ( )1kh Miche (1944) en supposant que londe deStokes (sinusodale) dferle sur un fond horizontal quand la vitesse de laparticule fluide en crte est gale sa clrit, il trouva : ( )88,0= .Comme londe de Stokes est symtrique cette valeur reprsente ledferlement Spilling.Ultrieurement beaucoup dauteurs [Galvin et Eagleson (1965), Iverson(1962), Sverdrup et Munk (1946) ] proposent la mme valeur de quiest observe en laboratoire (houle monochromatique).Mais dans lapproche statistique base sur lamplitude quadratiquemoyenne rmsA conduit une valeur de sensiblement plus faible :

5,03,0 rms Nelson (1983).

( )Deversantou

spillingglissant ( )plungingplongeant ( )gonflantousurgingfrontal

SWL

3,35,0 0 3,30

2000

0gTH

tg21

LHtg

==

84,0~b11,1~b 25,1~b

( )+= hgc

5,00

h aha2Hminmax ===a+



30

Sur un fond de pente on dispose du critre :

===

2TgLo3,2

LH

tg 20

0

Battjesdesimilaritdeparamtre

GalvinH

hhHe

20,0depentepour08,0

10,005,0depentepour04,0onsurlvati

b

sM

b

b

====

On va dsigner par : b

b

b

MbMbMb H

hHhethh ====

Pour le dferlement sur une plage de pente m Weggel (1972) propose :

( ) ( )( )

( )mGLH

HHmF

mG

LH

mFHH

31

0

b

31

/0

b

31

0

/0

/0

b +

=+

= o

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]mGm1DmF

DDe185,0715,1Dm1DmG

1

21

21m28

+=

+=

o ( )( )311

31

1

m28e01,001,0D

m5,001,0D

=

+=

qui est en accord avec les courbes dIversen (U. S. Army Coastal Eng.)Lamplitude maximale de la houle au dferlement :

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

+==

=

.dimsanse1

56,1mb

m/sene175,23ma

gTHmamb

hH

m5,19

m19 2o

2b

b

b

bH be

Mh th

tamoyeneau'dniveau

reposaueau'dniveau

sh

sMb

M

t

t

hhe

reposaueau'dniveauductesh

moyenniveauducteh

creuxleetmoyen

niveauleentrecetandisa

creuxducteh

===

==

fond



31

Proposition :Pour comprendre la physique du dferlement il est intressant de serfrer la thorie de Boussineq pour le calcul de la clrit cest -

dire :

++

= 222

2

222

x3h

h231gh

x3h

h231

ghc

quil faut comparer la vitesse des particules fluides en crte de dondeen thorie non linaire (Stokes 2e ordre) : critre cinmatique.Nous conseillons pour prvoir les meilleurs conditions de dferlementdutiliser les figures (7 1 et 7 2 ) qui sont bases sur des rsultatsexprimentaux. Selon Kana (1979) on a :

==

=

90,075,0:skerbreaPlunging75,065,0:skerbreaalTransition

65,055,0:skerbreaSpilling

En se basant sur des rsultats exprimentaux de laboratoire Weggel

(1972) propose : ( ) ( ) 0bLHe12 8,43e1 56,1 th19th5,19 +=En se donnant la profondeur deau et la pente de la plage : lamplitudede londe au dferlement bH se calcule par Fig(7 1) alors que laprofondeur au dferlement bb dh = par la Fig(7 2). On signale que silonde se rfracte sur la pente de la plage, lamplitude dune ondehypothtique non rfracte est value par : 0R

/0 HKH =

Munk a montr en 1949 que les conditions de dferlement sont lies la

cambrure en eau profonde : 31

0

/0

/0

b

LH3,3

1HH

= .

Quelle est la forme limite en surface de la houle irrotationnelle enprofondeur deau infinie ? : Stokes 1880

gr

er

rer

rv rvO



32

A mesure que lamplitude dune vague crot, les crtes deviennent deplus en plus aigues. Donnons londe, une clrit c : londe progressiveest remplace par un mouvement densemble. Nous savons quune

particule de la surface libre ne la quitte pas car 0tDpD . Elle se comporte

alors comme un mobile glissant sur un plan inclin. Au sommet de lavague en O, la vitesse est nulle. La vitesse rv de la particule superficielleest r# puisquil sagit dun glissement sans frottement sur un planinclin dans le champ de pesanteur : en effetselon la loi de Newton on a :

rttC21rtCvCcosg

tdvdm 2teter

ter ====Recherchons, au voisinage de la crte, un potentiel donn par :

0zx 2

2

2

2=

+

vrifiant les conditions de symtrie imposes par lexistence de cettecrte.Lquation de continuit permet lintroduction de la fonction de courant telle que :

=

==

=

zxw

xzu

et la fonction de courant vrifie 0zx 2

2

2

2=

+

On peut montrer que 1Cte= et 2Cte= sont orthogonaux.Cherchons un potentiel de vitesse complexe du type :

( ) ==+=+ inerAzAzixAi nnn

==

nsinrA

ncosrAn

n

ce choix est justifi en raison des conditions de symtrie.La surface libre est ligne de courant dont y est constante. Comme ellesannule en 0r = ; il en rsulte alors que : libresurfacela0=Au voisinage de la crte la vitesse est donne par :

( ) ll === nsinnrr

cosgr2v 1n21

r

( 0pour0vr et 0pour0vr en raison du mouvement).La valeur de lexposant se dduit de lgalit prcdente :

23n = .



33

Ainsi prs de la crte et la surface : 023cosAr 2

3

== lOn en dduit que 060

3==l

Langle limite (point anguleux) de la crte de la vague de Stokes estdonc de 0120 alors que pour une onde solitaire 045=l soit 090 .La vitesse de la particule concidant avec la crte est nulle avec lasystme daxes considr. En eau profonde, la particule fluide concidantavec le point anguleux est anim dune vitesse gale la clrit delonde. Cest le critre de dferlement.

La cambrure limite pour la houle de Stokes est %14LH

La2 == . La houle

progressive ne peut avoir une cambrure suprieure 14%, au del, lalame dferle. On va maintenant discuter leffet dun corps flottant sur la propagation

dune houle en eau peu profonde. Seulement le cas 2D sera prsent(toutes les quantits hydrodynamiques sont indpendantes de lacoordonne transversale y). On va prsenter le cas dune plaquemince dans une eau profondeur constante. On a donc rsoudre :

Les conditions aux limites sont :axencontinuessont)pression(et)vitesse( tx m=

On sintresse lefficacit de la planche en surface comme brise lamedes ondes venant du cot droit ( )+=x . La solution gnrale de notrequation diffrentielle a la forme: ( ) ( ) ( )ctxGctxFt,x ++= o ghc =Il est naturel de chercher des solutions harmoniques :

( ) ( ) ( ) ( ) axaexVt,xetaxext,x titi == Nos quations deviennent alors

ax0Vhi

dxdetax0

ghdxd

2

22

2

2=+=+

La premire quation a pour solution ( ) ikxikx BeAex += avec gh

k =

ax = ax =

xh

z

axh

axgh1

pourxxt

pourttxx

=

=



34

Ainsi on a : ( ) )tkx(i)tkx(i BeAet,x + += cest la superposition de 2ondes une progressive se propageant vers la droite )tkx(iAe et lautrevers la gauche )tkx(iBe + . On rappelle que dans ce cas londe incidenteprovient de la droite, pour ( )x on peut crire ( ) ax:ikxikx ReBex +=o B est lamplitude de londe incidente et R de celle rflchie : quil fautdterminer. Sur la gauche on crit : ( ) ikxTex = o T est lamplitude delonde transmise ( dtermine galement). Si la planche est rdige etfixe on a alors ( ) 0t,x il en rsulte alors que ( ) 0xV = donc sous laplanche on a : 0xx = ainsi ( )x est une fonction linaire en x :( ) += xx . Puisque ( )t,xx est la vitesse horizontale de leau, ilrsulte alors que sous la plaque on a un courant donn par : tie donc constant sous la plaque et sinusodal dans le temps.Ecrivons maintenant les conditions de raccordement des solutions aux

discontinuits ; il en rsulte alors :

=+=

=+=+

ikTe

aTe

kiReBe

aReBe

ika

ika

ikaika

ikaika

On dispose donc de 4 quations pour 4 inconnues : R, T, et . Si ondsire calculer la pression sous la plaque il suffit dappliquer Bernoulli Lagrange : ( ) ( ) tiexit,xp t == . La solution de notre systme estdonne en fonction du paramtre adimentionnel

k2Lo

La2 == par :

+===

+===

=+

=+=+

=

22T

22R

1

1BTC

1BRC

Be1i

ea

iB

1ieBT

1iieBR

ontransmissidetcofficien

rflxiondetcofficien

i2

i2

i2

i2



35

Notons quon a : 1CC 2T2R =+ qui exprime la conservation dnergie.

Notons que kaLa2 == . Il est intressant dtudier comment varie la

pression sous la plaque : ( ) ( ) ( ) titi exiexit,xp t +===donc la partie relle, quil faut prendre, est donne par : si B est relle

( ) ( ) ( ) tsinxptcosxpt,xp 21 = avec( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]

( )( )

+=

++=

=+=

ax

1xb

1ax

1xb

ocosxbsinxbBxpcosxbsinxbBxp

22

22

2

22

22

1

122

211

8) Wave Run Up : Ascension des LamesLe niveau auquel un ouvrage en mer (un mur, un revtement en pierrecomme un talus dune digue ) doit tre ras (nivel) est en fonctionprincipalement du runup lvation.En laboratoire (1957) Saville propose la figure (8 1) pour dterminer lerunup Ru (hauteur dascension mesure verticalement des lames surune structure par rapport SWL) en fonction de la priode de londe, delamplitude de londe non rfracte et de la cotangente de la pente delouvrage avec comme paramtre 2/0TH

.Ces courbes sont pour une paroi lisse et impermable avec uneprofondeur deau de 1 3 fois /0H . Ces courbes sont donnes parU.S.Army Coastal Enginnering Research Center (1973) la figure (8 1)rsume cela. Le tableau (8 2) propos par Battjes (1970) donne leffetdune paroi non lisse et permable sur le runup . Le facteur r est lerapport du runup donn par la figure (8 1) celui pour une paroipermable et rugueuse.Saville (1957) propose une procdure employer pour utiliser la figure(8 1) aux parois composes de plusieurs pentes : une pentehypothtique unique est construite partir du point de dferlement aupoint dascension des lames sur louvrage compos de plusieurspentes : ainsi on effectue le calcul comme si on a une paroi unique

bb dh = SWL

Ruuprun =

uehypothtiqpentebb dh = SWL

Ruuprun =

uehypothtiqpente



36

dont on connat la valeur avec laquelle on effectue les calculs commeavant; ce calcul se fait par essais et ttonnements successifs garce lafigure (8 1) et on compare avec la valeur estime jusqu leur accord.Si non on recommence jusqu laccord souhait.Une formule empirique du run up dune onde dferlante sur un taluslisse est propose par Hunt : [Proc. ASCE 85 WW3 Sept 1959 pp123-152]

3,21,0:pourLH

gtanH

Ru

0

== & ( )==

4,01RuRd

upRunhauteurdownRunhauteur

On signale que si la hauteur de louvrage nest pas correctementdimensionne il se produit un problme de franchissement de celui ciqui engendre des inondations des quais et une agitation de lautre cot labri ( dans ce cas un systme dvacuation est prvoir) : on traiteraultrieurement le problme de franchissement : qui prsente unegrande importance pour le dimensionnement des ouvrages maritimes etpour calibrer le rseau dassainissement portuaire (voir ch05).N.B. : En eau profonde Mitchell (1893) propose par le critre

cinmatique : ( ) 267,0s/mTH

2gTLavec2,1

LL

142,0LH

22b

2

00

b,0

maxb,0

b

=

==

=

On peut calculer le coefficient de rflexion R(module du rapport delamplitude rflchie par celle incidente) dun talus sur lequel londedferle par (selon Miche R=1 pour une onde nondferlante sur le talus)

autrement1R1Rsi1,0R 2

= o

H2gTtg

LHtg 2

0 ==

Rappel MathmatiqueFormules de transformation de Gauss

& Les formules intgrales (ou les identits) de GreenSi est un oprateur linaire on a lgalit :

( ) ( )=

dSndD

rr Thorme de Gauss

N.B. : on pose

( )

==

==

=

=

=

= 31i i

i

i3

1i i

i

associeon3

1i ii

xrVrV;vrotv

exVV;grad

xe rrrrrrr

rrrrrr

ainsi



37

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

.EtcnnVrotVV

nVnVrVr

nngrad

nnVdivVV

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

rrrrrr

rrrrrrrrr

=======

========

On obtient alors les formules particulires du thorme de Gauss :

( )

( ) ( )

= =

= =

lrotationnedugraleintformule

gradientdugraleintformule

kiOstrogradsGauss

divergenceladegraleintformule

dSVndVrot

dSrnVdrV

dSnd

dSVndV

D

D

D

D

rrr

rrrrrr

rr

rrrr

Si ( ) ( )( )

===nrn

rr rrrrrrrrr

=

dSnrdrD

rrrr

Applications : Les identits de GreenNous avons ( ) += rrrrr alors daprs lethorme de la divergence on a :

( ) ( ) = = += dSndSndd DDrrrrr

( ) = + dSndDrr

1ire identit de Green

Si on change on obtient ( ) = + dSndDrr

et par

soustraction il en rsulte :

( )

=

dSnn

dD

2me identit de Green

Il sensuit que pour un coulement potentiel de vitesse cest dire

que 0= lgalit : 0dSnn

=

(1)

Si maintenant on prend alors ( ) += D 2 ddSnr

; si

en plus est le potentiel de vitesse dun champ dcoulement :



38

02 alors ( ) = dSndD 2r

Comme rrv : cette galit met en vidence lnergie cintique .Les relations prcdentes mettent en jeu 2 fonctions et , do lidedintroduire un potentiel lmentaire pour que nos relations ne sexprimeque par rapport une seule fonction ?Par exemple on utilise les potentiels de vitesse singulier :

( ) ( )

( ) tePQ21

2

ii

PQ2

PQPQ

3

PQ

Crdrd

nczxr

D2:dimensions22,1i

rlog2c:EDsi

r1log

D3:dimensions33,2,1i

r4c:EDsi

r1

pourcarfluxlequeremarquons ===

=

==

=

===

o P et Q sont 2 points qui appartiennent au domaine fluide D ou safrontire ( )=DD . Ainsi est une fonction dfinie pour QP maissingulire pour QP = et elle satisfait lquation diffrentielle de LaplaceDans ce cas la premire formule de Green donne :

( ) ( ) ( ) QPQQ

QQD PQ

Q dSr1

nQdQ

r1PC

=

rr

(2)

o

=

DPsi0Psi2

DPsi4C

Si maintenant on change en alors la premire identit de Greendonne galement :

( ) ( ) ( ) = +

Q

QPQDQ

PQQQ

DQ

PQdS

nQ

r1d

r1QdQ

r1 rr (3)

Si on introduit la relation (1) dans (2) on obtient une reprsentationintgrale du potentiel (tel que 0 ) nutilisant bien entendu que desinformations concernant le comportement de ces fonctions sur la surface(enveloppe) du volume D liquide.

Q

Qnr ( )( )D

P



39

( ) ( ) ( )bb

QPQQ

QQPQ

dSr1

nQdS

nQ

r1PC

=

simple couche double coucheCette formule trouve beaucoup dapplications dans la pratiqueSouventdite la 3me formule de Green.Daprs la formule de Green (1), on pourrait introduire dansreprsentation (3) un potentiel ayant dautres proprits :

( ) ( ) extintPQ

DDdans0:quetelQr1Q,P =+=

On obtient ainsi une nouvelle formule de reprsentation du potentiel :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) QQ

QQ

dSQ,Pn

QdSn

QQ,PPC

=

Les formules(1,2 et 3) contiennent 2 potentiels connus, on les utilisentsouvent en hydrodynamique navale :

Le potentiel de simple couche : engendr par une distributionde sources ( )Q1 : ( ) = QPQ1 dSr

1Q

Le potentiel de double couche : engendr par une distributionde diples ( )Q2 : ( )

= QPQQ

2 dSr1

nQ

La houle de Stokes irrotationnelle du 2eordre :Pour les houles de grandes amplitude mais finie Stokes en 1880 poureffectuer ses calculs dveloppe le potentiel de vitesse sous la forme :

( ) ( ) ( ) ( ) L++++= 4433221 HHHHLe premier terme ( )1H correspond la linarisation prsenteprcdemment (Thorie dAiry).

Houle du 2e ordre : qui est valable pour 2gT01,0h Le potentiel de vitesse est donn par

( ) ( ) ( ) ( )tkx2sinkhsh

hzk2chTH

163tkxsin

khshhzkch

T2HL

4

2+++=

Le profil de la surface libre est donn par

intD extD



40

( ) ( )tkx2coskhcothkhsh2

31L4Htkxcos

2H

2

2

++=

Le paramtre du dveloppement est la cambrure 1LH .On constate que la deuxime harmonique; excit par la non linaritest : de priode 2T5,0 et de longueur donde k2L5,0 Les profils sont symtriques par rapport des plans passants par lescrtes et les creux . Les crtes sont plus hautes et plus courbes alorsque les creux plus plats : ce rsultat nest pas mis en vidence par lathorie linaire (Airy).

La hauteur des crtes est donne par :

khcothkhsh2

31L4H

2H

2

2

max

++=

Les creux sont au niveau : khcothkhsh2

31L4H

2H

2

2

min

++=

Ce qui montre que le terme introduit na dimportance que pour unehoule damplitude crte creux H importante. La vitesse orbitale sont :( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

+++==

+++==

tkx2sinkhsh

hzk2shLH

TH

43tkxsin

khshhzksh

TH

zw

tkx2coskhsh

hzk2chLH

TH

43tkxcos

khshhzkch

TH

xu

4

4

Les trajectoires des orbites sont obtenues par les intgrales :== dtwdtu

Il faut effectuer les calculs numriquement de proche en proche pour

obtenir les trajectoires en utilisant les relations :

+

+=+

+=

zw

xuw

tDD

zw

xuu

tDD

Pour la houle de Stokes de 2eordre, posant ( )txk = on obtient :



41

( ) ( )( )

( ) ( )( )

++

+++=

++

+++=

khshhzk2sh

L8H

2coskhsh

hzk2shL16

H3coskhsh

hzksh2H

Tt2

khshhzk2ch

L4H

2sinkhsh

hzk2ch231

khLsh8Hsin

khshhzkch

2H

2

2

4

2

2

2

22

2

Les orbites (trajectoires) des particules fluides ne sont plus fermes;ainsi le mouvement de londe progressive saccompagne dundplacement de matire ( entranement ) : cest un transport de masse( un courant ) :

Dans le cas de la houle dAiry, cestdire linaire monochromatique,on na pas de transport de masse. La valeur de la vitesse de ce transportde matire dpend de la cambrure de la vague est donne par

lexpression : ( ) ( )

+

=

kh2hk2shhzk2ch

khLTsh2HzU 2

22

m

Dont la valeur en eau peu profonde et au voisinage de la surface libre

est donne par : ( )

=

hL

41

Lh4coth

Lh2coth

TL

LH0U

22

m

Dans le cas dune profondeur infinie, ce courant vaut : ( ) cLH0U

22

m

= ,o c est la clrit de londe. Du fait de ce courant dentranement lestrajectoires de type elliptique ne sont plus fermes car elles se dplacent la vitesse ( )zUm . A chaque priode les orbites avancent de ( )TzUm :

Au fond le courant vaut : ( )Lh2sh

Lh4

Lh4sh

hT8HhU

2

2

m

=

( )T0Um ( )T0Um ( )T0Um



42

Les trajectoires se rduisent un simple mouvement de va et vient,dont la rsultante est en sens inverse de la propagation de la houle :

Daprs cette thorie de Stokes au 2e ordre les vitesses maximales sousla crte et le creux de londe sont respectivement donnes par :

( ) ( )( ) ( )

==

+==

khsh16Hk3

khsh2Huu

khsh16Hk3

khsh2Huu

4

2Max

creux,creux ,

4

2Max

crte, crte,

Une comparaison des mesures des vitesses maximales montre un bonaccord avec la valeur sous la crte, cependant sous le creux lesmesures montrent que la vitesse mesure est plus petite que cellethorique dans une eau de profondeur infrieur 3m. En se basant surces mesures en eau peu profonde ( )2gT01,0h Van Rijn propose :

( )linairethorielapardonneeto

creux,~

crte,~

uhH3,01

u2u

uu

+=

==

Au 3me ordre et plus la clrit de londe dpend de la cambrure :

+

+=

Lh2sh16Lh4ch414

LH1

Lh2th

cc

4

2

0

on constate quon a une dispersion en frquence et en amplitude.

x

h npropagatiodesens

z



43

Couche limite de la houleLa couche limite donde est une couche mince formant la transition entrele fond la couche suprieur o lcoulement fluide est irrotationnel &oscillatoire :

Pour coulement laminaire on a : Jonsson 1980 propose :

== 2wave Manohar 1955 propose : =

6,4

O

( )( )

( )

=

=

==

snoscillatio'dpriodeT

s/mecinmatiquitcosvis

mT

Stokesdelongueur

2

21

Dans le cas dun coulement turbulent Jonsson et Carlson (1976)proposent :

500K2

H10pourK2

H2,1K30log

K30

ssss

=

(a)

Cette quation peut galement tre reprsente par :

41

sKH5,0072,0

H5,0

=

Lquation (a) est base sur des rsultats exprimentaux.Les rsultats thoriques de Freds (1984) avec une erreur de 20%sont approximativement donns par :

~u

turbulent

coulement

uu

z

1

neirrotationcoulement'l

demaleimaxvitesse

aireminla

coulement

onde'ditelimcouche



44

41

sKH5,015,0

H5,0

=

La transition un coulement oscillatoire pleinement turbulent sur unfond plat peut tre estimer par la formule :

( ) 4150

2critique,

d2H5770

u

=

o 50d est le diamtre moyen des particules solides du fond.Transport de masse par

des ondes non dferlantesEcoulement oscillatoire dun fluide parfait :Stokes (en 1847) est le premier mettre en vidence que les particulesne dcrivent pas exactement des orbites fermes dans une onde defaible amplitude se propageant dans un fluide parfait (irrotationnel) encoulement oscillatoire. Les particules fluides possdent une vitesseLagrangienne moyenne au seconde ordre (nomme : Stokes drift)dans la direction de propagation de londe.La vitesse orbitale horizontale augmente avec z au dessus du fond.Par consquence, une particule au sommet dune orbite sous une crteva plus vite dans la direction de propagation que si elle est sous uncreux donde. Par dfinition the Lagrangien Stokes drift ne peut pastre dtecter par des mesures en un point fixe.La valeur instantane du horizontal sU duneparticule deau qui a une position moyenne ( )11 z,x est ( )++ 11s z,xUo ( ), sont les coordonnes de la particule sur sa trajectoire. Uneapproximation de sU est donne par :

( ) ( )zU

xUz,xUz,xU 11s11s

++=++

En utilisant la thorie linaire et en prenant en suite la moyenne sur unepriode , on obtient ainsi la vitesse en moyenne temporelle (note ici par

une barre au dessus) : ( ) ( )( )khshhzk2chHk

81zU 2

2s

= (qu. a2)o on a pris lorigine des z la surface libre du haut vers le bas :

z0z =

hz =



45

Au fond ( )hz = : ( )khsh8HkU 2

2s

=

A la surface ( )0z = : ( )khsh8kh2chHkU 2

2s

=Pour des ondes se propageant sur un fond horizontal dans un domainenon limit le dbit volumique ( )s/m2 sur la profondeur deau h est :

( ) ( )( ) ( ) c8Hgkhth

8H

khsh16kh2shHdzzUM

22

2

20h ss ====

o ( ) ( )khthgkhth2

Tgonde'ldeclritc

=

==

Cette quation en eau profonde ( ) 1kh se rduit : 8HM

2

s=

Pour des ondes se propageant sur un fond horizontal dans un domainelimit Il est logique dimpos un dbit volumique nul en chaque positionx, ce qui conduit :

( ) ( ) ( )( )

=

hk2hk2shhzk2ch

khsh8HkzU 2

2s (qu. a1)

Cette quation montre que le courant rsultant est la somme dun dans le sens de propagation de londe et duncourant de retour uniforme dans le sens oppos. Ainsi on a un dbit versdans le sens de propagation de londe proche de la surface (vers la cote)et un dbit ngative proche du fond ( vers le large : dans le sens oppos la propagation de londe) : ce mcanisme de transport de massencessite la prsence dun gradient de pression horizontal (cisaillementest absent car le fluide est parfait par hypothse) qui ne peut tre causque par une lvation de la surface libre vers la cote (wave set up).Le dbit volumique ( )s/m2 en une position fixe (x) dans un fluide illimitpeut tre galement dterminer par une approche Eulrienne par :

( )( ) T0 th

e dtdzt,zUT1M

o U est la vitesse horizontale instantane au niveau z, et est ledplacement de la surface libre par rapport au niveau moyen deau MWL

La thorie linaire donne : c8HgM

2

e = . La mthode Lagrangienne etEulrienne conduisent au mme rsultat de dbit volumique. Mais ladistribution verticale de la vitesse de transport massique moyenne estdiffrente pour les 2 approches.



46

Effet de la viscosit dans un coulement oscillatoire turbulent :Longuet Higgens (1953) a mont quil existe, pour un fluide relvisqueux , un transfert en moyenne temporelle de la quantit demouvement dans la direction de propagation dans la couche limite par la

diffusion visqueuse

zU induisant un courant Eulerien moyen eU en

plus sU .La vitesse de transport totale moyenne mU est dfinie par :

+

+=+= dtVzUdtU

xUUUUU ssem

Pour coulement dans une couche limite laminaire Longuet Higgens aobtenue :

( )

+

= z2z

e3ezcos85hksh16

HkU 22

m

o == 2aireminlaitelimcoucheladepaisseur .

Lquation de mU possde une valeur maximale donne par :

( ) cu376,1

hksh4Hk376,1U

2

2

2m

== o

===

kc

u

onde'ldeclrit

.L.Chorsvitesseladeimalemaxvaleur

En admettant un dbit nul sur toute la profondeur deau Longuet Higgens a obtenu :

( ) ( ) ( ) ( )

=+=hzF

hksh8HkzUzUzU 2

2esm (qu. a3)) o

( )

++

+++=

1hz

23

hk2hk2sh

23

1hz4

hz3hk2sh

2kh

23hzk2ch

hzF

2

2

2

2

Pour un coulement oscillatoire dans un fluide illimit la vitesse detransport Eulrienne en moyenne temporelle (induite par les effets deviscosit) peut tre dcrite par :



47

( ) ( ) ( ) ( )hkcothzhHk21

hkshHk

163zU 222

2e += (qu. a4))

Le dbit moyen sur la profondeur deau est :

( ) ( ) ( ) ( )hkcothzhHhk41hksh Hhk163c8HgdzUUM 2222220

hee ++= +=

Transport de massepar

des ondes dferlantes

Quand une onde dferle elle gnre un courant parallle la ligne decote (longshore current) et un autre vers le large (undertow). Onprsentera par ailleurs le modle mathmatique de Longuet Higgenspour dterminer la circulation marine lchelle de la houle (parlintroduction du tenseur de radiation).Au dessus du niveau du creux donde dferlante existe un dbit vers lacote. En premire approximation, ce dbit peut tre estimer par :

c8HgM

2=

En utilisant hgc = en eau peu profonde, il en rsulte que :

8,0 0 8,0 6,1 4,2

0

4,0

8,0

2

m

Hk

U4

h

z

( )( )

( )( )a4)(quitlimilfluideCraikdemassedetransport

a3)(quitlimilfluideHiggens-Longuetmassedetransport

a2)(quillimitfluidedans drift Stokes

a1)(qu limitfluidedans drift Stokes

>



48

2Hhg

81M =

En admettant quil y a pas un transport total net deau sur la profondeurdeau, la valeur moyenne du courant de retour sous le creux, est donnpar :

21toff,m Hhh

g81U =

En prenant h8,0ht = il rsulte donc : 223

off,m Hhg15,0U =

ComplmentC1- Variation thorique de lamplitude et de la cambrure des vagues par fond dcroissant en absence de la rfraction : On a vu que lnergie transmise (flux dnergie = puissance) par unit detemps et de longueur travers un plan vertical fixe par mtre linaire decrte est :

g

22c

8gH

TEn

hk2shhk21

21

TE

hk2shhk21

T16LgHP ==

+=

+=

o gc est la vitesse de groupe locale : cnhk2shhk21

2ccg =

+=

Au large, cest dire en eau profonde 1kh , on a :

0g

200

20

0 c8gH

T16LgHP == car

profondepeueauen

profondeeauen

1n5,0n

==

Si le fond a une pente faible et quune nergie apprciable nest rflchienon plus dissipe alors on aura conservation de lnergie transmise.Si les lignes de niveau sont parallles aux lignes de crte (pas derfraction) une nergie qui franchie un mtre de crte au large est lamme que celle qui franchie un mtre de crte prs de la cte :Calcul de la variation de lamplitude : = PP0

bH75,0

bH25,0

off,mU

on,mU

thh

SWL



49

g

0

g

g2

0 cc

cc

hk2shhk21hkth

1HH 0 ==

+=

Posant hkx = alors

xchxxth

1

x2shx21xth

1HH

2

2

0 +=

+=

dont la drive est :

2

22

xchxxthxch

x2thx12

+ sannule pour : 198,1x

x1xth == alors

9129,0HH

imummin0=

; 158,0198,1191,0

Lhet191,0

Lh

0===

Cependant 1HH

0=

quand +==+ x2e1x21xch

xxth 2

===Lh2hk639,0x 057,0

198,1191,0

Lhet1016,0

Lh

0===

cest le point isomtrique .C2- Variation de la cambrure :Les cambrures au large et en situation quelconque sont respectivement

LHet

LH

0

00 == alors

==

=

hkthLL

HL

LH

HH 2

20

2

20

2

20

22

0

22

0

hkth1

HH

hk2shhk21hkth

103

2

0=

+=

La drive nannule au environ de 17,2hk soit 34,0LH et 33,0

LH

0

do un minimum a peine marqu : 985,097,00

2

0

. On

remarque que ce sont les houles les moins cambres au large quisapprochent de la terre et subissent le plus forte augmentation de lacambrure.



50

C3 - Augmentation de la vitesse horizontale : en thorie linaire

On a tablit en eau peu profonde : ( ) ( )( ) ( )

+=

=

txksinhz1

THt,z,xv

txkcoshg

2Ht,z,xu

Ainsi lamplitude de la vitesse horizontale est c2Hg

hg

2H~u = et celle

verticale est ( )hzkc2Hg

hz1

TH~v +=

+ car hgc = .

La composante horizontale maximale de la vitesse en eau profonde et

en surface est donne par : 0

00 c2

Hgu = .

Ainsi le rapport est : 0

0

0

0

00

0

0 LL

HH

cc

HH

gHc2

c2gH

uu

==== car teCT = .

Le rapport des vitesses maximales est gale au rapport des cambrures.Au dferlement, o atteint la valeur limite, on obtient alors la limite durapport des vitesses

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CH01