Ch02 seance01-diapos

Econométrie des série temporellesProcessus non stationnaires en moyenneProcessus non stationnaires en variance

Chapitre 2 Econométrie des sériestemporelles

Maher ChattiFSEGT

Année Universitaire : 2013-20142M EGRFA

Econométrie de la �nance et de l�assurance

Chapitre 2 Econométrie des séries temporelles


Ce chapitre a pour objet d�introduire aux sérietemporelles.

Une série temporelle ou série chronologique estune suite d�observations sur une variableobservée régulièrement au cours du temps.La fréquence de ces observations peut aller del�année jusqu�à une fréquence infra-journalière.Les séries temporelles sont en généralfortement corrélées au cours du temps.On distingue au sein de ces séries les séries quisont stationnaires au cours du temps de cellesqui ne le sont pas.



Ce chapitre a pour objet d�introduire aux sérietemporelles.

Une série temporelle ou série chronologique estune suite d�observations sur une variableobservée régulièrement au cours du temps.La fréquence de ces observations peut aller del�année jusqu�à une fréquence infra-journalière.Les séries temporelles sont en généralfortement corrélées au cours du temps.On distingue au sein de ces séries les séries quisont stationnaires au cours du temps de cellesqui ne le sont pas.



Ce chapitre a pour objet d�introduire aux sérietemporelles.Une série temporelle ou série chronologique estune suite d�observations sur une variableobservée régulièrement au cours du temps.

La fréquence de ces observations peut aller del�année jusqu�à une fréquence infra-journalière.Les séries temporelles sont en généralfortement corrélées au cours du temps.On distingue au sein de ces séries les séries quisont stationnaires au cours du temps de cellesqui ne le sont pas.



Ce chapitre a pour objet d�introduire aux sérietemporelles.Une série temporelle ou série chronologique estune suite d�observations sur une variableobservée régulièrement au cours du temps.

La fréquence de ces observations peut aller del�année jusqu�à une fréquence infra-journalière.Les séries temporelles sont en généralfortement corrélées au cours du temps.On distingue au sein de ces séries les séries quisont stationnaires au cours du temps de cellesqui ne le sont pas.



Ce chapitre a pour objet d�introduire aux sérietemporelles.Une série temporelle ou série chronologique estune suite d�observations sur une variableobservée régulièrement au cours du temps.La fréquence de ces observations peut aller del�année jusqu�à une fréquence infra-journalière.

Les séries temporelles sont en généralfortement corrélées au cours du temps.On distingue au sein de ces séries les séries quisont stationnaires au cours du temps de cellesqui ne le sont pas.



Ce chapitre a pour objet d�introduire aux sérietemporelles.Une série temporelle ou série chronologique estune suite d�observations sur une variableobservée régulièrement au cours du temps.La fréquence de ces observations peut aller del�année jusqu�à une fréquence infra-journalière.

Les séries temporelles sont en généralfortement corrélées au cours du temps.On distingue au sein de ces séries les séries quisont stationnaires au cours du temps de cellesqui ne le sont pas.



Ce chapitre a pour objet d�introduire aux sérietemporelles.Une série temporelle ou série chronologique estune suite d�observations sur une variableobservée régulièrement au cours du temps.La fréquence de ces observations peut aller del�année jusqu�à une fréquence infra-journalière.Les séries temporelles sont en généralfortement corrélées au cours du temps.

On distingue au sein de ces séries les séries quisont stationnaires au cours du temps de cellesqui ne le sont pas.



Ce chapitre a pour objet d�introduire aux sérietemporelles.Une série temporelle ou série chronologique estune suite d�observations sur une variableobservée régulièrement au cours du temps.La fréquence de ces observations peut aller del�année jusqu�à une fréquence infra-journalière.Les séries temporelles sont en généralfortement corrélées au cours du temps.

On distingue au sein de ces séries les séries quisont stationnaires au cours du temps de cellesqui ne le sont pas.



Ce chapitre a pour objet d�introduire aux sérietemporelles.Une série temporelle ou série chronologique estune suite d�observations sur une variableobservée régulièrement au cours du temps.La fréquence de ces observations peut aller del�année jusqu�à une fréquence infra-journalière.Les séries temporelles sont en généralfortement corrélées au cours du temps.On distingue au sein de ces séries les séries quisont stationnaires au cours du temps de cellesqui ne le sont pas.



Plan

1 Processus stationnaires2 Processus non stationnaires en moyenne3 Processus non stationnaires en variance4 Prévision



Plan

1 Processus stationnaires

2 Processus non stationnaires en moyenne3 Processus non stationnaires en variance4 Prévision



Plan

1 Processus stationnaires

2 Processus non stationnaires en moyenne3 Processus non stationnaires en variance4 Prévision



Plan

1 Processus stationnaires2 Processus non stationnaires en moyenne

3 Processus non stationnaires en variance4 Prévision



Plan

1 Processus stationnaires2 Processus non stationnaires en moyenne

3 Processus non stationnaires en variance4 Prévision



Plan

1 Processus stationnaires2 Processus non stationnaires en moyenne3 Processus non stationnaires en variance

4 Prévision



Plan

1 Processus stationnaires2 Processus non stationnaires en moyenne3 Processus non stationnaires en variance

4 Prévision



Plan

1 Processus stationnaires2 Processus non stationnaires en moyenne3 Processus non stationnaires en variance4 Prévision



1. Processus stationnaires1.1 Dé�nitions

Une série est dite stationnaire si ses propriétésstatistiques (moyenne, variance et covariances)restent inchangées au cours du temps.Une série yt est dite stationnaire au secondordre (au sens faible) si ses moments d�ordre 2 :

E (yt) = µ

Var (yt) = Eh(yt � µ)2

i= γ0

Cov (yt , yt�k) = E [(yt � µ) (yt�k � µ)] = γk

prennent des valeurs �nies et constantes et sontindépendantes du temps t.




Une série est dite stationnaire si ses propriétésstatistiques (moyenne, variance et covariances)restent inchangées au cours du temps.

Une série yt est dite stationnaire au secondordre (au sens faible) si ses moments d�ordre 2 :

E (yt) = µ


i= γ0






Une série est dite stationnaire si ses propriétésstatistiques (moyenne, variance et covariances)restent inchangées au cours du temps.

Une série yt est dite stationnaire au secondordre (au sens faible) si ses moments d�ordre 2 :

E (yt) = µ


i= γ0







E (yt) = µ


i= γ0







E (yt) = µ


i= γ0







E (yt) = µ


i= γ0





1.2 Fonction d�autocorrélation

Soit yt un processus stationnaire. On appellefonction d�autocorrélation ρk la fonction :

ρk =γkγ0

k 2 Z

Le graphique de la fonction d�autocorrélationest appelé corrélogramme, qui représente lavaleur prise par la fonction d�autocorrélation enfonction du nombre de retards.Elle véri�e les propriétés suivantes :

ρ0 = 1; jρk j � ρ0 et ρk = ρ�k





ρk =γkγ0

k 2 Z







ρk =γkγ0

k 2 Z







ρk =γkγ0

k 2 Z

Le graphique de la fonction d�autocorrélationest appelé corrélogramme, qui représente lavaleur prise par la fonction d�autocorrélation enfonction du nombre de retards.

Elle véri�e les propriétés suivantes :






ρk =γkγ0

k 2 Z

Le graphique de la fonction d�autocorrélationest appelé corrélogramme, qui représente lavaleur prise par la fonction d�autocorrélation enfonction du nombre de retards.

Elle véri�e les propriétés suivantes :






ρk =γkγ0

k 2 Z





La fonction d�autocorrélation décrit ladynamique de court terme de la série.

Elle peut renseigner sur la stationnarité de lasérie étudiée :

elle diminue et s�annule très rapidement pour unesérie temporelle stationnaire ;si aucune autocorrélation n�est signi�cativementdi¤érente de 0, le processus ne comporte aucunemémoire (bruit blanc) ;si seule l�autocorrélation d�ordre 1 est signi�cative,le processus présente une mémoire courte ;si elle diminue très lentement, la série est nonstationnaire.



La fonction d�autocorrélation décrit ladynamique de court terme de la série.

Elle peut renseigner sur la stationnarité de lasérie étudiée :




La fonction d�autocorrélation décrit ladynamique de court terme de la série.Elle peut renseigner sur la stationnarité de lasérie étudiée :









elle diminue et s�annule très rapidement pour unesérie temporelle stationnaire ;

si aucune autocorrélation n�est signi�cativementdi¤érente de 0, le processus ne comporte aucunemémoire (bruit blanc) ;si seule l�autocorrélation d�ordre 1 est signi�cative,le processus présente une mémoire courte ;si elle diminue très lentement, la série est nonstationnaire.




elle diminue et s�annule très rapidement pour unesérie temporelle stationnaire ;

si aucune autocorrélation n�est signi�cativementdi¤érente de 0, le processus ne comporte aucunemémoire (bruit blanc) ;si seule l�autocorrélation d�ordre 1 est signi�cative,le processus présente une mémoire courte ;si elle diminue très lentement, la série est nonstationnaire.




elle diminue et s�annule très rapidement pour unesérie temporelle stationnaire ;si aucune autocorrélation n�est signi�cativementdi¤érente de 0, le processus ne comporte aucunemémoire (bruit blanc) ;

si seule l�autocorrélation d�ordre 1 est signi�cative,le processus présente une mémoire courte ;si elle diminue très lentement, la série est nonstationnaire.




elle diminue et s�annule très rapidement pour unesérie temporelle stationnaire ;si aucune autocorrélation n�est signi�cativementdi¤érente de 0, le processus ne comporte aucunemémoire (bruit blanc) ;

si seule l�autocorrélation d�ordre 1 est signi�cative,le processus présente une mémoire courte ;si elle diminue très lentement, la série est nonstationnaire.




elle diminue et s�annule très rapidement pour unesérie temporelle stationnaire ;si aucune autocorrélation n�est signi�cativementdi¤érente de 0, le processus ne comporte aucunemémoire (bruit blanc) ;si seule l�autocorrélation d�ordre 1 est signi�cative,le processus présente une mémoire courte ;

si elle diminue très lentement, la série est nonstationnaire.




elle diminue et s�annule très rapidement pour unesérie temporelle stationnaire ;si aucune autocorrélation n�est signi�cativementdi¤érente de 0, le processus ne comporte aucunemémoire (bruit blanc) ;si seule l�autocorrélation d�ordre 1 est signi�cative,le processus présente une mémoire courte ;

si elle diminue très lentement, la série est nonstationnaire.







1.3 Fonction d�autocorrélation partielle

Mesure la corrélation entre yt et yt�k , une foisretirée l�in�uence des variables entre yt et yt�k .Pour (yt�k , yt�k+1), pas de variablesintermédiaires et le coe¤. de corrélationpartielle ψ11 égalise le coe¤. de corrélation ρ1 :

yt�k+1 = ψ11yt�k + εt�k+1

Pour le couple (yt�k , yt�k+2), on tiendracompte de l�e¤et de yt�k+1 sur yt�k+2, àtravers le coe¢ cient ψ21 :

yt�k+2 = ψ21yt�k+1+ ψ22yt�k + εt�k+2

et ainsi de suite.




Mesure la corrélation entre yt et yt�k , une foisretirée l�in�uence des variables entre yt et yt�k .

Pour (yt�k , yt�k+1), pas de variablesintermédiaires et le coe¤. de corrélationpartielle ψ11 égalise le coe¤. de corrélation ρ1 :



yt�k+2 = ψ21yt�k+1+ ψ22yt�k + εt�k+2

et ainsi de suite.




Mesure la corrélation entre yt et yt�k , une foisretirée l�in�uence des variables entre yt et yt�k .

Pour (yt�k , yt�k+1), pas de variablesintermédiaires et le coe¤. de corrélationpartielle ψ11 égalise le coe¤. de corrélation ρ1 :



yt�k+2 = ψ21yt�k+1+ ψ22yt�k + εt�k+2

et ainsi de suite.







yt�k+2 = ψ21yt�k+1+ ψ22yt�k + εt�k+2

et ainsi de suite.







yt�k+2 = ψ21yt�k+1+ ψ22yt�k + εt�k+2

et ainsi de suite.







yt�k+2 = ψ21yt�k+1+ ψ22yt�k + εt�k+2

et ainsi de suite.







yt�k+2 = ψ21yt�k+1+ ψ22yt�k + εt�k+2

et ainsi de suite.







yt�k+2 = ψ21yt�k+1+ ψ22yt�k + εt�k+2

et ainsi de suite. Chapitre 2 Econométrie des séries temporelles


La fonction d�autocorrélation partielle estdonnée par l�algorithme de Durbin qui dé�nitles coe¢ cients ψkk tels que :

8>><>>:ψ11 = ρ1

ψkk =ρk�∑k�1j=1 ρk�jψk�1,j1�∑k�1j=1 ρk�jψk�1,j

8k = 2, 3, ...ψkj = ψk�1,j � ψkkψk�1,k�j 8k = 2, 3, ...etj = 1, 2, ..., k � 1



1.4 Processus ARMA

Les processus ARMA ont pour objet demodéliser une série temporelle en fonction deses valeurs passées et des valeurs présente etpassées du terme d�erreur.Modèles a-théoriques, servant surtout pour laprévision.



1.4 Processus ARMA

Les processus ARMA ont pour objet demodéliser une série temporelle en fonction deses valeurs passées et des valeurs présente etpassées du terme d�erreur.

Modèles a-théoriques, servant surtout pour laprévision.



1.4 Processus ARMA

Les processus ARMA ont pour objet demodéliser une série temporelle en fonction deses valeurs passées et des valeurs présente etpassées du terme d�erreur.

Modèles a-théoriques, servant surtout pour laprévision.



1.4 Processus ARMA

Les processus ARMA ont pour objet demodéliser une série temporelle en fonction deses valeurs passées et des valeurs présente etpassées du terme d�erreur.Modèles a-théoriques, servant surtout pour laprévision.



1.4.1 Processus autorégressifs

On appelle processus autorégressif d�ordre p,noté AR (p), un processus stationnaire ytvéri�ant une relation du type :

yt �ψ1yt�1� ...� ψpyt�p = εt

où les ψi sont des réels et εt un bruit blanc (0, σ2).

En introduisant l�opérateur de retard L, dé�nitel que : yt�1 = Lyt , on peut écrire :

�1� ψ1L� ...� ψpL

p�yt = Ψ (L) yt = εt








�1� ψ1L� ...� ψpL









�1� ψ1L� ...� ψpL








En introduisant l�opérateur de retard L, dé�nitel que : yt�1 = Lyt , on peut écrire :�1� ψ1L� ...� ψpL




Pour calculer les autocorrélations du processusAR (p), on multiplie chaque membre del�équation par yt�k , puis on appliquel�opérateur espérance avant de diviser le toutpar γ0, ce qui donne :

ρk � ψ1ρk�1� ...� ψpρk�p = 0)ρk = ∑p

j=1 ψjρk�j 8k > 0

Les autocorrélations partielles sont données parl�algorithme de Durbin. Pour un processusAR (p), ψkk = 0 8k > p : les autocorrélationspartielles s�annulent à partir du rang p+ 1.Cette propriété permet d�identi�er l�ordre p desprocessus AR.




ρk � ψ1ρk�1� ...� ψpρk�p = 0)ρk = ∑p






ρk � ψ1ρk�1� ...� ψpρk�p = 0)ρk = ∑p





1.4.2 Processus moyenne mobile

On appelle processus moyenne mobile d�ordreq, noté MA(q), un processus stationnaire ytvéri�ant une relation du type :

yt = εt � θ1εt�1� ...� θqεt�q

où les θi sont des réels et εt un bruit blanc (0, σ2).

En introduisant l�opérateur de retard L, dé�nitel que : εt�1 = Lεt , on peut écrire :

yt = (1� θ1L� ...� θqLq) εt = Θ (L) εt








yt = (1� θ1L� ...� θqLq) εt = Θ (L) εt








yt = (1� θ1L� ...� θqLq) εt = Θ (L) εt








yt = (1� θ1L� ...� θqLq) εt = Θ (L) εt



Pour obtenir la fonction d�autocorrélation, oncalcule les autocovariances du processus,soient :

γk = E [(yt � 0) (yt�k � 0)] = E (ytyt�k) = E[(εt � θ1εt�1� .� θqεt�q) (εt�k � θ1εt�k�1� .� θqεt�k�q)]

Les termes croisés sont nuls alors que lestermes directs sont en fonction de σ2, si bienque :

γk =�(�θk + θ1θk+1+ ...+ θq�kθq) σ2 si k = 1, 2, ..., q0 sinon, càd si k > q















Pour k = 0, on obtient la variance duprocessus : γ0 =

�1+ θ21+ ...+ θ2q

�σ2.

On en déduit la fonction d�autocorrélation :

ρk =γkγ0=8<: (�θk+θ1θk+1+...+θq�k θq)

(1+θ21+...+θ2q)si k = 1, 2, ..., q

0 sinon, càd si k > q




�1+ θ21+ ...+ θ2q

�σ2.



(1+θ21+...+θ2q)si k = 1, 2, ..., q





�1+ θ21+ ...+ θ2q

�σ2.



(1+θ21+...+θ2q)si k = 1, 2, ..., q




Pour un processus MA (q), ρk = 0 8k > q :les autocorrélations s�annulent à partir du rangq+ 1. Cette propriété permet d�identi�erl�ordre q des processus MA.

Les autocorrélations partielles d�un processusMA(q) sont données par l�algorithme deDurbin (expression relativement compliquée) etn�ont pas de propriéé particulière.



Pour un processus MA (q), ρk = 0 8k > q :les autocorrélations s�annulent à partir du rangq+ 1. Cette propriété permet d�identi�erl�ordre q des processus MA.

Les autocorrélations partielles d�un processusMA(q) sont données par l�algorithme deDurbin (expression relativement compliquée) etn�ont pas de propriéé particulière.



Pour un processus MA (q), ρk = 0 8k > q :les autocorrélations s�annulent à partir du rangq+ 1. Cette propriété permet d�identi�erl�ordre q des processus MA.Les autocorrélations partielles d�un processusMA(q) sont données par l�algorithme deDurbin (expression relativement compliquée) etn�ont pas de propriéé particulière.



1.4.3 Processus ARMA

Ce sont des processus mixtes incorporantsimultanément des composantes AR et MA etpermettant d�obtenir une descriptionparcimonieuse des données.Un processus ARMA(p, q) est un processusstationnaire yt véri�ant une relation du type :

yt �ψ1yt�1� ...� ψpyt�p= εt � θ1εt�1� ...� θqεt�q

où les ψi (i = 1, ..., p) et θj (j = 1, ..., q) sont desréels et εt un bruit blanc (0, σ2).




Ce sont des processus mixtes incorporantsimultanément des composantes AR et MA etpermettant d�obtenir une descriptionparcimonieuse des données.

Un processus ARMA(p, q) est un processusstationnaire yt véri�ant une relation du type :






Ce sont des processus mixtes incorporantsimultanément des composantes AR et MA etpermettant d�obtenir une descriptionparcimonieuse des données.

Un processus ARMA(p, q) est un processusstationnaire yt véri�ant une relation du type :






Ce sont des processus mixtes incorporantsimultanément des composantes AR et MA etpermettant d�obtenir une descriptionparcimonieuse des données.Un processus ARMA(p, q) est un processusstationnaire yt véri�ant une relation du type :





En introduisant l�opérateur de retard L, onpeut écrire :

Ψ (L) yt =�1� ψ1L� ...� ψpL

p�yt

= Θ (L) εt = (1� θ1L� ...� θqLq) εt



Pour calculer les autocorrélations du processusARMA (p, q), on multiplie chaque membre del�équation par yt�k , puis on appliquel�opérateur espérance avant de diviser le toutpar γ0, ce qui donne :

ρk � ψ1ρk�1� ...� ψpρk�p = 0)ρk = ∑p

i=1 ψiρk�i 8k > q

La fonction d�autocorrélation est de la mêmeforme que celle des processus AR(p).




ρk � ψ1ρk�1� ...� ψpρk�p = 0)ρk = ∑p






ρk � ψ1ρk�1� ...� ψpρk�p = 0)ρk = ∑p





La fonction d�autocorrélation partielle desprocessus ARMA n�a pas d�expression simple etdépend de l�ordre de chaque partie (p et q) etde la valeur des paramètres.

Elle se caractérise le plus fréquemment soit parune forme exponentielle décroissante soit parune forme oscillatoire amortie.



La fonction d�autocorrélation partielle desprocessus ARMA n�a pas d�expression simple etdépend de l�ordre de chaque partie (p et q) etde la valeur des paramètres.

Elle se caractérise le plus fréquemment soit parune forme exponentielle décroissante soit parune forme oscillatoire amortie.



La fonction d�autocorrélation partielle desprocessus ARMA n�a pas d�expression simple etdépend de l�ordre de chaque partie (p et q) etde la valeur des paramètres.Elle se caractérise le plus fréquemment soit parune forme exponentielle décroissante soit parune forme oscillatoire amortie.



1.5 Méthodologie de Box et Jenkins

3 étapes :

identi�cation ;estimation ;validation.




3 étapes :

identi�cation ;

estimation ;validation.




3 étapes :identi�cation ;





3 étapes :identi�cation ;





3 étapes :identi�cation ;estimation ;

validation.




3 étapes :identi�cation ;estimation ;

validation.




3 étapes :identi�cation ;estimation ;validation.



1.5.1 Identi�cation

Consiste à trouver les valeurs des paramètres pet q des processus ARMA, en se basant surl�étude des fonctions d�autocorrélation etd�autocorrélation partielle.Un ou plusieurs modèles peuvent être choisis.




Consiste à trouver les valeurs des paramètres pet q des processus ARMA, en se basant surl�étude des fonctions d�autocorrélation etd�autocorrélation partielle.

Un ou plusieurs modèles peuvent être choisis.




Consiste à trouver les valeurs des paramètres pet q des processus ARMA, en se basant surl�étude des fonctions d�autocorrélation etd�autocorrélation partielle.

Un ou plusieurs modèles peuvent être choisis.




Consiste à trouver les valeurs des paramètres pet q des processus ARMA, en se basant surl�étude des fonctions d�autocorrélation etd�autocorrélation partielle.Un ou plusieurs modèles peuvent être choisis.



Fonction d�autocorrélation

On commence par calculer les di¤érentscoe¢ cients d�autocorrélation :bρk = ∑T�kt=1 (yt�y)(yt�k�y)

∑Tt=1(yt�y)2 pour diverses valeurs

de k, k = 1, ...,K .Box et Jenkins suggèrent de retenir un nombremaximal de retards K = T

4 où T est la taille del�échantillon.Après, on teste la signi�cativité individuelle descoe¢ cients d�autocorrélation H0 : ρk = 0.Ces tests nous permettent d�identi�er l�ordre qdes processus MA dont les autocorrélations�annulent à partir du rang q+ 1.






de k, k = 1, ...,K .

Box et Jenkins suggèrent de retenir un nombremaximal de retards K = T







de k, k = 1, ...,K .

Box et Jenkins suggèrent de retenir un nombremaximal de retards K = T








4 où T est la taille del�échantillon.

Après, on teste la signi�cativité individuelle descoe¢ cients d�autocorrélation H0 : ρk = 0.Ces tests nous permettent d�identi�er l�ordre qdes processus MA dont les autocorrélations�annulent à partir du rang q+ 1.







4 où T est la taille del�échantillon.

Après, on teste la signi�cativité individuelle descoe¢ cients d�autocorrélation H0 : ρk = 0.Ces tests nous permettent d�identi�er l�ordre qdes processus MA dont les autocorrélations�annulent à partir du rang q+ 1.







4 où T est la taille del�échantillon.Après, on teste la signi�cativité individuelle descoe¢ cients d�autocorrélation H0 : ρk = 0.

Ces tests nous permettent d�identi�er l�ordre qdes processus MA dont les autocorrélations�annulent à partir du rang q+ 1.







4 où T est la taille del�échantillon.Après, on teste la signi�cativité individuelle descoe¢ cients d�autocorrélation H0 : ρk = 0.

Ces tests nous permettent d�identi�er l�ordre qdes processus MA dont les autocorrélations�annulent à partir du rang q+ 1.







4 où T est la taille del�échantillon.Après, on teste la signi�cativité individuelle descoe¢ cients d�autocorrélation H0 : ρk = 0.Ces tests nous permettent d�identi�er l�ordre qdes processus MA dont les autocorrélations�annulent à partir du rang q+ 1.Chapitre 2 Econométrie des séries temporelles


Fonction d�autocorrélation partielle

On peut claculer les autocorrélations partielleset tester leur signi�cativité individuelle en vuede déterminer l�ordre p des processus AR dontles autocorrélations partielles s�annulent àpartir du rang p+ 1.



Fonction d�autocorrélation partielle

On peut claculer les autocorrélations partielleset tester leur signi�cativité individuelle en vuede déterminer l�ordre p des processus AR dontles autocorrélations partielles s�annulent àpartir du rang p+ 1.



1.5.2 Estimation

Consiste à estimer les paramètres associés auxtermes autorégressifs et de moyenne mobile.Dans certains cas, notamment dans le cas deprocessus AR(p) sans autocorrélation deserreurs, il est possible d�appliquer la méthodedes MCO.De façon plus générale, on utilise la méthodedu maximum de vraisemblance celle desmoindres carrés non linéaires.



1.5.2 Estimation

Consiste à estimer les paramètres associés auxtermes autorégressifs et de moyenne mobile.

Dans certains cas, notamment dans le cas deprocessus AR(p) sans autocorrélation deserreurs, il est possible d�appliquer la méthodedes MCO.De façon plus générale, on utilise la méthodedu maximum de vraisemblance celle desmoindres carrés non linéaires.



1.5.2 Estimation

Consiste à estimer les paramètres associés auxtermes autorégressifs et de moyenne mobile.

Dans certains cas, notamment dans le cas deprocessus AR(p) sans autocorrélation deserreurs, il est possible d�appliquer la méthodedes MCO.De façon plus générale, on utilise la méthodedu maximum de vraisemblance celle desmoindres carrés non linéaires.



1.5.2 Estimation

Consiste à estimer les paramètres associés auxtermes autorégressifs et de moyenne mobile.Dans certains cas, notamment dans le cas deprocessus AR(p) sans autocorrélation deserreurs, il est possible d�appliquer la méthodedes MCO.

De façon plus générale, on utilise la méthodedu maximum de vraisemblance celle desmoindres carrés non linéaires.



1.5.2 Estimation

Consiste à estimer les paramètres associés auxtermes autorégressifs et de moyenne mobile.Dans certains cas, notamment dans le cas deprocessus AR(p) sans autocorrélation deserreurs, il est possible d�appliquer la méthodedes MCO.

De façon plus générale, on utilise la méthodedu maximum de vraisemblance celle desmoindres carrés non linéaires.



1.5.2 Estimation

Consiste à estimer les paramètres associés auxtermes autorégressifs et de moyenne mobile.Dans certains cas, notamment dans le cas deprocessus AR(p) sans autocorrélation deserreurs, il est possible d�appliquer la méthodedes MCO.De façon plus générale, on utilise la méthodedu maximum de vraisemblance celle desmoindres carrés non linéaires.



1.5.3 Validation

On départage les modèles choisis et estimés surla base de tests sur les coe¢ cients et sur lesrésidus (homoscédasticité, absenced�autocorrélation) ainsi que sur la comparaisonde critères d�information pour les modèleschoisis. Le modèle choisi est celui admettantles critères les plus faibles :

Critère d�Akaike : AIC = logbσ2 + 2(p+q)T ;

Critère d�information de Schwarz :SIC = logbσ2 + (p+q)

T logT ;Critère de Hannan-Quinn :HQ = logbσ2 + 2(p+q)

T log (logT )

où p+ q est le nombre de paramètres estimés dansle modèle et T le nombre d�observations.



1.5.3 Validation

On départage les modèles choisis et estimés surla base de tests sur les coe¢ cients et sur lesrésidus (homoscédasticité, absenced�autocorrélation) ainsi que sur la comparaisonde critères d�information pour les modèleschoisis.

Le modèle choisi est celui admettantles critères les plus faibles :




T log (logT )




1.5.3 Validation

On départage les modèles choisis et estimés surla base de tests sur les coe¢ cients et sur lesrésidus (homoscédasticité, absenced�autocorrélation) ainsi que sur la comparaisonde critères d�information pour les modèleschoisis.

Le modèle choisi est celui admettantles critères les plus faibles :




T log (logT )




1.5.3 Validation





T log (logT )




1.5.3 Validation





T log (logT )




1.5.3 Validation




T logT ;

Critère de Hannan-Quinn :HQ = logbσ2 + 2(p+q)

T log (logT )




1.5.3 Validation




T logT ;

Critère de Hannan-Quinn :HQ = logbσ2 + 2(p+q)

T log (logT )




1.5.3 Validation





T log (logT )


















Les séries économiques et �nacières sont trèssouvent des séries non stationnaires. On s�intéresseici à la non stationnarité en moyenne. Celle-ci estanalysée à partir de deux types de processus :� les processus stationnaires par rapport à un trendTS (Trend Stationary) dont la non stationnarité estdéterministe ;� les processus stationnaires par di¤érenciation DS(Di¤erence Stationary) dont la non stationnarité estde nature stochastique.La non stationnarité de type stochastique a desconséquences fondamentales sur le planéconométrique puisque les propriétés asymptotiquesusuelles des estimateurs ne sont plus valables et il



est nécessaire de développer une théorieasymptotique particulière.Un processus TS yt peut s�écrire : yt = f (t) + εtoù f (t) est une fonction déterministe du temps et tet εt un processus stationnaire bruit blanc. Dans lecas simple ou la fonction f est un polynome d�ordre1, yt = α+ βt + εt .Les propriétés statistiques de yt sont données par :

E (yt) = E (α+ βt + εt) = α+ βtVar (yt) = E [yt � E (yt)]2 = E (ε2t ) = σ2

γk = cov (yt , yt�k) =E [yt � E (yt)] [yt�k � E (yt�k)] = E (εtεt�k) = 0

8k 6= 0Chapitre 2 Econométrie des séries temporelles


Ainsi, l�espérance d�un processus TS exhibe unetendance déterministe : le processus est nonstationnaire en moyenne et la non stationnarité estdéterministe. Sa variance et sa fonctiond�autocovariance sont constants et indépendants dutemps. Le comportement de long terme de yt estdéterministe : les e¤ets d�un choc sur yt sonttransitoires et la série revient vers son mouvementde long terme représenté par la tendance.Un processus TS est un processus que l�on peutrendre stationnaire en obtenant les résidus d�unerégression sur un trend déterministe.Un processus DS est un processus non stationnaireque l�on peut rendre stationnaire en appliquant un



�ltre aux di¤érences ∆d = (1� L)d où L estl�opérateur retard et d un entier :

(1� L)d yt = β+ εt

où εt est un processus stationnaire. Pour d = 1(di¤érences premières), le processus s�écrit :

∆yt = (1� L) yt = yt � yt�1 = β+ εt

Si εt est un bruit blanc, le processus obtenu s�écrit :

yt = yt�1+ β+ εtChapitre 2 Econométrie des séries temporelles


et est une marche aléatoire avec dérive β. Unemarche aléatoire est ainsi caractérisée par laprésence d�une racine unitaire (le coe¢ cient a¤ectéà yt�1 est égal à 1, qui est la solution de l�équation1� L = 0) et par le fait que εt est un bruit blanc.On peut réécrire yt comme suit :

yt = yt�1+ β+ εt = yt�2+ 2β+ εt + εt�1 = ... =y0+ βt +∑t

i=1 εi

où y0 est le premier terme de la série.A la di¤érence du terme d�erreur d�un processusTS, le terme d�erreur du processus DS correspond àune accumulation de chocs aléatoires ∑t

i=1 εi , ce quiChapitre 2 Econométrie des séries temporelles


implique qu�un choc à une date donnée a des e¤etspermanents.Les propriétés statistiques de yt sont données par :

E (yt) = E�y0+ βt +∑t

i=1 εi�= y0+ βt

Var (yt) = E [yt � E (yt)]2 = Eh�

∑ti=1 εi

�2i= tσ2

γk = cov (yt , yt�k) =E [yt � E (yt)] [yt�k � E (yt�k)] =

E��

∑ti=1 εi

� �∑t�ki=1 εi

��= (t � k) σ2 8k 6= 0

L�espérance et la variance d�un processus DSdépendent du temps. Le processus DS est ainsicaractérisé par une non stationnarité de naturedéterministe par le biais de l�espérance mais aussi



par une non stationnarité de nature stochastique parle biais des eprturbations dont la variance suit unetendance linéaire.Il est crucial de pouvoir faire la distinction entreprocessus TS et processus DS, notamment par lebiais de tests de racine unitaire.Teste l�hypothèse nulle de non stationnarité (racineunitaire) contre l�hypothèse alternative destationnarité. Dickey et Fuller considèrent 3modèles :�modèle 1 (sans constante et sans trenddéterministe)

(1� ρL) yt = εt ) yt = ρyt�1+ εt ) H0 : ρ = 1Chapitre 2 Econométrie des séries temporelles


vs H1 : jρj < 1

Pour ramener le test à un test de signi�cativitéindividuelle des coe¢ cients, on transforme le modèleen di¤érences premières :

∆yt = (yt � yt�1) = (ρ� 1)yt�1+ εt =φyt�1+ εt ) H0 : φ = 0 vs H1 : φ < 0

�modèle 2 (avec constante et sans trenddéterministe)

∆yt = γ+ φyt�1+ εt ) H0 : φ = 0 vs H1 : φ < 0

�modèle 3 (avec constante et trend déterministe)Chapitre 2 Econométrie des séries temporelles


∆yt = γ+ δt + φyt�1+ εt ) H0 : φ = 0 vsH1 : φ < 0

On calcule la statistique de Student du coe¢ cient φet on compare cette statistique aux valeurs tabuléespar Dickey et Fuller. Dans la mesure où les valeurscritiques sont négatives, la régle de décision estinversée : si la valeur calculée est inférieure à lavaleur critique, on rejette H0 et on conclut que lasérie est stationnaire ; sinon, l�hypothèse nulle denon stationnarité ne peut être rejetée.Les modèles utilisés dans le test de Dickey et Fullersont restrictifs dans le mesure où on suppose que εtest un bruit blanc, hypothèse qui peut être remise



en cause par la présence d�autocorrélation et/oud�hétéroscédasticité. Pour résoudre ce problème,Dickey et Fuller ont proposé une correctionconduisant au test de Dickey-Fuller augmenté.A�n de tenir compte d�une éventuelleautocorrélation des erreurs, on introduit des retardssur la variable dépendante. Les modèles deviennent :�modèle 1 :

∆yt = φyt�1+∑pj=1 φj∆yt�j + εt

�modèle 2 :

∆yt = γ+ φyt�1+∑pj=1 φj∆yt�j + εt



�modèle 3 :

∆yt = γ+ δt + φyt�1+∑pj=1 φj∆yt�j + εt

A nouveau, on teste H0 : φ = 0 vs H1 : φ < 0.Le nombre de retards p est choisi de sorte à ce queεt soit bien un bruit blanc. Plusieurs méthodes sontpossibles pour e¤ectuer ce choix :�on retient pour p le retard correspondant à ladernière autocorrélation partielle signi�cativementdi¤érente de 0 ;�on estime plusieurs processus correspondant àdi¤érentes valeurs de p et on retient celui quiminimise les critères d�information de Akaike et deSchwarz ;



�on �xe une valeur maximale pour p, notée pmax ,on estime le modèle de régression du test ADF etl�on teste la signi�cativité du terme ∆yt�pmax : si leterme est signi�catif, on conserve cette valeur de p,sinon, on réestime le modèle avec un retard égal àpmax � 1, on teste la signi�cativité du terme∆yt�pmax�1 et ainsi de suite.On n�e¤ectue pas le test de racine unitaire sur les 3modèles mais sur un seul des 3. Pour cela, on adopteune stratégie séquentielle en 3 grandes étapes.On estime le modèle général avec constante ettendance :

∆yt = γ+ δt + φyt�1+∑pj=1 φj∆yt�j + εt



On commence par tester la signi�cativité de latendance en se référant aux tables de Dickey-Fuller.Si la tendance n�est pas signi�cative, on passe àl�étape 2. Sinon, on conserve le modèle et on testel�hypothèse nulle de racine unitaire.Si la tendance n�est pas signi�cative, on estime lemodèle général sans tendance :

∆yt = γ+ φyt�1+∑pj=1 φj∆yt�j + εt

On commence par tester la signi�cativité de laconstante en se référant aux tables de Dickey-Fuller.Si la constante n�est pas signi�cative, on passe àl�étape 3. Sinon, on conserve le modèle et on teste



l�hypothèse nulle de racine unitaire.Si la constante n�est pas signi�cative, on estime lemodèle général sans constante et sans tendance :

∆yt = φyt�1+∑pj=1 φj∆yt�j + εt

et on teste l�hypothèse nulle de racine unitaire enutilisant les valeurs critiques de Dickey-Fuller.Remarques :�Si à l�issue de l�application de cette procédure, ontrouve que la série yt est non stationnaire, celasigni�e que la série comporte au moins une racineunitaire. dans ce cas, il convient de recommencerl�application des tests de Dickey-Fuller sur la sérieen di¤érence première. Et ainsi de suite.



�Une série non stationnaire est également appeléesérie intégrée. Par exemple, si yt est nonstationnaire et que ∆yt l�est, yt est dite intégréed�ordre 1 (yt � I (1)) : il faut la di¤érencier une foispour la rendre stationnaire, alors que ∆yt est diteintégrée d�ordre 0 (∆yt � I (0)) : il est inutile de ladi¤érencier pour la rendre stationnaire.�De façon générale, une série yt est intégrée d�ordred (yt � I (d)), s�il est nécessaire de la di¤érencier dfois pour la rendre stationnaire (∆dyt � I (0)).Si l�on applique les méthodes habituelles del�économétrie à des séries non stationnaires peutconduire à estimer des régressions fallacieuses,c�est-à-dire qui ont l�air statistiquement très



correctes entre des variables qui n�ont en réalitéaucun lien entre elles. Ainsi, si l�on e¤ectue larégression : yt = α+ βxt + εt , entre deux sériestemporelles xt et yt intégrées d�ordre 1 et sansaucun lien entre elles, on ne trouve pas que : β = 0,comme on devrait s�y attendre. Ainsi, la nonstationnarité ne rend plus valables les procéduresd�inférence classiques.Les régressions fallacieuses s�accompagnent engénéral des deux résultats symptomatiquessuivants : un coe¢ cient de détermination très élevéet une valeur de la statistique de DW faible.Un procédure très fréquemment utilisée pour éviterle problème des régressions fallacieuses consiste à



di¤érencier les séries non stationnaires a�n de lesstationnariser et de pouvoir appliquer les méthodeshabituelles de l�économétrie. Cette opération acependant pour limite principale de masquer lespropriéts de long terme des séries étudiées puisqueles relations entre les niveaux des variables ne sontplus considérées. La théorie de la cointégrationpermet de pallier ce problème en o¤rant lapossibilité de spéci�er des relations stables à longterme tout en analysant conjointement ladynamique de court terme des variables considérées.Soient xt et yt deux séries intégrées d�ordre d. Engénéral, la combinaison linéaire donnée par :zt = yt � βxt est aussi I (d). Toutefois, il est



possible que zt ne soit pas I (d) mais I (d � b) oùb est un entier positif (0 < b � d). Dans ce cas, xtet yt sont dites cointégrées : (xt , yt) � CI (d , b).Le cas le plus étudié correspond à : d = b = 1.Ainsi, deux séries non stationnaires I (1) sontcointégrées s�il existe une combinaison linéairestationnaire I (0) de ces deux séries.L�idée sous-jacente est la suivante. A court terme,xt et yt peuvent avoir une évolution divergente,mais elles vont évoluer ensemble à long terme sibien qu�il existe une relation stable à long termeentre xt et yt . Cette relation est appelée relation decointégration ou relation de long terme et estdonnée par : yt = βxt . A long terme, les



mouvements similaires de xt et yt ont tendance à secompenser de sorte à obtenir une série stationnaire,zt , appelée erreur d�équilibre et qui mesure l�ampleurdu déséquilibre à court terme entre xt et yt .Exemples :� relation entre consommation et revenu ;�relation entre prix relatifs et taux de change ;�relation liant les taux d�intérêt à court et longtermes ;�relation existant entre les indices des boursesinternationales ;� relation entre cours et dividendes des actions.Les séries cointégrées peuvent être modélisées sousla forme de modèles à corrcetion d�erreur. De tels



modèles sont dynamiques et permettent deformaliser les ajustements à court terme quiconduisent à une situation d�équilibre de long terme.....La méthode d�estimation a été proposée par Engleet Granger pour des séries CI (1, 1) et comportedeux étapes : d�abord, l�estimation de la relation delong terme et le test de cointégration et ensuite,l�estimation du modèle à correction d�erreur.(Subsubsubsection head:)Première étapeOn estime la relation de long terme :

yt = α+ βxt + zt

où zt est un terme d�erreur stationnaire (puisque lesChapitre 2 Econométrie des séries temporelles


deux séries xt et yt sont cointégrées d�ordre 1),sinon on aurait a¤aire à une régression fallacieuse.Les tests de Dickey-Fuller (DF ) et Dickey-Fulleraugmenté (ADF ) permettent de tester l�hypothèsenulle d�absence de cointégration contre l�hypothèsealternative selon laquelle les séries considérées sontcointégrées. Ils ont ainsi pour objet de testerl�existence d�une racine unitaire dans les résidusestimés bzt de la relation de long terme :bzt = yt � bα� bβxtDans le cas du test de DF , on estime la relation :

∆bzt = φbzt�1+ utChapitre 2 Econométrie des séries temporelles


Dans le cas du test ADF , on estime la relation :

∆bzt = φbzt�1+∑pi=1 φi∆bzt�i + ut

où dans les deux cas ut est un bruit blanc.On teste l�hypothèse nulle H0 : bzt non stationnaire(φ = 0) traduisant le fait que xt et yt sont noncointégrées, contre l�hypothèse alternative H1 : bztstationnaire (φ < 0) indiquant que xt et yt sontcointégrées.Les valeurs critiques étant négatives, la règle dedécision est la suivante :�si btφ est inférieur à la valeur critique, on rejetteH0 et on conclut que xt et yt sont non cointégrées



(la relation entre xt et yt est une régressionfallacieuse) ;�sinon, on ne rejette pas H0 et on conclut que xtet yt sont cointégrées (la relation entre xt et yt estune relation de cointégration).Si les variables sont cointégrées, on passe à ladeuxième étape d�estimation du modèle à correctiond�erreur.(Subsubsubsection head:)Deuxième étapeOn estime le modèle à correction d�erreur par lesMCO :

∆yt = γbzt�1+∑i βi∆xt�i +∑j δj∆yt�j + εt

où εt est un bruit blanc et bzt�1 le résidu issu deChapitre 2 Econométrie des séries temporelles


l�estimation de la relation de long terme retardéd�une période :

bzt�1 = yt�1� bα� bβxt�1Jusqu�ici, nous avons supposé que les erreursprésentaient toutes la même variance. Cettehypothèse peut ne pas être véri�ée dans certainessituations surtout relevant du domaine de la �nance,où le prix de certains actifs dépendent de lavolatilité (variance) des mouvements de marché, quipeut changer au cours du temps selon les périodes àforts risques (rendements alternativements élevés etfaibles) ou de relative stabilité (faibles rendements).



On parle de volatilité groupée.Il y a hétéroscédasticité conditionnelle si la varianced�une série temporelle dépend de ses valeurspassées. Si cette dépendance est sous formeautorégressive, on parle de processus ARCH. Parexemple, le modèle ARCH(1) s�écrit :

yt = β0+ β1x1t + ...+ βkxkt + εt

où εt � N (0, σ2t ) avec :

σ2t = E(ε2t j Yt�1) = α0+ α1ε

2t�1

la variance conditionnelle de la série etYt�1 = fyt�1, yt�2, ...g l�information disponible en



t � 1. Les coe¢ cients α0 et α1 sont positifs ou nulspuisque la variance est positive.On montre que ε2t suit un processus AR(1) :

ε2t = α0+ α1ε2t�1+ vt

où vt = ε2t � σ2t est un bruit blanc. Ceci impliqueque les volatilités sont groupées si α1 > 0.De manière générale, les processus ARCH(p) seprésentent comme suit :

σ2t = Var(εt j Yt�1) = α0+ α1ε2t�1+ ...+ αpε

2t�p

On montre que ε2t suit un processus AR(p) :Chapitre 2 Econométrie des séries temporelles


ε2t = α0+ α1ε2t�1++...+ αpε

2t�p + vt

où vt = ε2t � σ2t est un bruit blanc.Ce sont des processus plus généraux obtenus enutilisant des modèles ARMA pour les séries ε2t . Parexemple, le modèle GARCH(1,1) est décrit par :

σ2t = Var(εt j Yt�1) = α0+ α1σ2t�1+ α2ε

2t�1

On montre que ε2t suit un processus ARMA(1, 1) :

ε2t = α0+ (α1+ α2) ε2t�1+ vt � α2vt�1

où vt = ε2t � σ2t est un bruit blanc.Chapitre 2 Econométrie des séries temporelles


De manière générale, les processus GARCH(p, q)comporte p retards de σ2t et q retards de ε2t et seprésentent comme suit :

σ2t = Var(εt j Yt�1) = α0+ α1ε2t�1+ ...+ αpε

2t�p

Pour e¤ectuer le test d�hétéroscédasticité, onprocède comme suit :�On estime le modèle de régression :

yt = β0+ β1x1t + ...+ βkxkt + εt

et l�on déduit la série des résidus, qu�on élève aucarré ;



�On estime les résidus au carré sur une constanteet sur ses p valeurs passées :bε2t = α0+ α1bε2t�1++...+ αpbε2t�p + vtet l�on obtient le coe¢ cient de détermination R2.�On teste l�hypothèse nulle d�homoscédasticitéH0 : α1 = ... = αp = 0 contre l�hypothèsealternative d�hétéroscédasticité conditionnelle,stipulant qu�au moins un des coe¢ cients αi estsigni�cativement di¤érent de 0. Sous H0, on saitque : TR2 � χ2 (p).�Si TR2 est inférieure à la valeur tabulée, on nepeut pas rejeter H0. Sinon, H0 est rejetée et onconclut à l�hétéroscédasticité conditionnelle.


Documents

Ch02 seance01-diapos