36
2 © 2009 Chenelière Éducation inc. Solutionnaire Exercices récapitulatifs Chapitre 2 (page 120) 1. a) Soit et - fx x x dx () , = = = 1 100 1 0 En remplaçant x par 100 et dx par -1, nous obtenons b) Calculons d’abord 26. Soit et fx x x dx () , = = = 0 25 1 En remplaçant x par 25 et dx par 1, nous obtenons Calculons ensuite 26 3 . Soit fx x () = 3 , x 0 = 27 et dx = -1 En remplaçant x par 27 et dx par -1, nous obtenons Nous avons donc 26 26 51 2 963 3 + + , , d’où 26 26 8 063 3 + , = = f x x dy x dx () , - ainsi - 1 2 1 2 3 3 dy = = = - - 1 2 100 1 1 2 1000 0 0005 3 ( ) ( ) , 1 99 1 100 1 10 01 0 0005 = + + + y dy , , 1 99 0 1005 , d où = = f x x dy x dx () , 1 2 1 2 ainsi dy = = = 1 2 25 1 1 25 01 () () , 26 25 5 5 01 51 = + + + y dy , , = = f x x dy x dx () , 1 3 1 3 2 3 2 3 ainsi dy = = ( ) = = 1 3 27 1 1 3 27 1 33 1 27 2 3 3 2 2 ( ) ( ) () - - - - 26 27 3 3 1 27 80 27 2 963 3 3 = + + y dy , 2. Soit x, la longueur de l’arête. a) V x dV x dx = = 3 2 3 , ainsi En remplaçant x par 8 et dx par 0,01 b) A x dA x dx = = 6 12 2 , ainsi En remplaçant x par 8 et dx par 0,01, nous obtenons 3. a) b) c) dV dV = = = 38 0 01 1 92 1 92 2 3 ()(, ) , , d où cm V V = = = (, ) , , 8 01 8 1 922 401 1 922 401 3 3 d où cm 3 dA dA = = = 12 8 0 01 0 96 0 96 ()(, ) , , d où cm 2 A A = = = 6 8 01 68 0 9606 0 9606 2 2 (, ) () , , d où cm 2 Arh r rh Ah h h h h (, ) () = + = + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 π π π π r r h Ah h , () ainsi = = 2 3 2 2 π E dA h dh h dh a = = ± ± 3 3 14 3 0 02 14 3 00 π π ( , )( , ) ( , , et 2 0 858 2 695 ) , , π cm d où cm 2 2 E a E E A dA A E r a r = 0 858 3 14 3 2 0 002 7972 2 , ( ,) , π π d où 0 28 , % E E A dA A h dh h E dh h r a r = 3 3 2 2 2 π π d où

Ch02a - Collège Lionel-Groulxmapage.clg.qc.ca/michelmilot/a11/corrige manuel...Title Ch02a.indd Created Date 7/30/2009 8:04:39 AM

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    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    SolutionnaireExercices récapitulatifs

    C h a p i t r e 2 (page 120)

    1. a) Soit et -f xx

    x dx( ) ,= = =1 100 10

    En remplaçant x par 100 et dx par -1, nous obtenons

    b) Calculons d’abord 26.

    Soit etf x x x dx( ) ,= = =0 25 1

    En remplaçant x par 25 et dx par 1, nous obtenons

    Calculons ensuite 263 .

    Soit f x x( ) = 3 , x0 = 27 et dx = -1

    En remplaçant x par 27 et dx par -1, nous obtenons

    Nous avons donc 26 26 5 1 2 9633+ ≈ +, ,

    d’où 26 26 8 0633+ ≈ ,

    ′ = =f xx

    dyx

    dx( ) ,-

    ainsi-1

    21

    23 3

    dy = = =- -12 100

    11

    2 10000 0005

    3( )

    ( ),

    1

    99

    1

    1001

    100 1 0 0005

    1

    990 1005

    = +

    ≈ +

    ≈ +

    ∆y

    dy

    , ,

    ,d où’

    1

    99

    1

    1001

    100 1 0 0005

    1

    990 1005

    = +

    ≈ +

    ≈ +

    ∆y

    dy

    , ,

    ,d où’

    ′ = =f xx

    dyx

    dx( ) ,1

    21

    2ainsi

    dy = = =12 25

    11

    2 50 1( )

    ( ),

    26 2555 0 15 1

    = +≈ +≈ +≈

    ∆ydy

    ,,

    ′ = =f xx

    dyx

    dx( ) ,1

    31

    323 23ainsi

    dy = =( )

    = =13 27

    11

    3 27

    13 3

    12723 3 2 2( )

    ( )( )

    -- - -

    26 273

    3127

    80272 963

    3 3= +≈ +

    ≈ −

    ∆ydy

    ,

    2. Soit x, la longueur de l’arête.a) V x dV x dx= =3 23, ainsi En remplaçant x par 8 et dx par 0,01

    b) A x dA x dx= =6 122, ainsi En remplaçant x par 8 et dx par 0,01, nous obtenons

    3. a)

    b)

    c)

    dVdV

    = ==

    3 8 0 01 1 921 92

    2

    3

    ( ) ( , ) ,,d où cm’

    ∆∆

    VV

    = − ==

    ( , ) ,,

    8 01 8 1 922 4011 922 401

    3 3

    d où cm3’

    dAdA

    = ==

    12 8 0 01 0 960 96

    ( )( , ) ,,d où cm2’

    ∆∆

    AA

    = − ==

    6 8 01 6 8 0 96060 9606

    2 2( , ) ( ) ,,d où cm2’

    A r h r r h

    A hh h

    h h

    ( , )

    ( )

    = +

    = +

    =

    2 2

    22

    22

    2

    2

    2

    π π

    π π rr r h

    A hh

    ,

    ( )

    ainsi =

    =

    23

    2

    E dAh dh

    h dh

    a ≈≈≈ = =± ±

    33 14 3 0 02 14 3 0 0ππ ( , )( , ) ( , ,et 22

    0 8582 695

    ),

    ,≈

    ≈π cm

    d où cm

    2

    2’ Ea

    EE

    AdAA

    E

    ra

    r

    =

    0 8583 14 3

    20 002 7972

    2

    ,( , )

    ,

    ππ

    d où’ ≈≈ 0 28, %

    EE

    A

    dAA

    h dhh

    Edh

    h

    ra

    r

    =

    ≈ ≈

    33

    22

    2

    ππ

    d où’

  • 2

    Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 31

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    4. a) 5

    53 5

    15

    32

    25 2 2 5

    xx

    x dx x dx x dx x dx+ − = ∫ + ∫ − ∫∫ -

    == + − +

    = + − +

    51

    15 3

    36

    515 2

    1 3 6

    3 6

    x x xC

    xx x

    C

    -

    -

    -

    b)

    c)

    d)

    e)

    f)

    g)

    h) En effectuant x xx x

    2

    2

    62

    − −+

    , nous obtenons

    xx x

    dx

    x dx x dx x dx

    35

    53

    4 7

    4 735

    1

    2

    5

    3

    + −

    = + −

    ∫∫

    - -

    ∫∫∫= + − +

    = + +

    x x xC

    xx

    x

    85

    12

    2

    3

    85

    412

    723

    58

    821

    2

    85

    23

    -

    -

    ++ C

    35

    315

    3

    cossin

    cos sin

    si

    xx

    dx x dx x dx− = ∫ − ∫

    =

    ∫nn

    cosx

    xC+ +

    5

    77

    77

    7

    717

    7

    77

    7

    xx

    xdx

    x dx x dx d

    x

    x

    + − + −

    = ∫ + ∫ − ∫

    ∫xx

    xdx dx

    x xx x C

    x

    + − ∫

    = + − + − +

    ∫7 1 77

    217 8

    77

    7 7

    7

    2 87

    lnln

    == + − + − +72 56

    77

    7 72 8

    7x x x x Cx

    lnln

    8

    1

    41

    7

    3 1

    81

    14

    11

    2 2 2

    2

    −−

    ++

    =−

    −+

    ∫t t t t

    dt

    tdt

    ttdt

    t tdt

    t t

    2 2

    73

    1

    1

    8 473

    ∫ ∫+ −= − +Arc Arc Arcsin tan seec t C+

    sec sectan

    sec sec tan

    θ θ θ θ

    θ θ θ

    22

    212

    2

    = ∫ − ∫

    ∫ dd θθ θ

    θ θ

    d

    C= − +22

    tansec

    ∫ − = ∫ − + −= ∫ − ∫

    ( ) ( )x x dx x x x x dx

    x dx x dx

    1 3 3 1

    3

    3 2 3 2 2

    5 4 ++ ∫ − ∫

    = − + − +

    3

    635

    34 3

    3 2

    6 5 4 3

    x dx x dxx x x x

    C

    x xx x

    xx x

    xx x

    2

    2 2

    62

    13 6

    2

    13 2

    2

    1

    − −+

    = + −+

    = + ++

    = −

    -

    - ( )( )

    33

    62

    13

    1 3

    2

    2

    xx x

    x xdx

    xdx

    dx

    Ainsi− −

    += −

    = ∫ −

    ∫ ∫11

    3x

    dx

    x x C

    ∫= − +ln

    i) 7

    34

    52

    7 12 2u u udu− −

    j)

    k)

    l)

    m)

    x

    xx

    dx x dx x dx x

    3

    333

    313

    3 31

    6

    5

    6

    1

    2

    − +

    = − +∫ ∫- - -

    ddx

    x x xC

    xx x

    = − + +

    = − + +

    13 5

    6

    316

    312

    25

    18 6

    56

    16

    12

    566 CC

    n) En effectuant xx

    2

    2

    41

    −+

    , nous obtenons

    o)

    p)

    = − ∫ −−

    = + −

    ∫∫731 4

    527

    1

    173

    45

    2

    22u

    du u duu

    du

    uu

    -

    Arcln

    ssin uC

    7+

    35 5

    1035

    11

    10

    3

    2 2tdt

    tdt dtt t

    +−

    = +

    − ∫

    =

    ∫ ∫Arc taan

    lnt

    Ct

    510

    10− +

    ( )3 52

    32

    3 52

    xx

    x dx

    xx

    x xx

    − +

    = + −

    ∫ −

    = ∫ + − −

    ∫ ∫ ∫

    5

    6 3 101

    532

    12

    x dx

    dx x dxx

    dx x dx

    == + − − +6 65

    1010

    3

    5 3x

    xx

    xCln

    11

    12 1

    1 2

    2

    1

    2

    = − +

    = ∫ −

    ∫ ∫

    ∫u

    duu u

    du

    du u-

    dduu

    du

    u u u C

    +

    = − + +∫ 1

    4 ln

    xx x

    xx

    dxx

    2

    2 2

    2

    2 2

    41

    15

    141

    15

    1

    −+

    = −+

    −+

    = −+

    ∫Ainsi

    = ∫ −+

    = − +

    dx

    dxx

    dx

    x x C

    1 51

    15

    2

    Arc tan

    ∫ + = ∫ + += ∫ −

    (tan cot ) (tan cot )

    (sec

    θ θ θ θ θ θθ

    2 2 2

    2

    2d d

    11 2 12

    2 2

    2

    + + −= ∫ += ∫ + ∫

    csc )

    (sec csc )

    sec

    θ θθ θ θ

    θ θ

    d

    d

    d ccsctan cot

    2 θ θθ θ

    dC= − +

    sin csccot

    sinsin

    t t tt

    dt

    t tt

    33

    5

    31

    − +

    =

    − + ∫

    = ∫ − ∫

    ∫ ∫dt t tt dt t dt

    t dt

    13

    5

    313

    sincossin

    sin

    ccos sin

    sincos

    t dt t dt

    t tt C

    + ∫

    = − − +

    5

    32 3

    52

  • 2

    32 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    5. a) ∫ = ∫cot cossinx dxxx

    dx

    u xdu x dx

    ==

    sincos

    b)

    u x xdu x x x dxdu x

    = += −=

    csc cot( csc cot csc )csc (c-

    -

    2

    ssc cot )x x dx+

    6. a)

    u xdu x dx

    du x dx

    = −=

    =

    53

    13

    3

    2

    2

    --

    b)

    udu d

    du d

    ==

    =

    sincos

    cos

    22 2

    12

    2

    θθ θ

    θ θ

    c)

    u x

    du x dx

    du x dx

    ==

    =

    2

    212

    cossin

    lnln sin

    xx

    dxu

    du

    u C

    x C

    ∫ ∫== += +

    1

    ∫ = ++∫csc

    csc (csc cot )(csc cot )

    x dxx x x

    x xdx

    csc (csc cot )(csc cot )

    ln

    x x x

    x xdx

    udu

    u C

    ++

    =

    = +∫ ∫ -

    -

    1

    == + +-ln csc cotx x C

    ∫ −2 52 3 8x x dx( )

    ∫ − = ∫

    = +

    = −

    2 52323 92

    275

    2 3 8 8

    9

    3 9

    x x dx u du

    uC

    x

    ( )

    ( )

    -

    -

    - ++ C

    ∫ sin cos3 2 2θ θ θd

    ∫ = ∫

    = +

    = +

    sin cos

    sin

    3 3

    4

    4

    2 21212 418

    2

    θ θ θ

    θ

    d u du

    uC

    C

    ∫ 3 2x x dxsin

    d)

    h udh u du

    dh u du

    = +=

    =

    2 12

    12

    e)

    u t tdu t t dt

    du t dt

    = + −= +

    = +

    5

    4

    4

    5 35 5

    15

    1

    ( )

    ( )

    f)

    u

    x

    dux

    dx

    dux

    dx

    =

    =

    =

    1

    1

    11

    2

    2

    -

    -

    g)

    Arcu x

    dux

    dx

    =

    =+

    tan1

    1 2

    ∫ = ∫

    = +

    = +

    3323232

    2

    2

    x x dx u du

    u C

    x C

    sin sin

    ( cos )

    cos

    -

    -

    412

    uu

    du+∫

    41

    42

    1

    22 12 1

    2

    2

    2

    uu

    duh

    dh

    h C

    u Cu

    +=

    = += + += +

    ∫ ∫lnlnln ( )) + C

    ∫ + + −( ) sec ( )3 3 5 34 2 5t t t dt

    ∫ + + − = ∫

    = +

    =

    ( ) sec ( ) sec

    tan

    3 3 5 33535

    4 2 5 2t t dt u du

    u C

    335

    5 35tan ( )t t C+ − +

    ex

    dxex

    dxx x1 1

    3132 2∫ ∫=

    13

    131313

    1

    1

    2

    ex

    dx e du

    e C

    e C

    x

    x

    u

    u

    ∫ = ∫

    = +

    = +

    -

    -

    -

    11 2( ) tan+∫ x x dxArc

  • 2

    Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 33

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    h)

    u x

    dux

    dx

    =

    =

    ln ( )5

    1

    i)

    udu d

    du d

    ==

    =

    44

    14

    θθ

    θ

    j)

    u

    t

    dut t

    dt

    =

    =

    sec

    sec tan

    313 3 3

    3 ddut t

    dt=

    sec tan3 3

    k)

    u xdu x dx

    dux

    dx

    ==

    =

    sincos

    sec

    33 3

    13

    13

    11

    12( ) tan

    lnln tan

    +=

    = += +

    ∫ ∫x x dx u duu C

    x C

    Arc

    Arcln ( )5

    2x

    xdx∫

    ln ( )

    ln ( )

    52

    12

    45

    4

    2

    2

    xx

    dx u du

    uC

    xC

    ∫ = ∫

    = +

    = +

    ∫ sec tan4 4θ θ θd

    ∫ = ∫

    = +

    =

    sec tan sec tan

    sec

    sec

    4 4141414

    4

    θ θ θd u u du

    u C

    θθ + C

    sec tan sec sec tan4 33 3 3 3 3t t

    dtt t t

    dt

    =

    ∫ ∫

    sec sec tan3 33 3 3

    3t t t

    dt u d

    = ∫∫ uu

    u C

    tC

    = +

    = +

    3434 3

    4

    4sec

    ex

    dxxsin

    sec

    3

    3∫

    l) 8

    112

    33+

    ∫v

    vdv

    u

    v

    duv

    dv

    duv

    dv

    = +

    =

    =

    11

    2

    12

    1

    2

    3

    3

    -

    -

    8

    11

    82

    42

    2

    3

    3

    3

    2

    +

    = ∫

    =

    +

    ∫v

    v

    dv u du

    u

    -

    --

    -

    -CC

    v

    C=+

    +2

    112

    2

    m)

    udu d

    du d

    ==

    =

    cotcsc

    csc

    44 4

    14

    4

    2

    2

    θθ θ

    θ θ

    --

    n)

    u e xdu e x dx

    x

    x

    = −= +

    cos( sin )

    o)

    u t

    dut t

    dt

    =

    =−

    Arc sec

    112

    ex

    dx e du

    e C

    e C

    xu

    u

    x

    sin

    sin

    sec

    3

    3

    3131313

    ∫ = ∫

    = +

    = +

    ∫ csc cot2 24 4θ θ θd

    ∫ = ∫

    = +

    =

    csc cot

    cot

    2 2 2

    3

    3

    4 41414 3

    412

    θ θ θ

    θ

    d u du

    uC

    -

    -

    - ++ C

    e xe x

    dxx

    x

    +−∫

    sincos

    e xe x

    dxu

    du

    u C

    e x C

    x

    x

    x

    +−

    =

    = += − +

    ∫ ∫sincos

    cos

    1

    2

    2

    12

    12

    212

    Arc sec t

    t tdt

    −∫

  • 2

    34 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    p)

    u ax bdu a dx

    adu dx

    = +=

    =1

    7. a)

    ux

    du dx

    du dx

    =

    =

    =

    -

    -

    -

    313

    3

    v xdv dx

    dv dx

    ==

    =

    66

    16

    b) I d d=

    =

    −∫ sin cos sin

    θ θ θ θ θ5

    45

    ∫∫∫ cos 4θ θd

    u

    du d

    du d

    =

    =

    =

    θ

    θ

    θ

    515

    5

    vdv d

    dv d

    ==

    =

    44

    14

    θθ

    θ

    21

    2

    22

    22

    2

    Arc

    Arc

    sec

    sec

    ln

    ln

    tu

    u

    t

    t tdt du

    C

    −= ∫

    = +

    = +

    CC

    ∫ +( )ax b dxr

    Si -r ≠ 1

    ∫ + = ∫

    =+

    +

    = +

    +

    +

    ( )

    ( )(

    ax b dxa

    u du

    aur

    C

    aax b

    r r

    r

    r

    1

    11

    1

    1

    1

    rrC

    ++

    1)

    Si -r = 1 ∫ + =

    = +

    = + +

    ∫( )

    ln

    ln

    ax b dxa u

    du

    au C

    aax b C

    -1 1 1

    1

    1

    I e dx e dx dxx x

    x x= +( ) = + ∫∫ ∫- -3 33 36 6

    I e du dv

    e C

    e

    u v

    u v

    x

    = ∫ + ∫

    = + +

    = +

    -

    -

    --

    316

    3

    316

    13

    3

    31

    63

    ln

    lln 336x C+

    I u du v dv

    u v C

    = ∫ − ∫

    = − +

    =

    514

    514

    5

    sin cos

    cos sin

    cos

    -

    -θ55

    14

    4 − +sin θ C

    c) I t dtt

    t t tdt= ∫ − +

    +−

    +( )∫∫8 3

    99

    1

    12 5

    u tdu dtdu dt

    = −==

    81

    1-

    -

    v tdv t dt

    dv t dt

    = +=

    =

    92

    12

    2 w t

    dwt

    dt

    dwt

    dt

    = +

    =

    =

    1

    1

    2

    21

    12

    d)

    u x

    dux

    dx

    dux

    dx

    =

    =

    =

    12

    21

    v xdv x dx

    dv x dx

    ==

    =

    4

    3

    3

    4

    14

    e)

    u hdu dh

    du dh

    = +=

    =

    3 13

    13

    v hdv dh

    dv dh

    = +=

    =

    5 65

    15

    f)

    u x

    dux

    dx

    dux

    dx

    =

    =

    =

    log

    ln

    ln

    110

    101

    v xdv dxdv dx

    ===

    --

    -

    w x

    dwx

    dx

    =

    =

    ln1

    I u du v dv w dw

    u v

    = + − ∫

    = +

    ∫ ∫-

    -

    --

    12

    1

    2

    12

    32

    9 2

    32

    32

    5

    32

    ( )

    112

    184

    23

    8 3 99

    2 1

    4

    3 24

    − +

    = − + + ++( )

    +

    wC

    t tt

    -

    -

    -( ) CC

    Ix

    xdx x x dx= − ∫∫ sec csc

    23 2 4

    I u du v dv

    u v C

    = ∫ − ∫

    = − +

    =

    214

    214

    2

    2 2sec csc

    tan ( cot )

    t

    -

    aancot

    xx

    C+ +4

    4

    Ih

    dhh

    dh=+

    −+∫ ∫

    13 1

    61

    5 62( )

    Iu

    duv

    dv

    uv C

    h

    = −

    = − +

    =+

    ∫ ∫131 6

    51

    13

    65

    13 3 1

    6

    2

    -

    -

    ln

    ( )

    lln 5 6

    5

    hC

    + +

    Ix

    xdx e dx

    x xdxx= − ∫ +∫ ∫4 5 13

    1logln

    -

  • 2

    Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 35

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    g)

    v edv e dx

    x

    x

    ==

    u edu e dx

    du e dx

    x

    x

    x

    = +=

    =

    12

    12

    2

    2

    2

    h) Ix

    xdx

    xx

    dx= −∫ ∫ln ln

    v x

    dvx

    dx

    =

    =

    ln

    1

    u x

    dux x

    dx

    dux

    dx

    =

    =

    =

    ln1 1

    2

    21

    i) I e t dt e t dtt t= ∫ − ∫sin coscos sin-

    u tdu t dt

    ==

    sincos

    v tdv t dt

    ==

    -cossin

    j) Ix

    xdx

    xx

    dx= +∫ ∫sin (ln ) ln (sin )tan

    u x

    dux

    dx

    =

    =

    ln

    1

    v x

    dvxx

    dx

    dvx

    dx

    =

    =

    =

    ln (sin )

    cossin

    tan1

    I u du e dvw

    dw

    ue

    v

    v

    = ∫ + ∫ +

    = + +

    ∫4 10 5 131

    4 102

    513

    2

    ln

    ln lnn

    ln (log )ln ln

    w C

    xe

    xC

    x

    +

    = + + +2 10 53

    2

    Ie

    edx

    ee

    dxx

    x

    x

    x=

    +−

    +∫ ∫2

    2 21 1

    Iu

    duv

    dv

    u v C

    e x

    = −+

    = − +

    = +

    ∫ ∫121 1

    112

    1

    2

    2

    ln tan

    ln (

    Arc

    ))( )

    2− +Arc tan e Cx

    I u du v dv

    u vC

    xx

    = ∫ −

    = − +

    = ( ) −

    ∫2

    22 3

    2

    23

    12

    322

    2 3ln

    (ln ) ++ C

    I e du e dve e Ce e C

    u v

    u v

    t t

    = ∫ − ∫= − += − +sin cos-

    k) Ih

    hdh e e dhh h= − ∫∫ tan (ln ) cot ( )

    v edv e dh

    h

    h

    ==

    u h

    duh

    dh

    =

    =

    ln

    1

    l) I xx

    dxx

    xdx=

    +∫ ∫sec

    csc1

    2 I x

    xdx

    x

    xdx=

    +∫ ∫sec

    csc1

    2

    u

    x

    dux

    dx

    dux

    dx

    =

    =

    =

    1

    1

    1

    2

    2

    -

    -

    v x

    dvx

    dx

    dvx

    dx

    =

    =

    =

    12

    21

    8. a)

    u xdu x dx

    du x dx

    = +=

    =

    3 46

    16

    2

    b) I d= ∫ csc csc (cot )2 2θ θ θ

    udu ddu d

    ===

    cotcsc

    csc

    θθ θ

    θ θ-

    -

    2

    2

    I u du v dv

    uv

    C

    x

    = ∫ + ∫

    = + +

    = +

    sin

    cos

    cos (ln )ln (sin

    -

    -

    2

    2xx

    C)( ) +

    2

    2

    I u du v dvu v C

    = ∫ − ∫= − +=

    tan cotln cos ln sinln cos (l

    -- nn ) ln sin ( )h e Ch− +

    I u du v dvu u v

    = ∫ + ∫= + − +

    --

    sec cscln sec tan ln csc co

    22 tt

    ln sec tan ln csc co

    v C

    x xx

    +

    = +

    − +-

    1 12 tt x C+

    Ixx

    dx x x dx=+

    = ∫ +∫ cos ( ) sec ( )3 4 3 422

    I u du

    u u C

    x

    = ∫

    = + +

    = + +

    1616

    3 42

    sec

    ln sec tan

    ln sec ( ) tann ( )3 4

    6

    2xC

    + +

    I u duu C

    C

    = ∫= += +

    -- -

    csc( cot )

    cot (cot )

    2

    θ

  • 2

    36 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    c) I x x dx= ∫ 3 3 2tan ( )

    u xdu x dx

    du x dx

    ==

    =

    36

    16

    2

    d) I t dt t dt= ∫ + = ∫ + −( )tan ( ) sec ( )2 25 1 5 1 1

    u tdu dt

    du dt

    = +=

    =

    5 15

    15

    e)

    udu d

    du d

    ==

    =

    55

    15

    θθ

    θ

    f)

    I u du

    u C

    xC

    = ∫

    = ( ) +

    = +

    3612

    3

    2

    2

    tan

    ln cos

    ln cos

    -

    -

    I t dt dt

    u dt t C

    u

    = ∫ + − ∫

    = ∫ − +

    =

    sec ( )

    sec

    tan

    2

    21

    5 1 1

    1515

    −− +

    = + − +

    t C

    tt C

    tan ( )5 15

    I d= ∫ + += ∫ +

    (sec sec tan tan )(sec

    2 2

    2

    5 6 5 5 9 55θ θ θ θ θθ 66 5 5 9 5 1

    10 5 6

    2

    2

    sec tan (sec ))( sec sec

    θ θ θ θθ

    + −= ∫ +

    d55 5 9

    10 5 6 5 5 92θ θ θ

    θ θ θ θtan )

    ( sec sec tan )−

    = ∫ + − ∫d

    d dθθ

    I u u u du d

    u

    = ∫ + − ∫

    = +

    15

    10 6 9

    15

    10 6

    2( sec sec tan )

    ( tan

    θ

    ssec )

    tansec

    u C C

    C

    + − +

    = + − +

    1 29

    2 56 5

    59

    θ

    θ θ θ

    Ixx

    xx

    dx

    x

    = − −

    =

    ∫ sincoscos

    cos(sin )

    cos

    2

    21

    1xx x

    dxx

    dxxx

    dx

    x x dxcos cos

    coscos

    sec tan

    ∫ ∫ ∫− += ∫

    1 2

    −− ∫ + ∫= − + + +

    sec cos

    sec ln sec tan sin

    x dx x dx

    x x x x C

    g) Solution 1

    udu d

    ==

    sincos

    ϕϕ ϕ

    Solution 2

    udu d

    ==

    tansec

    ϕϕ ϕ2

    h)

    i)

    u tdu t dt

    ==

    sincos

    j)

    u xdu dx

    du dx

    = −=

    =

    1 44

    14

    --

    I d

    d

    = ∫

    =

    =

    ∫cot sec

    cossin cos

    cossin

    3 2

    3

    3 2

    1

    ϕ ϕ ϕϕϕ ϕ

    ϕ

    ϕ33 ϕ

    ϕ∫ d

    I du

    du= =∫ ∫cossinϕϕ

    ϕ3 3

    1

    -

    -

    = +

    =

    12

    12

    2

    2

    uC

    sin ϕ++ C1

    I d d= ∫ = ∫cot sec sectan3 2

    2

    3ϕ ϕ ϕ ϕ

    ϕϕ

    I du

    du= =∫ ∫sectan2

    3 3

    1ϕϕ

    ϕ

    -

    -

    = +

    =

    12

    12

    2 2uC

    taan2 2ϕ+ C

    sin

    coscos cos

    2

    2

    212 2 2

    xdx

    xdx x

    x

    = − =

    ∫ −

    = − +

    = − +

    sin

    sin

    ( sin )

    2

    2

    2 212

    x

    x xC

    x x C

    ∫ + = ∫ + +=

    (sin cos ) (sin sin cos cos )t t dt t t t t dt2 2 22∫∫ +

    = ∫ + ∫= + + ∫

    ( sin cos )sin cos

    1 21 2

    21

    t t dtdt t t dt

    t C ssin cos

    s

    t t dtt C u du

    t Cu

    C

    t

    = + + ∫

    = + + +

    = +

    1

    1

    2

    2

    2

    22

    iin2 t C+

    Ix

    dx x dx=−

    = ∫ −∫ 81 4 8 1 4sin ( ) csc ( )

  • 2

    Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 37

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    k) It t

    tdt

    tt

    dt

    udu

    u

    =

    =

    =

    = +

    cos sinsin

    cossin

    1

    2

    12

    12 CC

    t C= +2 sin

    u t

    du t dt==

    sincos

    l) I d

    d

    =+

    =+

    =

    tansec

    sincos

    coss

    θθ

    θ

    θθ

    θ

    θ

    11

    11

    iincos

    coscos

    sincos

    θθ

    θθ

    θ

    θθ

    θ

    ∫+

    =+

    1

    1

    d

    d

    udu ddu d

    = +==

    cossin

    sin

    θθ θ

    θ θ

    1

    1-

    -

    m)

    udu ddu d

    ===

    cossin

    sin

    ϕϕ ϕ

    ϕ ϕ-

    -

    n)

    9. a) Ix

    dx=+∫

    41

    I u du

    u u C

    = ∫

    = +( ) +=

    814

    22

    -

    - -

    csc

    ln csc cotln cssc ( ) cot ( )1 4 1 4− + − +x x C

    Iu

    du

    u CC

    =

    = += + +

    ∫---

    1

    1lnln cosθ

    I d= ∫ −= ∫ −

    sin cos (cos sin )sin cos cos (

    ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

    2 2

    2 112 1

    2

    2

    −( )= ∫ −

    cos )sin cos ( cos )

    ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

    dd

    I u u duu du u du

    u uC

    = ∫ −= ∫ − ∫

    = − +

    =

    - ( )

    c

    2 12

    22

    4

    2

    3

    2 4

    oos cos2 4

    2 2ϕ ϕ− + C

    sincos

    sin coscos

    sinco

    2 2

    22

    xx

    dxx x

    xdx

    x dx

    ∫ ∫== ∫= - ss x C+

    u x x u

    dux

    dx x du dx

    = + ⇒ = −

    = ⇒ =

    1 1

    12

    2

    b)

    u tdu t dt

    du t dt

    = +=

    =

    2 12

    12

    c)

    u x x u

    du x dx du x dx

    = + ⇒ = −

    = ⇒ =

    2 21 1

    212

    d) Ix

    xdx=

    −∫5

    3 16

    u x x u

    du x dx du x dx

    = − ⇒ = +

    = ⇒ =

    3 3

    2 2

    16 16

    313

    Ix

    udu

    uu

    du

    duu

    du

    u u

    =

    = −

    = ∫ −

    = −

    42

    81

    8 11

    8 ln(( ) += + − +( )( ) += − +( ) +

    C

    x x C

    x x C

    1

    18 1 1

    8 8 1

    ln

    ln

    I t t dt= ∫ +( )2 91

    I u du

    uC

    tC

    = ∫

    = +

    = + +

    1212 10

    120

    9

    10

    2 10( )

    I x x dx= ∫ +( )2 9 31

    I x x x dx

    u u du

    u du u du

    = ∫ +

    = ∫ −

    = ∫ − ∫

    ( )

    ( )

    2 9 2

    9

    10 9

    1

    12

    1

    12

    (( )

    = − +

    = + − +

    12 11 10

    122

    1

    11 10

    2 11 2

    u uC

    x x( ) ( )110

    20+ C

  • 2

    38 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    e) I x x dx= ∫ + +( )6 5 2 3

    u x xu

    du dx du dx

    = + ⇒ = −

    = ⇒ =

    2 32

    3

    313

    f)

    u e e udu e dx

    x x

    x

    = + ⇒ = −=

    1 1

    g) Ix x

    x xdx= +

    +∫4

    1( )

    u x x u

    dux

    dx dx x du

    = ⇒ =

    = ⇒ =

    2

    12

    2

    Ix

    xx dx

    u

    udu

    u du u du

    =−

    = +

    = +

    3

    32

    1613

    16

    13

    1612

    1

    2

    -

    ∫∫( )= +

    +

    = − +

    13 3

    2

    1612

    29

    163

    32

    12

    3 2

    u uC

    x( )223

    163x C− +

    Iu

    u du

    u u du

    = − +

    = ∫ − +

    =

    ∫13 62

    35

    13

    2 4 5( )

    113

    2

    13

    252

    32

    4

    32

    12

    52

    32

    u u du

    u uC

    +( )

    = +

    +

    =

    (( ) ( )2 315

    2 2 39

    5 3+ + + +x x C

    Ie

    edx

    ee

    e dxx

    x

    x

    xx=

    +=

    +∫ ∫2

    1 1

    Iu

    udu

    duu

    du

    u u Ce ex x

    = −

    = ∫ −

    = − += + − + +

    ∫∫

    1

    11

    1 1ln

    ( ) ln CCe e Cx x= − + +ln ( )1

    v udv u du

    = +=

    2 12

    h) Ix

    xdx=

    +∫2

    44 3( )

    u x x

    u

    du dx dx du

    = + ⇒ = −

    = ⇒ =

    4 34

    3

    313

    I

    u

    udu

    u uu

    du

    u

    =

    = − +

    = ∫

    13

    43

    127

    8 16

    127

    2

    4

    2

    4

    -- - -

    - -

    - -

    2 3 4

    1 2

    8 16

    127 1

    82

    16

    du u du u du

    u u

    − ∫ + ∫( )

    = − + uu C

    x x

    -

    -

    -

    3

    2

    3

    127 4 3

    427 4 3

    1681 4

    +

    =+

    ++

    −( ) ( ) ( ++

    +3 3x

    C)

    10. a) I x dx x dxx

    dxe

    xdx

    x= + − +∫ ∫ ∫ ∫2 7 5 1

    12

    1

    2

    -

    u x

    dux

    dx

    =

    = 12

    b) It t

    dtt

    dt=+ +

    =+∫ ∫

    11

    112 2( )

    u tdu dt

    = +=

    1

    Iu u

    u ux dx

    u uu u

    u du

    = ++

    = ++

    =

    41

    2

    24 1

    1

    2

    2

    2 2

    2 2

    ( )

    ( )( )

    44 11

    42

    12

    11

    4 1 2

    2

    2 2

    2

    uu

    du

    uu

    duu

    du

    u

    ++

    =+

    ++

    = + +

    ∫ ∫ln AArc

    Arc

    tan

    ln tan

    u C

    x x C

    += +( ) + +4 1 2

    Ix

    x x e Cx= + − + +43

    14 5 23

    ln

    Iu

    duu

    Ct

    C= = + =+

    +∫ 1 1 112- -

    ( )

  • 2

    Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 39

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    c) I e e e dxx x x= ∫ sin ( ) cos ( )4

    u edu e e dx

    x

    x x

    ==

    sin ( )cos ( )

    d) Ie

    edx e dx dx

    x

    xx=

    ++ ∫ + ∫∫

    2

    22

    22 1-

    u edu e dx

    du e dx

    x

    x

    x

    = +=

    =

    22

    12

    2

    2

    2

    v xdv dx

    dv dx

    ==

    =

    -2-2

    -12

    e)

    f)

    h udh du

    dh du

    = +=

    =

    3 13

    13

    g) I x xx

    dx

    x dx x dx dx

    = − − +−

    = ∫ − ∫ − ∫ +−

    ∫ --

    2

    2

    11

    11

    1 xxdx∫

    u xdu dx

    = −=

    1-

    h)

    I u duu

    Ce

    Cx

    = ∫ = + = +45 5

    5 5sin ( )

    Iu

    du e dv dx

    u e x C

    v

    v

    = + ∫ + ∫

    = − + +

    ∫121

    212

    1

    12

    -

    ln

    == + − + +ln ( )22

    22

    ee x C

    xx-

    I x xx

    dx

    x xx C

    = − +

    = − + +

    ∫23

    1

    6

    53

    56

    44

    35

    245

    4

    -

    ln

    == − + +35

    245

    453 56x x

    x Cln

    Iu

    du duu

    du= ++

    = ∫ + +∫ ∫2

    33 1

    23

    3 1

    I duh

    dh

    u h C

    u u C

    = ∫ +

    = + += + + +

    ∫2 3 131

    2

    2 3 1

    ln

    ln

    Ix x

    x x C= − − − − +-3 2

    3 21ln

    I a b dt a b t C= + ∫ = + +2 2 2 2

    i)

    u xdu x x dx

    = −= − −

    csc ( )csc ( ) cot ( )

    11 1

    j)

    udu d

    ==

    tansec

    θθ θ2

    vdv d

    ==

    secsec tan

    θθ θ θ

    k)

    l) Iy

    dyy

    dy=−

    =−

    ∫ ∫17 1

    7

    17

    1

    17

    2 2

    uy

    du dy

    du dy

    =

    =

    =

    717

    7

    m) It t t

    dt=−∫

    1

    12ln ln

    u t

    dut

    dt

    =

    =

    ln

    1

    I x x x dx= − − −∫ csc ( ) csc ( ) cot ( )12 1 1 1

    I u du u Cx

    C= = + = − +∫ 12 32322

    32 1

    3csc ( )

    I d d= ∫ + ∫sec tan sec tan sec2 3 2θ θ θ θ θ θ θ

    I u du v dvu v

    C

    C

    = ∫ + ∫

    = + +

    = + +

    3 2

    4 3

    4 3

    4 3

    4 3tan secθ θ

    61 2

    61

    1

    61

    2

    2 2

    2

    +=

    + −

    =

    =

    ∫ ∫

    ∫cos cos sin

    cos

    xdx

    x xdx

    xdx

    333

    2∫= +

    sectan

    x dxx C

    Iu

    du

    u C

    yC

    =−

    = +

    = +

    ∫17 71

    1

    7

    2

    Arc

    Arc

    sin

    sin

    Iu u

    du

    u Ct C

    =−

    = += +

    ∫ 1 12ArcArc

    secsec (ln )

  • 2

    40 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    n) Ix

    xdx

    xx

    dx=−

    +−∫ ∫8 1 8 12 2 2( )

    u xdu x dx

    du x dx

    = −=

    =

    12

    12

    2

    --

    v xdv x dx

    dv x dx

    ==

    =

    2

    212

    o) I x dx x x dx= ∫ + ∫ +3 3 14 2 3 12( )

    u xdu x dx

    du x dx

    = +=

    =

    3

    2

    2

    13

    13

    p) Ie

    edx

    e

    edx

    x

    x

    x

    x=

    +

    =

    +

    ∫ ∫9

    49

    1

    19 2

    31

    2 2

    u e

    du e dx

    du e dx

    x

    x

    x

    =

    =

    =

    2323

    32

    q) I x x x dx= ∫ −2 21

    u x x u

    du x dx x dx du

    = − ⇒ = −

    = ⇒ =

    1 1

    212

    2 2

    --

    Iu

    duv

    dv

    u

    = + −

    = +

    ∫ ∫8 121

    812

    11

    8 4

    12

    12

    2

    -

    - Arcc- Arc

    sinsin

    v C

    x x C

    += − + +8 1 42 2

    I x dx u du

    x uC

    x

    = ∫ + ∫

    = + +

    = +

    3 313

    35 13

    35

    4 12

    5 13

    5 (( )xC

    3 13113+ +

    Iu

    du

    u C

    ex

    = +

    = +

    =

    ∫1932

    11

    1616

    23

    2

    Arc

    Arc

    tan

    tan + C

    r) Ie

    e edt

    ee e

    dtt

    t t

    t

    t t=

    −=

    −∫ ∫2 2 21 1( ) ( )

    u edu e dt

    t

    t

    ==

    s) Ix

    xdx

    xdx=

    −+

    −∫ ∫1 21

    12 2

    u xdu x dx

    du x dx

    = −=

    =

    12

    12

    2

    --

    t)

    v edv e du

    u

    u

    ==

    u)

    u udu d d du

    = − ⇒ = −= ⇒ =

    1 12 2

    tan tansec sec

    θ θθ θ θ θ- -

    I u u du

    u du u du

    u

    = −

    = +

    =

    ∫ ∫

    -

    -

    -

    12

    1

    12

    12

    12 3

    12

    12

    32

    32

    ( )

    22

    12 5

    2

    13

    15

    52

    2 3 2 5

    + +

    = − + − +

    uC

    x xC

    - ( ) ( )

    Iu u

    du

    u Ce Ct

    =−

    = += +

    ∫ 1 12ArcArc

    secsec ( )

    Iu

    du x C

    x x C

    = + +

    = − + +

    ∫- Arc- Arc

    12

    12

    1 2

    12

    1

    2

    sin

    sin

    Ie e

    due

    edu

    u u

    u

    u=

    +( ) = +∫ ∫1

    1 12 2- ( ) ( )

    Iv

    dv v C e Cu=+

    = + = +∫ 1 12 Arc Arctan ( ) tan ( )

    I d=−∫

    sec tantan

    2

    1θ θ

    θθ

    Iu

    udu

    udu du

    u u C

    = − = + ∫

    = + += −

    ∫ ∫1 1 1

    1

    (- -

    --

    )

    lnln tanθ ++ − +

    = − − +( tan )

    ln tan tan1

    θ θC

    C-

  • 2

    Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 41

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    v)

    u x

    dux

    dx

    =

    =

    ln

    1

    w)

    u xdu x dx

    du x dx

    = +=

    =

    2 12

    12

    x)

    u y

    duy

    dy

    =

    =

    ln1

    y)

    u x xdu x x dx

    = −= −

    3 2

    23 2( )

    Ix

    xdx

    xdx

    xx

    dx

    = −

    = −

    ∫ ∫

    32

    7 5

    32

    71 15

    2

    ln ln

    lnln

    Ix

    dx u du

    x uC

    = − ∫

    = − +

    =

    ∫3 721 15

    23 7

    2152 2

    3 7

    2

    ln

    ln ln

    ln lln (ln )x xC

    215

    4

    2− +

    Ix x

    xdx

    x xx

    dx

    xx

    = + ++

    = + + ++

    = ++

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    4 41

    1 4 31

    1

    ( )

    114

    13

    112 2

    dxx

    xdx

    xdx∫ ∫ ∫+ + + +

    I dxu

    dux

    dx

    x u

    = ∫ + + +

    = + +

    ∫∫1 4 121

    31

    12 3

    2

    ln taArc nnln ( ) tan

    x Cx x x C

    += + + + +2 1 32 Arc

    Iy

    y ydy

    y ydy=

    −=

    −∫ ∫2 2 211

    1ln (ln )

    Iu

    du u y C=−

    = = +∫ 11 2 Arc Arcsin sin (ln )

    I x x e dxx x= ∫ − −3 3 22 3 2( ) ( )

    I e du e C e Cu u x x= ∫ = + = +−3 3 3 3 2( )

    z) I e d= ∫ −sin cos (sin cos )2 2 2 22 2θ θ θ θ θ

    udu d

    du

    == −

    =

    sin cos(cos sin )

    (sin

    2 22 2 2

    12

    2 2

    θ θθ θ θ

    - 22 22 2θ θ θ− cos ) d

    11. a)

    Implicite :

    Explicite :

    b)

    Implicite :

    Explicite :

    c)

    Implicite :

    Explicite :

    d)

    Implicite :

    Explicite :

    e)

    I e du e Ce

    Cu u= ∫ = + = +- - -12

    12 2

    2 2sin cosθ θ

    dydx

    x yy

    dy x dx= =, 1

    y dy x dx-12

    12∫ ∫=

    223

    3 3

    32

    32

    32

    1

    2

    1

    y x C

    yx

    Cx

    C

    = +

    = +

    +

    >, où 00

    223

    3 3

    32

    32

    32

    1

    2

    1

    y x C

    yx

    Cx

    C

    = +

    = +

    +

    >, où 00

    dydx

    xe ee

    dy xe dxx yy

    x= =2 21,

    ∫ = ∫e dy xe dxy x- 2

    Implicite: -

    où -

    -

    -

    -

    ee

    C

    e Ce

    C C

    y

    yx

    yx

    = +

    = − =

    =

    2

    2

    2

    21 1,

    lln Ce

    Cex x

    1 1

    2 2

    2 20−

    >, où

    Explicitte: - , oùy Ce

    Cex x= −

    >ln 1 1

    2 2

    2 20

    Implicite: -

    où -

    -

    -

    -

    ee

    C

    e Ce

    C C

    y

    yx

    yx

    = +

    = − =

    =

    2

    2

    2

    21 1,

    lln Ce

    Cex x

    1 1

    2 2

    2 20−

    >, où

    Explicitte: - , oùy Ce

    Cex x= −

    >ln 1 1

    2 2

    2 20

    432 3

    +

    = −y yy

    dy x x dxcos

    (sec )

    41

    32 3y

    dy y dy x dx x dx∫ + ∫ = ∫ − ∫cos sec

    Implicite:

    Explicite au

    434

    4ln sin tan

    :

    y y xx

    C+ = − +

    ccune

    Implicite:

    Explicite au

    434

    4ln sin tan

    :

    y y xx

    C+ = − +

    ccune

    dydx

    yxy

    xdy y x

    xdx= + = +

    2 2

    1,

    1 12y

    dy x dxx

    dx∫ ∫= ∫ +

    Implicite: ln yx

    xC

    y e ex

    xx

    xC

    = − +

    = =− +( ) −

    2

    21

    22

    1 22

    1(( )−( )= =

    e

    y C e C e

    C

    Cx

    xExplicite: où1 122

    1,

    Implicite: ln yx

    xC

    y e ex

    xx

    xC

    = − +

    = =− +( ) −

    2

    21

    22

    1 22

    1(( )−( )= =

    e

    y C e C e

    C

    Cx

    xExplicite: où1 122

    1,

    ( )1 2 02+ + − =x dydx

    xy x

    ( ) ( )( ) ( )1 21 2

    12

    2

    2

    + = −+ = −

    −=

    x dy x xy dxx dy x y dx

    ydy

    x11 2+ x

    dx

  • 2

    42 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    Implicite :

    Explicite :

    f)

    12. a)

    En remplaçant x par 4 et y par -3, nous obtenons

    b)

    En remplaçant s par 20 et t par 5, nous obtenons

    Implicite: -

    -

    ln ln

    ln ln ( ) ln

    212

    1

    212

    1

    2

    2

    − = + +

    − = + +

    y x C

    y x CC C e

    yC

    x

    yC

    x

    y

    C1 1

    12

    12

    21

    21

    ,

    ln ln

    Explicite:

    -=

    − =+

    − =+

    ==+

    + >Cx

    C12 11

    2 0, où

    Implicite: -

    -

    ln ln

    ln ln ( ) ln

    212

    1

    212

    1

    2

    2

    − = + +

    − = + +

    y x C

    y x CC C e

    yC

    x

    yC

    x

    y

    C1 1

    12

    12

    21

    21

    ,

    ln ln

    Explicite:

    -=

    − =+

    − =+

    ==+

    + >Cx

    C12 11

    2 0, où

    x y dyxy

    dx

    yyy

    dy

    costan

    cossincos

    = ++

    +

    =

    11

    11 ++

    ∫ + ∫ = +∫ ∫

    xx

    dx

    y dy y dyx

    dx x dxcos sin1 1

    2-

    ImpliciteExplicite : aucu

    : sin cos lny y x x C− = + +2nne

    dydx

    xy

    y dy x dx

    y dy x dx

    y xC

    =

    =∫ = ∫

    = +2 2

    2 2

    92

    16272

    2 272

    7

    2 2

    2 2

    = +

    =

    = −

    = −=

    C

    C

    y x

    y xy x

    -

    donc

    d’où - 22 7 car−

    CCC

    s t sdonc 00 0

    4

    4

    4

    , )ln ln

    ln ln

    ts es e e

    s t

    t

    t

    >==

    =

    +

    d’où

    c)

    En remplaçant x par 6 et y par 1, nous obtenons

    d)

    En remplaçant y par 8 et x par 4, nous obtenons

    e)

    En remplaçant y par 0 et x par 0, nous obtenons

    f)

    xx

    dxy e

    ydy

    xdx

    yye

    y

    y

    +−

    = +( )

    +−( ) = +

    −∫

    35

    1

    18

    51

    2 12

    2 11

    18 5

    2

    2

    + − = + +

    ∫−

    dy

    x x ye

    Cy

    ln ln

    6 8 1 12

    112

    8 5

    0

    2

    + = + +

    =

    + − = +−

    ln ln

    ln ln

    eC

    C

    x x yey

    d où’11

    2112

    +

    dydx

    e

    dy e e dxe dy e dxe dy e dx

    x y

    x y

    y x

    y x

    =

    ==

    ∫ = ∫

    −2

    2

    2

    2

    -

    ee e Cy x= +12

    2

    e e C

    e C

    e e e

    ye

    y x

    8 8

    8

    2 8

    2

    12

    12

    12

    12

    = +

    =

    = +

    =

    donc

    d’où lnxx e+

    8

    2

    13 5

    13 5

    15

    3 52

    2

    −=

    −= ∫

    − = +

    ∫y

    dy x dx

    ydy x dx

    yx

    C-

    ln

    -

    donc-

    -

    15

    3

    15

    3 52

    15

    3

    2 3 5 5

    2

    2

    ln

    ln ln

    ln

    =

    − = −

    − =

    C

    yx

    y x ++

    − = +

    − =

  • 2

    Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 43

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    En remplaçant x par π4

    et t par π, nous obtenons

    g)

    u t tu

    du dt dt du

    = + ⇒ = −

    = ⇒ =

    2 33

    2

    212

    En remplaçant v par 5 et t par 3, nous obtenons

    h)

    En remplaçant y par 0 et θ πpar2

    , nous obtenons

    tan cos

    tan cos

    π π41 10

    = +

    = +==

    =

    -

    donc -d’où A

    C

    CC

    x tx rrc -tan ( cos )t

    12 3

    2 3

    2

    2

    vdv t t dt

    v dv t t dt

    = +

    ∫ = ∫ +-

    ∫ = −

    ∫ = −( )

    =

    ∫∫

    v dvu

    u du

    v dv u u du

    v

    -

    -

    -

    2

    2

    12

    32

    14

    3

    1

    32

    12

    114 5

    2

    332

    1 2 310

    2

    52

    32

    5

    u uC

    vt t

    +

    = + − +- ( ) ( 332

    3) + C

    -

    -

    -

    donc-

    15

    910

    92

    15

    24310

    272

    11

    1

    5 3= − +

    = − +

    =

    =

    C

    C

    C

    v(( ) ( )

    ( ) ( )

    2 310

    2 32

    11

    2 3 5 2 3 110

    5 3

    5 3

    t t

    t t

    + − + −

    = + − + −110

    10

    110 5 2 3 2 33 5d où’ v

    t t=

    + + − +( ) ( )

    sin cossin

    cossin

    θ θθ

    θ

    θ θθ

    θ

    + = ++

    ∫ + =∫

    dy

    ydy

    d dy

    11

    1

    2

    111

    1

    12

    2 2

    2

    ++

    +

    + = + +

    ∫ ∫y dy y dyy

    yθ θln sin ln ( ) tanArc ++ C

    π

    π

    θ θ

    21

    12

    0

    21

    + = + +

    =

    + =

    lnln

    tan

    ln sinln (

    Arc

    d où

    C

    C

    ’++ + +y y

    2

    2 2)

    tanArcπ

    13. a) ′′ = + +′ = ∫ + +′

    f x e e x

    f x e e x dxf

    x x

    x x

    ( ) cos

    ( ) ( cos )(

    -

    -

    xx e e x Cx x) sin= − + +- 1En remplaçant x par 0, nous obtenons

    En remplaçant x par 0, nous obtenons

    b)

    En remplaçant x par 2 et ′g x( ) par 11, nous obtenons

    En remplaçant x par 0 et g(x) par 1, nous obtenons

    c)

    En remplaçant x par 1 et k x( ) par -5, nous obtenons

    ′ = − + += − + +=

    f e e CC

    Cf x

    ( ) sin

    ( )

    0 01 1 1 01

    0 01

    1

    1

    -

    donc == − + += ∫ − + +=

    e e x

    f x e e x dxf x

    x x

    x x

    -

    -

    sin

    ( ) ( sin )( )

    1

    1ee e x x Cx x+ − + +- cos 2

    f e e CC

    Cf x e e x xx x

    ( ) cos

    ( ) cos

    0 0 02 1 1 11

    1

    0 02

    2

    2

    = + − + += + − +== + − + +

    -

    -d’où

    ′′ = −′ = ∫ −′ = − +

    g x x

    g x x dxg x x x C

    ( )

    ( ) ( )( )

    12 8

    12 86 82 1

    11 6 2 8 23

    6 8 3

    21

    12

    = − +=

    ′ = − +=

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    CC

    g x x x

    g x

    donc

    ∫∫ − += − + +

    ( )( )

    6 8 32 4 3

    2

    3 22

    x x dxg x x x x C

    12 4 3 1

    23 2

    == − + +

    Cg x x x xd’où ( )

    ′′ =

    ′ = = +∫

    k xx

    k xx

    dxx

    C

    ( )

    ( )

    6

    6 6

    2

    2

    -

    m

    kk

    knormale

    -

    -

    -

    3 3 0 25

    13

    0 25

    3 4

    6

    , ( ) ,

    ( ),

    ( )

    ( ) =

    ′=

    ′ =

    334

    2

    62

    62

    + =

    =

    ′ = −

    = −

    C

    C

    k xx

    k xx

    -

    -

    donc-

    -

    ( )

    ( ) ddx

    k x x x C

    ∫= − +( ) ln-6 2 1

    - --

    d où -

    5 6 1 2 136 2 3

    1

    1

    = − +== − −

    ln ( )

    ( ) ln

    CC

    k x x x’

  • 2

    44 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    d) ′′ =′ = ∫′ = +

    = ∫ +

    h x x

    h x x dxh x x C

    h x x

    ( )

    ( )( )

    ( ) (

    6

    63

    3

    21

    2 CC dxh x x C x C

    13

    1 2

    )( ) = + +

    En remplaçant successivement x par 0 et x par -3, nous obtenons

    b a

    De a, nous trouvons C2 = 5.

    En substituant cette valeur dans b, nous avons

    14. a)

    b) i) En remplaçant x par 2 et y par e, nous obtenons

    ii) En remplaçant x par -1 et y par -e, nous obtenons

    15. a)

    Ainsi chaque courbe est un cercle centré au point A(4, 0) et de rayon C .

    b) Soit

    La pente m2 de la famille cherchée est

    ab

    54 3 3

    23

    1 2

    == + +

    CC C- - -( ) ( )

    - -donc -d’où

    4 27 3 56

    6 5

    1

    13

    = − +=

    = − +

    CCh x x x( )

    dydx

    xy

    ydy x dx

    ydy x dx

    yx

    C

    y e

    y

    x C

    =

    =

    = ∫

    = +

    =

    +

    1

    1

    2

    2

    22

    ln

    ==

    = ≠

    e e

    y ke k

    Cx

    x

    22

    22 0, où

    e ke

    ke

    ye

    ex

    =

    =

    =

    2

    1

    1 22

    Ainsi

    d où’

    -Ainsi -

    d’où -

    e kek e

    y e ex

    ==

    =

    12

    2

    2

    ( )( )

    ( )

    (

    x dx y dyy dy x dx

    y dy x dx

    y

    − + == −

    ∫ = ∫ −

    =

    4 04

    4

    2

    2 - 442

    4 4

    2

    2 2 2 2

    − +

    − + = − + =

    xC

    x y C x y C

    )

    ( ) ( )ou

    mx

    ydydx

    xy

    14 4= − = −

    famille de courbes en a) où

    my

    xm

    m

    dydx

    yx

    dyy

    dx

    2 2141

    4

    =−

    =

    =−

    =

    car-

    Ainsi

    xx

    ydy

    xdx

    y x C

    y x D

    =−

    = − += − +

    ∫ ∫4

    1 144

    4

    ln ln

    ln ln lnd’ooù y D x= −( )4

    c) > with(plots):> c1:=implicitplot((x-4)^2+y^2=1,x=-2..10,y=-6..6,color=red):> c2:=implicitplot((x-4)^2+y^2=5,x=-2..10,y=-6..6,color=red):> c3:=implicitplot((x-4)^2+y^2=9,x=-2..10,y=-6..6,color=red):> c4:=implicitplot((x-4)^2+y^2=25,x=-2..10, > y=-6..6,color=red):> d1:=plot(3*(x-4),x=-2..10,y=-6..6,color=blue):> d2:=plot(-0.5*(x-4),x=-2..10,y=-6..6,color=blue):> d3:=plot((x-4),x=-2..10,y=-6..6,color=blue):> d4:=plot(0.2*(x-4),x=-2..10,y=-6..6,color=blue):> display(c1,c2,c3,c4,d1,d2,d3,d4,scaling=constrained);

    4 8 10-2

    -4

    -6

    2

    4

    6

    y

    x

    d) En remplaçant x par 6 et y par 3dans ( )x y C− + =4 2 2 ,nous obtenons ( )6 4 32

    2− + ( ) + C , donc C = 7 et dans y D x= −( )4 , nous obtenons 3 6 4= −D( ) ,

    donc D = 32

    ,

    16. a) ykx

    mdydx

    kx

    = = =, 1 32-

    Puisque la famille F2 est orthogonale à F

    1

    d’où F2 :

    yx C

    22

    2− =

    my

    xm

    m

    dydx

    yx

    dyy

    dx

    2 2141

    4

    =−

    =

    =−

    =

    car-

    Ainsi

    xx

    ydy

    xdx

    y x C

    y x D

    =−

    = − += − +

    ∫ ∫4

    1 144

    4

    ln ln

    ln ln lnd’ooù y D x= −( )4

    d’où les équations

    et

    ( )

    ( )

    x y

    y x

    − + =

    = −

    4 73

    24

    2 2

    my x

    xk y x

    myx

    1 3

    1

    2

    2

    = =( )

    =

    -car

    -

    mm

    m m

    dydx y

    x

    xy

    y

    21

    1 21

    1

    1

    2

    2

    = =

    =

    =

    -car -

    --

    ( )

    ddy x dx

    yx C

    = ∫

    = +

    2

    2

    22

  • 2

    Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 45

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    b) F1 : y

    kx

    = et F2 :

    yx C

    22

    2− =

    i) En remplaçant x par 4 et y par 2, nous obtenons

    24

    = k , donc k = 4 ( ) ( ) ,22

    42

    2− = C donc C = -14

    Courbe de F1 : y

    x14= Courbe de F

    2 : y x2

    22

    214− = -

    ii) En remplaçant x par 1,44 et y par -5

    -51 44

    = k,

    , donc k = -6 ( )

    ( , ) ,-52

    1 442

    2− = C donc C = 10,4264

    Courbe de F1 : y

    x36= - Courbe de F

    2 : y x4

    22

    210 4264− = ,

    c) > with(plots): > y1:=plot(4/x^(1/2),x=0..10,y=-8..8,color=blue): > y2:=implicitplot(y^2/2-x^2=-14,x=0..10,y=-8..8,color=red): > y3:=plot(-6/x^(1/2),x=0..10,y=-8..8,color=blue): > y4:=implicitplot(y^2/2-x^2=10.4264,x=0..10,y=-8..8,color=red):

    > display(y1,y2,y3,y4,scaling=constrained,view=[0..10,-8..8]);

    17. a)

    F1 : y y e k kx= + ∈{ }, où IR IRy y e k kx= + ∈{ }, où IR F2 : z z ke kx= ∈{ }, où IR IRz z ke kx= ∈{ }, où IR

    mdydx

    ex1 = =

    y e Cx= +-

    F3 : y y e Cx= +{ }- F4 : z z x K2 2+ ={ }

    0

    2

    4

    6

    8

    -8

    -6

    -4

    -2x

    y

    2 4 6 8 10

    2

    yx4

    22

    210 4264− = ,

    yx

    36

    =-

    yx

    14=

    -

    mdzdx

    ke

    ze

    e

    kz

    ez

    x

    xx

    x

    1 = =

    =

    =

    =

    car

    dydx m ex

    = =- -1 11

    dzdx m z

    = =- -1 11

    ∫ = ∫dy e dxx- - ∫ = ∫z dz dx-

    zx C

    2

    12= +-

    b)

    En remplaçant x par 0 En remplaçant x par 0et y par 3 et z par 3

    dans F1 : 3 20= + =e k k, donc dans F

    2 :

    y ex1 2= + z ex2 3=

    dans F3 : 3 20= + =e C C, donc dans F

    4 :

    y e x3 2= +- C4 : z x2 2 9+ =

    c)

    y ex1 5= + y ex2 3= −

    Si x y e= = +2 51 2, Si x y e= = −2 32 2,

    En remplaçant x par 2 En remplaçant x par 2et y par e2 5+ , dans F

    3 et y par e2 3− , dans F

    3

    > with(plots): > y1:=plot(exp(x)+5,x=0..4,color=blue): > y2:=plot(exp(x)-3,x=0..4,color=blue): > y3:=plot(exp(-x)+exp(2)+5-exp(-2),x=0..4,color=red): > y4:=plot(exp(-x)+exp(2)+3-exp(-2),x=0..4,color=red): > display(y1,y2,y3,y4,scaling=constrained,view=[0..4,-3..15]);

    d)

    z ex1 5= z ex2 3= -

    Si x z e= =2 51 2, Si -x z e= =2 322,

    En remplaçant x par 2 En remplaçant x par 2et z par 5 2e , dans F4 et z par -3 2e ,dans F4

    d’où C3 : d’où C

    4 :

    18. a)

    3 30= =ke k, donc

    3 2 0 92 + = =( ) ,K Kdonc

    e e CC e ey e e ex

    2 2

    2 2

    32 2

    55

    5

    + = += + −

    = + + −

    -

    -

    - -d où’ ( )

    e e CC e ey e e ex

    2 2

    2 2

    42 2

    33

    3

    − = += − −= + − −

    -

    -

    - -d où’ ( )

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    -2 x2 4

    y e e ex3 2 25= + + −( )- -- -y e e ex4 2 23= + − −( )

    y ex2 3= −

    y ex1 5= +

    ( ) ( )5 2 22 2e K+ = ( ) ( )-3 2 22e K+ =

    K e= +25 44 K e= +9 44

    z x e2 42 25 4+ = + z x e2 42 9 4+ = +

    a

    dvdtdv dtdv dt

    v

    =

    =

    =∫ = ∫

    =

    -

    -

    --

    -

    9 8

    9 8

    9 89 8

    9 8

    ,

    ,

    ,( , ), tt C+ 1

  • 2

    46 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    En remplaçant t par 0 et v par 24,5, nous obtenons

    b)

    En remplaçant t par 0 et h par 245, nous obtenons

    c) À sa hauteur maximale, la vitesse est nulle.

    d)

    d’où 275,625 m

    e) Déterminons t lorsque h = 0.

    d’où 73,5 m/s

    19. Puisque

    car

    dvdt

    a

    dvt

    dt at

    =

    =−

    =−

    10025 2

    10025 22( ) ( ))

    ( )

    ( )

    2

    2100

    125 2

    5025 2

    ∫ =−

    =−

    +

    ∫dv t dt

    vt

    C

    En remplaçant t par 0 et v par 4, nous obtenons

    45025 1

    = + C , donc C1 2=

    Distance parcourue

    24 5 9 8 024 5

    9 8 24 5

    1

    1

    , , ( ),

    , ,

    = +== +

    -

    d’où -

    CC

    v t

    dhdt

    t

    dh t dt

    dh t

    = +

    = +∫ = ∫

    -

    -

    -

    9 8 24 5

    9 8 24 5

    9 8

    , ,

    ( , , )

    ( , ++= + +

    24 54 9 24 52 2

    , ), ,

    dth t t C-

    245 4 9 0 24 5 0245

    4 9 2

    22

    22

    = + +== +

    -

    d’où -

    , ( ) , ( )

    ,

    CC

    h t 44 5 245, t +

    Donc -- -

    d où s

    9 8 24 5 09 8 24 5

    2 5

    , ,, ,

    ,

    tt

    t

    + ==

    =’

    h( , ) , ( , ) , ( , )2 5 4 9 2 5 24 5 2 5 2452= + +-

    -4 9 24 5 245 02, ,t t+ + =

    donc- -

    -

    -

    t

    v

    = − − =

    = +

    24 5 24 5 4 4 9 245

    2 4 910

    10 9 8 10 24 5

    2, , ( , )( )

    ( , )

    ( ) , ( ) ,

    Ainsi vt

    =−

    +5025 2

    2( )

    Puisquedxdt

    v

    dxt

    dt

    dx

    =

    =−

    +

    ∫ =−

    5025 2

    2

    5025 2tt

    dt

    x t t C

    +

    = − + +

    ∫ 225 25 2 2- ln

    Distance parcourue-

    = −= + −

    x x( ) ( )( ln ) (

    7 325 11 14 --

    d’où mèt

    25 19 6

    8 251911

    21 66

    ln )

    ln

    ,

    +

    = +

    ≈d rres

    Distance parcourue-

    = −= + −

    x x( ) ( )( ln ) (

    7 325 11 14 --

    d’où mèt

    25 19 6

    8 251911

    21 66

    ln )

    ln

    ,

    +

    = +

    ≈d rres

    20. a)

    En remplaçant t par 0 et v par 27, nous obtenons

    En remplaçant t par 2 et v par 24, nous obtenons

    En remplaçant t par 2 et x par 55, nous obtenons

    i)

    ii)

    b)

    Ainsi la particule s’arrête après 6 secondes et change de direction, car v change de signe.

    i)

    ii)

    a kt

    dvdt

    kt advdt

    dv kt dt

    v kt

    =

    = =

    ∫ = ∫

    = +

    car

    2

    2CC

    27 0 27

    227

    2

    = + =

    = +

    k C C

    v kt

    , ,ainsi donc

    2422

    2732

    34

    27

    2

    2

    = + =

    = +

    k k

    vt

    dxdt

    ( ), ,ainsi

    -donc

    -

    == + =

    ∫ = +

    -car

    -

    34

    27

    34

    27

    2

    2

    tv

    dxdt

    dxt

    = + +

    ∫ dt

    xt

    t C- 3

    427

    5524

    27 2 3

    427

    3

    3

    = + + =

    = + +

    -ainsi donc

    -

    ( )( ) , ,C C

    xt

    t 33

    v v( )( )

    , ( )43 4

    427 15 4 15

    2= + = =- d où m/s’

    x x( )( )

    ( ) , ( )444

    27 4 3 95 4 953

    = + + = =- d où m’

    v v( )( )

    , , ( ) ,73 7

    427 9 75 7 9 75

    2= + = =- - d où - m/s’

    x x( )( )

    ( ) , ( ) ,774

    27 7 3 106 25 7 106 253

    = + + = =- d où m’

    x x( )( )

    ( ) , ( ) ,774

    27 7 3 106 25 7 106 253

    = + + = =- d où m’

    En posant nous obtenons-

    d

    v

    t

    t

    =

    + =

    =

    034

    27 0

    36

    2

    2

    ,

    , oonc s - est à rejeter)t = 6 6(

    d x x

    d[

    [

    ( ) ( )0

    0

    4 0 95 3 92

    92s, 4 s]

    s, 4 s]d où m

    = − = − ==’

    d d d

    x x x x[ [ [

    ( ) ( ) ( )0 0 6

    6 0 7s, 7 s] s, 6 s] s, 7 s]= +

    = − + − (( ),

    ,

    [

    6111 3 106 25 111108 4 75

    0

    = − + −= +

    d où s, 7 s]’ d == 112 75, m

  • 2

    Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 47

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    21. a)

    En posant t = 0 et v = 0, nous obtenons

    En posant t = 0 et x = 0, nous obtenons C = 0, donc

    En posant v = 20 dans l’équation 1,

    b) En posant x = 100 dans l’équation 2

    À l’aide de Maple, nous obtenons

    > x:=t->t^3/6+3*t^2/2;

    > t1:=fsolve(x(t)=100);

    > v:=t->t^2/2+3*t;

    > v(t1);

    d’où

    22. a)

    En remplaçant t par 0 (année 2000) et P par 281, nous obtenons

    a v

    dvdt

    v advdt

    vdv dt

    = +

    = + =

    += ∫∫

    2 9

    2 9

    1

    2 9

    car

    22 9v t C+ = +

    9 0 32 9 32 9 3

    2

    2

    2

    = + =+ = ++ = +

    =

    C Cv tv t

    vt

    , ,

    ( )

    ainsi donc

    ++

    = + =

    3

    23

    2

    t

    dxdt

    tt v

    dxdt

    (équation 1)

    car

    ∫∫ = +

    = + +

    ∫dx t t dt

    xt t

    C

    2

    3 2

    1

    23

    632

    xt t= +

    3 2

    632

    (équation 2)

    202

    3 4 10

    4

    2= + = =t t t t

    x

    ,

    (

    donc ou - (à rejeter)

    d où’ )) ,= 34 6 mètres

    1006

    32

    3 2= +t t

    x t t t:= → +16

    32

    3 2

    t1: .= 6 268665363

    v t t t:= → +12

    32

    38 45407881.

    v( , ) ,6 26 38 45 ≈ m/s

    dPdt

    P

    PdP dt

    P t C

    =

    = ∫

    = +

    0 009

    10 009

    0 009

    ,

    ,

    ln ,

    ln , ln281 0 281= + =C Cainsi

    bad où’ ln , ln

    ,

    P tP e t

    = +=

    0 009 281281 0 009

    b) De a, nous obtenons c

    c) En posant t = 12 (année 2012) dans b

    d) En posant P = 350 dans c

    d’où vers le milieu de l’année 2024.

    23. a)

    En remplaçant t par 0 (en 1980) et P par 2000, nous obtenons ln 2000 0= ( ) +K C, ainsi C = ln 2000, donc ln P = Kt + ln 2000En remplaçant t par 10 (en 1990) et P par 600, nous obtenons ln 600 = K(10) + ln 2000, donc

    K = lnln

    ln

    lnln

    30

    310

    102000

    302000

    =

    +

    =

    t

    3310

    10

    103

    2003

    10

    34

    =

    =

    t

    tln

    ln,,88

    d’où

    En posant t = 32 (2012) dans b

    b) En posant P = 30 dans a

    d’où vers la fin de l’année 2015 (1980 + 34,88…)c) En remplaçant P par 1 dans a (notez qu’on ne peut pas remplacer P par 0, car ln 0 n’est pas définie), t = 63,1,

    d’où vers le début de 2043 (1980 + 63,1).d) > P:=t->2000*(3/10)^(t/10);

    > plot(P(t),t=0..t1,color=orange);

    t

    P

    =

    ln

    ,281

    0 009

    P ≈ 313 millions

    t =

    =ln

    ,,

    350281

    0 00924 397

    dPdt

    KP Pt

    = où est la populationet le temps enn années

    car

    1

    0

    PdP K dt

    P Kt CP Kt C P

    ∫ = ∫= += + >

    lnln ( )

    b

    a

    c

    lnln

    ln

    ln

    P t

    P e t

    =

    +

    =( )

    310

    102000

    20003

    1010

    ouu P

    t

    = 2000

    310

    10

    P ≈ 42 bélougas

    lnln

    ln

    lnln

    30

    310

    102000

    302000

    =

    +

    =

    t

    3310

    10

    103

    2003

    10

    34

    =

    =

    t

    tln

    ln,,88

    P tt

    :( / )

    = → 2000

    310

    1 10

  • 2

    48 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    Plot1 Plot2 Plot3

    \Y1=2000(3/10)^

    (X/10)\Y

    2=

    \Y3=

    \Y4=

    \Y5=

    \Y6=

    WINDOWXmin=0

    Xmax=60

    Xscl=10

    Ymin=0

    Ymax=2500

    Yscl=500

    Xres=1

    GraPh

    24. dPdt

    P= -0 04,

    10 04

    0 04P

    dP dt

    P t C

    ∫ = ∫= +

    -

    -

    ,

    ln ,

    Ne connaissant pas la population initiale, nous remplaçons P par P

    0 lorsque t = 0

    anous obtenons -d’où -

    ln , ln,

    P t PP P e t

    = +=

    0 04 00

    0 04

    ab

    En posant PP= 02

    dans a, t = 17,328…

    d’où environ 17,33 jours.

    25. a)

    En remplaçant Q par Q0 et t par 0, nous obtenons

    ln , ( )Q C0 0 055 0= +- , donc C Q= ln 0ainsi

    baln , ln

    ,

    Q t QQ Q e t

    = +=

    --

    0 055 00

    0 055

    ab

    En posant t = 3 dans b, Q Q≈ 0 85 0,

    b) En posant t = 24 dans b, Q Q≈ 0 27 0, , d’où environ 0,73Q

    0 est désintégrée.

    c) En posant QQ= 02

    dans a, t ≈ 12,6 heures.

    d) En posant Q Q= 0 01 0, dans a, t ≈ 83,7 heures.

    0

    500

    1000

    1500

    2000

    t2010 30 40 50 60 70

    P tt

    ( ) =

    20003

    1010

    dQdt

    Q

    QdQ dt

    Q t C

    =

    = ∫

    = +

    -

    -

    -

    0 055

    10 055

    0 055

    ,

    ( , )

    ln , (ccar Q > 0)

    26. a) dQdt

    Q

    QdQ dt

    Q t C

    =

    = ∫

    = +

    -

    -

    -

    0 0187

    10 0187

    0 0187

    ,

    ,

    ln , (( )car Q > 0

    En remplaçant Q par Q0 et t par 0, nous obtenons

    ln , ( )Q C0 0 0187 0= +- , donc C Q= ln 0

    ainsi

    baln , ln

    ,

    Q t QQ Q e t0 0

    00 0187

    0 0187= +=

    --

    ab

    En posant QQ= 0

    72 dans a, t ≈ 259 ans.

    b) Puisque QQ

    Q Q= ≈07 02

    0 0078, ,

    d’où il reste environ 0,78 % de la quantité initiale.

    27. a)

    En posant P = 1 et h = 0, nous obtenonsln ( )1 0= +K C , donc C = =ln 1 0,

    En posant P = 0,56 et h = 5, nous obtenons

    ln ( , ) ,0 56 5= K donc K = ln ( , ) ,0 565

    ainsi

    a b

    c

    En posant h = 8,85 dans b,

    b) En posant P = 0,5 dans a,

    28. a)

    En posant P = 46 000 et t = 0 (en 1995), nous obtenons 1

    0 031140 0

    ,ln ,= + C donc C = ln

    ,1140

    0 03

    dPdh

    KP

    dPP

    K dh

    PdP K dh

    P Kh C P

    =

    =

    = ∫

    = + >

    ∫ 1

    0ln ( )car

    Ainsi ln P Kh=

    lnln ( , )

    ( , )

    ln ( , )

    P h

    P e

    P

    h

    h

    =

    ==

    0 565

    0 56

    0 565

    5

    PP

    =≈

    0 3580 36

    ,,

    d où atm’P

    P=

    ≈0 358

    0 36,

    ,

    d où atm’

    ln ( , )ln ( , )

    ln ( , )ln ( , )

    ,

    0 50 565

    5 0 50 56

    5 977 2

    =

    = =

    h

    h

    d où mètres’ h ≈ 5977

    dPdt

    P

    dPP

    dt

    P

    = − −

    −=

    ( , , )

    ,

    ,

    0 04 0 01 240

    0 03 240

    10 03 2440

    10 03

    0 03 240

    ∫ = ∫

    − = +

    dP dt

    P t C,

    ln ,

  • 2

    Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 49

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    ainsi1

    0 030 03 240

    11400 03

    0 03,

    ln ,ln

    ,ln ( ,

    P t

    P

    − = +

    − 2240 0 03 11400 03 240 0

    0 03

    ) , ln( , ) )

    ,

    = +− >

    −=

    tP

    P(car

    2240 11400 03 240 1140

    8000 3

    0 03

    0 03

    == += +

    eP eP

    t

    t

    ,

    ,,88 000 0 03e t, b

    a

    En posant t = 20 (en 2015) dans b, P ≈ 77 240 habitants.

    b) En posant P = 92 000 dans a, t ≈ 26,44 années.

    29. a)

    En posant N = 50 000 et t = 0, nous obtenons-ln ( )450 000 0= +K C, donc C = -ln 450 000.En posant N = 80 000 et t = 2, nous obtenons

    - ,ln ( ) ln420 000 2 450 000= −K donc K =

    ln

    15142

    ainsi -lnln

    ln

    ln (

    500 000

    15142

    450 000

    5

    − =

    −N t

    000 000

    14152

    450 000

    500 0

    − =

    +

    =

    N t)ln

    ln

    ( (car 000 0

    500 000 450 000

    50

    14152

    − >

    − =

    =

    N

    N e

    N

    t

    ) )

    ln

    00 000 450 000

    500 000 450 00

    14152−

    = −

    e

    N

    tln

    ou 001415

    2

    t

    a

    b

    c

    En posant t = 24 dans c, N ≈ 303 368 bactéries.b) En posant P = 450 000 dans a, t ≈ 63,7 heures.c) > with(plots): > N:=t->500000-450000*(14/15)^(t/2);

    N tt

    :( / )

    = → − 500000 450000

    1415

    1 2

    > NN:=plot(N(t),t=0..150,N=0..500000,color=orange): > y:=plot(500000,t=0..150,linestyle=4,color=black): > display(NN,y);

    dNdt

    K N

    dNN

    K dt

    NdN

    = −

    −=

    −=∫

    ( )500 000

    500 000

    1500 000

    ∫∫

    − = +

    K dt

    N Kt C-ln 500 000

    0

    100 000

    200 000

    300 000

    400 000

    500 000

    N

    t4020 60 80 100 120 140

    N(t)

    t

    =

    500 000 450 000 1415

    2�

    = 500 000y

    Plot1 Plot2 Plot3

    \Y1=500000-450000

    (14/15)^(X/2)\Y

    2=500000\Y

    3=

    \Y4=

    \Y5=

    \Y6=

    WINDOWXmin=0

    Xmax=140

    Xscl=2

    Ymin=0

    Ymax=600000

    Yscl=100000

    Xres=1

    GraPh

    30. a)

    En remplaçant t par 0 et T par 55, nous obtenons

    En remplaçant t par 15 et T par 45, nous obtenons

    a

    b

    c

    En posant T = 40 dans a,

    d’où environ 25,2 minutes.

    b) i) En posant t = 30 dans c,

    ii) Soit x, le nombre de litres d’eau à 55° C qu’elle doit ajouter

    d’où 19 69, litreslitres.

    dTdt

    K T

    dTT

    K dt

    T kt C

    = −

    −= ∫

    − = +

    ( )

    ln

    22

    2222

    ln , ln ,55 22 33− = =C Cdonc ainsiln ( ) ln ( )T Kt T− = + >22 33 22car

    ln ( ) ln ,ln

    ,23 15 33

    2333

    15= + =

    K Kdonc ainsi

    ln ( )ln

    ln

    ln

    T t

    T e

    − =

    +

    − =( )

    22

    2333

    1533

    222333

    115

    2333

    15

    33

    22 33

    22 332333

    t

    tT e

    T

    +

    = +

    = +

    ( )ln

    ln

    ou

    t15

    ln ( )ln

    ln

    ln

    40 22

    2333

    1533

    151833

    − =

    +

    =

    t

    t

    =ln

    ,2333

    25 184…

    T

    T

    = + =

    =

    22 332333

    38 03

    38 03

    2

    ,

    ,d où C’

    150 38 03 55 150 405704 545 55 600

    ( , ) ( ) ( ),

    + = ++ =x x

    x 00 4015 295 454

    19 69

    +==

    xxx

    ,,

  • 2

    50 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    31. dTdt

    K T A

    dTT

    K dt A

    TdT K dt

    = −

    −= =

    −= ∫∫

    ( )

    ( )21

    21

    121

    car

    llnln ( ) ( )

    T Kt CT Kt C T

    − = +− = + >

    2121 21car

    En posant T = 35 et t = 0 (17 h), nous obtenonsln ( ) ( )35 21 0− = +K C, donc C = ln 14ainsi ln ( ) lnT Kt− = +21 14En posant T = 33,5 et t = 1, nous obtenonsln ( , ) ( ) ln33 5 21 1 14− = +K , donc K =

    ln

    ,12 514

    Ainsi ln ( ) ln,

    lnT t− = +21

    12 514

    14

    En posant T = 37, ln ln , ln16 12 514

    14= +t

    donc t ≈ -1 178,Donc, le décès s’est produit environ 1 h 10 min 41 s avant 17 h, d’où entre 15 h 49 et 15 h 50.

    32. a) Soit T, la température du premier objet.

    En posant T = 90 et t = 0, nous obtenonsln ( ) ( )90 20 0− = +K C, donc C = ln 70Ainsi ln ( ) lnT Kt− = +20 70En posant T = 60 et t = 10, nous obtenonsln ( ) ( ) ln60 20 10 70− = +K

    donc K =

    ln

    47

    10

    a

    b

    c

    Soit z, la température du second objet.De façon analogue, nous obtenons

    ln ( )ln

    ln

    ln

    z t

    z et

    − =

    +

    = +( )

    20

    56

    1060

    20 6056

    100

    10

    20 6056

    z

    t

    = +

    d

    e

    f

    dTdt

    K T

    TdT K dt

    T Kt C T

    = −

    −= ∫

    − = +

    ( )

    ln ( ) (

    20

    120

    20 car >> 20)

    Ainsi ln ( )ln

    ln

    ln

    T t

    T e

    − =

    +

    = +

    20

    47

    1070

    20 70

    477

    10

    20 7047

    10

    = +

    t

    T

    t

    ln ( )ln

    ln

    ln

    z t

    z et

    − =

    +

    = +( )

    20

    56

    1060

    20 6056

    100

    10

    20 6056

    z

    t

    = +

    En posant ln ( ) ln ( )T z− = −20 20De a et d

    b) En posant t =

    1067

    2435

    ln

    ln dans b, c, e ou f

    T z= ≈ 75 7, C

    c) > with(plots): > T:=t->20+70*(4/7)^(t/10);

    > Z:=t->20+60*(5/6)^(t/10);

    > t0:=fsolve(T(t)=Z(t));

    > T0:=T(t0);

    > TT:=plot(T(t),t=0..10,y=50..100,color=orange): > ZZ:=plot(Z(t),t=0..10,y=50..100,color=blue): > P:=plot([[t0,T(t0)]],style=point,symbol=circle, > color=black): > display(TT,ZZ,P);

    lnln

    lnln

    ln lnln ln

    ln

    ln

    ,

    47

    1070

    56

    1060

    47

    56

    1060 70

    1067

    2435

    4 09

    + =

    +

    = −

    =

    t t

    t

    t

    t minutes

    T tt

    :( / )

    = → + 20 70

    47

    1 10

    Z tt

    :( / )

    = → + 20 60

    56

    1 10

    t0 : .= 4 085688757

    T0 : .= 75 69295450

    050

    60

    70

    80

    90

    100

    y

    t42 6 8 10

    T

    t

    = +

    20 7047

    10

    Z

    t

    = +

    20 6056

    10

  • 2

    Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 51

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    Plot1 Plot2 Plot3

    \Y1=20+70(4/7)^

    (X/10)\Y

    2=20+60(5/6)^ (X/10)\Y

    3=

    \Y4=

    \Y5=

    WINDOWXmin=0

    Xmax=10

    Xscl=2

    Ymin=0

    Ymax=100

    Yscl=10

    Xres=1

    GraPh

    CaLCULaTE1:value2:zero3:minimum4:maximum5:intersect6:dy/dx7:èf(x)dx

    x

    IntersectionX=4.0856888Y=75.692954.

    GraPh

    33. a) Soit V, la valeur de l’île de Manhattan et j, le taux d’intérêt nominal.

    Puisque V = 24 lorsque t = 0 (en 1626), nous obtenonsln 24 0= + C, donc C = ln 24

    Ainsi carln ln ( )V jt V= + >24 0 a

    Puisque V = ×6 1011 lorsque t = 364 (en 1990), nous obtenons ln ( ) ln6 10 364 2411× = +j

    b) De a ln ln ,V jt= + 24 nous obtenons

    En remplaçant j par ln

    ,

    6 1024

    3640 065 7

    11×

    = …

    V e= = ×24 6 404 9 100 065 7 400 12( , ) ,… …d’où environ 6 4 1012, $×

    34. a)

    dVdt

    jV

    dVV

    j dt

    VdV j dt

    V jt C

    =

    =

    = ∫

    = +

    ∫ 1

    ln

    Ainsi j = × − =

    ×

    ln ln

    ln6 10 24

    364

    6 1024

    364

    11

    11

    ==

    0 065 7

    6 58

    ,

    , %

    d où’ j

    V e jt= 24

    dVdt t

    dvt

    dt

    V

    t

    t

    t

    =

    ∫ =

    =

    45 1 5

    451 5

    452 1 5

    ( , )

    ( , )

    ( , )ln (( , )1 5

    + C

    En posant V = 2000 et t = 0, nous obtenons

    2000901 5

    = +ln ( , )

    C, donc C = −2000 901 5ln ( , )

    Ainsi, Vt

    ≈ +90 1 51 5

    1778 03( , )

    ln ( , ),

    En remplaçant t par 10, nous obtenons V < 2578,12 $d’où environ 2578 $.

    b) En remplaçant V par 2377, nous obtenons

    d’où environ 6 ans.

    35. a)

    En remplaçant V par 10 000 et t par 0, nous obtenons

    ln , ( )10 000 0 0575 0= + C , donc C = ln 10 000ainsi a bEn posant t = 8 dans b, V < 15 841 $.

    b) En posant V = 20 000 dans a, t < 12 ans.

    c) Soit i, le taux cherché.

    cEn remplaçant V par 15 841 et t par 7 dans c, nous obtenons

    ln ( ) ln15 841 7 10 000= +i

    d) Soit V0, le capital initial.

    En remplaçant V par 15 841 et t par 8, nous obtenons

    e) Soit V1, le capital initial.

    En remplaçant V par 30 000 et t par 25, nous obtenons

    237790 1 5

    1 51778 03

    1 52377 17

    ≈ +

    ≈ −

    ( , )ln ( , )

    ,

    ( , )(

    t

    t778 03 1 590

    1 5598 97 1 5

    90

    , ) ln ( , )

    ln ( , ) ln, ln ( , )

    t ≈

    ≈tln

    , ln ( , )

    ln ( , ),

    598 97 1 5901 5

    2 4488 2

    5 993

    …t ≈ ,

    dVdt

    V

    VdV dt

    V t C V

    =

    =

    = + >

    0 0575

    10 0575

    0 0575 0

    ,

    ,

    ln , ( )car

    ln , ln,

    V tV e t

    = +=

    0 0575 10 00010 000 0 0575

    ln lnV it= + 10 000

    Ainsid’où

    ii

    ≈≈

    0 06576 57

    ,, %

    ln , lnV t V= +0 0625 0

    ln , ( ) ln$

    15 841 0 0625 89608

    0

    0

    = +≈

    VV

    ln , lnV t V= +0 05 1

    ln , ( ) ln$

    30 000 0 05 258595

    1

    1

    = +≈

    VV

  • 2

    52 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    36. a) dhdt

    K h

    dhh

    K dt

    hdh K dt

    h Kt C

    =

    =

    = ∫

    = +

    ∫ 1

    2

    En posant h = 64 et t = 0, nous obtenons2 64 0= ( ) +K C, donc C = 16Ainsi 2 16h Kt= +Puisque V = π ( )20 642 est le volume initial, après

    5 minutes il reste V4

    20 644

    2= π ( )

    ainsi h = 644

    car le rayon 20 est constant.

    En posant h = 16 et t = 5, nous obtenons

    2 16 5 16= +K( ) , donc K = -85

    b) En posant h = 0, nous trouvons t = 10. Il faut 10 minutes au total pour vider le réservoir, d’où il faut 5 minutes

    pour vider le reste.

    37. a) Soit Q, la quantité de sel dans l’eau à chaque instant.

    Nous ajoutons 30 0

    0litres

    minkg

    litreskg/min,× = et à

    chaque minute la quantité de sel s’élimine au rythme

    de 3030

    litresmin

    kg900 litres

    kg/min× =Q Q

    En posant Q = 100 et t = 0, nous obtenonsln 100 0= + C , donc C = ln 100

    aAinsi -

    d’où-

    ln lnQt

    Q et

    = +

    =30

    100

    100 30 b

    b) En posant t = 60 dans b, Q ≈ 13,53 kg.

    c) En posant Q = 0,05 dans a, t ≈ 228 min, d’où environ 3 h et 48 min.

    38. a) Soit Q, la quantité de sel dans l’eau à chaque instant.

    Nous ajoutons 20 0 2

    4litres

    minkg

    litreskg/min,× =, et à

    chaque minute la quantité de sel s’élimine au rythme

    Ainsi-

    d’où ,

    285

    16

    845

    845

    2

    h t

    ht

    ht

    = +

    = −

    = − eexprimée en cm.

    Ainsi-

    -

    -

    -

    dQdt

    Q

    dQQ

    dt

    QdQ dt

    Qt

    =

    =

    =

    =

    ∫∫

    301

    301 1

    30

    ln330

    0+ >C Q( )car

    de 2035

    litresmin

    kg700 litres

    kg/min× =Q Q

    b)

    En posant Q = 0 et t = 0, nous obtenons-ln ,140 0= + C donc C = -ln 140

    a

    b

    c) En posant t = 24 dans b, Q ≈ 69,5 kg.

    d) En posant Q = × =700 0 22

    70,

    dans a, t ≈ 24,26 min.

    e) > with(plots): > Q:=t->140-140*exp(-t/35);

    > t0:=fsolve(Q(t)=70);

    > QQ:=plot(Q(t),t=0..100,Q=0..140,color=orange): > y:=plot(Q(t0),t=0..t0,linestyle=4,color=black): > P:=plot([[t0,Q(t0)]],style=point,symbol=circle,color=orange): > h:=plot(140,t=0..100,linestyle=4,color=black): > x:=plot([t0,Q,Q=0..Q(t0)],linestyle=4,color=black):

    > display(QQ,y,P,x,h);

    Plot1 Plot2 Plot3

    \Y1=140-140e^(-X/35)

    \Y2=140

    \Y3=

    \Y4=

    \Y5=

    \Y6=

    WINDOWXmin=0

    Xmax=120

    Xscl=20

    Ymin=0

    Ymax=150

    Yscl=20

    Xres=1

    GraPh

    d’oùdQdt

    Q= −4 35

    dQQ

    dt

    QdQ dt

    Qt

    C Q

    140 35

    1140

    135

    14035

    140

    −=

    −=

    − = + >

    ∫ ∫- carln ( ) ( )

    -

    Ainsi-

    ln ( ) ln

    ln ( ) ln

    14035

    140

    14035

    1

    − = −

    − = +

    Qt

    Qt

    440

    140 140 35d’où-

    Q et

    = −

    Q t e t: ( / )= → −140 140 1 35-

    t0 : .= 24 26015132

    t4020 60 80 100

    200

    406080

    100120140

    QQ

    t

    = −-

    140 140 35e

    y 140

  • 2

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    SolutionnaireProblèmes de synthèses

    C h a p i t r e 2 (page 126)

    f) u

    udu

    u

    udu

    hdh h u

    3 2

    2

    1 1

    23

    11

    23

    32

    32

    +=

    ( ) +=

    +=( )

    =

    ∫ ∫

    ∫Arrc

    Arc

    tan

    tan

    h C

    u C

    +

    = +23

    3

    g) 1 1

    1

    21

    1

    2

    2

    v vdv

    v vdv

    udu u v

    u C

    +=

    +( )= = +( )= +=

    ∫ ∫

    ∫ln

    ln 11 +( ) +v Ch)

    i)

    x

    xdx

    x xu

    du u x dux

    dx

    u

    +

    = = + =

    = -

    ∫1

    2 11

    2

    21 2

    ;

    ( ) (( )( )

    uu

    du x u

    u u uu

    du

    u u

    - = -

    = - + -

    = - +

    11

    23 3 1

    2 3 3

    3 2

    2 --

    = - + - +

    = +

    ∫ 1

    23

    32

    3

    21

    3 2

    udu

    u uu u C

    x

    ln

    (( )- +

    ( )+ +( ) - +( )

    +

    3 2

    33 1

    23 1 1

    xx x Cln

    ∫ - = ∫ -

    = ∫ = -

    = +

    x x dx x x dx

    u du u x

    u

    5 33 23

    3 2

    2 2

    12

    2

    38

    43

    ( )

    CC

    x C

    xC

    = - +

    = - +

    38

    2

    3 28

    2

    2 43

    43( )

    ( )

    1. a)

    b)

    c)

    d)

    e) xx x

    dxx

    xxx

    dx

    x xx

    11

    +=

    +

    =

    ∫ ∫tan sincos

    coscos ++

    = = +

    = +=

    ∫x x

    dx

    udu u x x x

    u C

    x

    sin

    ( cos sin )

    lnln cos

    1

    ++ +x x Csin

    47 5

    47 5

    421

    17

    3

    3

    3

    3

    +=

    +

    = =

    ∫ ∫

    ∫e

    dxe

    edx

    udu u e

    x

    x

    x

    -

    -

    -- ( xx

    x

    u C

    e C

    +

    = +

    = + +

    5

    4214

    217 53

    )

    ln

    ln ( )

    -

    - -

    12

    12 1

    1

    2

    2

    e edx

    e e edx

    ee

    d

    x x x x x

    x

    x

    + +=

    + +

    =+

    ∫ ∫∫

    - - ( )

    ( )xx

    udu u e

    uC

    eC

    x

    x

    = = +

    = +

    =+

    +

    ∫ 1 11

    11

    2( )

    -

    -

    11

    11

    12

    11

    1

    4 2 2

    22

    edt

    edt

    u udu u e

    t t

    t

    -=

    -

    =-

    =

    =

    ∫ ∫

    ∫( )

    ( )

    2212

    2

    Arc

    Arc

    sec

    sec ( )

    u C

    e Ct

    +

    = +

    t

    tdt u du

    u t t uu u

    22 2

    2

    4

    12 1

    1 12 2

    -= ∫ +

    = - ⇒ = += ∫ +

    ∫ ( )( )

    ( 22

    5 3

    1

    25

    43

    2

    25

    143

    152

    32

    +

    = + + +

    = - + - +

    )

    ( ) ( )

    du

    u uu C

    t t 22 1

    2 15

    4 13

    2 1

    12

    5 3

    ( )

    ( ) ( )

    t C

    t tt C

    - +

    = - + - + - +

  • 2

    54 problèmes de synthèse Calcul intégral, 4e édition – solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse

    © 2009 Chenelière Éducation inc.

    j)

    k)

    l)

    m)

    I

    xdx

    x dx

    =+

    = +

    =

    -

    -

    1

    2

    1

    41

    2 4

    cos

    sec

    π

    π

    --

    -

    -

    1

    2 41

    21

    ∫ = +

    = + +

    =

    sec

    ln sec tan

    u du u x

    u u C

    π

    22 4 4ln sec tanx x C+

    + +

    +

    π π

    ∫ - = ∫ -= ∫ -

    = ∫ +

    x x dx x x dxx x x dx

    u

    11 93 3 23

    2 232 2

    212

    2( ) uu du u x

    u u du

    u u

    3 2 2

    12

    2

    12

    37

    32

    43

    13

    73

    43

    ( )= -

    = +( )

    = +

    +

    = - + - +

    = -

    C

    x x C

    x

    314

    234

    2

    3 2

    2 2

    2 7

    73

    43( ) ( )

    ( )33 2 43

    143 2

    4+ - +( )x C

    ∫ - = - ++

    =+

    ∫1 1 11

    1

    2

    sin sinsin

    sin

    cos

    sin

    t dt tt

    tdt

    t

    t∫∫

    =+

    = = +

    = +=

    ±

    ±

    ±

    dt

    t

    tdt

    udu u t

    u C

    cos

    sin

    ( sin )

    11

    1

    2

    ±± + +2 1 sin t C

    I d

    d

    =

    = +

    =

    1sin2 ϕ coscos sincos sin

    c

    2

    2 2

    2 2

    ϕϕ

    ϕ ϕϕ ϕ

    ϕ

    ooscos sin

    sincos sin

    csc

    2

    2 2

    2

    2 2

    2

    ϕϕ ϕ

    ϕ ϕϕ ϕ

    ϕ∫ ∫+= ∫

    d d

    ϕϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ

    d dC

    + ∫= + +

    seccot tan

    2

    -

    Ix x

    dx=-∫1

    sin cos

    cos cos cos sin sin

    cos

    x x x

    x

    + = -

    =

    π π π4 4 4

    22

    -

    = -

    - =

    sin

    (cos sin )