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© 2009 Chenelière Éducation inc.
SolutionnaireExercices récapitulatifs
C h a p i t r e 2 (page 120)
1. a) Soit et -f xx
x dx( ) ,= = =1 100 10
En remplaçant x par 100 et dx par -1, nous obtenons
b) Calculons d’abord 26.
Soit etf x x x dx( ) ,= = =0 25 1
En remplaçant x par 25 et dx par 1, nous obtenons
Calculons ensuite 263 .
Soit f x x( ) = 3 , x0 = 27 et dx = -1
En remplaçant x par 27 et dx par -1, nous obtenons
Nous avons donc 26 26 5 1 2 9633+ ≈ +, ,
d’où 26 26 8 0633+ ≈ ,
′ = =f xx
dyx
dx( ) ,-
ainsi-1
21
23 3
dy = = =- -12 100
11
2 10000 0005
3( )
( ),
1
99
1
1001
100 1 0 0005
1
990 1005
= +
≈ +
≈ +
≈
∆y
dy
, ,
,d où’
1
99
1
1001
100 1 0 0005
1
990 1005
= +
≈ +
≈ +
≈
∆y
dy
, ,
,d où’
′ = =f xx
dyx
dx( ) ,1
21
2ainsi
dy = = =12 25
11
2 50 1( )
( ),
26 2555 0 15 1
= +≈ +≈ +≈
∆ydy
,,
′ = =f xx
dyx
dx( ) ,1
31
323 23ainsi
dy = =( )
= =13 27
11
3 27
13 3
12723 3 2 2( )
( )( )
-- - -
26 273
3127
80272 963
3 3= +≈ +
≈ −
≈
≈
∆ydy
,
2. Soit x, la longueur de l’arête.a) V x dV x dx= =3 23, ainsi En remplaçant x par 8 et dx par 0,01
b) A x dA x dx= =6 122, ainsi En remplaçant x par 8 et dx par 0,01, nous obtenons
3. a)
b)
c)
dVdV
= ==
3 8 0 01 1 921 92
2
3
( ) ( , ) ,,d où cm’
∆∆
VV
= − ==
( , ) ,,
8 01 8 1 922 4011 922 401
3 3
d où cm3’
dAdA
= ==
12 8 0 01 0 960 96
( )( , ) ,,d où cm2’
∆∆
AA
= − ==
6 8 01 6 8 0 96060 9606
2 2( , ) ( ) ,,d où cm2’
A r h r r h
A hh h
h h
( , )
( )
= +
= +
=
2 2
22
22
2
2
2
π π
π π rr r h
A hh
,
( )
ainsi =
=
23
2
2π
E dAh dh
h dh
a ≈≈≈ = =± ±
33 14 3 0 02 14 3 0 0ππ ( , )( , ) ( , ,et 22
0 8582 695
),
,≈
≈π cm
d où cm
2
2’ Ea
EE
AdAA
E
ra
r
=
≈
≈
≈
0 8583 14 3
20 002 7972
2
,( , )
,
ππ
d où’ ≈≈ 0 28, %
EE
A
dAA
h dhh
Edh
h
ra
r
=
≈ ≈
≈
33
22
2
ππ
d où’
2
Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 31
© 2009 Chenelière Éducation inc.
4. a) 5
53 5
15
32
25 2 2 5
xx
x dx x dx x dx x dx+ − = ∫ + ∫ − ∫∫ -
== + − +
= + − +
51
15 3
36
515 2
1 3 6
3 6
x x xC
xx x
C
-
-
-
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) En effectuant x xx x
2
2
62
− −+
, nous obtenons
xx x
dx
x dx x dx x dx
35
53
4 7
4 735
1
2
5
3
+ −
= + −
∫∫
- -
∫∫∫= + − +
= + +
x x xC
xx
x
85
12
2
3
85
412
723
58
821
2
85
23
-
-
++ C
35
315
3
cossin
cos sin
si
xx
dx x dx x dx− = ∫ − ∫
=
∫nn
cosx
xC+ +
5
77
77
7
717
7
77
7
xx
xdx
x dx x dx d
x
x
+ − + −
= ∫ + ∫ − ∫
∫xx
xdx dx
x xx x C
x
+ − ∫
= + − + − +
∫7 1 77
217 8
77
7 7
7
2 87
lnln
== + − + − +72 56
77
7 72 8
7x x x x Cx
lnln
8
1
41
7
3 1
81
14
11
2 2 2
2
−−
++
−
=−
−+
∫
∫t t t t
dt
tdt
ttdt
t tdt
t t
2 2
73
1
1
8 473
∫ ∫+ −= − +Arc Arc Arcsin tan seec t C+
sec sectan
sec sec tan
θ θ θ θ
θ θ θ
22
212
2
−
= ∫ − ∫
∫ dd θθ θ
θ θ
d
C= − +22
tansec
∫ − = ∫ − + −= ∫ − ∫
( ) ( )x x dx x x x x dx
x dx x dx
1 3 3 1
3
3 2 3 2 2
5 4 ++ ∫ − ∫
= − + − +
3
635
34 3
3 2
6 5 4 3
x dx x dxx x x x
C
x xx x
xx x
xx x
2
2 2
62
13 6
2
13 2
2
1
− −+
= + −+
= + ++
= −
-
- ( )( )
33
62
13
1 3
2
2
xx x
x xdx
xdx
dx
Ainsi− −
+= −
= ∫ −
∫ ∫11
3x
dx
x x C
∫= − +ln
i) 7
34
52
7 12 2u u udu− −
−
∫
j)
k)
l)
m)
x
xx
dx x dx x dx x
3
333
313
3 31
6
5
6
1
2
− +
= − +∫ ∫- - -
ddx
x x xC
xx x
∫
= − + +
= − + +
13 5
6
316
312
25
18 6
56
16
12
566 CC
n) En effectuant xx
2
2
41
−+
, nous obtenons
o)
p)
= − ∫ −−
= + −
∫∫731 4
527
1
173
45
2
22u
du u duu
du
uu
-
Arcln
ssin uC
7+
35 5
1035
11
10
3
2 2tdt
tdt dtt t
+−
= +
− ∫
=
∫ ∫Arc taan
lnt
Ct
510
10− +
( )3 52
32
3 52
xx
x dx
xx
x xx
− +
= + −
∫ −
= ∫ + − −
∫
∫ ∫ ∫
5
6 3 101
532
12
x dx
dx x dxx
dx x dx
== + − − +6 65
1010
3
5 3x
xx
xCln
11
12 1
1 2
2
1
2
−
= − +
= ∫ −
∫ ∫
∫u
duu u
du
du u-
dduu
du
u u u C
+
= − + +∫ 1
4 ln
xx x
xx
dxx
2
2 2
2
2 2
41
15
141
15
1
−+
= −+
−+
= −+
∫Ainsi
= ∫ −+
= − +
∫
∫
dx
dxx
dx
x x C
1 51
15
2
Arc tan
∫ + = ∫ + += ∫ −
(tan cot ) (tan cot )
(sec
θ θ θ θ θ θθ
2 2 2
2
2d d
11 2 12
2 2
2
+ + −= ∫ += ∫ + ∫
csc )
(sec csc )
sec
θ θθ θ θ
θ θ
d
d
d ccsctan cot
2 θ θθ θ
dC= − +
sin csccot
sinsin
t t tt
dt
t tt
33
5
31
− +
=
∫
− + ∫
= ∫ − ∫
∫ ∫dt t tt dt t dt
t dt
13
5
313
sincossin
sin
ccos sin
sincos
t dt t dt
t tt C
+ ∫
= − − +
5
32 3
52
2
32 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse
© 2009 Chenelière Éducation inc.
5. a) ∫ = ∫cot cossinx dxxx
dx
u xdu x dx
==
sincos
b)
u x xdu x x x dxdu x
= += −=
csc cot( csc cot csc )csc (c-
-
2
ssc cot )x x dx+
6. a)
u xdu x dx
du x dx
= −=
=
53
13
3
2
2
--
b)
udu d
du d
==
=
sincos
cos
22 2
12
2
θθ θ
θ θ
c)
u x
du x dx
du x dx
==
=
2
212
cossin
lnln sin
xx
dxu
du
u C
x C
∫ ∫== += +
1
∫ = ++∫csc
csc (csc cot )(csc cot )
x dxx x x
x xdx
csc (csc cot )(csc cot )
ln
x x x
x xdx
udu
u C
++
=
= +∫ ∫ -
-
1
== + +-ln csc cotx x C
∫ −2 52 3 8x x dx( )
∫ − = ∫
= +
= −
2 52323 92
275
2 3 8 8
9
3 9
x x dx u du
uC
x
( )
( )
-
-
- ++ C
∫ sin cos3 2 2θ θ θd
∫ = ∫
= +
= +
sin cos
sin
3 3
4
4
2 21212 418
2
θ θ θ
θ
d u du
uC
C
∫ 3 2x x dxsin
d)
h udh u du
dh u du
= +=
=
2 12
12
e)
u t tdu t t dt
du t dt
= + −= +
= +
5
4
4
5 35 5
15
1
( )
( )
f)
u
x
dux
dx
dux
dx
=
=
=
1
1
11
2
2
-
-
g)
Arcu x
dux
dx
=
=+
tan1
1 2
∫ = ∫
= +
= +
3323232
2
2
x x dx u du
u C
x C
sin sin
( cos )
cos
-
-
412
uu
du+∫
41
42
1
22 12 1
2
2
2
uu
duh
dh
h C
u Cu
+=
= += + += +
∫ ∫lnlnln ( )) + C
∫ + + −( ) sec ( )3 3 5 34 2 5t t t dt
∫ + + − = ∫
= +
=
( ) sec ( ) sec
tan
3 3 5 33535
4 2 5 2t t dt u du
u C
335
5 35tan ( )t t C+ − +
ex
dxex
dxx x1 1
3132 2∫ ∫=
13
131313
1
1
2
ex
dx e du
e C
e C
x
x
u
u
∫ = ∫
= +
= +
-
-
-
11 2( ) tan+∫ x x dxArc
2
Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 33
© 2009 Chenelière Éducation inc.
h)
u x
dux
dx
=
=
ln ( )5
1
i)
udu d
du d
==
=
44
14
θθ
θ
j)
u
t
dut t
dt
=
=
sec
sec tan
313 3 3
3 ddut t
dt=
sec tan3 3
k)
u xdu x dx
dux
dx
==
=
sincos
sec
33 3
13
13
11
12( ) tan
lnln tan
+=
= += +
∫ ∫x x dx u duu C
x C
Arc
Arcln ( )5
2x
xdx∫
ln ( )
ln ( )
52
12
45
4
2
2
xx
dx u du
uC
xC
∫ = ∫
= +
= +
∫ sec tan4 4θ θ θd
∫ = ∫
= +
=
sec tan sec tan
sec
sec
4 4141414
4
θ θ θd u u du
u C
θθ + C
sec tan sec sec tan4 33 3 3 3 3t t
dtt t t
dt
=
∫ ∫
sec sec tan3 33 3 3
3t t t
dt u d
= ∫∫ uu
u C
tC
= +
= +
3434 3
4
4sec
ex
dxxsin
sec
3
3∫
l) 8
112
33+
∫v
vdv
u
v
duv
dv
duv
dv
= +
=
=
11
2
12
1
2
3
3
-
-
8
11
82
42
2
3
3
3
2
+
= ∫
=
+
∫v
v
dv u du
u
-
--
-
-CC
v
C=+
+2
112
2
m)
udu d
du d
==
=
cotcsc
csc
44 4
14
4
2
2
θθ θ
θ θ
--
n)
u e xdu e x dx
x
x
= −= +
cos( sin )
o)
u t
dut t
dt
=
=−
Arc sec
112
ex
dx e du
e C
e C
xu
u
x
sin
sin
sec
3
3
3131313
∫ = ∫
= +
= +
∫ csc cot2 24 4θ θ θd
∫ = ∫
= +
=
csc cot
cot
2 2 2
3
3
4 41414 3
412
θ θ θ
θ
d u du
uC
-
-
- ++ C
e xe x
dxx
x
+−∫
sincos
e xe x
dxu
du
u C
e x C
x
x
x
+−
=
= += − +
∫ ∫sincos
cos
1
2
2
12
12
212
Arc sec t
t tdt
−∫
2
34 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse
© 2009 Chenelière Éducation inc.
p)
u ax bdu a dx
adu dx
= +=
=1
7. a)
ux
du dx
du dx
=
=
=
-
-
-
313
3
v xdv dx
dv dx
==
=
66
16
b) I d d=
−
=
−∫ sin cos sin
θ θ θ θ θ5
45
∫∫∫ cos 4θ θd
u
du d
du d
=
=
=
θ
θ
θ
515
5
vdv d
dv d
==
=
44
14
θθ
θ
21
2
22
22
2
Arc
Arc
sec
sec
ln
ln
tu
u
t
t tdt du
C
−= ∫
= +
= +
∫
CC
∫ +( )ax b dxr
Si -r ≠ 1
∫ + = ∫
=+
+
= +
+
+
( )
( )(
ax b dxa
u du
aur
C
aax b
r r
r
r
1
11
1
1
1
rrC
++
1)
Si -r = 1 ∫ + =
= +
= + +
∫( )
ln
ln
ax b dxa u
du
au C
aax b C
-1 1 1
1
1
I e dx e dx dxx x
x x= +( ) = + ∫∫ ∫- -3 33 36 6
I e du dv
e C
e
u v
u v
x
= ∫ + ∫
= + +
= +
-
-
--
316
3
316
13
3
31
63
ln
lln 336x C+
I u du v dv
u v C
= ∫ − ∫
= − +
=
514
514
5
sin cos
cos sin
cos
-
-θ55
14
4 − +sin θ C
c) I t dtt
t t tdt= ∫ − +
+−
+( )∫∫8 3
99
1
12 5
u tdu dtdu dt
= −==
81
1-
-
v tdv t dt
dv t dt
= +=
=
92
12
2 w t
dwt
dt
dwt
dt
= +
=
=
1
1
2
21
12
d)
u x
dux
dx
dux
dx
=
=
=
12
21
v xdv x dx
dv x dx
==
=
4
3
3
4
14
e)
u hdu dh
du dh
= +=
=
3 13
13
v hdv dh
dv dh
= +=
=
5 65
15
f)
u x
dux
dx
dux
dx
=
=
=
log
ln
ln
110
101
v xdv dxdv dx
===
--
-
w x
dwx
dx
=
=
ln1
I u du v dv w dw
u v
= + − ∫
= +
∫ ∫-
-
--
12
1
2
12
32
9 2
32
32
5
32
( )
112
184
23
8 3 99
2 1
4
3 24
− +
= − + + ++( )
+
wC
t tt
-
-
-( ) CC
Ix
xdx x x dx= − ∫∫ sec csc
23 2 4
I u du v dv
u v C
= ∫ − ∫
= − +
=
214
214
2
2 2sec csc
tan ( cot )
t
-
aancot
xx
C+ +4
4
Ih
dhh
dh=+
−+∫ ∫
13 1
61
5 62( )
Iu
duv
dv
uv C
h
= −
= − +
=+
−
∫ ∫131 6
51
13
65
13 3 1
6
2
-
-
ln
( )
lln 5 6
5
hC
+ +
Ix
xdx e dx
x xdxx= − ∫ +∫ ∫4 5 13
1logln
-
2
Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 35
© 2009 Chenelière Éducation inc.
g)
v edv e dx
x
x
==
u edu e dx
du e dx
x
x
x
= +=
=
12
12
2
2
2
h) Ix
xdx
xx
dx= −∫ ∫ln ln
v x
dvx
dx
=
=
ln
1
u x
dux x
dx
dux
dx
=
=
=
ln1 1
2
21
i) I e t dt e t dtt t= ∫ − ∫sin coscos sin-
u tdu t dt
==
sincos
v tdv t dt
==
-cossin
j) Ix
xdx
xx
dx= +∫ ∫sin (ln ) ln (sin )tan
u x
dux
dx
=
=
ln
1
v x
dvxx
dx
dvx
dx
=
=
=
ln (sin )
cossin
tan1
I u du e dvw
dw
ue
v
v
= ∫ + ∫ +
= + +
∫4 10 5 131
4 102
513
2
ln
ln lnn
ln (log )ln ln
w C
xe
xC
x
+
= + + +2 10 53
2
Ie
edx
ee
dxx
x
x
x=
+−
+∫ ∫2
2 21 1
Iu
duv
dv
u v C
e x
= −+
= − +
= +
∫ ∫121 1
112
1
2
2
ln tan
ln (
Arc
))( )
2− +Arc tan e Cx
I u du v dv
u vC
xx
= ∫ −
= − +
= ( ) −
∫2
22 3
2
23
12
322
2 3ln
(ln ) ++ C
I e du e dve e Ce e C
u v
u v
t t
= ∫ − ∫= − += − +sin cos-
k) Ih
hdh e e dhh h= − ∫∫ tan (ln ) cot ( )
v edv e dh
h
h
==
u h
duh
dh
=
=
ln
1
l) I xx
dxx
xdx=
+∫ ∫sec
csc1
2 I x
xdx
x
xdx=
+∫ ∫sec
csc1
2
u
x
dux
dx
dux
dx
=
=
=
1
1
1
2
2
-
-
v x
dvx
dx
dvx
dx
=
=
=
12
21
8. a)
u xdu x dx
du x dx
= +=
=
3 46
16
2
b) I d= ∫ csc csc (cot )2 2θ θ θ
udu ddu d
===
cotcsc
csc
θθ θ
θ θ-
-
2
2
I u du v dv
uv
C
x
= ∫ + ∫
= + +
= +
sin
cos
cos (ln )ln (sin
-
-
2
2xx
C)( ) +
2
2
I u du v dvu v C
= ∫ − ∫= − +=
tan cotln cos ln sinln cos (l
-- nn ) ln sin ( )h e Ch− +
I u du v dvu u v
= ∫ + ∫= + − +
--
sec cscln sec tan ln csc co
22 tt
ln sec tan ln csc co
v C
x xx
+
= +
− +-
1 12 tt x C+
Ixx
dx x x dx=+
= ∫ +∫ cos ( ) sec ( )3 4 3 422
I u du
u u C
x
= ∫
= + +
= + +
1616
3 42
sec
ln sec tan
ln sec ( ) tann ( )3 4
6
2xC
+ +
I u duu C
C
= ∫= += +
-- -
csc( cot )
cot (cot )
2
θ
2
36 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse
© 2009 Chenelière Éducation inc.
c) I x x dx= ∫ 3 3 2tan ( )
u xdu x dx
du x dx
==
=
36
16
2
d) I t dt t dt= ∫ + = ∫ + −( )tan ( ) sec ( )2 25 1 5 1 1
u tdu dt
du dt
= +=
=
5 15
15
e)
udu d
du d
==
=
55
15
θθ
θ
f)
I u du
u C
xC
= ∫
= ( ) +
= +
3612
3
2
2
tan
ln cos
ln cos
-
-
I t dt dt
u dt t C
u
= ∫ + − ∫
= ∫ − +
=
sec ( )
sec
tan
2
21
5 1 1
1515
−− +
= + − +
t C
tt C
tan ( )5 15
I d= ∫ + += ∫ +
(sec sec tan tan )(sec
2 2
2
5 6 5 5 9 55θ θ θ θ θθ 66 5 5 9 5 1
10 5 6
2
2
sec tan (sec ))( sec sec
θ θ θ θθ
+ −= ∫ +
d55 5 9
10 5 6 5 5 92θ θ θ
θ θ θ θtan )
( sec sec tan )−
= ∫ + − ∫d
d dθθ
I u u u du d
u
= ∫ + − ∫
= +
15
10 6 9
15
10 6
2( sec sec tan )
( tan
θ
ssec )
tansec
u C C
C
+ − +
= + − +
1 29
2 56 5
59
θ
θ θ θ
Ixx
xx
dx
x
= − −
=
∫ sincoscos
cos(sin )
cos
2
21
1xx x
dxx
dxxx
dx
x x dxcos cos
coscos
sec tan
∫ ∫ ∫− += ∫
1 2
−− ∫ + ∫= − + + +
sec cos
sec ln sec tan sin
x dx x dx
x x x x C
g) Solution 1
udu d
==
sincos
ϕϕ ϕ
Solution 2
udu d
==
tansec
ϕϕ ϕ2
h)
i)
u tdu t dt
==
sincos
j)
u xdu dx
du dx
= −=
=
1 44
14
--
I d
d
= ∫
=
=
∫cot sec
cossin cos
cossin
3 2
3
3 2
1
ϕ ϕ ϕϕϕ ϕ
ϕ
ϕ33 ϕ
ϕ∫ d
I du
du= =∫ ∫cossinϕϕ
ϕ3 3
1
-
-
= +
=
12
12
2
2
uC
sin ϕ++ C1
I d d= ∫ = ∫cot sec sectan3 2
2
3ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕϕ
I du
du= =∫ ∫sectan2
3 3
1ϕϕ
ϕ
-
-
= +
=
12
12
2 2uC
taan2 2ϕ+ C
sin
coscos cos
2
2
212 2 2
xdx
xdx x
x
= − =
∫
∫ −
= − +
= − +
sin
sin
( sin )
2
2
2 212
x
x xC
x x C
∫ + = ∫ + +=
(sin cos ) (sin sin cos cos )t t dt t t t t dt2 2 22∫∫ +
= ∫ + ∫= + + ∫
( sin cos )sin cos
1 21 2
21
t t dtdt t t dt
t C ssin cos
s
t t dtt C u du
t Cu
C
t
= + + ∫
= + + +
= +
1
1
2
2
2
22
iin2 t C+
Ix
dx x dx=−
= ∫ −∫ 81 4 8 1 4sin ( ) csc ( )
2
Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 37
© 2009 Chenelière Éducation inc.
k) It t
tdt
tt
dt
udu
u
=
=
=
= +
∫
∫
∫
cos sinsin
cossin
1
2
12
12 CC
t C= +2 sin
u t
du t dt==
sincos
l) I d
d
=+
=+
=
∫
∫
tansec
sincos
coss
θθ
θ
θθ
θ
θ
11
11
iincos
coscos
sincos
θθ
θθ
θ
θθ
θ
∫
∫+
=+
1
1
d
d
udu ddu d
= +==
cossin
sin
θθ θ
θ θ
1
1-
-
m)
udu ddu d
===
cossin
sin
ϕϕ ϕ
ϕ ϕ-
-
n)
9. a) Ix
dx=+∫
41
I u du
u u C
= ∫
= +( ) +=
814
22
-
- -
csc
ln csc cotln cssc ( ) cot ( )1 4 1 4− + − +x x C
Iu
du
u CC
=
= += + +
∫---
1
1lnln cosθ
I d= ∫ −= ∫ −
sin cos (cos sin )sin cos cos (
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ
2 2
2 112 1
2
2
−( )= ∫ −
cos )sin cos ( cos )
ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ
dd
I u u duu du u du
u uC
= ∫ −= ∫ − ∫
= − +
=
- ( )
c
2 12
22
4
2
3
2 4
oos cos2 4
2 2ϕ ϕ− + C
sincos
sin coscos
sinco
2 2
22
xx
dxx x
xdx
x dx
∫ ∫== ∫= - ss x C+
u x x u
dux
dx x du dx
= + ⇒ = −
= ⇒ =
1 1
12
2
b)
u tdu t dt
du t dt
= +=
=
2 12
12
c)
u x x u
du x dx du x dx
= + ⇒ = −
= ⇒ =
2 21 1
212
d) Ix
xdx=
−∫5
3 16
u x x u
du x dx du x dx
= − ⇒ = +
= ⇒ =
3 3
2 2
16 16
313
Ix
udu
uu
du
duu
du
u u
=
= −
= ∫ −
= −
∫
∫
∫
42
81
8 11
8 ln(( ) += + − +( )( ) += − +( ) +
C
x x C
x x C
1
18 1 1
8 8 1
ln
ln
I t t dt= ∫ +( )2 91
I u du
uC
tC
= ∫
= +
= + +
1212 10
120
9
10
2 10( )
I x x dx= ∫ +( )2 9 31
I x x x dx
u u du
u du u du
= ∫ +
= ∫ −
= ∫ − ∫
( )
( )
2 9 2
9
10 9
1
12
1
12
(( )
= − +
= + − +
12 11 10
122
1
11 10
2 11 2
u uC
x x( ) ( )110
20+ C
2
38 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse
© 2009 Chenelière Éducation inc.
e) I x x dx= ∫ + +( )6 5 2 3
u x xu
du dx du dx
= + ⇒ = −
= ⇒ =
2 32
3
313
f)
u e e udu e dx
x x
x
= + ⇒ = −=
1 1
g) Ix x
x xdx= +
+∫4
1( )
u x x u
dux
dx dx x du
= ⇒ =
= ⇒ =
2
12
2
Ix
xx dx
u
udu
u du u du
=−
= +
= +
∫
∫
∫
3
32
1613
16
13
1612
1
2
-
∫∫( )= +
+
= − +
13 3
2
1612
29
163
32
12
3 2
u uC
x( )223
163x C− +
Iu
u du
u u du
= − +
= ∫ − +
=
∫13 62
35
13
2 4 5( )
113
2
13
252
32
4
32
12
52
32
u u du
u uC
+( )
= +
+
=
∫
(( ) ( )2 315
2 2 39
5 3+ + + +x x C
Ie
edx
ee
e dxx
x
x
xx=
+=
+∫ ∫2
1 1
Iu
udu
duu
du
u u Ce ex x
= −
= ∫ −
= − += + − + +
∫∫
1
11
1 1ln
( ) ln CCe e Cx x= − + +ln ( )1
v udv u du
= +=
2 12
h) Ix
xdx=
+∫2
44 3( )
u x x
u
du dx dx du
= + ⇒ = −
= ⇒ =
4 34
3
313
I
u
udu
u uu
du
u
=
−
= − +
= ∫
∫
∫
13
43
127
8 16
127
2
4
2
4
-- - -
- -
- -
2 3 4
1 2
8 16
127 1
82
16
du u du u du
u u
− ∫ + ∫( )
= − + uu C
x x
-
-
-
3
2
3
127 4 3
427 4 3
1681 4
+
=+
++
−( ) ( ) ( ++
+3 3x
C)
10. a) I x dx x dxx
dxe
xdx
x= + − +∫ ∫ ∫ ∫2 7 5 1
12
1
2
-
u x
dux
dx
=
= 12
b) It t
dtt
dt=+ +
=+∫ ∫
11
112 2( )
u tdu dt
= +=
1
Iu u
u ux dx
u uu u
u du
= ++
= ++
=
∫
∫
41
2
24 1
1
2
2
2 2
2 2
( )
( )( )
44 11
42
12
11
4 1 2
2
2 2
2
uu
du
uu
duu
du
u
++
=+
++
= + +
∫
∫ ∫ln AArc
Arc
tan
ln tan
u C
x x C
+= +( ) + +4 1 2
Ix
x x e Cx= + − + +43
14 5 23
ln
Iu
duu
Ct
C= = + =+
+∫ 1 1 112- -
( )
2
Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 39
© 2009 Chenelière Éducation inc.
c) I e e e dxx x x= ∫ sin ( ) cos ( )4
u edu e e dx
x
x x
==
sin ( )cos ( )
d) Ie
edx e dx dx
x
xx=
++ ∫ + ∫∫
2
22
22 1-
u edu e dx
du e dx
x
x
x
= +=
=
22
12
2
2
2
v xdv dx
dv dx
==
=
-2-2
-12
e)
f)
h udh du
dh du
= +=
=
3 13
13
g) I x xx
dx
x dx x dx dx
= − − +−
= ∫ − ∫ − ∫ +−
∫ --
2
2
11
11
1 xxdx∫
u xdu dx
= −=
1-
h)
I u duu
Ce
Cx
= ∫ = + = +45 5
5 5sin ( )
Iu
du e dv dx
u e x C
v
v
= + ∫ + ∫
= − + +
∫121
212
1
12
-
ln
== + − + +ln ( )22
22
ee x C
xx-
I x xx
dx
x xx C
= − +
= − + +
∫23
1
6
53
56
44
35
245
4
-
ln
== − + +35
245
453 56x x
x Cln
Iu
du duu
du= ++
= ∫ + +∫ ∫2
33 1
23
3 1
I duh
dh
u h C
u u C
= ∫ +
= + += + + +
∫2 3 131
2
2 3 1
ln
ln
Ix x
x x C= − − − − +-3 2
3 21ln
I a b dt a b t C= + ∫ = + +2 2 2 2
i)
u xdu x x dx
= −= − −
csc ( )csc ( ) cot ( )
11 1
j)
udu d
==
tansec
θθ θ2
vdv d
==
secsec tan
θθ θ θ
k)
l) Iy
dyy
dy=−
=−
∫ ∫17 1
7
17
1
17
2 2
uy
du dy
du dy
=
=
=
717
7
m) It t t
dt=−∫
1
12ln ln
u t
dut
dt
=
=
ln
1
I x x x dx= − − −∫ csc ( ) csc ( ) cot ( )12 1 1 1
I u du u Cx
C= = + = − +∫ 12 32322
32 1
3csc ( )
I d d= ∫ + ∫sec tan sec tan sec2 3 2θ θ θ θ θ θ θ
I u du v dvu v
C
C
= ∫ + ∫
= + +
= + +
3 2
4 3
4 3
4 3
4 3tan secθ θ
61 2
61
1
61
2
2 2
2
+=
+ −
=
=
∫ ∫
∫cos cos sin
cos
xdx
x xdx
xdx
333
2∫= +
sectan
x dxx C
Iu
du
u C
yC
=−
= +
= +
∫17 71
1
7
2
Arc
Arc
sin
sin
Iu u
du
u Ct C
=−
= += +
∫ 1 12ArcArc
secsec (ln )
2
40 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse
© 2009 Chenelière Éducation inc.
n) Ix
xdx
xx
dx=−
+−∫ ∫8 1 8 12 2 2( )
u xdu x dx
du x dx
= −=
=
12
12
2
--
v xdv x dx
dv x dx
==
=
2
212
o) I x dx x x dx= ∫ + ∫ +3 3 14 2 3 12( )
u xdu x dx
du x dx
= +=
=
3
2
2
13
13
p) Ie
edx
e
edx
x
x
x
x=
+
=
+
∫ ∫9
49
1
19 2
31
2 2
u e
du e dx
du e dx
x
x
x
=
=
=
2323
32
q) I x x x dx= ∫ −2 21
u x x u
du x dx x dx du
= − ⇒ = −
= ⇒ =
1 1
212
2 2
--
Iu
duv
dv
u
= + −
= +
∫ ∫8 121
812
11
8 4
12
12
2
-
- Arcc- Arc
sinsin
v C
x x C
+= − + +8 1 42 2
I x dx u du
x uC
x
= ∫ + ∫
= + +
= +
3 313
35 13
35
4 12
5 13
5 (( )xC
3 13113+ +
Iu
du
u C
ex
= +
= +
=
∫1932
11
1616
23
2
Arc
Arc
tan
tan + C
r) Ie
e edt
ee e
dtt
t t
t
t t=
−=
−∫ ∫2 2 21 1( ) ( )
u edu e dt
t
t
==
s) Ix
xdx
xdx=
−+
−∫ ∫1 21
12 2
u xdu x dx
du x dx
= −=
=
12
12
2
--
t)
v edv e du
u
u
==
u)
u udu d d du
= − ⇒ = −= ⇒ =
1 12 2
tan tansec sec
θ θθ θ θ θ- -
I u u du
u du u du
u
= −
= +
=
∫
∫ ∫
-
-
-
12
1
12
12
12 3
12
12
32
32
( )
22
12 5
2
13
15
52
2 3 2 5
+ +
= − + − +
uC
x xC
- ( ) ( )
Iu u
du
u Ce Ct
=−
= += +
∫ 1 12ArcArc
secsec ( )
Iu
du x C
x x C
= + +
= − + +
∫- Arc- Arc
12
12
1 2
12
1
2
sin
sin
Ie e
due
edu
u u
u
u=
+( ) = +∫ ∫1
1 12 2- ( ) ( )
Iv
dv v C e Cu=+
= + = +∫ 1 12 Arc Arctan ( ) tan ( )
I d=−∫
sec tantan
2
1θ θ
θθ
Iu
udu
udu du
u u C
= − = + ∫
= + += −
∫ ∫1 1 1
1
(- -
--
)
lnln tanθ ++ − +
= − − +( tan )
ln tan tan1
1θ
θ θC
C-
2
Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 41
© 2009 Chenelière Éducation inc.
v)
u x
dux
dx
=
=
ln
1
w)
u xdu x dx
du x dx
= +=
=
2 12
12
x)
u y
duy
dy
=
=
ln1
y)
u x xdu x x dx
= −= −
3 2
23 2( )
Ix
xdx
xdx
xx
dx
= −
= −
∫
∫ ∫
32
7 5
32
71 15
2
ln ln
lnln
Ix
dx u du
x uC
= − ∫
= − +
=
∫3 721 15
23 7
2152 2
3 7
2
ln
ln ln
ln lln (ln )x xC
215
4
2− +
Ix x
xdx
x xx
dx
xx
= + ++
= + + ++
= ++
∫
∫
2
2
2
2
2
2
4 41
1 4 31
1
( )
114
13
112 2
dxx
xdx
xdx∫ ∫ ∫+ + + +
I dxu
dux
dx
x u
= ∫ + + +
= + +
∫∫1 4 121
31
12 3
2
ln taArc nnln ( ) tan
x Cx x x C
+= + + + +2 1 32 Arc
Iy
y ydy
y ydy=
−=
−∫ ∫2 2 211
1ln (ln )
Iu
du u y C=−
= = +∫ 11 2 Arc Arcsin sin (ln )
I x x e dxx x= ∫ − −3 3 22 3 2( ) ( )
I e du e C e Cu u x x= ∫ = + = +−3 3 3 3 2( )
z) I e d= ∫ −sin cos (sin cos )2 2 2 22 2θ θ θ θ θ
udu d
du
== −
=
sin cos(cos sin )
(sin
2 22 2 2
12
2 2
θ θθ θ θ
- 22 22 2θ θ θ− cos ) d
11. a)
Implicite :
Explicite :
b)
Implicite :
Explicite :
c)
Implicite :
Explicite :
d)
Implicite :
Explicite :
e)
I e du e Ce
Cu u= ∫ = + = +- - -12
12 2
2 2sin cosθ θ
dydx
x yy
dy x dx= =, 1
y dy x dx-12
12∫ ∫=
223
3 3
32
32
32
1
2
1
y x C
yx
Cx
C
= +
= +
+
>, où 00
223
3 3
32
32
32
1
2
1
y x C
yx
Cx
C
= +
= +
+
>, où 00
dydx
xe ee
dy xe dxx yy
x= =2 21,
∫ = ∫e dy xe dxy x- 2
Implicite: -
où -
-
-
-
ee
C
e Ce
C C
y
yx
yx
= +
= − =
=
2
2
2
21 1,
lln Ce
Cex x
1 1
2 2
2 20−
−
>, où
Explicitte: - , oùy Ce
Cex x= −
−
>ln 1 1
2 2
2 20
Implicite: -
où -
-
-
-
ee
C
e Ce
C C
y
yx
yx
= +
= − =
=
2
2
2
21 1,
lln Ce
Cex x
1 1
2 2
2 20−
−
>, où
Explicitte: - , oùy Ce
Cex x= −
−
>ln 1 1
2 2
2 20
432 3
+
= −y yy
dy x x dxcos
(sec )
41
32 3y
dy y dy x dx x dx∫ + ∫ = ∫ − ∫cos sec
Implicite:
Explicite au
434
4ln sin tan
:
y y xx
C+ = − +
ccune
Implicite:
Explicite au
434
4ln sin tan
:
y y xx
C+ = − +
ccune
dydx
yxy
xdy y x
xdx= + = +
2 2
1,
1 12y
dy x dxx
dx∫ ∫= ∫ +
Implicite: ln yx
xC
y e ex
xx
xC
= − +
= =− +( ) −
2
21
22
1 22
1(( )−( )= =
e
y C e C e
C
Cx
xExplicite: où1 122
1,
Implicite: ln yx
xC
y e ex
xx
xC
= − +
= =− +( ) −
2
21
22
1 22
1(( )−( )= =
e
y C e C e
C
Cx
xExplicite: où1 122
1,
( )1 2 02+ + − =x dydx
xy x
( ) ( )( ) ( )1 21 2
12
2
2
+ = −+ = −
−=
x dy x xy dxx dy x y dx
ydy
x11 2+ x
dx
2
42 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse
© 2009 Chenelière Éducation inc.
Implicite :
Explicite :
f)
12. a)
En remplaçant x par 4 et y par -3, nous obtenons
b)
En remplaçant s par 20 et t par 5, nous obtenons
Implicite: -
-
ln ln
ln ln ( ) ln
212
1
212
1
2
2
− = + +
− = + +
y x C
y x CC C e
yC
x
yC
x
y
C1 1
12
12
21
21
,
ln ln
où
Explicite:
-=
− =+
− =+
==+
+ >Cx
C12 11
2 0, où
Implicite: -
-
ln ln
ln ln ( ) ln
212
1
212
1
2
2
− = + +
− = + +
y x C
y x CC C e
yC
x
yC
x
y
C1 1
12
12
21
21
,
ln ln
où
Explicite:
-=
− =+
− =+
==+
+ >Cx
C12 11
2 0, où
x y dyxy
dx
yyy
dy
costan
cossincos
= ++
+
=
11
11 ++
∫ + ∫ = +∫ ∫
xx
dx
y dy y dyx
dx x dxcos sin1 1
2-
ImpliciteExplicite : aucu
: sin cos lny y x x C− = + +2nne
dydx
xy
y dy x dx
y dy x dx
y xC
=
=∫ = ∫
= +2 2
2 2
92
16272
2 272
7
2 2
2 2
= +
=
= −
= −=
C
C
y x
y xy x
-
donc
d’où - 22 7 car−
CCC
s t sdonc 00 0
4
4
4
, )ln ln
ln ln
ts es e e
s t
t
t
>==
=
+
d’où
c)
En remplaçant x par 6 et y par 1, nous obtenons
d)
En remplaçant y par 8 et x par 4, nous obtenons
e)
En remplaçant y par 0 et x par 0, nous obtenons
f)
xx
dxy e
ydy
xdx
yye
y
y
+−
= +( )
+−( ) = +
−
−∫
35
1
18
51
2 12
2 11
18 5
2
2
+ − = + +
∫−
dy
x x ye
Cy
ln ln
6 8 1 12
112
8 5
0
2
+ = + +
=
+ − = +−
ln ln
ln ln
eC
C
x x yey
d où’11
2112
+
dydx
e
dy e e dxe dy e dxe dy e dx
x y
x y
y x
y x
=
==
∫ = ∫
−2
2
2
2
-
ee e Cy x= +12
2
e e C
e C
e e e
ye
y x
8 8
8
2 8
2
12
12
12
12
= +
=
= +
=
donc
d’où lnxx e+
8
2
13 5
13 5
15
3 52
2
−=
−= ∫
− = +
∫y
dy x dx
ydy x dx
yx
C-
ln
-
donc-
-
15
3
15
3 52
15
3
2 3 5 5
2
2
ln
ln ln
ln
=
− = −
− =
C
yx
y x ++
− = +
− =
2
Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 43
© 2009 Chenelière Éducation inc.
En remplaçant x par π4
et t par π, nous obtenons
g)
u t tu
du dt dt du
= + ⇒ = −
= ⇒ =
2 33
2
212
En remplaçant v par 5 et t par 3, nous obtenons
h)
En remplaçant y par 0 et θ πpar2
, nous obtenons
tan cos
tan cos
π π41 10
= +
= +==
=
-
donc -d’où A
C
CC
x tx rrc -tan ( cos )t
12 3
2 3
2
2
vdv t t dt
v dv t t dt
= +
∫ = ∫ +-
∫ = −
∫ = −( )
=
∫∫
v dvu
u du
v dv u u du
v
-
-
-
2
2
12
32
14
3
1
32
12
114 5
2
332
1 2 310
2
52
32
5
u uC
vt t
−
+
= + − +- ( ) ( 332
3) + C
-
-
-
donc-
15
910
92
15
24310
272
11
1
5 3= − +
= − +
=
=
C
C
C
v(( ) ( )
( ) ( )
2 310
2 32
11
2 3 5 2 3 110
5 3
5 3
t t
t t
+ − + −
= + − + −110
10
110 5 2 3 2 33 5d où’ v
t t=
+ + − +( ) ( )
sin cossin
cossin
θ θθ
θ
θ θθ
θ
+ = ++
∫ + =∫
dy
ydy
d dy
11
1
2
111
1
12
2 2
2
++
+
+ = + +
∫ ∫y dy y dyy
yθ θln sin ln ( ) tanArc ++ C
π
π
θ θ
21
12
0
21
+ = + +
=
+ =
lnln
tan
ln sinln (
Arc
d où
C
C
’++ + +y y
2
2 2)
tanArcπ
13. a) ′′ = + +′ = ∫ + +′
f x e e x
f x e e x dxf
x x
x x
( ) cos
( ) ( cos )(
-
-
xx e e x Cx x) sin= − + +- 1En remplaçant x par 0, nous obtenons
En remplaçant x par 0, nous obtenons
b)
En remplaçant x par 2 et ′g x( ) par 11, nous obtenons
En remplaçant x par 0 et g(x) par 1, nous obtenons
c)
En remplaçant x par 1 et k x( ) par -5, nous obtenons
′ = − + += − + +=
′
f e e CC
Cf x
( ) sin
( )
0 01 1 1 01
0 01
1
1
-
donc == − + += ∫ − + +=
e e x
f x e e x dxf x
x x
x x
-
-
sin
( ) ( sin )( )
1
1ee e x x Cx x+ − + +- cos 2
f e e CC
Cf x e e x xx x
( ) cos
( ) cos
0 0 02 1 1 11
1
0 02
2
2
= + − + += + − +== + − + +
-
-d’où
′′ = −′ = ∫ −′ = − +
g x x
g x x dxg x x x C
( )
( ) ( )( )
12 8
12 86 82 1
11 6 2 8 23
6 8 3
21
12
= − +=
′ = − +=
( ) ( )
( )
( )
CC
g x x x
g x
donc
∫∫ − += − + +
( )( )
6 8 32 4 3
2
3 22
x x dxg x x x x C
12 4 3 1
23 2
== − + +
Cg x x x xd’où ( )
′′ =
′ = = +∫
k xx
k xx
dxx
C
( )
( )
6
6 6
2
2
-
m
kk
knormale
-
-
-
3 3 0 25
13
0 25
3 4
6
, ( ) ,
( ),
( )
( ) =
′=
′ =
334
2
62
62
+ =
=
′ = −
= −
C
C
k xx
k xx
-
-
donc-
-
( )
( ) ddx
k x x x C
∫= − +( ) ln-6 2 1
- --
d où -
5 6 1 2 136 2 3
1
1
= − +== − −
ln ( )
( ) ln
CC
k x x x’
2
44 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse
© 2009 Chenelière Éducation inc.
d) ′′ =′ = ∫′ = +
= ∫ +
h x x
h x x dxh x x C
h x x
( )
( )( )
( ) (
6
63
3
21
2 CC dxh x x C x C
13
1 2
)( ) = + +
En remplaçant successivement x par 0 et x par -3, nous obtenons
b a
De a, nous trouvons C2 = 5.
En substituant cette valeur dans b, nous avons
14. a)
b) i) En remplaçant x par 2 et y par e, nous obtenons
ii) En remplaçant x par -1 et y par -e, nous obtenons
15. a)
Ainsi chaque courbe est un cercle centré au point A(4, 0) et de rayon C .
b) Soit
La pente m2 de la famille cherchée est
ab
54 3 3
23
1 2
== + +
CC C- - -( ) ( )
- -donc -d’où
4 27 3 56
6 5
1
13
= − +=
= − +
CCh x x x( )
dydx
xy
ydy x dx
ydy x dx
yx
C
y e
y
x C
=
=
= ∫
= +
=
∫
+
1
1
2
2
22
ln
==
= ≠
e e
y ke k
Cx
x
22
22 0, où
e ke
ke
ye
ex
=
=
=
2
1
1 22
Ainsi
d où’
-Ainsi -
d’où -
e kek e
y e ex
==
=
12
2
2
( )( )
( )
(
x dx y dyy dy x dx
y dy x dx
y
− + == −
∫ = ∫ −
=
4 04
4
2
2 - 442
4 4
2
2 2 2 2
− +
− + = − + =
xC
x y C x y C
)
( ) ( )ou
mx
ydydx
xy
14 4= − = −
famille de courbes en a) où
my
xm
m
dydx
yx
dyy
dx
2 2141
4
=−
=
=−
=
car-
Ainsi
xx
ydy
xdx
y x C
y x D
−
=−
= − += − +
∫ ∫4
1 144
4
ln ln
ln ln lnd’ooù y D x= −( )4
c) > with(plots):> c1:=implicitplot((x-4)^2+y^2=1,x=-2..10,y=-6..6,color=red):> c2:=implicitplot((x-4)^2+y^2=5,x=-2..10,y=-6..6,color=red):> c3:=implicitplot((x-4)^2+y^2=9,x=-2..10,y=-6..6,color=red):> c4:=implicitplot((x-4)^2+y^2=25,x=-2..10, > y=-6..6,color=red):> d1:=plot(3*(x-4),x=-2..10,y=-6..6,color=blue):> d2:=plot(-0.5*(x-4),x=-2..10,y=-6..6,color=blue):> d3:=plot((x-4),x=-2..10,y=-6..6,color=blue):> d4:=plot(0.2*(x-4),x=-2..10,y=-6..6,color=blue):> display(c1,c2,c3,c4,d1,d2,d3,d4,scaling=constrained);
4 8 10-2
-4
-6
2
4
6
y
x
d) En remplaçant x par 6 et y par 3dans ( )x y C− + =4 2 2 ,nous obtenons ( )6 4 32
2− + ( ) + C , donc C = 7 et dans y D x= −( )4 , nous obtenons 3 6 4= −D( ) ,
donc D = 32
,
16. a) ykx
mdydx
kx
= = =, 1 32-
Puisque la famille F2 est orthogonale à F
1
d’où F2 :
yx C
22
2− =
my
xm
m
dydx
yx
dyy
dx
2 2141
4
=−
=
=−
=
car-
Ainsi
xx
ydy
xdx
y x C
y x D
−
=−
= − += − +
∫ ∫4
1 144
4
ln ln
ln ln lnd’ooù y D x= −( )4
d’où les équations
et
( )
( )
x y
y x
− + =
= −
4 73
24
2 2
my x
xk y x
myx
1 3
1
2
2
= =( )
=
-car
-
mm
m m
dydx y
x
xy
y
21
1 21
1
1
2
2
= =
=
=
∫
-car -
--
( )
ddy x dx
yx C
= ∫
= +
2
2
22
2
Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 45
© 2009 Chenelière Éducation inc.
b) F1 : y
kx
= et F2 :
yx C
22
2− =
i) En remplaçant x par 4 et y par 2, nous obtenons
24
= k , donc k = 4 ( ) ( ) ,22
42
2− = C donc C = -14
Courbe de F1 : y
x14= Courbe de F
2 : y x2
22
214− = -
ii) En remplaçant x par 1,44 et y par -5
-51 44
= k,
, donc k = -6 ( )
( , ) ,-52
1 442
2− = C donc C = 10,4264
Courbe de F1 : y
x36= - Courbe de F
2 : y x4
22
210 4264− = ,
c) > with(plots): > y1:=plot(4/x^(1/2),x=0..10,y=-8..8,color=blue): > y2:=implicitplot(y^2/2-x^2=-14,x=0..10,y=-8..8,color=red): > y3:=plot(-6/x^(1/2),x=0..10,y=-8..8,color=blue): > y4:=implicitplot(y^2/2-x^2=10.4264,x=0..10,y=-8..8,color=red):
> display(y1,y2,y3,y4,scaling=constrained,view=[0..10,-8..8]);
17. a)
F1 : y y e k kx= + ∈{ }, où IR IRy y e k kx= + ∈{ }, où IR F2 : z z ke kx= ∈{ }, où IR IRz z ke kx= ∈{ }, où IR
mdydx
ex1 = =
y e Cx= +-
F3 : y y e Cx= +{ }- F4 : z z x K2 2+ ={ }
0
2
4
6
8
-8
-6
-4
-2x
y
2 4 6 8 10
2
yx4
22
210 4264− = ,
yx
36
=-
yx
14=
-
mdzdx
ke
ze
e
kz
ez
x
xx
x
1 = =
=
=
=
car
dydx m ex
= =- -1 11
dzdx m z
= =- -1 11
∫ = ∫dy e dxx- - ∫ = ∫z dz dx-
zx C
2
12= +-
b)
En remplaçant x par 0 En remplaçant x par 0et y par 3 et z par 3
dans F1 : 3 20= + =e k k, donc dans F
2 :
y ex1 2= + z ex2 3=
dans F3 : 3 20= + =e C C, donc dans F
4 :
y e x3 2= +- C4 : z x2 2 9+ =
c)
y ex1 5= + y ex2 3= −
Si x y e= = +2 51 2, Si x y e= = −2 32 2,
En remplaçant x par 2 En remplaçant x par 2et y par e2 5+ , dans F
3 et y par e2 3− , dans F
3
> with(plots): > y1:=plot(exp(x)+5,x=0..4,color=blue): > y2:=plot(exp(x)-3,x=0..4,color=blue): > y3:=plot(exp(-x)+exp(2)+5-exp(-2),x=0..4,color=red): > y4:=plot(exp(-x)+exp(2)+3-exp(-2),x=0..4,color=red): > display(y1,y2,y3,y4,scaling=constrained,view=[0..4,-3..15]);
d)
z ex1 5= z ex2 3= -
Si x z e= =2 51 2, Si -x z e= =2 322,
En remplaçant x par 2 En remplaçant x par 2et z par 5 2e , dans F4 et z par -3 2e ,dans F4
d’où C3 : d’où C
4 :
18. a)
3 30= =ke k, donc
3 2 0 92 + = =( ) ,K Kdonc
e e CC e ey e e ex
2 2
2 2
32 2
55
5
+ = += + −
= + + −
-
-
- -d où’ ( )
e e CC e ey e e ex
2 2
2 2
42 2
33
3
− = += − −= + − −
-
-
- -d où’ ( )
0
2
4
6
8
10
12
14
-2 x2 4
y e e ex3 2 25= + + −( )- -- -y e e ex4 2 23= + − −( )
y ex2 3= −
y ex1 5= +
( ) ( )5 2 22 2e K+ = ( ) ( )-3 2 22e K+ =
K e= +25 44 K e= +9 44
z x e2 42 25 4+ = + z x e2 42 9 4+ = +
a
dvdtdv dtdv dt
v
=
=
=∫ = ∫
=
-
-
--
-
9 8
9 8
9 89 8
9 8
,
,
,( , ), tt C+ 1
2
46 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse
© 2009 Chenelière Éducation inc.
En remplaçant t par 0 et v par 24,5, nous obtenons
b)
En remplaçant t par 0 et h par 245, nous obtenons
c) À sa hauteur maximale, la vitesse est nulle.
d)
d’où 275,625 m
e) Déterminons t lorsque h = 0.
d’où 73,5 m/s
19. Puisque
car
dvdt
a
dvt
dt at
=
=−
=−
10025 2
10025 22( ) ( ))
( )
( )
2
2100
125 2
5025 2
∫ =−
=−
+
∫dv t dt
vt
C
En remplaçant t par 0 et v par 4, nous obtenons
45025 1
= + C , donc C1 2=
Distance parcourue
24 5 9 8 024 5
9 8 24 5
1
1
, , ( ),
, ,
= +== +
-
d’où -
CC
v t
dhdt
t
dh t dt
dh t
= +
= +∫ = ∫
-
-
-
9 8 24 5
9 8 24 5
9 8
, ,
( , , )
( , ++= + +
24 54 9 24 52 2
, ), ,
dth t t C-
245 4 9 0 24 5 0245
4 9 2
22
22
= + +== +
-
d’où -
, ( ) , ( )
,
CC
h t 44 5 245, t +
Donc -- -
d où s
9 8 24 5 09 8 24 5
2 5
, ,, ,
,
tt
t
+ ==
=’
h( , ) , ( , ) , ( , )2 5 4 9 2 5 24 5 2 5 2452= + +-
-4 9 24 5 245 02, ,t t+ + =
donc- -
-
-
t
v
= − − =
= +
24 5 24 5 4 4 9 245
2 4 910
10 9 8 10 24 5
2, , ( , )( )
( , )
( ) , ( ) ,
Ainsi vt
=−
+5025 2
2( )
Puisquedxdt
v
dxt
dt
dx
=
=−
+
∫ =−
5025 2
2
5025 2tt
dt
x t t C
+
= − + +
∫ 225 25 2 2- ln
Distance parcourue-
= −= + −
x x( ) ( )( ln ) (
7 325 11 14 --
d’où mèt
25 19 6
8 251911
21 66
ln )
ln
,
+
= +
≈d rres
Distance parcourue-
= −= + −
x x( ) ( )( ln ) (
7 325 11 14 --
d’où mèt
25 19 6
8 251911
21 66
ln )
ln
,
+
= +
≈d rres
20. a)
En remplaçant t par 0 et v par 27, nous obtenons
En remplaçant t par 2 et v par 24, nous obtenons
En remplaçant t par 2 et x par 55, nous obtenons
i)
ii)
b)
Ainsi la particule s’arrête après 6 secondes et change de direction, car v change de signe.
i)
ii)
a kt
dvdt
kt advdt
dv kt dt
v kt
=
= =
∫ = ∫
= +
car
2
2CC
27 0 27
227
2
= + =
= +
k C C
v kt
, ,ainsi donc
2422
2732
34
27
2
2
= + =
= +
k k
vt
dxdt
( ), ,ainsi
-donc
-
== + =
∫ = +
-car
-
34
27
34
27
2
2
tv
dxdt
dxt
= + +
∫ dt
xt
t C- 3
427
5524
27 2 3
427
3
3
= + + =
= + +
-ainsi donc
-
( )( ) , ,C C
xt
t 33
v v( )( )
, ( )43 4
427 15 4 15
2= + = =- d où m/s’
x x( )( )
( ) , ( )444
27 4 3 95 4 953
= + + = =- d où m’
v v( )( )
, , ( ) ,73 7
427 9 75 7 9 75
2= + = =- - d où - m/s’
x x( )( )
( ) , ( ) ,774
27 7 3 106 25 7 106 253
= + + = =- d où m’
x x( )( )
( ) , ( ) ,774
27 7 3 106 25 7 106 253
= + + = =- d où m’
En posant nous obtenons-
d
v
t
t
=
+ =
=
034
27 0
36
2
2
,
, oonc s - est à rejeter)t = 6 6(
d x x
d[
[
( ) ( )0
0
4 0 95 3 92
92s, 4 s]
s, 4 s]d où m
= − = − ==’
d d d
x x x x[ [ [
( ) ( ) ( )0 0 6
6 0 7s, 7 s] s, 6 s] s, 7 s]= +
= − + − (( ),
,
[
6111 3 106 25 111108 4 75
0
= − + −= +
d où s, 7 s]’ d == 112 75, m
2
Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 47
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21. a)
En posant t = 0 et v = 0, nous obtenons
En posant t = 0 et x = 0, nous obtenons C = 0, donc
En posant v = 20 dans l’équation 1,
b) En posant x = 100 dans l’équation 2
À l’aide de Maple, nous obtenons
> x:=t->t^3/6+3*t^2/2;
> t1:=fsolve(x(t)=100);
> v:=t->t^2/2+3*t;
> v(t1);
d’où
22. a)
En remplaçant t par 0 (année 2000) et P par 281, nous obtenons
a v
dvdt
v advdt
vdv dt
= +
= + =
+= ∫∫
2 9
2 9
1
2 9
car
22 9v t C+ = +
9 0 32 9 32 9 3
2
2
2
= + =+ = ++ = +
=
C Cv tv t
vt
, ,
( )
ainsi donc
++
= + =
3
23
2
t
dxdt
tt v
dxdt
(équation 1)
car
∫∫ = +
= + +
∫dx t t dt
xt t
C
2
3 2
1
23
632
xt t= +
3 2
632
(équation 2)
202
3 4 10
4
2= + = =t t t t
x
,
(
donc ou - (à rejeter)
d où’ )) ,= 34 6 mètres
1006
32
3 2= +t t
x t t t:= → +16
32
3 2
t1: .= 6 268665363
v t t t:= → +12
32
38 45407881.
v( , ) ,6 26 38 45 ≈ m/s
dPdt
P
PdP dt
P t C
=
= ∫
= +
∫
0 009
10 009
0 009
,
,
ln ,
ln , ln281 0 281= + =C Cainsi
bad où’ ln , ln
,
P tP e t
= +=
0 009 281281 0 009
b) De a, nous obtenons c
c) En posant t = 12 (année 2012) dans b
d) En posant P = 350 dans c
d’où vers le milieu de l’année 2024.
23. a)
En remplaçant t par 0 (en 1980) et P par 2000, nous obtenons ln 2000 0= ( ) +K C, ainsi C = ln 2000, donc ln P = Kt + ln 2000En remplaçant t par 10 (en 1990) et P par 600, nous obtenons ln 600 = K(10) + ln 2000, donc
K = lnln
ln
lnln
30
310
102000
302000
=
+
=
t
3310
10
103
2003
10
34
=
=
t
tln
ln,,88
d’où
En posant t = 32 (2012) dans b
b) En posant P = 30 dans a
d’où vers la fin de l’année 2015 (1980 + 34,88…)c) En remplaçant P par 1 dans a (notez qu’on ne peut pas remplacer P par 0, car ln 0 n’est pas définie), t = 63,1,
d’où vers le début de 2043 (1980 + 63,1).d) > P:=t->2000*(3/10)^(t/10);
> plot(P(t),t=0..t1,color=orange);
t
P
=
ln
,281
0 009
P ≈ 313 millions
t =
=ln
,,
350281
0 00924 397
dPdt
KP Pt
= où est la populationet le temps enn années
car
1
0
PdP K dt
P Kt CP Kt C P
∫ = ∫= += + >
lnln ( )
b
a
c
lnln
ln
ln
P t
P e t
=
+
=( )
310
102000
20003
1010
ouu P
t
= 2000
310
10
P ≈ 42 bélougas
lnln
ln
lnln
30
310
102000
302000
=
+
=
t
3310
10
103
2003
10
34
=
=
t
tln
ln,,88
P tt
:( / )
= → 2000
310
1 10
2
48 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse
© 2009 Chenelière Éducation inc.
Plot1 Plot2 Plot3
\Y1=2000(3/10)^
(X/10)\Y
2=
\Y3=
\Y4=
\Y5=
\Y6=
WINDOWXmin=0
Xmax=60
Xscl=10
Ymin=0
Ymax=2500
Yscl=500
Xres=1
GraPh
24. dPdt
P= -0 04,
10 04
0 04P
dP dt
P t C
∫ = ∫= +
-
-
,
ln ,
Ne connaissant pas la population initiale, nous remplaçons P par P
0 lorsque t = 0
anous obtenons -d’où -
ln , ln,
P t PP P e t
= +=
0 04 00
0 04
ab
En posant PP= 02
dans a, t = 17,328…
d’où environ 17,33 jours.
25. a)
En remplaçant Q par Q0 et t par 0, nous obtenons
ln , ( )Q C0 0 055 0= +- , donc C Q= ln 0ainsi
baln , ln
,
Q t QQ Q e t
= +=
--
0 055 00
0 055
ab
En posant t = 3 dans b, Q Q≈ 0 85 0,
b) En posant t = 24 dans b, Q Q≈ 0 27 0, , d’où environ 0,73Q
0 est désintégrée.
c) En posant QQ= 02
dans a, t ≈ 12,6 heures.
d) En posant Q Q= 0 01 0, dans a, t ≈ 83,7 heures.
0
500
1000
1500
2000
t2010 30 40 50 60 70
P tt
( ) =
20003
1010
dQdt
Q
QdQ dt
Q t C
=
= ∫
= +
∫
-
-
-
0 055
10 055
0 055
,
( , )
ln , (ccar Q > 0)
26. a) dQdt
Q
QdQ dt
Q t C
=
= ∫
= +
∫
-
-
-
0 0187
10 0187
0 0187
,
,
ln , (( )car Q > 0
En remplaçant Q par Q0 et t par 0, nous obtenons
ln , ( )Q C0 0 0187 0= +- , donc C Q= ln 0
ainsi
baln , ln
,
Q t QQ Q e t0 0
00 0187
0 0187= +=
--
ab
En posant QQ= 0
72 dans a, t ≈ 259 ans.
b) Puisque QQ
Q Q= ≈07 02
0 0078, ,
d’où il reste environ 0,78 % de la quantité initiale.
27. a)
En posant P = 1 et h = 0, nous obtenonsln ( )1 0= +K C , donc C = =ln 1 0,
En posant P = 0,56 et h = 5, nous obtenons
ln ( , ) ,0 56 5= K donc K = ln ( , ) ,0 565
ainsi
a b
c
En posant h = 8,85 dans b,
b) En posant P = 0,5 dans a,
28. a)
En posant P = 46 000 et t = 0 (en 1995), nous obtenons 1
0 031140 0
,ln ,= + C donc C = ln
,1140
0 03
dPdh
KP
dPP
K dh
PdP K dh
P Kh C P
=
=
= ∫
= + >
∫ 1
0ln ( )car
Ainsi ln P Kh=
lnln ( , )
( , )
ln ( , )
P h
P e
P
h
h
=
==
0 565
0 56
0 565
5
PP
=≈
0 3580 36
,,
d où atm’P
P=
≈0 358
0 36,
,
d où atm’
ln ( , )ln ( , )
ln ( , )ln ( , )
,
0 50 565
5 0 50 56
5 977 2
=
= =
h
h
d où mètres’ h ≈ 5977
dPdt
P
dPP
dt
P
= − −
−=
−
( , , )
,
,
0 04 0 01 240
0 03 240
10 03 2440
10 03
0 03 240
∫ = ∫
− = +
dP dt
P t C,
ln ,
2
Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 49
© 2009 Chenelière Éducation inc.
ainsi1
0 030 03 240
11400 03
0 03,
ln ,ln
,ln ( ,
P t
P
− = +
− 2240 0 03 11400 03 240 0
0 03
) , ln( , ) )
,
= +− >
−=
tP
P(car
2240 11400 03 240 1140
8000 3
0 03
0 03
== += +
eP eP
t
t
,
,,88 000 0 03e t, b
a
En posant t = 20 (en 2015) dans b, P ≈ 77 240 habitants.
b) En posant P = 92 000 dans a, t ≈ 26,44 années.
29. a)
En posant N = 50 000 et t = 0, nous obtenons-ln ( )450 000 0= +K C, donc C = -ln 450 000.En posant N = 80 000 et t = 2, nous obtenons
- ,ln ( ) ln420 000 2 450 000= −K donc K =
ln
15142
ainsi -lnln
ln
ln (
500 000
15142
450 000
5
− =
−N t
000 000
14152
450 000
500 0
− =
+
=
N t)ln
ln
( (car 000 0
500 000 450 000
50
14152
− >
− =
=
N
N e
N
t
) )
ln
00 000 450 000
500 000 450 00
14152−
= −
e
N
tln
ou 001415
2
t
a
b
c
En posant t = 24 dans c, N ≈ 303 368 bactéries.b) En posant P = 450 000 dans a, t ≈ 63,7 heures.c) > with(plots): > N:=t->500000-450000*(14/15)^(t/2);
N tt
:( / )
= → − 500000 450000
1415
1 2
> NN:=plot(N(t),t=0..150,N=0..500000,color=orange): > y:=plot(500000,t=0..150,linestyle=4,color=black): > display(NN,y);
dNdt
K N
dNN
K dt
NdN
= −
−=
−=∫
( )500 000
500 000
1500 000
∫∫
− = +
K dt
N Kt C-ln 500 000
0
100 000
200 000
300 000
400 000
500 000
N
t4020 60 80 100 120 140
N(t)
t
=
500 000 450 000 1415
2�
= 500 000y
Plot1 Plot2 Plot3
\Y1=500000-450000
(14/15)^(X/2)\Y
2=500000\Y
3=
\Y4=
\Y5=
\Y6=
WINDOWXmin=0
Xmax=140
Xscl=2
Ymin=0
Ymax=600000
Yscl=100000
Xres=1
GraPh
30. a)
En remplaçant t par 0 et T par 55, nous obtenons
En remplaçant t par 15 et T par 45, nous obtenons
a
b
c
En posant T = 40 dans a,
d’où environ 25,2 minutes.
b) i) En posant t = 30 dans c,
ii) Soit x, le nombre de litres d’eau à 55° C qu’elle doit ajouter
d’où 19 69, litreslitres.
dTdt
K T
dTT
K dt
T kt C
= −
−= ∫
− = +
∫
( )
ln
22
2222
ln , ln ,55 22 33− = =C Cdonc ainsiln ( ) ln ( )T Kt T− = + >22 33 22car
ln ( ) ln ,ln
,23 15 33
2333
15= + =
K Kdonc ainsi
ln ( )ln
ln
ln
T t
T e
− =
+
− =( )
22
2333
1533
222333
115
2333
15
33
22 33
22 332333
t
tT e
T
+
= +
= +
( )ln
ln
ou
t15
ln ( )ln
ln
ln
40 22
2333
1533
151833
− =
+
=
t
t
=ln
,2333
25 184…
T
T
= + =
=
22 332333
38 03
38 03
2
,
,d où C’
150 38 03 55 150 405704 545 55 600
( , ) ( ) ( ),
+ = ++ =x x
x 00 4015 295 454
19 69
+==
xxx
,,
…
2
50 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse
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31. dTdt
K T A
dTT
K dt A
TdT K dt
= −
−= =
−= ∫∫
( )
( )21
21
121
car
llnln ( ) ( )
T Kt CT Kt C T
− = +− = + >
2121 21car
En posant T = 35 et t = 0 (17 h), nous obtenonsln ( ) ( )35 21 0− = +K C, donc C = ln 14ainsi ln ( ) lnT Kt− = +21 14En posant T = 33,5 et t = 1, nous obtenonsln ( , ) ( ) ln33 5 21 1 14− = +K , donc K =
ln
,12 514
Ainsi ln ( ) ln,
lnT t− = +21
12 514
14
En posant T = 37, ln ln , ln16 12 514
14= +t
donc t ≈ -1 178,Donc, le décès s’est produit environ 1 h 10 min 41 s avant 17 h, d’où entre 15 h 49 et 15 h 50.
32. a) Soit T, la température du premier objet.
En posant T = 90 et t = 0, nous obtenonsln ( ) ( )90 20 0− = +K C, donc C = ln 70Ainsi ln ( ) lnT Kt− = +20 70En posant T = 60 et t = 10, nous obtenonsln ( ) ( ) ln60 20 10 70− = +K
donc K =
ln
47
10
a
b
c
Soit z, la température du second objet.De façon analogue, nous obtenons
ln ( )ln
ln
ln
z t
z et
− =
+
= +( )
20
56
1060
20 6056
100
10
20 6056
z
t
= +
d
e
f
dTdt
K T
TdT K dt
T Kt C T
= −
−= ∫
− = +
∫
( )
ln ( ) (
20
120
20 car >> 20)
Ainsi ln ( )ln
ln
ln
T t
T e
− =
+
= +
20
47
1070
20 70
477
10
20 7047
10
= +
t
T
t
ln ( )ln
ln
ln
z t
z et
− =
+
= +( )
20
56
1060
20 6056
100
10
20 6056
z
t
= +
En posant ln ( ) ln ( )T z− = −20 20De a et d
b) En posant t =
1067
2435
ln
ln dans b, c, e ou f
T z= ≈ 75 7, C
c) > with(plots): > T:=t->20+70*(4/7)^(t/10);
> Z:=t->20+60*(5/6)^(t/10);
> t0:=fsolve(T(t)=Z(t));
> T0:=T(t0);
> TT:=plot(T(t),t=0..10,y=50..100,color=orange): > ZZ:=plot(Z(t),t=0..10,y=50..100,color=blue): > P:=plot([[t0,T(t0)]],style=point,symbol=circle, > color=black): > display(TT,ZZ,P);
lnln
lnln
ln lnln ln
ln
ln
,
47
1070
56
1060
47
56
1060 70
1067
2435
4 09
+ =
+
−
= −
=
≈
t t
t
t
t minutes
T tt
:( / )
= → + 20 70
47
1 10
Z tt
:( / )
= → + 20 60
56
1 10
t0 : .= 4 085688757
T0 : .= 75 69295450
050
60
70
80
90
100
y
t42 6 8 10
T
t
= +
20 7047
10
Z
t
= +
20 6056
10
2
Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse exerCiCeS rÉCapitulatifS 51
© 2009 Chenelière Éducation inc.
Plot1 Plot2 Plot3
\Y1=20+70(4/7)^
(X/10)\Y
2=20+60(5/6)^ (X/10)\Y
3=
\Y4=
\Y5=
WINDOWXmin=0
Xmax=10
Xscl=2
Ymin=0
Ymax=100
Yscl=10
Xres=1
GraPh
CaLCULaTE1:value2:zero3:minimum4:maximum5:intersect6:dy/dx7:èf(x)dx
x
IntersectionX=4.0856888Y=75.692954.
GraPh
33. a) Soit V, la valeur de l’île de Manhattan et j, le taux d’intérêt nominal.
Puisque V = 24 lorsque t = 0 (en 1626), nous obtenonsln 24 0= + C, donc C = ln 24
Ainsi carln ln ( )V jt V= + >24 0 a
Puisque V = ×6 1011 lorsque t = 364 (en 1990), nous obtenons ln ( ) ln6 10 364 2411× = +j
b) De a ln ln ,V jt= + 24 nous obtenons
En remplaçant j par ln
,
6 1024
3640 065 7
11×
= …
V e= = ×24 6 404 9 100 065 7 400 12( , ) ,… …d’où environ 6 4 1012, $×
34. a)
dVdt
jV
dVV
j dt
VdV j dt
V jt C
=
=
= ∫
= +
∫ 1
ln
Ainsi j = × − =
×
ln ln
ln6 10 24
364
6 1024
364
11
11
==
≈
0 065 7
6 58
,
, %
…
d où’ j
V e jt= 24
dVdt t
dvt
dt
V
t
t
t
=
∫ =
=
∫
45 1 5
451 5
452 1 5
( , )
( , )
( , )ln (( , )1 5
+ C
En posant V = 2000 et t = 0, nous obtenons
2000901 5
= +ln ( , )
C, donc C = −2000 901 5ln ( , )
Ainsi, Vt
≈ +90 1 51 5
1778 03( , )
ln ( , ),
En remplaçant t par 10, nous obtenons V < 2578,12 $d’où environ 2578 $.
b) En remplaçant V par 2377, nous obtenons
d’où environ 6 ans.
35. a)
En remplaçant V par 10 000 et t par 0, nous obtenons
ln , ( )10 000 0 0575 0= + C , donc C = ln 10 000ainsi a bEn posant t = 8 dans b, V < 15 841 $.
b) En posant V = 20 000 dans a, t < 12 ans.
c) Soit i, le taux cherché.
cEn remplaçant V par 15 841 et t par 7 dans c, nous obtenons
ln ( ) ln15 841 7 10 000= +i
d) Soit V0, le capital initial.
En remplaçant V par 15 841 et t par 8, nous obtenons
e) Soit V1, le capital initial.
En remplaçant V par 30 000 et t par 25, nous obtenons
237790 1 5
1 51778 03
1 52377 17
≈ +
≈ −
( , )ln ( , )
,
( , )(
t
t778 03 1 590
1 5598 97 1 5
90
, ) ln ( , )
ln ( , ) ln, ln ( , )
t ≈
≈
≈tln
, ln ( , )
ln ( , ),
598 97 1 5901 5
2 4488 2
5 993
…
…t ≈ ,
dVdt
V
VdV dt
V t C V
=
=
= + >
∫
0 0575
10 0575
0 0575 0
,
,
ln , ( )car
ln , ln,
V tV e t
= +=
0 0575 10 00010 000 0 0575
ln lnV it= + 10 000
Ainsid’où
ii
≈≈
0 06576 57
,, %
ln , lnV t V= +0 0625 0
ln , ( ) ln$
15 841 0 0625 89608
0
0
= +≈
VV
ln , lnV t V= +0 05 1
ln , ( ) ln$
30 000 0 05 258595
1
1
= +≈
VV
2
52 exerCiCeS rÉCapitulatifS Calcul intégral, 4e édition – Solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse
© 2009 Chenelière Éducation inc.
36. a) dhdt
K h
dhh
K dt
hdh K dt
h Kt C
=
=
= ∫
= +
∫ 1
2
En posant h = 64 et t = 0, nous obtenons2 64 0= ( ) +K C, donc C = 16Ainsi 2 16h Kt= +Puisque V = π ( )20 642 est le volume initial, après
5 minutes il reste V4
20 644
2= π ( )
ainsi h = 644
car le rayon 20 est constant.
En posant h = 16 et t = 5, nous obtenons
2 16 5 16= +K( ) , donc K = -85
b) En posant h = 0, nous trouvons t = 10. Il faut 10 minutes au total pour vider le réservoir, d’où il faut 5 minutes
pour vider le reste.
37. a) Soit Q, la quantité de sel dans l’eau à chaque instant.
Nous ajoutons 30 0
0litres
minkg
litreskg/min,× = et à
chaque minute la quantité de sel s’élimine au rythme
de 3030
litresmin
kg900 litres
kg/min× =Q Q
En posant Q = 100 et t = 0, nous obtenonsln 100 0= + C , donc C = ln 100
aAinsi -
d’où-
ln lnQt
Q et
= +
=30
100
100 30 b
b) En posant t = 60 dans b, Q ≈ 13,53 kg.
c) En posant Q = 0,05 dans a, t ≈ 228 min, d’où environ 3 h et 48 min.
38. a) Soit Q, la quantité de sel dans l’eau à chaque instant.
Nous ajoutons 20 0 2
4litres
minkg
litreskg/min,× =, et à
chaque minute la quantité de sel s’élimine au rythme
Ainsi-
d’où ,
285
16
845
845
2
h t
ht
ht
= +
= −
= − eexprimée en cm.
Ainsi-
-
-
-
dQdt
Q
dQQ
dt
QdQ dt
Qt
=
=
=
=
∫∫
301
301 1
30
ln330
0+ >C Q( )car
de 2035
litresmin
kg700 litres
kg/min× =Q Q
b)
En posant Q = 0 et t = 0, nous obtenons-ln ,140 0= + C donc C = -ln 140
a
b
c) En posant t = 24 dans b, Q ≈ 69,5 kg.
d) En posant Q = × =700 0 22
70,
dans a, t ≈ 24,26 min.
e) > with(plots): > Q:=t->140-140*exp(-t/35);
> t0:=fsolve(Q(t)=70);
> QQ:=plot(Q(t),t=0..100,Q=0..140,color=orange): > y:=plot(Q(t0),t=0..t0,linestyle=4,color=black): > P:=plot([[t0,Q(t0)]],style=point,symbol=circle,color=orange): > h:=plot(140,t=0..100,linestyle=4,color=black): > x:=plot([t0,Q,Q=0..Q(t0)],linestyle=4,color=black):
> display(QQ,y,P,x,h);
Plot1 Plot2 Plot3
\Y1=140-140e^(-X/35)
\Y2=140
\Y3=
\Y4=
\Y5=
\Y6=
WINDOWXmin=0
Xmax=120
Xscl=20
Ymin=0
Ymax=150
Yscl=20
Xres=1
GraPh
d’oùdQdt
Q= −4 35
dQQ
dt
QdQ dt
Qt
C Q
140 35
1140
135
14035
140
−=
−=
− = + >
∫ ∫- carln ( ) ( )
-
Ainsi-
ln ( ) ln
ln ( ) ln
14035
140
14035
1
− = −
− = +
Qt
Qt
440
140 140 35d’où-
Q et
= −
Q t e t: ( / )= → −140 140 1 35-
t0 : .= 24 26015132
t4020 60 80 100
200
406080
100120140
t
= −-
140 140 35e
y 140
2
© 2009 Chenelière Éducation inc.
SolutionnaireProblèmes de synthèses
C h a p i t r e 2 (page 126)
f) u
udu
u
udu
hdh h u
3 2
2
1 1
23
11
23
32
32
+=
( ) +=
+=( )
=
∫ ∫
∫Arrc
Arc
tan
tan
h C
u C
+
= +23
3
g) 1 1
1
21
1
2
2
v vdv
v vdv
udu u v
u C
+=
+( )= = +( )= +=
∫ ∫
∫ln
ln 11 +( ) +v Ch)
i)
x
xdx
x xu
du u x dux
dx
u
+
= = + =
= -
∫
∫1
2 11
2
21 2
;
( ) (( )( )
uu
du x u
u u uu
du
u u
- = -
= - + -
= - +
∫
∫
11
23 3 1
2 3 3
3 2
2 --
= - + - +
= +
∫ 1
23
32
3
21
3 2
udu
u uu u C
x
ln
(( )- +
( )+ +( ) - +( )
+
3 2
33 1
23 1 1
xx x Cln
∫ - = ∫ -
= ∫ = -
= +
x x dx x x dx
u du u x
u
5 33 23
3 2
2 2
12
2
38
43
( )
CC
x C
xC
= - +
= - +
38
2
3 28
2
2 43
43( )
( )
1. a)
b)
c)
d)
e) xx x
dxx
xxx
dx
x xx
11
+=
+
=
∫ ∫tan sincos
coscos ++
= = +
= +=
∫
∫x x
dx
udu u x x x
u C
x
sin
( cos sin )
lnln cos
1
++ +x x Csin
47 5
47 5
421
17
3
3
3
3
+=
+
= =
∫ ∫
∫e
dxe
edx
udu u e
x
x
x
-
-
-- ( xx
x
u C
e C
+
= +
= + +
5
4214
217 53
)
ln
ln ( )
-
- -
12
12 1
1
2
2
e edx
e e edx
ee
d
x x x x x
x
x
+ +=
+ +
=+
∫ ∫∫
- - ( )
( )xx
udu u e
uC
eC
x
x
= = +
= +
=+
+
∫ 1 11
11
2( )
-
-
11
11
12
11
1
4 2 2
22
edt
edt
u udu u e
t t
t
-=
-
=-
=
=
∫ ∫
∫( )
( )
2212
2
Arc
Arc
sec
sec ( )
u C
e Ct
+
= +
t
tdt u du
u t t uu u
22 2
2
4
12 1
1 12 2
-= ∫ +
= - ⇒ = += ∫ +
∫ ( )( )
( 22
5 3
1
25
43
2
25
143
152
32
+
= + + +
= - + - +
)
( ) ( )
du
u uu C
t t 22 1
2 15
4 13
2 1
12
5 3
( )
( ) ( )
t C
t tt C
- +
= - + - + - +
2
54 problèmes de synthèse Calcul intégral, 4e édition – solutionnaire des exercices récapitulatifs et des problèmes de synthèse
© 2009 Chenelière Éducation inc.
j)
k)
l)
m)
I
xdx
x dx
=+
= +
=
∫
∫
-
-
1
2
1
41
2 4
cos
sec
π
π
--
-
-
1
2 41
21
∫ = +
= + +
=
sec
ln sec tan
u du u x
u u C
π
22 4 4ln sec tanx x C+
+ +
+
π π
∫ - = ∫ -= ∫ -
= ∫ +
x x dx x x dxx x x dx
u
11 93 3 23
2 232 2
212
2( ) uu du u x
u u du
u u
3 2 2
12
2
12
37
32
43
13
73
43
( )= -
= +( )
= +
∫
+
= - + - +
= -
C
x x C
x
314
234
2
3 2
2 2
2 7
73
43( ) ( )
( )33 2 43
143 2
4+ - +( )x C
∫ - = - ++
=+
∫1 1 11
1
2
sin sinsin
sin
cos
sin
t dt tt
tdt
t
t∫∫
∫
∫
=+
= = +
= +=
±
±
±
dt
t
tdt
udu u t
u C
cos
sin
( sin )
11
1
2
±± + +2 1 sin t C
I d
d
=
= +
=
∫
∫
1sin2 ϕ coscos sincos sin
c
2
2 2
2 2
ϕϕ
ϕ ϕϕ ϕ
ϕ
ooscos sin
sincos sin
csc
2
2 2
2
2 2
2
ϕϕ ϕ
ϕ ϕϕ ϕ
ϕ∫ ∫+= ∫
d d
ϕϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ
d dC
+ ∫= + +
seccot tan
2
-
Ix x
dx=-∫1
sin cos
cos cos cos sin sin
cos
x x x
x
+ = -
=
π π π4 4 4
22
-
= -
- =
sin
(cos sin )