Ch08

ZORKANI Mohammed Dpartement dHydraulique

E.. H. T. P.Attnuateur ou Absorbeur de Houle, Systme de Jarlan, Interactions non linaires

1

Chapitre 8Attnuateur ou Absorbeur de Houle

Caissons de Jarlan & Interactions non linaires1) Introduction :

Cette brise lame est compose de caissons (chambres) en arrire plancest dire en face dun cran perfor (porosit moyenne 30%).Lidede ce genre de systme est due Gerard E. Jarlan au Canada.Lobjectif de ce systme est de dissiper le plus dnergie par turbulencedans chaque caisson ainsi que par induction des pertes nergtiquespar effet borda (acclration & dclration du fluide par la contraction expansion au niveau des trous : formation dun jet deau et formation devortex); ce qui est cherch est le minimum de rflexion dnergie par lemur.

Ce genre de structure est utilis pour la digue de Dieppe en France.Ce type de systme est trs sensible la priode de londe incidente :cest donc un filtre (systme slectif).

2) Approche thorique : Thorie linaire en S. W. W.A fin de comprendre la physique de ce dispositif et de pouvoir comparerdes mesures un formalisme mathmatique nous prsentons un modlesimple en thorie linaire dondes longues.On admettra pour cela que la perte dnergie induite par lcran estproportionnelle la vitesse des particules fluides, lacclration dclration du fluide par les perforation sont responsable dune masseajoute (masse fictive : dsigne par Lamb en hydrodynamique et par

caisson

.Etc



2

Rayleigh en acoustique: effet de bort ;conceptuellement ceci corresponden pratique une augmentation apparente de la longueur de la chambreet par consquence une dplacement de la priode laquelle on arsonance dans le caisson)Approche thorique en incidence normale :On admettra que lincidence est normale sur lcran situ en A=x , lemur rflchissant est situ en arrire en 0x = : devant lcran perfor laprofondeur deau est 1h o les particules fluides ont une vitesse 1u et unelvation en surface 1 ; derrire cet cran la profondeur deau est 2h lavitesse des particules fluides est 2u et lbranlement en surface est 2 .

Les quations de mouvement linaires (ondes longues) sont :

( )( )

( )( ) AA

=+

=

+

=+

=

+

x:pour40

xg

tu

30xuh

tetx:pour20

xg

tu

10xuh

t22

22

2

11

11

1

Par convenance on prendra des ondes harmoniques cest direvariables dans le temps sous la forme : ( )tiexp o T2= est lafrquence angulaire et T la priode, soit )0ghk( 22 = . Sous cettehypothse nos quations (1 4) sont satisdaites par :( ) ( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )[ ] A

A

=

+=

=

+=

x0xikexpBxikexpA

hku

xikexpBxikexpAet

xxikexpBxikexpA

hku

xikexpBxikexpA

222222

2

12122

111111

1

11111

(5) o

( )performurcranunparonde'drflxion

1u2u

xik1

1eA:incidenteOndexik

11eB:rflchieOnde

xik2

2eA:transmise

xik2

2eB:rflchie 1h2

h

0 Ax

0u2 =

2 1 xy



3

22

11

2222

2

2

2112

1

2

L2k&

L2kavec

cghk

cghket ==

====

(6)

21 LetL sont les longueurs donde respectivement devant lcran perforet dans le caisson. Pour dterminer les constantes on doit utiliser lesconditions aux limites : == 0xen0u1 11 BA =et sur le mur prfor on a :

( ) A==++

=xen0

tuauuKg

uhuh2

22212

2211

o 22 ha est la masse ajoute induite par lcran perfor (effet de bord)et K est le coefficient de frottement de cet cran.On va linariser le terme de frottement en utilisant lapproximation de

Lorentz cest dire : Ku38favecufuuK 2

~

222 = o 2~u est

la vitesse maximale des particules fluides lcran en A=x .Alors on obtient : ( ) ( ) 0uiafgetuhuh 22122211 =++= (7)En reportant maintenant nos solutions (5) pour dterminer les constanteset en particulier le coefficient de rflexion : 11 ABR = on obtient :

1

12

DNR = o

[ ][ ]

++=

+=

AAA

AAA

22

2

2

1

2

222221

22

2

2

1

2

222221

ksinkk

cfksinkakcosD

ksinkk

cfksinkakcosN

(8)

avec 1

2

2

1

2 Dksin2

hAK

38

cf A

= qui est une quation implicite qui dtermineimplicitement )cf( 2 en fonction de lamplitude de londe incidente 1A .On note que 1R = (maximum) quand etc,,0nk0ksin 22 AA ===cest dire quand la longueur du caisson A est la moiti de lalongueur donde. Si on plus on suppose pour le moment que f estconstant le minimum de R se produit pour : 222 ka)k(gcot =A , et on a

alors : 2

2

1

22

1

2

2min k

kcf

kk

cfR

+

= (9)

donc avec 0Rmin = quand : 212 kkcf = .Pour estimer le coefficient de rflexion il est ncessaire destimer lecoefficient de frottement K et la masse ajoute 2a .


Pour dterminer K on supposera quil se forme au niveau du trou un jetdeau avec un coefficient de contraction 6,0Cc et quon a une pertednergie de type Borda : K est donc un coefficient caractrisant le trouqui dpend de sa gomtrie et de la dissipation dnergie par viscosit ,par turbulence et vortexes coulements de retours : recirculation engendrs aux coins abrits o le fluide est mort et par effetdacclration - dclration convective du fluide (contraction) : effetBORDA : Ainsi si la section du trou est S et s cette du jet contract on aalors : SCs c= la perte travers lcran est donne par : (voir Ch6 MDF)La perte de charge travers lcran est donne par :

On peut aussi adopter pour la perte de charge l'expression suivante :

( ) ( ) += QQHQQkQkp 1o o H est le distribution de Heaviside

Dans le cas dune Grilles de bareaux :

b

v

L

( )g2

vKg2vvH

220 ==

0v

bm s

= sinbsK

34

( ) courtsBarreauxa

( )

= 1

s6,0S

21

KuK1sC

S2u

g2

22

2

c

22

12

S2

1

s

p

QQ

laminaire

turbulentE.. H. T. P.Attnuateur ou Absorbeur de Houle, Systme de Jarlan, Interactions non linaires

4

On parlera plus tard comment on peut dterminer la masse ajoute 2a .Pour le moment nous allons dterminer le coefficient de rflexion R enincidence quelconque ?N.B. :Pour le passage de londe travers dune plaque perfore Molin 1991propose une formulation de la perte de charge en thorie potentiel devitesse de la forme :

v gulairetanrectionsec4,2circulairetionsec8,1

==



5

====

=

=totalesurfacevidesdessurfaceporosit

normalevitesse

eargchdepertedetcoefficien

xuouu

211p

( ) 0Lhkih,LDi 2 =

+=+ Williams et al. est un coefficient damortissement constant cest un paramtre quondtermine par le calage.Au systme dquations dondes longues (1 4) on peut y introduire destermes de diffusion turbulente de type Boussinesq :

A

A

+

=+

=

+

+

=+

=

+

x0:pour

yu

yxu

xxg

tu

0xuh

t

et

x:pour

yu

yxu

xxg

tu

0xuh

t

2Ty

2Tx

22

22

2

1Ty

1Tx

11

11

1

Il est observ exprimentalement que les caissons de Jarlon excitentdes harmoniques suprieures qui sont associes aux non linarits.3) Incidence oblique :Pour des ondes incidentes sur lcran perfor sous un angle entre lanormale au front donde (ligne de crte) et la perpendiculaire lcran :

Les quations hors de labsorbeur (attnuateur) de houle ( )Ax sontsatisfaites par :

poreusestructurecran =

crtedeligne

eorthogonalx

O

A

mury

v

u vG



6

( ) ( )[ ]( ) ( )

( ) ( )[ ]

+++=+++=

++=

ysinxcoskiexpBysinxcoskiexpAhk

sinv

ysinxcoskiexpBysinxcoskiexpA

ysinxcoskiexpBysinxcoskiexpAhk

cosu

111111

1

11111

111111

1

o 1 est llvation de surface et ( )11 v,u sont les composantes duvecteur vitesse respectivement normale et tangentielle lcran.Dans ces quations 1B est lamplitude de londe rflchie. Noter quon afait lhypothse que langle de londe rflchie et de londe incidente sontgaux. Derrire lcran les solutions donnes prcdemment restentvalables, par applications des conditions aux limites on obtient :

2

2

1

1

1

12

1

12

DN

AB

AB

ABR =

=

=

(10)

o dsigne le complexe conjugu de et :[ ][ ]

++=

+=

AAA

AAA

22

2

2

1

2

222222

22

2

2

1

2

222222

ksincoskk

cfksinkakcosD

ksincoskk

cfksinkakcosN

on note que R est minimum si 222 ka)k(gcot =A comme avant cest dire que ce type de dissipateur est trs sensible la frquence.

4) Pression de soulvement dynamique :Puisque londe rencontre un mur vertical en arrire il en rsulte unerflexion totale de lnergie transmise par lcran perfor.On superpose les 2 houles sinusodales progressives de mmecaractristiques mais qui se propagent en sens inverse, on obtient leClapotis qui est une onde stationnaire dans un caisson.Si le mur vertical est inlastique et lisse (pas de frottement) : londeincidente sera alors compltement rflchie cest dire lamplitude

R

T

5,0

s10~

ft3ft2ft1



7

rflchie est gale celle incidente : la superposition de ces 2 ondesdonne une onde purement stationnaire dans le caisson avec bienentendu des nuds parfaits et des ventres maximaux. On dmontrequaux nuds lenveloppe a ( ) HR1 et aux ventres ( ) + HR1 o

== HHEER RR est le coefficient de rflexion, arrive au murperfor une partie de lnergie est transmise et son complment estrflchie aux pertes dnergie prs : Interfrence

Le coefficient de rflexion global est obtenu en sommant les diffrentesrflexions : ( )

A

A

ik2

ik2

eR1

eR21RglobalrflxiondetcoefficienR

2

RG

+=

==

(11)

Le minimum de GR pour un R donn est atteint pour :

==2L

2k AA 4L=A rsonateur quart donde

Ce rsultat a t dj tablit avant sans effet de bord et sans dissipation.Lide dun rsonateur en hydrodynamique marine a t introduite parValembois dont voici quelques formes pratique qui y sont proposes :

2TR R1AA

TetAA

R ==

= TT= RR

T

TR2

22T

TR3

TR24

24RT

TR25

226 TR

EtcA

1Rrantrflchissmur : ==

normaleincidenceencaissonunparmultipleontransmissirflexion

x

TR36

Aikexp=

xkiexpA =



8

Valembois propose dautres types de rsonateurs :

Cest W. James qui a tudi exprimentalement ce type de rsonateuren 1968, il a observ quil existe un shift du la masse ajoute (effet debord) dont il a publier les rsultats de cette correction en 1970 sousforme dune courbe dans le Journal of Fluid Mech vol44.Le coefficient de rflexion global pour le systme de Jarlan est donnpar la courbe en dessous titre indicatif :

On a : 1ATR 222 =++ daprs le principe de conservation dnergie.

AWplan

coupe

4LA

onde'dquartrsonateur

essinipriodesvodessur

accordssrsonateurdebattenie

eau'dplan

dunoscillatio Ag

2T A=

SWL

g2proprepriode:rsonanttube A=

SWL

eargchenrsonateur

A

LA

=

AA

R RG

erimentalexp

17,0 25,0eajoutmasseladeeffet

4,0

6,0

2,0

0

41

Londed'quartrsonateur

oriqueth=

A



9

Le calcul des pressions et des efforts sur le mur se fait en appliquant le

thorme de Bernoulli Lagrange : ( ) 0t

pzgvu21 22 =

++++et le thorme de superposition : R+= soit en rflexion totale:

( ) ( ) ( ) tcosxkcosHtxkcos2Htxkcos

2Ht,x =++=

( ) ( ) ( ) ( )tsinxkcoskhch

hzkchHgt,z,x += si ( ) ( )

==

txkcos2H

t,x

1R

H est lamplitude crte creux.En dduit alors de lquation linarise de pression que :( ) ( ) ( )tcosxkcos

khchzhkhchgHgzp ++=

pression statique pression dynamiqueOn peut ainsi dterminer le profil de pression au mur parfaitementrflchissant 1R = (qui est un ventre en 0x = ) :( ) ( )tcos

khchzhkhchgHgzp ++=

Laugmentation et la diminution de la pression statique sur le mur lisse etrflchissant sont respectivement donnes par :

)Lh2(ch2gHfondlesurpet

2Hgsurfaceenp hz

2Hz

==== ==

)questati(initialepressionladeehorizontaltetanrsulla

)tsoulvemen(pressionsousladeverticaletetanrsulla

)dynamiqueetstatique(pressionladeehorizontaltetanrsulla

3

2

1

RRR

===

La rsultante R des efforts par unit de largueur du mur et le moment Mpar rapport la base sont donns par les formules :

A

h

A

1R 3R

2R3A

G

2Apoids

rieurintcoin

B

/A/B



10

( ) ( )( )( )( )

+++=

+++=

6hghPhgHh

61M

2hgPhgHh

21R

3

0

2

0mN

o P est la pression dynamique due londe, 0 est le set up duniveau deau quon peut estimer par la relation :

=

Lh2coth

LH2

0

Ce set up rsulte du remous produit par les colonnes , au transport demasse par le courant ( 0 dfinit le niveau moyen du clapotis).Dans le cas du mur perfor 2 phnomnes interviennent pour rduire laforce rsultante relativement au mur opaque : La porosit du mur rduit la rflexion donc on a une diminution de

lamplitude du clapotis qui devient partiel La dissipation dnergie qui est de lordre de 65% de lnergie londe

incidente : par diffusion en jet deau dans le caisson travers lesperforations et la formation de vortexes dans les zones abrites...

N.B. : Dans la raliser du faite que le mur est rugueux on a unedissipation dnergie (mme faible) qui donne un coefficient de rflexionplus petit que 1 : lamplitude de londe rflchie = RHHR est lgrementinfrieure lamplitude de londe incidente.

rflexion donde par un absorbeur donde verticalPar Madsen [J. WaterWays3(74) et Coastal Engineering7(83) ]

Lquation qui gouverne lcoulement hors de la structure poreuse est :0k

gh2

xx

2

xx =+=+ et ( ) hgigt,xU x ==

Les quations qui gouvernent lcoulement dans labsorbeur sont :

( ) mouvementdequantitladeonconservatimasseladeonconservati

0UUgUn1

0hUn

xt

xt

=+++=+

h

tara

x w

ia

gravats

demonticule

Quai



11

o et tiennent compte respectivement de la perte par frottement enrgime laminaire et turbulent et n la porosit de la structure. On pose :

( ) Un

fUU + linarisation du frottement (approximation)On cherche des solutions priodiques de frquence de la forme :

( )[ ]tiexRe = et ( )[ ]tiexvReU =En les reportant dans les quations du mouvement et en liminant U onobtient :

( ) 0if1gh

2

xx =+ et xif1gnv +=

La solution gnrale, donne par Madsen et White (1976) pour uncoulement dans une structure poreuse, est :( )

( ) wx0:ehgeaeaReU

wx0:eeaeaRe

tixixi

tixixi

21

21

=

+=

o

==

if1gh

if1n

A lextrieur de la structure poreuse quations en SWW donnent :( ) ( )

( ) ( ) 0x:eaeahgReU

0x:eaeaRe

kxtikxti

kxtikxti

ri

ri

=

+=

+

+

o gh

k =

ri a&a sont les amplitudes de londe incidente et londe rflchie.Nos inconnues sont les amplitudes complexes r21 a&a,a . Elles peuventtre dtermines par application des conditions aux limites : au niveaude la face frontale de labsorbeur et sur le mur vertical en arrire.Lamplitude 2a peut tre limine en utilisant le faite que la vitesse est

nulle au mur ( )wx = alors : xi2eaa 12 =Les amplitudes r1 a&a sont dtermines en admettant la continuit de lapression (donc de llvation de la surface libre) et la continuit de lamasse ( donc de la vitesse) la face frontale de labsorbeur ( )0x = onobtient ainsi :



12

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ikw2ikw2

ikw2

ikw2

e11e11

aa

e1aaa

e1aaa

i

r

tri

rri

+++++=

=+=+

Le coefficient de rflexion est donn par : ( )kw,n,fRaaR

i

r ==

Pour un absorbeur long on a: += 1

1aaLimite

i

rkw

et pas doscillation de R.

On note que labsorbeur amortie fortement les ondes tel que kw estgrand c d les courtes longueurs donde. Un absorbeur de fortepermabilit n amortie mieux les ondes : faible rflexion. Notons quepour un court absorbeur la rflexion est presque totale.La vitesse dcoulement dans labsorbeur est obtenue en dterminant tapar le systme et en reportant dans la solution gnrale ; soit :( )

( ) ( ) wx0:ee11ee2

RehgaU tixi2

w2xixi

i

++

=

La dtermination des coefficients de frottement peut se faire par lesformules empiriques dEngelund :

( )22

3

0 dnn1 = & ( )

dnn1

30=

o d la taille des grains, la viscosit cinmatique et 00 & sont desconstantes qui tiennent de la forme des particules 8,2~&1000~ 00 et qui augmentent avec lirrgularit des particules :

plusou6,38,1~&plusou1500780~ 00 N. B. : Le Mhaut propose un absorbeur (amortisseur) de houle de typeprogressif pour lequel il modlise lcoulement par un potentiel devitesse (irrotationnel hors de la couche limite) avec une force defrottement : = GGF

R

kw1 2 3

5,0

1

6

5,0~n

95,0~n

10~f



13

Au sujet du caisson de Jarlan :La frquence propre de la chambre est dfinie par

Bhgm 22

= o

m est la porosit effective (rapport de l'aire des jets sur l'aire du mur) lie celle absolue /m par le coefficient de contraction cC :

/cmCm =

est la longueur effective d'une pore fonction de m ( 34 longueurrelle d'une pore ) et B la largueur de la chambre.

A propos de : Effet de Bord ou de la masse ajouteLes quations de mouvement linaires sont :

( )( )

( )( ) 0x:pour40

xg

tu

30xuh

tet0x:pour20

xg

tu

10xuh

t/22

/22

2

/11

/11

1

=+

=

+

=+

=

+

A

Par convenance on prendra comme avant des ondes harmoniques :( )tiexp o T2= est la frquence angulaire et T la priode.On choisira maintenant lorigine des x dans le tube et trs proche dubord dexpansion par simpmicit des calculs.N.B. : si en plus londe est harmonique dans le caisson alors

( )( )

=+=+

=+

=

+

0kigui0ukihi

0x:pour40

xg

tu

30xuh

t222

2222

/22

/22

2

A

( ) 0Fzhgpgrad00vdiv

t

2

GG

G

=++

==

( )fond0zen00g

:0zen0p

z

tztt

===++

==

x A

a

0

2rgion

1rgion

ncontractio ansionexp



14

pour avoir une solution non identiquement nulle il faut que :

===

22222

2

2

22 ghkkgh0igikkihi

22

2 ghkc =

=

==+

xigu0

xgui 2222 x

giu 22

=Sous cette hypothse nos quations ( )// 43 sont satisdaites par :

( ) ( )( ) ( )[ ] 0xxikexpBxikexpAikgi

xgiu

xikexpBxikexpA

222222

2

22222

=

=

+=A

Ainsi au niveau 0x = par exemple on a pour lexpansion :

[ ] 0xBAikgix

giu

BA

2222

2

222

=

=

=

+=

or 220z

gigi

tg1 =

==

= est le potentiel des vitesses

( )[ ] 0xBAikgi

xgiu

BAgi

2222

2

222=

=

=

+=

le dbit est donn donc par : [ ]2222v BASikgiSuQ

== o S est la

section du trou. Par analogie (la potentiel des vitesse est analogue unpotentiel lectrique et le dbit volumique lintensit : = ZV ) on peutcrire : ( ) [ ]

=+= 222222 BASik

giS

BAgi

( ) [ ] =+ 22222 BAikBA +=

2

2

2

2ik1ik1

AB

En posant = 22 tgkk on peut alors crire dans le caisson :( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( )[ ] A

++

=

++=x0

xikexpxikexpikexpAikgiu

xikexpxikexpikexpA

222222

22222

o = 22 tgkk : on dirait en thorie donde plane que la rflexion prondnaissance dans le caisson en ( )=x au lieu de ( )0x = comma avantce qui revient au mme de dire quil est prolong de cest dire



15

cause de lexpanssion la longueur du caisson apparente est : += AAapdans ce cas le coefficient de rflexion global est donn par :

( ) ( )( )+

+

+=

== A

A

ik2

ik2

eR1

eR21RglobalrflxiondetcoefficienR

2

RG

Le minimum de GR pour un R donn est atteint pour :

( ) =+=2L

2k AA =+4LA =

4LA

La correction du coefficient de rflexion obtenu en thorie dondesplanes : 11 ABR = on obtient :

[ ][ ]

++=

+=

=AAA

AAA

22

2

2

1

2

22221

22

2

2

1

2

22221

1

12

ksinkk

cfksinkkcosD

ksinkk

cfksinkkcosN

:DNR

On note que 1R = (maximum) quand == nk0ksin 22 AA 2Ln 2=A

cest dire quand la longueur du caisson A est la moiti de lalongueur donde. Si on plus on suppose pour le moment que f estconstant le minimum de R se produit pour :

= 0ksinkkcos 222 AA = 22 kgkcot ASouvent 2k est petit alors :( ) += 22 k21mk A ou ( ) ( )+=+ 21mk2 A avec m un entiercest comme avant pour vue quon imagine que la longueur du tube A aaugmente de . Le coefficient de rflexion minimal est alors :

2

2

1

22

1

2

2min k

kcf

kk

cfR

+

=

donc le minR est nul si 212 kkcf = cest ce qui est cherch :====

1

232

1

22

1

2

1

2

1

2

2 hh

ghhghf

hh

ghTghT

LL

ghf

1

232h

hgf

qui est le matriau qui a ce coefficient de frottement ?Le premier qui a rsolu ce problme est Lors Rayleigh (Art 307 theory ofSound) Il considre un tube ouvert dont le diamtre est petit devant lalongueur donde ( )1ka il nglige leffet de radiation et utilise la solutionde lquation de Laplace au lieu de celle de Helmholtz car ( )1ka . Enadmettant une vitesse constante lexpansion il a trouv en premire



16

approximation quil faut augmenter la longueur du tube cylindrique Apour y produire une rsonance de : ( )a849,03a8 = (12)o a est le rayon du tube (des perforations) .En utilisant une expression quadratique pour la vitesse de sortie il aobtenu une correction de leffet de bord : ( )a785,04a = .Lamb argue par des observations exprimentales que a6,0 .Dans le cas qui nous intresse ici : un tube ouvert aux 2 extrmits,selon Lamb (Art 87) lquation qui donne les modes propres du tube estdonne par : ( )/22 ktgk +=Ao /et sont les corrections aux 2 extrmits.Comme 2k et /2k sont en gnral petits, dans ce cas on peutadmettre que les 2 extrmits sont dcouples de sort quon peut crirepour les modes propres du tube : ( ) 0ksin /2 =++Ace qui veut dire que le tube en apparence a une longueur :

/ap ++= AA (13)

et le coefficient de rflexion global est donn par :

( )1

2RG

// ik2ik2eR1eR21RR

+=

==++++ AA

Le minimum de GR pour un R donn est atteint pour :( ) =++=2L

2k /AA =++4L/A /

4L =A (14)

Ultrieurement (1945) Miles a dterminer cette correction sur la basedune analogie avec les lignes de transmission : Ladmittance Y duntube de longueur A termin par une suspectance tY (partie imaginaire deladmittance) est donne par : ( )( )

++= AA

AAksinYYikcoskcosYYksini

YY

0t

0t

0Si a+A est la longueur ncessaire pour avoir une rsonance alors :

AA =+ aavec2La

Miles a tablit en premire approximation que :( )[ ] ( ) +

+

=

1n

11

2

0Bi

kbkb2Sikb21

ba

YY o

a2 b2z



17

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

==

=+=

====+

=

2

0

2111

2n

2n

2n

22n

22

2

n0n

n1122nn

duucosusinkb2sin2kb2kb2Set

zzJ2z

0fef

zikexp,rfz,,rL2ck

kke0k

oaebJe

beJkek4B

avec ( )z,,r sont les coordonnes cylindriques et nJ sont les fonctionsde Bessel.En reportant la condition )2La( =+A dans )YY( 0 et posant tt iBY = ;pour que 0Y = avec )a( A on obtient :

kaYB

0

t = cest dire : ( ) ka38

kaka2Sitelim

YBitelim 1

0ka0

t

0ka == ce qui est en accord avec la valeur maximale de Rayleigh : = 38 .On observ exprimentalement leffet de la masse ajoute au de ltudedune expansion contraction brusque de la largueur dun canal houle(obstacles paralllpipdiques) :

ondes longues induites par des ondes courtes sur fond variableet par interactions rsonantes

Jusqu prsent on a constitu un spectre par la superposition decomposantes sinusodales : ceci constitue une approximation. En ralitles intractions faiblement non linaires sont importantes dans lvolutiondu spectre des vagues. Ces intractions non linaires et rsonnantes devagues vague provoquent un transfert dnergie entre vagues enconservant la forme du spectre (conservation dnergie totale).

x

( )HzmnergieE 2=

( )Hzfrquence:km10~d

m20~d

Km40~d

Km50~d

Km80~d

1,0 2,0 3,0

ctelacetandisd =

4,0 5,0 6,0

linairenonSndissipatioinput2HSSS ++=



18

Un groupe dondes courtes modul priodiquement est accompagn pardes ondes longues dont lenveloppe se propage la vitesse du groupedondes courtes :

On considre un paquet dondes sinusodales modul lentement par uneenveloppe galement sinusodale se propageant sur une topographie 2Dqui varie doucement.On suppose que lchelle de variabilit dans lespace et dans le tempsdu groupe est de lordre de ( )1O celles des ondes courtes incidenteso ( )1 . Spcialement le nombre donde et la frquence de lenveloppesont respectivement )k( 0 et )cc( 00g o 0k et sont les nombredonde et la frquence alors que 0gc et 0c la vitesse de groupe et laclrit (vitesse de phase) des ondes courtes dans une profondeurconstante gale 0h .En plus nous supposons que la cambrure des ondes courtes et la pentedu fond h sont de lordre de ( )O . En va pour rsoudre ce problme enutilisant la technique mathmatique des variables lents : soit( )

( )

=

=

=

==

tt

horizontaly,xy,xx

y,xxavecxx

~

~~~~ G

GGG

(15)

N.B. :Les ordres de grandeurs des diffrentes ondes sont :( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )

==

=

==

=

m3,0Oamplitude

m100Oquetopographilongueurs100Opriode

groupelonguesondes

m3Oamplitude

m20Oprofondeurs10Opriode

courtesondes

tiquescaractris

tiquescaractris

Nous avons au premier ordre le potentiel de vitesse et le dplacement

de la surface libre: ( ) ( )( ) CCtxdxkiexpchkh

hzchk2igA +

+=

GGG (16)

CC signifie le complexe conjugu du terme prcdent.

xout



19

=

= ~~~~~ t,y,xAt,xAA G est lamplitude,

=

= ~~~ y,xhxhh G est la profondeur

deau au repos et y~~

yx

~~

x

~~~ey,xkey,xky,xkxkGGGGG

+

=

=

est le vecteur

donde local dont le module est dtermin par la relation de dispersion :

=

== ~~~2 xky,xkkavecthkhgk G

La frquence angulaire T2= des ondes courtes tant une constante :les variations lentes dans le temps sont contenues dans lamplitude de

londe

~~ t,xA G . On sait que :

=

=

0

0kkzyx

eee

y,xkrot

yx

~~~

zyx~~ G

GGGK

=

==

0x

k

y

k

0z

k

z

k

~y

~x

~x

~y

=

=

~~

yy

~~

xx

y,xkk

y,xkk

lenveloppe de londe est rgie par :

( )

==+

~~2

g~

2

y,

xavec0Acdiv

t

A GG (17)

Cest lquation qui exprime le principe de conservation dnergie, en

effet on sait que : ( )222 mJoule2Ag

EA2Hor8

gHE===

( )

( )

+===

=

hk2shhk21

21

cc

nomWattTEnP

mJoule2

LAgE

g

2

on a vue au chapitre2 quon a :

( )

==

====

=+++

sincos

kkeo

sinEcP

cosEcPeEcP

0PPPdiv

gy

gxg

if

GGG

GG"G

HA

A~x

eG

~y

kG

isobathes



20

qui en rgime non permanent scrit :

( ) 0PPPy

P

x

P

t

Etdferlemeniltrationinffrottement~

y~x

~ =+++++

+

"

On va sintresser la zone hors dferlement et on va ngliger lespertes pas infiltration et par frottement alors on obtient :

=+ 0P

t

Eh~

GG ( ) cqfdy

,x

o0Act

A~~

2g~

2

==+

GGG

Remarque :On observe que pour une profondeur deau h constante lamplitude A ne

doit tre fonction que de largument

~g

~tck/xk

GG du fait que la vitesse

de groupe cnhk2sh

hk212ccg =

+= est une constante.

Au deuxime ordre le niveau deau moyen

~~ t,xG et le champ de vitesse

~~ t,xU GG induit par londe longue satisfont les quations :

=

=

++

=

++

~~

2

22

~

2

~

y,

xo

0khsh2

Agg2

gt

U

02AgkUh

t GGG

GGG

(18)

qui sont obtenues par la mthode BKW sous lhypothse dchelle quon

a adopt, soit : ( ) 1oy,xy,xx ~~~ =

=G . Ces quations sont valables

quand ( )1Otetx ~~ =G , pour des domaines spatiaux et temporelles plusgrands linstabilit de londe est plus importante et les effets des termesplus levs doivent tre considrs. Puisque le paramtre napparatpas explicitement nos rsultats sont indpendant de pourvu quil soitsuffisamment petit. Si on limine U pas la diffrentiation croise alors:

( )

=

khsh4A

hk2

Ag

ttgh 2

222

~2~

2 GGGGGG(19)



21

Or le tenseur de radiation pour une onde progressive daprs (16) est :

( )[ ]2gg2 O1kkcc

21

cc

2gAS +

+

= GG (20)

o

+==hk2sh

hk2121n

ccg , aprs un certain calcul on peut crire notre

quation sous la forme : ( ) ( )22~2 OS1t

gh +

=

GGGG (21)

Cette quation a t utilise par Longuet Higgins & Stewart (1960,61,62) pour dterminer le set down et le set up engendrs par ungroupe dondes unidirectionnel se propageant dans une eau aprofondeur constante. Le mme type dquation rgit les ondes sonoresgnres par la turbulence [Lighthill 1952] dans ce cas est la pressionsonore et

S est le tenseur des flux des quantits de mouvement d aux

fluctuations alatoires.On va normaliser les variables comme suit :

gg200

00

~~

ck

c,ak,AaA

kkk,khh,

khh,

kTt,

kXxGG

(22)

o lindice zro se rfre une profondeur constante 0h et gk2= .

Remarque :La solution de lquation de conservation de laction de londe (17) surune topographie bidimentionnelle se fait numriquement.On va ici sintresser une bathymtrie unidimensionnelle uniforme etparallle : ( )Xhh = dans ce cas : ( ) ( ) tetanconsk,Xkk,Xkk yxx === (23)langle dincidence local ( )X est dfini par :

( )

===

SnellDescartdeloisinksinkkcoskk

00y

x (24)

Dans une eau de profondeur constante, le modle le plus simple duntrain donde modul lentement rsulte de la superposition de deux ondesayant leur nombre donde lgrement diffrent )kk( 00 + et )kk( 00 ayant comme amplitude normalises respectivement 1 et b; qui sepropagent en sens inverse ; lenveloppe rsultante est donne par :



22

( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }( )25kc o

TYkXkiexpbTYkXkiexp21T,Y,XA

0go0

0yoxo0yoxo

=+++=

On admettra que londe incidente de la rgion 0XX o 0hh = a cetteenveloppe. Dans la rgion o h est variable on exprimera lenveloppesous la forme :( )( )

+

+

+=

X

0Xyx

X

0Xyx~

TdYkdXKiexp2b

TdYkdXKiexp21

XA

t,y,xA

(26)

o ( )XA~ et ( )XKx sont des fonction relles de X et yotey kCk == . Enreportant ce rsultat dans lquation (17) en utilisant les relationsadimensionnelles (22), on obtient respectivement des parties relle etimaginaire :

( ) ( ) ( ) ( )28ckcKet27ccXA gyygxxgxogx~ +==En divisant (28) par 0go0 kc= on obtient :

+=

kkkK

kkkK

cc

1o

yy

o

xx

go

g

ainsi la composante selon laxe x du vecteur donde de lenveloppepeut scrire :

+== 1

cc

cc

kkk

kk

ckc

Kgo

o

gx

2

xx

2y

gx

ogox (29)

qui se rduit xok quand ohh = . Pour une pulsation angulaire fixe etun tirant deau h qui augmente le rapport :

+

+=

kh2shkh21

hk2shhk21

cc

cc

oo

oo

go

o

g

augmente de faon monotone, donc xK de lenveloppe croit plus viteque le fait xk . Lenveloppe du paquet donde se propage dans ladirection par rapport laxe X : ( )xy Kktg = ; alors que la clritadimensionnelle de lenveloppe est :

2y

2xE KKC += (30)

0h

0X

Xh

Y



23

Daprs lquation (19) on exprime au second ordre le niveau deau

moyen par : ( ) ( ) ( )

++= CCTYki2expX21X y

~

o (31)

la partie permanente o correspond lharmonique dordre zro de 2A

qui est donne par : ( ) ( )( ) ( ) ( )khsh16

XAb1

khshc16

cb1X 2

2~2

2gx

ogx2

o

+=+= (32)

qui est justement le set down quon obtient pour des ondes qui ne sont

pas modules dans le temps. Lquation qui gouvernent lamplitude ( )X~est donne par lquation diffrentielle ordinaire :

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

++++

++=+

XoX x

gogx

xoo

xo

2

gx

ogx

g

2

2

2y

2x~2

y2

~

dXKi2expck

Xddc

2ib

hKXd

d2Xd

dhK4iXd

dhXd

db1b2

ccb

ck

khsh2

kKkhhk4

Xddh

Xdd

(33)

qui est obtenue aprs utilisation de lquation (27).

kh

5,0 1 5,1 2 5,2 30

x

x

Kk

0incidence'dangle'ldefonctionenxdirectionla

dansonde'dnombreduscomposante

5,0

1

5,1

2

40 =3

6 00 =

43

x

x

K

k

60 =



24

Voici lallure de ( )Xo pour 5,0h&4,6,0,1b oo === :

On observe que = o0hitelim la thorie faiblement non linaire nest

plus valable dans cette limite. Egalement pour un angle dincidence ogrand o est inacceptable proche de la caustique. Il faut raffiner lemodle dans cette zone. Des ondes localises et des ondes longues libres dans une rgion

profondeur deau constante :

Maintenant on spare lamplitude ( )X~ en 2 parties : Les ondes localises

et Les ondes libres

En premier on examine cela pour une eau de profondeur constante.Dans ce cas le premier terme dans [ ] de lquation (33) est constant etle terme restant sannule ; la solution particulire est :

( )= XoX xL~ dXKi2exp (34)avec

( ) ( ) ( )[ ] 122y2xg

2

2

2y

2x

gx

ogxL hkKc

k2khsh

kKkh2cc

8b +

++=

Quand ( )[ ] 0hkK 22y2x + on a amplification ?L se propage dans la mme direction que lenveloppe mais pas dans la

direction des ondes courtes. Cette onde L sera dsigne par : onde localise daprs Molin

kh

5,0 1 5,1 2 5,2 3

0

5,0h:incidencecteau'dprofondeurladeetincidence'd

angle'ldefonctionendownsetdupermanentecomposante

o0

o

=

2

5,1

15,0 40 =

300 =

( )Xo

60 =

5,20



25

Dans le cas lincidence normale 0o == ce rsultat se rduit celuide longuet Higgins & Stewart (1964) : ( )2googo

goL

chc8

1ck4

=

ces rsultats ne restent galement plus valables proche dune caustique.

Houles composantes, pseudo harmoniques et houles induites :Les quations hydrodynamiques une prcision du second ordre encambrure admettent quand on considre une onde priodique comme lasomme algbrique :1 de n ondes priodiques simples (houles composantes) dont la

superposition constituent londe tudie :

=

=n

1i iii T

tLx2sinH

2 de n ondes priodiques simples (houles pseudo priodiques) dontles longueurs dondes et les priodes valent la moiti de celles deshoules composantes.Les quations hydrodynamiques contiennent des termes au carr de la

hauteur donc

=

ii

2i

2i

ii

22i T

t2Lx22cos

2H

2H

Tt

Lx2sinH (onde

pseudo harmonique).3 de ( )1nn ondes priodiques simples (houles induites) dont leslongueurs donde ijL vrifient la formule :

=jiij L

1L1

L1

ji

jiij LL

LLL = c d : jiij kkk =

et les priodes ijT la formule :

=jiij T

1T1

T1

ji

jiij TT

TTT = c d : jiij =

o iL , jL , iT et jT sont les longueur dondes et les priodes des houlescomposantes de rangs i et j. En effet soit 2 houles composantes :

jji

iii T

tLx2sinHet

Tt

Lx2sinH

+

+++=

jiji

2i

jiji

2i

jjii

2i

Tt

Tt

Lx

Lx2cosH

Tt

Tt

Lx

Lx2cos

2H

Tt

Lx2sin

Tt

Lx2sinH


E.. H. T. P.Attnuateur ou Absorbeur de Houle, Systme de Jarlan, Interactions non

26

ce sont donc des houles induites :

+=+=

+=+=

jiij

jiij1

j1

i1

ij

1j

1i

1ij

kkkLLLTTT

Notons que les ondes induites dont la clrit est donne par :

ij

ijij T

Lc = ne vrifient pas la relation de dispersion

ij

ijij L

h2th2gL

c =Ce mcanisme dintraction non linaire (RIT : Rsonante InteractionTheory) tait formul par Phillips (1960) pour la propagation de la houleen eau profonde. Lintraction faiblement non linaire (quadratique)entre 3 ondes est significative si elles vrifient la condition cinmatique :

321321 etkkk +=+=GGG

si cette condition ne peut pas tre vrifie une intraction cubique doittre prise en compte pour modliser le transfert dnergie entre 3composantes; les conditions cinmatiques de rsonance sont donnes

par :

==

00kkk

321

321GGGG

N.B. :5 raisons principales sont responsables de lamplification dedans locean, savoir : vagues sclrates

1. intractions ondes courants (surtout opposes) :

2. transfert dnergie par les intractions non linairesdifferentres composantes dun spectre de houle donn

3. les interfrences entres les diffrentes composantes 4. Intractions ondes topographie (effet de profondeu5. Effet de la refraction des ondes (convergence des ra

Ces mcanismes peuvent induire des ondes damplitude desmetre ayant une periodes de quelques minutes par exemple On signale que des ondes damplitude importante sont engendres par les instabilits dinteraction air mer (voir Cprofonde par un tranfert rsonant denergie de latmosphere ces ondes sont par la suite amplifiees proche du rivage.Franchissement des Digues Talus :Ces ouvrages sont principalement destines attnuer l'agitinduites par les houles dans le plan d'eau portuaire.

CourantHoule

nergie'dtransfertk

( )kS 2H( )kS 2Hdiminution

dim

Augmentatio

ss ondesLes vagues sclrates sont

dangereuses comme lestsunamis. Ce sont des vaguesolitaires, de mme longueurs linaires

entrese :

du spectre.r: shoalling).yons) ? disaines de

.galementh04) en eau locean,

ation

kinution

n

d'onde que leurs voisines



27

Ce sont des ouvrages constitus d'un massif en pierres ou en blocsartificiels qui monte jusqu' la surface libre, en gnral avec uncouronnement pour limiter le franchissement (OVERTOPPING: CH05 HM)

La conception d'une digue talus dpend des conditions locales :houles, terrain, carrire, conditions conomiques et techniques deconstruction ... Etc.

La mthode de franchissement de HUNT & BATTJES :

Le franchissement est dfini par l'ascension d'une lame au - dessus duniveau d'eau au repos. Soit Ru (Run - up) cette hauteur.D'aprs les rsultats exprimentaux on a trouv pour les houles dferlantsur des pentes :

Si les pentes sont continues lisses et permables :

oLH

tgH

Ru == qui s'crit aussi THtg26,1 =

qui n'est valable que pour des valeurs de 3,2 . Pour 3,2 on a : H3,2Ru . Pour des pentes continues rugueuses et permables :

=H

Ru crot jusqu' 4 et au - del H

Ru reste constant.

Hxx =

HR

x

SWL

UpRun

===

cosHL

sinRx

tgHLR

0HH

0H

x

cz

SWL

B

gOvertoppin

cxx =

Ru

SWL

HydraulicEngineering


E.. H. T. P.Attnuateur ou Absorbeur de Houle, Systme de Jarlan,

28

Pour tenir compte de la rugosit du talus il faut appliquer un coefficientde minoration r pour le calcul de )HRu( selon la couverture du talus :

Type de couverture rLisse impermableDalles en btonBlocs de bton (non arm) et Pierres (Delft)Couche unique d'enrochements (CERC)Enrochements spciaux imbriqus (Shankin)Moellons ple - mle (Shankin)Enrochements ple - mle (Shankin)Enrochements ple - mle (Delft)2 couches (ou plus) d'enrochements (CERC)

10,90,85 0,90,80,75 0,80,60 0,650,50 0,550,50 0,600,5

Une relation pour les enrochements est donne par : +=

506,0113,1

HRu

Mthode du L.N.H. (Laboratoire National d'Hydraulique) :Un certain nombre d'essais ont t raliss pour 2 talus 12 et 23 enfaisant varier :

B : la largeur de la berme. H : la profondeur d'eau. z : la cte arase de la digue. T : la priode de la houle. H : le creux crte - creux de la houle.

La hauteur d'ascension de la houle est de la forme :

=LHK

HRu

Pour la pente 12 : 473,0K = & 255,0= .Le franchissement se dfinit par le creux fH comniveau moyen de l'eau.Les relations suivantes ont t donnes :

Pour la pente 12 : 23,0f B43,1H = Pour la pente 23 : 17,0f B65,1H =

On remarque l'importance du facteur z (cote d'ar

s(Rz u +=

fHz

h 12fH

B

enrochemen

Roches ple - mleInteractions non linaires

pt par rapport au

44,047,075,0 Thz 36,023,043,0 Thz

ase).

PHMVEE)upet +

5,1

ts



29

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A propos de: Effet de Bord ou de la masse ajouteBIBILIOGRAPHIE

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