BTS CRSA 1ère année - Sciences physiques et chimiques appliquées

CH9 : Solide en mouvement de rotation autour d’un axe fixe

Enjeu : dimensionnement des systèmes motorisés

Problématique : La problématique reste la même que pour un mouvement de translation : lorsque l’on

cherche à dimensionner une installation, une partie du travail consiste à calculer les puissances mises en

jeu pour respecter le cahier des charges.

Comment faire pour déterminer la puissance qu’il faut fournir pour un mouvement de rotation (exemple :

moteur connecté à un treuil d’ascenseur) en fonction des contraintes du cahier des charges ?

Objectifs :

A l’issue de la leçon, l’étudiant doit :

9.1 Savoir différentier vitesse angulaire et vitesse linéaire

9.2 Savoir calculer la vitesse linéaire d’un point d’un solide, connaissant la vitesse angulaire

9.3 Savoir différentier le cas ou la rotation est due à une force, du cas où la rotation est

due à un couple de force.

9.4 Savoir calculer le moment d’une force connaissant la distance qui la sépare de l’axe de

rotation

9.5 Savoir calculer le moment d’un couple de force connaissant la distance qui sépare les

forces

9.6 Savoir calculer la puissance connaissant la vitesse de rotation et le moment de la force

ou du couple de force.

9.7 Savoir calculer l’énergie cinétique d’un système en rotation

9.8 Savoir calculer la vitesse de sortie ou d’entrée d’un réducteur connaissant son rapport

de réduction et une des 2 vitesses.

9.9 Savoir appliquer le PFD dans le cas d’une rotation pour calculer une accélération

angulaire

1. Qu’est-ce qu’un mouvement circulaire ?

Un point mobile M est en mouvement est dit circulaire si celui-ci se déplace sur un cercle fixe de centre

O et de Rayon R. Les coordonnées les plus adaptées à la description de ce mouvement sont les

coordonnées polaires :

O

M

x

R

Le pont M est repéré :

par la distance R constante par rapport à O

et par l’angle θ

Lorsque le point M s’est déplacé sur le cercle d’un angle θ,

il a parcouru une distance d (arc de cercle) telle que :

2. Quel est la vitesse linéaire du point M ?

On obtient la vitesse linéaire v du point M en dérivant cette dernière relation :

θ

[rad] [m] [m]

3. Quelle est la vitesse angulaire du point M ?

On définit la vitesse angulaire Ω de M par la relation :

4. Quelle est la relation entre la vitesse linéaire et la vitesse angulaire ?

La relation entre la vitesse linéaire de M et sa vitesse angulaire est donc :

5. Qu’est-ce qu’un solide en rotation ?

Un solide est en rotation autour d'un axe fixe, si tous les points du solide ont même vitesse angulaire.

Un rotor mobile autour d’un axe est en rotation.

Chaque point du solide a néanmoins une vitesse linéaire différente suivant l’éloignement de l’axe de

rotation. La vitesse de chaque point de l’axe est nulle et plus on s’éloigne de l’axe, plus la vitesse linéaire

des points est grande.

6. Comment calcule-t-on le moment d’une force par rapport à un axe ?

Dans le cas des moteurs électriques, la rotation de l’arbre est due à plusieurs couples de forces.

Cependant une force peut suffire pour mettre en rotation un solide autour d’un axe immobile. Par

exemple, si on exerce une force sur la manivelle d’un treuil, celui-ci va tourner.

Définition : Le moment de force par rapport à un axe est

l'aptitude d'une force à faire tourner un solide autour

d'un axe donné. On le note T et on montre que :

Remarque : Si alors (pas de rotation)

Si

alors le couple est maximum pour une

force donnée : c’est le cas que l’on cherche à atteindre

puisqu’il correspond au meilleur rendement possible. On a

alors :

7. Comment calcul-t-on le moment d’un couple de forces par rapport à un axe ?

Un couple de forces est constitué de deux forces ayant des droites

d’action parallèles, un sens opposé et une même norme ( .

La somme vectorielle des ces forces est nulle : . Cela se

traduit par le fait qu’il n’y a pas de mouvement de translation.

Le solide est cependant en mouvement de rotation car le moment du

couple de forces est non nul :

α

[m] [N.m] [N]

[rad]

[s] [rad.s-1]

[rad.s-1] [m] [m.s-1]

Remarque : la vitesse angulaire peut

également s’exprimer en tr/min :

Le moment T du couple de force par rapport à l’axe de rotation est donc défini par :

Remarques : par abus de langage, les électrotechniciens utilisent souvent le terme de « couple » à

la place de « moment du couple »

Pour les moteurs, ce sont plusieurs couples de forces qui mettent en rotation le

rotor : les moments de ses différents couples s’additionnent pour constituer le

moment du couple moteur.

8. Comment calcul-t-on la puissance pour un mouvement de rotation ?

La puissance d’un couple (ou d’une force) de moment T appliqué à un mobile de vitesse angulaire

instantanée est donné par :

9. Qu’est ce que l’inertie ?

Définition : L’inertie d’un système est un paramètre qui est lié à la résistance qu’un système va offrir à

la modification de son mouvement : démarrage, freinage…

Pour un solide en translation, l’inertie mécanique est la masse (notée m, unité le kg)

Pour un solide en rotation autour d’un axe, l’inertie mécanique est le moment d’inertie (notée J, unité

le kg.m2 )

Exemples de moments d'inertie :

o Cylindre plein homogène par rapport à son axe de révolution. (M désigne sa masse et R son rayon).

o Cylindre creux de masse M et de rayons R1 et R2, (R1<R2)

o Jante : cylindre creux de rayons interne et externe égaux

10. Comment calcul-t-on l’énergie cinétique d’un solide en rotation ?

Pour un solide de moment d’inertie J tournant à la vitesse angulaire autour d’un axe, elle est donnée

par :

Remarque : pour un système technologique, comprenant des solides en mouvement de translation et des

solides en rotation autour d’axes fixes, l’énergie cinétique est égale la somme des énergies cinétiques

de ces différentes parties.

[W] [N.m] [rad.s-1]

[m] [N.m] [N]

[J] [kg.m2]

[rad.s-1]

11. Qu’est-ce qu’un réducteur de vitesse ?

Dans la plupart des applications, les moteurs sont connectés à leur charge via un réducteur de vitesse.

La grandeur caractéristique du réducteur est son rapport de réduction K :

Mais ce n’est pas la seule grandeur associée. En effet, comme dans le moteur, il y a des pertes dans le

réducteur (frottements=perte de chaleur). Pour le prendre en compte on définit le rendement du

réducteur :

Comme pour tout élément d’une chaîne de puissance, le rendement correspond au rapport de la

puissance de sortie sur la puissance d’entrée de l’élément considéré :

12. Que devient le Principe fondamental de la dynamique pour un solide en rotation ?

Soit un solide en rotation autour d’un axe fixe, le Principe fondamentale de la dynamique s’écrit

où T désigne les moments des couples de forces exercées sur le solide, J le moment d’inertie autour de

l’axe et Ω sa vitesse angulaire.

Pour l’arbre d’un moteur, cela donne :

Avec : TM : moment du couple moteur appliqué par le moteur sur l’arbre (couple utile)

TR : moment du couple résistant sur l’arbre (charge entraînée, frottements, …)

Ω1 Ω2 Réducteur

P1 P2

K ; η

∑