3eme Ch19 – Statistiques

1. Effectif et Fréquence : a. Effectif :

On considère une série statistique composée de plusieurs valeurs : 38 ;40 ;36 ;35 ;37 ;38 ;39 ;38 ; 39 ; 40 ; 36 ; 39 ; 41 ; 39 ; 37 ; 41 ; 36 ; 37 ; 39 ; 39 ; 37 ; 38 ; 41 ; 38 ; 39. Cette série représente les pointure de chaussures des 25 élèves d’une classe de 5ème. La pointure des élèves est donc le caractère étudié. Cette série sera utilisée pour illustrer ce chapitre. Le caractère étudié peut être quantitatif (mesurable) ou qualitatif (non mesurable). Exemple : voici une série statistique dont le caractère étudié est qualitatif :

Rouge – Vert -Bleu – Rouge -Rouge – Vert- Rouge – Bleu- Bleu – Vert -rouge – Noir. Définition : Effectif L’effectif d’une valeur est le nombre de données égales à cette valeur dans la série statistique. Exemple : l’effectif de la valeur 38 est 5. Tableau d’effectif : On peut regrouper les données de la série statistique dans un tableau d’effectifs :

Pointure 35 36 37 38 39 40 41 Effectif 1 3 4 5 7 2 3

b. Fréquence :

Définition : Fréquence La fréquence d’une valeur est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif global.

𝐹𝑟é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒 = 𝐸𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟

𝐸𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝐹𝑟é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑒𝑛 % = 𝐸𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟

𝐸𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 × 100

Propriété : pour obtenir la fréquence en pourcentage, on multiplie la fréquence par 100. Exemple : l’effectif de la valeur 36 est 3. L’effectif total est 25. La fréquence de la valeur 36 est soit

0,12. Remarque : On peut noter une fréquence par diverses écritures (fractionnaire, décimale, pourcentage).

3

25= 3 ÷ 25 = 0.12

3eme Ch19 – Statistiques Et en exprimant la fréquence en pourcentage :

3

25=

12

100= 12%

12% des élèves de cette classe ont une pointure de chaussures égale à 36.

Pointure 35 36 37 38 39 40 41 Total Effectif 1 3 4 5 7 2 3 25 Fréquence =0,04 0,12 0,16 0,2 0,28 0,08 0,12 1

Fréquence (en%)

4 12 16 20 28 8 12 100

2. Représentation graphique :

a. Diagramme bâton :

Propriété : Dans un diagramme bâton, les hauteurs des bâtons sont proportionnelles aux effectifs de chaque catégorie.

Diagramme bâton représentant les pointures des élèves de la classe de 5e de notre exemple.

En abscisse, on a reporté les différentes valeurs de pointures des élèves de la classe.

En ordonné, on a représenté l’effectif.

La hauteur de chaque bâton correspond donc à l’effectif de chaque pointure.

b. Diagramme circulaire :

Propriété : Dans un diagramme circulaire, les mesures des angles sont proportionnelles aux effectifs de chaque catégorie.

0

2

4

6

8

35 36 37 38 39 40 41

Pointures

Pointures

3eme Ch19 – Statistiques

Diagramme circulaire représentant les pointures des élèves de la classe de 5e de notre exemple

c. Histogramme avec classe de même amplitude

Dans le cas de nombreuses série statistiques, on peut regrouper les valeurs en classe pour faciliter la présentation des effectifs et des fréquences.

Il sera possible alors de représenter cette série grâce à un histogramme.

Un histogramme est une façon synthétique de représenter les données statistiques. Ces données seront regroupées par classes.

Reprenons l’exemple avec les pointures dans une classe. Nous allons classer les données en trois classes :

1ère classe : pointures égales à 35 ou 36 ;

2ème classe : pointures égales à 37 ou 38 ;

3ème classe : pointures égales à 39 ou 40 ;

4ème classe : pointures égales à 41 ou 42.

On compte alors l’effectif pour chaque classe, on obtient le tableau d’effectif suivant :

Pointure (p) 35 ≤ 𝑝 < 37 37 ≤ 𝑝 < 39 39 ≤ 𝑝 < 41 41 ≤ 𝑝 < 43 Total Effectif 4 9 9 3 25 Fréquence 0,16 0,36 0,36 0,12 1

Fréquence (en%) 16 36 36 12 100

Propriété : Lorsque les classes ont la même amplitude (caractère quantitatif continu), les hauteurs des barres d’un histogramme sont proportionnelles aux effectifs ( ou fréquences) de chaque classe.

4%12%

16%

20%

28%

8%

12%

Pointures

35 36 37 38 39 40 41

3eme Ch19 – Statistiques Grâce à cette propriété, nous pouvons tracer l’histogramme suivant :

3. Caractéristique de position : a. Moyenne :

Définition : La moyenne d’une série de valeurs est le nombre obtenu en additionnant toute les valeurs de la série puis en divisant cette somme par l’effectif total de la série.

Exemple : Mario a obtenu 5 notes en mathématiques pour le premier trimestre : 9 ; 12 ; 16 ; 11 et 14.

𝑀 =9 + 12 + 16 + 11 + 14

5=

62

5= 12,4

La moyenne de Mario en Mathématiques au premier trimestre est de 12,4.

b. Moyenne pondérée :

Définition : La moyenne d’une série de valeurs, pondérée par les effectifs, est le nombre obtenu en additionnant les produits de chaque valeur par son effectif ; puis en divisant cette somme par l’effectif total de la série.

Exemple : Une classe de 5ème vient de recevoir les résultats d’un contrôle de mathématiques.

Notes 1 4 7 8 9 10 11 12 13 14 16 18 Total Effectifs 1 1 2 1 3 3 4 5 3 2 1 1 27

Pour calculer la moyenne de la classe, il faut additionner les produits de chaque valeurs par son effectif, puis on divise par l’effectif total :

Effectif

Pointures

3eme Ch19 – Statistiques 𝑀

=1 × 1 + 4 × 1 + 7 × 2 + 8 × 1 + 9 × 3 + 10 × 3 + 11 × 4 + 12 × 5 + 13 × 3 + 14 × 2 + 16 × 1 + 18 × 1

27

𝑀 = 𝑀 ≈ 10,70

c. Médiane :

Définition : La médiane d’une série statistique dont les valeurs sont ordonnées est la plus petite valeur telle qu’il y ait au moins la moitié de l’effectif de la série inférieure à cette valeur.

En clair, la médiane partage la série statistique en deux groupes de même effectif.

Exemples :

Effectif pair :

Effectif impair :

Dans les deux cas, la médiane est égale à 12.

Méthode de calcul :

On range les valeurs d’une série d’effectif N dans l’ordre croissant. La médiane est la valeur qui partage cette série en deux populations de même effectif.

Si N est impair : la médiane est la valeur de la série de rang .

Si N est pair : la médiane est le milieu des valeurs de la série de rangs et + 1

4. Caractéristique de dispersion : l’étendue

Définition : L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série.

Exemple : De l’exemple du paragraphe 3, l’étendue des notes obtenues par Mario est de 7. En effet, 16 − 9 = 7.