CH7 - 140.130.15.232

能量守恆

CH7

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歐亞書局 P. 第 7 章能量守恆

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目錄

7.1 保守力與非保守力

7.2 位能

7.3 機械能守恆

7.4 非保守力

7.5 能量守恆

7.6 位能曲線


圖 7.1a 中的攀岩者在垂直的懸崖往上爬時要做功，同樣地

，在圖 7.1b 中的搬運者在地板上將置物櫃移動也要做功，

但兩者有一個地方不同，如果攀岩者放開雙手，她會往下

墜落，她之前攀爬所做的功都變成她下墜的動能還給她，

反觀搬運者將手放開時，他與置物櫃只會停留在原地。

這個對比強調了兩種不同形式作用力的差異，我們稱為保

守力與非保守力。從這個差異我們要推導物理中最重要的

原理：能量守恆（conservation of energy）。

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歐亞書局 P. 第 7 章能量守恆 111

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保守力（conservative force）的例子如重力或彈力會「

歸還」反抗它們所做的功，一個關於保守力更為精確

的描述是考慮沿著一條封閉路線（首尾相接的路線）

對某物體做功。

圖 7.1b 中的搬運者必須施加一個與移動方向相同而反

抗摩擦的作用力，這是摩擦力的性質，與攀岩者所需

面對的重力完全不同，也就是說摩擦力屬於非保守力

（nonconservative force）。


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儲存的能量，有可能是造成她從目前位置往下掉的危險能

量。位能是一個形容此狀況的適當字眼：儲存的能量就是

位能（potential energy），也就是能量處於一種會以動能

的方式釋放出來的狀態。

7.2 位能

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方程式 7.2 是一般性的位能定義，它可以適用於所有的狀

況。但我們通常會選擇作用力與位移為平行（或反平行）

的路線來做計算，此時方程式 7.2 就簡化為

其中 x1 與 x2 分別為與路徑重合之 x 軸上的起點與終點。

當作用力為固定時，此方程式又更簡化為

7.2 位能

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重力位能

圖 7.3 顯示拿起地板的書本放到高度為 h 之書架上的

兩個可能路徑。

在垂直上升的方向上，重力固定，從方程式 7.2b 馬上

可以得到 ΔU = mgh，其中方程式 7.2b 的負號與重力

向下的負號相抵消。

7.2 位能

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如果質量 m 在地表面附近有一個垂直的位移 Δy，則其重

力位能的改變量為

位置變化量 Δy 可依物體向上或向下移動而為正或負，因

此位能可增加或減少。

將 U = 0 設於地板，圖 7.4 顯示位能相對於高度的變化，

位能相對於高度呈線性增加反映了重力為固定的事實。

7.2 位能

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質量為 55 kg 的工程師，離開她在摩天大樓 33 樓的辦

公室，然後搭電梯到 59 樓，接著她來到地面的街上

。如果工程師選擇位能零點位於她的辦公室，已知樓

層之間的距離為 3.5 m，則工程師在下列各位置的位

能為何？(a) 辦公室； (b) 59 樓； (c) 街上。

例題 7.1 重力位能：搭乘電梯

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例題7.1.pdf


彈性位能

當你伸展或壓縮一個彈簧或其它彈性物體時，你反抗彈力

做功，所做的功轉為彈性位能（elastic potential energy）儲

存。

對一個理想的彈簧而言，其彈力為 F = – kx，其中 x 為彈

簧從平衡點伸展或壓縮的距離，負號則表示彈力與彈簧位

移的方向相反。

7.2 位能

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因為彈力的大小隨位置而變化，所以用方程式 7.2a 來計算

彈性位能：

其中 x1 與 x2 為彈簧伸展的起點與終點位置。如果取彈簧

未伸展或壓縮時的平衡點為 x = 0 ，並將其設為位能零點

U = 0 的位置，則彈簧在任意伸展或壓縮之位置 x 的彈性

位能為

7.2 位能

114

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圖 7.5 顯示位能相對於彈簧長度變化（伸展或壓縮）

的曲線圖，拋物線形狀的曲線反映了彈力隨著彈簧

之伸展或壓縮而線性改變的事實。

7.2 位能

114

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汽車的避震器由彈簧所構成，其整體之有效彈

性常數為 120 kN/m，試問你要將彈簧壓縮多

少長度，才能儲存相當於 1 公克石油所蘊含的

能量？

例題 7.2 能量儲存：彈簧與汽油

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例題7.2.pdf


用來攀岩的繩索具有相當好的彈性，因此可以

作為掉落時的緩衝裝置。有一款繩索之彈力為

F = –kx + bx2，其中 k = 223 N/m，b = 4.10

N/m2，x 為伸長量，如果它被拉長 2.62 m，求

儲存於繩索之位能。取 x = 0 時 U = 0。

例題 7.3 彈性位能：攀岩繩索

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例題7.3.pdf


動能與位能的和不會改變，這個和稱為機械能（

mechanical energy）。

在只考慮保守力的情形下，我們剛剛證明了系統的機械能

保持固定，這個原理稱為機械能守恆定律（law of

conservation of mechanical energy），其數學方程式為剛剛

在上面所討論者：

7.3 機械能守恆

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某生物學家使用一支彈簧槍要將塗有鎮靜劑之

飛鏢射中一隻大象，槍內彈簧的彈性常數為

k = 940 N/m，38 g 的飛鏢在射出去前被壓縮的

距離為 x0 = 25 cm。假設彈簧槍朝水平方向瞄

準，求飛鏢離開槍管時的速率。

例題 7.4 能量守恆：麻醉一隻大象

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例題7.4.pdf


如果圖 7.7 的彈簧其彈性常數為 k = 140 N/m，

一個 50 g 的木塊頂著彈簧並將其壓縮 11 cm，

則木塊被釋放時它可以沿著斜坡爬升多高？忽

略摩擦力。

例題 7.5 能量守恆：彈簧與重力

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例題7.5.pdf


分子的動能與位能的組合稱為內能（internal energy）

或熱能（thermal energy），我們用符號 Eint 來表示內

能，其中「int（internal）」意謂著這個能量限制在物

體內，它並非像動能那樣明顯直接從物體的整體運動

表現出來。

7.4 非保守力

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質量為 m 的木塊，從彈性常數為 k 壓縮量為 x0 的

水平彈簧發射，離開彈簧後木塊在摩擦係數為 μ

的平面上滑動，求木塊在停止前移動的距離。

例題 7.6 非保守力：滑動的木塊

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例題7.6.pdf


其中 Wext 為外在作用力對系統所做的功。如果 Wext 為正值

，則外在因素所做的功將能量加諸於系統；如果為負值，

則表示系統對環境做功，因此其總能量下降。

能量守恆：一般的概念

愛因斯坦將原先的質量與能量守恆定律換成單一的敘述：

質能守恆（conservation of mass-energy）。

7.5 能量守恆

121-122

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雖然圖 7.9 為一個實際雲霄飛車之路徑的簡圖，但由於重

力位能與高度成正比，所以它也是一個位能相對於位置的

關係圖，就是一個位能曲線（potential-energy curve）。

7.6 位能曲線

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圖 7.10 畫出雲霄飛車之位能曲線以及三個可能的總機械能

，由於在沒有非保守力的作用下機械能是保守的，因此總

能量為一條水平線，用這三個圖描述雲霄飛車從 A 點出發

向右移動的運動情形。

觀念題 7.1 位能曲線

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觀念題 7.1.pdf


雖然在圖 7.10b 與 c 中的車子不能到達 D，它的總能

量仍然超過 D 點的位能，它不能到達 D 是因為受到

峰頂 C 勢壘（potential barrier）的阻礙，我們稱它為

入陷（trapped）於兩個轉折點之間的位阱（potential

well）。

7.6 位能曲線

123

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圖 7.11 顯示將一對氫原子的位能以它們之間距來表

示的曲線圖，這裡的能量牽連到電子以及原子核之

間的排斥力與吸引力。位能曲線顯示出一個位阱，

這表示兩個原子之間可以形成一個無法完全分開的

束縛系統（bound system），這個束縛系統就是氫分

子（H2）。

7.6 位能曲線

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圖 7.11 中，在非常靠近兩個氫原子位能曲線底部

的部分，位能可以用近似值 U = U0 + a(x – x0)2 來

表示，其中 U0 = –0.760 aJ，a = 286 aJ/nm2，

x0 = 0.0741 nm，後者為平衡間距。如果總能量為

– 0.717 aJ，求原子間距的範圍。

例題 7.7 分子能量：計算兩原子之間距

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例題7.7.pdf


作用力與位能

在圖 7.9 中，雲霄飛車軌道的（高度）變化相當於描繪出車子

移動時所對應的位能曲線（位能與軌道高度成正比），因此我

們不妨畫一個類似的位能曲線圖，此圖顯示出使車子加速的作

用力：在曲線圖陡峭的地方亦即位能曲線變化最大處就是作用

力最大的位置，而在山峰與谷底的位置位能曲線沒有變化因此

作用力為零。所以位能曲線的斜率告訴我們有關作用力的資訊

，如圖 7.13 所示。

7.6 位能曲線

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從方程式 7.2b 中我們有 ΔU = –Fx Δx，也就是 Fx = – ΔU/Δx

，在極限 Δx → 0 時，ΔU/Δx 變成導數，因此我們有

這個方程式具有數學與物理的涵義。我們已經將位能寫為

作用力對距離的積分，所以作用力當然是位能的導數。

7.6 位能曲線

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