CH9 CDS-Calcul Des Arcs Hyperstatiques

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  • 8/18/2019 CH9 CDS-Calcul Des Arcs Hyperstatiques

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    Chapitre 9. Calcul des arcs hyperstatiques

    Chapitre 9.  CALCUL DES ARCS HYPERSTATIQUES

    1. Généralités

    Les arcs hyperstatiques sont, en général, des arcs articulés ou encastrés aux naissances(c’est-à-dire aux appuis) sans rotules intermédiaires.La loi de variation des sections des arcs hyperstatiques est, en général, définie comme

    suit

    - pour les arcs articulés aux naissances (voir fig. !.!, a)  I =  I o cos  ;

    - pour les arcs encastrés aux naissances (voir fig. !.!, ")

     I = avec, n  = I 

     I 

    o

    n ncosϕ 

    Fig. 1.1.

    2. Arcs articlés a! naissanc"s

    2.1. Calcl sos c#ar$"s %i!"s

    Fig. 2.1.

    Le calcul se fait par la méthode des forces avec comme inconnue la force hori#ontale  X !(cas général, voir fig. $.!, ") ou parfois, en introduisant une rotule intermédiaire pour o"tenir un arc à trois articulations (voir fig. $.!, c).

    L’équation canonique est la suivante

    δ!!  X ! % ∆!& ' ⇒   X !  ' -∆

    !

    !!

     P 

    δ 

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    Chapitre 9. Calcul des arcs hyperstatiques

    avec, ∆!& - le déplacement hori#ontal de l’appui droit sous l’action des forces extérieures

    δ!! - le déplacement hori#ontal de l’appui droit sous l’action de  X   ' !.

    Les déplacements ∆!&  et δ!!  sont déterminés par les formules ha"ituelles desdéplacements

    ∆!&  '  * *  EI 

      ds P  s

    !∫ ∑  %  N N  E!ds P 

     s

    !∫ ∑ δ!! '

     * 

     EI ds

     s

    !

    $

    (∫   %

     N 

     E!ds

     s

    !

    $

    (∫  .

    *l faut noter que pour les arcs sur"aissés, les déplacements dus à l’effort normal peuvent +tre négligés.

    n a  * !   ' - !. y  et  N !  ' !.cosϕ  donc, δ!!  ' $   yds

     EI 

     s$

    $-

    ∫    % $

     sds

     E!- cos$

      $

    (

    ϕ ∫  .

    2.2. Li$n"s &'in%l"nc" &" l'inconn" X 1  "t &"s "%%orts int"rn"s

    2.2.1. Li$n" &'in%l"nc" &" l'inconn" s("r%l" X 1

    L’équation canonique de la méthode des forces est la suivante (voir fig. $.$)

     X !δ!!  % δ!&  ' ⇒  !  ' -δ 

    δ !

    !!

     P   ' -

    δ 

    δ  P !

    !!

    2.2.2. Li$n"s &'in%l"nc" &"s "%%orts int"rn"s

    a) Li$n" &'in%l"nc" & *o*"nt &" %l"!ion M +  &ans la s"ction k ,n a  * /   '  * / o  -  X !  y/ 

    o0, * / o  est le moment de flexion pour la poutre isostatique de référence ( * / o  ' + 1.a/ )la quantité  X !  y/ est le moment de la poussée

    doncLi&i M +   = Li&i M + 

    o  - y+  ! Li&i X 1 .La ligne d’influence de * /  est montrée sur la fig. $.2, ".

    ) Li$n" &'in%l"nc" &" l'"%%ort tranc#ant T +  &ans la s"ction k ,

    n a , /   ' , / o cosϕ/  -  X ! sinϕ/ o0,

    , / o  est l’effort tranchant pour la poutre isostatique de référence (, / o  ' + 1)donc

    Li&i T +   = cos +  ! Li&i T + o  - sin +  ! Li&i X 1 .

    La ligne d’influence de , /  est montrée sur la fig. $.2, c.

    c) Li$n" &'in%l"nc" &" l'"%%ort nor*al N +  &ans la s"ction k ,

    n a  N /   ' - , / o sinϕ/  -  X ! cosϕ/ donc

    Li&i N +   = - sin 

    +  ! Li&i T + o

      - cos 

    +  ! Li&i X 1 .

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    La ligne d’influence de N /  est montrée sur la fig. $.2, d.

    Fig. 2.2. Fig.2.3.

    /. Arcs a0"c tirants

    &our les arcs avec tirants, le syst3me isostatique de "ase est o"tenu en coupant le tirantl’inconnue X !  sera l’effort normal (la tension) dans le tirant (voir fig. 2.!). L’équation

    canonique a la forme suivante

     X ! δ!! %∆!&  ' ⇒   X ! ' -∆!

    !!

     P 

    δ 

    avec,

      δ!!  - le déplacement mutuelhori#ontal des sections coupées sousl’action de  X   ' !

    ∆!& - le m+me déplacement sousFig. 3.1. l’action des charges extérieures.

    4ous l’action des forces extérieures, il se développe des efforts internes dans l’arc

    seulement, le tirant étant coupé, donc il est li"éré de tout effort interne. 1insi, l’expression dede ∆!&  est la m+me que pour les arcs analogues à deux articulations. 5uant au déplacement δ!!,

    à celui correspondant à l’arc à deux articulations δ!!,a , il faut a6outer l’allongement du tirant

    égal à !. -

     E !t t  donc, on o"tient

    δ!!  ' δ!!,a  % !. -

     E !t t  '  * 

    ds

     EI !$∫   %  N 

    ds

     E!!$∫   %

     -

     E !t t .

    7n négligeant l’influence de l’effort tranchant ,  et de l’effort normal N , la valeur del’effort dans le tirant (c’est-à-dire la poussée) X  sera

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     X   ' -

    ∆!

    !!

     P 

    at t 

     - E !

    δ  ,   +  ' -

    −∫ 

    +∫ 

     y *ds

     EI 

     yds

     EI 

     -

     E !

     s

    t t 

     s

    $

     

    La poussée dans un arc à deux articulations sera  X a ' -∆ !

    !!

     P 

    aδ 

    ,

    1insi,  X  ≤

      X a  , c’est-à-dire que la poussée dans un arc aec tirant est tou/ours

    in0érieure 1 celle dans un arc 1 deu2 articulations. n a

     X   '  X a

    !

    !!!

    +  -

     E !t t aδ  ,

     .

    R"*ar"s,

    • 4i !t  ' ⇒  X  ' ⇒ l’arc l’arc se transforme en poutre.

    • 4i !t  → ∞ ⇒  X  ' X a  ⇒ on a un arc à deux articulations.

    • &lus !t est petite, plus l’effort est petit dans le tirant.

    . Arcs "ncastrés a! naissanc"s

    .1. Calcl sos l'action &"s c#ar$"s %i!"s

    &our le calcul d’un arc encastré aux naissances (fig. 8.!, a), on supposera qu’il estsymétrique et que toutes les charges extérieures sont situées dans le plan e l’arc. 9n arcencastré aux naissances est hyperstatique d’ordre 2 (voir fig. 8.!, "). Les inconnues sont : ! , :$et :2  , respectivement la force hori#ontale, le moment de flexion et l’effort tranchant. Lesyst3me d’équations canoniques est

    δ!! :!  % δ!$ :$  % δ!2 :2 % ∆!& '

    δ$! :!  % δ$$ :$  % δ$2 :2 % ∆$& '

    δ2! :!  % δ2$ :$  % δ22 :2 % ∆2& '

    ;ompte tenu de la symétrie des épures de  * :!  et  * :$  et de l’antisymétrie del’épure  * :2 (voir fig. 8.!, c, d, e), on a

    δ!2  ' δ2! ' δ$2 ' δ2$ ' donc, le syst3me d’équations canoniques devient

    δ!! :!  % δ!$ :$  % ∆!& '

    δ$! :!  % δ$$ :$  % ∆$& '

    δ22 :2 % ∆2& '

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    :! '  X !  :$  '  X $  -  X ! cd  :2  '  X 2  et cd '

     yds

     EI 

    ds

     EI 

     s

     s

    (

    $

    (

    $

    -

    -

    ∫ 

    ∫ 

    Le point " est appelé c"ntr" élasti" &" l'arc il est le centre de graité de la 0i3re

    moyenne de l’arc a00ecté en chaque point d’une densité de charge 0ictie égale 1   ! EI 

     . 7n

    effet, le point " est tel que δ!$  ' on a  * ! ' - !. y!  * $ ' ! , donc,

    δ!$  '  * * ds

     EI 

     s

    ! $

    ∫   ' -  yds

     EI 

     s

    !(

    !. .∫    ' - ( )c yds

     EI d 

     s

    −∫ 

      ' ⇒  cd  '

     yds

     EI 

    ds

     EI 

     s

     s

    (

    $

    (

    $

    -

    -

    ∫ 

    ∫ 

    .

    n o"tient ainsi, pour le syst3me d’équations (voir fig. 8.!, g, h)

     X !δ!!  % ∆!&  ' ⇒  X !  ' - ∆!

    !!

     P 

    δ 

     X $δ$$  % ∆$&  ' ⇒  X $  ' -∆ $

    $$

     P 

    δ 

     X 2δ22  % ∆2&  ' ⇒  X 2  ' -∆ 2

    22

     P 

    δ 

    avec,

    δ!!  ' $   yds

     EI 

     s

    !

    $

    $-

    ∫   % $   cos-

    $

    (

    $

    ϕ   ds

     EI 

     s

    ∫    δ$$ ' $ds

     EI 

     s

    (

    $-

    ∫    δ22  ' $   2ds

     EI 

     s$

    $-

    ∫   

    ∆!&  ' -  * y ds EI  P 

     s

    !(

    ∫    ∆$&  '  *  ds EI 

     P 

     s

    (

    ∫    ∆2&  '  * 2 ds EI  P 

     s

    (

    ∫   .

    7n pla=ant les valeurs des déplacements dans le syst3me d’équations canoniques, ondétermine les inconnues apr3s quoi, on peut calculer les efforts internes dans n’importe quellesection de l’arc.

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    Fig. 4.1.

    .2. Constrction &"s li$n"s &'in%l"nc"

    .2.1. Li$n"s &'in%l"nc" &"s inconn"s

    4ous l’action de la charge mo"ile  P '!, les équations canoniques deviennent (voir fig.8.$)

     X ! δ!!  % δ!&  ' ⇒  X !  ' -δ 

    δ 

    δ 

    δ 

    !

    !!

    !

    !!

     P P = −

     X $ δ$$  % δ!&  ' ⇒  X $  ' -δ 

    δ 

    δ 

    δ 

    $

    $$

    $

    $$

     P P = −

     X 2 δ22  % δ2&  ' ⇒  X 2  ' -δ 

    δ 

    δ 

    δ 

    2

    22

    2

    22

     P P = −  .

    *ciδ!!  est l’écartement hori#ontal des consoles rigides (voir fig. 8.2)

    δ$$  est la rotation réciproque des consoles rigides (voir fig. 8.8)

    δ22  est le déplacement vertical réciproque des extrémités des consoles rigides (fig. 8.>).

    1insi, les lignes d’influence sont o"tenues à partir des épures des déplacements δ&! , δ&$

    et δ&2  sous la charge

    Li&i X 1 = -!

    !!δ 

    !  P1 ; Li&i X 2 = -!

    $$δ !  P2  ; Li&i X / = -

    !

    22δ 

    !  P/ .

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    ?

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    Fig. 4.2. Fig. 4.3.

    Fig. 4.4. Fig. 4.5.

    .2.2. Li$n"s &'in%l"nc" &"s sollicitations

      Les lignes d’influence des inconnues

     X !,  X $  et  X 2  sont supposées connues. Leslignes d’influence des sollicitations au point k (c’est-à-dire du moment  * /   , de l’efforttranchant , /   et de l’effort normal  N / ) sontdéterminées à partir de celles des inconnues.  5uand  P '! se trouve à droite de k sur le tron=on kC , on a

     * /   ' X $ - X !  y/  - X 2 a/  - !. 2 p

    , /   ' X 2 cosϕ/  - X ! sinϕ/  % !.cosϕ/ 

     N /   ' X ! cosϕ/  % X 2 sinϕ/  % !.sinϕ/ 

      4i  P '! n’est pas sur le tron=on kC , on a * /   ' X $ - X !  y/  - X 2 a/ 

    , /   ' X 2 cosϕ/ - X ! sinϕ/ 

     N /   ' X ! cosϕ/  % X 2 sinϕ/ 

      Les lignes d’influence de cessollicitations sont représentées sur la fig. 8.?.

    Fig. 4.6.

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    @

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    3. Arcs circlair"s sos (r"ssion ra&ial"

      Aans les ouvrageshydrotechniques, il estfréquent de rencontrer 

    des arcs circulairessoumis à la pressionhydrostatique sousforme de pressionradiale.  4oit un arc circulairesoumis à l’action d’une

     pression constante

    radiale d’intensité qϕ  et

    aux extrémités duquelsont appliquées lesforces N o , , o , * o , N s ,

    Fig. 5.1. , s  et  * s  (voir fig. >.!,a).

    7n dégageant un élément infiniment petit et en écrivant pour lui les équationsd’équili"re, on o"tient (voir fig. >.!, ")

    - en pro6etant toutes les forces agissant sur l’élément sur l’axe s&sd, 

    d ϕ  ' - N  %qϕ 4  (qo ' qϕ)

    - en pro6etant toutes les forces agissant sur l’élément sur l’axe perpendiculaire à s&sdN 

    d ϕ   '  N 

    - en prenant la somme des moments de toutes les forces par rapport au centre

    ,   'd* 

    ds.

    ;omme on a ds 5 4d ϕ  , on o"tientd* 

    d ϕ  ' ,.4.

    7n considérant ces relations différentielles entre les différents efforts internes et ensupposant connues les forces appliquées aux extrémités, on o"tient, pour une sectionquelconque, les expressions suivantes pour les sollicitations

    , ' , o cosϕ  % qo  4sinϕ  -  N o sinϕ 

     N '  N o cosϕ  % , o sinϕ  % qo  4 (! - cosϕ)  * '  * o  % , o  4sinϕ  % (qo  4$  & N o 4)(! - cosϕ) .

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