ch9

5/17/2018 ch9 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/ch9557201164979599169a0bfa9 1/23

IX. ECOULEMENT COMPRESSIBLE

IX.1 Introduction

Écoulement compressible est une étude de l’écoulement de fluides avec une vitessecomparable à la vitesse locale sonique. C’est le cas quand la vitesse de fluide 30%ou plus de la vitesse locale sonique, i.e. Ma = V/a > 0.30. Dans ces cas, la densitén’est plus une constante.

Deux conséquences importantes de l’écoulement compressible sont (a)l’étranglement où l’écoulement est limité par la condition sonique, (b) l’onde dechoc qui introduit de discontinuités dans les propriétés de fluide et sont très irré-versibles.

Étant donné que la variation de densité ne peut pas être négligée, suivant l’équationd’état, la variation de T et P peut être considérable. Donc, il y aura quatre variablesindépendantes, notamment pression, température, densité et vitesse del’écoulement. Deux nouvelles variables, température et densité, sont introduites etdeux nouvelles équations doivent être utilisées pour une solution complète. Ce sontl’équation d’énergie et l’équation d’état. Dans ce qui suit, nous allons fairel’approximation d’un gaz parfait.

Rappels : Équation d’État et Propriétés de Gaz Parfait

Deux équations d’état sont utilisées pour analyser écoulements compressibles :l’équation d’état de gaz parfait et l’équation d’état d’écoulement isentropique. Lapremière décrit les gaz à basse pression et à haute température, toutes les deux pro-priétés par rapport à leurs valeurs critiques. La deuxième décrit les gaz parfaitsdans l’évolution isentropique, i.e. adiabatique et sans friction.

L ‘équation d’état de gaz parfait est :

RT

P= ρ

Dans cette équation, R est la constante de gaz, P et T sont la pression absolue ettempérature absolue respectivement. Pour l’air qui est utilisé exclusivement, lepoids moléculaire est M = 28.97 kg/kmol, la constante de gaz est

K kg J kmolkg

K kmol J

M

R R / 28799.286

/ 97.28

/ 8314≅=== . Deux autres propriétés utiles sont les

capacités thermiques à volume constant et à pression constante :

IX-1



dT

dhC et

dT

duC pv ==

où u est l’énergie interne spécifique et h l’enthalpie spécifique. Elles sont traitéescomme constantes dans l’analyse des écoulements compressibles élémentaires. Levaleurs usuelles pour l’air sont : Cv = 718 m2 /s2K et Cp = 1005 m2 /s2K. Les autresrelations sont :

v

p

v pC

C k et C C R =−=

Pour l’air k = 1.4.

Pour une évolution isentropique, l’équation d’état est :

.const P

k

= ρ

En combinant cette équation avec l’équation d’état de gaz parfait et puis enl’appliquant entre deux états 1 et 2 on obtient pour n’import quel gaz :

k k k

T

T

P

P⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

−

1

2

)1 /(

1

2

1

2

ρ

ρ

IX.2 Vitesse Sonique et Nombre de Mach

La vitesse sonique ou vitesse de son est la vitesse de propagation de l’onde depression infinitésimale dans un fluide. Elle est généralement exprimée comme :

a2 =

∂ P

∂ ρ

L’évolution subie par l’écoulement comme l’onde sonique passe à travers le fluideest une évolution isentropique. La vitesse sonique dans un gaz parfait est donnéepar :

a = k RT

Le nombre de Mach est le rapport de la vitesse de fluide à la vitesse sonique :

Ma =V

a

IX-2



C’est un nombre sans dimension le plus important dans l’analyse de l’écoulementcompressible.

Exemple 1 : Un avion vole avec une vitesse de 400 m/s. Calculez le nombre deMach pour (a) la condition standard au niveau de mer (T = 289 K), (b) à une alti-tude de 15,200 m, à la condition standard (T = 217 K).

Solution : (a)a = k RT = 1.4( ) 287( ) 289( ) = 341m / s . Le nombre de Mach est :Ma = V/a = 400/341 = 1.17

(b) à l’altitude de 15,200 m, a = 1.4( ) 287( ) 217( ) = 295m / s . Le nombre deMach est : Ma = V/a = 400/295 = 1.36

Nous pouvons constater que la vitesse de l’avion reste constante mais le nombre de

Mach a été changé parce que la vitesse sonique locale est différente.

IX.3 Écoulement Isentropique d’un Gaz Parfait

Pour un écoulement isentropique, l’équation d’énergie entre deux états dans lechamp d’écoulement devient :

h1 +V 1

2

2= h2 +

V 22

2= ho = constant

où ho, appelée l’enthalpie de stagnation, reste constante dans le champd’écoulement. Elle est l’enthalpie à un point dans le champ d’écoulement isentro-pique où la vitesse de fluide est zéro ou bien presque zéro.

L’enthalpie d’un gaz parfait est donnée par h = Cp T. En substituant dansl’équation d’énergie de l’écoulement permanent, on trouve ho = Cp To = constanteet

To

T =1+

k −1

2 Ma

2

Donc, la température de stagnation reste constante dans un écoulement isentropi-que et la relation de la température locale à la température de stagnation est unefonction seulement du nombre de Mach local.

IX-3



En incorporant l’équation de vitesse sonique, l’équation d’état de gaz parfait etl’équation d’énergie on trouve les relations utiles pour l’écoulement isentropiquepermanent des gaz parfaits.

ToT =1+

k −12 Ma

2

ao

a=

To

T⎛ ⎝

⎞ ⎠

1/2

= 1+k −1

2Ma2⎛

⎝ ⎞ ⎠

1/ 2

Po

P=

To

T⎛ ⎝

⎞ ⎠

k / k −1( )

= 1+k −1

2Ma

2⎛ ⎝

⎞ ⎠

k / k −1( )

ρ o

ρ

=To

T

⎛ ⎝

⎞ ⎠

1/ k −1( )= 1+

k −1

2

Ma2⎛

⎝ ⎞ ⎠

1/ k −1( )

Les propriétés de gaz parfait pour Ma = 1, i.e. pour l’écoulement sonique,s’appèlent les propriétés soniques ou critiques, qui sont données par :

To

T* =1+k −1

2

ao

a* =

To

T*⎛ ⎝

⎞ ⎠

1/2

= 1+k −1

2⎛ ⎝

⎞ ⎠

1/2

Po

P* =To

T*⎛ ⎝

⎞ ⎠

k / k −1( )= 1+

k −12

⎛ ⎝

⎞ ⎠

k / k −1( )

ρ o

ρ *=

To

T*⎛ ⎝

⎞ ⎠

1/ k −1( )= 1+

k −12

⎛ ⎝

⎞ ⎠

1/ k −1( )

Toutes les deux propriétés, i.e. celles de stagnation et de sonique, sont des proprié-tés utiles dans l’analyse d’écoulement compressible. Pour l’air, ces relations de-viennent :

P*

Po

=2

k +1⎛ ⎝

⎞ ⎠

k / k −1( )

= 0.5283 ρ *

ρ o=

2

k +1⎛ ⎝

⎞ ⎠

1/ k −1( )

= 0.6339

IX-4



a*

ao

=2

k +1⎛ ⎝

⎞ ⎠

1/2

= 0.9129 a*

ao

=2

k +1⎛ ⎝

⎞ ⎠

1/2

= 0.9129

Pour l’écoulement isentropique toutes les propriétés soniques (Ma = 1) sont cons-

tantes. Pour l’écoulement adiabatique, i.e. pas de transfert de chaleur mais peut êtreavec friction, a* et T* est constante, mais P* et ρ* peut varier. À la condition soni-que :

V * = a

* = k RT *( )1/2

=2 k

k +1 RT o

⎛ ⎝

⎞ ⎠

1/2

Ces relations sont utiles dans l’analyse d’écoulement compressible avec frictionet/ou transfert thermique.

Exemple 2 :

L’air provenant d’un réservoir s’écoule dans un conduit adiabatique et sans friction.La température et la pression dans le réservoir est T = 400 K et P = 500 kPa. Dé-terminez Ma, T, ρ, et V à une section de conduit où P = 430 kPa.

Solution :

La pression et la température dans le réservoir sont la pression de stagnation et latempérature de stagnation, puisque la vitesse dans le réservoir est pratiquement zé-ro. Le nombre de Mach dans cette section sera :

( )1 /

0.4/1.4

21

1

2 4301

1.4 1 500

0.469

k k

o

P Ma

k P

Ma

Ma

−⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= −⎜ ⎟

− ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦=

La température est donnée par :

IX-5



2

2

11

2400

1 0.2 0.469383

oT

T k

Ma

T x

T K

=−

+

= +=

L’équation d’état de gaz parfait est utilisée pour calculer la densité :

ρ =P

RT =

430,000287( ) 383( )

= 3.91kg / m3

En utilisant la définition de nombre du Mach et de la vitesse sonique, nous obte-nons :

0.469 1.4 287 383 184 / V Ma k RT m s= = ⋅ ⋅ =

Technique de Solution d’Écoulement compressible

Il y a plusieurs types de problème mais la majorité peut être solutionnée commesuivant :

1. Utilisez les relations appropriées et les états de référence, i.e. état de stagnation,

état sonique, pour déterminer le nombre de Mach à chaque point de champd’écoulement.2. Déterminez les conditions communes dans le champ d’écoulement, e.g. pour un

champ d’écoulement isentropique, les propriétés de stagnation sont les mêmesà tous points.

3. Utilisez les équations appropriées et les conditions constantes pour déterminerles autres propriétés dans le champ d’écoulement.

4. Utilisez les relations thermodynamiques, e.g. l’équation d’état, vitesse sonique,etc., pour compléter la solution du problème.

La majorité des équations est exprimée en fonction du nombre de Mach. On peutsolutionner ces équations en réarrangeant et en utilisant les données tabulées oubien en utilisant un logiciel, par exemple, EES, Matlab ou Maple.

IX-6



IX.4 Écoulement Isentropique dans des Conduits à Sections Variables

Tous les écoulements doivent satisfaire les relations de continuité et de la quantitéde mouvement, et aussi bien que l’équation d’énergie et les équations d’état. Enutilisant l’équation de continuité et l’équation de quantité de mouvement dans unvolume différentiel d’écoulement, on obtient :

d V

V =

1 Ma

2 − 1d A

A

On peut observer que pour Ma < 1, i.e. l’écoulement subsonique, Ma – 1 < 0 et lechangement de vitesse varie à l’inverse de changement d’aire, i.e. une augmenta-tion de vitesse nécessite que l’aire soit diminuée dans la direction d’écoulement.Pour un écoulement supersonique, i.e. Ma > 1, Ma – 1 > 0, l’aire doit être augmen-

tée dans la direction d’écoulement pour avoir une augmentation de vitesse. Pour unécoulement sonique, le changement dans la vitesse d’écoulement dV peut être finisi dA = 0. L’effet de la géométrie sur la vitesse, Ma et la pression est montré à lafigure 9.1.

Fig. 9.1 Écoulement compressible dans des conduits à section variable

En combinant l’équation de débit massique constant== V Am ρ & avec les rela-tions d’écoulement isentropique, on trouve :

ρ *

ρ =

2

k +11+

k −12

Ma2⎛

⎝ ⎞ ⎠

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

1/ k −1( )

IX-7



V *

V =

1 Ma

2k +1

1+k −1

2Ma

2⎛ ⎝

⎞ ⎠

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

1/2

A

A* =

1

Ma

1+ 0.5 k −1( ) Ma2

0.5 k +1( )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

k +1( ) / 2 k −1( )[ ]

où l’état sonique est montré par *, qui peut avoir lieu ou pas dans le conduit.

Si la condition sonique se produit dans le conduit, elle se produira à la section laplus petite ou la plus grande. Si la condition sonique se produit, on dit que

l’écoulement est étranglé puisque le débit massique est

le débit maximum qu’on peut avoir dans le conduit sans modification de sa géomé-trie. Le débit maximum est aussi donné par :

***

max

V AV Am ρ ρ ==&

( )

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+==

−

o

k

o T Rk

k A

k V Am

12

12 *

1 / 1***

max ρ ρ &

pour l’air :( ) 2 / 1

*

max6847.0

o

o

T R

APm =&

Exemple 3 :

L’air s’écoule de façon isentro-pique dans un conduit montré àFig. 9.2. À section 1 A1 = 0.05m2 et V1 = 180 m/s, P1 = 500kPa, et T1 = 470 K. Calculez :(a) To, (b) Ma1, (c) Po, (d) A* et

. Si Am& 2 = 0.036m2, calculezMa2 et P2 pour l’écoulement (e)

subsonique ou (f) supersonique.Donnée : k = 1.4.

Fig. 9.2

(a) Pour l’écoulement isentropique la température de stagnation est donnée par :

IX-8



2 21

1

180470 486

2 2 1005o

p

V T T K

C = + = + =

⋅

(b) La vitesse sonique locale est :

1 1.4 287 470 435 / a k RT x x m= = = s

Le nombre de Mach local est :

Ma1 =V 1

a1

=180435

= 0.414 (subsonique)

(c) La pression de stagnation locale est :

( )3.5 3.52 21 11 0.2 500 1 0.2 0.414 563

oP P Ma kPa x kPa⎡ ⎤= + = + =⎣ ⎦

(d) L’aire du col critique et sonique est déterminée comme :

( ) ( )3 32 2

11*

1

1 0.2 1 0.2 0.4141.547

1.728 1.728 0.414

Ma x A

A Ma x

+ += = =

A* =

A1

1.547

=0.05 m2

1.547

= 0.0323m2

Cette aire est l’aire minimum de col pour que l’écoulement puisse devenir supersoni-que.

Le débit massique est obtenu par :

( ) ( )skg

m

T R

APm

o

o / 4.33486287

0323.0000,5636847.06847.0

2 / 1

2

2 / 1

*

=⋅

⋅==&

(e) et (f) Nous avons A2 /A

*

= 1.115 comme calculé en bas. Nous calculons Ma2 en so-lutionnant l’équation de A/A* ci-haut : le résultat donne ou bien (e) la solution subso-nique ou (f) la solution supersonique. En utilisant l’équation de P/Po à la page IX-4,nous obtenons la pression :

A2

A* =0.036

0.0323=1.115 =

1+ 0.2 Ma22( )3

1.728 Ma2

IX-9



P =Po

1+ .2 Ma12( )3.5

Ce calcul itératif est facilement fait en utilisant un logiciel comme EES ou Matlab :

(e) Solution subsonique : Ma2 = 0.6758 et P2 = 415 kPa

ou

(f) Solution supersonique : Ma2 = 1.4001 et P2 = 177 kPa

Note : Pour la solution supersonique la pression a diminué à une valeur plus petite etdonc, des conditions soniques doivent être produites au col entre 1 et 2.

IX.5 Onde de Choc Normal

Dans certaines conditions des discontinuités très minces et très irréversibles peu-vent se produire dans écoulements isentropiques. Ces discontinuités sont connuescomme ondes de choc et elle s’appelle comme l’onde de choc normal s’elle estperpendiculaire au vecteur vitesse d’écoulement.

Une onde de choc normal dans un écoulement uni-dimensionnel est montrée à lafigure 9.3.

Fig.9.3 Onde de choc normal

Une application de la seconde loi de thermodynamique à une onde de choc normaltrès mince montre que les ondes de choc normal causent une augmentation brusque

IX-10



dans la pression de gaz et elles doivent être supersoniques en amont et subsoniquesen aval du choc normal. Ondes de raréfaction qui aboutirent à une diminution depression et une augmentation du nombre de Mach sont impossibles d’après la se-conde loi.

En résumé, Le choc est une discontinuité Il réduit l’écoulement supersonique à un écoulement subsonique L’épaisseur du choc est très faible, de quelque micromètre C’est un phénomène irréversible La conservation d’énergie à travers le choc est iso énergétique : i.e. To1 = To2

En utilisant les équations de continuité, de quantité de mouvement et d’énergieavec l’équation d’état de gaz parfait pour un volume de contrôle adiabatique très

mince, on trouve les relations suivantes :

Ma22 =

k −1( ) Ma12 + 2

2 k Ma12 − k −1( )

, Ma1 >1

P2

P1

=1 + k Ma1

2

1 + k Ma22

ρ 2 ρ 1

=V 1

V 2=

k +1( ) Ma12

k −1( ) Ma12 + 2

T o1 = T o 2

T 2

T 1= 2 + k −1( ) Ma1

2[ ]2 k Ma12 − k −1( )

k +1( )2 Ma1

2

Po2

Po1

=ρ o2

ρ o1

=k +1( ) Ma1

2

2 + k −1( ) Ma12

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

k / k −1( )k +1

2 k Ma12 − k −1( )

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1/ k −1( )

A2*

A1* =

Ma2

Ma1

2 + k −1( ) Ma12

2 + k −1( ) Ma22

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

k +1( ) / 2 k −1( )[ ]

Nous notons que dans plusieurs problèmes de choc normal, le lieu du choc n’estpas connu. La solution de ces équations est souvent accomplie par une méthodeitérative. Dans l’utilisation de ces équations, il faut surtout faire attention auxconditions en amont et en aval du choc :

IX-11



1. le nombre de Mach en amont est toujours supersonique tandis que celui en avalsubsonique

2. pressions de stagnation et densités diminuent dans la direction d’écoulement àtravers le choc alors que la température de stagnation reste constante à cause dela condition adiabatique.

3. pression augmente beaucoup alors que température et densité augmentent defaçon modérée à travers le choc dans la direction en aval

4. l’aire de col critique ou sonique change à travers le choc normal dans la direc-tion en aval et A2* > A1*

5. les ondes de choc sont extrêmement irréversibles causant l’entropie spécifiqueen aval s2 plus grande que celle en amont s1.

Les ondes de choc normal en mouvement, comme dans des explosions, vaisseauspatial rentrant dans l’atmosphère et les autres peuvent être analysés comme des

ondes de choc normal stationnaire en utilisant un système des coordonnées qui esten mouvement avec la vitesse d’onde dans la direction de l’onde de choc.

Exemple 4 :

L’air est fourni à travers une tuyère convergente – divergente dont le col a un rap-port de section A4 /At comme montré à la figure 9.4. L’air vient d’un réservoir àune pression de P = 2 MPa et T = 400 K. Un choc normal survient dans la tuyèredivergente à une section où Po1 = Po2 = 2 MPa et le nombre de Mach en amont estde 1.4. Déterminez (a) le nombre de Mach en aval de l’onde de choc, (b) le nombre

de Mach à la sortie, (c) la pression à la sortie, (d) la température à la sortie.

Fig. 9.4 Une tuyère convergente - divergenteSolution :

L’écoulement venant du réservoir, section 1, est isentropique jusqu’au choc nor-mal en amont, section 2 et de section 3, justement en aval du choc normal jusqu’àla sortie, section 4. Températures de stagnation ne changent pas dans l’écoulementou à travers l’onde de choc normal : To1 = To2 =To3 = To4 = 400 K. Pressions de

IX-12



stagnation ne changent pas dans un écoulement isentropique, Po1 = Po2 = 2 MPa etPo3 = Po4, mais pressions de stagnation changent à travers le choc, Po2 > Po3.

Basé sur le nombre de Mach à section 2 et en utilisant les relations isentropiqueson a :

A2

At

=A3

At

=A2

At

* =1

Ma2

1+ 0.2 Ma22

( )3

1.728=1.115

Les relations de choc normal peuvent être utilisées à travers le choc. Donc,(a)

Ma3 =k −1( ) Ma2

2 + 22k Ma2

2 − k −1( )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1/ 2

=0.4( ) 1.4( )2 + 2

2 1.4( ) 1.4( )2 − 0.4

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1/ 2

= 0.740

(b) En continuant l’analyse à travers le choc, on a :

Po4 = Po3 = Po2

k + 1( ) Ma22

2 + k −1( ) Ma22

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

k / k −1( )k + 1

2 k Ma22 − k −1( )

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1/ k −1( )

Po4 = Po3 = 22.4( ) 1.4( )2

2 + 0.4( )1.42

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

3.52.4

2 1.4( ) 1.4( )2 − 0.4

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

2.5

=1.92 MPa

A3*

A2* = Ma3

Ma2

2 + k −1( ) Ma22

2 + k −1( ) Ma32

⎡⎣⎢ ⎤

⎦⎥

k +1( )

/ 2 k −1( )[ ] = 0.74

1.42 + .4 1.4( )2

2 + .4 0.74( )2⎡⎣⎢ ⎤

⎦⎥

2.4/.8

=1.044

Nous connaissons le rapport A4 / At, et l’écoulement est toujours isentropique entre sec-tions 3 et 4. Nous pouvons écrire une expression pour le rapport de l’aire entre la sectiode sortie et le col :

A4

At

= 1.6 =A4

A4*

A4*

A3*

A3*

A2*

A2*

At

=A4

A4* 1( ) 1.044( ) 1.115( )

En solutionnant pour A4

A4*

nous obtenons A4

A4* =1.374

En utilisant l’équation développée auparavant pour l’écoulement étranglé et isentropiqunous pouvons écrire :

IX-13



A4

A4* =1.374 =

1 Ma

1 + 0.5 k −1( ) Ma2

0.5 k +1( )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

k +1( ) / 2 k −1( )[ ]

ou

1.374 = 1 Ma4

1+ 0.2 Ma42

( )3

1.728

Nous trouvons : Ma4 = 0.483.

(c) et (d) En connaissant Ma4, nous pouvons continuer en utilisant les relationsisentropiques, nous trouvons :

P4=

Po4

1 + 0.5 k −1( ) Ma42

[ ]k / k −1( )

=1.92 MPa

1 + 0.2 0.483( )2

[ ]3.5

=1.637 MPa

T 4 =T o4

1 + 0.5 k −1( ) Ma4

2=

400K

1 + 0.2 0.483( )2= 382K

Note : Observez bien comment l’aire sonique en aval du choc est différente del’aire en amont du choc. Observez aussi l’utilisation des rapports d’aire pour dé-terminer le nombre de Mach à la sortie.

Les étapes suivantes peuvent être utilisées pour résoudre la majorité de problèmesd’écoulement compressible uni-dimensionnel :

1. Identifiez clairement les conditions d’écoulement : e.g., écoulement isentropiquetempérature de stagnation constante, pression de stagnation constante, etc.

2. Utilisez les relations appropriées à condition d’écoulement, les données ou un logciel pour déterminer le nombre de Mach à sections demandées.

3. Une fois le nombre de Mach est déterminé aux sections d’intérêt, utilisez les rela

tions d’écoulement, tableau de données, logiciel pour déterminer d’autres propriétés d’écoulement comme vitesse d’écoulement, pression, température. Cette opértion peut nécessiter d’obtention de certain rapport de propriétés, comme par exemple, nous avons fait dans l’exemple précédent avec le rapport d’aire.

IX-14



IX.6 Opération de Tuyère Convergente – Divergente

Une tuyère convergente – divergente comme celle montrée à la figure 9.5 peut êtreopérée de plusieurs façons et dans plusieurs modes, dépendant de rapport de pres-sion de sortie à celle d’alimentation, Ps /Pa. Ces modes sont montrées aussi sur lediagramme P*/Po de Fig. 9.5.

Mode (a) L’écoulement est subsonique dans le système, le col, les chambresd’alimentation et de sortie. La distribution de pression est calculée à partir desrelations de l’écoulement subsonique, isentropique avec section variable. Lacondition sonique n’est pas induite dans le col.

Mode (b) L’écoulement est encore subsonique et isentropique partout dans latuyère et les chambres. Le nombre de Mach au col est maintenant égal à unité,l’écoulement est sonique, le col est étranglé, le débit massique atteint sa limite

supérieure pour la géométrie et Po, To donnée. Une réduction de pression dansla chambre de sortie ne va pas augmenter le débit.

Fig. 9.5 Opération de tuyère convergente – divergente

Mode (c) Une onde de choc est maintenant formée dans la partie divergente dela tuyère. L’écoulement est subsonique en amont du col, la même que la mode(b), le col est étranglé, la même que la mode (b), et l’écoulement est supersoni-

IX-15



que et en accélération entre le col et justement en amont du choc. L’écoulementest isentropique entre le réservoir d’alimentation et juste en amont du choc.L’écoulement est en décélération et subsonique en aval du choc et aussi isen-tropique. L’écoulement n’est pas isentropique à travers le choc. Les relationsisentropiques peuvent être utilisées dans les parties en amont et en aval du chocet les relations de choc normal peuvent être utilisées pour établir un lien deconditions en amont du choc à conditions en aval du choc.

Mode (d) Le choc normal se situe dans le plan de la sortie de tuyère. Écoule-ment est isentropique partout dans la tuyère jusqu’au choc. L’écoulement à lasortie de tuyère est supersonique en amont du choc et subsonique en aval duchoc. L’écoulement est ajusté aux conditions d’écoulement dans le réservoir dedécharge et pas dans la tuyère. Les relations isentropiques peuvent être utiliséespartout dans la tuyère.

Mode (e) Une série de chocs à deux dimensions est établie dans le réservoir de

décharge en aval de la tuyère. Ces chocs servent à décélérer l’écoulement.L’écoulement est isentropique partout dans la tuyère, la même que mode (d). Mode (f) La pression dans le réservoir de décharge est égale à la pression esti-

mée par la solution supersonique des équations de l’écoulement isentropique dela tuyère. Le rapport de pression est connu comme le rapport de pression de de-sign supersonique. Écoulement est isentropique partout dans la tuyère, la mêmemode que (d) et (e) et dans le réservoir de décharge.

Mode (g) Une série de chocs à deux dimensions sont établie dans le réservoirde décharge en aval de la tuyère. Ces chocs servent à décélérer l’écoulement.L’écoulement est isentropique partout dans la tuyère, la même que modes (d),

(e) et (f).

Exemple 5 :

Une tuyère convergente – diver-gente montrée à Fig. 9.6 a des carac-téristiques suivantes: At = 0.002 m2,Ae = 0.008 m2, Po = 1000 kPa, To =500 K.

Trouvez : Pe et le débit massique pour(a) conditions de design supersoniques(b) Pb = 300 kPa, et (c) Pb = 900 kPa.Donnée : k = 1.4 Fig. 9.6

(a) Pour conditions de design supersoniques, l’écoulement sera isentropique par-tout avec l’écoulement supersonique du col à la sortie. Pression de stagnation et

IX-16



température de stagnation sera constante. Conditions au col seront soniques etl’écoulement sera étranglé.

Puisque*

0.0084

0.002e e

t

A A

A A= = = nous pouvons écrire

( )32

*

1 0.214

1.728ee

e

Ma A

A Ma

+= =

En utilisant une méthode itérative, nous obtenons,

2.94e

Ma =

On peut trouver la pression et le débit massique dans conditions de design à la sor-tie comme :

( ) ( )3.5 3.52 2

100029.3

1 0.2 1 0.2 2.94

oe

e

PP kPa

xMa x= = =

+ +

( ) ( )

2

1/ 2 1/ 2

0.6847 0.6847 1 6 0.0023.61 /

287 500o t

des

o

P A x E x mm k

R T x= = =& g s

(b) Contre-pression de tuyère est Pb = 300 kPa . Puisque Pb = 300 kPa > 29.3 kPa,en référence à la figure 9.5, nous pouvons déterminer la mode d’opération.

Premièrement nous déterminons la condition pour l’écoulement étranglé mais subso-nique partout dans la tuyère, donc mode (b) de Fig. 9.5. Nous pouvons calculer les va-

leurs subsoniques de Mae et Pe qui nous donnent un rapport d’aire de 4.

( )32

*

1 0.214

1.728ee

e

Ma A

A Ma

+= = 0.1465

e Ma = et Pe = 985 kPa

Puisque 985 kPa > Pb > 29.3 kPa, nous avons un choc normal dans quelque part dans tuyère. Étant donné que le choc est en amont de la sortie de tuyère, la sortie doit êtsubsonique, le col doit être sonique et étranglé. Donc nous aurons la condition suivantela sortie :

Pe = Pb = 300 kPa et skgmdes / 61.3=&

Référence à Fig. 9.5, si la contre-pression diminue à une valeur à la quelle le col eétranglé (mode (b)), toutes les conditions d’écoulement pour contre-pression moins de mode (b) sont aussi étranglées et l’écoulement reste constant.

IX-17



(c) Contre-pression de tuyère est Pb = 900kPa . Puisque cette pression est très proche dcondition (b) (P = 985 kPa), nous avons un choc normal noyé représenté par mod(c) de Fig. 9.5.

Comme dans la partie (b) de la solution, puisque nous avons un choc noyé très semblble à mode (c) de Fig. 9.5, nous avons donc une condition sonique et étranglée au col condition subsonique de section du choc à la sortie. Donc, nous avons :

etPe =Pb = 300kPa skgmdes / 61.3=&

Nous n’avons pas pourtant déterminé le lieu du choc noyé.

La procédure de calcul est assez complexe. Nous présenterons pour la partie (c) du problème. Nous supposons Ax pour l’aire de tuyère, juste en amont du choc noyé et pu

pour accorder avec la contre-pression et l’aire de la sortie, nous utilisons cette aire supposée à travers le choc noyé jusqu’à la sortie de tuyère. Cette solution est itérative qpeut être exécutée plus facilement en utilisant un logiciel comme Matlab, Maple, EES.

(1) Données : Aire sonique en amont A1* = 0.002 m2

Pression de stagnation en amont Po1 = 1000 kPa

Température de stagnation en amont To1 = 500 K = To2

Aire de sortie de tuyère Ae = 0.008 m2

Contre-pression de tuyère Pe = 900 kPa

(2) Supposez : Ma en amont du choc Max = 1.541

(3) Calculez : Pression statique en amont du choc :

( ) ( ),

3.5 3.52 2

1000256.6

1 0.2 1 0.2 1.541o x

x

x

P kPaP k

Ma x= = =

+ +Pa

(4) Calculez : Ma en aval du choc :

Ma y =k −1( ) Ma x

2 + 22k Ma x

2 − k −1( )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥1/2

=0.4( )1.541( )2 + 2

2 1.4( ) 1.541( )2 − 0.4

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥1/ 2

= 0.6871

(5) Calculez : Pression statique en aval du choc :

IX-18



P y = P x

1+ k Ma x2

1+ k Ma y2 = 256.6

1+1.4 ⋅1.5412

1+1.4 ⋅0.68712 = 668.2kPa

(6) Calculez : Pression de stagnation en aval du choc :

( ) ( )3.5 3.52 2

, 1 0.2 256.6 1 0.2 0.6871 916.3o y y y

P P Ma x= + = + = kPa

(7) Calculez : Rapport de pression de stagnation à pression statique à la sortie :

Po, y / Pe = 916.3/900 =1.0181

(8) Calculez : Ma à la sortie :

( )( )0.5

1/3.5 0.51/3.5,5 1 5 1.0181 1 0.1603o y

e

e

P Ma

P

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥= − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

(9) Calculez : Aire sonique en aval du choc :

( )

( )

( ) ( )0.5 1 / 12* *

2

2 1

2 1

k k

x

y x

y

k Ma A A

k Ma

⋅ + −⎡ ⎤+ −

= ⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎣ ⎦

0.5 2.4/0.4222 0.4 1.541

0.002 0.0021832 0.4 0.6871

x

m x

⋅+⎡ ⎤

= =⎢ ⎥+⎣ ⎦

(10) Calculez : Aire de sortie de tuyère :

( ) ( )2 2

* 21 0.2 1 9.2 0.1603

0.002183 0.0081.728 1.728 0.1603

e

e y

e

xMa x A A m

Ma x

+ += = =

Si cette aire trouvée ne donne pas satisfaction par rapport à la valeur donnée pour l’ade sortie, répétez la procédure en supposant une nouvelle valeur de Max.

Sommaire des points importants :

• L’écoulement entre le col et juste en amont du choc est isentropique avec les contions suivantes : A* = constante, To = constante, Po = constante. Donc, les relatioisentropiques peuvent être utilisées dans cette partie.

IX-19



• L’écoulement de la section en aval du choc normal jusqu’à la sortie est aussi isentpique avec les conditions suivantes : A* = constante, To = constante, Po = constanDonc, les relations isentropiques peuvent être utilisées dans cette partie aussi.

• Pendant que To = constante à travers le choc normal, A* et Po changent.

Note: Puisque la masse doit être conservée nous pouvons utiliser l’équation de conservtion de masse à travers le choc normal :

( ) ( )* *et x y o o x y

m m P A P A= =& &

IX.7 Écoulement Compressible avec Friction

Pour un écoulement compressible de fluide dans un conduit isolé et de section constala friction est traitée de façon d’un conduit avec friction moyenne, i.e. en utilisant le coficient de friction de Darcy – Weisbach f .

Le cas en question est sans variation de section et sans transfert thermique. Nous faisoles hypothèses suivantes :

Écoulement permanent, adiabatique et uni-dimensionnel, Le fluide est gaz parfait avec Cv, Cp = constante,

Section de conduit est constante, le conduit est droit, Travail est négligeable, Variation de l’énergie potentielle est négligeable, τw = fonction( f ) comme dans l’écoulement dans les conduits mais variation

l’énergie cinétique, de l’enthalpie et de pression peut être considérable.

Application des conservations de masse, de quantité de mouvement et d’énergieavec l’équation d’état de gaz parfait nous donne les relations suivantes pour écou-lement compressible avec friction.

IX-20



f L*

D=

1− Ma2

k Ma2 +

k +12k

lnk +1( ) Ma

2

2 + k −1( ) Ma2

P

P*

=1

Ma

k +1( )

2 + k −1( ) Ma2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1/2

ρ

ρ *=

V *

V =

1 Ma

2 + k −1( ) Ma2

k +1

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1/2

T

T *=

a

a*2 =

k +1( )2 + k −1( ) Ma2

Po

Po* =

ρ o

ρ o* =

1 Ma

2 + k −1( ) Ma2

k +1

⎡

⎣

⎢⎤

⎦

⎥

k +1( ) / 2 k −1( )[ ]

Dans ces équations, l’étoile utilisée est pour indiquer l’état sonique pour le quel Ma = L* est la longueur de conduit nécessaire pour développer de Mach à conditions soniqueL’état sonique est constant partout dans le conduit et il peut être utilisé pour établire dconditions à un point donné de conduit avec un autre point. La longueur du conduit ∆entre deux valeurs données de Ma est donnée par :

f ∆ L D

=f L

*

D

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

1

−f L

*

D

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

2

Exemple 6 :

L’air ayant Ma = 0.05 entre dans un conduit d’un diamètre de 0.01 m ( f = 0.05). Lapression et température à l’entrée de conduit sont 1.5 MPa et 400 K. Déterminez (a)nombre de Mach, (b) pression, et (c) température dans le conduit à 50 m de l’entrée.

Solution :

(a) À l’entrée de conduit avec f = 0.05, D = 0.01 m et Ma = 0.05, nous obtenons : f L

*

D

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

1

=1− Ma

2

k Ma2 +

k +12k

lnk +1( ) Ma

2

2 + k −1( ) Ma2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1

f L*

D

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

1

=1− 0.052

1.4 0.05( )2 +2.42.8

ln2.4( )0.052

2 + 0.4( )0.052

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1

= 280

IX-21



Donc, à la sortie du conduit, nous obtenons :

f L*

D

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

2

=f L

*

D

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

1

−f ∆ L

D

= 280 −0.05( )50

0.01

= 30

Nous pouvons écrire pour la sortie du conduit : f L

*

D

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

2

= 30 =1− Ma

2

k Ma2 +

k +12k

lnk +1( ) Ma

2

2 + k −1( ) Ma2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

2

ou

30 =1− Ma2

2

1.4 Ma22 +

2.4

2.8ln

2.4 Ma2

2

2 + 0.4 Ma2

2

La solution de deuxième équation nous donne la réponse pour (a) : Ma2

= 0.145.

(b) En écrivant l’expression pour le rapport de pression donne :

P2 = P1

P2

P2

*

P2

*

P1

*

P1

*

P1

P2 = 1.5( ) 1

Ma2

k +1( )2 + k −1( ) Ma2

2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1/ 2

1( ) Ma1

1

2 + k −1( ) Ma1

2

k +1

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1/ 2

P2 = 1.5( ) 10.145

2.42+ 0.4( )0.145

2⎡⎣⎢ ⎤

⎦⎥

1/ 2

1( ) 0.051

2 + 0.4( )0.05

2

2.4⎡⎣⎢ ⎤

⎦⎥

1/ 2

= 0.516

(c) En utilisant le rapport de température, nous trouvons :

T 2 = T 1T 1

*

T 1

T 2*

T 1*

T 2

T 2* = 400

2 + k −1( ) Ma1

2

2 + k −1( ) Ma2

2 = 4002 + 0.4( )0.05

2

2 + 0.4( )0.1452 = 399 K

Note : Dans les expressions P2*/P1* et T2*/T1*, tous les deux rapports sont égaux à

puisque les conditions soniques de référence sont constantes entre ces deux points.

Cet exemple montre le changement de Mach pour un écoulement adiabatique avec frtion. Pour un écoulement subsonique à l’entrée d’un conduit, le nombre de Mach aumente quand le conduit devient plus long. Le contraire sera le cas si l’écoulement est personique à l’entrée : Ma diminuera quand longueur de conduit augmente. La figure 9

IX-22



montre l’entropie spécifique du fluide comme une fonction du nombre de Mach conduit (donc sa longueur) pour l’écoulement subsonique et supersonique.

Fig. 9.7 Entropie comme fonction de Ma

On voit que quand la longueur de conduit est augmentée, le nombre de Mach ap-proche de l’unité. Si la condition sonique existe à la sortie de conduit, l’écoulementdevient étranglé. Fig. 9.7 montres aussi l’écoulement ne peut pas passer de subso-nique à supersonique ou vice – versa, pour la simple raison qu’on ne peut pas vio-ler la seconde loi de thermodynamique.

IX-23

Documents

ch9