Agnès DURRA-GRAS 1

Méthode du pivot de Gauss I Réduite de Gauss d’une matrice

1. Définition

Soit ( ),n pA M∈ K

Grâce à des opérations élémentaires effectuées sur les lignes et/ou les colonnes de A on

peut obtenir à partir de A des matrices de la forme ( )

* / / /

0 / /

0 *

0 0

−

⋱

⋮

⋯

ou

( )* 0 0

/ 0

/ / *

/ / | 0

⋯

⋱ ⋮

⋮ qu’on appelle réduites de Gauss de A

Les * représentent des réels non nuls appelés pivots de la réduite.

2. Méthode pour obtenir une réduite de Gauss d’une matrice

���� Réduite de GAUSS du type ( )

* / / /

0 / /

0 *

0 0

−

⋱

⋮

⋯

Par des échanges de lignes puis si nécessaire de colonnes on fait en sorte que le premier cœfficient de la première ligne soit un pivot. Grâce à lui on annule les premiers

cœfficients des autres lignes par 11 1 1i i iL a L a L← −

A partir de là on ne touche plus la première ligne. On recommence la méthode avec le deuxième coefficient de la deuxième ligne….

On arrête lorsqu’il n’est plus possible de mettre un pivot à la place du èmei coefficient

de la èmei ligne.

���� Réduite de GAUSS du type( )

* 0 0

/ 0

/ / *

/ / | 0

⋯

⋱ ⋮

⋮

Par des échanges de colonnes puis si nécessaire de lignes on fait en sorte que le premier cœfficient de la première colonne soit un pivot. Grâce à lui on annule les premiers

cœfficients des autres colonnes par 11 1 1i i iC a C a C← −

A partir de là on ne touche plus la première colonne. On recommence la méthode avec le deuxième coefficient de la deuxième colonne….

On arrête lorsqu’il n’est plus possible de mettre un pivot à la place du èmei coefficient

de la èmei colonne.

EXP 1

Agnès DURRA-GRAS 2

II Applications Dans la suite E et F sont des espaces vectoriels−K de dimensions finies respectives ,n p

1. Calcul du rang d’une matrice

Soit ( ),n pA M∈ K

Le rang de A est égal au nombre de pivots de toute réduite de Gauss de A

EXP 1

2. Détermination du rang d’une famille finie de vecteurs

Soit ( )1, , pu u= ⋯A une famille de vecteurs de E

On écrit la matrice de ( )1, , pu u= ⋯A dans une base de E et on détermine son rang

grâce à II.1

3. Compléter une famille libre de E en une base de E

Soit ( )1, , pu u= ⋯A une famille libre de vecteurs de E

On écrit la matrice de ( )1, , pu u= ⋯A dans une base de E

On en détermine une réduite de Gauss en travaillant sur les lignes. Cette réduite de Gauss à p pivots est ensuite complétée par n p− vecteurs de

( ),1nM K dans le but d’obtenir une réduite de Gauss à n pivots.

EXP 2

4. Détermination du rang d’une application linéaire de E dans F

Soient ( , )f L E F∈ et ( )1, , ne e= ⋯B une base de E

On écrit la matrice de f relativement à B et on détermine son rang grâce à II.1

5. Détermination d’une base de Im f et d’une base de Kerf

Soient ( , )f L E F∈ ( )1, , ne e= ⋯B une base de E et ( )A M f=B

On détermine une réduite de Gauss de A en travaillant sur les colonnes.

Cette réduite de Gauss est de la forme

( )

( ) ( ) ( ) ( )1 1 ... ...

* 0 0

/

/ / *

/ / / 0

/ / / /

/ / / / / 0

0

k k nf f f fε ε ε ε+

�����������⋯

⋱

⋮

⋱

Alors ( ) ( )( )1 , , kf fε ε⋯ est une base de Im f et ( )1, ,k nε ε+ ⋯ une base de Kerf

EXP 3

Agnès DURRA-GRAS 3

6. Caractérisation de l’inversibilité et calcul de l’inverse

Soit ( )nA M∈ K

���� Si A possède une réduite de Gauss à n pivots alors A est inversible et toutes ses réduites de Gauss possèdent n pivots.

���� Méthode pour déterminer 1A− si A est inversible : En effectuant des opérations élémentaires sur les lignes de A on parvient à transformer A en la matrice identité. Les mêmes opérations élémentaires effectuées dans le même

ordre sur les lignes de I transforme I en 1A−

1 1

2 1 2 1

12 1 2 1k k

A I

P A P

P P A P P

I P P P A P P P A−= =⋮ ⋮

⋯ ⋯

Où les , 1iP i k≤ ≤ sont des matrices (inversibles) de transposition, dilatation et

transvection.

EXP 4

7. Résolution des systèmes linéaires

a. Définitions

Soient ( )1, , ppa a ∈⋯ K et b∈K donnés.

•••• Une équation de la forme 1 1 p pa x a x b+ + =⋯ est une équation linéaire.

���� Les , 1ia i p≤ ≤ s’appellent les coefficients de l’équation

���� Les , 1ix i p≤ ≤ en sont les inconnues

���� b est le second membre de l’équation

•••• On appelle système linéaire à n équations et p inconnues un système composé de n

équations linéaires qui ont les mêmes p inconnues.

Un système linéaire ( )S est donc de la forme : ( )

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 2

p p

p p

n n np p n

a x a x a x b

a x a x a x bS

a x a x a x b

+ + + = + + + = + + + =

⋯

⋯

⋮

⋯

���� Les , 1 , 1ija i n j p≤ ≤ ≤ ≤ sont les coefficients du système.

���� Les , 1ix i p≤ ≤ sont les inconnues du système.

���� La matrice ( )11

i nijj p

A a ≤ ≤≤ ≤

= est la matrice associée au système.

Agnès DURRA-GRAS 4

���� La matrice colonne

1

n

b

b

⋮ est la matrice du second membre du système.

���� La matrice colonne

1

p

x

x

⋮ est la matrice des inconnues du système.

���� On appelle solution du système tout ( )1 , , ppp uplet c c− ∈⋯ K qui vérifie les n

équations.

���� ( )

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

0

1 2

0

0

0

p p

p p

n n np p

a x a x a x

a x a x a xS

a x a x a x

+ + + = + + + = + + + =

⋯

⋯

⋮

⋯

est le système homogène associé à ( )S

( )0S admet toujours le ( ) 0, ,0p uplet− ⋯ comme solution.

���� On appelle rang de ( )S le rang de sa matrice associé ( )11

i nijj p

A a ≤ ≤≤ ≤

=

b. Interprétation vectorielle et matricielle d’un système EXP 5 ( )3S

On reprend les notations de la définition.

���� Interprétation matricielle : ( )S AX B⇔ = où

1

p

x

X

x

=

⋮ et

1

n

b

B

b

=

⋮

���� Interprétation vectorielle :

Soient f l’application linéaire canoniquement associée à A , ( )1, , px x x= ⋯ et

( )1, , nb b b= ⋯

AX B= est l’écriture matricielle de ( )f x b= ce qui signifie que ( )S admet des

solutions si et seulement si Imb f∈

Si les p uplets− α et β de pK sont solutions de ( )S alors α et β vérifient

( )f bα = et ( )f bβ = . On en déduit que Kerfα β− ∈

Donc si ( )S admet des solutions l’ensemble des solutions de ( )S est de la forme

Kerfα + où α est une solution particulière de ( )S

NB :

On remarquera que si { }0Kerf = ie si f est bijective ou si A est inversible alors

( )S admet une unique solution.

Agnès DURRA-GRAS 5

c. Systèmes de Cramer

En reprenant les notations précédentes ( )S est un système de Cramer si A est inversible.

Il admet donc une unique solution : le p uplets− de pK dont la matrice relativement à la

base canonique de pK est 1A B−

d. Systèmes équivalents Deux systèmes sont dits équivalents s’ils possèdent le même ensemble de solutions.

e. Systèmes échelonnés

���� Définition : C’est un système dont la matrice associée est une réduite de Gauss.

���� Proposition : Tout système est équivalent à un système échelonné.

���� Méthode pour obtenir un système échelonné équivalent EXP 5 ( )1S

Soient ( )S un système linéaire de matrice associée A de matrice des inconnues X et

de matrice de second membre B Soient 'A une réduite de Gauss de A

'B la matrice obtenue à partir de B en effectuant sur ses lignes dans le même ordre les opérations élémentaires sur les lignes qui ont permis de transformer A en 'A

Alors le système linéaire ( )'S de matrice associée 'A de matrice des inconnues 'X et

de matrice de second membre 'B est équivalent à ( )S

NB : ���� Cette proposition nous permet de ramener la résolution des systèmes linéaires à

celle des systèmes linéaires échelonnés.

���� Résolution des systèmes linéaires échelonnés EXP 5

Soient ( )'S un système linéaire échelonné de matrice associée 'A de matrice des

inconnues 'X et de matrice de second membre 'B

���� 1° cas :

( )

* / /

' /

*0

A

=

⋱ 'A est carrée.

'A est inversible donc ( )'S est un système de Cramer. ( )1S

Agnès DURRA-GRAS 6

���� 2° cas :

( )

* / / /

' / /

*0

A

= −

⋱ avec r pivots r n et r p= <

( )

11 1 12 2 1 1 1 1 1 1

22 2 2 2 2 1 1 2

1 1

'

r r r r p p

r r r r p p

rr r r rr r rp p

a x a x a x b a x a x

a x a x b a x a xS

a x b a x a x

+ +

+ +

+ +

+ + + = − − − + + = − − −⇔ = − − −

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋱

⋯

admet une infinité de

solutions.

1, , rx x⋯ (inconnues principales) sont définies en fonction de 1, ,r px x+ ⋯ (inconnues

auxiliaires) qui décrivent chacune ℝ ( )2S

���� 3° cas : ( )

* / /

/'

*0A

=

⋱ avec r pivots r p et r n= <

Il y a une condition de compatibilité par rapport à la matrice du second membre :

•••• 1' ' 0r nb b+ = = =⋯ ( )

11 1 12 2 1 1

22 2 2 2

'

0 0

0 0

r r

r r

rr r r

a x a x a x b

a x a x b

S a x b

+ + + =

+ + =

⇔ =

=

=

⋯

⋯

⋱

⋮

a une unique solution ( )3S

•••• L’un des ' , 1ib r i n+ ≤ ≤ est non nul le système est dit incompatible : il n’admet pas

de solution ( )3'S

Agnès DURRA-GRAS 7

���� 4° cas :

( )

* / / /

/ /

*'

0A

−=

⋱

avec r pivots r p et r n< <

Il y a une condition de compatibilité par rapport à la matrice du second membre :

•••• 1' ' 0r nb b+ = = =⋯ ( )

11 1 12 2 1 1 1 1 1 1

22 2 2 2 2 1 1 2

1 1

0 0

0 0

'

r r r r p p

r r r r p p

rr r r rr r rp p

a x a x a x b a x a x

a x a x b a x a x

a x b a x a xS

+ +

+ +

+ +

+ + + = − − −

+ + = − − −

= − − −

=

=

⇔

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋱

⋯

⋮

admet une infinité de solutions.

1, , rx x⋯ (inconnues principales) sont définies en fonction de 1, ,r px x+ ⋯ (inconnues

auxiliaires) qui décrivent chacune ℝ ( )4S

•••• Si l’un des ' , 1ib r i n+ ≤ ≤ est non nul le système est dit incompatible : il n’admet pas

de solution ( )4'S