CHAP 3 Martin Gariepy 2013 v2

Martin Garipy MEC3200 Transmission de chaleur Chapitre 3 p.1

CHAPITRE 3 Conduction Unidimensionnelle


Hypothses en conduction axiale 1) La chaleur se propage principalement le long de laxe x 2) Nous supposons un rgime permanent;

3) La conductivit thermique est constante;

4) Il ny a pas de terme source;

Lquation de diffusion de la chaleur se rsume :

La distribution de temprature est :

Le TDC est:

Section 3.1, Conduction axiale

2

2(3.1) 0

d T

dx

2 1 1(3.3) T(x)=(T )x

T TL

1 2( )(3.4) T TdT

q kALdx

kA

T1

T2

L


Chapitre 3, conduction axiale

Analogie entre la rsistance lectrique et thermique

La rsistance sexprime en K/W ou C/W si on calcul un TDC et en m2K/W ou m2C/W si on calcul un flux

Le transfert de chaleur peut donc tre vu comme un coulement dnergie qui est ralenti par une rsistance gomtrique

versus cond lectriqueL L

R RkA A

'' condL

Rk

T1

T2

L


Exemple: la fentre vitrage simple

Lame de verre

Intrieur

T = 23C

Extrieur

T = -20C

L=6mm conductivit

thermique

k=1.4 Watt/mK

Exemple

A = 1m2

1 2( ) 10033 WattsT T

qL

kA

Est-ce raliste ?


Exemple: la fentre vitrage simple

Lame de verre

Intrieur

T = 23C,

h = 10W/m2K Extrieur

T = -20C

h = 20W/m2K

Convection Convection

Exemple


Chapitre 3, conduction axiale

Rsistance en srie Rsistance en parallle:

1

1 2

1 2 1 2

1 1eq

R RR

R R R R


Les mdias poreux

Les mdias poreux

Pour un mdia poreux, il est possible de dfinir une conductivit thermique

quivalente par:

1

1eff

s f

k

k k


Conduction Axiale - exemple

Exemple 3.2

Une puce en silicone est fixe par une couche depoxy de 0.02 mm dpaisseur un substrat de 8 mm dpaisseur. La puce et le substrat (profondeur de 10mm), sont refroidis avec de lair 25C, le coefficient de convection est alors estim 100 W/m2K. Si la puce dissipe 104 W/m2, est-ce quelle opre sous la temprature

maximale fixe par le fabriquant de 85C ? La rsistance au travers de lexpoxy peut-tre approxime par R= 0.9x10-4 Km2/W


Conduction radiale en coordonnes cylindriques

Hypothses en conduction radiale (coor. cyl.) 1) La chaleur se propage principalement dans la direction radiale

2) Nous supposons un rgime permanent;


4) Il ny a pas de terme source; 5) Le cylindre est creux (r > 0)



Le TDC est:

,1 ,2

22 2

1

(3.31) ( ) ln

ln

s s

s

T T rT r T

r rr

(3.28) 0k d dT

rr dr dr

1 2

2

1

(3.32)

ln

2

s sr

T Tq

rr

kL


Conduction radiale en coordonnes cylindriques


Rayon critique

T , h

k

r

ri

Isolant

thermique

Ts,1

Ts,2

Isolant Soit un tuyau auquel on ajoute une couche disolant dpaisseur t=( r r1)

Ajouter de lisolant augmente la rsistance conductive mais diminue la rsistance convective: Existe-t-il une paisseur optimale disolant?

1ln / 1' ( )

2 2tot

r rR r

k rh


Rtot

Rcond Rconv

rayon

R

sis

tance

Point dinflexion

Rayon critique

Le rayon critique

-Le rayon critique rc correspond au minimum de la fonction Rtot(r) - Pour un cylindre, rc = k/h

- Lpaisseur est donne par: t = 2(rc r1)


Conduction radiale en coordonnes sphriques

Hypothses en conduction radiale (coor. sph.) 1) La chaleur se propage principalement dans la direction radiale



4) Il ny a pas de terme source; 5) Le sphre est creuse (r > 0)



Le TDC est:

1,1 ,1 21 2

1 /( )

1 /s s s

r rT r T T T

r r

1 2

1 2

(3.40) 1 1 1

4

s sr

T Tq

k r r

2

2

1(2.29) 0

d dTkr

r dr dr


Rsum Conduction 1D

Remarquez la dpendance du flux r pour le cylindre et la sphre, il nest donc pas constant!


Exemple

Une sphre contenant de lazote liquide est insre dans un coulement dair une temprature de 300 K. Le coefficient de convection de lcoulement est estim 20 W/m2*K. Le diamtre interne de la sphre est de 0.5 m lpaisseur de lisolant, de conductivit thermique k = 0.0017 W/m*k, est de 25 mm. Si la

temprature de lazote est de 77 K

a) Dterminez le transfert de chaleur de lcoulement la sphre en Watts;

b) Calculez la temprature de la surface de la sphre.

Exemple


Sources de chaleur volumtriques

Dans cette section, on se penche sur le cas o il y a gnration

dnergie thermique lintrieur du mdium, cette gnration provenant dune conversion dnergie dune autre forme telle que:

1) lectrique: cause par le passage dun courant lectrique au travers dune rsistance;

2) Nuclaire: ractions chimiques, dclration ou absorption

de neutrons etc;

3) lectromagntique: absorption de rayon gamma

lintrieur du mdium

4) Etc

Gnration de chaleur


Une source peut galement absorbe de la chaleur (ngatif) comme par exemple dans le cas dune raction endothermique

On ne peut inclure une source dans un circuit thermique autrement quen linsrant comme un flux. Nous verrons un exemple un peu plus loin.


Gnration de chaleur


Hypothses en conduction axiale avec gnration de chaleur 1) La chaleur se propage principalement le long de laxe x 2) Nous supposons un rgime permanent;




Le TDC est:

2

2(3.44) 0

d T q

dx k

2 2

2 1 1 2

2

qL(3.46) T(x)= 1

2k 2 2

T T T Tx x

L L

(3.53) sqL h T T



Exemple 3.7

Un mur plan est compos de deux matriaux A et B. Le mur A contient une

source de chaleur de 1.5x106 W/m3, une conductivit thermique kA = 75

W/mK et une paisseur de LA = 50mm. Le mur B a une conductivit

thermique kB = 150 W/mK et une paisseur LB = 20 mm. Le ct droit du

mur A est bien isol tandis que le ct gauche du mur B est soumis un

coulement deau 30C avec un coefficient de convection estim 1000 W/m2K. On vous demande de dterminez la temprature de la surface isole et la temprature de la surface refroidie.

Exemple 3.7

LA LB

h, T


Hypothses en conduction radiale avec gnration

de chaleur coord. Cyl. 1) La chaleur se propage principalement le long du

rayon




La distribution de temprature pour un cylindre plein:

Si le cylindre plein est dans un coulement, alors:

Autres cas 1D avec source volumtrique

1(3.54) 0

d dTkr q

r dr dr

2 2

0

2

0

(3.58) ( ) 14

s

qr rT r T

k r

0(3.60) 2

s

qrT T

h


Autres cas 1D avec source volumtrique

Cylindre creux

sphre creuse


TD Problme 3.10

Le facteur olien que lon ressent les journes froides et venteuses dhiver, est reli laugmentation du taux de transfert de chaleur du corps humain expos lair ambiant. Considrez un tissu humain de 3 mm dpaisseur et dont la surface intrieure (du tissu) est maintenue 36C. Lors dune journe calme, le coefficient de convection est estim

25 W/m2K mais avec des vents de 30 Km/h, il atteint 65 W/m2K. Dans les deux

cas, on considre que la temprature extrieure est de -15C.

1. Quel est le ratio de chaleur perdue par unit daire de la peau pour une journe calme par rapport la chaleur perdue pour une journe venteuse?

2. Quelle sera la temprature de la peau pour la journe calme? Pour la journe

venteuse?

3. Quelle doit tre la temprature de lair ambiant lors dune journe calme pour que la perte de chaleur soit quivalente celle dune journe venteuse -15C

TD 3.10


Soit un mur tel que dcrit sur la figure ci-dessous, trouvez la

rsistance thermique total sachant quil y a dix traverses comme celle-ci. (Le mur une profondeur de 2.5 mtres).

TD Problme 3.15

Ka = 0.094 W/mK

Kb = 0.16 W/mK

Kc = 0.17 W/mK

Kd = 0.038 W/mK

1

TD 3.15


TD Problme 3.53 (6ime dition)

TD 3.53 (6ime dition)

Un revtement de baklite recouvre une tige conductrice de 10 mm de diamtre

et dune longueur de 1m dont la surface est maintenue 200C par le passage dun courant lectrique. La tige se trouve dans un fluide 25C et dont le coefficient de convection est estim 140 W/m2K.

1. Quel est le rayon critique associ ce revtement?

2. Quel est le transfert de chaleur pour la tige avec un revtement de

baklite qui correspond au rayon critique et le transfert de chaleur sil ny a aucun revtement?

3. Combien dpaisseur de baklite doit-on applique sur la tige pour rduire le taux de transfert de chaleur de 25% ?


TD Problme 3.98

Une tige doxide duranium de 6 mm de rayon (kf = 2 W/mK) est muni dun revtement de 3 mm dpaisseur (kc = 25 W/mK). Le processus de dsintgration de luranium gnre un flux volumtrique de 2x108 W/m3. Un liquide caloporteur rcupre alors la chaleur. Le coefficient

de convection est estim 2000 W/m2K et sa temprature 23C. Estimez la temprature maximale de la tige et la temprature de la

surface du revtement.

TD 3.98


Les ailettes

Processeur

Aluminium

Surfaces tendues

Comment diminuer la temprature du processeur?

1. Diminuer T

2. Augmenter h 3. Augmenter Ae


Les ailettes

Configuration gomtrique dailettes


Les ailettes

changeurs de chaleur munis dailettes (Chap. 11)


Lquation diffrentielle des ailettes

2

2

1(3.66) ( ) ( ( ) ) 0c s

c c

dA dAd T dT hT x T

dx A dx dx kA dx

Surfaces tendues

Lquation suivante reprsente le principe de conservation dnergie:


Si laire de passage est constante:

En substituant par

On obtient lquation diffrentielle dordre deux:

Les ailettes

2

2

1(3.66) ( ) ( ( ) ) 0c s

c c

dA dAd T dT hT x T

dx A dx dx kA dx

22

2(3.69) 0

dm

dx

2

( ) ( )

c

x T x T

hPm

kA

Surfaces tendues daire de passage constante


Les ailettes

Il faut deux conditions spatiales pour rsoudre cette

quation:

1) x=0, on utilise une condition de Dirichlet

2) x=L, on utilise une des 4 conditions suivantes:

i. Convection (Neumann)

ii. Adiabatique (Neumann, cas particulier)

iii. Dirichlet

iv. La longueur tends vers linfini (Neumann, cas particulier


22

2(3.69) 0

dm

dx


Les ailettes


Dans le cas dune ailette aire de section de passage constante, il est donc possible de trouver la distribution de temprature et le TDC total se

dissipant dans lailette en fonction de la condition impose x=L:


Exemple problme No. 3.126

Une ailette de turbine est soude aprs le rotor dune turbine gaz. Cette ailette est expose un coulement de gaz T = 1200 C et dont le coefficient de

convection est estim h = 250 W/m2K. Les ailettes, fabriques en Inconel (k =

20 W/mK) ont une hauteur de 50mm. Le profil a une section constante de

6x10-4 m2 et un primtre de 110 mm. Un systme de refroidissement interne

permet de maintenir la base de lailette 300 C. 1. Si la temprature maximale de lailette est de 1050 C et que lextrmit

de lailette peut tre considr adiabatique, est-ce que le systme de refroidissement est efficace?

2. Quel est le transfert de chaleur entre lailette et son environnement?

Problme 3.126


Exemple 3.9

Une trs longue tige de 5 mm de diamtre a une extrmit

maintenue une temprature de 100 C. La surface de la tige

est expos lair ambiant 25 C et le coefficient de convection peut tre estim 100 W/m2K.

1. Dterminez la distribution de temprature dans la tige si

celle-ci est en cuivre (k = 398W/mK).

2. Estimez quelle longueur doit avoir la tige pour que celle-

ci puisse tre considre comme infiniment longue.

Exemple 3.9


Reprenons lquation dnergie:

Pour une ailette de section de passage non-constante, la rsolution de cette quation est complexe

titre dexemple, la solution analytique pour une ailette circulaire est:

Il faut trouver un autre moyen de calculer la distribution de temprature et le TDC

Lefficacit des ailettes

Ailettes de section de passage non-constante

2

2

1(3.66) ( ) ( ( ) ) 0c s

c c

dA dAd T dT hT x T

dx A dx dx kA dx

0 1 2 0 1 2

0 1 1 2 0 1 1 2

1 2 1 1 1 2 1 11

1 2 0 1 0 1 1 2

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2

( ) ( ) ( ) ( )

b

f b

I mr K mr K mr I mrr

I mr K mr K mr I mr

I mr K mr K mr I mrq krt m

I mr K mr I mr K mr



T , h Tb

T

Tb

x L

T(x

)

Lefficacit dune ailette exprime le rapport entre le TDC maximal (non-

physique) et le TDC rel:

Il est possible de retrouver une

quation analytique pour lefficacit. titre dexemple, lefficacit daire de passage constante avec q=0 x=L

est:

f

max

(3.91) ( )

finreel

f b

qq

q hA T T

f

tanh( ) tanh( )(3.92)

b

M mL mL

hPL mL



Efficacit des ailettes 2D



Efficacit des ailettes circulaires



Efficacit des ailettes

Attention, si lextrmit de lailette est soumise la convection, alors prendre Lc = L, si le bout est adiabatique, prendre la dfinition de Lc.


Exemple probblme No. 3.134

Comparez lefficacit et le TDC dune ailette rectangulaire versus une ailette triangulaire de mmes paramtres gomtriques et de

mme conductivits thermiques. Chacune de deux ailettes a une

base de 3mm, une longueur de 15 mm et une conductivit

thermique de k = 185 W/mK. La temprature de la base est de

100C et celle de lcoulement est de 20C. Le coefficient de convection est estim 50 W/m2K.

Problme 3.134


Les systmes dailettes

Rendement dun systme dailettes

0max

(3.107) 1 1( )

fin base ftotalf

t b t

Nq q NAq

q hA T T A

Lefficacit du systme est donne par

2 circuits thermiques

possibles


Problme 3.144

Une puce en silicone de 20 mm x 20 mm est soude un systme dailettes en aluminium (k = 180 W/mK). Lpaisseur de la base est de 3 mm et chaque ailette rectangulaire une longueur de 15 mm. De lair circule entre les ailettes une temprature de 20C. Le coefficient de convection est estim 100 W/m2K. Il y a 6 ailettes de 1 mm dpaisseur et lespace entre chaque ailette est de 2.8 mm. En considrant une rsistance de contact de 2x10-6 m2K/W et

que le bout de chaque ailette peut tre considr adiabatique, calculez

Exemple problme No. 3.144

la puissance maximale en Watts

pouvant alimenter le systme si la

temprature maximale linterface entre la puce et le systme ne doit pas

dpasser 85C.


Des tuyaux de cuivre sont souds une plaque absorbante. Cette plaque

est faite daluminium 2024-T6, est de 6 mm dpaisseur et est isole du cot non expos lirradiation solaire. Chaque tuyau est espac dune distance de 0.20 m centre centre et de leau circule lintrieur pour collecter lnergie. Cette eau peut tre considre temprature constante et uniforme de 60 C. Sous un rgime permanent pour lequel le flux de

chaleur net solaire est de 800 W/m2, quelle est la temprature maximale de

la plaque et quel est le taux de transfert de chaleur par unit de longueur?

Vous pouvez supposer que la temprature de la plaque directement sur le

tuyau est de 60 C.

TD Problme 3.108

TD 3.108


TD Problme 3.124

Une trs longue tige de 5 mm de diamtre et dune conductivit thermique de 25 W/mK est sujette un procd de surchauffe.

Une partie de 30 mm du centre de la tige est sujette une

gnration de chaleur de 7.5x106 W/m3. Les parties gauches et

droites du centre sont soumises de la convection avec lair une temprature de 20 C et un coefficient estim 10 W/m2K.

1. Calculez la temprature de la tige une extrmit de la zone

surchauffe.

2. Calculez la temprature au centre de la zone surchauffe.

TD 3.124


TD Problme 3.160

Les cylindres (k = 50 W/mK) dune chambre combustion de moto sont refroidis par un systme dailettes en aluminium de forme annulaires (k = 240 W/mK). Lcoulement dair est 320 K avec un coefficient de convection estim 100 W/m2K. On assume un flux de

chaleur constant sur la surface interne du cylindre de 105 watts/m2.

Dterminez la temprature de la base; Dterminez la temprature du cylindre de la moto sil ny a pas de systme dailettes.

TD 3.160

Documents

CHAP 3 Martin Gariepy 2013 v2