Chap1- Arithmétique et fractions

Chap 1: Arithmétique et fractions

Rappel: La division euclidienne

Exercice 1: 1- Poser les divisions euclidiennes suivantes, puis écrire le résultat en lignea) 57 par 2 b) 376 par 16 c) 210 par 14

2- Compléter le tableau suivant:

Division euclidienne dividende diviseur quotient restede 57 par 2

de 376 par 16

de 210 par 14

Exercice 2: Pour chaque égalité préciser le dividende, le diviseur, le quotient et le reste.71 = 9 x 7 + 8; 100 = 50 x 2 ; 24 212 = 456 x 52 + 500 ; 3 741 = 73 x 51 + 18

Remarque: le reste doit toujours être plus petit que le diviseur Que peut-on dire par rapport à ce tableau?

Exercice 3:Elsa a effectué sur sa calculatrice la division de 237 par 36 et a obtenu : 6.5833331- Quel est le quotient entier de la division de 237 par 36?

2- Comment Elsa va-t-elle obtenir le reste de cette division?

3- Traduire cette division par une égalité?

égalité dividende diviseur quotient reste71 = 9 x 7 + 8

100 = 50 x 2

24 212 = 456 x 52 + 500

3 741 = 73 x 51 + 18

Exercice 4: Compléter le tableau suivant:

Exercice 5: Compléter le tableau suivant:

Division euclidienne dividende diviseur quotient restede ………….. par ………… 17 23 8de ………….. par ………… 542 19 10de ………….. par ………… 4 913 196

L’entiera pour diviseur

2 3 5 9134

741

618

450

225

935

651

3 456

Chap 1: Arithmétique et fractions

I- Divisibilité

Un nombre entier est divisible :- par 2, si son chiffre des unités est pair,- par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5,- par 10, si son chiffre des unités est 0,- par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3,- par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Exemples :1) 40 est divisible par 2, 5, 10.2) 2 346 est divisible par 3 ( 2+3+4+6=15 dans la table de 3)3) 576 est divisible par 3 et par 9 ( 5+7+6=18 dans la table de 3 et de 9)

I- Divisibilité

Ex 11p16: Par quel chiffre faut-il compléter le nombre 25 pour qu’il soit divisible:a) par 9 ?

b) par 5 ?

Ex 8p16: Dans la liste suivante, trouver le nombre qui n’est divisible ni par2, ni par 3, ni par 5, ni par 7, ni par 9.

112 ; 213 ; 623 ; 2 761 ; 1 278 ; 535

Ex 21p17: Trouver tous les diviseurs des nombres suivants8 ; 12 ; 21 ; 26 .

II – Nombres premiers

Un nombre premier est un nombre entier qui possède exactement deux diviseursqui sont 1 et lui-même.

Exemples: • 4 = 2 x 2

donc ce n’est pas un nombre premier

• 7 est divisible seulement par 1 et par 7;c’est un nombre premier.

II – Nombres premiers

Ex 28p17: Parmi les nombres suivants, lesquels sont des nombres premiers? 13 ; 18 ; 81 ; 89

Exercice: Trouver tous les nombres premiers inférieurs à 30?

III – Plus Grand Commun Diviseur (PGCD):

Exercice: a) Trouver tous les diviseurs de 45.

b) Trouver tous les diviseurs de 36.

c) Donner tous les diviseurs communs de 45 et de 36.

d) Quel est le plus grand diviseur commun de 45 et de 36?On l’appelle le PGCD de 45 et de 36

Exercice: a) Trouver tous les diviseurs de 75.

b) Trouver tous les diviseurs de 40.

c) Quel est le PGCD de 75 et de 40?

III – Plus Grand Commun Diviseur (PGCD):

• Un diviseur commun a 2 nombres entiers est un nombre entier qui les divisetous les deux

Exemple: Tous les diviseurs de 20 sont: 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20Tous les diviseurs de 30 sont: 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30Les diviseurs communs à 20 et à 30 sont 1 ; 2 ; 5 ; 10

• Le PGCD est le Plus Grand Diviseur Commun

Exemple: Le plus grand diviseur commun à 20 et à 30 est 10.On note PGCD(20;30) = 10

Ex 34p18: Dans chacun des cas suivants, écrire tous les diviseurs communs aux nombres donnés et déterminer leur PGCD

a) 10 et 35 b) 75 et 100 c) 84; 63 et 42

Ex 35p18: Donner le PGCD des nombres suivants

a) 12 et 14.

b) 30 et 40.

c) 4 et 16.

d) 72 et 81.

e) 11 et 5.

f) 30 et 15.

Méthodes de calcul de PGCD:

Algorithme des soustractions successives :Déterminons PGCD(252;144) :- on soustraie le plus grand par le plus petit :

252 – 144 = 108- on soustraie les plus petits entre eux :

144 – 108 = 36- on soustraie les plus petits entre eux :

108 – 36 = 72- on soustraie les plus petits entre eux :

72 – 36 = 36- on soustraie les plus petits entre eux :

36 – 36 = 0- la différence est nulle, on arrête.

PGCD(252,144) = 36

Algorithme des soustractions successives :Ex1p14 Déterminer PGCD(50;75)= PGCD(159;106)Ex: Déterminer PGCD(159;144).

Ex: Déterminer PGCD(159;144).

159-144 = 15144 - 15 = 129129 - 15 = 114114 - 15 = 99 99 - 15 = 84 84 - 15 = 69 69 - 15 = 54 54 - 15 = 39 39 - 15 = 24 24 - 15 = 9 15 - 9 = 6 9 - 6 = 3 6 - 3 = 3 3 - 3 = 0

144 = 9x15 + 9

Algorithme d’Euclide : Déterminons PGCD(494;143) :- on divise le plus grand par le plus petit :

- on divise le diviseur précédent par le reste précédent :

- on divise le diviseur précédent par le reste précédent :

- le reste est nul, on arrête; le PGCD est le dernier diviseur.PGCD(494,143) = 13

Algorithme d’Euclide : Ex2p14 Déterminer les PGCD de :

a) 276 et 368. b) 602 et 3 870.

494 65

1433

143 13

65

2

65 0

13

5

Ex 38p18: Calculer le PGCD des nombres suivants en utilisant l’algorithme des soustractions successives.

a) 111 et 74 b) 522 et 348

Remarque: Simplifier au maximum les fractions suivantes:111 348 74 522

Ex 39p18: Calculer le PGCD des nombres suivants en utilisant l’algorithme d’Euclide.a) 357 et 294 b) 1 360 et 345

Remarque: Simplifier au maximum les fractions suivantes:294 345357 1360

Evaluation 1: A savoir

1) Divisibilité (par 2; 3; 5; 9; 10)2) Trouver tous les diviseurs3) Nombres premiers4) PGCD5) Les 2 algorithmes6) Simplifier une fraction avec le PGCD

IV – Fractions irréductibles

• Une fraction irréductible est une fraction simplifiée au maximum.

• Pour simplifier au maximum une fraction, il faut la simplifier par le PGCD dunumérateur et du dénominateur

Exemple: Rendre irréductible la fraction 5472

PGCD (54; 72) = 18 Donc on doit simplifier la fraction par 18

le.irréductib est 43

4372

54÷ 18

÷ 18

IV – Fractions irréductibles

Ex 61p20: On donne le programme de calcul suivant:

a) Faire fonctionner ce programme avec:1- A= 5 148 et B= 1 3862- A= 430 et B= 473

b) On choisit A= 284 et on souhaite obtenir 4/3 comme résultat. Quelle valeur choisir pour B?

• Choisir deux entiers A et B.• Calculer leur PGCD.• Rendre irréductible la fraction

A/B.

V – Nombres premiers entre eux

Deux nombres entiers sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1.Leur PGCD est donc 1.

Exemple: 15 et 32 sont premiers entre eux ?les diviseurs de 15 sont: 1; 3; 5; 15les diviseurs de 32 sont: 1; 2; 4; 8; 16; 32PGCD(15;32)=1donc 15 et 32 sont premiers entre eux

V – Nombres premiers entre eux

Ex 72p22: Les nombres suivants sont-ils premiers entre eux? Justifier.

a) 81 et 72 b) 9 et 20 c) 327 et 256

Ex 50p19: Au Brevet 2004

a) Les nombres 682 et 352 sont-ils premiers entre eux? Justifier.

b) Calculer le PGCD de 682 et 352.

c) Rendre irréductible la fraction 682/352 en indiquant clairement la méthode utilisée.

Ex 49p19: Au Brevet 2003

a) Calculer le PGCD des nombres entiers 1 356 et 4 972.(Faire apparaître les calculs intermédiaires sur la copie)

b) Donner la forme irréductible de la fraction

Ex 51p19: Au Brevet 2004

Un fleuriste dispose de 126 iris et de 210 roses. Il veut, en utilisant toutes ses fleurs,réaliser des bouquets contenant tous le même nombre d’iris et le même nombre deroses . Justifier toutes les réponses aux questions ci-dessous.

a) 1- Le fleuriste peut-il réaliser 15 bouquets?2- Le fleuriste peut-il réaliser 14 bouquets?

b) 1- Quel nombre maximal de bouquets peut-il réaliser?2- Donner la composition de chacun d’eux.

49721356

Ex55p20: Au brevet 2005a) Montrer que le PGCD des nombres 372 et 775 est égal à 31b) Un chef d‘orchestre fait répéter 372 choristes hommes et 775 choristes femmes

pour un concert. Il veut faire des groupes de sorte que:- le nombre de choristes femmes soit le même dans chaque groupe- le nombre de choristes hommes soit le même dans chaque groupe- chaque choriste appartient à un groupe

1) Quel nombre maximal de groupe pourra-t-il faire?2) Combien y aura-t-il alors de choristes femmes et hommes dans chaque groupe?

Ex 53p19: Au brevet 2005

a) Calculer le pgcd de 135 et 210b) Dans une salle de bains on veut recouvrir le mur situé au dessus de la baignoireavec un nombre entier de carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de centimètres le plus grand possible.

1- Déterminer la longueur, en cm, du côté d’un carreau, sachant que le mur mesure 210cm de hauteur et 135cm de largeur.2- Combien faudra-t-il alors de carreaux ?

Ex 69p21: a) Déterminer par la méthode de votre choix le PGCD de 144 et 252.

b) Une association organise une compétition sportive, 144 filles et 252 garçons se sont inscrits.L’association désire repartir les inscrits en équipes mixtes. Le nombre de filles doit être le même dans chaque équipe. Le nombre de garçons doit être le même dans chaque équipe. Tous les inscrits doivent être dans une équipe.(1) Quel est le nombre maximal d’équipes que cette association peut former?(2) Quelle est alors la composition de chaque équipe?

Ex 93p24: Un parallélépipède rectangle de dimensions 60cm, 36cm et 24cm est rempli exactement par des cubes dont l’arête mesure un nombre entier de centimètres.

a) Quel peut être l’arête des cubes?b) Quel est, dans chaque cas, le nombre de cubes contenus dans la boîte?