Chap10 PP172 189 - Editions Didier...Des quadrilatères familiers Quelle semble être la nature précise de chacun des quadrilatères ci-dessous ? Un nouveau quadrilatère 1. a. Tracer

SPÉCIAL PROF

Ce QCM concerne des notions déjà vuesen 6e ou dans les chapitres précédents.

172

QCMChoisir la bonne réponse.

Parallélogramme10

AVANT DE DÉMARRER

Nommer un quadrilatère Quel nom ne convient pas pour désignerle quadrilatère ABCD ?a. CBAD b. ACBD c. DABC

Reconnaître les diagonalesDans le quadrilatère ci-dessus, les diagonales sont les segments :a. [AC] et [BD] b. [AB] et [AC] c. [AB] et [DC]

SymétriqueSur la figure ci-contre :a. N est le symétrique de P par rapport à Mb. M est le symétrique de P par rapport à Nc. M est le symétrique de N par rapport à P

Milieu commun[AB] et [CD] sont deux segments qui se coupent en leur milieu.Une figure qui représente la situation est :a. b. c.

Longueurs égalesSi les segments [KL] et [MN] ont le même milieu O, on est sûr que :a. KO � OL � MO � ON b. KL � MN c. KO � OL et MO � ON

5

D

AB

C

D

A

B

C

D

A B

C

4

3

2

1

A

D C

B

M N P

Description du parallélogramme Des quadrilatères familiers

Quelle semble être la nature précise de chacun des quadrilatères ci-dessous ?

Un nouveau quadrilatère1. a. Tracer à main levée 5 figures du même type que celles ci-dessous.b. Repasser en rouge les côtés qui semblent parallèles et marquer en vertles centres de symétrie.

2. « Un parallélogramme est un quadrilatère qui a un centre de symétrie »,affirme Marius. Indiquer à l’aide de la définition de Marius, celles des figuresci-dessus qui semblent être des parallélogrammes.

3. « Dans parallélogramme, on entend parallèle et on en déduitqu’un parallélogramme est un quadrilatère qui a les côtés opposés parallèles »,prétend Sophie. En utilisant la définition de Sophie, reprendre la question 2 .

4. Que constate-t-on en comparant les résultats obtenus aux deux questionsprécédentes ?

Associer un nom à une forme1. Prendre deux bandes de papier à bords parallèles et les superposer pour queleur intersection soit un quadrilatère qui ne soit pas un rectangle.

2. Schématiser la situation sur le cahier et colorier en bleu le quadrilatèrequi correspond à l’intersection des deux règles.Quelle est la nature de ce quadrilatère ?

3

1

2

3

45

2

1 2 3 4

1

Chapitre 10 • Parallélogramme • 173

Activités

SPÉCIAL PROFObjectif : reconnaîtredes quadrilatères déjàétudiés dans lesclasses antérieures etsavoir les nommer.

SPÉCIAL PROFObjectif : aborder dedeux manières la notionde parallélogramme.

SPÉCIAL PROFObjectif : obtenir ex-périmentalement unp a r a l l é l o g r a m m egrâce à l’intersectionde deux bandes àbords parallèles.

174

Propriétés du parallélogramme Observer puis démontrer

A.Approche globaleQue représente le point O pour le quadrilatère ci-dessous ? Quelle est la natureexacte du quadrilatère ABCD ?

B. Émettre des conjectures1. Sur la figure précédente, à l’aide de la règle, du compas et du rapporteur,constater le plus possible d’égalités de longueurs et d’angles.Quelles droites semblent parallèles ?

2. a. Tous les élèves de la classe peuvent-ils faire les mêmes constatations ?b. Quelles propriétés semble posséder un parallélogramme ?

C. JustifierPour chacune des observations faites à la partie B, citer la propriété du courssur la symétrie centrale qui permet de la justifier.

Reconnaître un parallélogramme Par ses côtés opposés

On a demandé à 3 élèves de disposer 2 crayons rouges identiques et 2 crayonsbleus identiques pour représenter les côtés d’un parallélogramme.Voici les dispositions proposées :

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

1. Que peut-on dire des côtés opposés des quadrilatères qui correspondentà la consigne ?

2. Recopier et compléter de deux manières différentes :Si un quadrilatère a ..., alors c’est un parallélogramme.

5

D C

A B

O

4

Activités

SPÉCIAL PROFObjectif : caractériserexpérimentalementun parallélogrammepar les propriétés deses côtés opposés.

Une de ces proprié-tés est utilisée dans laméthode 2 p. 178pour construire le 4e

sommet d’un parallé-logramme au compas.

SPÉCIAL PROFObjectif : observer,conjecturer, puis dé-montrer les propriétésd’un parallélogramme.

Pour faciliter les mani-pulations, on pourrafournir une photoco-pie de la figure.


Activités

Par ses diagonalesOn a demandé à 3 élèves de disposer 2 crayons rouges identiques et 2 crayonsbleus identiques pour représenter les diagonales d’un parallélogramme.Voici les dispositions proposées :

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

1. Que peut-on dire des diagonales du quadrilatère qui correspond à laconsigne ?

2. Tracer un parallélogramme par cette méthode.

3. Recopier et compléter :Si un quadrilatère a ..., alors c’est un parallélogramme.

Par deux côtés opposésLes crayons rouges identiques doivent représenter deux côtés opposésd’un parallélogramme.

Fig. 1 Fig. 2

1. Quelle figure correspond à la consigne ? Comment sont alors les droitesreprésentées par les deux crayons ?

2. En utilisant le quadrillage du cahier, dessiner deux segments qui sontdeux côtés opposés d’un parallélogramme.

3. Recopier et compléter :Si un quadrilatère a deux ... et ..., alors c’est un parallélogramme.

Construire un parallélogramme À partir de ses diagonales données

1. Construire un parallélogramme dont les diagonales [KL] et [MN]ont respectivement pour longueur 6 cm et 8 cm.

2. Nommer de deux façons différentes ce parallélogramme.

3. Tous les élèves de la classe obtiennent-ils des figures superposables ?

8

7

6SPÉCIAL PROFObjectif : caractériserexpérimentalementun parallélogrammepar ses diagonales.

SPÉCIAL PROFObjectif : caractériserexpérimentalementun parallélogrammepar les propriétés dedeux de ses côtésopposés.

SPÉCIAL PROFObjectif : constaterque la donnée deslongueurs des deuxdiagonales ne suffitpas à caractériser unparallélogramme.

• Dans un parallélogramme,les diagonales ont le même milieu.

• Dans un parallélogramme, les côtésopposés sont de même longueur.

• Si un quadrilatère est un parallélogramme alors il a un centre de symétrie.• Si un quadrilatère a un centre de symétrie alors c’est un parallélogramme.

• Un parallélogramme est un quadrilatère qui a un centre de symétrie.

176

Cours

Description du parallélogramme Définition

Exemple :

Propriétés

Propriétés du parallélogramme � exercices 6 à 12 pp. 180-181

Les propriétés ci-dessous se déduisent de celles de la symétrie centrale.

Propriétés

Données :ABCDest unparallélogramme.

Conclusion :[AC] et [BD] ont le même milieu.


Conclusion :(AB) // (DC) et (AD) // (BC) .

D

AB

C

• Dans un parallélogramme, les côtésopposés sont parallèles.

D

AB

C

O

2

ABCD est un parallélogramme,son centre de symétrie est O.D

AB

C

O

1


Conclusion :AB � DC et AD � BC .


Conclusion :ABC = CDA et BAD = DCB .

D

AB

C

• Dans un parallélogramme, les anglesopposés ont la même mesure.

D

AB

C

• Si un quadrilatère a les côtés opposés parallèles alors c’est un parallélogramme.

• Si un quadrilatère a les côtés opposés de même longueur alorsc’est un parallélogramme.

• Si un quadrilatère a deux côtés parallèles et de même longueur alorsc’est un parallélogramme.

• Si un quadrilatère a les diagonales de même milieu alors c’est un parallélogramme.


Cours

Reconnaître un parallélogramme � exercices 31 à 34 p. 183

Par ses diagonalesPropriété

Données :[AC] et [BD] ont le même milieu.

Conclusion :ABCD est un parallélogramme.

Par ses côtésPropriétés

Données :(AB) // (DC) et (AD) // (BC).


Données :AB � DC et AD � BC.


Données :(AB) // (DC) et AB � DC.


B

A

3SPÉCIAL PROFNous nous sommesvolontairement limitésau cas des quadrila-tères convexes nonaplatis par souci desimplification des pro-priétés énoncées.On peut éventuelle-ment le signaler auxélèves.

D

AB

C

O

D

A

B

C

D

AB

C

D

A

B

C

Construction à l’aide du compas ÉnoncéTrois points A, B et C sont donnés.Tracer le point D pour que ABCD soit un parallélogrammepuis tracer ce parallélogramme.

Solution

2

178

Étape 1Étape 2

Commentaires

v 1. On repère commentpasser de A à C en suivantle quadrillage.

v 2. On suit le même cheminpour passer de B à D.On trace ensuitele parallélogramme.

Construction sur quadrillage ÉnoncéPlacer D sur le quadrillagetel que ABDCsoit un parallélogramme.

Solution

1

Méthodes

� exercice 13 p. 181

B

A

C

B

A

C

B

D32

A

C

B

D3

32

2

A

C

Com

men

tair

es

B

A

C

Étape 1 Étape 3

� exercices 15 à 17 p. 181

v v v v

B

A

C

Étape 4

D

B

A

CB

A

C

1. On trace [AB] et [BC].On va utiliser la propriété :Si un quadrilatèrea les côtés opposésde même longueur alorsc’est un parallélogramme.

2. On reporteBC en traçantun arc de cerclede centre A etde rayon BC.

3. On reporteBA en traçantun arc de cerclede centre C etde rayon BA.

4. D est le pointd’intersectiondes deux arcs.On terminele tracé.

Étape 2

1. Les droites (AD) et (FE) semblent parallèles.

2. Dans un parallélogramme, les côtés opposéssont parallèles.ABCD est un parallélogramme donc (AD) // (BC).BCEF est un parallélogramme donc (BC) // (FE).Deux droites parallèles à une même droite sontparallèles.

(AD) // (BC) � donc on a (AD) // (FE) .et (BC) // (FE)


� exercices 35 et 36 pp. 183-184

� exercices 31 à 34, 37 à 39 pp. 183-184

À partir d’un parallélogramme ÉnoncéDans la figure ci-contre, ABCD et BCEFsont deux parallélogrammes.

1. Comment semblent les droites (AD) et (FE) ?

2. Pourquoi peut-on en être sûr ?

Solution

4

[AB] et [GH] sont deux diamètresde deux cercles de centre O, doncils ont le même milieu O.

Si un quadrilatère a les diagonalesde même milieu, alors c’estun parallélogramme.Donc AHBG est un parallélogramme.

Obtenir un parallélogramme ÉnoncéDans la figure ci-contre, O est le centredes cercles � et �’. [AB] est un diamètre de �et [GH] est un diamètre de �’.Prouver que AHBG est un parallélogramme.

Solution

3

Commentaires

v La figure suggère de faire intervenirles diagonales (donc leur milieu).On utilise la définition du diamètre.

v Parmi les règles qui permettentde reconnaître un parallélogramme,on choisit celle qui est adaptéeà la situation et on l’énonce.On conclut.

Commentaires

v On émet une conjecture.

v On cite la propriétédu parallélogrammequi est adaptéeà la situation.

v La conclusion doitrépondre à la questionposée.

D

A

B

F

EC

G

A

O

B

��’

H

Méthodes

Le quadrilatère représenté ci-dessous est-il unparallélogramme ? Pourquoi ?

Solution

NR � 4,7 cm et EA � 4,8 cm , le quadrilatèreNEAR a donc deux côtés opposés qui ne sontpas de même longueur.

Dans un parallélogramme, les côtés opposés sontde même longueur donc NEAR n’est pas unparallélogramme.

E

N

R

A

4,8 cm

4,7 cm

2,9 cm

2,9 cm

180

Exercicesj’applique

ABCE, AEGC etAKEC sont des parallélo-grammes. En s’aidantd’un dessin à main levée,indiquer la couleur de lazone dans laquelle setrouve chacun des pointsB, G et K.

Indiquer les figures qui semblent être des parallé-logrammes.

Citer tous les quadrilatères de sommet G quisemblent être des parallélogrammes.

1. Tracer un triangle quelconque ABC puisplacer M, N et P les milieux respectifs de [AB],[BC] et [AC]. Tracer le triangle MNP.

2. Citer tous les quadrilatères dessinés qui semblentêtre des parallélogrammes.

1. Tracer un quadrilatère quelconque ABCD,puis placer M, N, P et Q les milieux respectifs descôtés [AB], [BC], [CD] et [DA].

2. Tracer le quadrilatère MNPQ. Quelle semble êtresa nature ?

Dans les exercices 6 à 9, on considère le parallé-logramme GRAM ci-dessous.

On donne MA � 5 cm . Quel autre segment dela figure a pour longueur 5 cm ? Citer la propriété ducours qui permet de justifier la réponse.

On donne GO � 3 cm . Quel autre segment dela figure a pour longueur 3 cm ? Citer la propriété ducours qui permet de justifier la réponse.

On donne AMG � 100° . Quel autre angle duparallélogramme mesure 100° ? Citer la propriétédu cours qui permet de justifier la réponse.

1. Que peut-on affirmer pour les droites (MG)et (AR) ? Citer la propriété du cours utilisée.

2. Même question pour les segments [MR] et [GA].

Exercice résolu

9

8

7

6

M

A

R

G

O

Propriétés d’un parallélogramme

5

4

A

C

D

E

BF

G

H

I

3

12

34

5 67

2

1

Observer

SPÉCIAL PROF

On pourra faire les exercices 6 à 9 oralement. Il s’agit pour l’élèvede se familiariser avec les propriétés d’un parallélogramme.

A

E

C


Le quadrilatère RSTU représenté ci-dessous est-ilun parallélogramme ? Pourquoi ?

Le quadrilatère ANGL représenté ci-dessous est-il un parallélogramme ? Pourquoi ?

Le quadrilatère AEJN représenté ci-dessous est-il un parallélogramme ? Pourquoi ?

� Voir Méthode 1 p. 178

1. Reproduire sur quadrillage la figure suivante.

2. En s’aidant du quadrillage, construire le point Etel que ABEC soit un parallélogramme.

3. Même consigne pour que BCFA et AGBC soientdes parallélogrammes.

1. Reproduire sur quadrillage la figure suivante.

2. Placer les points P et Q pour que le point O soit lecentre de symétrie du parallélogramme MNPQ.


1. Reproduire une figure du même type quecelle ci-dessous.

2. Construire le parallélogramme EFGH en utilisantun compas.Tracer son centre de symétrie O.

1. Sur du papier sans quadrillage, placer troispoints R, S et T non alignés.

2. Avec la règle et l’équerre, construire le parallélo-gramme RSTU.

1. Placer trois points D, E et F non alignés.

2. Construire au compas le point G tel que DEFGsoit un parallélogramme.

3. Sur la même figure, construire au compas le pointH tel que EDFH soit un parallélogramme.

4. Vérifier que les points G, F et H sont alignés etque GF � FH . Que semble représenter le point Fpour le segment [GH] ?

1. Reproduire une figure du même type quecelle ci-dessous.

2. En utilisant uniquement le compas et la règle nongraduée, construire le parallélogramme GHJK decentre de symétrie O.

G

OK

18

17

16

G E

F

15

NM

O

14

B

A

C

13

Construire

A

NJ

E(d )

89°

12

A

109° 80°

111°80°

N

L G

11

3,6 cm3,7 cm

2 cm

2 cm

S

U

TI

R

10

Exercices

Astuce Commencez par repérer la zone ou se trouvele 4e sommet.

Astuce Commencez par faire un dessin à main levée.

182

Exercices

Construire en vraie grandeur le parallélo-gramme représenté ci-dessous.

1. Construire un parallélogramme ABCD tel que

AB � 6 cm , BC � 3,5 cm et AC � 8 cm .

2. Mesurer la longueur de la diagonale [BD] ainsique les angles de ce parallélogramme.

Les parallélogrammes ci-dessous ont été tracésà main levée. Les construire précisément à l’aide desinstruments de dessin (l’unité de longueur est le cm).

Dans chaque cas, reproduire la figure et tracerau compas seulement le point Dtel que ABCD soit un parallélo-gramme (l’unité de longueur estle cm).

a. b.

1. Tracer, en respectant les mesures indiquées,le parallélogramme ci-dessous dessiné à main levée.

2. Mesurer la longueur du côté [AM] ainsi que lesangles de ce parallélogramme.

Tracer, en respectant les mesures indiquées,le parallélogramme dessiné ci-dessous à main levée,

tel que AC � 10 cm , BD � 12 cm et AOD � 70° .

1. Tracer un parallélogramme CVBN tel que :

CV � 4 cm , CN � 6 cm et VCN � 105° .

2. Tracer un parallélogramme AZER tel que :

RE � 8 cm , ZE � 3 cm et RAZ �115° .

Construire un parallélogramme STAR de centre Ide mêmes dimensions que celui ci-dessous.

1. Faire une figuredu même type que celleci-contre.

2. a. En utilisant lecompas et la règle non graduée, construire les trois parallélogrammes quiadmettent A, B et C pour sommets.b. Nommer chacun des parallélogrammes.

Lise veut construire un parallélogramme ABCD

tel que AB � 3 cm , BC � 8 cm et AC � 12 cm .Laure dit que c’est impossible.Qui a raison et pourquoi ?

Tracer deux parallélogrammes non superpo-sables dont les côtés mesurent 4 cm et 7 cm.29

28

27

S

A

T

IR

26

25

D C

O

BA

24

M N

L

2,5 cm

5 cm

3,3 cm

IA

23

B 120°

3

5

A

C

B45°

4

3

A

C

22

AB

M

P

O

N4

280°

5

360°

CD

21

20

BS

AC

5 cm

4 cm

6 cm

19

Astuce Commencez par réaliser une figure codéeà main levée.




B

A

C


Construire précisément le parallélogramme ci-dessous dessiné à main levée.


1. Tracer une figure du même type que celleci-dessous dans laquelle I est le centre du cercle.Construire ensuite F le point d’intersection de ladroite (EI) avec le cercle.

2. a. Que représente I pour le segment [EF] ?Pourquoi ?b. Quelle est la nature du quadrilatère EBFA ?Justifier la réponse.

Dans la figure suivante, on donne :(AS) // (EF) .

1. Comment sont les droites (AE) et (SF) ?Justifier la réponse.

2. Quelle est la nature du quadrilatère ASFE ?Justifier la réponse.

Dans la figure suivante, les deux cercles decentres O et M ont le même rayon. Les droites (OE)et (FM) sont parallèles.

1. Construire une telle figure et tracer en rouge lequadrilatère OEMF.

2. Quelle est la nature du quadrilatère OEMF ?Justifier la réponse.

Dans la figure ci-dessous, ABCD est un paral-lélogramme.

1. Comment sont les droites (AD) et (BC) ?Justifier la réponse.

2. Quelle est la nature du quadrilatère AECF ?Justifier la réponse.


Dans la figure ci-dessous, ABCD et BFEC sontdes parallélogrammes.

1. Comparer les longueurs AD et BC en justifiant laréponse.

2. Comparer les longueurs BC et FE en justifiant laréponse.

3. Que peut-on en déduire pour AD et FE ?

D

A

BF

EC

35

Observer puis justifier

D

AB

C

F

E1,5 cm

1,5 cm

34

E O

F

M

33

E

A

S

F

(d )

32

E

A

I

B

31

Reconnaître un parallélogramme

P5 cm

I

C

A

8 cm 136°

30

Exercices

184

Exercices

Dans la figure ci-dessous, les points C, D et Msont alignés, ABCD et MPND sont deux parallélo-grammes.

1. Comment sont les droites (AB) et (DC) ? Justifierla réponse.

2. Démontrer que les droites (AB) et (NP) sont pa-rallèles.

1. Construire une figure comme celle ci-dessous dans laquelle ABCD est un parallélogrammede centre de symétrie I et où ATCR est un parallé-logramme.

2. a. Quelle est la position de I sur le segment [BD] ?Justifier la réponse.b. Même question pour [AC].

3. Quelle est la position de I sur le segment [RT] ?Justifier la réponse.

4. Quelle est la nature du quadrilatère DTBR ?Justifier la réponse.

1. Représenter deux droites (d1) et (d2) sécantesen un point O.Tracer deux cercles �1 et �2 de centre O.�1 coupe (d1) en A et en B, et �2 coupe (d2) en E eten F.

2. Démontrer que AEBF est un parallélogramme.

3. En justifiant les réponses, indiquer ce que l’on peuten déduire :a. pour les longueurs AE et BF ;b. pour les droites (AE) et (BF).

Dans la figure ci-dessous, ABCD est un parallé-logramme.

1. Quelle semble être la nature du quadrilatèreEBFD ?

2. a. Comment sont les droites (DE) et (BF) ?Justifier la réponse.b. Quelle est la nature du quadrilatère EBFD ?Justifier la réponse.

1. Construire un parallélogramme ABCD dontles diagonales se coupent au point O.

2. Remettre dans l’ordre la démonstration suivante :a. (BO) est donc la médiane de ABC issue de B.b. Donc AOD et ABO ont la même aire.c. Dans un parallélogramme, les diagonales ont lemême milieu.d. Donc O est le milieu de [AC] et aussi celui de [BD].e. Les diagonales partagent donc le parallélogrammeABCD en quatre triangles de même aire.f. Les quatre triangles ABO, OBC, AOD et ODCont donc la même aire.g. Donc AOD et ODC ont la même aire.h. Donc ABO et OBC ont la même aire.i. De même, (DO) est la médiane de ADC issuede D.j. De même, (AO) est la médiane de ABD issuede A.

3. Quelle propriété a-t-on démontrée ?

Dans la figureci-contre, S est lemilieu commun de[AC] et [RT], R estle milieu de [AB].

1. Prouver queATCR est un paral-lélogramme.

2. Que peut-on en déduire :a. pour les longueurs AR et TC ? Justifier. b. pour les droites (AR) et (TC) ? Justifier.

3. Que peut-on déduire des résultats précédents pourle quadrilatère RTCB ? Justifier.

41

40

AB

CD

E

F

39

38

D

AB

C

T

I

R

37

A

B

C

D

M

N

P

36

C T

A

S

RB

En observant cette figure :

on est sûr que :

A

F

2,1

cm 2,1

cm

2,7 cm

2,7 cm

2 cm

ED

BC

42

Sur la figure précédente,on est sûr que :

43

Si AFTH est un parallélogramme,alors :

44

Si EFTS est un parallélogramme,alors on est certain que :

45

MNPQ est un parallélogramme,et [MP] et [NQ] se coupent en I.

On est certain que :

46

Pour être sûr que ABCDsoit un parallélogramme,

il suffit de savoir que :

47

Pour être sûr que MNPQsoit un parallélogramme,

il suffit de savoir que :

48

Observer le codage de la figureci-dessous :

On est certain que :

I

T

R

N

X

O

49

Tracer un parallélogramme ABCDtel que AB � 5 cm , AD � 7 cm

et ABC � 50 ° . Alors :

50


Exercices

QCM POUR S’ÉVALUER

Choisir la (ou les) bonne(s) réponse(s).Pour vérifier les résultats et remédier aux erreurs, voir pages 268-269.Une figure faite à main levée ou avec les instruments de dessin est utile pour trouver les réponses.

a. ABFE est unparallélogramme

a. [BD] et [CE]ont le même milieu

b. [AE] et [BF] ontle même milieu

c. [AD] et [CF]ont le même milieu

a. (AF) // (HT) b. AF � HT c. AT � HF

a. FET � FTE b. EFT � EST c. FTS � TSE

a. MI � IP b. IQ � IN c. MP � NQ

a. AB � CD b. (AB) // (CD) c. AB � CD et(AB) // (CD)

a. [MN] et [PQ]ont le même milieu

b. [MP] et [NQ]ont le même milieu

c. MP � NQ

a. NIRO est unparallélogramme

b. NTRX est unparallélogramme

c. RNIO est unparallélogramme

a.5,2 cm < AC < 5,6 cm

b.10,7 cm < BD < 11,1 cm

c.44° < ACB < 48°

b. ABEF est unparallélogramme

c. BCDE est unparallélogramme

j’approfondis

Lire et comprendrePour chacune des phrases suivantes, dire si elle estvraie ou fausse.

1. On peut trouver deux côtés de même longueurdans un parallélogramme.

2. Si un quadrilatère a deux côtés de même longueur,alors c’est un parallélogramme.

3. Si un quadrilatère a deux angles de même mesure,alors c’est un parallélogramme.

4. Un quadrilatère qui a les diagonales de mêmelongueur est un parallélogramme.

5. Un parallélogramme a les diagonales de mêmelongueur.

Prendre des initiatives1. Tracer un quadrilatère qui a deux côtés parallèleset qui n’est pas un parallélogramme.

2. Tracer un quadrilatère qui a deux côtés opposésde même longueur et qui n’est pas un parallélo-gramme.

3. Tracer un quadrilatère qui a deux côtés parallèleset deux côtés de même longueur mais qui n’est pasun parallélogramme.

Programme de constructionLuc a envoyé 5 mini-messages à son camarade Loïcpour décrire la construction de la figure ci-dessous.

Les messages sont arrivés dans le désordre. Les ré-écrire en les remettant dans l’ordre.a. Construire le point B symétrique du point A parrapport au point D.b. Terminer la construction du parallélogrammeAKBF et de ses diagonales.c. Placer le point A à 2,5 cm de F et à 3 cm de D.d. Tracer le segment [KF] de longueur 8 cm.e. Placer D au milieu de [FK].

Un problème, deux solutionsÉva et Julie ont toutes les deux tracé un parallélo-gramme dont un côté mesure 7 cm, le périmètre24 cm et dont un angle mesure 100°.Les figures obtenues ne sont pas superposables sansretourner l’une d’entre elles.Tracer deux parallélogrammes qui conviennent.

Bien au milieu1. Placer trois points A, B et C non alignés. Soit I lemilieu du segment [BC]. La parallèle à la droite (AB)passant par C coupe en M la parallèle à la droite(AC) qui passe par B.

2. Démontrer, en citant les règles du cours utilisées,que le point I est le milieu de [AM].

Coup de pouce p. 269

Être malinUn parallélogramme ABCD était dessiné sur lafeuille de Damien qui est malheureusement déchirée.Damien doit tracer la droite (AC) sans sortir de lapartie de feuille restante.

Reproduire la figure puis tracer la droite (AC).

PérimètresQuatre symboles mathématiques sont réalisés à l’aidede parallélogrammes tous identiques qui possèdentun côté de 7 cm et l’autre de x cm.

Calculer en fonction de x le périmètre de chaquesymbole.


7x

1

2

3 4

57

D

A

B

56

55

54

B

F

A

K

D

53

52

51

186

Exercices


Construire, observer, justifier1. Construire un triangle PQR tel que PQ � 4 cm ,

PR � 5 cm et RPQ � 50° .

2. Construire à l’aide d’un compas le point S tel quePQSR soit un parallélogramme.

3. Le cercle de centre R et de rayon 2 cm coupe lesegment [PR] en A. Le cercle de centre S et de rayon3 cm coupe le segment [QS] en B.Tracer ces deux cercles et placer A et B.

4. Comment sont les droites (PA) et (BS) l’une parrapport à l’autre ?Pourquoi peut-on en être sûr ?

5. Calculer la longueur PA.

6. a. Tracer en rouge le quadrilatère PBSA.b. Quelle est sa nature ? Justifier la réponse.

Jamais deux sans trois1. Construire une figure du même type que celle ci-dessous dans laquelle :• ABCD est un parallélogramme dont les diagonalesse coupent en O ;• FGCO est un parallélogramme dont les diagonalesse coupent en D.

2. a. Quelle règle du cours permet d’affirmer queOA � OC ?b. Même question pour OC � FG .c. Expliquer pourquoi AO � FG .

3. Prouver que les droites (AO) et (FG) sont parallèles.

4. a. Tracer en vert le quadrilatère AFGO.b. Quelle règle du cours permet d’affirmer que AFGOest un parallélogramme ?

RecouvrementDans la figure ci-contre,ABCD et AEFG sontdeux parallélogrammes.En détaillant les règlesdu cours utilisées, ex-pliquer comment onpeut être sûr que AEHDest un parallélogramme.

Illusion d’optique1. Sans utiliser d’instrument, indiquer quel segmentsemble le plus long : le vert ou le rouge ?

2. Avec un compas, comparer la longueur du segmentvert et celle du segment rouge.

3. a. Tracer un parallélogramme ABCD avec :AB � 6 cm , AD � 3 cm et BAD � 120° .La médiatrice du côté [AB] coupe [CD] en P.Tracer [AP] en rouge et [BP] en vert.b. Comparer AP et BP et justifier la réponse en citantune règle du cours.c. La parallèle à (BC) passant par P coupe [AB] en R.Tracer [PR].

Copie conformeCet exercice peut être réalisé à la main ou avec l’aided’un logiciel de géométrie.

1. Tracer un point A sur un cercle � de centre O. Placerun point O’ à l’extérieur du cercle � et construire lepoint P tel que AOO’P soit un parallélogramme.

2. Déplacer le point A sur le cercle et marquer laposition correspondante du point P. Repérer ainsiplusieurs positions. Que semble faire P quand Aparcourt le cercle � ?

62

61

60

A

B

O

D

F

G

C

59

58

Exercices

Info Lors d’une illusion d’optique, le cerveau interprètemal les signaux qu’il reçoit.

ABE

H

FG

D C

Pavage triangulaireABC, BCD, CDE et DEF sont quatre triangles isocèlessuperposables.

1. Tracer la figure en vraie grandeur en prenantAB � 4 cm puis la coder.

2. Expliquer pourquoi B, D et F sont alignés, demême que A, C et E.

3. Démontrer que ABFE est un parallélogramme.

4. Combien de parallélogrammes en tout sont tracéssur la figure ? Les nommer tous (on ne demande pasde justifier).


Conjecturer puis justifierOn considère la figure suivante dans laquelle ABCDest un parallélogramme, M est le milieu du côté [AB]et E est le symétrique de D par rapport à M.

1. a. Reproduire la figure.

b. Que semble représenter B pour le segment [CE] ?La suite de l’exercice consiste à prouver le résultatprécédent.

2. a. À partir des données, que peut-on dire desdroites (AD) et (BC) ? Justifier la réponse.b. Quelle est la nature du quadrilatère ADBE ?Justifier la réponse.c. À l’aide des questions a et b, prouver que E estsur la droite (BC).

3. a. Prouver que AD � BC puis que AD � EB .b. Que peut-on en déduire pour EB et BC ?

4. Montrer qu’on atteint ainsi le but recherché aprèsla question 1.

Parallélogrammes à découvrirÀ l’aide des points nommés, citer (sans justifier lesréponses) six parallélogrammes qui ne soient ni desrectangles ni des losanges.

Deux triangles isocèles1. Construire un parallélogramme ABCD tel que Csoit sur la médiatrice du segment [AB].

2. Démontrer que ABC est un triangle isocèle.

3. Quel autre triangle est aussi isocèle ? Justifier.

Construire puis justifier1. Soit � un cercle decentre O, (d ) une droitequi ne passe pas par O etA un point de (d ). Construire un point B sur� et un point M sur (d )tels que AMOB soit unparallélogramme.

2. Donner un programme de la construction puisjustifier qu’elle convient.


Programme de constructionRédiger un programme de construction de la figuresuivante dans laquelle ABCD et BCEF sont desparallélogrammes.

Tracer des parallélogrammes de différentesmanières en utilisant un logiciel de géométrie.

Rechercher des objets de la vie courante dont laforme est un parallélogramme mais pas un rectangle.B

A

Petits exposés

A E B

C

E

FD

68

67

66

A B C D

EF G

H

I J K L

65

A

D C

BM

E

64

B D F

A

70°

40°

C E

63

Devoirs à la maison

188

Exercices

�

A

(d )

O

Casse-tête


le pantographe !Vive

les

mathsLe pantographe est un parallélogramme articuléutilisé notamment en mécanique.

Dès le début du XVIIIe siècle,le pantographe qu’on appelle alors« singe », est utilisé pour reproduiredes figures.

Avec les moyens du bordOn dispose, pour seuls instruments, d’une règle non graduée à bords parallèleset d’un crayon.On donne un segment [AB] dont la longueur est supérieure à la largeur de la règle.Construire le milieu I de ce segment.

C

A

B

D

N

O

P

« Les techniques artistiques », planchede l’Encyclopédie de d’Alembert et Diderot, 1762.

Un « singe » moderne

On se place ici dans le cas où les branches [AD] et [CD] ont la même longueuret où le parallélogramme articulé a pour sommets : le point B, les milieux des tiges[DA] et [DC] et leur extrémité commune D. Lors de son utilisation, O est un point fixe.On déplace la branche de droite (repère C) ; le crayon placé au repère A tracealors le contour d’une figure identique à celle du départ.Qu’observe-t-on pour les points O, P et N (on ne demande pas de justifierla réponse) ?Comment passe-t-on de la figure initiale à sa reproduction ?

Documents

Chap10 PP172 189 - Editions Didier...Des quadrilatères familiers Quelle semble être la nature précise de chacun des quadrilatères ci-dessous ? Un nouveau quadrilatère 1. a. Tracer