CHAP3 - Interets Composés (suite)

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  • 8/4/2019 CHAP3 - Interets Composs (suite)

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    CHAP 3 : Les intrts composs

    Remarque :

    Lorsque la capitalisation se fait une infinit de fois dans lanne (k ),

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    2010-2011

    le taux dintrt stipul est continu(1+ik)

    k ei avec i taux annuel continu

    Ainsi, pour passer dun taux composition annuelle (i) un taux continu (i) :

    (1+i) = ei i = ei -1 ou i = ln (1+i)

    La valeur future (Cn) scrit : Cn = C0ein

    La valeur prsente (C0) scrit : C0 = Cne-in

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    CHAP 3 : Les intrts composs

    5. Les annuits

    On appelle suite dannuits une succession de versements, pour crer ou

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    2010-2011

    rem ourser un cap ta . e versement peut tre annue , mensue , tr mestr e ,semestrielDans tous les cas, on utilise le terme gnrique annuit .

    Une suite dannuits est caractrise par quatre lments :

    - sa priodicit,- le nombre de versements,

    - le montant de chaque versement,- la date de chaque versement.

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    Priodicit dune suite dannuits

    La priode dune suite dannuits est lintervalle de temps qui spare deux

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    2010-2011

    .

    La suite dannuits est certaine si la priode est constante, cest dire si le

    temps qui spare deux versements est toujours le mme. Sinon, elle est

    alatoire.

    Exemples

    1) Vous placez 1 000 DH tous les mois sur un compte dpargne : la suite

    dannuits est certaine de priode mensuelle.

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    2) Vous contractez un emprunt sur une anne, vous remboursez une partie

    aprs quatre mois, une partie aprs neuf mois et le reste aprs un an.

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    La priode est de 4 mois avant le 1er versement, de 5 mois entre le 1er et le

    2me versement et de 3 mois entre le 2me et le dernier versement.

    La suite dannuits pour le remboursement de cet emprunt est alatoire.

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    Nombre de versements dune suite dannuits

    Il peut tre :

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    - Fini chance connu davance : la suite dannuits est alors temporaire,

    - Fini chance non connue davance : la suite dannuits est alors

    viagre.

    -Infini : la suite dannuits est alors perptuelle.

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    Montant des versements dune suite dannuits

    Le montant de chaque versement est appel le terme.

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    Si les termes sont gaux, la suite dannuits est alors constante.

    Une suite dannuits qui nest pas constante est dite variable.

    Exemples

    1) Vous placez 1 000 DH tous les mois sur un compte dpargne : la suite

    dannuits est constante de terme 1 000 DH.

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    CHAP 3 : Les intrts composs

    Montant des versements dune suite dannuits

    Exemples

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    2) Vous placez 1 000 DH le 1er novembre, 2 000 le 1er dcembre et 5 000 DH

    le 1erjanvier : la suite dannuits est variable. Le premier terme est 1 000 DH,

    le deuxime terme est 2 000 DH et le dernier terme est 5 000 DH.

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    Date des versements dune suite dannuits

    Si les versements sont effectus en dbut de priode, la suite dannuits

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    2010-2011

    est tee ut e p r o e

    outerme c o r.

    Sils sont effectus en fin de priode, la suite dannuits est dite de fin de

    priode ou terme chu.

    Exemple

    Lorsque vous placez de largent la banque, celle-ci ne vous verse les

    intrts qu la fin de lanne : la suite dannuits est de fin de priode.

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    CHAP 3 : Les intrts composs

    Date des versements dune suite dannuits

    Si les versements dbutent bien aprs la date dorigine, la suite dannuits

    est dite diffre.

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    2010-2011

    Sils dbutent ds la 1re priode, la suite dannuits est dite non diffre.

    Exemples

    1) Vous empruntez 10 000 DH le 1er

    novembre mais ne commencez lesremboursements qu partir du 1er fvrier prochain : la suite dannuits est

    diffre.

    2) Vous empruntez 10 000 DH le 1er novembre et commencez les

    remboursements le 30 novembre : la suite dannuits est non diffre.

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    5.1 La valeur acquise dune suite dannuits certaine temporaire

    5.1.1 Annuits supposes constantes de dbut de priode

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    2010-2011

    Pendant nkpriodes, on place en dbut de priode au taux dintrt ikpar

    priode les versements suivants :

    V0 = V1 = = Vnk-1 = V

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    Priode2

    Priode1 Priode3 Priode nk

    0 1 2 3 nk-1 nk

    V lac V lac V lac

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    2010-2011

    - Le 1er versement plac produit des intrts durant nkpriodes.Il devient V(1+ i)nk.

    - Le 2 versement plac produit des intrts durant nk-1 priodes.

    Il devient V(1+ i)nk-1

    - Le 3 versement plac produit des intrts durant nk-2priodes.Il devient V(1+ i)nk-2

    .

    .

    .

    - Le dernier versement plac produit des intrts durant 1 priode.Il devient V(1+ i)

    V plac V plac

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    CHAP 3 : Les intrts composs

    1 2 3 nk-1 nk

    V V V V V V

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    2010-2011

    V(1+ ik)

    V(1+ ik)

    V(1+ ik)nk-3

    V(1+ ik)nk-2

    V(1+ ik)nk-1

    V(1+ ik)nk

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    La valeur acquise totale est la somme de toutes les valeurs acquises des

    versements.

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    2010-2011

    a va eur acqu se o a e es onc :

    Ainsi,

    ( ) ( ) ( )

    ( )

    1

    1

    1 1 ... 1

    1

    nk nk

    k k k

    nkt

    k

    t

    VFU V i V i V i

    V i

    =

    = + + + + + +

    = +

    ( ) ( )1

    1 1nk

    k k

    k

    i iVFU V

    i

    + + +=

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    5.1.2 Annuits supposes constantes de fin de priode

    Les annuits sont supposes constantes de terme gal V. Le versement se

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    2010-2011

    . .

    On a alors :

    Ainsi,

    ( ) ( ) ( )

    ( )

    1 1

    1

    0

    1 1 ... 1

    1

    nk nk

    k k k

    nk

    tk

    t

    VFU V i V i V i V

    V i

    =

    = + + + + + + +

    = +

    ( )1 1n k

    k

    k

    iV F U V

    i

    + =

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    1 2 3 nk-1 nk

    V V V V V V

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    2010-2011

    k

    V(1+ ik)

    V(1+ ik)nk-3

    V(1+ ik)nk-2

    V(1+ ik)nk-1

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    CHAP 3 : Les intrts composs

    Exemple

    Vous dcidez douvrir un PEL avec un dpt initial de 100 000 DH. La dure

    du plan est de 6 ans. Les versements sont trimestriels de lordre de 6 000 DH

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    2010-2011

    chaque versement (dbut de priode). Par ailleurs, la rmunration de tous les

    dpts se fait selon un taux dintrt annuel de 4%. Enfin, lemprunt prfrentiel

    au terme du plan reprsente 10,076 fois les intrts acquis.

    Quel est le budget pour une ventuelle acquisition immobilire au bout de 6

    ans ?

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    5.1.3 Annuits de dbut de priode augmentant annuellement selon un

    taux g sur un horizon de n annes

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    2010-2011

    Supposons que les versements effectus sont annuels (k=1)

    Priode2

    Priode1 Priode3 Priode n

    0 1 2 3 n-1 n

    V V(1+g) V(1+g)n-1

    V(1+g) V(1+g)3

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    1 2 3 n-1 n

    V V(1+g) V(1+g) V(1+g)3

    V(1+g)n-1

    V(1+g)n-1(1+ i)

    ENCG Fs- A. ALAOUI TAIB

    2010-2011

    V(1+g)3(1+ i)

    n-3

    V(1+g)2(1+ i)

    n-2

    V(1+g)(1+ i)n-1

    V(1+ i)n

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )

    ( )( )( )( ) ( )( )

    1 2 1

    1

    1

    1 1 1 1 1 ... 1 1

    1 1 1

    1 1 1 1

    n n n n

    n

    n

    VFU V i V g i V g i V g i

    g i

    V i g i

    = + + + + + + + + + + +

    + +

    = + + +

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    CHAP 3 : Les intrts composs

    V V(1+g) V(1+g) V(1+g)n-1

    1 2 3 n-1 n

    k

    ENCG Fs- A. ALAOUI TAIB

    2010-2011

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    ( ) ( )( )( )( )

    ( )( )( )

    1 2 1

    1 1 1

    1 2 1 0

    1

    1

    1

    1

    1

    1 1 1 1 1 ... 1 1

    1 1 1 1 ... 1 1

    1 1 1

    1 1

    1 1 1

    k k kt n t n n t

    k k k

    t t t

    kt n n n

    kt

    n

    kt n

    k

    t

    VFU V i i V g i i V g i

    V i i g i g i

    g iV i i

    g i

    = = =

    =

    =

    = + + + + + + + + + +

    = + + + + + + + + +

    + +

    = + +

    + +

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    CHAP 3 : Les intrts composs

    Versements de dbut de priode augmentant annuellement selon un

    taux g sur un horizon de n annes :

    ENCG Fs- A. ALAOUI TAIB

    2010-2011

    ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )

    1

    1

    1

    1

    1 1 1

    1 1

    1 1 1

    n

    kt n

    k

    t

    g iVFU V i i

    g i

    =

    + +

    = + + + +

    ( ) ( )( )

    ( ) ( )( )( ) ( )( )

    11

    1

    1

    1 1 11 11

    1 1 1

    nk

    nk k

    k

    g ii iVFU V i

    i g i

    +

    + + + +

    = + + +

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    CHAP 3 : Les intrts composs

    5.1.4 Annuits de fin de priode augmentant annuellement selon untaux g sur un horizon de n annes

    n-1

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    2010-2011

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    1 1 11 2 1

    0 0 0

    11 2 1 0

    0

    1 1 1 1 1 ... 1 1

    1 1 1 1 ... 1 1

    k k kt n t n n t

    k k k

    t t t

    kt n n n

    k

    t

    VFU V i i V g i i V g i

    V i i g i g i

    = = =

    =

    = + + + + + + + + + +

    = + + + + + + + + +

    1 2 3 n-1 n

    k

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    CHAP 3 : Les intrts composs

    Versements de fin de priode augmentant annuellement selon un taux g

    sur un horizon de n annes :

    ENCG Fs- A. ALAOUI TAIB

    2010-2011

    ( ) ( )( )( )( )( )( )( )

    11

    1

    1

    0

    1 1 1

    1 1

    1 1 1

    nk

    t n

    k

    t

    g iVFU V i i

    g i

    =

    + + = + + + +

    ( )( )

    ( ) ( )( )( ) ( )( )

    1

    1

    1

    1 1 11 11

    1 1 1

    nk

    nk

    k

    g iiVFU V i

    i g i

    + + +

    = + + +

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    CHAP 3 : Les intrts composs

    Exemple (retour sur lexp. prcdent)

    ENCG Fs- A. ALAOUI TAIB

    2010-2011

    Quel est lenveloppe- budget au bout de 6 ans lorsque les versements

    augmentent tous les ans de 10%, avec comme premier versement

    V = 6 000 DH.