Chap3 Plusieurs DDL Ppt

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Chapitre 3 Les Systmes Discrets

Plusieurs Degrs de Libert 1. Introduction Sommaire 2. Systmes libres non amortis 2.1 Equations du mouvement 2.2 Rsolution des quations du mouvement 3. Systmes Forcs non amortis 3.1 Equations du mouvement 3.2 Mthode directe de rsolution (excitation harmonique) 3.3 Mthode modale de rsolution 3.4 Exemples dapplication 4. Systmes Forcs faiblement amortis 4.1 Equations du mouvement 4.2 Amortissement proportionnel 1. Introduction Systmes discrets dont le mouvement est dcrit par plusieurs variablesindpendantes Extension possible aux systmes continus structure complexe : Mthodedes lments finis Equations du mouvement libre Frquences et modes propres Couplage Variables propresChangement de variables m1 k1 ( ) t x1x m2 k2 ( ) t x2x m1 k1 ( ) t x1m2 k2 ( ) t x201 1 1 1= + x k x m 02 2 2 2= + x k x m 1121mk= e( ) t B t A t x1 1 1 1 1cos sin e e+ =( ) t B t A t x2 2 2 2 2cos sin e e + =2222mk= eExemple 1 : x A1, B1, A2 et B2 sont dtermines par les C.I. 2. Systmes libres non amortis 2.1 Equations du mouvement ( )( )1 2 2 2 22 1 2 1 1 1 1x x k x mx x k x k x m = = P.F.D. ( )001 2 2 2 2 22 2 1 2 1 1 1= += + +x k x k x mx k x k k x m ||.|

\|=||.|

\|||.|

\| ++||.|

\|||.|

\|0000212 22 2 12121xxk kk k kxxmm ||.|

\|=2100mmM||.|

\| +=2 22 2 1k kk k kKMatrices symtriques - Matrices dinerties et de raideurs Termes de couplage 0 = + X K X M||.|

\|=21xxX||.|

\|=21xxX - Vecteurs de dplacements et dacclrations On pose : criture matricielle : ( )( )1 2 2 2 22 1 2 1 1 1 1x x k x mx x k x k x m = = 2. Systmes libres non amortis 2.1 Equations du mouvement m1 k1 ( ) t x1x m2 k2 ( ) t x2x m1 k1 ( ) t x1m2 k2 ( ) t x2k3 x ( )( ) 001 2 3 2 2 2 22 1 3 1 1 1 1= + += + +x x k x k x mx x k x k x m Exemple 2 : ||.|

\|=||.|

\|||.|

\|+ ++||.|

\|||.|

\|0000213 2 33 3 12121xxk k kk k kxxmm Ecriturematricielle Equations du mouvement : (PFD ou Lagrange) 2. Systmes libres non amortis 2.1 Equations du mouvement 6 m k ( ) t x1m k ( ) t x2k3 x ( ) ( )( ) ( ) 0 20 11 3 2 3 22 3 1 3 1= + += + +x k x k k x mx k x k k x m ||.|

\|=mmM00||.|

\|+ +=3 33 3k k kk k kK2 1 22 1 122x x qx x q =+ =( ) 0 2 2 20 2 22 3 21 1= + += +q k k q mkq q m Equationsdcouples (1)+(2) (1)-(2) Est-il possible, moyennant le choix de nouvelles variables q1 et q2

dliminer les termes de couplage? Posons pourSimplifier : k1=k2=k m1=m2=m Posons le changement de variables 2. Systmes libres non amortis 2.1 Equations du mouvement 0 = + X K X Mt re X X0 =( ) t e X K M rt r = + 002 On cherchera la solution sous la forme : ( ) 02= + K M r dtPulsations et modes propres ( ) 002 = + X K M r||.|

\|=02010xxXSystme algbrique admettant une solution non nulle si et seulement si : avec : Polynmecaractristique en r2 2.2 Rsolution des quations du mouvement 2. Systmes libres non amortis m k ( ) t x1m k ( ) t x2k3 x ( ) 02= + K M r dt||.|

\|=mmM00||.|

\|+ +=3 33 3k k kk k kK023 3323=+ + + +mr k k kk mr k k( )( ) 0 2232= + + + mr k k mr k | | 023223= + + k mr k kmk kr etmkr32 22 + = =Exemple 2 :Rappel : 2.2 Rsolution des quations du mouvement 2. Systmes libres non amortis e j r =mk kmk3212 +==eet je X Xe0 =2 21 1eej rj r = =: Premire pulsation propre du systme : Deuxime pulsation propre du systme avec :Remarques : ( ) 002 = + X K M e1) Si on pose : 2) Si on multiplie gauche par lexpression : ( ) 02= + K M dt e( ) | | 0021 = + X K M M e ( ) 0012 = + X K M I e0201X X K M e = et sont les valeurs propres de la matriceK M1 1X2XVecteur propre associ Vecteur propre associ ( ) 02 = + i iX K M eSolutions de : 1 M2.2 Rsolution des quations du mouvement 2. Systmes libres non amortis 21e22e21e22emk kmk3212 +==ee||.|

\|=mmM00||.|

\|+ +=3 33 3k k kk k kK: Premire pulsation propre du systme : Deuxime pulsation propre du systme 1X2XVecteur propre associ Vecteur propre associ ( ) 02 = + i iX K M eSolutions de :avec : ||.|

\|=12111xxX||.|

\|=||.|

\|((

||.|

\|+ ++||.|

\|000012113 33 3xxk k kk k kmmmk||.|

\|=||.|

\|||.|

\|0012113 33 3xxk kk k12 11x x =||.|

\|=1111 1x XLes vecteurs propres sont dtermins une constante prs 2.2 Rsolution des quations du mouvement 2. Systmes libres non amortis ||.|

\|=22212xxXmk k322 += e||.|

\|=1111 1x X||.|

\|=||.|

\|((

||.|

\|+ ++||.|

\| +0000222213 33 33xxk k kk k kmmmk k||.|

\|=||.|

\|||.|

\| 0022213 33 3xxk kk k22 21x x =||.|

\|=1121 2x XQuest ce quun mode de vibration? k k k3 k k k3 mk k322 += e||.|

\|=1121 2x Xmk=1eVibrationen phase Vibrationen oppositionde phase 11 -1 1 m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m 2.2 Rsolution des quations du mouvement 2. Systmes libres non amortis Dfinition dune Norme : Permet de caractriser les vecteurs propres : on choisira la constanteen consquence 1) Norme Euclidienne unitaire : te Tc X M X = 112= ==Niix X||.|

\|=111|2) Norme telle que la premire composante est unitaire3) Norme telle que : Exemple 2 :Norme telle que la premire composante est unitairemk=1emk k322 += e||.|

\|=112|2.2 Rsolution des quations du mouvement =totteMc1avec 2. Systmes libres non amortis Dfinition dun produit scalaire : Sur lensemble des solutions de :1X0 = + X K X M2XSoient etdeux vecteurs solutions On dfinit le produit scalaire : 2 1 2 1X M X X XT =Lemme : les vecteurs propres sont orthogonaux deux deux Dmonstration : Soient etdeux vecteurs propres associs aux valeurs propresdistincteseiet ej , ils vrifient : i|j|02 = + i i iK M | | e02 = + j j jK M | | eTj|Tj|Ti|Ti|0 0 (1) (2) ( ) 02 2= iTj i jM| | e e(1)-(2)T Orthogonaux 0 2.2 Rsolution des quations du mouvement 2. Systmes libres non amortis En conclusion : Lensemble des solutionsdedfinit un espace vectoriel dont est llment neutre et lesconstituent une base de cet espace. 0 = + X K X M ( ) t Xi0i|Par consquent, tout vecteur solutionscrit comme combinaison linaire des vecteurs propres (vecteurs de la base propre) ( ) t Xi|( ) ( )iNiit q t X | ==1( ) ( ) t q t Xu =Qui peut encore scrire en dfinissant par la matricela matrice des vecteurs propres et par le vecteurle vecteur des nouvelles variables, appeles variables propres :| |N i| | | | , , , , ,1 1= u( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TN it q t q t q t q t q , , , , ,2 1 =Ces deux formes expriment ainsi un changement de variables variables physiquesvariables propres 2.2 Rsolution des quations du mouvement 2. Systmes libres non amortis 0 = + X K X MT Tu u 0 = u + u q K q MMatrices diagonales compte tenu de la proprit dorthogonalit des modes propres Lquation du mouvement : scrit en remplaant par la formule de changement de variables Dont la solution est : ( ) t B t A t qi i i i ie e sin cos + =avec ei la pulsation propre correspondante au ime mode propre et Ai et Bidtermines par les conditions initiales (i=1, 2, , N) |||||.|

\|Ni000 01|||||.|

\|Nikkk000 01Matrice des masses modalesMatrice des raideurs modales2.2 Rsolution des quations du mouvement On multiplie gauche parTuLa ime quation du mouvement : 0 = +i i i iq k q (ne dpend que de qi) 2. Systmes libres non amortis ( ) ( ) t q t Xu =( ) ( ) ( ) ( )TNt x t x t X 0 , , 0 01= = = = La formule de changement de variablespermet de retrouverla solution en termes des variables physiques sur lesquels sont appliquesles expressions des conditions initialeset . ( )( )( )||.|

\|= == == =0 00 0021t xt xt XExemple 2 : Retrouver la solution pour les conditions initiales suivantes : ( )( )( )||.|

\| = == == =0 20 1000x t xx t xt X( ) ( ) ( ) ( )TNt x t x t X 0 , , 0 01= = = = Exemple 3 : mm k L a m m u1 u2 Dterminer les pulsations et les vecteurs propres du systme de pendules2.2 Rsolution des quations du mouvement 2. Systmes libres non amortis m k ( ) t x1m k ( ) t x2k3 x Pompage x(t) Tangage u(t) x1 x2 L1 x u Position dquilibre 2.2 Rsolution des quations du mouvement Exemple 4 : Etude de suspension de voiture M : masse de la voiture IG : moment dinertie par rapport au centre de gravit G de la voiture L1, L2 : distance par rapport G des essieux avant et arrire k1, k2 : raideurs des suspensions avant et arrire de la voiture k1 k2 L2 2. Systmes libres non amortis 2.2 Rsolution des quations du mouvement Exemple 4 : Voiture sur ses ressorts de suspension 2. Systmes libres non amortis x1 x2 L1 x u p.e.s L2 22112 11 2Lx xLx xL Lx xtg==+= ~u uIl sagit dun systme 2 DDL, on doit faire le choix des deux coordonnesGnralises : u, x ou bien x1, x2. On a les relations : 2.2 Rsolution des quations du mouvement Exemple 4 : Voiture sur ses ressorts de suspension 2. Systmes libres non amortis On trouve (compte tenu de lhypothse des petits mouvements) les relations : +=++=2 11 22 12 1 1 2L Lx xL Lx L x Lxu+ = =uu2 21 1L x xL x x2 22121uGI x M T + =Lnergie cintique du systme scrit : 22 221 12121x k x k U + =Lnergie potentielle du systme scrit : 22 11 222 12 1 1 22121((

++((

++=L Lx xIL Lx L x LM TG ( ) ( )22 221 12121u u L x k L x k U + + =En terme de x, uEn terme de x1, x2 2.2 Rsolution des quations du mouvement Exemple 4 : Voiture sur ses ressorts de suspension 2. Systmes libres non amortis 22 221 12121x k x k U + =2 22121uGI x M T + =( ) ( ) ( )2 122 12 12222 1212122 1222121x xL LI L MLxL LML IxL LML ITG G G ++++++=Lnergie cintique du systme scrit : Lnergie potentielle du systme scrit : ( ) ( ) ( )u u x L k L k L k L k x k k U2 2 1 12 22 221 122 12121 + + + =En terme de x, uEn terme de x1, x2 Eliminer le couplage entre la suspension avant et la suspension arrire : Eliminer le couplage entre le pompage et le tangage : 2 1L ML IG =2 2 1 1L k L k =Mk k2 12 1+= =e em m K K A B C LL Exercices : Calculer les deux frquences propres du systmeTrouver les positions des "nuds" (ou centres instantans de rotation )de la barre pour chacun des deux modes propresExemples dapplications Exemple 3 : Systme "Chariot-Pendule simple" k k M m O G x y u Exemples dapplications L m1 k1 ( ) t x11 1 1 1 1f x k x m = + ( ) t f1x m2 k2 ( ) t x2x m1 k1 ( ) t x1m2 k2 ( ) t f2( ) t x2x ( ) ( )( ) ( ) t f x x k x mt f x x k x k x m2 1 2 2 2 21 2 1 2 1 1 1 1= += + + 2 2 2 2 2f x k x m = + 3. Systmes Forcs non amortis 3.1 Equations du mouvement ( ) t f1( ) t f2( ) t F X K X M = +3. Systmes Forcs non amortis m k ( ) t x1m k ( ) t x2k x ||.|

\|=mmM00||.|

\|=k kk kK22Exemple 2 :Rappel : ( ) t f t f O = sin0 13.2 Mthode directe de rsolution (excitation harmonique) ( )( ) 0 2 2sin 2 11 2 20 2 1 1= +O = +kx kx x mt f kx kx x m ( )||.|

\|O=0sin0t ft FMthode directe de rsolution : On pose( )( ) t B t A t xt B t A t xO + O =O + O =sin cossin cos2 2 21 1 1Cela suppose que lon ne considreque la phase force du mouvement Systme algbrique non homognede 4 quations 4 inconnues 3. Systmes Forcs non amortis 3.2 Mthode directe de rsolution ( ) ( ) | | ( ) | |( ) ( ) | | ( ) | | 0 sin 2 cos 2sin sin 2 cos 21 221 220 2 122 12= O + O + O + O O = O + O + O + O t kB B k m t kA A k m IIt f t kB B k m t kA A k m I( )( )( )( )= + O = + O = + O = + O 0 20 220 2) 4 () 3 () 2 () 1 (1 221 220 2 122 12kB B k mkA A k mf kB B k mkA A k m( )( )= + O + = + O 0 20 2) 3 () 1 (2212 12A k m kAkA A k m( )( )= + O + = + O 0 22) 4 () 2 (2210 2 12B k m kBf kB B k m02 1= = A A(1) et (3) (2) et (4) k m kk k mk mk fB222 022201+ O + O + O =k m kk k mkf k mB220222022+ O + O + O =3. Systmes Forcs non amortis 3.2 Mthode directe de rsolution O e1 e2 O ( )( )( )2 220132O O O =m k m km k fB( )( )2 2023 O O =m k m kf kB1x( )( ) t B t xt B t xO =O =sinsin2 21 1kf320kf302xmk 2mk=1emk 32 = eRemarque : Dans le cas des systmes non amortis, si lexcitation est en sinus,la rponse est aussi en sinus (rponse en phase avec lexcitation) ( )||.|

\|O=0sin0t ft FOn trouve : Niveau de vibration faible (nul) 3. Systmes Forcs non amortis 3.2 Mthode directe de rsolution Application pratique : ltouffeur de vibration( ) t x2m1 k1 ( ) t f1m2 k2 ( ) t x1e1 e2 e0 O Niveau de vibration grand (infini) x m1 k1 ( ) t x1( ) t f t f O = cos0 1110mk= ~ O e avec : (rsonance) 3. Systmes Forcs non amortis 3.2 Mthode directe de rsolution m1 k1 ( ) t f1m2 k2 ( )( ) t A t xt A t xO =O =coscos2 21 1 Mthode directe : ( ) ( ) | |( ) | | 0 212 222 1 20 2 2 1 2 121= + O + = + + O A k m A kf A k A k k m( )222 22 2 1212222 010k m kk k k mk mk fA+ O + + O + O =( )( )222 22 2 12120 2 12120k m kk k k mkf k k mA+ O + + O + + O =( )( )( )222 2122 1222 01e e O O+ O =m mk m fA( )( )222 2122 12 02e e O O=m mk fA1122mkmk= = O , A1=0 ( ) ( )( ) 0 2cos 11 2 2 2 2 20 2 2 1 2 1 1 1= +O = + +x k x k x mt f x k x k k x m Equations du mouvement : On choisit de prendre : 3. Systmes Forcs non amortis 3.3 Mthode modale de rsolution ( ) ( ) t q t Xu =( ) t F X K X M = +T T Tu u u( ) t F q K q M = u + uLa ime quation du mouvement : ( ) t q k qi i i i i = + dont la solution tant obtenue par lune des mthodes prsentes avant,on dduit la rponse du systme par recombinaison3. Systmes Forcs non amortis 3.4 Exemples dapplication Surface de flottaison Centre de flottaison Centre de gravit Centre de carne G c1 M g MaPOO G c1 M g MaPO a)-Par une colonne deau : GM=h : hauteur mtacentrique Stabilisation des constructions navales 3. Systmes Forcs non amortis 3.4 Exemples dapplication pratique G c1 M g MaPO a)-Par une colonne deau : Equilibre statique : 0 = +aP g M( ) t C Mgh I + = u u sin Equilibre de mouvement (1 DDL) : I : Moment dinertie du bateau par rapport laxe longitudinal M : Masse du bateauGM=h : hauteur mtacentrique e : Pulsation propre du moment libre du bateau : IMgh= eO G x x y y Exemple similaire simplifi : Cylindre double paroi semi remplie de liquide, articul par rapport un axe du plan de symtrie situ au dessus de son axe de rvolution 3. Systmes Forcs non amortis 3.4 Exemples dapplication pratique Cylindre double paroi vide : Colonne de liquide : ( )2 2021uMh I Ec+ =( ) u cos 1 = Mgh Ep221x L A Ec =2gx A Ep =Lgl20= e200Mh IMghc+= eCylindre double paroi semi remplie : 3. Systmes Forcs non amortis 3.4 Exemples dapplication pratique ( )2 2000a b d dr r Sba =|.|

\| =} }u uuuCalcul du centre de gravit G de la colonne de liquide : On pose S la surface de la colonne de liquide dans le plan Oxy,b le rayon de la paroi externe, a le rayon de la paroi interne, le rayon moyen de la colonne de liquide, u0 langle la surface libre : ( ) b a r + =21}} = SdS OP OG SOn a (thorme du barycentre : Do : } }|.|

\|=00cos12uuu u d dr rSOGba2 23 300sin32a ba bOG=uuO G x y u0 a b 3. Systmes Forcs non amortis 3.4 Exemples dapplication pratique Calcul du moment dinertie Ioz de la colonne de liquide : O G x y u0 a b }}= dm r IOz2} }|.|

\|=003uuu d dr r L IbaOz( )4 4021a b L IOz = u Pulsation propre de la colonne de liquide : Energie cintique Ec: Energie potentielle Ep : 221uOz cI E=( )221cos 1 u u OG g m OG g m Eliquide liquide p~ =OzliquideIOG g m=20e( )4 43 30020sin34a ba b g=uue( )2 20a b L LS mliquide = = u Or : Do : rg0ue ~221x L A T =2gx A V =Lg 2= ex 3. Systmes Forcs non amortis L IMh 2=Energie cintique de la colonne deau : Energie potentielle de la colonne deau : Pulsation propre de la colonne deau : Il faut donc satisfaire la condition : 3.4 Exemples dapplication pratique 3. Systmes Forcs non amortis 3.4 Exemple dapplication pratique :Stabilisation des constructions navales b)-Par un gyroscope : 3 : moteur, 4 : carter, 5 : rducteur x y e = Cte O 4 3 3 5 3. Systmes Forcs non amortis Vibrations de torsion dun disque (1) dinertie I1 transmises par un arbre de rigidit k Irrgularits du couple dentranementangle de torsion (t) Dispositif (2) dinertie I2 rattach au disque (1) par quatre ressorts de rigidit kr

spars par paire dune distance 2a On ralise ainsi un amortisseur des vibrations de torsion (absorbeur de vibrationsappel aussi amortisseur de Frahm). 2a k I1 I2 kr kr 3.4 Exemples dapplication pratique 22 221 12121u u I I T + =( )22 12142121u u u a a k k Vr + =Energie cintique du systme : Energie potentielle du systme : 3. Systmes Forcs non amortis a a kr I1 I2 u1 kr kr kr 3.4 Exemples dapplication pratique 3. Systmes Forcs non amortis Dplacement impos : 2a k I1 I2 kr kr a- lextrmit libre de larbre: b-appliqu directement sur le rotor dinertie I1: 3.4 Exemples dapplication pratique m1 k1 c1 ( ) t x11 1 1 1 1 1 1f x k x c x m = + + ( ) t f1x m2 k2 c2 ( ) t x2x m1 k1 c1 ( ) t x1m2 k2 c2 ( ) t f2( ) t x2x ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) t f x x k x x c x mt f x x k x k x x c x c x m2 1 2 2 1 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1= + += + + + + 2 2 2 2 2 2 2f x k x c x m = + + 4. Systmes Forcs faiblement amortis 4.1 Equations du mouvement ( )( )||.|

\|=||.|

\| ++||.|

\|||.|

\| ++||.|

\|||.|

\|t ft fk kk k kxxc cc c cxxmm212 22 2 1212 22 2 1212100 ( ) t F X K X C X M = + +4. Systmes Forcs faiblement amortis 4.1 Equations du mouvement C: Matrice damortissement symtrique Dans la base des vecteurs propres, la matricenest pas toujours diagonale Remarque : Ecriture matricielle : 4. Systmes Forcs amortis m k ( ) t x1m k ( ) t x2k x ||.|

\|=mmM00||.|

\|=k kk kK22Exemple 2 :Rappel : ( ) t f t f O = sin0 14.2 Mthode directe de rsolution (excitation harmonique) ( )( ) 0 2 2sin 2 11 2 2 20 2 1 1 1= + +O = + +kx kx x c x mt f kx kx x c x m ( )||.|

\|O=0sin0t ft FMthode directe de rsolution : On pose( )( ) t B t A t xt B t A t xO + O =O + O =sin cossin cos2 2 21 1 1Cela suppose que lon ne considreque la phase force du mouvement Systme algbrique non homognede 4 quations 4 inconnues c c ||.|

\|=ccC004. Systmes Forcs amortis 4.2 Mthode directe de rsolution ( ) ( ) | | ( ) | |( ) ( ) | | ( ) | | 0 sin 2 cos 2sin sin 2 cos 21 2 221 2 220 2 1 122 1 12= O O + O + O O + + O O = O O + O + O O + + O t kB A c B k m t kA B c A k m IIt f t kB A c B k m t kA B c A k m I( ) S dtk m c kc k mf k k mk cA0 20 2 00 20 022021+ O O O + O + O O=( ) S dtk k mk ck m c f kc k mA + O O+ O O O + O =0 0 20 022 0 022022( )k m c kc k m kk k m ck c k mS dt2 02 00 20 22222+ O O O + O + O O O + O =( ) S dtk m ck c k mc f kk m kB0 0 20 202 0 022021+ O O O + O O + O =( ) S dtc kk m kk m c fk c k mBO + O + O O O + O =0 02 0 00 22 022022( )( )( )( )= + O + O = O + + O + = + O + O = O + + O 0 20 220 2) 4 () 3 () 2 () 1 (222 12 2210 2 1212 1 12B k m A c kBB c A k m kAf kB B k m A ckA B c A k m0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10000.0050.010.0150.020.0250 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10000.0050.010.0150.020.0254. Systmes Forcs amortis 4.2 Mthode directe de rsolution On trouve pour : O 2xk=20000 N/m, c=50 N sec/m, m=10 Kg, f0=100 N O 1xrad/sec ,72 441= =mke rad/sec ,46 7732= =mkeOn a : K M C | o + =-4. Systmes Forcs faiblement amortis 4.2 Mthode modale de rsolutionLamortissement est dit proportionnel sio et | t.q. : ( ) C diag K M CT T T= u u + u u = u u | oDans ces conditions, la base des vecteurs propres du systme non amortireste valable pour le systme proportionnellement amorti ( ) ( ) t q t Xu =On pose alors : iiike =2i iiice 2=La ime quation du mouvement : ( )iii i i i i itq q qe e = + +22 3. Systmes Forcs non amortis 3.2 Mthode directe de rsolution ( )( )( )( )tm k m km k ft x OO O O = sin322 2201( )( )( )tm k m kf kt x OO O = sin32 202( )( ) t B t xt B t xO =O =sinsin2 21 1( )||.|

\| O=0sin0t ft F( )( )( )t j t je F H Xe t xO O O = =0|( )( )( )2 221132O O O =m k m km kH( )( )2 2 213 O O =m k m kkH||.|

\|=22 2112 11H HH HHm k ( ) t x1m k ( ) t x2k x ( ) t f t f O = sin0 1( ) ( ) ( ) t F H t X O =