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Chap3 Transfert de Chaleur

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Chapitre 3Transferts de chaleur par conduction

INTRODUCTIONUn transfert d'nergie a lieu chaque fois : - qu'un gradient de temprature existe l'intrieur d'un systme, - ou lorsque deux systmes tempratures diffrentes sont mis en contact.

2

Le processus par lequel le transfert de l'nergie s'effectue est dsign par les termes :

Transmission de chaleurou

Echange nergtique3

La grandeur transfre, appele chaleur, ne peut tre mesure ni observe, mais les effets qu'elle produit sont sujets l'observation et aux mesures.

4

Les principes de thermodynamique qui sont bass sur ces observations

ont t runis dans des lois qui sont supposes rgir tous les phnomnes se prsentant dans la nature.

5

Le transfert peut tre dfini comme la transmission d'nergie d'une rgion une autre sous l'influence d'un gradient.6

On retrouve gnralement quatre modes de transmission :

La conduction Le rayonnement La convection Le transfert par chaleur latente.7

Les mcanismes des deux premiers modes conduction et rayonnement dpendent uniquement de l'existence d'un gradient de temprature.Les mcanismes des deux derniers modes convection et transfert par chaleur latente dpendent aussi bien de la diffrence de temprature que d'un mcanisme de transfert de masse.8

Plan3.1 Exemples sur les transferts de chaleur 3.2 Loi de Fourier 3.3 quation fondamentale de transfert chaleur 3.4 Phnomnes linaires de conduction thermique 3.5 Problme cylindrique de conduction thermique 3.6 Mesure des conductivits thermiques en rgime stationnaire

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3.1 Exemples de transfert chaleur par conduction

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Apports de chaleur et dperditions d'un murLa paroi extrieure du mur (enduit) reoit de la chaleur par rayonnement et par convection. Elle cde de la chaleur au mur de bton par conduction.Lcart de tempratures25C 30CRAYONNEMENT

CONDUCTION CONVECTION Air ambiant 35C Bton Enduit

Transfert de chaleur par conduction11

Profil spatial de la tempratureLa temprature T est une fonction de la variable x. Sa variation en fonction de x peut tre linaire ou non.

12

Transfert de chaleur dans un corps solide

T1 T1 > T2

T2

Transfert de chaleur dans une barre d'acier

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La conduction est le phnomne par lequel la chaleur se transmet dune rgion haute temprature vers une autre basse temprature lintrieur dun milieu solide (liquide ou gazeux sous certaines conditions) ou entre diffrents milieux mis en contact.

Le transfert dnergie se fait par transmission de lnergie cintique dagitation thermique des particules qui ont une nergie cintique plus grande dans les rgions temprature leve vers les rgions temprature plus faible.14

3.2 Loi de Fourier (1822)Les solutions mathmatiques proposes aux problmes de la conduction en rgime stationnaire sont bases sur lanalyse du mathmaticien franais J.B.J. FOURIER donnant la loi de transfert de chaleur par conduction.(1768-1830)15

Le corps (S) initialement en dsquilibre thermique volue en fonction du temps.

dA n M

dA

(S)

Chaque point du corps (S) est caractris par sa temprature T : T = T (x,y,z) rgime permanent ou stationnaire T = T (x,y,z,t) rgime transitoire

16

La loi de Fourier exprime l'nergie-chaleur dQ transfre travers llment de surface dA pendant l'intervalle de temps dt :

dA n M

dA

(S)

Q = - . grad(T) . dA . dtr r dA = dA . n : Vecteur surface

gradT

r n : Vecteur unitaire normal la surface dS

T x T y T z

17

Q = - . grad(T) . dA . dt

Q = Q = - . grad(T) . dA dt On dfinit la densit de flux thermique par :

= - . grad(T)gradT en K/m r en W/m2

n grad(T) M dS

en W/(m.K)18

Une cause donne lieu un effet :

Cause Gradient de temprature Gradient de concentration

Effet Flux de chaleur Flux de matire

19

Pour les corps anisotropes, tel que les cristaux ou les corps composites (bois, fibres enrobes, milieux poreux etc ) : La loi de Fourrier se gnralise sous forme tensorielle :

Q = - . grad(T) . dA . dt

xx = yx zx

xy yy zy

xz yz zz

Chaque composante sera de la forme :

x = - ( xx

T T T + xy + xz ) x y z

20

Coefficients de conductivit thermique

21

22

Quelques remarques concernant la conductivit thermique :Les impurets diminuent fortement la conductivit des matriaux. La rgle habituelle des mlanges nest pas applicable ni pour les alliages ni pour les impurets. Les conductivits des alliages sont difficilement interprtables. Ni

= 62 W.m-1.K-1

Cu = 405 W.m-1.K-1

Alliage (60% Ni + 40% Cu)

= 22 W.m-1.K-123

Champs de lignes isothermesDfinition dune surface isotherme Pour tout M ,La Loi de Fourier :

T(M) = Cte

ou dT 0

= - . grad(T)La dfinition du gradient :

signifie que les vecteurs densit de flux et gradient de temprature sont colinaires.

dT = grad(T) . dMDonc

conduit l'expression du produit scalaire :

. dM = . dT

dT = 0

. dM = 024

Ceci signifie que les vecteurs densit de flux sont orthogonaux aux surfaces isothermes.

Lignes de flux et isothermesSurfaces isothermes Lignes de flux orthogonales aux isothermes

Lieu des points ayant chaque instant la mme temprature

25

3.3 Equation fondamentale de transfert chaleur par conduction

26

Considrons un solide indformable de volume V : - de masse volumique ; - de chaleur massique c ; - de conductivit thermique ; - de puissance-chaleur P gnre par unit de volume due aux sources internes (ou puit). P peut tre provoque par effet Joule, par frottement interne, par des ractions chimiques ou nuclaires, par absorption de rayonnements lumineux, lectromagntiques ou corpusculaires.27

En gnral, c et dpendent des variables de l'espace et de la temprature. La puissance-chaleur P produite par une source interne par unit de temps est une fonction du temps, de lespace et de la temprature.Cas des ractions chimiques : Cas de production de chaleur : par effet Joule

P = A0 exp [ - T ] P = A (M,t) + B (M,t)

28

3.3.1 Bilan nergtique :On applique le premier principe de la thermodynamique un volume fini v contenu dans V et limit par une surface s.

L'nergie chaleur qui traverse l'lment de surface ds pendant lintervalle de temps dt est donne par la loi de Fourrier :

Q = - . grad(T) . ds . dt

ou

Q = . n . ds . dt29

La puissance-chaleur sortant travers la surface s est :

. n . dss

La puissance reue par le volume v travers sa surface s est :

. n . dss

La puissance-chaleur gnre par les sources internes au volume v est :v

P . dv

30

Le solide tant indformable (W+) = 0, seule la variation de T intervient dans l'expression de l'nergie interne. La variation d'nergie interne dans l'lment de volume dv de masse m = .dv scrit :

dU = m.c.dT = .dv.c.dTLe premier principe scrit :

dU T dt = c.. t .dv v v T .c. t .dv vVariation instantane de lnergie interne

- . n . dss

+ P.dvv

=

Puissance change sur la surface s

Puissance gnere par les sources internes

31

Thorme dOstrogradky

( . n) . ds = div() . dvs v

Do Le premier principe scrit :

T [ div() + P .c. t ].dv = 0 vCette relation est vrifie quel que soit le volume v de V. On a donc en tout point de V :

T div() + .c. -P = 0 tCest lquation fondamentale de transfert chaleur par conduction.32

3.3.2 Cas particulier : milieu homogne et isotropeOn appelle milieu homogne un milieu constitu par un seul matriau. On appelle milieu isotrope un milieu dont les caractristiques physiques (, c, ) ne dpendent pas des variables despace.

= - . grad(T)

div() = div[- . grad(T) ]

T div [- . grad (T)] + .c. -P = 0 tp 1 T T + = a t a= .cdiffusivit thermique33

Cas particuliers : milieu avec source interne et en rgime permanent :

T +

p

=0

Equation de POISSON

milieu sans source interne et en rgime permanent :

T = 0

Equation de LAPLACE

milieu sans source interne et en rgime variable :

T = 1 T a t

Equation de FOURIER

Lquation de Fourier est suffisante pour traiter les problmes usuels.34

3.3.3 Equation de Fourier

T = 1 T a t

En Systme de coordonnes :

Cartsiennes Cylindriques Sphriques

35

- En coordonnes cartsiennes :

2T 2T 2T 1 T + 2+ 2 = . 2 a t z y x

- En coordonnes cylindriques : 2T 1 2 T 1 T 2 T 1 T + 2 + + = . 2 2 2 r r rr z a t

- En coordonnes sphriques : 2T 1 2T 2 T 2 T tg T 1 T 1 + 2 + 2 2 + 2 = 2 2 2 r r r cos r r r a t36

3.4 Phnomnes linaires de conduction thermique.3.4.1 Mur simple sans production de chaleurLa gomtrie du solide est suppose dfinie par des plans parallles. Nous prendrons pour axes des X la direction perpendiculaire ces plans. Nous supposons que les proprits physiques du solide ne dpendent que de x.

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Considrons une paroi dont les faces sont planes et suffisamment tendues dans les directions y et z pour admettre quelles sont infinies.Lquation fondamentale de transfert - chaleur se rduit :

Y

dT2

dx

2

=0

Z

X

dont la solution est de la forme :

a et b sont des constantes qui dpendent des conditions aux limites.38

T =ax +b

Admettons que les faces x = 0 et x = e soient respectivement portes aux tempratures T0 et T1 constantes. La