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    12-Jul-2015

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<p>Chapitre 5Elments nis de LagrangeLa construction d une mthode dlments nis ncessite la donne dun maillage, de noeuds et dun espace depolynmes, qui doivent tre choisis de manire cohrente. Les lments nis de type Lagrange font intervenircomme degrs de libert" (c..d. les valeurs qui permettent de dterminer entirement une fonction) les valeurs dela fonction aux noeuds. Ils sont trs largement utiliss dans les applications. Il existe dautres familles dlmentsnis, comme par exemple les lments nis de type Hermite qui font galement intervenir les valeurs des drivesdirectionnelles. Dans le cadre de ce cours, nous naborderons que les lments nis de type Lagrange, et nousrenvoyons aux ouvrages cits en introduction pour dautres lments.5.1 Espace dapproximation5.1.1 Cohrence locale"Soit T un maillage de , pour tout lment K de T , on note K lensemble des noeuds de llment. On supposeque chaque lment a N</p> <p> noeuds K : K= {a1, . . . , aN</p> <p>}, qui ne sont pas forcment ses sommets. On note P unespace de dimension nie constitu de polynmes, qui dnit la mthode dlments nis choisie.Dnition 5.1 (Unisolvance, lment ni de Lagrange) Soit K un lment et K=(ai)i=1,...,N</p> <p> un ensemblede noeuds de K. Soit P un espace de polynmes de dimension nie. On dit que le triplet (K, K, P) est un lmentni de Lagrange si K est P-unisolvant, cest dire si pour tout (1, . . . , N</p> <p>) IRN</p> <p>, il existe un unique lmentf P tel que f(ai)=ii=1 . . . N</p> <p>. Pour i=1, . . . , N</p> <p>, on appelle degr de libert la forme linaire idnie par i(p) = p(ai), pour tout p P. La proprit dunisolvance quivaut dire que la famille (i)i=1,...,N</p> <p>forme une base de P</p> <p> (espace dual de P).La P-unisolvance revient dire que toute fonction de P est entirement dtermine par ses valeurs aux noeuds.Exemple : llment ni de Lagrange P1Prenons par exemple, en dimension 1, llment K=[a1, a2], avecK= {a1, a2}, et P=P1 (ensemble des polynmes de degr infrieur ou gal 1). Le triplet (K, K, P) estunisolvant sil existe une unique fonction f de P telle que :_f(a1) = 1f(a2) = 21595.1. ESPACE DAPPROXIMATION CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEOr toute fonction f de P sexprime sous la forme f(x) = x + et le systme___a1 + = 1a2 + = 2dtermine et de manire unique.a1a2a31a1a2a32a1a2a33FIGURE 5.1 fonctions de base locales pour llment ni de Lagrange P1 en dimension 2De mme si on considre le cas d = 2. On prend comme lment K un triangle et comme noeuds les trois sommets,a1, a2, a3 du triangle. Soit P=P1= {f :IR IR; f(x)=x1 + x2 + } lensemble des fonctions afnes.Alors le triplet (K, K, P) est un lment ni de Lagrange car f P est entirement dtermine par f(a1), f(a2)et f(a3).Dnition 5.2 (Fonctions de base locales) Si (K, K, P) est un lment ni de Lagrange, alors toute fonction fde P peut scrire :f=N</p> <p>i=1f(ai)fiavec fi P et fi(aj) = ij. Les fonctions fi sont appeles fonctions de base locales.Pour llment ni de Lagrange P1 en dimension 2 considr plus haut, les fonctions de base locales sont dcritessur la gure 5.1Dnition 5.3 (Interpole) Soit (K, K, P) un lment ni de Lagrange, et soit v C(K, IR). Linterpole de vest la fonction v P dnie par :v=N</p> <p>i=1v(ai)fiOn montre sur la gure 5.2 un exemple dinterpole pour llment ni de Lagrange P1 en dimension 1. Ltudede v v va nous permettre dtablir une majoration de lerreur de consistance d(u, HN).Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 160 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.1. ESPACE DAPPROXIMATION CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEa1 a2xf(x)FIGURE 5.2 Interpole P1 sur [a1, a2] (en trait pointill) dune fonction rgulire (en trait continu)1 23FIGURE 5.3 Exemple de triangle trois noeuds qui nest pas un lment ni de Lagrange)Remarque 5.4 Pour que le triplet (K, K, P) soit un lment ni de Lagrange, ilfaut, mais il ne suft pas, quedimP=cardK. Par exemple si P=P1 et quon prend comme noeuds du triangle deux sommets et le milieude larte joignant les deux sommets, (voir gure 5.3), (K, K, P) nest pas un lment ni de Lagrange.Proposition 5.5 (Critre de dtermination) Soit (K, , P) un triplet constitu dun lment, dun ensemble denoeuds et dun espace de polynmes, tel que :dimP= card = N</p> <p>(5.1.1)Alorssi !f P; f= 0 sur (5.1.2)ou sii {1 . . . N</p> <p>}fi P fi(aj) = ij(5.1.3)alors (K, , P) est un lment ni de Lagrange.Dmonstration : Soit :: P IRN</p> <p>f (f(ai))ti=1,N</p> <p>.Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 161 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.1. ESPACE DAPPROXIMATION CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGELapplication est linaire de P dans IRN</p> <p>, et, par hypothse card = dimP. Donc est une application linairecontinue de P dans IRN</p> <p>, avec dimP=dim(IRN</p> <p>)=N</p> <p>. Si (K, , P) vrie la condition (5.1.2) alors estinjective. En effet, si (f)=0, alors f(ai)=0, i=1, . . . , N</p> <p>, et donc par hypothse, f=0. Donc est uneapplication linaire, est injective deP dansIRN</p> <p>avecdimP=N</p> <p>. On en dduit que est bijective. Donctoute fonction de P est entirement dtermine par ses valeurs aux noeuds : (K, , P) est donc un lment ni deLagrange.On montre facilement que si la condition (5.1.3) est vrie alors est surjective. Donc est bijective, et (K, , P)est un lment ni de Lagrange.Proposition 5.6 Soit ( K, ,P), un lment ni de Lagrange, o est lensemble des noeuds deK etP un espacede fonctions de dimension nie, et soit F une bijection deK dans K, o K est une maille dun maillage lmentsnis. On pose =F() et P= {f:K IR; f F P} (voir gure 5.4). Alors le triplet (K, , P) est unlment ni de Lagrange.KK(x, y) a3F a1 a2( x, y)a1= F( a1)a3= F( a3)a2= F( a2)FIGURE 5.4 Transformation FDmonstration : Supposons que les hypothses de la proposition sont ralises. On veut donc montrer que (, P)est unisolvant. Soit=(a1, . . . , aN</p> <p>), et soit(1, . . . , N</p> <p>) IRN</p> <p>. On veut montrer quil existe une uniquefonction f P telle quef(ai) = i, i = 1, . . . , N</p> <p>.Or par hypothse, (,P) est unisolvant. Donc il existe une unique fonctionf P telle quef( ai) = i, i = 1, . . . , N</p> <p>,(o( ai)i=1,...,N</p> <p> dsignent les noeuds deK). SoitF la bijection deK surK, on posef =f F1. Or parhypothse, ai= F( ai). On a donc : f(ai) =f F1(ai) =f( ai) = i. On a ainsi montr lexistence de f telleque f(ai) = i.Montrons maintenant que f est unique. Supposons quil existe f et g P telles que :f(ai) = g(ai) = i, i = 1, . . . , N</p> <p>.Soit h = f g on a donc :h(ai) = 0 i = 1 . . . N</p> <p>.On a donc h F( ai)=h(ai)=0. Or h F P, et comme (,P) est unisolvant, on en dduit que h F=0.Comme, pour tout x K, on a h(x) = h F F1(x) = h F(F1(x)) = 0, on en conclut que h = 0.Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 162 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.1. ESPACE DAPPROXIMATION CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEDnition 5.7 (Elments afne-quivalents) . Sous les hypothses de la proposition 5.6, si la bijectionF estafne, on dit que les lments nis ( K, ,P) et (K, , P) sont afnequivalents.Remarque 5.8 Soient( K, ,P) et (K, , P) deux lments nis affnequivalents. Si les fonctions de baselocales de ( K, ,P). (resp. de (K, , P)) sont afnes, alors celles de K (resp.K) le sont aussi, et on a :___fi= fi F,fi=fi F1,i = 1, . . . , cardLa preuve de cette remarque fait lobjet de lexercice 52.Proposition 5.9 (Interpolation) Sous les hypothses de la proposition 5.10 page 164, soient K et K les op-rateurs dinterpolation respectifs surK et K, voir dnition 5.3 page 160. Soient v C(K, IR), Kv et Kv lesinterpoles respectives de v sur ( K,P) et (K, P), alors on a :Kv F= K(v F)Dmonstration : Remarquons tout dabord que Kv F et K(v F) sont toutes deux des fonctions dnies deK valeurs dans IR, voir gure 5.5. Remarquons ensuite que, par dnition de linterpole, Kv P. CommeKIRKFKvKvF KvFIGURE 5.5 Oprateurs dinterpolation K etK( K, ,P) est llment de rfrence, on a donc :Kv F POn a aussi, par dnition de linterpole : K(v F) P. On en dduit que Kv F et K(v F) sont toutesdeux des fonctions deP. Comme llment ( K,P, ) est unisolvant (car cest un lment ni de Lagrange), toutefonction deP est uniquement dtermine par ses valeurs aux noeuds de. Pour montrer lgalit de Kv F etK(v F), il suft donc de montrer que :K(v F)( ai) = Kv F( ai), i = 1, . . . , N</p> <p>,o N</p> <p>= card. Dcomposons K(v F) sur les fonctions de base locales ( fj), j= 1, . . . , N</p> <p>. On obtient :K(v F)( ai) =N</p> <p>j=1v F( aj) fj( ai).Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 163 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.1. ESPACE DAPPROXIMATION CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEOn a donc :K(v F)( ai) = v __N</p> <p>j=1F( aj) fj__( ai) = v F( ai) = v(ai).Mais on a aussi :Kv F( ai) = Kv(F( ai)) = Kv(ai) = v(ai).Do lgalit.5.1.2 Construction de HN et conformitNous allons considrer deux cas : le cas o lespaceH est lespaceH1tout entier, et le cas o lespaceH estlespace H10Cas H= H1()Plaons-nous ici dans le cas o H=H1(), o IRdest un ouvert born polygonal (si d=2, polydriquesid=3). Soit T un maillage lments nis, avec T =(K</p> <p>)=1,...,L, o les lments nisK</p> <p> sont ferms ettels que L=1K</p> <p>=. Soit S =(Si)i=1,...,M lensemble des noeuds du maillage lments nis, avecSi, i = 1, . . . , M.. On cherche construire une mthode dlments nis de Lagrange ; donc chaque lmentK</p> <p>, =1, . . . , L, est associ un ensemble de noeuds </p> <p>= S K</p> <p>, et un espace P</p> <p> de polynmes. On veut quechaque triplet (K</p> <p>, </p> <p>, P</p> <p>) soit un lment ni de Lagrange. On dnit les fonctions de base globales (i)i=1,...,M,par :i |K</p> <p> P</p> <p>i = 1, . . . , M; = 1; . . . , L, (5.1.4)eti(Sj) = iji = 1, . . . , M, j= 1, . . . , M. (5.1.5)Chaque fonction i est dnie de manire unique, grce au caractre unisolvant de (K</p> <p>, </p> <p>, P</p> <p>), =1, . . . , M.On pose HN=V ect(1, . . . , M). Pour obtenir une mthode dlments nis conforme, il reste sassurer queHN H1.Une manire de construire lespace HN est de construire un maillage partir dun lment de rfrence, grce laproposition suivante, qui se dduit facilement de la proposition 5.6 page 162Proposition 5.10 (Elment ni de rfrence) Soit T un maillage constitu dlmentsK. On appelle lmentni de rfrence un lment ni de Lagrange ( K, ,P), o est lensemble des noeuds deK etP un espace defonctions, de dimension nie, tel que, pour tout autre lment K T , il existe une bijection F:K K telleque =F() et P= {f: K IR; f F P} (voir gure 5.4). Le triplet (K, , P) est un lment ni deLagrange.Proposition 5.11 (Critre de conformit, cas H1) Soit un ouvert polygonal (ou polydrique) de IRd, d = 2 ou3. Soit T =(K</p> <p>)=1,...,L, un maillage lments nis de , S=(Si)i=1,...,M lensemble des noeuds de maillage.On se place sous les hypothses de la proposition 5.10 ; soient (i)i=1,...,M les fonctions de base globales, vriant(5.1.4) et (5.1.5), et on suppose de plus que les hypothses suivantes sont vries :Pour toute arte (ou face si d = 3)= K1 K2, on a : 1 = 2 et P1 |</p> <p>= P2|</p> <p>, (5.1.6)o P1|</p> <p> (resp. P2|</p> <p>) dsigne lensemble des restrictions des fonctions de P1 (resp. P2) ),Siest un ct de K</p> <p>, (</p> <p> , P</p> <p>|</p> <p>) est unisolvant. (5.1.7)Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 164 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.1. ESPACE DAPPROXIMATION CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEAlors on a : HN C() et HN H1(). On a donc ainsi construit une mthode dlments nis conformes.(Notons que les cts de K</p> <p> sont des artes en 2D et des faces en 3D.)Dmonstration : Pour montrer que HN C() et HN H1(), il suft de montrer que pour chaque fonctionde base globale i, on a i C() et i H1(). Or par hypothse, (5.1.4), chaque fonction i est polynmialepar morceaux. De plus, grce lhypothse (5.1.6), on a raccord des polynmes sur les interfaces des lments, cequi assure la continuit de i. Il reste montrer que i H1() pour tout i=1, . . . , M. Comme i C(), ilest vident que i L2() (car est un ouvert born, donc i L() L2().Montrons maintenant que les drives faiblesDji, j =1, . . . , d, appartiennent L2(). Par dnition, lafonction i admet une drive faible dans L2() sil existe une fonction i,j L2() telle que :_i(x)j(x)dx = _ij(x)(x)dx, (5.1.8)pour toute fonction C1c() (on rappelle que C1c() dsigne lensemble des fonctions de classe C1 supportcompact, et que j dsigne la drive classique par rapport la j-me variable). Or, comme =L_=1K</p> <p>, on a :_i(x)Dj(x)dx =L</p> <p>=1_K</p> <p>i(x)Dj(x)dx.Sur chaque lment K</p> <p>, la fonction i est polynmiale. On peut donc appliquer la formule de Green, et on a :_KLi(x)j(x)dx =_K</p> <p>i(x)(x)nj(x)d(x) _K</p> <p>ji(x)(x)dx,o nj(x) est la j-ime composante du vecteur unitaire normal K</p> <p> en x, extrieur K</p> <p>. Mais, si on note Eintlensemble des artes intrieures du maillage (i.e. celles qui ne sont pas sur le bord), on a :X=L</p> <p>=1_K</p> <p>i(x)(x)nj(x)d(x) =_i(x)(x)nj(x)d(x)+</p> <p>Eint_ _(i(x)(x)nj(x))K</p> <p>1+ (i(x)(x)nj(x))K</p> <p>2d(x).o K1 et K2 dsignent les deux lments dontest linterface.Comme est support compact,_i(x)(x)nj(x)d(x) = 0.Comme i et sont continues et comme nj(x)K</p> <p>1= nj(x)K</p> <p>2pour tout x , on en dduit que X= 0. Enreportant dans (5.1.2), on obtient donc que :_i(x)j(x)dx = L</p> <p>=1_K</p> <p>ji(x)(x)dx.Soit i,j la fonction de dans IR dnie presque partout parij K= ji.Comme ji est une fonction polynmiale par morceaux, on a i,j L2() qui vrie (5.1.8), ce qui termine ladmonstration.Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 165 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.1. ESPACE DAPPROXIMATION CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGECas H= H10()Plaons-nous mainteant dans le cas o H= H10(). On dcompose alors lensemble S des noeuds du maillage :S= Sint SextoSint= {Si, i = 1, . . . , N} est lensemble des noeuds intrieurs etSext= {Si, i = N+ 1, . . . , M} est lensemble des noeuds de la frontire. Les fonctions de base globales sont alors les fonctions i, i = 1, . . . , Ntelles quei |K</p> <p> P</p> <p>, i = 1, . . . , N, = 1, . . . , L (5.1.9)i(Sj) = ij, j= 1, . . . , N, (5.1.10)et on pose l encore HN= V ect{1, . . . , N}. On a alors encore le rsultat suivant :Proposition 5.12 (Critre de conformit, cas H10) Soit un ouvert polygonal (ou polydrique) deIRd, d=2ou 3. Soit T =(K</p> <p>)=1,...,L un maillage lments nis de, S=(Si)i=1,...,M= Sint Sext lensemble desnoeuds du maillage. On se place sous les hypothses de la proposition 5.6. On suppose que les fonctions de baseglobale (i)i=1,...,M vrient (5.1.9) et (5.1.10), et que les conditions (5.1.6) et (5.1.7) sont vries. Alors on a :HN C() et HN H10()Dmonstration : La preuve de cette proposition est laisse titre dexercice.Remarque 5.13 (Elments nis conformes dans H2()) On a construit un espace dapproximation HN inclusdansC(). En gnral, on na pasHNC1(), et donc on na pas non plusHNH2() (en dimension1 despace,H2() C1()). Mme si on augmente le degr de lespace des polynmes, on nobtiendra paslinclusionHNC1(). Si on prend par exemple les polynmes de degr 2 sur les lments, on na pas decondition pour assurer le raccord, des drives aux interfaces. Pour obtenir ce raccord, les lments nis deLagrange ne sufsent pas : il faut prendre des lments de type Hermite, pour lesquels les degrs de libert nesont plus seulement les valeurs de la fonction aux noeuds, mais aussi les valeurs de ses drives aux noeuds. Leslments nis d...</p>