Les Intgrales

Dans ce chapitre on commence par prsenter la notion d'intgrale de Riemann, puis ondonne les principales techniques de calculs d'intgrales.

1.1 Intgrale dnie

1.1.1 Subdivision d'un segment

Un segment est un intervalle ferm born, du type [a, b]. Nous n'intgrerons que sur dessegments.

Dnition 1.1.1. Soit [a, b] un segment. Une subdivision d'un segment est une suite stric-tement croissante = (xi)0in d'lments de [a, b] tels que x0 = a, xn = b. Le pas de lasubdivision est le nombre h = max

1inxi xi1.

La subdivision est dite rgulire lorsque xi = a+ ib an

, dans ce cas, le pas est h =b an

=

xi xi1.

1.1.2 Somme de Riemann

Dnition 1.1.2. Soit f une fonction dnie et borne sur l'intervalle [a, b], et soit =(xi)0in une subdivision de [a, b]. On appelle somme de Riemann associe f , relativement

la subdivision tout nombre de la forme S =ni=1

(xi xi1)f(i) avec pour tout i,

i [xi1, xi].

Remarquons que si la subdivision est rgulire, une somme de Riemann est forcment

de la forme S = hni=1

f(i) =b an

ni=1

f(i).

Sous certaines conditions, toutes les sommes de Riemann ont la mme limite lorsque lepas de la subdivision tend vers 0, qui sera par dnition la valeur de l'intgrale de f surl'intervalle I.

1

1.1.3 Fonction intgrable au sens de Riemann

Dnition 1.1.3. Soit f une fonction dnie et borne sur un segment [a, b]. On dit que fest intgrable au sens de Riemann sur [a, b] lorsque toutes les sommes de Riemann associes f convergent vers une limite unique I lorsque le pas de leur subdivision tend vers 0. 1

Cette limite unique I est l'intgrale au sens de Riemann de la fonction f sur le segment

[a, b], elle se note I =

ba

f(x) dx.

Remarques sur la notation.

On lit

ba

f(x) dx : "somme de a b de f(x) dx"

a et b sont les bornes de l'intgrale. La lettre x est une "variable muette", on peut la remplacer par toute lettre qui n'estpas utilise dans le contexte (surtout pas par une lettre utilise dans les bornes). On

peut crire

ba

f(x) dx =

ba

f(t) dt =

ba

f(v) dv.

Quelques conditions susantes d'intgrabilit.

1.1.4 Conditions susantes d'intgrabilit

Thorme 1.1.1. Toute fonction continue sur un segment [a, b] est intgrable sur [a, b] etsur tout segment inclus dans [a, b].

Remarquons qu'une fonction continue sur un segment est forcment borne sur ce segment(ce ne serait pas vrai sur un intervalle qui ne serait pas un segment).

Thorme 1.1.2. Toute fonction monotone sur un segment est intgrable sur ce segment.

Remarquons qu'ici aussi, une fonction monotone sur un segment est forcment borne,mme si elle n'est pas forcment continue.

1.1.5 Aire d'une surface

Soit f une fonction dnie, disons continue et positive pour faciliter la reprsentationgraphique, sur un segment [a, b]. On souhaite calculer l'aire de la partie du plan situe"sous" la courbe de la fonction f (entre a et b : elle est prcisment dlimite par la courbede f , l'axe des abscisses et les deux droites verticales x = a et x = b). Une dmarchelogique consiste dcouper le segment [a, b] en un grand nombre de segments plus petits,c'est--dire considrer une subdivision = (xi)0in de [a, b] avec un pas h susammentpetit. Ensuite, on voit que l'aire cherche A est la somme des aires Ak des n bandes".

1. Cela signie que pour tout cart x l'avance , on peut trouver une valeur du pas telle quesi une subdivision a un pas h , alors toute somme de Riemann S associe f relativement cettesubdivision, est telle que l'cart entre I et S est infrieur .

2

Or l'aire Ak de la k-ime bande est proche de celle Ak qu'on obtiendrait en considrantque c'est un rectangle, de largeur (xk xk1) et de hauteur f(k) avec k [xk1, xk]. Oncomprend d'ailleurs, (et on admet) que l'erreur est d'autant moins grande que le pas de lasubdivision est petit.

On a donc A =nk=1

Ak 'nk=1

Ak =nk=1

(xk xk1)f(k) = S.

Mais on reconnat en S une somme de Riemann, et si le pas de somme de Riemann tend

vers 0, on a vu que S I = ba

f(x) dx. Donc l'aire cherche est A = I = ba

f(x) dx.

Remarquons qu'on reconnat en dx un dplacement "inniment petit" le long de l'axe desabscisses, ce qui permet de voir le rapport avec les direntielles du chapitre prcdent.Rcapitulons :

Proposition 1.1.1. Soit f une fonction intgrable sur un segment [a, b], positive sur cesegment. Alors l'aire de la partie de plan limite par la courbe de f au-dessus, par l'axe desabscisses en dessous, par les droites verticales x = a et x = b sur le ct est, exprime enunits d'aires :

A = ba

f(x) dx

Si on ne suppose plus f positive sur [a, b], on a tout de mme le rsultat suivant.

Proposition 1.1.2. L'aire de la partie de plan comprise entre la courbe d'une fonctionintgrable, l'axe des abscisses et deux droites verticales x = a et x = b est donne par

A = ba

|f(x)| dx

1.2 Calcul des intgrales

1.2.1 Proprits lmentaires

Relation de Chasles et consquences

Proposition 1.2.1. Soit f une fonction intgrable sur un segment [a, b]. Alors, pour toutc ]a, b[, f est intgrable sur [a, c] et sur [c, b] et on a

(1)

ba

f(x) dx =

ca

f(x) dx+

bc

f(x) dx

De mme, si f est intgrable sur le segment [a, c] et sur le segment [c, b], alors f estintgrable sur [a, b] et on a encore la relation (1).

Cette relation de Chasles donne envie de gnraliser la dnition de l'intgrale des situa-tions o on n'a plus forcment a < b.

3

D'abord, si on prend c non seulement dans ]a, b[, mais si on autorise, par exemple c = a,alors forcment l'galit (1) devient b

a

f(x) dx =

aa

f(x) dx+

ba

f(x) dx

donc

aa

f(x) dx = 0. Ceci est valable quel que soit a.

Ensuite, si on veut accepter des intgrales avec des bornes dans le mauvais ordre, parexemple si a < b, pour que la relation de Chasles reste valable, on doit avoir

0 =

aa

f(x) dx =

ba

f(x) dx+

ab

f(x) dx

donc par dnition, on posera, si a < b et si f est intgrable sur le segment [a, b], ab

f(x) dx = ba

f(x) dx.

Enn, on vrie que si a, b, c sont trois nombres d'un intervalle dans lequel f est intgrable,quel que soit l'ordre de ces nombres, la relation de Chasles (1) reste valable.

Linarit de l'intgration

Proposition 1.2.2. Soit [a, b] un segment et soit f une fonction intgrable sur ce segment.Alors pour tout R, la fonction f est intgrable et on a b

a

f(x) dx =

ba

f(x) dx

Si f et g sont deux fonctions intgrables sur ce segment, alors f + g est intgrable sur cesegment et on a b

a

f(x) + g(x) dx =

ba

f(x) dx+

ba

g(x) dx

Consquences : Ces deux formules sont encore valables si a b (vrication immdiate).

En remplaant par 0, on trouve que

ba

0 dx = 0

Positivit

Proposition 1.2.3. Si f est une fonction intgrable sur un segment [a, b] (avec a < b), si

f(x) 0 pour tout x [a, b], alors ba

f(x) dx 0

On peut remarquer que dans cette situation, toutes les sommes de Riemann associes fsont positives.En appliquant cette proposition la dirence de deux fonctions, on obtient :

4

Corollaire 1.2.1. Si f et g sont deux fonctions intgrables sur un segment [a, b] (avec a < b),

si f(x) g(x) pour tout x [a, b], alors ba

f(x) dx ba

g(x) dx

Un autre corollaire de cette proposition est l'ingalit de la moyenne.

Proposition 1.2.4. Si f est une fonction intgrable sur [a, b], et si m et M sont respec-tivement un minorant et un majorant de f sur [a, b], (i.e. x [a, b], m f(x) M),alors

m 1b a

ba

f(x) dx M

Le nom de cette proposition se justie par la dnition suivante :

Dnition 1.2.1. Si f est une fonction intgrable sur [a, b], on appelle valeur moyenne de

la fonction f sur le segment [a, b] le nombre =1

b a

ba

f(x) dx.

L'ingalit de la moyenne s'crit donc m M et traduit l'vidence qu'une valeurmoyenne est comprise entre les valeurs extrmes.(Si a > b cette dnition et cette proposition restent valables.)

La dmonstration de l'ingalit de la moyenne (pour a < b) est instructive :En appliquant le corollaire 1.2.1 aux trois fonctions x 7 m, f et x 7M , on obtient b

a

m dx ba

f(x) dx ba

M dx

or si C est une constante, pour toute subdivision = (xi)0in du segment [a, b], unesomme de Riemann associe la fonction constante g : x 7 C relativement a

comme valeur

ni=0

(xi xi1)g(i) =ni=0

(xi xi1)C =ni=0

(xi xi1) = C(b a). Toutes

les sommes de Riemann associes une fonction constante ont la mme valeur, donc elles

convergent, lorsque leur pas tend vers 0, vers cette valeur commune qui est l'intgrale ba

C dx = C(b a).En particulier, dans la situation qui nous intresse, on trouve

m(b a) ba

f(x) dx M(b a)

puis le rsultat en divisant par (b a) qui est positif.Un cas particulier important de cette ingalit a lieu lorsque la fonction f est continue :

Proposition 1.2.5 (Formule de la moyenne). Soit f une fonction continue sur le segment

[a, b], . Alors il existe x0 [a, b] tel que =1

b a

ba

f(x) dx = f(x0).

5

Soient m = minx[a,b]

f(x) et M = maxx[a,b]

f(x) ; la continuit de f implique l'existence de ces

m et M ainsi que le fait que f([a, b]) = [m,M ] . L'ingalit de la moyenne assure que lamoyenne vrie [m,M ] = f([a, b]), d'o le rsultat.

1.2.2 Utilisation des primitives

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soit a I. Alors, pour tout x I, six > a, la fonction f est intgrable sur [a, x] et si x < a alors f est intgrable sur [x, a], desorte qu'on peut dnir sur I la fonction G : x 7 G(x) =

xaf(t) dt. Cette fonction G

est une fonction dnie par une intgrale.

Thorme 1.2.1. Si f est une fonction continue sur l'intervalle I, et si a I, alors lafonction G dnie par G(x) =

xaf(t) dt est drivable et on a, pour tout x I, G(x) =

f(x) (G est une primitive de la fonction f .

Preuve. Pour tout x0 I, il faut tudier la limite, pour h 0, du quotientG(x0 + h)G(x0)

h.

Or on a

G(x0 + h)G(x0)h

=1

h

( x0+ha

f(x) dx x0a

f(x) dx

)=

1

h

( ax0

f(x) dx+

x0+ha

f(x) dx

)=

1

h

x0+hx0

f(x) dx = f(x0 + h) (avec 0 < < 1)

(On a appliqu le thorme de la moyenne, directement si h > 0, et aprs avoir retournl'intgrale sinon.)Lorsque h 0, grce la continuit de f qui implique que f(x0 + h) f(x0), on peut

conclure que le quotientG(x0 + h)G(x0)

htend vers f(x0), donc que G est drivable en

x0 et que G(x0) = f(x0).

Consquence

Ce thorme prouve que toute fonction continue sur un intervalle admet au moins uneprimitive sur cet intervalle. D'autre part, on sait que si F et G sont deux primitives surun intervalle d'une mme fonction f , alors F et G dirent d'une constante. Donc si onconnat une primitive F de la fonction continue f sur un intervalle I contenant [a, b], pour

calculer

ba

f(x) dx, on peut utiliser F .

En eet, en reprenant la notation du thorme, on a :

ba

f(x) dx = G(b)G(a). Mais ilexiste une constante C telle que pour tout x I, on a :

G(x) = F (x) + C, donc

ba

f(x) dx = F (b) + C (F (a) + C) = F (b) F (a).Rcapitulons ce qu'on vient d'obtenir :

6

Thorme 1.2.2. Si F est une primitive de la fonction continue f sur un intervalle I, sia et b sont deux nombres de I, alors on a b

a

f(x) dx = F (b) F (a) =[F (x)

]ba

Exemples d'application directe : 21

dx

x2=

[1x

]21

= 12+ 1 =

1

2

1.2.3 Mthode de changement de variable

Thorme 1.2.3. Soit une fonction drivable, de drive continue et de signe constantsur un intervalle [a, b] ( est donc monotone sur [a, b]) et soit f une fonction continue surl'intervalle ([a, b]) (qui est soit [(a), (b)], si est croissante, soit [(b), (a)], si estdcroissante). Alors on a b

a

f [(t)](t) dt =

(b)(a)

f(x) dx

Preuve. Soit F une primitive de f sur un intervalle contenant ([a, b]) et soit G = F .On sait que G = (F ), ce qui signie que G(t) = F [(t)](t) = f [(t)](t). G estdonc une primitive sur [a, b] de t 7 f [(t)](t), ce qui fait que ba

f [(t)](t) dt =[G(t)

]ba= G(b)G(a) = F ((b))F ((a)) =

[F (x)

](b)(a)

=

(b)(a)

f(x) dx

Remarques

Formellement, quand on fait un changement de variable, il sut de poser, dans le

corps de l'intgrale, x = (t) dans

(b)(a)

f(x) dx, condition d'appliquer la rgle du

calcul de direntielle dx = d(t) = (t) dt. Ceci dit, il ne faut pas oublier de changer les bornes d'intgration, en raisonnantainsi : si = (a) et = (b), on dit lorsque x vaut , t vaut a, et lorsque x = ,t = b.

L'ordre des bornes d'intgration doit correspondre entre les deux intgrales. Il faut tre prt utiliser les lettres x et t ou n'importe quelle autre dans n'importequel rle.

La dmonstration qu'on a faite montre qu'en fait, il n'est pas utile de mettre enhypothse que est monotone, et que la formule reste valable ds que est drivable drive continue. En pratique c'est cependant le plus souvent avec un changementde variable monotone qu'on travaillera.

7

Pratique du changement de variable

a) La nouvelle variable d'intgration est fonction de l'ancienne.

Exemple : Calculer

10

2x1 x2 dx. On remarque que 2x dx = d(1x2), ce qui suggre

d'utiliser le changement de variable t = 1 x2, dt = 2x dx, donc 2x dx = dt et six = 0 t = 1 et si x = 1 t = 0, donc 1

0

2x1 x2 dx =

01

t dt =

01

t12 dt =

[t

32

32

]01

= 23

[tt]01= 2

3(0 1) = 2

3

Remarquons que le rsultat est positif, ce qui tait prvisible puisque la fonction intgrertait positive et les bornes de l'intgration dans le bon sens".

b) L'ancienne variable d'intgration est fonction de la nouvelle.

Exemple : Calculer

10

1 x2 dx.

On pourrait tre tent d'utiliser le mme changement de variable que pour l'exemple pr-cdent, mais ce serait sans issue : on pourrait bien crire dt = 2x dx, mais on n'a que dxdans l'intgrale, donc on devrait crire dx =

dt2x ; pour continuer, il faudrait exprimer

x en fonction de t, ce qui est possible : x2 = 1 t donc x =1 t (dans le domaine

d'intgration [0, 1], on a x > 0) ; mais alors on obtient dx = dt21 t et 1

0

1 x2 dx =

01

t

21 t

dt

et on arrive une intgrale qui n'est pas plus simple que celle dont on est parti. On n'arien fait de faux, mais on n'a non plus rien fait d'utile !

Une bonne solution consiste chercher un changement de variable qui fera quelque chose

d'intressant avec cette

. En se rappelant la formule de trigonomtrie cos2 +sin2 = 1,

il est pertinent de poser x = sin 2. On a alors dx = cos d et 1x2 = 1 sin2 = cos2 .On peut choisir les bornes du nouvel intervalle d'intgration ainsi : x = 0 = 0 etx = 1 =

2. Lorsque [0,

2], on a cos > 0 donc

1 x2 =

cos2 = cos .

Finalement, on a donc 10

1 x2 dx =

2

0

cos cos d =

2

0

cos2 d =

2

0

1

2(1+cos 2) d =

[t

2+

sin 2

4

]2

0

=

4

Remarquons que ce rsultat tait prvisible en reprsentant dans un repre orthonormla fonction x 7

1 x2 et en interprtant l'intgrale calcule en terme d'aire : elle

correspond l'aire du quart d'un disque de rayon 1.

2. on pourrait aussi trs bien s'en sortir en posant x = cos

8

1.2.4 Intgration par parties

Proposition 1.2.6. Soient u et v deux fonctions drivables, dont les drives sont conti-nues, sur un segment [a, b]. Alors on a b

a

u(x)v(x) dx =[u(x)v(x)]

]ba ba

u(x)v(x) dx

Cette formule se dmontre trs facilement partir de la formule de drivation d'un produit :(uv) = uv + uv qui, lors d'une intgration, donne : b

a

x[u(x)v(x)] dx =

ba

u(x)v(x) dx+

ba

u(x)v(x) dx

d'o le rsultat puisque uv est une primitive de (uv).

Exemple

Soit calculer

2

0

x sinx dx. On crit u = x donc u(x) = 1 et v(x) = sinx donc

v(x) = cosx. (On fait souvent l'abus de langage : u = x, du = dx, dv = sinx dx,v = cosx.)

2

0

x sinx dx =[x( cosx)]

]2

0

2

0

1( cosx) dx = 0 +

2

0

cosx =[sinx

]2

0= 1

1.2.5 Primitives de rfrence

Notation

Si F est une primitive particulire de f , on notera par une intgrale indnie l'ensembledes primitives de f :

f(x) dx = F (x) + C

Primitives usuelles connatre

x dx =

x+1

+ 1+ C (pour tout 6= 1.)

dx

x= ln |x|+ C

sinx dx = cosx dx+ C

cosx dx = sinx dx+ C

ex dx = ex + C

(1 + tan2 x) dx =

dx

cos2 x= tanx+ C

9

Fonctions composes

Si F est une primitive de f , alors, quelle que soit la fonction drivable u, on af(u(t))u(t) dt = F (u(t)) + C

En particulier, pour les fonctions u anes, on af(ax+ b) dx =

1

aF (ax+ b) + C

10