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Chapitre 7 MÉTHODE DES ROTATIONS 7.1 INTRODUCTION Bien qu’ayant un caractère général, comme la méthode des forces, la méthode des rotations (des déplacements ou des déformations) est cependant surtout utilisée pour le calcul des structures constituées de barres, généralement droites. Des barres droites assemblées en leurs extrémités (nœuds) forment des structures appelées portiques (Figure 7.1). Les portiques ont un comportement essentiellement flexionnel, c'est-à-dire que la flexion est prépondérante. On peut de ce fait négliger les déformations provoquées par l'effort normal et l'effort tranchant. Les structures auxquelles on s'intéresse ici sont planes et chargées dans leur plan. (b) Figure 7.1 (a)

Chap7. Méthode des rotations

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Chapitre 7

MÉTHODE DES ROTATIONS

7.1 INTRODUCTION

Bien qu’ayant un caractère général, comme la méthode des forces, la mé-thode des rotations (des déplacements ou des déformations) est cependant surtout utilisée pour le calcul des structures constituées de barres, généralement droites.

Des barres droites assemblées en leurs extrémités (nœuds) forment des struc-tures appelées portiques (Figure 7.1).

Les portiques ont un comportement essentiellement flexionnel, c'est-à-dire que la flexion est prépondérante. On peut de ce fait négliger les déformations provoquées par l'effort normal et l'effort tranchant.

Les structures auxquelles on s'intéresse ici sont planes et chargées dans leur plan.

D'une façon générale, la méthode des déplacements est utilisée lorsque le de-gré d'hyperstaticité est élevé. Notons aussi qu'elle s'applique parfaitement aux poutres continues ; dans ce cas, les appuis intermédiaires constituent les nœuds de la structure.

(b) Figure 7.1(a)

Page 2: Chap7. Méthode des rotations

144 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

7.2 CLASSIFICATION DES STRUCTURES

La méthode étant basée sur les déplacements des nœuds, les structures consi-dérées sont classées en fonction des possibilités de déplacement de leurs nœuds.

On distingue deux catégories :

a) Les structures à nœuds fixes ou à nœuds invariables (Figure 7.2)

Dans de telles structures, les nœuds ne peuvent subir que des rotations.

Notons que la dérive (c’est-à-dire la translation) des nœuds d'un système peut être empêchée soit par la nature même du système (notamment le type d'appuis) soit par une symétrie de la géométrie et du chargement du système.

b) Les structures à nœuds déplaçables (Figure 7.3)

Ce sont des structures dont les nœuds ou certains nœuds subissent des trans-lations en plus des rotations.

Une structure est à nœuds déplaçables si le système articulé, obtenu par rem-placement de tous les nœuds et de tous les encastrements d'appui par des articu-lations, constitue un système instable (mécanisme).

Le nombre de translations possibles pour les nœuds représente le nombre de degrés de liberté (ddl) du système articulé. Le nombre de ddl correspond au nombre de liaisons supplémentaires qu'il faut ajouter à la structure articulée in-stable pour qu'elle devienne immobile (stable), du point de vue translation.

Le nombre de translations indépendantes possibles d'un système vaut :

Kt = 2n – (b+l)

Avec :

Figure 7.2 (b) (a)

Figure 7.3(b) (a)

Page 3: Chap7. Méthode des rotations

Méthode des ro ta t ions 145

n = nombre de nœuds et d'appuis.b = nombre de barres (une console n'est pas comptée comme une barre).l = nombre de liaisons aux appuis du système articulé.

7.3 PRINCIPE DE LA MÉTHODE

La méthode consiste à déterminer les déplacements (rotations et translations) des nœuds de la structure ; puis, en raison de l'interdépendance qui existe entre les déformations et les efforts, on détermine les efforts (moment, effort tranchant et effort normal). Le principe de la méthode est décrit par les trois étapes sui-vantes.

1) On ajoute des liaisons aux nœuds de la structure initiale pour obtenir un sys-tème dont les nœuds n'ont aucune possibilité de déplacement (rotation ou transla-tion). Le système ainsi obtenu est appelé système statique de base (Figure 7.5b).

(e)

Figure 7.4 : Exemples de calcul de Kt

(b) (a) (c)

(d)

Kt=1 Kt=2 Kt=3

Kt=1 Kt=2

(a) Système initial(b) Système de base

Figure 7.5

Page 4: Chap7. Méthode des rotations

146 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

2) Afin d'obtenir un système équivalent à la structure initiale, on applique des dé-placements (inconnus) correspondant aux liaisons ajoutées (Figure 7.6).

Les inconnues du problème dans le cas considéré sont :

X1 = w1 (rotation du nœud 1)

X2 = w2 (rotation du nœud 2)

X3 = (translation horizontale des nœuds 1 et 2, la variation de longueur de la barre 1-2 étant négligée).

3) Pour obtenir les déplacements inconnus (X1, X2, X3) on écrit qu'il y a équilibre des réactions (moments ou forces) apparaissant dans chaque liaison ajoutée sous l’effet des forces extérieures et des déplacements imposés. Soit :

R1 = des moments réactifs dans l'encastrement (1) = 0

R2 = des moments réactifs dans l'encastrement (2) = 0 (7.1)

R3 = des réactions dans la liaison (3) = 0

Il importe de noter que le système de base obtenu selon l'étape 1 est toujours constitué de barres dont chacune a soit ses deux extrémités encastrées soit une extrémité encastrée et l'autre appuyée simplement ou doublement (Figures 7.7 et 7.8).

w1 w2

(3) (2)

(3)

Figure 7.6

(a) (b)

Figure 7.7

Page 5: Chap7. Méthode des rotations

Méthode des ro ta t ions 147

Pour terminer, on retient que la méthode des déplacements est caractérisée par :

1) Le blocage des nœuds.

2) Un seul système de base possible, donc une façon unique de mettre le pro-blème en équations (de ce fait, la méthode est particulièrement indiquée pour le calcul automatique).

3) Des liaisons ajoutées spéciales ; en effet,

Les encastrements ajoutés supportent uniquement des moments et peuvent par conséquent subir des translations. Les liaisons de translation supportent seulement des forces suivant la liaison ajoutée.

7.4 SOLLICITATION DES BARRES DROITES HYPERSTATIQUES

Comme nous venons de le voir, le système de base est constitué de barres qui peuvent être :- encastrées aux deux extrémités - encastrées d'un côté et appuyées de l'autre

Ces barres sont sollicitées par :- les déplacements appliqués - les charges extérieures

Le calcul de ces poutres peut être effectué par l’une des méthodes exposées précédemment comme la méthode des paramètres initiaux, la méthode des forces ou encore la formule des 3 moments ou toute autre méthode.

7.4.1 Barres soumises à des déplacements d'appuis

Examinons à titre d’exemple le cas de la poutre encastrée à ses deux extrémi-tés soumise à une rotation de l’un de ses appuis (Figure 7.9).

a) Méthode des paramètres initiaux

On veut calculer les réactions. Soient RA, MA, RB et MB les composantes des réactions aux appuis A et B qui apparaissent sous l'action de wA.

(a)

Figure 7.8

(b)

Page 6: Chap7. Méthode des rotations

148 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

On a :

Mx = MA + RAx

EIy" = -MA - RAx

EIy' = -MAx - RA x2/2 + C

EIy = -MAx2/2 - RAx3/6 + Cx + D

avec :

C = EI0 = EIwA et D = EIf0 = EI.0 = 0

donc :

EIy' = -MAx - RAx2/2 + EIwA

EIy = -MAx2/2 - RAx3/6 + EIwAx

Conditions à l'extrémité B

En B (x = l), on a : B = 0 et yB = 0

D'où :

0 = -MAl - RA l2/2 + EIwA

0 = -MAl2/2 - RAl3/6 + EIwAl

ou encore :

On peut maintenant calculer RB et MB.

Application : Rotation unitaire (wA = 1)

b) Méthode des forces (Figure 7.10)

1F = 2F = 0 (pas de charges extérieures).

MA

Figure 7.9

l

A

RA

B

y

wA(wA>0)

x

Page 7: Chap7. Méthode des rotations

Méthode des ro ta t ions 149

Les coefficients du système ci-dessus sont calculés à partir des figures 7.10c et 7.10d.

;

d'où :

Le tableau 7.1 donne les réactions, les moments et les déformées des diffé-rents cas de figure.

7.4.2 Barres soumises à des charges

Figure 7.10

B

wA=1

(a)l

wA=1MA MB

(b)

(c)

(d)

MA=1

1

MB=1

1

A

Page 8: Chap7. Méthode des rotations

150 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

Les calculs peuvent être menés par les méthodes exposées dans les chapitres précédents. Les diagrammes des moments et les réactions des cas de charge les plus courants sont regroupés dans le tableau 7.2.

Tableau 7.1

3EI/l3

w=1

l

6EI/l²

6EI/l² 4EI/l

2EI/l

6EI/l²

l

12EI/l3

12EI/l3

=1

6EI/l²l

12EI/l3

6EI/l²12EI/l3

6EI/l²

=1

l

3EI/l2

3EI/l3

=1l

3EI/l3

3EI/l²

=1

3EI/l3

l

3EI/l3EI/l²

3EI/l²

w=1

l

3EI/l2

3EI/l²

3EI/l

w=1

l

3EI/l2

3EI/l3

=1

3EI/l3

l

3EI/l2

3EI/l3

3EI/l3

=1

6EI/l²

w=1

l

2EI/l

6EI/l²4EI/l

Page 9: Chap7. Méthode des rotations

Méthode des ro ta t ions 151

Tableau 7.2

Page 10: Chap7. Méthode des rotations

152 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

7.5 NOMBRE D’INCONNUES – ÉQUATIONS D’ÉQUILIBRE

7.5.1 Nombre d’inconnues (K)

Le nombre d’inconnues de la méthode est égal au nombre de déplacements possibles (rotations Kr et translations Kt) des nœuds de la structure considérée.

K = Kr+Kt

- Kr = nombre de rotations - égal au nombre de nœuds de la structure (les ap-puis n’étant pas comptés comme nœuds).

- Kt = nombre de déplacements linéaires indépendants (voir § 7.2).- K représente le nombre de liaisons (encastrements ou butées de translation)

ajoutées pour immobiliser les nœuds de la structure initiale.

7.5.2 Equations d’équilibre

Chaque équation exprime l’équilibre des réactions apparaissant dans une liai-son ajoutée. Dans chaque liaison (i) introduite, la résultante des réactions, engen-drées par les forces extérieures (RiF) et par les déplacements appliqués (Rij), doit être nulle.

Ainsi, dans l’exemple de la figure 7.11 ci-dessous les équations à partir des-quelles seront tirés les déplacements inconnus (X1, X2 et X3) s’écrivent :

R1 = R11 + R12 + R13 + R1F = 0

R2 = R21 + R22 + R23 + R2F = 0 (7.2)

R3 = R31 + R32 + R33 + R3F = 0

Avec :

R11 = réaction (moment réactif) apparaissant dans la liaison ajoutée 1 (encastrement) sous l’action du dé-placement appliqué X1 (rotation).

R12 = réaction (moment) appa-raissant dans la liaison 1 sous l’ac-tion du déplacement X2.

R31 = réaction (force horizontale) apparaissant dans la liaison 3 (liaison de translation) sous l’action du déplacement X1.

Et de manière générale :

RiF = réaction qui apparaît dans la liaison ajoutée i sous l’action de la sollici-tation globale F (c’est-à-dire les charges appliquées).

Rij = réaction dans la liaison i, dont la nature est déterminée par celle de la liaison, sous l’action du déplacement Xj.

En vertu du principe de superposition des effets nous pouvons écrire :

(7.3)

Figure 7.11

(1) (2)

(3)X2X1

X3

Page 11: Chap7. Méthode des rotations

Méthode des ro ta t ions 153

où :

Xj est le déplacement inconnu appliqué. est la réaction dans la liaison i sous l’action d’un déplacement unitaire, ro-tation ou translation selon la nature de la liaison j, appliqué à la liaison j.

Ainsi, pour une structure à n inconnues (n déplacements inconnus des nœuds), le système d’équations s’écrit :

(7.4)

Ou encore sous forme condensée :

i = 1, …, n (7.5)

Sous forme matricielle le système d’équations canoniques s’écrit :

est appelée matrice de rigidité.

7.6 EXEMPLES D’APPLICATION

Exemple 1

Soit à calculer le portique ci-contre.

(EI) = Cte = 2 1010 kgcm²

P = 100 kg

Degré d’hyperstaticité : K = 1 + 0 = 0

l/2

P

l/2=2m

h=3m

PPX1

Système de base

X1 X2

Page 12: Chap7. Méthode des rotations

154 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

L’équation canonique du système s’écrit :

Calcul du coefficient de réaction u11r (moment de réac-

tion unitaire) :

On indique dans le sens de la rotation X1 appliquée à l’encastrement élastique ajouté (figure ci-contre).

Diagramme unitaire :

Le coefficient u11

r est calculé de façon à réaliser l’équilibre au nœud du dia-gramme m1.

Equation d’équilibre :

Le coefficient R1F (réaction de charge) est calculé de la même manière que .

u11r

X1=1X1=1

3EI/l²

3EI/l²6EI/h²

4EI/h

3EI/l

6EI/h²2EI/h

m1

u11

r3EI/l

4EI/h

Page 13: Chap7. Méthode des rotations

Méthode des ro ta t ions 155

Diagramme de la charge appliquée :

L’action de la charge est limitée à la travée sur laquelle elle est appliquée.

Le sens de R1F est donné par celui choisi pour X1. L’équation d’équilibre du nœud déterminera le signe correct.

Équation d’équilibre :

L’inconnue X1, peut être calculée maintenant :

A.N  : h = 300 cm et l = 400 cm

= rotation (en radian) du nœud rigide du système donné.

Pour passer du diagramme unitaire m1 au diagramme réel M1, on multiplie le premier par X1.

*) Si X1 était négative on aurait in-versé le diagramme et le sens des réac-tions.

MF

P

5P/1611P/16 5Pl/32

6Pl/32R1F

6Pl/32

6.75kg

6.75kg24kg

48kgm

27kgm

M1

24kg

24kgm

Page 14: Chap7. Méthode des rotations

156 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

Le diagramme des charges ne change pas.

Le diagramme final des moments (M) s’ob-tient par superposition des diagrammes M1 et MF. On note que l’équilibre de rotation du nœud est satisfait.

Les réactions aux appuis de système donné peuvent s’obtenir en reportant les réactions des diagrammes M1 et MF aux appuis réels qui les supportent.

A partir des réactions et des charges extérieures, on trace les diagrammes de N et de T.

M

48kgm

76kgm

24kgm

M

48kgm

76kgm

24kgm

MF

68.75kg 62.5kgm

75kgm

31.25kg

31.25kgm

6.75kg

24kg

24kg

6.75kg68.75kg

A

B

RHA=24kg

RVA=62kg

PRH

B=24kg

RVB=38kg

P

24kg

N

62kg

62kg

38kg

24kg

T

Page 15: Chap7. Méthode des rotations

Méthode des ro ta t ions 157

Exemple 2

K = 2 + 0 = 2

Equations canoniques :

Diagrammes unitaires (a et b) et diagramme des charges (c) :

8EI/l

4EI/l

ru11 = 12EI/l

ru11

1

4EI/l4EI/l

2EI/l

8EI/l

4EI/l8EI/l

b) m2

1

4EI/l

4EI/l

2EI/l

8EI/l

a) m1

c) MF

ql²/12=56/21

ql²/24=28/21

4EI/l

ru12 = ru

21 = 4EI/l

ru12

EI

S.D.

q=2t/ml

2EI

EI

2EI

l l=4m

l=4m

S.F.

X1X2

Page 16: Chap7. Méthode des rotations

158 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

La résolution du système donne :

Diagrammes réels :

Les diagrammes m1 et m2 sont multipliés par X1 et X2, respectivement.

Le diagramme final du moment fléchissant s’obtient par superposition des diagrammes M1, M2 et MF.

Effort tranchant et effort normal ; on détermine d’abord les réactions d’ap-puis.

8/21

4/21 4/21

2/21

M1 M2

12/2112/21

24/21

24/21

6/21

12/21

2 6

12

3220

34

468

M(1/21)

8EI/l

4EI/l

ru22 = 20EI/l

ru22

8EI/l

R1F

R1F = 0

ql²/12

R2F = -ql²/12

R2F

Page 17: Chap7. Méthode des rotations

Méthode des ro ta t ions 159

Diagrammes unitaires :

Sous les charges extérieures :

Pour passer des réactions unitaires aux réactions réelles on multiplie les réac-tions (1) et (2) par X1 et X2, respectivement.

Il faut maintenant superposer les réactions (I), (II) et (F).

3/142/7

1/14

3/141/14

27/7 31/7

(efforts en t)

3/4EI

3/8EI3/4EI

3/8EI (1) (2)

3/4EI3/8EI

3/4EI 3/4EI

3/4EI

3/8EI

ql/2=4 ql/2=4

(F)

1/7

(I) (II)

1/14

1/14

1/7

3/7 3/7

3/143/7 3/7

3/14

Page 18: Chap7. Méthode des rotations

160 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

La dernière phase consiste à transmettre les réactions des encastrements élas-tiques (nœuds rigides) aux appuis réels, c’est-à-dire aux encastrements.

Pour pouvoir calculer l’effort normal en un point quelconque du système, il

suffit d’ajouter au schéma ci-contre les charges extérieures.

On peut vérifier sur la figure ci-contre que les équilibres de transla-tions sont satisfaits :

Exemple 3

Le système a trois inconnues, K = 2 + 1, les deux déplacements angulaires des nœuds rigides (X1 et X2) et un déplacement linéaire (X3).

Les trois équations canoniques du système s’écrivent :

1/14

2/7 27/7

31/7

2/14

3/14(réactions en t)

3/141/14

(réactions en t)

2/14

31/7

q=2t/ml

(i)27/72/7

(2EI)

(EI)(EI)q

l

(a)

l

Page 19: Chap7. Méthode des rotations

Méthode des ro ta t ions 161

N.B. : En raison de la nature de X3 qui est un déplacement linéaire, les coeffi-cients ru

13, ru23, ru

31, ru32 et R3F sont des forces et ru

33 une force/unité de longueur. Quant aux autres coefficients (ru

11, ru12, ru

21, ru22, R1F et R2F) ce sont des moments.

Diagrammes unitaires et des charges extérieures

S.F.

X1X2

X3

m1

16EI/l² 4EI/l

12EI/l²

8EI/l

4EI/l

4EI/l²

2EI/l

12EI/l²

m2

1

12EI/l²12EI/l² 8EI/l

6EI/l²4EI/l

6EI/l²

4EI/l

2EI/l

m3

6EI/l²12EI/l3

6EI/l²

12EI/l3

12EI/l3

6EI/l²6EI/l²

12EI/l3

MF

ql/2

ql/2

ql²/12

ql²/12

ql²/24

Page 20: Chap7. Méthode des rotations

162 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

Calcul des coefficients de réaction

8EI/l

4EI/l

ru11 = 12EI/l

ru11

4EI/l

ru12 = 4EI/l

ru12

8EI/l

4EI/lru

22 = 12EI/l

ru224EI/l

ru21 = 4EI/l

ru21

Page 21: Chap7. Méthode des rotations

Méthode des ro ta t ions 163

La résolution du système d’équations, donne :

6EI/l²

ru13 = -6EI/l²

ru13

6EI/l²ru

23 = -6EI/l²

ru23

ql²/12

R1F = ql²/12

R1F

R2F =0

R2F

Fh = 0

ru31 = -6EI/l²

ru31

6EI/l²

Fh = 0

ru32 = -6EI/l²

ru32

6EI/l²

ru33

12EI/l² 12EI/l²

R3F=ql/2-ql=-ql/2

R3F

ql/2

qru

33 =24EI/l3

Page 22: Chap7. Méthode des rotations

164 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

Diagrammes réels

Diagramme (final) des moments et réactions aux encastrements.

M1(ql²/1248)

6

12

9ql/1248

3

6

M2(ql²/1248)

58

87ql/124829

116

58

M3(ql²/1248)

180

360ql/1248

180

180 180360ql/1248

q

ql²/12

ql²/12

624ql/1248

ql²/24

MF

M(ql²/1248)

70

1248/ql975HAR

122

281 151

1248/ql273HBR

Page 23: Chap7. Méthode des rotations

Méthode des ro ta t ions 165

Diagrammes N et T

On commence par calculer les réactions transversales de chaque barre suppo-sée isostatique est chargée par des moments aux appuis (lus directement sur le diagramme final de M) et les charges extérieures qui lui sont directement appli-quées.

On trace ensuite le diagramme de T (en considérant chaque barre séparément puis celui de N en vérifiant l’équilibre de translation aux nœuds.

Vérification :

On vérifie l’équilibre de rotation et de translation de chaque nœud.

a) Equilibre de rotation

q

(a)

70ql²/1248 122ql²/1248

281ql²/1248 151ql²/1248

q

(b)

273ql/1248

192ql/1248

975ql/1248 273ql/1248

273ql/1248

192ql/1248

273

T(ql/1248)

975A B

192273

192 192

273

N(ql/1248)

C

CT

70ql²/124

70ql²/1248

M=0

122ql²/1248

122ql²/1248

M=0

Page 24: Chap7. Méthode des rotations

166 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

b) Equilibre de translation

7.7 CALCUL DES EFFORTS INTERNES

Comme on vient de le voir, le diagramme final des moments fléchissants est obtenu par superposition des diagrammes dus aux charges extérieures et aux dé-placements appliqués. Les diagrammes unitaires sont multipliés par les valeurs algébriques des déplacements correspondants puis superposés au diagramme sous les charges extérieures.

Les efforts tranchants et normaux peuvent être calculés en considérant chaque barre comme une poutre isostatique (bi-articulée) soumise aux charges extérieures qui lui sont appliquées et à des moments d’appuis donnés par le dia-gramme final des moments fléchissants.

7.8 VERIFICATION DES RÉSULTATS

La vérification consiste essentiellement à s’assurer de l’équilibre, de transla-tion et de rotation, de chaque nœud et de parties entières de la structure.

7.9 LES ÉTAPES DE LA MÉTHODE

L’application de la méthode des rotations peut se résumer aux étapes élémen-taires suivantes :

1- déterminer le nombre d’inconnues2- représenter le système statique de base3- porter les charges extérieures et les déplacements (inconnus) appliquées4- écrire le système d’équations 5- tracer les diagrammes unitaires et celui (ou ceux) des charges extérieures6- calculer les coefficients de réaction (ru

ij, RiF)7- résoudre le système d’équations pour obtenir les déplacements des nœuds8- passer des diagrammes unitaires aux diagrammes réels en multipliant chaque diagramme par le déplacement (avec son signe) qui lui correspond9- tracer le diagramme final des moments par superposition des diagrammes obtenus à l’étape 8 et du diagramme sous les charges extérieures10- calculer les efforts N et T comme indiqué au paragraphe (7.7) puis tracer leurs diagrammes.

Fh=0, Fv=0

273

192

273

192

273

192

192

273

Fh=0, Fv=0

ql/1248

Page 25: Chap7. Méthode des rotations

Méthode des ro ta t ions 167

Pour l’étape 6, on tiendra compte des trois observations suivantes :

- Les coefficients rujj sont toujours strictement supérieurs à zéro.

- Les coefficients ruij sont différents de zéro seulement quand i et j sont

des nœuds voisins (liés par la barre ij).

- ruij = ru

ji

Les efforts normaux sont obtenus à partir des conditions d’équilibre de trans-lation de chaque barre isolée par des coupes.