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IUT DE CACHAN

IUT Cachan

Génie Mécanique et Productique

Première année

Fiches F112 et F213

TD de Dimensionnement des StructuresRésistance des Matériaux

Pierre-Alain Boucard

http://meca.iutcachan.free.fr

« Se permettre de tout penser serait manquer de savoir vivre :les meilleures preuves de respect qu’on puisse donner à l’intelligence du lecteur,

c’est de lui laisser quelque chose à penser. »

Lawrence Sterne - Nouvelliste et humoriste irlandais

Table des matières

1 Hypothèses de la Résistance des Matériaux 11.1 Vérin électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Raideur de matériaux composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Poutrelles métalliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Barrage hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Torseur des efforts intérieurs - Notion de contrainte 112.1 Vis du vérin électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Poutrelle métallique chargée uniformément . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Vanne-wagon d’un barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Montage d’essai de flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Relation torseur des efforts intérieurs / vecteur contrainte . . . . . . . 17

3 Sollicitation élémentaire : la traction 193.1 Étude de l’os du fémur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Arbre de machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Détermination de la hauteur limite d’un bâtiment . . . . . . . . . . . 213.4 Étude expérimentale d’un aluminium . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5 Étude d’une poutre d’égale résistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6 Homogénéisation d’un bi-matériau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.7 Étude d’un rail de chemin de fer sous l’action de la température . . . 263.8 Étude d’une fibre optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Sollicitation élémentaire : la torsion 294.1 Transmission de puissance entre deux arbres . . . . . . . . . . . . . . 304.2 Optimisation d’arbres en torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Arbre de turboréacteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4 Torsion d’un arbre étagé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.5 Étude d’une transmission de motrice ferroviaire . . . . . . . . . . . . 33

5 Sollicitation élémentaire : la flexion 355.1 Cas classique de la poutre console . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2 Poutre simplement appuyée soumise à un effort en son milieu . . . . . 365.3 Poutrelle métallique chargée uniformément . . . . . . . . . . . . . . . 375.4 Vanne-wagon d’un barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.5 Montage d’essai de flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Dimensionnement des Structures i

Table des matières

6 Concentrations de contraintes 416.1 Étude d’une éprouvette d’aluminium . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.2 Dimensionnement d’une chape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.3 Étude d’une barre de section rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . 456.4 Cylindre de laminoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7 Flambement 497.1 Étude d’une machine d’essai de traction . . . . . . . . . . . . . . . . 507.2 Étude d’un vérin hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.3 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

ii TD de Dimensionnement des Structures

TD 1

Hypothèses de la Résistance desMatériaux

A partir d’exemples multiples, on discute d’une modélisation possible en RdM. Lesdifférentes hypothèses faites sur le matériau, la géométrie et le cadre d’applicationsont mises en avant. C’est aussi l’occasion de montrer comment résoudre de façonsimple des problèmes de statique sur les poutres.

Sommaire1.1 Vérin électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Raideur de matériaux composites . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Poutrelles métalliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Barrage hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

« Les maths peuvent être définies comme la science dans laquelleon ne sait jamais de quoi l’on parle ni si ce que l’on dit est vrai. »

Bertrand Russell - Mathématicien et philosophe anglais

TD de Dimensionnement des Structures 1

1.Hypothèses de la Résistance des Matériaux

1.1 Vérin électrique

B B

B-B

AA

A-A

39

1011

812

2a1a

13

2b1b

145

4

6

2c1c

41

Pist

on

51

Bag

ue

Mét

afra

m 2

5x32

x32

61

Ch

ape

72

Dem

i-ax

e

81

Bu

tée

à b

illes

SK

F 52

202

91

Man

cho

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'acc

ou

ple

men

t

101

Cla

vett

e p

aral

lèle

, fo

rme

B d

e 3x

3x15

11B

ou

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'arb

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121

Bu

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filet

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131

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141

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050

100

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161

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ROY

SO

MER

LS

56

VERI

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15

Bu

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de

vis

315

Désig

nation

Rp1a1b1c2a2c 2b

Nb

Vis

Tr1

6x4

Vis

à b

illes

SH

BO

12x

4R S

KF

tran

sro

l

Ecro

u à

bill

es S

HB

O 1

2x4R

SK

F tr

ansr

ol

Vis

Tr1

6x12

P4

1111

Ecro

u T

r16x

12 P

4

Ecro

u T

r16x

4

1 1

Matièr

eOb

servat

ions

31

Co

rps

collé

e sur

14

collé

sur 1a

,1b,1c

collé

e sur

1

15

15

XC

48

XC

38

XC

38

XC

48

CuZn

23Al

4

CuZn

23Al

4

A-G

4

Z3C

N18

-02

XC38

XC38

XC38

XC38

XC38

XC38

XC38

A-G

4

XC38

Figure 1.1 – Plan du vérin

On s’intéresse au vérin électrique proposé sur la figure 1.1.

2 TD de Dimensionnement des Structures

1.1. Vérin électrique

Étude technologique

1̊ ) Donner la fonction principale du système

2̊ ) Faire le graphe de structure du mécanisme

3̊ ) Proposer un schéma cinématique dans le plan de la coupe A–A

Dimensionnement de certaines pièces du mécanisme

4̊ ) On s’intéresse au dimensionnement des pièces 3, 4, 9, 11 et 14. Préciser pourchacune de ces pièces dans quelle mesure on peut en réaliser l’étude grâce à laRdM.

5̊ ) Considérons maintenant la vis (pièce 1). Quelles hypothèses faut il faire pourpouvoir considérer que la vis puisse être modélisée par une poutre ?

La figure 1.2 est une modélisation de la vis (pièce 1) en vue de son dimension-nement par la RdM. On donne les actions mécaniques extérieures qui s’exercent sur

zx

y

O A B

L / 3 2L / 3

Figure 1.2 – Modélisation de la vis

la vis :– En O : {

T(Ext.−→Poutre)}

=

{ −→0

Cmot−→x

}O

– En A : {T(Ext.−→Poutre)

}=

{Xvis−→x + Yvis

−→y−Cmot−→x

}A

6̊ ) Justifier cette modélisation en terme de conditions aux limites, ie liaisonset efforts extérieurs appliqués. Proposer une allure pour la déformée de cettepoutre.

Étude statique de la vis

7̊ ) En utilisant les outils de la statique analytique, déterminer les actions mé-caniques encaissées par les liaisons.

Application numérique : L = 150 mm, Xvis = −1000 N , Yvis = −200 N .



1.2 Raideur de matériaux compositesOn s’intéresse ici à deux matériaux composites constitués de fibres très raides et

d’une matrice dont la raideur est plus faible.

Composite 4D

QuickTime™ et undécompresseur

sont requis pour visionner cette image.

QuickTime™ et undécompresseur

sont requis pour visionner cette image.

Figure 1.3 – Vue du col de tuyère

R4

R3R3

R2

R2R1

R4

X

X'

Y

Y'

Z

45°

Figure 1.4 – Assemblage des fibres du composite4D

Le premier des deux matériaux est utilisé pour le col des tuyères du moteurVulcain (voir figure 1.3). Le matériau constitutif de cette pièce est un compositecarbone/carbone (fibres haute raideur carbone, et matrice de carbone) dit "4D", carles fibres sont présentes dans les quatre directions de l’espace (comme pour les quatre


1.2. Raideur de matériaux composites

diagonales d’un cube). Une vue des fibres seules sans la matrice est représentée surla figure 1.4. Ce matériau a la particularité de résister à des températures de plusde 2500 C̊.

Ce matériau est considéré comme homogène élastique linéaire à l’échelle de lapièce pour lequel il est utilisé.

1̊ ) Quelle propriété doit encore vérifier ce matériau pour qu’il puisse être utilisépour l’étude d’une poutre en RdM ?

On a cherché à caractériser la raideur de ce matériau dans toutes les directions del’espace. Pour celà on imagine qu’il est constitué d’une infinité de ressorts assemblésdans toutes les directions. On a tracé sur la figure 1.5 la variation de sa raideur danstoutes les directions.

Figure 1.5 – Variation de la raideur du 4D enfonction de la direction

2̊ ) Justifier la forme de la figure 1.5, en particulier, le fait que quatre lobes soientprésents, et le fait que six creux existent. On replacera aussi les directions deslobes par rapport aux directions de la figure 1.4.

3̊ ) La propriété permettant l’utilisation en RdMde ce matériau est-elle vérifiée ?

Composite SiC/T i

On étudie maintenant le second matériau constitué de fibres de carbure de sili-cium dans une matrice de titane. La raideur du carbure de silicium est plus grandeque celle du titane. On considère le matériau comme homogène élastique linéaireà l’échelle d’un pli unidirectionnel. Un pli unidirectionnel étant constitué de nom-breuses fibres dans une direction de l’espace entourées de matrice comme représentésur la figure 1.6.

Comme pour le matériau précédent, on a représenté sur la figure 1.7 la variationde la raideur en fonction de la direction.

4̊ ) Quelle propriété doit-on encore vérifier ce matériau pour qu’il puisse êtreutilisé pour l’étude d’une poutre en RdM ?



Matrice (titane)

Fibre(carbure de

silicium)

Figure 1.6 – Vue d’un pli unidirectionnel d’uncomposite SiC/T i

-20

-10

0

10

20

X

-5

0

5

Y

-5

0

5

Z

-20

-10

0

10X

-5

0

Figure 1.7 – Variation de la raideur du SiC/T ien fonction de la direction


1.3. Poutrelles métalliques

5̊ ) Justifier la forme de la figure 1.7, en particulier, le fait qu’on ait qu’un lobeprincipal, et qu’une coupe par le plan X = 0 donne un cercle. On replaceraaussi les directions X, Y, Z par rapport aux directions du pli.

6̊ ) La propriété permettant l’utilisation en RdMde ce matériau est-elle vérifiée ?

7̊ ) Quelle figure géométrique serait obtenue pour un matériau isotrope ?

8̊ ) Un matériau dont la figure représentative de la variation de la raideur estsimilaire à celle de la figure 1.7 est dit isotrope transverse. Citer d’autres ma-tériaux ayant cette même propriété.

1.3 Poutrelles métalliquesDans la construction, on utilise de nombreuses poutrelles métalliques (voir figure

1.8).

Aréna Sportsplex, Pierrefonds, QCFabricant : Les Structures Breton inc.

Centre Multi-ServiceVille dʼAnjou, QC

Fabricant et monteur : Soudure Germain Lessard

Van Andel, Grand Rapids, MIFabricant : Steel Supply and

Engineering Co.

Figure 1.8 – Exemples de charpentes métalliques

On s’intéresse ici à différents profilés standards, dont les sections droites sont donnéessur la figure 1.9

Étude des sections

1̊ ) Pour chacune des sections numérotées de 1 à 3, préciser et donner les éven-tuelles conditions permettant de dimensionner les poutres représentées en uti-lisant la RdM.

Étude d’une poutrelle soumise à une pression uniforme

2̊ ) On reprend l’exemple de la poutre 3. On suppose que les conditions aux li-mites sur la poutre sont telles que l’on peut les modéliser par les deux liaisons



Y

Y

XX

W

W

XX

Z

Z

Y

3

21

Figure 1.9 – Profilés courants

représentées sur la figure 1.10. Le chargement proposé est celui d’une pres-sion linéique constante répartie sur toute la longueur L = 10 m de la poutretelle que la pression linéique soit de p = 10 Nm−1. Justifier le choix de cechargement à partir de la figure 1.9.

zx

y

O A

L=10 m

p=10 N.m-1

Figure 1.10 – Modélisation de la poutrelle 3

3̊ ) Réaliser l’étude statique de la poutre et déterminer les actions mécaniquesdans les liaisons en O et en A.

1.4 Barrage hydrauliqueDans de nombreux barrages hydrauliques, on utilise des vannes pour contrôler

le débit d’eau ou la hauteur de l’eau dans le bassin de retenu. On s’intéresse icià un type de vannes couramment utilisé et qui est dit vanne-wagon. Ces vannesfonctionnent sur le principe de portes descendantes comme celà est représenté surla figure 1.11.Compte tenu de la structure de la porte de la vanne, on s’intéresse ici à une des


1.4. Barrage hydraulique

GUIDE

BRONZE

CADRE

FACE

AVANT

PARTIE

BOULONNÉE

VANNE

APRÈS MONTAGE

AVANT MONTAGE

Figure 1.11 – Un exemple de vanne-wagon

nervures verticales de renfort de la porte, pour laquelle on fait les hypothèses sui-vantes :

– chaque nervure a un comportement indépendant (ce qui revient à négligerl’influence des nervures horizontales)

– on étudie la nervure lorsque la porte est fermée et l’on suppose que la vanneest en liaison complète avec le sol

– le niveau d’eau est tel qu’il n’atteint pas le sommet de la vanne– l’épaisseur e d’une nervure est petite devant la longueur

Modélisation d’une nervure

zx

y

B

O

APartieimmergée

L /

32L

/ 3

Figure 1.12 – Modélisation d’une nervure



1̊ ) Justifier la modélisation choisie (voir figure 1.12) pour étudier la nervure.On s’appuiera sur les hypothèses de la RdM ainsi que sur les hypothèses faitesprécédemment pour justifier la réponse. Proposer une allure pour la déforméede cette poutre.

2̊ ) Donner l’équation traduisant la répartition de pression linéique affine enfonction de l’abscisse x de la poutre, g l’accélération de la pesanteur, ρ lamasse volumique de l’eau et L la longueur de la poutre.Application numérique : g = 10 m.s−2, ρ = 1000 kg.m−3 et L = 1, 5 m,e = 2 cm.

Étude statique de la nervure

3̊ ) Réaliser l’étude statique de la poutre et déterminer les actions de liaisons aupoint O


TD 2

Torseur des efforts intérieurs -Notion de contrainte

Dans la première partie, on reprend des modélisations vues dans le premier TDpour déterminer les efforts intérieurs subis par les poutres. Ceci permet de tracerles diagrammes des efforts intérieurs et d’en déduire les sollicitations élémentaires.Dans une seconde partie, sur des cas ou la répartition des contraintes est donnée,on explicite la relation entre les composantes du torseur des efforts intérieurs et lescontraintes normales et tangentielles.

Sommaire2.1 Vis du vérin électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Poutrelle métallique chargée uniformément . . . . . . . . 132.3 Vanne-wagon d’un barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Montage d’essai de flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Relation torseur des efforts intérieurs / vecteur contrainte 17

« Si la science ne s’intéresse pas aux choses délirantes,elle risque fort de passer à côté de choses intéressantes.»

Antoine Labeyrie - Astronome français


2.Torseur des efforts intérieurs - Notion de contrainte

2.1 Vis du vérin électriqueOn reprend l’étude de la vis vue au paragraphe 1.1. On en rappelle la modéli-

sation adoptée sur la figure 2.1. On a déjà réalisé l’étude statique de la vis, ainsi

zx

y

O A B

L / 3 2L / 3

Figure 2.1 – Modélisation de la vis

on peut écrire les torseurs mécaniques d’actions extérieures qui s’exercent sur la viscomme suit :

– En O : {T(Ext.−→Poutre)

}=

{−Xvis

−→x +−23Yvis−→y

Cmot−→x

}O

– En B : {T(Ext.−→Poutre)

}=

{−1

3Yvis−→y

−→0

}B


}=

{Xvis−→x + Yvis

−→y−Cmot−→x

}A

On rappelle que L = 150 mm, Xvis = −1000 N , Yvis = −200 N et Cmot = 100 N.m.

Détermination du torseur des efforts intérieurs

1̊ ) Combien de coupures faut-il réaliser pour déterminer le torseur des effortsintérieurs ?

2̊ ) Déterminer le torseur des efforts intérieurs en utilisant deux méthodes decalcul pour chaque tronçon.

3̊ ) Tracer, en fonction de l’abscisse x, les diagrammes des composantes nonnulles du torseur des efforts intérieurs.

Sollicitations élémentaires

4̊ ) Décomposer le torseur des efforts intérieurs, déterminé précédemment ensomme de torseurs caractéristiques de sollicitations élémentaires. Identifieralors pour chaque tronçon les sollicitations élémentaires auxquelles il est sou-mis.


2.2. Poutrelle métallique chargée uniformément

2.2 Poutrelle métallique chargée uniformémentOn reprend l’exemple de la poutre dont le modèle est donné sur la figure 2.2. Le

chargement extérieur est celui d’une pression linéique constante répartie sur toute lalongueur L = 10 m de la poutre telle que la pression linéique soit de p = 10 Nm−1.

zx

y

O A

L=10 m

p=10 N.m-1

Figure 2.2 – Modélisation de la poutrelle

L’étude statique a permis de déterminer les actions dans les liaisons en O et en A :– En O : {


=

{ pL2−→y−→0

}O


}=

{ pL2−→y−→0

}A

Étude des efforts intérieurs


2̊ ) Déterminer le torseur des efforts intérieurs en utilisant deux méthodes decalcul pour chaque tronçon.


4̊ ) Identifier pour chaque tronçon la nature des sollicitations élémentaires.

2.3 Vanne-wagon d’un barrageOn rappelle la modélisation choisie pour l’étude d’une vanne–wagon sur la figure

2.3.L’étude statique a permis de déterminer le torseur des actions mécaniques transmis-sibles par la liaison en O :{


=

{2L2

9ρge−→y

4L3

81ρge−→z

}O

On rappelle que : g = 10 m.s−2, ρ = 1000 kg.m−3 et L = 1, 5 m, e = 2 cm.



zx

y

B

O

APartieimmergée

L /

32L

/ 3


Étude des efforts intérieurs


2̊ ) Déterminer le torseur des efforts intérieurs en utilisant la méthode minimi-sant les calculs pour chaque tronçon.


4̊ ) Identifier pour chaque tronçon la nature des sollicitations élémentaires.

2.4 Montage d’essai de flexion

Pour l’étude de certaines liaisons présentes sur le lanceur européen Ariane 5, on aréalisé des éprouvettes en carbone/nid d’abeille comportant différentes liaisons (voirfigure 2.4). Pour tester ces éprouvettes, un montage d’essai spécifique a été réalisédont le plan est donné sur la figure 2.5 et une vue 3D sur la figure 2.6.

On souhaite ici étudier les sollicitations subies par une éprouvette qui sera instal-lée dans le montage. Dans un premier temps on considère une éprouvette sans liaisondont on supposera, à l’échelle de l’étude, que le matériau est homogène, élastiquelinéaire, isotrope (supposition dont il faut être conscient qu’elle est très fausse !).

1̊ ) Les liaisons entre le montage et l’éprouvette sont supposées se comportercomme des liaisons pivots parfaites dont l’axe est celui de la direction de lalargeur de l’éprouvette. Justifier cette hypothèse avec les plans et les vuesfournies.

On considère maintenant la modélisation de l’éprouvette proposée sur la figure2.7. Le système étant symétrique, on suppose que les efforts appliqués sur l’éprou-


2.4. Montage d’essai de flexion

vette le sont aussi.

Figure 2.4 – Les 4 types de liaisons à tester

Éprouvette

Figure 2.5 – Plan du montage d’essai

Les efforts extérieurs appliqués à l’éprouvette sont les suivants :– En A : {


=

{−F−→y−→0

}A


}=

{−F−→y−→0

}B

Étude statique

2̊ ) Déterminer les actions mécaniques dans les liaisons en O et C.



Figure 2.6 – Vues de la maquette numérique etdu montage réel

zx

y

O

A

L=70 cm

F = 500 N F = 500 NL/4 L/4

BC

Figure 2.7 – Modélisation de l’éprouvette


2.5. Relation torseur des efforts intérieurs / vecteur contrainte

Détermination du torseur des efforts intérieurs


4̊ ) Déterminer le torseur des efforts intérieurs pour chaque tronçon.


Sollicitations élémentaires

6̊ ) Identifier alors pour chaque tronçon les sollicitations élémentaires auxquellesil est soumis.

7̊ ) Commenter le montage d’essai proposé. On s’intéressera en particulier à lapartie centrale de l’éprouvette (entre A et B).

2.5 Relation torseur des efforts intérieurs / vecteurcontrainte

On cherche à expliciter dans deux cas précis la relation intégrale qui existe entre levecteur contrainte et le torseur des efforts intérieurs. Dans les deux cas, on considèreque la poutre est de longueur L et de section droite rectangulaire de hauteur h et delargeur b (voir figure 2.8). De plus la contrainte tangentielle est toujours supposéenulle en tout point d’une section droite quelconque.

z x

y

O z

y

h

b

Figure 2.8 – Modèle de poutre utilisé

Contrainte normale constante

Pour toute section de la poutre de normale −→x , on considère que la contraintenormale est constante dans toute la section.

1̊ ) Donner l’expression du vecteur contrainte en tout point M de la sectiondroite.

2̊ ) Calculer le torseur des efforts intérieurs en tout point d’abscisse x de lapoutre. En déduire à quelle sollicitation élémentaire est soumise cette poutre.

3̊ ) Déterminer les actions mécaniques extérieures aux deux extrémités de lapoutre.



Contrainte normale linéique dans l’épaisseur

Pour toute section de la poutre de normale −→x , on considère que la contraintenormale est constante sur une ligne de direction −→z et varie linéairement dans l’épais-seur (direction −→y ). Ainsi on peut écrire l’expression de la contrainte normale sousla forme :

σ =A

By avec y ∈ {−h

2,h

2}

A est une constante et B vaut :

B =

∫∫S

y2dS =bh3

12

4̊ ) Donner l’expression du vecteur contrainte en tout point M de la sectiondroite. Représenter sur une vue en perspective la distribution des contraintesnormales sur une section droite.

5̊ ) Calculer le torseur des efforts intérieurs en tout point d’abscisse x de lapoutre. En déduire à quelle sollicitation élémentaire est soumise cette poutre.

6̊ ) Déterminer les actions mécaniques extérieures aux deux extrémités de lapoutre.


TD 3

Sollicitation élémentaire :la traction

On s’intéresse ici à des solides modélisables par des poutres soumises uniquement àde la traction. L’étude complète sera menée, en partant des efforts extérieurs,permettant de déterminer selon le cas, la contrainte maximale, la déformation, ledéplacement. On ira jusqu’au dimensionnement des poutres dans certains cas.

Sommaire3.1 Étude de l’os du fémur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Arbre de machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Détermination de la hauteur limite d’un bâtiment . . . . 213.4 Étude expérimentale d’un aluminium . . . . . . . . . . . 223.5 Étude d’une poutre d’égale résistance . . . . . . . . . . . 223.6 Homogénéisation d’un bi-matériau . . . . . . . . . . . . . 253.7 Étude d’un rail de chemin de fer sous l’action de la

température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.8 Étude d’une fibre optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

« Tout grand progrès scientifique est néd’une nouvelle audace de l’imagination.»

John Dewey - Philosophe et pédagogue anglais


3.Sollicitation élémentaire : la traction

3.1 Étude de l’os du fémur

Le fémur, qui est l’os principal de la cuisse, a un diamètre minimum chez l’adulted’environ 2.8 cm.

1̊ ) Si l’on suppose que le fémur est soumis uniquement à un chargement decompression, déterminer la valeur de l’effort nécessaire pour briser le fémur.

2̊ ) Pour un homme de 80kg, déterminer l’accélération équivalente que doit subirle fémur pour se rompre.

3̊ ) On souhaite comparer pour différents matériaux la résistance d’un cylindreen compression (on supposera qu’à la limite, σ = Rp). Pour classer les différentsmatériaux, on prend comme critère le rapport Rp

ρ. Justifier ce choix et classer

les différents matériaux du tableau 3.1.

Matériau Masse Volumique Module d’Young Limite pratique d’élasticitéρ en kg/m3 E en 109 N/m2 Rp en 106 N/m2

Acier 7860 210 370

Aluminium 2710 70 110

Verre 2190 65 50 (en compression)

Béton H.P. 2320 30 40 (en compression)

Bois 525 13 50 (en compression)

Os 1900 9 170 (en compression)

Polystyrène 1050 3 48

Table 3.1 – Données matériaux

3.2 Arbre de machine

Un élément d’arbre de machine AD en acier peut-être représenté par la figure 3.1.Il repose sur deux paliers P1 et P2. En A il est soumis à une action

−→A de la partie

de l’arbre situé à gauche, en B à l’action−→B d’une butée à billes non représentée, en

C à l’action−→C longitudinale d’une vis de réducteur à vis tangente, non représentée,

en D à une action−→D de la partie de l’arbre située à droite

1̊ ) Peut-on réaliser l’étude de cet arbre en RdM ? Préciser les limites des résul-tats obtenus si l’on fait l’étude en RdM. Proposer le modèle poutre associé àl’arbre.


3̊ ) Déterminer le torseur des efforts intérieurs pour chaque tronçon et identifierla nature des sollicitations.


3.3. Détermination de la hauteur limite d’un bâtiment

P1 P2

L1 L2 L3

A

B C

D

x10000 N -5000 N-7000 N 2000 N

Figure 3.1 – Modélisation de l’arbre

4̊ ) Tracer, en fonction de l’abscisse x de l’arbre, les diagrammes des composantesnon nulles du torseur des efforts intérieurs.

5̊ ) En déduire les valeurs des contraintes pour chaque partie de l’arbre.

6̊ ) Déterminer le coefficient de sécurité (rapport entre la limite pratique d’élasti-cité Rp et la contrainte normale en traction) pour les nuances d’acier suivantes :S185 : Rp = 185 MPa, S235 : Rp = 235 MPa,E360 : Rp = 360 MPa et C55 : Rp = 420 MPa

Applications numériques d1 = 30 mm, d2 = 45 mm, d3 = 35 mm

3.3 Détermination de la hauteur limite d’un bâti-ment

On s’intéresse au dimensionnement d’un bâtiment soumis uniquement à son poidspropre. On suppose que l’on peut modéliser le bâtiment par une poutre de sectionconstante S et de hauteur L. Le bâtiment est supposé être constitué en première ap-proximation d’un matériau homogène élastique linéaire isotrope de masse volumiqueρ.

1̊ ) Proposer le modéle pour une étude de RdMdétaillant en particulier les condi-tions aux limites et le chargement.

2̊ ) Déterminer le torseur des efforts intérieurs dans une section droite quel-conque de la poutre (on précisera le nombre de coupures à effectuer).

3̊ ) Tracer le diagramme des sollicitations et en déduire la nature des sollicita-tions à laquelle est soumise la poutre

4̊ ) Déterminer la contrainte maximale à laquelle est soumise la poutre. Onsuppose que cette contrainte doit rester inférieure à une valeur maximale notéeRp. En déduire pour les différentes valeurs de Rp la hauteur maximale dubâtiment. Le coefficient de sécurité usuel en construction étant de 8, concluresur les résultats.

Application aux matériaux suivants où Rp est la résistance pratique et ρ la massevolumique :

– maconnerie courante Rp = 15 MPa, ρ = 2000 kg/m3

– béton Rp = 40 MPa, ρ = 2500 kg/m3



– acier de construction Rp = 170 MPa, ρ = 7800 kg/m3

3.4 Étude expérimentale d’un aluminium

On donne sur le graphe de la figure 3.3 le résultat d’un essai de traction réalisésur une éprouvette plate d’aluminium 2219T37. Une photo de l’éprouvette testéeest donnée sur la figure 3.2. Les deux courbes représentent d’une part l’évolu-

Figure 3.2 – Vue de l’éprouvette d’aluminium

tion de la contrainte normale en fonction de la déformation longitudinale et d’autrepart l’évolution de la contrainte normale en fonction de la déformation transver-sale. L’éprouvette d’aluminium a une section rectangulaire de largeur 15, 11 mm etd’épaisseur 4, 96 mm. La longueur utile de l’éprouvette est de 100 mm.

1̊ ) Identifier les deux courbes présentes sur le graphique en justifiant votre ré-ponse. Identifier la zone élastique et la zone plastique.

2̊ ) Déterminer le module d’Young E et le coefficient de Poisson ν de ce matériau.On comparera les valeurs obtenues aux données constructeurs qui indiquent :72 GPa < E < 75, 69 GPa et 0, 33 < ν < 0, 3435.

3̊ ) Évaluer la limite élastique Re du matériau et calculer la valeur de la limited’élasticité pratique Rp

0,2 à 0, 2 %. On comparera aux données constructeurs :248 MPa < Re < 274, 1 MPa et 248 MPa < Rp < 274, 1 MPa .

4̊ ) Quel est le point de rupture de l’éprouvette ? Que valent la contrainte àrupture σr et la déformation à rupture εr ? Ces deux dernières valeurs vérifient-elles la loi de Hooke ? Pourquoi ?

5̊ ) Déterminer la valeur maximum de l’effort exercé sur l’éprouvette dans ledomaine élastique, ainsi que son allongement pour cette valeur de l’effort.Calculer la variation de section de l’éprouvette pour cette valeur maximum del’effort.

3.5 Étude d’une poutre d’égale résistance

On considère un pilier métallique soumis uniquement à son poids propre. Ce pilierest supposé encastré à son extrémité inférieure, et libre à son extrémité supérieure.La section du pilier est notée S, sa hauteur L et la masse volumique du matériauqui le constitue ρ.

1̊ ) A quelle sollicitation est soumise ce pilier ?


3.5. Étude d’une poutre d’égale résistance

Contrainte (MPa)

Déf

orm

atio

n (%

)

Figure 3.3 – Courbe de l’essai de traction



Contrainte (MPa)

Déf

orm

atio

n (%

)

Figure 3.4 – Zoom sur la courbe de l’essai detraction


3.6. Homogénéisation d’un bi-matériau

On souhaite que ce pilier soit dit d’égale résistance, i.e. pour chaque sectiondroite du pilier, la contrainte normale est constante.

2̊ ) On considère une section variable qui varie linéairement sur toute la hauteurdu pilier qui vaut S0 au sol et SL à l’extrémité libre. On suppose que S0 > SL :justifier cette hypothèse et déterminer l’évolution des contraintes en fonctionde la hauteur. Cette évolution est-elle constante ?

3̊ ) On considère une section variable qui varie paraboliquement sur toute lahauteur du pilier. L’équation qui caractérise la section en fonction de la hauteur(notée x) du pilier est : S(x) = ax2 + bx + S0. Déterminer l’évolution descontraintes en fonction de la hauteur. Cette évolution est-elle constante ?

4̊ ) Déterminer l’évolution de la section S pour que le critère de contrainte nor-male constante soit respecté. Pour celà, on étudiera l’équilibre statique d’unpetit élément de poutre de longueur dx.

5̊ ) Calculer l’écrasement du pilier pour le cas où la contrainte est constante.

3.6 Homogénéisation d’un bi-matériau

On considère une cellule unidimensionnelle d’un matériau composite. Cette cel-lule est composé de deux éléments de même longueur : l’un en carbone de moduled’Young Ec, l’autre en aluminium de module d’Young Ea. La figure 3.5 représentel’assemblage des matériaux soit en "série", soit en "parallèle". A l’échelle de ces deux

z x

y

O z

y

z x

y

O

x

y

Matériaux en "série"

Matériaux en "parallèle"

Figure 3.5 – Assemblage de deux matériaux

cellules, on ne peut évidemment pas considérer que le matériau est homogène.Ainsi, pour se permettre d’utiliser un tel matériau dans une étude de RdM, on

va homogénéiser le matériau. Cette opération consiste à construire un matériau



équivalent de module d’Young E dont le comportement est le même, en un certainsens, que celui des matériaux assemblés.

Homogénisation d’une cellule : matériaux en série

On soumet les deux extrémités de la cellule à un effort F de traction.1̊ ) Déterminer le module d’Young du matériau équivalent Es permettant d’ob-

tenir le même état de déformation.

Homogénisation d’une cellule : matériaux en parallèle

On soumet l’extrémité gauche de la cellule à un déplacement de −∆L2, et l’ex-

trémité droite à un déplacement de ∆L2, de tel sorte qu’une cellule de longueur L,

s’allonge de ∆L.2̊ ) Déterminer le module d’Young du matériau équivalent Ep permettant de

retrouver le même effort normal.

3.7 Étude d’un rail de chemin de fer sous l’actionde la température

Figure 3.6 – Photo de rails

Une ligne de chemin de fer a été posée par une température de 25 ˚C. Lestronçons de rail sont soudés les uns aux autres. En supposant que les extrémitésdes rails soient fixes, on cherche à déterminer les contraintes dans les rails lorsquela température tombe à −25 ˚C, sachant que la déformation εT associée à unevariation de température ∆T s’écrit : εT = α∆T où α est le coefficient de dilatationthermique. On précise que lors de cette déformation thermique, le matériau ne subitaucune contrainte.

1̊ ) Déterminer l’unité de α.


3.8. Étude d’une fibre optique

2̊ ) Utiliser le principe de superposition pour déterminer la contrainte dans lerail.

Application numériqueCoefficient de dilatation thermique : α = 1, 5 10−5 U.S.I.Module d’Young : E = 2 1011 N/m2

3.8 Étude d’une fibre optique

Figure 3.7 – Photo d’une fibre optiquepropageant un faisceau laser

Lors de l’installation de la fibre, un capuchon est collé sur les extrémités de lafibre pour la protéger. On suppose que ces deux capuchons sont soumis à un mêmeeffort normal N . Le but de l’étude proposée est de déterminer l’effort normal notéNv encaissé par le verre et l’effort normal noté Np encaissé par le polymère.

z x

y

O z

ygaine en polymère,section S

p

fibre optique,section S

v

Capuchons

Figure 3.8 – Composition d’une fibre optique

1̊ ) En réalisant une coupure de la fibre, déterminer la relation liant N , Nv, Np.Représenter alors graphiquement les contraintes subies par le verre et la gaine.Peut-on en déduire Nv et Np ? Pourquoi ?

2̊ ) Proposer une relation supplémentaire traduisant le collage parfait entre lafibre de verre et la gaine.



3̊ ) En déduire Nv et Np.

4̊ ) Déterminer l’allongement d’une fibre de verre de longueur L. En déduire lavaleur du module d’Young Eh d’un matériau homogène équivalent permettantde retrouver l’expression de l’allongement.

5̊ ) L’expression de Eh faisant intervenir Ev, Ep, Sv et Sp est appelée loi desmélanges. Justifiez cette dénomination.

Application numériqueDiamètre de la fibre de verre (composée de plusieurs fibres optiques) : 10 mmModule d’Young du verre : E = 65 109 N/m2

Épaisseur de la gaine de polymère : 0, 5 mmModule d’Young du polymère : E = 1 GPa


TD 4

Sollicitation élémentaire :la torsion

On considère des poutres à section circulaire soumises à de la torsion. Les étudesproposées porteront plus particulièrement sur le dimensionnement d’arbres detransmission. Le cas du ressort hélicoïdal à spires serrées est étudié afin dedéterminer les formules classiques permettant de dimensionner et choisir unressort.

Sommaire4.1 Transmission de puissance entre deux arbres . . . . . . . 304.2 Optimisation d’arbres en torsion . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Arbre de turboréacteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4 Torsion d’un arbre étagé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.5 Étude d’une transmission de motrice ferroviaire . . . . . 33

« Informatique : Alliance d’une science inexacte ,et d’une activité humaine faillible.»

Luc Fayard - Journaliste français


4.Sollicitation élémentaire : la torsion

4.1 Transmission de puissance entre deux arbres

Les arbres (1) et (2) de la figure 4.1 ont des rayons identiques de 10 mm et sonten acier (Rpg = 220 MPa). Ils sont montés dans un même système mécanique nonreprésenté ici.

Les chargements extérieurs de torsion pris en compte dans cette étude sont lessuivants :

– sur l’arbre (1), en A un couple M1 = 300 Nm, en B un couple −M1 =−300 Nm,

– sur l’arbre (2) en C un couple M2 = 170 Nm, en D un couple −M2 =−170 Nm.

A

B

C

D

(1)

(2)1,2 m

0,5 m

300 N.m

170 N.m

300 N.m

170 N.m

Figure 4.1 – Transmission de puissance

1̊ ) Déterminer le torseur des efforts intérieurs dans les deux arbres

2̊ ) Calculer la contrainte maximale pour chaque arbre et déterminer son coeffi-cient de sécurité.

3̊ ) Proposer un nouveau dimensionnement de l’arbre (1) pour que son coefficientde sécurité soit le même que celui de l’arbre (2).

4.2 Optimisation d’arbres en torsion

Le but de cet exercice est de comparer les puissances P1 et P2 transmissibles pardeux arbres de torsion de même masse, constitués d’un même matériau, sous lesconditions :

– ω1 = ω2 (même vitesse de rotation)– τmax1 = τmax2 (même contrainte tangentielle maxi)

On suppose que les deux arbres sont soumis uniquement à de la torsion. Pour laréalisation de ces deux arbres, la première solution envisagée est la réalisation d’unarbre plein de diamètre extérieur D1. La deuxième solution est un arbre tubulairede diamètre extérieur D2 et de diamètre intérieur d2 = kD2. La longueur des deuxarbres est identique.

1̊ ) Calculer le rapport des moments de torsion Mt1 et Mt2 transmissibles parles deux arbres.


4.3. Arbre de turboréacteur

2̊ ) Déterminer alors le rapport des puissances transmissibles P1 et P2.

3̊ ) Compte-tenu que les arbres ont la même masse, déterminer ce rapport enfonction de k.

4̊ ) Calculer le rapport de puissance pour un tube normalisé de diamètre exté-rieur D2 = 80 mm et d’épaisseur e = 2 mm.

5̊ ) Expliquer ce résultat en traçant la répartition des contraintes tangentiellessur un arbre tubulaire.

4.3 Arbre de turboréacteur

Figure 4.2 – Évolution du gaz à travers leturboréacteur

On cherche à dimensionner l’axe de turbine d’un turboréacteur. Lors du fonction-nement d’un turboréacteur (figure 4.2), l’air est aspiré par l’avant et est compriméau travers des différents étages de compression avant de traverser la chambre decombustion et d’être éjecté au travers de la turbine. La figure 4.3 précise la positiondes différents éléments intervenant dans le turboréacteur. Dans le domaine aéro-nautique, le poids étant une contrainte majeure, on souhaite que l’arbre supportantles ailettes soit à iso-contrainte tangentielle maxi pour que le dimensionnement soitoptimal.

Compte tenu de l’empilage de disques porte-ailettes sur l’arbre, on considèreraque dans la turbine le moment de torsion dans l’arbre n’est pas constant et s’écritsous la forme :

Mt =a

x3

On notera :– pour l’abcisse xA (extrémité A de l’arbre) la valeur du moment de torsion estMtA

– pour l’abcisse xB (extrémité B) la valeur du moment de torsion est MtB, avecxB > xA.

1̊ ) Déterminer la constante a en fonction des paramètres et calculer sa valeur.

2̊ ) Calculer le diamètre d(x) pour vérifier le critère d’égale contrainte de ci-saillement maxi. Tracer sur le même graphique l’évolution de Mt et d(x) enfonction de x.



Figure 4.3 – Éléments de base d’unturboréacteur

3̊ ) Calculer l’angle de torsion φAB entre les sections A et B.Les application numériques seront faites avec :

xA = 2 m et xB = 4 m, MtA = 800 Nm et MtB = 100 Nm, Rpgs

= 100 N/mm2

et G = 85 000 N/mm2.

4.4 Torsion d’un arbre étagéOn considère un arbre en acier (G = 80 000 N.mm−2) de longueur L = 1, 2 m

étagé en trois morceaux de diamètres respectifs 40, 30 et 20 mm. Cet arbre estsollicité en torsion pure par un couple Mt. On négligera ici les concentrations decontraintes relatives aux changements de diamètre.

Exercice 3 : Pour transmettre un couple de 400 Nm on envisage d’utiliser un arbre cylindrique plein ou creux. Ces

deux arbres sont constitués du même acier pour lequel MPa240e =τ et MPa108G 4= .On adopte

dans les deux cas le même coefficient de sécurité s=3

L’arbre plein a un diamètre D1. L’arbre creux a pour diamètres D2 et d2 tels que 22 D6.0d = .

(k=0.6)

a) Déterminer le diamètre D1 de l’arbre plein à utiliser et la déformation angulaire entre deux sections

distantes de 300 mm.

b) Déterminer les diamètres D2 et d2 de l’arbre creux à utiliser et la déformation angulaire entre deux

sections distantes de 300 mm. Comparer avec le a).

c) Déterminer le rapport λ de leur masse. Conclusion ?

Exercice 4 : . Torsion d’un arbre étagé

On considère un arbre en acier ( 24 mmN10.8G −= ) de longueur m20,1L = étagé en trois morceaux de

diamètres respectifs 40, 30 et 20 mm.

Cet arbre est sollicité en torsion pure par un couple Mt.

400 400 400

ABCD

Mt

∅ 40∅ 30

∅ 20

a) Décrire et donner l’expression des contraintes dans une section droite S de cet arbre

d) Quelle doit être l’intensité du couple de torsion Mt pour que les sections d’extrémités SA et SD tour-

nent de 360π radians l’une par rapport à l’autre ?

e) Donner le diagramme des angles de torsion le long de l’arbre ( )x(f=α ).

f) Quelle est la contrainte maximale ? (On néglige les concentrations de contraintes)

Figure 4.4 – Arbre étagé en torsion

1̊ ) Décrire et donner l’expression des contraintes dans une section droite S decet arbre

2̊ ) Quelle doit être l’intensité du couple de torsion Mt pour que les sectionsextrêmes SA et SD tournent de π/360 radians l’une par rapport à l’autre ?

3̊ ) Tracer le diagramme des angles de torsion le long de l’arbre.

4̊ ) Calculer la contrainte maximale subie par l’arbre.


4.5. Étude d’une transmission de motrice ferroviaire

4.5 Étude d’une transmission de motrice ferroviaire

Du fait de l’évolution des ensembles moteurs/boîtes de vitesses sur les motriceferroviaires on retrouve sur nombre d’entre elles une configuration où la sortie de lapuissance n’est plus centrée dans la largeur de la motrice. Un exemple d’une telletransmission est représenté sur la figure 4.5.

Figure 4.5 – Transmission de puissance vers lesroues

L’implantation de la boîte de vitesse en position transversale conduit à ce queles deux arbres qui transmettent la puissance depuis la sortie de la boîte de vitessejusqu’aux roues de la motrice ne soient pas de même longueur. On notera Ld et Lgles longueurs respectives des arbres de droite et de gauche. On suppose que Lg > Ld.On suppose que chaque arbre est soumis uniquement au même moment torsion, eton notera Mt ce moment.

1̊ ) Déterminer pour chaque arbre la relation liant la différence d’angle de rota-tion entre la sortie de la boite de vitesse et l’extrémité de l’arbre. On supposeraque les rayons et les matériaux constitutifs des deux arbres sont les mêmes.Que pensez vous de ce résultat ?



2̊ ) A partir de la question précédente, proposez un critère permettant d’assurerle bon fonctionnement. En déduire la conséquence sur le rapport des rayonsdes deux arbres si l’on suppose que le matériau est le même.

3̊ ) Déterminer le rapport entre les coefficients de sécurité associés au dimension-nement à la contrainte tangentielle maximale de ces deux arbres. Ce résultatest-il "optimal" ?

4̊ ) Pour avoir un dimensionnement mieux pensé on propose la démarche sui-vante.L’arbre de droite est plein de rayon Rid et l’arbre de gauche est creux de rayonextérieur Rig et de rayon intérieur Rint.– Déterminer le rayon de l’arbre de droite pour vérifier le critère de contrainte

tangentielle maximale avec un coefficient de sécurité s. Exprimer alors larelation entre Rid, Rig et Rint.

– En écrivant l’égalité des angles de torsion pour ces deux arbres, en déduireune relation liant Rid, Rig, Ld et Lg.

Déterminer Rid, Rig et Rint.Toutes les applications numériques seront faites avec :Lg = 110 cm, Ld = 55 cm,Couple maxi à la roue : 1200 Nm,Rpg = 220 MPa, coefficient de sécurité s = 2.


TD 5

Sollicitation élémentaire :la flexion

On considère des poutres soumises à de la flexion. Les études proposéesreprendront certaines configurations vues lors d’exercices précédents. On étudieraévidemment les cas classiques de chargement (poutre console, poutre soumise à uneeffort en son milieu).

Sommaire5.1 Cas classique de la poutre console . . . . . . . . . . . . . 365.2 Poutre simplement appuyée soumise à un effort en son

milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3 Poutrelle métallique chargée uniformément . . . . . . . . 375.4 Vanne-wagon d’un barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.5 Montage d’essai de flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

« Couple, au sens mécanique du mot :système de forces parallèles et de sens contraires»

Pierre Baillargeon - Romancier et traducteur français


5.Sollicitation élémentaire : la flexion

5.1 Cas classique de la poutre consoleOn rencontre dans de nombreux systèmes le cas d’une pièce mécanique sollicitée

en flexion qui peut se modéliser par la figure 5.1. Un telle poutre est appelée poutreconsole : elle est encastrée à une de ses extrémités et soumise à une charge concentréeà l’autre.

z x

y

O

A

L

F

Figure 5.1 – Cas d’une poutre console

1̊ ) Déterminer le torseur des efforts intérieurs dans toute section droite de lapoutre

2̊ ) On suppose que l’on néglige les contraintes de cisaillement. Déterminer lescontraintes normales et trouver leur maximum. On étudiera plus particulière-ment le cas où la section est circulaire de diamètre d et le cas où la section estrectangulaire, de largeur b de hauteur h (cf. figure 5.2).

z

y

xG z

y

xG

b

h

diamètre d = 2 rrayon r

Figure 5.2 – Les deux cas de sections à étudier

3̊ ) Déterminer l’équation de la déformée v(x) de la poutre. Intégrer cette équa-tion et en utilisant les conditions aux limites, déterminer son expression. Endéduire sa valeur maximale.

5.2 Poutre simplement appuyée soumise à un efforten son milieu

Un autre cas couramment utilisé est le cas d’une pièce mécanique soumise en sonmilieu à un effort concentré. Un exemple est donné sur la figure 5.3. On considère


5.3. Poutrelle métallique chargée uniformément

alors le modèle présenté sur la même figure.

zx

y

O A

L

FL/2

Figure 5.3 – Cas d’une poutre simplementappuyée

1̊ ) Déterminer le torseur des efforts intérieurs dans toute section droite de lapoutre.

2̊ ) On suppose que l’on néglige les contraintes de cisaillement. Déterminer lescontraintes normales et trouver leur maximum. On supposera que la sectionest circulaire de diamètre d.

3̊ ) Déterminer l’équation de la déformée v(x) de la poutre. Intégrer cette équa-tion et en utilisant les conditions aux limites, déterminer son expression. Endéduire sa valeur maximale.

4̊ ) Comment peut-on retrouver ce dernier résultat à partir de l’exercice précé-dent (cas de la poutre console) ?

5.3 Poutrelle métallique chargée uniformémentOn reprend l’exemple de la poutrelle métallique (figure 5.4) dont le modèle est

donné sur la figure 5.5. Le chargement extérieur est celui d’une pression linéiqueconstante répartie sur toute la longueur L = 10 m de la poutre telle que la pressionlinéique soit de p = 10 Nm−1.

L’étude statique a permis de déterminer les actions dans les liaisons en O et enA :

– En O : {T(Ext.−→Poutre)

}=

{ pL2−→y−→0

}O


}=

{ pL2−→y−→0

}A

1̊ ) Calculer le torseur des efforts intérieurs et tracer en fonction de l’abscisse x,les diagrammes des composantes non nulles du torseur des efforts intérieurs.

2̊ ) On suppose que les contraintes tangentielles sont négligeables, détermineralors les contraintes normales, et en particulier la valeur maximale de celles-ci.On rappelle que la section droite de la poutre est un profilé en H dont lescaractéristiques géométriques sont données sur la figure 5.4.



z

y

xG

b

h

e

Figure 5.4 – Poutrelle et section

zx

y

O A

L=10 m

p=10 N.m-1

Figure 5.5 – Modélisation de la poutrelle


5.4. Vanne-wagon d’un barrage

N.B. Pour le calcul du moment quadratique de la section en H, on négligeral’influence de l’âme et on supposera que e� h.

3̊ ) Déterminer l’équation de la déformée v(x) de la poutre et calculer sa valeurmaximale.

4̊ ) Pour des raisons d’économie, on souhaite réaliser des poutres à isocontraintesnormales. En effet les critères de dimensionnement à appliquer permettentde minimiser le gaspillage de matière. Lors de la réalisation de l’UniversitéPierre et Marie Curie, on a calculé les poutres supports en respectant la règleprécédente. On a donc été amené à construire des poutres à section évolutive.On reprend donc le problème précédent en supposant que la hauteur h duprofilé est maintenant une fonction de l’abscisse x.Déterminer l’expression de la contrainte normale dans ce cas.

5̊ ) En déduire alors, pour le profilé en H, la hauteur h de la section en un pointcourant, si l’on suppose que la largeur b et l’épaisseur de la semelle e sontconstantes.

5.4 Vanne-wagon d’un barrage

On rappelle la modélisation choisie pour l’étude d’une nervure d’une vanne–wagon sur la figure 5.6.

zx

y

B

O

APartieimmergée

L /

32L

/ 3


L’étude statique a permis de déterminer le torseur des actions mécaniques transmis-sibles par la liaison en O :

{T(Ext.−→Poutre)

}=

{2L2

9ρge−→y

4L3

81ρge−→z

}O

On rappelle que : g = 10 m.s−2, ρ = 1000 kg.m−3 et L = 1, 5 m.



1̊ ) Déterminer le torseur des efforts intérieurs puis tracer, en fonction de l’abs-cisse x, les diagrammes des composantes non nulles du torseur des effortsintérieurs.

2̊ ) Calculer les contraintes normales et tangentielles. Est-il possible de négligerl’influence de la contrainte tangentielle devant la contrainte normale ?

3̊ ) Déterminer la déformée de la nervure de la vanne-wagon et calculer sa valeurmaximale. On supposera que la section est carrée de côté e = 2 cm.

5.5 Montage d’essai de flexionOn rappelle la modélisation de l’éprouvette proposée sur la figure 5.7. Le système

étant symétrique, on suppose que les efforts appliqués sur l’éprouvette le sont aussi.Les efforts extérieurs appliqués à l’éprouvette sont les suivants :

zx

y

O

A

L=70 cm

F = 500 N F = 500 NL/4 L/4

BC

Figure 5.7 – Modélisation de l’éprouvette


}=

{−F−→y−→0

}A


}=

{−F−→y−→0

}B

1̊ ) Déterminer le torseur des efforts intérieurs et tracer, en fonction de l’abscissex, les diagrammes des composantes non nulles du torseur des efforts intérieurs(on effectuera, si celà est nécessaire, l’étude statique de la poutre).

2̊ ) Calculer la contrainte normale et déterminer sa valeur maximale. On sup-pose que le matériau est un aluminium de limite d’élasticité Rp à laquelle onassocie un coefficient de sécurité s, et que la section est rectangulaire (largeurb, hauteur h). Dimensionner alors la section de l’éprouvette.

3̊ ) Déterminer la déformée de l’éprouvette et calculer sa valeur maximale.


TD 6

Concentrations de contraintes

On considère des poutres en prenant en compte leurs géométries réelles. Différentessollicitations sont revisitées en prenant en compte les accidents géométriques àl’aide des coefficients de concentration de contraintes. Le dimensionnement avecles critères usuels est alors étudié.

Sommaire6.1 Étude d’une éprouvette d’aluminium . . . . . . . . . . . . 426.2 Dimensionnement d’une chape . . . . . . . . . . . . . . . 436.3 Étude d’une barre de section rectangulaire . . . . . . . . 456.4 Cylindre de laminoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

« Diplôme : signe de science. Ne prouve rien.»

Gustave Flaubert - Écrivain français


6.Concentrations de contraintes

6.1 Étude d’une éprouvette d’aluminium

On considère une éprouvette d’aluminium avec deux entailles à fond semi-circulairedont les dimensions sont données sur la figure 6.1.

N NdD

r

te

Figure 6.1 – Éprouvette entaillée

Les dimensions de l’éprouvette sont les suivantes : D = 60 mm, e = 10 mm ett = 5 mm. Le paramètre r est celui qu’il faut déterminer, de telle sorte que si l’onapplique sur l’éprouvette une force N = 90 000 N , celle-ci reste dans le domaineélastique avec Rp = 360 MPa.

1̊ ) A partir de l’abaque donné sur la figure 6.2, déterminer la valeur de r.

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,17

0,19

0,21

0,23

0,250,270,29

0,4

0,5

0,6

0,70,8 0,911,1

1,5

2

3

45

10

0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,15Kt r/t

d/D

Figure 6.2 – Abaque d’une plaque entaillée


6.2. Dimensionnement d’une chape

6.2 Dimensionnement d’une chapeOn s’intéresse au dimensionnement d’une chape située à l’extrémité d’une tige

de vérin. La sollicitation principale à laquelle est soumise la tige du vérin est de latraction, de telle sorte que :

{Tint

}=

{P−→x−→0

}G

Les dimensions de la chape sont données sur la figure 6.3 et P = 500 000 N .

R

a

r1r2

76 mm

48 mm

5 mm

12 mm

=

=

=

=

ø1ø2ø3

130 mm

100 mm

98 mm

=

=

=

ø3

R

a

r1

r2

ø1 ø2

A

B

C

P P

Figure 6.3 – Chape étudiée

1̊ ) Les concentrations de contraintes conduisent à une étude plus précise pourles points A, B, et C. Justifiez le fait qu’on s’intéresse à chacun de ces troispoints. Quels sont les accidents géométriques à prendre en compte pour chacunde ces points (on se référera aux abaques de la figure 6.4) ? Pour chacun, ondonnera l’expression de la contrainte nominale.

2̊ ) Déterminer les coefficients de concentration de contraintes associés à chacundes accidents géométriques, en considérant éventuellement plusieurs cas pourles points B et C. On conservera le plus grand coefficient de concentration decontraintes si celà est nécessaire.

3̊ ) Calculer les contraintes réelles pour chacun des points A, B, C. En déduirele point à prendre en compte pour le dimensionnement.



0 0,1 0,3 0,4 0,5 0,6 0,70,2 0,81

2

3

4

5

6

K t

d/b

b P

P

d

a

0,4 0,6 0,7 0,8 0,90,5 11

2

3

4

5

6

K t

d/D

0,02 0,03

0,04

0,050,060,070,08

0,090,10

0,120,140,18

0,300,400,601,002,006,00

0,160,20

0,500,80

4,0010,00

r /t

P PdD

r

t

0,4 0,6 0,7 0,8 0,90,5 11

2

3

4

5

6

K t

d/D

0,03

0,04

0,05

0,060,070,08

0,090,100,120,140,18

0,300,400,601,002,00

0,160,20

0,500,80

3,008,004,0010,00

r /t

P PdD

r

te

Figure 6.4 – Différents abaques de Kt


6.3. Étude d’une barre de section rectangulaire

6.3 Étude d’une barre de section rectangulaireOn considère une barre dont le modèle est donné sur la figure 6.5. La hauteur

de la barre est notée h = 6 cm, sa largeur e = 2cm.

zx

y

O A

L=10 m

p=10 N.m-1

L/3F= 500 N

Figure 6.5 – Modèle de la barre

1̊ ) Déterminer le torseur des efforts intérieurs. Tracer les diagrammes de l’efforttranchant et du moment fléchissant. En déduire en particulier la valeur dumoment fléchissant maximal.

2̊ ) Calculer la valeur de la contrainte maximale, et en supposant que l’on uti-lise un matériau de limite élastique pratique Rp = 370 MPa, déterminer lecoefficient de sécurité.

3̊ ) Pour faire passer un câble de fixation, on ajoute à la barre précédente uneentaille en x = L

3. Les dimensions caractéristiques de cette entaille sont données

par r = 2mm et t = 0, 6 cm.

d

D

r

t

e

zx

y

Figure 6.6 – Caractéristiques de l’entaille

On peut calculer la valeur du coefficient de concentration de contraintes associéà cette entaille en flexion à partir des formules suivantes :

Kt =1√

1(0,684Kp)2

+ 1(1,622Kq)2

+ 1

avec

Kp =

√t

r

dD

1− dD

+ 1− 1 et Kq =1√rt

Calculer le coefficient de concentrations de contrainte et conclure sur le dimen-sionnement de la barre.



6.4 Cylindre de laminoir

On s’intéresse à un cylindre de laminoir à tube (figure 6.7). Compte tenu desdifférents roulements utilisés pour le montage de l’arbre principal et des efforts ex-térieurs dus au tube à laminer, on adopte la modélisation proposée sur la figure 6.8.

Figure 6.7 – Laminoir à tube

z x

y

O

L / 32L / 3

F

Figure 6.8 – Modèle d’étude

1̊ ) Écrire le Principe Fondamental de la Statique appliqué à la poutre. Est-ilpossible de déterminer les inconnues statiques ?

2̊ ) On donne sur la figure 6.9 des expressions de la flèche et de sa dérivée pourun chargement paramétré par α. En décomposant le problème initial en deuxsous problèmes de flexion dont l’un est soumis à l’effort F et l’autre à un effortinconnu, déterminer la flèche à l’extrémité de la poutre par superposition deces deux problèmes.

3̊ ) Déterminer alors les actions mécaniques extérieures dues aux liaisons.

4̊ ) Calculer le moment fléchissant et en particulier le point où il est maximum.


6.4. Cylindre de laminoir

A à C : vP

6 E I----------- x 2 3 α x–( )–=

C à B : vP

6 E I----------- x 2 3 x α–( )–=

v BP

6 E I----------- α 2 3 α–( )–=

A à C : v‘P

2 E I----------- x 2 α x–( )–=

v‘A 0=

C à B : v‘P

2 E I----------- α 2–=

v‘ BP α 2

2 E I-------------–=

CA B

P

α −α

Figure 6.9 – Formulaire

5̊ ) Indiquer où vont se situer les concentrations de contraintes, et calculer lecoefficient de concentration de contraintes.On prendra r

t= 0, 3 et les autres dimensions seront mesurées sur le plan. β

2est

l’angle du cône de raccordement entre les deux diamètres (mesuré à partir dela verticale sur le plan). On donne :

K(β)t = K

√cos(β

2)

t

avecKt =

1√1

(0,715Kp)2+ 1

(2Kq)2

+ 1

et

Kp =

√t

r

dD

1− dD

+ 1− 1 et Kq =1√rt


TD 7

Flambement

On s’intéresse à différentes poutres dont les conditions aux limites varient. Le butest de balayer l’éventail classique des valeurs de charges critiques et de construireun tableau résumant les résultats obtenus.

Sommaire7.1 Étude d’une machine d’essai de traction . . . . . . . . . . 507.2 Étude d’un vérin hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . 517.3 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

« Le commencement de toutes les sciences,c’est l’étonnement de ce que les choses sont ce qu’elles sont.»

Aristote - Philosophe grec


7.Flambement

7.1 Étude d’une machine d’essai de tractionOn considère une machine d’essai de traction de laboratoire dont une photogra-

phie est donnée sur la figure 7.1.

L

H

hB

E

T

B

Figure 7.1 – La machine étudiée

On propose sur cette même figure un modèle d’étude constitué de l’assemblagede plusieurs poutres :

– deux barres latérales notées B de section Sb, de hauteur H et de moduled’Young Eb ;

– une traverse notée T , de longueur L, de moment quadratique en flexion I tGz etde module d’Young Et ;

– une éprouvette notée E de longueur l, de section Se, de moment quadratiqueen flexion IeGz et de module d’Young Ee.

L’axe −→z est perpendiculaire au plan de la figure.Sur cette machine, on peut mesurer le déplacement de la traverse par la mesure

du nombre de tours des vis à billes (modélisées par les deux poutres B) sur lesquellesest montée la traverse.

1̊ ) On suppose que l’éprouvette est soumise à un effort de compression N .Déterminer les sollicitations dans toutes les poutres du système.

2̊ ) Représenter une allure de la déformée du système constitué des différentespoutres.

3̊ ) Calculer les déplacements maximaux dans chacune des poutres du systèmeen fonction de l’effort N et des caractéristiques géométriques et matériau dechacune des poutres. On notera ∆T le déplacement maximal de la traverse,∆B celui des barres et ∆E celui de l’éprouvette.

4̊ ) Quelle relation relie les différents déplacements calculés précédemment ?Conclure sur la pertinence d’une mesure de d’allongement sur l’éprouvetteà partir de la mesure du nombre de tour des vis à billes.


7.2. Étude d’un vérin hydraulique

5̊ ) L’éprouvette est soumise à de la compression. On souhaite vérifier qu’ellene risque pas de flamber au cours de l’essai. Pour celà, on adopte le modèleproposé sur la figure 7.2

z x

y

O

A

h

N

Figure 7.2 – Éprouvette en compression

Tracer une allure de la déformée flambée de la poutre

6̊ ) Déterminer l’équation vérifiée par la flèche et écrire les conditions aux limites.

7̊ ) Calculer la valeur de la charge critique en fonction de l’effort N , de la lon-gueur h, du module d’Young Ee et du moment quadratique de la section IeGz

7.2 Étude d’un vérin hydrauliqueLa figure 7.3 représente un vérin hydraulique. Un des critères de dimensionne-

ment à prendre en compte pour le choix d’un vérin est le flambement de la tige.On retrouve en effet dans de nombreux catalogues de constructeurs des graphespermettant de valider le critère de non flambement de la tige (voir figure 7.4).

Figure 7.3 – Plan du vérin hydraulique

Nous allons ici nous intéresser à la détermination de la charge critique de flam-bement de la tige dans diverses configurations :

– tige totalement sortie et non guidée à son extrémité : modèle de la figure 7.5,– tige à moitié rentrée et guidée à son extrémité, modèle de la figure 7.6– tige totalement rentrée, modèle de la figure 7.7.Pour chacune des configurations proposées, on propose de mener une étude per-

mettant de déterminer la valeur de la charge critique d’Euler. Pour celà, on répondraaux questions suivantes pour chaque configuration.

1̊ ) Tracer une allure de la déformée flambée de la poutre


7.Flambement

0 50 100 150 200

1200

11001000

900800700600500

400300200100

0

Ø 80

Ø 63

Ø 50Ø 40

Palier à rotuleValeurs limites pour course et pression de fonctionnement pour des efforts de flambage

Pression [bars]

]m

m[ esruoC

piston Ø 32piston Ø 25

Figure 7.4 – Extrait du catalogue ROEMHELD

2̊ ) Déterminer l’équation vérifiée par la flèche et écrire les conditions aux limites.

3̊ ) Calculer la valeur de la charge critique en fonction de l’effort F , de la lon-gueur L, du module d’Young E et du moment quadratique de la section IGz

z x

y

O

A

L

F

Figure 7.5 – Tige totalement sortie

zx

y

O

A

L

L/2

F

Figure 7.6 – Tige à moitié rentrée


7.3. Bilan

z x

y

O

A

L

F

Figure 7.7 – Tige totalement rentrée

7.3 BilanOn propose de résumer les différents résultats dans le tableau ci-dessous. On

suppose que la charge critique de flambement s’écrit sous la forme :

Fc =π2EIGz(µL)2

1̊ ) À partir des résultats des exercices précédents, remplir le tableau 7.1.

z

x

y

O

A

L

F

zx

y

O

A

L

F

zx

y

O

A

L

F

zx

y

O

A

L

L/2

F

zx

y

O

A

L

F

µ = 1 µ = µ = µ = µ =

Table 7.1 – Bilan des valeurs de chargescritiques

2̊ ) Justifier certaines valeurs du coefficient µ sans faire aucun calcul.


7.Flambement


Documents

chape de guidage 2.pdf