CHAPITRE 03 :

CHAPITRE 03:

ARBRES ET AXES

(Calcul et Dimensionnement)

I- Gnralits:

1. Dfinitions:

Les arbres et les axes sont des pices mcaniques, de section gnralement circulaire. Leur rle principal est de supporter les pices de rotation dune machine et de matrialiser leur axe de rotation gomtrique.

Les Axes: Ne sont prvus que pour supporter les pices de rotation. Ils peuvent tre soit fixes par rapport aux pices quils supportent, soit tourner avec elles. Les efforts sexerant sur les pices de rotation agissent sur leur axe comme des charges flchissant.

Les Arbres: Non seulement portent les pices de rotation, mais transmettent aussi le moment (couple) de torsion entre les lments de transmission quils supportent: poulies, engrenages, pignons de chanes, etc.Il en rsulte quen plus des efforts flchissant, ils sont sollicits par un moment de torsion sur toute leur longueur ou sur une partie seulement.

2. Construction:

Daprs les formes gomtriques, on distingue les arbres droits, couds (vilebrequin), flexibles. Les axes ne peuvent tre que droits.

Les arbres droits peuvent tre: lisses, gradin (dans la plupart des cas), brides et pignons figure (01).

Daprs la forme gomtrique de la section droite, les arbres et les axes peuvent tre: pleins, creux, cannels, etc.

Les parties dappuis des arbres et des axes sappellent tourillons. Les tourillons situs sur les bouts des arbres et subissent les ractions radiales sappellent ergots. Les tourillons intermdiaires sappellent collets. Les tourillons subissant les ractions axiales sappellent pivots.

On distingue les ergots cylindriques, coniques et sphriques.

3. Calcul de prdtermination des arbres:

Bien que certains calculs de prdterminations (calcul de dimensionnement) soient encore bass sur la thorie de la rsistance des matriaux, loptimisation des arbres relve maintenant de lemploi de codes de calcul utilisant les lments finis.

En effet, le calcul de prdtermination dun arbre se fait partir:

dun calcul classique de R.D.M. ( la rsistance ou la dformation). Le calcul la rsistance est dailleurs le critre essentiel de laptitude au travail des axes et des arbres. Cependant le calcul la dformation ( la rigidit) est pratiqu gnralement pour vrifier les constructions importantes.

de la thorie de la fatigue ou de lendurance, pour les arbres ou les axes aux vitesses rapides. Pour le calcul lendurance il faut savoir les dimensions des arbres et des axes dtermines par le calcul la rsistance statique. dun calcul de vrification aux vibrations pour les constructions importantes aux vitesses rapides.

Suivant la destination de larbre, tous les critres de calcul ne seront pas ncessairement utiliss. Un arbre de rducteur de forte capacit sera en premier lieu calcul la rsistance. Par contre on commencera par faire un calcul la vitesse critique pour un arbre de turbine, de turbo-compresseur qui tourne es vitesses trs leves.

Ces calculs faits, on dispose dun diamtre minimal pour larbre, ce nest pas forcment le diamtre rellement choisi, car lenvironnement technologique peut imposer de plus grandes dimensions et des formes spcifiques.

A- Calcul des Arbres et des Axes la Rsistance:

On distingue le calcul pralable, le calcul de projet et le calcul de vrification des arbres (endurance).

1- Calcul pralable:

Ce calcul nest quune premire approximation, il a pour objet de donner une ide trs grossire sur lordre de grandeur du diamtre minimal de larbre(les axes ne sont pas concerns par ce type de calcul). On dtermine le diamtre de larbre partir de la condition de rsistance la torsion daprs la formule connue de la Rsistance des matriaux:

O Mt: moment transmis de torsion et []: Contrainte admissible de torsion

2-Calcul de projet:

Cest le vrai calcul des arbres la rsistance. Il se pratique selon lordre suivant:

a) On fait le schma de calcul, o les arbres sont modliss comme des poutres reposant sur des appuis articuls (liaison pivot), on fixe les distances entre les appuis articuls et les pices situes sur larbre.

b) On dtermine les valeurs et les directions daction des efforts et des moments agissant sur larbre travers les organes quil supporte.

c) On dcompose les forces de flexion en composantes suivant deux plans mutuellement perpendiculaires, et cela pour toutes les charges, puis on trace les schmas calculs pour chaque plan.

d) On dtermine les ractions dans les appuis (efforts de liaison) laide de la mcanique des solides indformables et on construit les pures des moments de flexion pour chaque plan.

e) On construit lpure du moment rsultant de flexion par addition gomtrique des moments de flexion agissant dans chaque plan.

O M: moment rsultant de flexion

Mx et My: moments de flexion agissant dans deux plans perpendiculaires.

f) On construit lpure des moments de torsion.

g) On construit lpure des moments rsultants Mr suivant la 3me thorie de la rsistance des matriaux daprs laquelle:

h) On trouve la section dangereuse o Mr est maximal et on dtermine ainsi le diamtre minimal de larbre pour la section dangereuse daprs la relation:

O []f: Contrainte admissible de flexion

On arrondit la valeur obtenue du diamtre jusqu la valeur normalise la plus proche. Les diamtres normaliss entre 16mm et 100 mmsont comme suit:

16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 24; 25; 26; 28; 30; 32; 34; 36; 38; 40; 42; 48; 52; 55; 60; 63; 65; 70; 75; 80; 85; 90; 95; 100 mm.

N.B : La construction des pures mentionnes dans les tapes (e) et (g) nest pas toujours vidente. Nous faisons alors appel au concept de sections dangereuses correspondant aux valeurs maximales du moment de flexion dans chacun des deux plans considrs.

Exemple dApplicationLarbre de la figure (1) reoit une puissance de 48 KW par lintermdiaire dune roue dente conique de diamtre primitif Dp1 = 400 mm la vitesse n = 944 tr/min et la transmet laide dune roue dente denture droite de diamtre Dp2 = 200 mm.

Dterminer la valeur minimale de larbre dans les section A et C.Donnes:

Fr2 = 2,4 KN;

Fa1 = 0,6 KN;

Fr1 = 1 KN;

[]f = 120 MPA

B- Calcul de Vrification la fatigue (calcul lendurance):

On procde ce calcul lorsquon connat la construction et les dimensions des arbres, la position et le type des concentrateurs de contraintes (tensions), des pices, des appuis ainsi que les moments rsultants agissant dans les sections droites des arbres.

Pendant ce calcul on dtermine les coefficients de scurit calculs dans les sections dangereuses. Nous considrons que les contraintes de flexion changent suivant un cycle symtrique et celles de torsion selon un cycle pulsatoire fig. (02).

Le coefficient de scurit est dtermin daprs la formule:

O n est le coefficient de scurit la flexion (aux contraintes normales).

n est le coefficient de scurit la torsion (aux contraintes tangentielles).

O

-1 et -1 sont les limites dendurance la flexion et la torsion.

; ;

K et K sont les coefficients de forme effectifs la flexion et la torsion (tableau 3.1)

Concentrateur de contraintesK K

r dacier en N/mm2

700 1000 700 1000

Cong de r/d=0,02

Raccordement r/d=0,05

Quand h/r=1 r/d=0,11,49

1,69

1,551,6

1,83

1,721,37

1,46

1,421,39

1,51

1,46

Rainure de clavetage, taille par la fraise1,892,261,712,22

Ajustement bloqu la presse P20N/mm22,43,61,82,5

Filetage2,22,611,01,0

Remarque:

Si dans la mme section il y a quelques concentrateurs de contraintes, on tient compte de celui qui a la plus grande valeur de K .

et sont les facteurs dchelle (tableau 3.2).

Le diamtre minimal dans la zone de concentration (mm)Acier au carboneAciers Allis

de 20 30 mm0,910,890,830,89

de 30 40 mm0,880,810,770,81

de 40 50 mm0,840,780,730,78

a et a sont respectivement les amplitudes des cycles du changement de contraintes lors de la flexion et la torsion. ,

Moment de rsistance de la section la flexion. Moment de rsistance de la section la torsion. ,

et sont les coefficients qui tiennent compte de linfluence de la contrainte moyenne sur la rsistance la fatigue. On adopte habituellement:

pour les aciers au carbone moyen = 0,20 et = 0,10

Pour les aciers allis = 0,25 et = 0,15

est le coefficient de scurit admissible. On adopte = (1,3 4,0).

C- Calcul dun arbre la vibration :

Le calcul dun arbre pour la rsistance aux vibrations latrales, se ramne vrifier la condition de non apparition de la rsonance, qui provoque un accroissement brusque de lamplitude susceptible dentraner la rupture de larbre. Les rsonances apparaissent lorsque la vitesse atteint une valeur critique laquelle la frquence de variation des efforts extrieurs se confond avec celle des vibrations propres du systme constitu par larbre et les pices quil porte.

Soit un disque dun poids (G) pos sur un arbre (fig.03) symtriquement par rapport ses paliers. Le centre de gravit du disque est dplac de la valeur (e) par rapport laxe gomtrique de rotation.

Lors de la rotation uniforme de larbre avec le disque, larbre subit une flexion sous leffet dune force centrifuge Fc.

Fc = m.w2 (y + e)

avec: m: masse du disque (m=G/g)

Cela tant vrai, si on ne tient pas compte du poids propre du systme (cas semblable celui dune poutre reposant librement sur deux appuis).

; do ;

avec F0: est la force qui provoque une flche gale lunit.

E : Module dlasticit longitudinale du matriaux de larbre.

On peut crire que

Fc = F do m.w2(y + e) = f0.y

Ou encore m.w2.y + m.w2.e

Avec laugmentation de la vitesse angulaire w la valeur de la flche y croit, et lorsque on a ce qui signifie quune telle vitesse angulaire entrane la rupture de larbre. Cette vitesse est dite vitesse critique (wc).

Puisque , la vitesse critique en nombre de tours que fait larbre par minute.

avec f = G / F0: flche statique de larbre sous leffet du poids (G) que la pice quil porte, il vient:

EMBED Equation.3 Les conditions normales de fonctionnement sont:

EMBED Equation.3 Remarque1: Les relations tablies ci-dessus restent valables lorsquon tient compte de la flexion de larbre sous leffet du poids propre du systme.

Remarque 2: Pour les arbres de rotation rapide lquilibrage de larbre assembl (cest dire avec toutes les pices montes) a la plus grande importance.

D- Calcul dun arbre (ou axe ) la rigidit :

Ce calcul a pour but la dtermination des flches et des angles de pente de la fibre neutre de la pice dans des sections dtermines.

La flexion de larbre sous un engrenage entrane une augmentation de lentraxe et, par consquent, la diminution du coefficient dengrnement (). Pour cela, on limite la valeur de la flche maximale pour chaque type de construction.

Dans le cas gnral, la flche est fonction de la valeur de la charge applique et de sa position sur la trave. Pour diminuer la flche dun arbre ou dun axe, il faut:

1- disposer les pices, montes sur les axes et les arbres, le plus prs possible des paliers;

2- rduire au maximum le poids des poulies, roues dentes et autres pices montes sur les axes et les arbres;

3- Equilibrer ces pices. Lquilibrage des arbres devant fonctionner des vitesses leves se fait aprs la mise en place de toutes les pices portes par ces arbres. dun arbre ou dun axe Arbre gradins

Arbre lisse

Trous

Dents de pignon

Rainure de clavette

Arbre Brides

Arbre Pignon

A-A

A-A

A-A

Plein

Cannel

Creux

Ergot conique

Ergot sphrique

Fig.01

Fr1

Ft1

Fr2

Ft2

a=100 mm

A

b =100 mm

C

B

D

Dp2

Dp1

Fr1

Fa1

Ft1

c =100 mm

X

X

EMBED PBrush

temps

max

m

a

max >0; min = 0; m = a = max/2

Cycle pulsatoire

EMBED PBrush

Priode du cycle

a

min

max

temps

max = - min; m = 0

Cycle Symtrique

Fig.02

e+ y

G

e

L/2

L

Fig.03

Module: Construction Mcanique

Enseignant: Mr Nafa ali

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