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Chapitre 1 : Analyse Combinatoire
L2 éco-gestion, option AEM
(L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 1 / 23
Question du jourPensez-vous que dans cette assemblée, deux personnes au moins soientnées le même jour ?
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L’analyse combinatoire
L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui étudiecomment dénombrer des objets.Pourquoi dénombrer ? Ex : comment classer 2 élèves ? 3 ? 4 ? . . .20 ?⇒ comprendre comment compter devient rapidement important.Dénombrement et mathématiques :
Théorie des probabilités : lorsque le nombre de cas possibles est fini,alors la connaissance de ce nombre est primordiale.Combinatoire géométrique : de combien de façons peut-on colorier unecarte avec k couleurs, de telle sorte que deux pays frontaliers soient decouleur différente ? Théorème des quatre couleurs.Théorie des graphes : ex nombre d’Erdös.Triangle de Pascal : comment développer (x + y)8 rapidement ?. . .
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Plan
1 Un principe de base
2 Nombre d’arrangements
3 Nombre de permutations
4 Nombre de combinaisons
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Plan
1 Un principe de base
2 Nombre d’arrangements
3 Nombre de permutations
4 Nombre de combinaisons
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Un principe de base
Exemple 1Dans un magasin, j’ai le choix entre trois ordinateurs portables de mêmedimension et 2 pochettes.Combien ai-je de choix possibles ?
Le principe multiplicatifOn considère deux ensembles finis A et B. On note A×B le produitcartésien de A par B , c’est-à-dire l’ensemble des couples (x ,y) où x estdans A et y est dans B .Le cardinal de A×B est égal au produit des cardinaux de A et de B :
card(A×B) = card(A) · card(B)
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Principe multiplicatif
Exemple 2Le mot de passe Izly (CROUS,. . .) comporte six chiffres entre 0 et 9.Combien y a-t-il de mots de passe différents ?
Exemple 3Un digicode est composé d’une lettre (A ou B) suivi de 3 chiffres. Combieny a-t-il de codes possibles ?
Exemple 4On veut garer 3 voitures sur un parking de 6 places. Combien y a-t-il depossibilités de trois places vides ? (de garer les voitures ?)
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Plan
1 Un principe de base
2 Nombre d’arrangements
3 Nombre de permutations
4 Nombre de combinaisons
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Arrangements
Définition d’un arrangementEtant donné un ensemble E de n objets, un arrangement de k de ces objetsest une suite ordonnée de k objets pris parmi ces n objets.
AttentionOn tient compte de l’ordre des objets.
Exemple 1Combien y a-t-il de podiums de 3 coureurs d’un 100m d’une course de 8coureurs ?(3,7,2) est un arrangement ; (2,7,3) en est un autre.
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Nombre d’arrangementsArrangements sans répétition
Sans répétitionDans un arrangement sans répétition, les k objets de la liste sonttous distincts.Cela correspond à un tirage sans remise et avec ordre.
Exemple 1Combien y a-t-il de podiums possibles de 3 personnes avec 10 partants ?avec 20 partants ?
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Nombre d’arrangementsArrangements sans répétition
PropriétéLe nombre d’arrangements sans répétition de k objets parmi n (avec0≤ k ≤ n) est donné par
Akn = n× (n−1)× ...× (n−k +1) =
n!(n−k)!
Exemple 2Combien de nombres de six chiffres peut-on former avec les chiffres les 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7, chaque chiffre n’étant présent qu’une fois, et de façonque chaque nombre commence par 7 et soit divisible par 5 ?
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Nombre d’arrangementsArrangements avec répétition
Avec répétitionDans le cas d’un arrangement avec répétition, les k objets de la listene sont pas nécessairement tous distincts.Cela correspond à un tirage avec remise et avec ordre.
Propriété
Le nombre d’arrangements avec répétition de k objets parmi n est nk .
ExempleCombien de nombres de 6 chiffres peut-on former avec les chiffres 1, 2 et3 ?
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Des arrangements aux combinaisons......en passant par les permutations
Podiums sans ordreCombien y a-t-il de podiums possibles de 3 coureurs sur 10 partants simaintenant on ne tient plus compte de l’ordre d’arrivée ?
Il s’agit donc de dénombrer (entre autres) des permutations...
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Plan
1 Un principe de base
2 Nombre d’arrangements
3 Nombre de permutations
4 Nombre de combinaisons
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Nombre de permutationsPermutations sans répétition
Sans répétitionUne permutation sans répétition de n éléments distincts est une suiteordonnée de ces n éléments.Autrement dit, c’est un arrangement de k = n objets pris parmi nobjets.
Exemple 1Le nombre 2537 est une permutation du nombre 3752.
PropriétéLe nombre de permutations de n éléments distincts est An
n = n!.
Exemple 2Combien de nombres de 3 chiffres peut-on former avec 1, 3 et 5 ?
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Nombre de permutationsPermutations avec répétitions
ProblèmeTrouver le nombre de mots que l’on peut former par permutation desdifférentes lettres
1 du mot VAI.2 du mot VIVA.3 du mot AVIVA.4 du mot AVIVAIT.
⇒ la solution passe par la compréhension du nombre de permutations avecrépétitions.
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Nombre de permutationsPermutations avec répétitions
PropriétéConsidérons un ensemble de n objets divisés en p groupes d’élémentsidentiques, les groupes comprenant respectivement n1,n2, ... , et npobjets (on a donc n1+n2+ ...+np = n).Alors le nombre de permutations de cet ensemble est :
n!n1!n2!...np!
Preuve. . .
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Plan
1 Un principe de base
2 Nombre d’arrangements
3 Nombre de permutations
4 Nombre de combinaisons
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Nombre de combinaisons
DéfinitionUne combinaison de k objets pris dans E est un sous-ensemble de kde ces n objets.L’ordre n’intervient pas.
ExempleLe joueur de poker tire une combinaison de 5 cartes d’un jeu de 52 cartes.L’ordre des cartes ne compte pas.
(L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 19 / 23
Nombre de combinaisonsCombinaisons sans répétition
Une combinaison sans répétition correspond à un tirage sans remiseet sans ordre.
PropriétéLe nombre de combinaisons sans répétition est donné par
C kn =
(nk
)=
Akn
k!=
n!k!(n−k)!
C kn : notation francophone.(nk
): notation anglosaxone.
PreuveMême raisonnement que pour le dénombrement des permutations avecrépétitions.
(L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 20 / 23
Nombre de combinaisonsCombinaisons sans répétition
ExempleDe combien de manières peut-on choisir une délégation de 3 hommes et 2femmes pris parmi un groupe de 7 hommes et 5 femmes ?
RemarqueFormaliser et démontrer la proposition : le nombre de manières de choisir kéléments parmi n (sans ordre) correspond au nombre de manières d’enchoisir n−k parmi n.
(L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 21 / 23
Combinaisons et triangles de Pascal
Propriété
C kn = C k−1
n−1 +C kn−1, 0≤ k ≤ n
Cette formule permet de démontrer la formule du binôme de Newton :
(x + y)n =n
∑k=0
C kn xkyn−k .
Triangle de Pascal : premières lignes, détail des C kn pour n = 0,1,2,3,4 et
k = 0, . . . ,n1
1 11 2 1
1 3 3 11 4 6 4 1
Exemple (x + y)4 = 1x4+4x3y +6x2y2+4xy3+1y4
(L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 22 / 23
Nombre de combinaisonsCombinaisons avec répétitions
Une combinaison avec répétitions correspond au cas d’un tirage sansordre et avec remise.
Propriété (admise)Le nombre de combinaisons avec répétition de k objets parmi n estC k
n+k−1 =(n+k−1
k
), k étant éventuellement supérieur à n.
ExempleLors d’une soirée, 3 amis munis de 3 "bons pour une boisson" se dirigentvers le bar qui peut délivrer 8 sortes de boissons dénommées ABCDEFGH.Combien de commandes peuvent-ils faire ? [AAB = ABA]
(L2 éco-gestion, option AEM) Chapitre 1 : Analyse Combinatoire 23 / 23