Chapitre 1- La théorie de l’équilibre général en dynamique : le monde à la Arrow-Debreu

Licence 3 - Université d’Auvergne

Christopher Grigoriou

2007-2008

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Introduction

� Issue des travaux de Walras

� Cadre de référence pour la théorie micro-économique anglo-saxonne (1950s)

� Arrow et Debreu (1954): démonstration d’un EG concurrentiel => « monde à la Arrow-Debreu »

� Portée et limites de la théorie moderne de l’EGW

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Introduction

� Pourquoi la théorie de l’EGW a pris une telle ampleur?

-Fondements théoriques de l’économie de marché

- La redécouverte de Walras

� L’existence de l’EGW en dynamique

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S1- Préambule

A- Les fondements théoriques de l’économie de marché

La TEGW s’interroge sur la validité de trois propositions

1- Une économie de marché est une économie décentralisée

2- Une économie tend vers un équilibre général, qui assure la compatibilité des plans des agents privés

3- Tout déséquilibre peut s’y résorber grâce à un ajustement par les prix

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A- Les fondements théoriques de l’économie de marché

� Implications de ces trois propositions

=> décisions individuelles

=> loi de l’offre et de la demande

2 fonctions:

(i) comment varient les prix d’équilibre sous l’effet d’un changement dans les valeurs des paramètres qui les déterminent (question de l’existence de l’équilibre général).

(ii) par quel processus arrive-t-on aux prix d’équilibre pour des valeurs données de paramètre (question de la stabilité de l’équilibre général).

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Loi de l’offre et de la demande:�Ajustement des prix sur les marchés

�Garantit une correction auto-équilibrante

�Condition supplémentaire: la neutralité de la monnaie

Une économie de marché ainsi décrite réalise-t-elle une allocation optimale des ressources?

=> « théorie du bien être »

=> « optimum de Pareto »

A- Les fondements théoriques de l’économie de marché

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� « Eléments d’économie pure » (Walras, 1874)=> remise en cause du paradigme marshallien

=> deux représentations différentes du fonctionnement du marché (processus d’ajustement des prix (Walras)/processus d’ajustement des quantités (Marshall))

� L’apport de Hicks (Valeur et Capital, 1939)

� La détermination de l’équilibre général

B- La redécouverte de Walras

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1- L’apport de Hicks, Valeur et Capital (1939)

� Analyse des variations du système d’EG en réponse àdes changements dans les paramètres1- Aprofondissement de la théorie de la demande dérivée entièrement de la notion de préférence

2- Prise en compte des relations entre les marchés

3- Fondation d’une dynamique économique

� « dépasser le simple stade du décompte des équations et des inconnues et de proposer des lois générales gouvernant le fonctionnement d’un système de prix sur un marché multiple »

Mais ne s’interroge pas sur l’existence d’un EGW c’est à dire la possibilité de trouver une solution économiquement significative au système d’équations traduisant l’équilibre simultané sur tous les marchés.

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� Gustav Cassel (1918)Soient;i un des n biens de consommation avec pi et yi le prix et la quantité associésj une des m ressources primaires utilisées dans la production des biens de

consommation avec vj et xj son prix et sa quantité disponibleaij le coefficient de fabrication de i à l’aide de j

5 hypothèses fondamentales1- la demande de chaque bien i de conso est une fonction fi des prix de ts les

biens 2- la concurrence entraîne l’annulation du profit pour tous les producteurs3- les coefficients de fabrication sont fixes (rendements constants)4- la quantité de chaque ressource est donnée5- il y a égalité entre offre et demande sur chaque marché

2- La détermination de l’équilibre général

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Système d’équation général (sur tous les marchés) composé de 2n+2m équations

2- La détermination de l’équilibre général

(1) * * * *i i 1 i ny = f (p ,..., p ,...,p ) i∀

(2) j=m

* *i ji

j=1

p = a ijv ∀∑

(3) i=n

* *j ji i

i=1

x = a y j∀∑

(4) *j jx = x j∀

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2- La détermination de l’équilibre général

� Pas un système d’équations simultanées(4) puis (1)-(3)

� Interdépendance générale entre les marchés

l’équilibre sur les marchés des services producteurs dépend de celui sur les marchés des biens (l’inverse est vrai aussi)

� Loi de Walras

A partir de l’agrégation au niveau global des contraintes de budget individuelles, (que l’économie soit ou non à l’équilibre):

j=m i=n

j j i ij=1 i=1

(5) v x = p y ∑ ∑

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� Loi de Walras

n+m-1 premiers marchés à l’équilibre⇒ Pour tout i, pi = pi* et yi = yi*⇒ Pour tout j≠m, vj = vj* et xj = xj*On suppose de plus que sur le marché de m, les

demandeurs sont à l’équilibre, mais pas les offreurs

En remplaçant dans (5) toutes les variables sauf vm et xm par leurs valeurs d’équilibre et ces valeurs d’équilibre par leurs expressions dans le système (1)-(4) => en remplaçant xm par on obtient alors m mx = x

i=n*

m mi ii=1

x = a y ∑

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⇒ Le marché de m est lui aussi en équilibre (et donc vm=vm* et xm=xm*)

⇒ Si tous les marchés sauf un sont à l’équilibre, le dernier l’est aussi…un seul marché ne peut donc pas être en déséquilibre.

⇒ 2n+2m-1 équations indépendantes pour 2n+2m-1 inconnues (n+m-1 prix d’équilibre en termes du numéraire choisi et n+m quantités d’équilibre de biens de consommation et de services producteurs): il accepte donc une solution.

� Loi de Walras

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� 2 critiques à la solution de Cassel

1- Selon Neisser, ce système n’exclut pas la présence de valeurs négatives pour les prix et les quantités d’équilibre

2- Selon Von Stackelberg, il n’admet pas de solution si le nombre de ressources est supérieur au nombre de biens (m>n).

� Schlesinger: remplacer dans (3) les égalités par des inégalités:

Avec vj = 0 si l’inégalité est stricte

� Wald fournit le premier traitement mathématique rigoureux de ce problème mathématique (1933-1936)

=> Existence d’un Equilibre Général Walrassien

i=n

ji i ji=1

a y x≤∑

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� Nouveaux outils mathématiques inspirés de la Théorie des Jeux (développée dans les années 1930).

-Von Neumann (1928)

-Von Neumann et Morgenstern (1944): Theory ofGames and Economic Behavior.

� Von Neumann (1937) => Kakutani (1941)

⇒ Théorèmes d’existence Mc Kenzie/ Arrow et Debreu

⇒ « Monde à la Arrow Debreu »

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S2- L’existence d’un EGW dynamique

A- Deux théorèmes d’existence (Arrow Debreu 1954)

1- Si chaque individu a initialement une quantité positive quelconque de chaque marchandise disponible pour la vente, alors un équilibre concurrentiel existera.

2- Existence d’un équilibre concurrentiel s’il y a des types de travail avec les deux propriétés suivantes:(i) Chaque individu peut offrir un montant positif

quelconque d’au moins un de ces types de travail(i) Chacun de ces types de travail a une utilité

positive dans la production des marchandises désirées

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=> Le premier théorème est pour certains irréalistes car il suppose que chaque agent possède initialement chacune des marchandises.

=> Le second théorème démontre l’existence d’un équilibre concurrentiel dans la situation plus « réaliste » où chaque individu possède initialement une marchandise susceptible d’être vendue à un prix strictement positif.

A- Deux théorèmes d’existence (Arrow Debreu 1954)

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� Donner un contenu analytique à la loi de l’O & D

� Concept de « demande excédentaire agrégée ».Z vecteur de demandes excédentaires agrégées des différents biens

P le vecteur de leurs prix

=> Equilibre Général obtenu ssi :

=> Pi>0 est d’équilibre si la demande excédentaire Zi de ce bien est nulle

=> la condition précédente résume précisément les conditions d’équilibre souhaitées

� Cadre temporel: de la statique à la dynamique

A- Deux théorèmes d’existence (Arrow Debreu 1954)

Z* 0, P*.Z* = 0 ≤

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B- Un système complet de marchés à terme contingents

� Conséquence logique des comportements d’épargne et d’investissement (rationnalité économique).

� Interdépendance ou séquentialité ?

� Arrow et Debreu (1954): existence de marché à termes=> contrats qui seront exécutés à des dates futures

=> redéfinition du concept de marchandise

� Notion d’incertitude (Debreu 1959)

=> contrats contingents

=> cf. les développements des marchés d’option sur instruments financiers (put, call).

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� Définition: marchés complets

⇒ Un système de marchés

⇒ Un marché pour chacun des biens de l’économie

⇒ Cas où l’économie a une durée de vie supérieure à une période : choix intertemporels réalisés à l’instant initial

⇒ Cas de biens contingents (Arrow et Debreu):

temps + divers « états de la nature »

B- Un système complet de marchés àterme contingents

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� Redéfinition de la notion de marchandise⇒ Monde à la Arrow-Debreu => système complet de marchés à termes

contingents où tous les contrats sont échangés dans la période courante

⇒ Exemple de Hahn

⇒ Résolution de l’EGW comme en statique…mais les marchés ouverts à la période précédente et fermés une fois l’équilibre obtenu ne sont pas réouverts à la nouvelle période => l’économie n’est donc pas séquentielle.

� Résultat principal du modèle d’Arrow-Debreu⇒ Extension à la dynamique en augmentant le nombre de marchés

⇒ Introduit une dimension de long terme (≠ de Walras)

⇒ Distinction entre dynamique de CT/LT…LT chez AD => les comportements des agents doivent pouvoir être interprétés comme de LT

B- Un système complet de marchés àterme contingents

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� Point de départ de toutes les analyses néoclassiques

=> Prix Nobel d’économie (Arrow 1972, Debreu 1983)

=> modèle de concurrence parfaite

=> preuve mathématique de la main invisible

Portée du résultat obtenu?

=> L’association entre l’idée d’équilibre et celle d’optimalitécharge la théorie d’un contenu normatif très fort

- une économie décentralisée

- équilibre unique de prix

- équilibre optimal (à définir)

=> harmonie spontanée du système

C- La portée du modèle Arrow-Debreu

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⇒ « Economie du bien être » (cf. Arrow et Debreu)

⇒ Existence d’un système de prix d’EG => mais commment cet équilibre peut être trouvé?

Comment les agents sont à même de faire émerger ce système de prix d’équilibre?=>question de la stabilité de l’EG

C- La portée du modèle Arrow-Debreu

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D- Développement de l’ économie du Bien-Etre

� Idée d’optimalité => Pareto

� Lien entre état optimal et état d’équilibre général (Arrow 1951, Debreu 1951)

=> Deux théorèmes de « l’économie du bien être » : Equilibre concurrentiel et optimalité au sens de Pareto

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Rappel: optimum de Pareto

� Possibilité de définir un état optimal de l’économie comme une situation dans laquelle il n’est pas possible d’augmenter la satisfaction d’un individu sans diminuer celle d’un autre individu

=> 2 types d’états possibles de l’économie: optimal/sous-optimal

� NC : optimums de Pareto = objectifs à atteindre

� Equilibres concurrentiels = optimums de Pareto

⇒ Place privilégiée du modèle de CPP chez les NC.

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A: U1, U2, U3 A => bien 1=> U1

B: V1, V2, V3 B => bien 2=> V1

Pas optimal au sens de Pareto

⇒Déplacement le long de U1 au point de tangence U1-V3

⇒Généralisation à partir de n’importe quel point de départ

⇒Ensemble des points de tangence = ensemble des situations optimales: « sentier parétien » ou « courbe des contrats ».

⇒Maximisation de la satisfaction sous contrainte budgétaire => situations optimales = équilibre général

Otimum de Pareto: raisonnement graphique

Le « sentier parétien » ou « courbe des contrats »

Bien 2 Agent B

Bien 1

Agent A 0 Bien 2

0

Bien 1

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� 1er théorème fondamental de l’économie du bien être:

⇒ Un équilibre concurrentiel est un optimum de Pareto :

« Si les préférences des ménages sont monotones et s’il existe un système complet de marchés, alors toute affectation de ressources entre les agents qui est d’équilibre au sens de la concurrence parfaite est un optimum de Pareto ».

� 2ème théorème fondamental de l’économie du bien être:

⇒ Tout optimum de Pareto peut être un équilibre concurrentiel

(conditions plus fortes que la précédente).

D- Développement de l’ économie du Bien-Etre

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Portée de l’Economie du bien être

� Critère de Pareto très conservateur� Répartition des dotations initiales?� Critère de justice?� « Laissez-faire » total?

� Plasticité idéologique du modèle néoclassique:1er théorème mis en avant par les plus libéraux (optimalité du système concurrentiel)2ème théorème pas les NC tendance plus interventionniste (possibilité de choisir un optimum de Pareto satisfaisant certains critères et de laisser le soin au marché de trouver des prix d’équilibre correspondants)

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Stabilité du régime concurrentiel

� Résultats d’Arrow Debreu: états d’équilibre (existence, unicité, optimalité)

� Question de la stabilité?

� Les forces du marché conduisent-elles à l’un de ces équilibres? Y ramènent-elles automatiquement si l’on s’en éloigne?

⇒ Le « tâtonnement » walrassien.

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L’instabilité du tâtonnement walrassien

� Les conditions de stabilité du tat. Walr.⇒ Le processus de tâtonnement converge-t-il vers les

prix d’équilibre général?� Les théoriciens NC : système d’équations:

prix fonction de la demande nette⇒ Étude du comportement des solutions du système

d’équations

⇒ Les hypothèses Arrow Debreu suffisent elles à assurer la convergence du tâtonnement vers un équilibre et donc vers la stabilité du modèle?

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� Forme des demandes nettes?

D > O si Prix > Prix d’équilibre => instable

� Importance du cas aberrant?

� Théorème de Sonnenschein-Mantel-Debreu

⇒ Concept de substituabilité brute

⇒ Incapacité à démontrer sous des conditions générales la convergence vers un équilibre concurrentiel des processus marchands

L’instabilité du tâtonnement walrassien

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�Théorème de Sonnenschein-Mantel-Debreu

1- Equilibre partiel

A et B, 2 états de technique de production

⇒ On a bien :(conformément aux conclusions de la

loi de l’offre et de la demande)

ji ji

B A A Bi i a > a p < p →

'i i i i

j=m

ji j i 1 m 1 mj=1

y = f (p ) avec f < 0

et a v = p avec v ...v v ...v =∑

B Ai i p > p

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�Théorème de Sonnenschein-Mantel-Debreu

2- Equilibre Général =>Il faut à présent prendre en compte les interdépendances des marchés

A partir des résultats de l’analyse partielle:

Deux influences contradictoires =>

⇒ Résultante indéterminée (dépend des aij et de fi)

⇒ Si la + faible demande de j en B qu’en A entraine un prix d’équilibre de j plus bas en B qu’en A.

Dans l’équation du prix de i =>

⇒ Effet coût (EC) direct + effet revenu (ER) indirect!

⇒ Si ER >EC =>

⇒ La loi de l’offre et de la demande n’est plus vérifiée!!

ji ji

B A B Ai i a > a et y < y

ji ji

B A B Ai i a > a et y < y

ji ji

B A B Aj j a > a et v < v

B Ai i p < p

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L’abandon de l’hypothèse du commissaire-priseur

� Hahn et Negishi (1950s) : processus de « non-tâtonnement »

⇒ 1- prise en compte de « schémas de rationnement »

⇒ 2- Equilibre « dépendant du processus », « hystérésis »

� Disparition complète du commissaire-priseur

⇒ Conjecture des agents

⇒ Opportunités d’arbitrage des agents

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Conclusion Chapitre 1

� Idéologie libérale: flexibilité => état optimal

Développement moderne de la théorie microéconomique:

⇒ Existence d’un équilibre concurrentiel

⇒ Stabilité de l’équilibre?

⇒ Processus de non-tâtonnement?

� Economistes NC => Macroéconomie de l’équilibre

⇒ Dilution de la macroéconomie dans des raisonnements microéconomiques