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Chapitre 11 Tenseur de déformation 1. Définition Sous l'action d'un chargement, tous les corps subissent un changement de forme, de position et d'orientation entre un état initial avant application de la charge et un état final consécutif à son application. Les déformations caractérisent le changement de forme local en tout point du matériau, indépendamment de sa nature et de ses caractéristiques de résistance. 1.1 Etat local de déformation La transformation géométrique qui décrit le passage d'un petit élément de matière de l'état initial à l'état final se décompose en Translation, Rotation et Déformation, cette dernière étant seule responsable du changement de forme du petit élément. Translation et Rotation sont des mouvements de corps rigides qui traduisent les changements de position et d'orientation. Du point de vue de l'état final, Rotation et Déformation ne sont pas commutatives. Si l'on ne s'intéresse qu'au changement de forme du petit élément et non plus à sa position absolue les deux configurations finales sont équivalentes pour un chargement donné. Fig. 1 Transformation géométrique de passage entre l'état initial et l'état final Seule la Déformation responsable des variations de longueur et des distorsions angulaires caractérisé le changement de forme. Elle seule sera liée à la contrainte appliquée au travers de la loi de comportement du matériau. C'est la variable pertinente du mécanicien. 1.2Petites et grandes déformations 1

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Chapitre 11Tenseur de déformation

1. DéfinitionSous l'action d'un chargement, tous les corps subissent un changement de forme, de position et d'orientation entre un état initial avant application de la charge et un état final consécutif à son application. Les déformations caractérisent le changement de forme local en tout point du matériau, indépendamment de sa nature et de ses caractéristiques de résistance.

1.1 Etat local de déformationLa transformation géométrique qui décrit le passage d'un petit élément de matière de l'état initial à l'état final se décompose en Translation, Rotation et Déformation, cette dernière étant seule responsable du changement de forme du petit élément. Translation et Rotation sont des mouvements de corps rigides qui traduisent les changements de position et d'orientation. Du point de vue de l'état final, Rotation et Déformation ne sont pas commutatives. Si l'on ne s'intéresse qu'au changement de forme du petit élément et non plus à sa position absolue les deux configurations finales sont équivalentes pour un chargement donné.

Fig. 1 Transformation géométrique de passage entre l'état initial et l'état final

Seule la Déformation responsable des variations de longueur et des distorsions angulaires caractérisé le changement de forme. Elle seule sera liée à la contrainte appliquée au travers de la loi de comportement du matériau. C'est la variable pertinente du mécanicien.

1.2Petites et grandes déformations Il faut distinguer le cas des petites déformations comme celles des matériaux cristallins travaillant en régime élastique de celui des grandes déformations comme celles qui interviennent dans les opérations de formage et d'emboutissage des métaux en régime plastique ou celles des élastomères supportant de grandes déformations en régime élastique.

1.3 Extension et glissementA l'échelle microscopique, le changement de forme se caractérise par un changement de longueur et un changement d'orientation des liaisons atomiques. A l'échelle macroscopique, lorsqu'une structure se déforme, un segment de longueur l voit varier sa longueur, mais aussi sa direction.

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- La variation de longueur se caractérise par l'extension ou

l'allongement relatif . - La variation de direction est pour sa part le résultat de la composition des deux opérations de Rotation et de Déformation. Afin de s'affranchir de la rotation et de ne retenir que la distorsion de forme, il suffit de suivre l'évolution au cours de la déformation de l'angle forme par deux directions initialement orthogonales.

2 Gradient de la transformationUne quantité clef dans la description de la déformation d’un corps est le gradient de la transformation notée F . Ce tenseur d’ordre 2 permet de relier la position relative de deux particules voisines avant et après déformation. C’est donc l’ingrédient de base pour définir la déformation d’un corps.

Dans le champ de déplacement u définit par la fonction f, deux particules initialement aux positions P et Q deviennent p et q dans la configuration déformée, le vecteur relatif PQ=d X devient pq=d x . En supposant que la fonction f est continue donc on peut définir le tenseur de gradient de transformation:

Il est parfois également appelé matrice Jacobienne car c’est la matrice du changement des variables X en x. En effet, le tenseur F s’écrit aussi :

Le tenseur F est non symétrique en général.

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3. Définition des tenseurs de déformationLa section précédente a introduit le tenseur gradient de la transformation F . Ce tenseur est la dérivée des positions actuelles par rapport aux positions initiales. Nous allons montrer que ce tenseur n’est pas une bonne mesure de déformation. En revanche, à partir de ce tenseur nous allons bâtir deux tenseurs de déformation.Considérons un corps se déplaçant de manière rigide. Ce mouvement s’écrit :

x ( X , t)=R (t) · X+ c (t)Le tenseur R est un tenseur orthogonal, Il représente la rotation rigide du corps et le vecteur c représente la translation rigide. Le gradient d’une telle transformation est clairement :

F=RAutrement dit pour un mouvement de corps rigide, le tenseur F n’est pas nul et est égal au tenseur de rotation. Clairement, le tenseur F n’est donc pas une bonne mesure de déformation puisqu’il est non nul pour des transformations n’impliquant aucune déformation.

Pour arriver à la définition d’un tenseur de déformation, écrivons le changement de produit scalaire entre deux vecteurs élémentaires d X1 et dX 2 lorsqu’ils se transforment en dx1 et dx2. Exprimons le produit scalaire des vecteurs après déformation en fonction des vecteurs avant déformation :

d x1 · d x2=( F · d X1) ·( F · d X2)=d X1 ·( FT · F )· d X2=d X 1 · C · d X 2

Le tenseur C=FT · F est appelé tenseur des dilatations de Cauchy-Green droit. Il s’agit d’un tenseur symétrique du deuxième ordre dit matériel car il opère sur des vecteurs matériels. Inversement, on peut exprimer le produit scalaire des vecteurs élémentaires dans la configuration de référence à partir des vecteurs dans la configuration actuelle et on obtient le tenseur :

b=F · FT

Il s’agit d’un tenseur symétrique du deuxième ordre dit tenseur spatial car il opère sur des vecteurs spatiaux. Remarquons que tout comme F, b et C ne sont pas des mesures de déformations car pour un mouvement de corps rigides, on a C=b= I .Le tenseur de déformation de Green-Lagrange E est défini par l’expression suivante :

12(d x1 · d x2−d X1 · d X2)=

12(d X1 ·C · d X 2−F d X1· C · d X2)=d X1 · E · d X2

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Le tenseur E est un tenseur symétrique matériel du deuxième ordre. Il se calcule en terme de F par la relation suivante :

On définit également le tenseur de déformation d’Euler-Almansi, e :

Les tenseurs de Green-Lagrange et de Euler-Almansi sont de bonnes mesures de déformation car ils sont nuls pour des transformations rigides. En effet, prenant en compte F=R, pour une transformation rigide, il vient :

4. Déformations en petites perturbations4.1 Formulation de l’hypothèse des petites perturbations (HPP)La section précédente a introduit les outils mathématiques pour décrire des déformations quelconques entre un domaine de référence V et un domaine actuel v. Cette déformation peut être faible ou énorme (crash de voiture par exemple). Un point important à noter dans l’expression des déformations de Green-Lagrange et Euler-Almansi est qu’elles dépendent des déplacements de manière non-linéaire. En effet, reprenons la définition du tenseur de Green-Lagrange :

Le gradient de la transformation, F , peut s’exprimer en terme du gradient des déplacements en utilisant :

Donc le tenseur de Green- Lagrange s’écrit :

Qui est une expression non-linéaire (quadratique) des déplacements.Dans certains cas, cette cinématique peut être linéarisée (ce qui simplifie grandement la résolution du problème). C’est le cas des petites perturbations. L’hypothèse des petites perturbations (HPP) se formule comme suit : les déplacements entre la configuration de référence et la configuration actuelle sont très petits et le gradient des déplacements est également petit. Voici un certain nombre d’exemples pour lesquels l’hypothèse HPP est justifiée :– Un immeuble se déplace peu entre sa position non chargée (absence de gravité et de vent) et chargée (on applique la gravité et le vent) ;– Les ondes sismiques font intervenir des déplacements de faible amplitude par rapport à la taille des immeubles touchés (malgré cette faible amplitude, elles restent néanmoins très néfastes!) ;A l’inverse, voici des exemples où l’hypothèse HPP n’est pas justifiée :– l’étude des déformations d’une balle de golf suite à l’impact d’un club ;– la déformation d’une planche de plongeoir sous l’action d’un nageur ;

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– la phase de striction d’une éprouvette dans un essai de traction ;

4.2 Simplification des résultats dans l’hypothèse HPPDéduisons maintenant les conséquences de l’hypothèse HPP sur la description de la cinématique. L’hypothèse HPP (faible gradient des déplacements) permet de négliger le terme quadratique dans l’expression dans la déformation de Green-Lagrange, Il reste :

Le membre de droite est le tenseur des déformations en petites perturbations, noté ε , En conclusion, dans l’hypothèse HPP, nous avons :

, dans ce qui suit on prend comme tenseur de déformation qui s’écrit en notation indicielle :

Exemple 1 Tenseur des déformations en petites perturbationsCalculer les déformations de Green-Lagrange, et HPP pour la transformation de l’exemple suivant :x1 = (18t +4X1+6tX2)/4x2 =(14t +(4+2t)X2)/4 Montrer que ces tenseurs coïncident lorsque la déformation est petite.

4.3 Décomposition de la déformation en Rotation et déformation pureQue devient la décomposition du tenseur gradient de transformation dans le cadre de l’hypothèse HPP? Pour rappel, la décomposition polaire du gradient de la transformation revient à écrire :

On peut écrire

Nous retrouvons le tenseur des déformations en HPP, ε , et nous définissons un tenseur ω. Ce tenseur est antisymétrique et est appelé le tenseur de rotation en

HPP. Avec

Voici l’expression générale d’une transformation rigide dans l’hypothèse HPP.

x=( I+ω)· X+c ( t ) , u=ω · X+c (t)Où c (t ) est le mode de translation rigide. La déformation associée est nulle.

Puisque le tenseur de rotation HPP est antisymétrique.On peut dans le cadre de l’hypothèse HPP confondre les variables d’Euler (x,t) et celles de Lagrange (X,t) pour le calcul d’une fonction et de ses dérivées. Les deux écritures suivantes sont donc identiques :

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Une conséquence importante est que l’écriture des équations et des conditions aux limites peut s’effectuer directement sur la configuration de référence. Dans le cadre de l’hypothèse HPP, les configurations initiales et actuelles sont considérées confondues. 4.4 Dilatation linéaire unitaire dans une direction quelconque Dans l’hypothèse HPP, la signification des composantes du tenseur de déformation εij apparait simplement si on considère la définition du tenseur de Green-LaGrange, en effet on a :

d x1 · d x2−d X 1· d X2=2 Eij d X i d X j

Appliquons cette relation dans le cas ou d x1= d x2 et d X1= d X 2.d x · d x−d X ·d X=2 εij d X i d X j(¿)

On a doncd s2=d x · d x et dS=d X · d XConsidérons≤vecteurunitaire n porté par d X : on a donc

d X=dS n soit d X i=dS ni

Et posons ds=(1+εnn)dS donc εnn=(ds-dS)/dS.εnn représente la dilatation linéaire dans la direction n.La relation (*) s’écrit donc :

d s2−d S2

d S2 =2 εij ni n j

Soit 1+ε nn=√1+2 εij ni n j≈ 1+ε ij ni n j donc on obtient finalement :ε nn=εij ni n j= n· ε · n

Cette relation est analogue a celle établie pour la contrainte normale.4.5 Distorsion d'un angle quelconque (n , t) Appliquons la relation (*) aux deux vecteurs dX et dX ’ et respectivement parallèles aux directions n et t faisant entre elles un angle θ :

On a : .

Soit l ’angle( dx , dx ’), étant la distorsion de δθ (n , t)d x · d x '=d X ·d X '+2 ε ij d X i d X ' j

 En plus on a :dx=ds=(1+ε nn) dS , dx '=ds '=(1+εn' n')dS ' ,

(1+εnn )(1+εn' n')dSd S ' cosφ=(cosθ+2 εij nit j)dSd S'

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Si est petit δθ cos (θ−δθ ) ≈ cosθ+δθsinθ, Soit en négligeant les termes du second ordre :

( εnn+εtt ) cosθ+δθsinθ=2 εij n i t j

Cas particulier : Si n est perpendiculaire a t , = /2.θ πδθ=2 εnt

Ainsi les composantes non diagonales de εij représentent les demi-variations d'angles initialement droits, de côtés parallèles aux axes de coordonnées soit par définition les demi-distorsions. On les appelle déformations transversales ou de cisaillement.5. propriété du tenseur de déformationConsidérons un cube d’arête unité dont les arêtes sont parallèles aux trois axes Ox1 Ox2 et Ox3 et son transformé.

On a où [du] étant le déplacement dû à la déformation uniquement.Ainsi pour les points : A1, A2, A3,

Le point de coordonnées (1,1,0) subit un déplacement :

5.2 Déformation homogène Une déformation est dite homogène quand les εij sont des constantes.Si on ne considère que la déformation pure :

ui = εijXj

une courbe f(xi)=0 devient après déformation f(x’i)=0

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C’est une transformation linéaire. Par conséquent, durant la transformation, une droite reste une droite, un plan reste un plan, des droites ou plans parallèles restent parallèles, toutes les droites ayant la même direction sont dilatées ou contractées dans le même rapport.

5.3 Changement de volumeUn élément de volume dV de la configuration de référence se transforme en un élément dv dans la configuration actuelle. Le Jacobien de la transformation J=det(F), donne le changement de volume : dv = JdV

5.4 Déformation d’un cube unitaire :Soit le volume V0=1 du cube engendré par les vecteurs V 0=P A1 ∙( P A2× P A3) qui devient après déformationV=P A ' 1 ∙ (P A '2× P A ' 3)On a θ=(V—V0)/V0

si on se limite aux termes du premier ordre en εij. Soit :

La dilatation cubique étant égale à la trace du tenseur des déformations, il est évident que ce résultat est indépendant de la forme de L'élément de volume considéré et du système d'axes choisis.6. Directions principales des déformations et cercle de MohrLe tenseur des déformations, ε, étant un tenseur symétrique d’ordre 2, nous savons (voir les chapitre 6 et 9) qu’il existe une base privilégiée dite base propre (ou base principale) dans laquelle les composantes de ce tenseur forme une matrice diagonale. Cette base propre est orthonormée et sera notée (eI,eII,e III) ou (e ' i) :

Pour calculer l’allongement relatif, ' ε du vecteur lors de la déformation, on se sert de la formule :

ε '=e ' i · ε · e ' i

Les valeurs propres εI, εII et εIII représentent donc les allongements relatifs de segments élémentaires placés dans les trois directions de la base propre.Calculons maintenant la variation d’angle γ entre deux vecteurs de la base propre lors de la déformation par la formule :

γ2=e'

1 · ε · e '2=0

Les vecteurs de base restent donc orthogonaux entre eux lors de la déformation. La base propre du tenseur des déformations HPP est une base orthonormée qui reste orthogonale lors de la déformation (mais pas nécessairement orthonormée car les vecteurs de base peuvent s’allonger ou se rétrécir).

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Pour illustrer cette propriété de la base propre des déformations, considérons un bloc en caoutchouc sur la surface duquel a été gravé un réseau orthogonal. Si cette surface est libre d’effort lors de la déformation, on peut montrer que la normale à cette surface est un des vecteurs propre que l’on notera e III. Si lors de la déformation, le réseau gravé reste orthogonal, cela indique que ce réseau était orienté selon les deux autres vecteurs propres. Si par contre, le réseau perd son orthogonalité, le réseau n’était pas aligné selon la base propre.Étudions ceci quantitativement. Donnons-nous un vecteur sur la surface qui fait un angle, α avec le premier vecteur de base propre eI, voir figure. Prenons un second vecteur orthogonal à et tel que (t ,l,e III) forme une base directe :

L’allongement relatif selon n se calcule par :

De même, la réduction d’angle entre les vecteurs l et t se calcule par :

Le point (εl ,g/2) parcourt le cercle de Mohr de centre ((εI+εII)/2 ,0) et de rayon ((εI-εII)/2. Lorsque l’angle a varie de 0 à π, le point décrit complètement le cercle.

Remarque : si l'on connaît une direction principale X3, la recherche des éléments principaux du plan (X1,X2) se fait comme pour les contraintes (voir Ch 9)soit :- par la méthode algébrique- par la méthode graphique : cercles de Mohr

7. Formes particulières prises par le tenseur des déformations7.1 Déformation plane et cisaillement pureLe solide est dit en état de déformation plane si l'une des dilatations principales est nulle. Un cas particulier important est le cisaillement pur.Dans le cas d'un cisaillement pur autour de Ox3 prend la forme:

Par une rotation de 45° on obtient:

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La déformation de cisaillement pur correspond à la contrainte de cisaillement pur vue au chapitre précédent. Dans ce type de déformation, la dilatation est nulle.

7.2 Cisaillement simpleOn appelle cisaillement simple la somme d'un cisaillement pur et d'une rotation.

8. Conditions de compatibilité des déformationsEn Mécanique des solides, ou les atomes sont astreints à rester sur le réseau cristallin, on ne peut pas découpler Rotation locale et Déformation et la continuité de la matière implique des restrictions sur la manière dont évolue l'état de déformation d'un point à un autre.

La relation déformation-déplacement s’écrit en HPP En notation indicielle:εij = (ui,j +uj,i)

A tout champ de déplacement, on peut faire correspondre un champ de déformation HPP par la relation ci-dessous. Par contre, existe-t-il pour un champ de déformation quelconque, La réponse est non en général. Pour que la réponsesoit positive, il faut que les déformations vérifient des équations dites de compatibilité. Ces équations de compatibilité sont au nombre de 6 :

εij,kk+εkk,ij −εik,jk+εjk,ik = 0

9. Dépouillement d’une rosette en extensométrie

Pour connaître les déformations dans le plan d’une surface qui se déforme, on peut coller sur cette surface une rosette. Une rosette, constituée de trois jauges de déformation, mesure les allongements relatifs dans trois directions différentes du plan, soit à 45°, pour les rosettes dite à 45° ou à 60o, pour les rosettes dites à 60.

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Une jauge de déformation, peut être assimilée à une résistance métallique constituée d’un fil rectiligne très fin, que l’on colle sur la surface de la structure étudiée. On transmet ainsi au fil les déformations de la structure, d’où une variation de sa longueur, qui produit une variation de sa résistance. Cette variation est mesurée à l’aide d’un pont de Wheatstone.

On peut ainsi obtenir avec précision l’allongement relatif εx dans la direction x de la jauge. A partir de εa , εb et εc, il est possible de trouver les déformations propres et vecteurs propres dans le plan. Notons a, l’angle que fait la jauge dans la direction a par rapport au vecteur propre (inconnu) eI : l’allongement relatif,

a dans la direction ε a est donné par:

De même, si est l’angle de la rosette, on a:α

Pour résoudre ces trois équations à trois inconnues, on posera d = (εI+εII)/2 et r= (εI−εII)/2. Pour la rosette à 45°, on a:

D'où on tire:

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Pour la rosette à 60°, on a:

D’où on tire:

Enfin, à partir de d et r, on obtientεI = d+r; εII = d−r

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