PCSI CHAPITRE 14 : OSCILLATEURS MECANIQUES FORCES 1/5

CHAPITRE 14 : OSCILLATEURS MECANIQUES FORCES

I. INTRODUCTION Nous étudierons dans ce chapitre les oscillations forcées d’un système mécanique soumis à une force sinusoïdale. Tout comme dans le cas des oscillations libres, les équations du mouvement de ces oscillateurs auront la même structure que des équations d’évolution d’un circuit électrique en régime forcé (analogie électro-mécanique). Les équations que nous rencontrerons ayant déjà été étudiées au chapitre 10, nous ne nous attarderons pas sur leur interprétation.

II. ETABLISSEMENT DU REGIME FORCE

1) Equation du mouvement

Figure 14.1. : Oscillateur mécanique amorti soumis à une force sinusoïdale

L’oscillateur mécanique à une dimension considéré est un point matériel de masse m pouvant coulisser suivant l’axe x, relié à un ressort de raideur k et de longueur au repos 0x , soumis à la force de rappel élastique ( )0 xk x x= − −F e , à une force de frottement fluide xxα α= − = −f v e et une

force excitatrice sinusoïdale ( ) ( )0 cose xt F tω=F e . L’application du principe fondamental de la dynamique donne l’équation du mouvement :

( ) ( )0ext 0

1 cosFkx F x x x x tm m m m

α ω= ⇒ = − − − +∑

En posant 0 k mω ≡ la pulsation propre de l’oscillateur, mτ α≡ un temps caractéristique

d’évolution du système (durée de relaxation), 00

1 kQ kmτω αω α

≡ = = son facteur de qualité, et

0X x x= − , l’équation du mouvement devient :

( ) ( )20 0 00 cos cosF FX X X t t

Q m mω ω ω ω+ + = =

La solution X(t) de cette équation différentielle du second ordre est la somme d’une solution générale X1(t) de l’équation sans seconde membre et d’une solution particulière X2(t) de l’équation avec second membre. L’équation sans second membre est connue et a déjà été étudiée à la section V du chapitre 3. Rappelons que sa solution s’écrit :

• si Q est supérieur à 1/2 :

( )11

12 cos

2 a

t xX e tτ ω ϕ− ∆

= + avec 20 1 1 4a Qω ω= −

• si Q est inférieur à 1/2 :

x0 x

m

x 0

F

f ( )e tF

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1

12

t t tX e x e x eβ βτ+ −

− −⎡ ⎤= +⎣ ⎦ avec 0 2

1 14Q

β ω= −

où les constantes se trouvent avec les conditions initiales. Au delà d’une durée égale à quelques fois τ, 1X devient négligeable. Si la force appliquée est sinusoïdale de pulsation ω, il est évident qu’il existe une solution particulière sinusoïdale. On a donc :

( ) ( )22 cos

2xX t tω ϕ∆

= +

2) Régime transitoire

Lorsque t est proche de la date initiale, le régime de fonctionnement de l’oscillateur est en régime transitoire, dans lequel la solution générale

X = X1(t) + X2(t) est valable. Après quelques fois τ, 1X devient négligeable et l’oscillateur est en régime forcé :

( ) ( )1X t X t= Nous étudierons dans la suite uniquement ce régime forcé.

III. RESONANCE

1) Notation complexe L’évolution de l’abscisse de l’oscillateur étant sinusoïdale, il est fructueux de considérer la grandeur complexe :

ime tX X ω= avec i

m meX X ϕ= et X X= ; ( )arg X π ϕ= ± ± d’après les signes des parties réelles et imaginaires de X . L’équation du mouvement complexe devient alors :

2 i0 00 e tFX X X

Q mωω ω+ + =

Cette équation est l’analogue de l’équation d’évolution de la charge du condensateur dans un circuit R,L,C série en régime sinusoïdal forcé (voir chapitre 10) :

20 00

j tFq q q eQ m

ωω ω+ + =

La dérivation temporelle est triviale et ramène cette équation à une équation algébrique sur le corps des nombres complexes :

0 0m 2

2 2 0 00

1 11i i

F QFXm mQQ

ωω χωω ω χχ

= =⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

où on a posé la pulsation réduite : 0χ ω ω≡ et où on a factorisé le dénominateur par 20 Qχω . En

passant en notation a + ib :

0m 2 2

02

1 i

1 1

QQFX

mQ

χχ

χωχ

χ

⎛ ⎞− −⎜ ⎟

⎝ ⎠=⎛ ⎞

− +⎜ ⎟⎝ ⎠

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2) Elongation Il vient, pour l’expression de l’amplitude de l’élongation :

( )1/ 22 1/ 222 2 2 20 0

m m 2 20 0

1 1 1QF QFX X Q Qm m

χ χ χχ χω ω

−−⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤= = − + = − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

L’homogénéité est visible en se rappelant que 20 m kω = et que la force de rappel élastique s’écrit

kx− . L’amplitude de l’élongation est égale à 20QF mω lorsque 1χ = .

Le déphasage de l’élongation par rapport à la force excitatrice s’écrit quant à lui :

( )

( )

2

2

1arctan 1 arctan si 11

arctan si 1 1

QQ

Q

χχ χχ χ

ϕχπ χ

χ

⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟− − = − ≤⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎪ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠⎪ ⎝ ⎠= ⎨⎛ ⎞⎪⎜ ⎟− − ≥⎪ ⎜ ⎟−⎪ ⎝ ⎠⎩

Il est égal à 2π− lorsque 1χ = . Etudions le comportement asymptotique de l’élongation :

01χ ω ω⇔ : ( ) 1/ 22 2 2 0 0

m 2 200 0

0

1 2

arctan 0

QF FX Q Qm m

Q

χ

χ

χω ω

χϕ

−

→

→

⎧ ⎡ ⎤+ − →⎪ ⎣ ⎦⎪⎨

⎛ ⎞⎪ = − →⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

01χ ω ω⇔ :

0m 2 2

0

0

1arctan

FXm

Q

χ

χ

χ ω

ϕ π πχ

→∞

→∞

⎧ →⎪⎪⎨

⎛ ⎞⎪ − + → −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

L’élongation est maximale (résonance en élongation) si le dénominateur est minimal :

( )

( )

22 2 2

2 22 2 22

1 0

1 0

d Qdd Q

d

χ χχ

χ χχ

⎧ ⎡ ⎤− + =⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪⎨⎪ ⎡ ⎤− + >⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

Ces équations donnent : 2

02 2

1 11 12 2rQ Q

χ ω ω= − ⇔ = − et 28 4Q >

La première équation indique donc qu’il ne peut y avoir résonance que si 1 2Q > et la deuxième permet de vérifier que l’extremum correspond à un maximum dans ces conditions. Si la résonance en élongation existe, la valeur maximale de l’amplitude d’oscillation est :

1/ 2

0m, 2 2

0

114r

QFXQ mω

−⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

Le déphasage est, à la résonance :

( )2arctan 4 2r Qϕ = − −

On a retrouvé dans ce paragraphe l’analogue de la résonance en tension aux bornes du condensateur d’un circuit R,L,C en régime forcé (figure 14.2.).

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Figure 14.2.a. : Allure de la courbe ( )X f χ= pour différentes valeurs de Q

Figure 14.2.b. : Allure de la courbe ( )fϕ χ= pour Q=2

3) Résonance en vitesse

La vitesse complexe de l’oscillateur s’écrit :

iX Xω= L’amplitude de la vitesse est donc :

1/ 222 0

m 0 m0

1 1 QFV X Qm

ω χ χχ ω

−⎡ ⎤⎛ ⎞

= = − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

et son déphasage : 1arctan v Qϕ χχ

⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

La vitesse est donc en avance de phase de 2π par rapport à l’élongation. En effet : 1tan 2

tanv vϕ ϕ ϕ πϕ

− = ⇒ = +

(on sait aussi que la dérivée d’une grandeur complexe évoluant sinusoïdalement est en quadrature avance par rapport à cette grandeur, voir chapitre 10). Le comportement asymptotique de la vitesse est :

01χ ω ω⇔ :

0

00

0

0

arctan 2

m

v

FVm

Q

χ

χ

χω

πϕχ

→

→

⎧ →⎪⎪⎨

⎛ ⎞⎪ = →⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

01χ ω ω⇔ : ( )

0

0

0

arctan 2

Fm

Q

χ

χ

χωπϕ χ

→∞

→∞

⎧ →⎪⎪⎨⎪ − → −⎪⎩

Etudions maintenant la résonance en vitesse. On voit sur l’expression de l’amplitude de la vitesse qu’elle est maximale pour 1χ = et vaut alors :

0m,

0r

QFVmω

=

Le déphasage correspondant est nul : la vitesse de l’oscillateur est en phase avec la force excitatrice à la résonance. Les résultats de ce paragraphe sont ont pour équivalent, dans l’analogie électromécanique, la résonance en intensité dans un circuit R,L,C série. Dans le vocabulaire du chapitre 13, on peut considérer la réponse en vitesse de l’oscillateur comme un filtrage en vitesse : seules certaines fréquences de la force permettent d’exciter fortement l’oscillateur. La bande passante, définie comme la bande de fréquence pour laquelle m m, 2rV V≤ , a pour extrémités :

φ

2m 0

0

X mFω

2

1/ 2

0, 35

χ

χ

2

π−

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m m, 2 rV V= ⇒ 2

22

1 1 1 1 1 021 1

Q QQ

χχ χχ

χχ

= ⇒ − = ± ⇒ ± − =⎛ ⎞

− +⎜ ⎟⎝ ⎠

200 2

2

1 1 1 1 1 1 02 21 1

EIR Q Q

Q

χχ χχ

χχ

= ⇒ = ⇒ − = ± ⇒ ± − =⎛ ⎞

− +⎜ ⎟⎝ ⎠

On garde les solutions positives :

1 22 2

1 1 1 11 ; 12 4 2 4Q Q Q Q

χ χ= − + + = + +

d’où 1 0 1 2 0 2 ; ω ω χ ω ω χ= = . La largeur 1 2 2 1ω ω ω∆ ≡ − de la courbe est donc égale à :

01 2

1Q mω αω

τ∆ = = =

La résonance est donc d’autant plus fine (plus sélective en fréquence) que le facteur de qualité Q du circuit est élevé (figures 14.3. et 14.4).

Figure 14.3.a. : Variation de l’amplitude de la vitesse

Figure 14.3.b. : Variation du déphasage de la vitesse

Figure 14.4. : Allure de la courbe de résonance en vitesse

pour différentes valeurs du facteur de qualité

m 0

0

V mQFω

Q = 10

Q = 2

Q = 30

0χ ω ω=

Q = 0,35

0

ωχ

ω=

0

ωχ

ω=

ϕ2

πm 0

0

V mQFω

1

2

2

π−

largeur de la courbe de résonance