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Chapitre 1
Rappels de probabilits Probabilits conditionnelles et formule de
Bayes
Dnombrement
BachelorBachelor 22Probabilits et Statistique pour
lingnieurCycle ingnieur des travaux Sept. 2010
H. Moussa
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Objectif et contenu du cours
Objectifs : Sensibiliser aux difficults de la modlisation de
l'ala et montrer la ncessit d'introduire de nouveaux outils
thoriques pour aborder la manipulation de modles alatoires en
hydrologie et dans les autres sciences de l'ingnieur.
ContenuI. Rappels de probabilits - Probabilits conditionnelles
et formule de Bayes (3h CM + 3 h TD) II. Variables alatoires et
lois usuelles, thormes limites (3h CM + 3 h TD)III. Statistique
descriptive simple (3h CM + 1 h TD + 2 h TP)I V. Statistique double
: corrlation, indpendance , rgression linaire (4 h CM + 2 h TD + 2h
TP)V. Estimation, intervalles de confiance , tests dhypothses (8 h
CM + 6 h TD + 2 h TP)
Volume horaire : CM TD TP* Evaluation Total21 h 15 h 6 h 2 x 3 h
48 h
* Statistique descriptive + rgression linaire + applications de
tests sous Excel
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Bibliographie
Kreyszig E., Advanced Engineering mathematics. 9th ediition,
Willey college, 9me dition , 2010
Saporta G., Probabilits, analyse des donnes et statistique.
Technip, 2006, 2me dition.
Wonnacott & Wonnacott, Statistique : conomie, gestion,
science, mdecine, Economica, 1991.
Walder Masiri, Statistique et calcul de probabilits , Sirey
1988, 6me dition.
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Plan du chapitre 1
Introduction
Axiomes de probabilits Probabilits conditionnelles et thorme
de
Bayes
Dnombrement et combinatoire
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Thorie des probabilits & Statistique mathmatique
Thorie des probabilits : Pourquoi ?
pour prendre en compte linfluence de la chance (l'alatoire )
dans la survenue dun vnement
Comment ? En fournissant des modles thoriques suivant des lois
de probabilits ; modles
qui seront tests par des mthodes statistiques .
Statistique mathmatique ( la statistique): La statistique =
ensemble de mthodes permettant d'analyser des
donnes d'observationsAttention:Attention: Une (les)
statistique(s) = donne statistique Ex. : mesure de llasticit dune
plaque mtallique; ge dune population
Domaines d'application :en ingnierie hydrologie, qualit,
environnement, jeux , informatique, robotique,
automatisation, planification urbaine5
Vocabulaire statistique
Population (limite ou de trs grande taille) Individus
appartenant la population
chantillon : partie de la population Le bon chantillon est celui
choisi de faon alatoire
Recensement = Interroger toute la population Sondage =
Interroger une partie de la population (un
chantillon)
Variable = caractristique dfinie sur la population quantitative
(discrte ou continue) qualitative (nominale ou ordinale )
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Mthodes statistiques
Hypothse de base Hypothse de base : les donnes observes dcrivent
un phnomne de nature alatoire
Analyse exploratoire des donnes dun chantillon1. Comment
reprsenter des donnes sous forme de graphes ?2. Comment extraire et
synthtiser numriquement linformation contenue dans
ces donnes ?=> notion de variable alatoirevariable alatoire
distribue selon une loi de probabilit
Statistique descriptive / analyse des donnesStatistique
descriptive / analyse des donnes
Approche dcisionnelle Comment utiliser linformation extraite d
un chantillon pour faire des
prvisions gnralises toute la population ? laboration de modles
probabilistes Tests et validation des modles
Statistique Statistique infrentielleinfrentielle
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Rappels de probabilits
Exprience alatoire : exprience dont le rsultat ne peut pas tre
prvu a priori
Espace fondamental () : ensemble des rsultats possibles dune
exprience alatoire
vnement lmentaire () : un lment de l'espace fondamental
vnement alatoire : ensemble dlments lmentaires. Un vnement peut
tre VRAI ou FAUX suivant le rsultat de l'exprience alatoire. Ce
sont des sous-ensembles de .
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Exemple 1 : exprience alatoire (e.a.) et espace fondamental
()
1. E.a : Contrler la qualit dune lampe non. = {dfectueux, non
dfectueux}
2. E.a : Lancer un d. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
3. E.a : Mesurer llasticit dun fil de fer . = I o I est un
intervalle de IR+.
4. E.a : Mesurer la teneur en cuivre du laiton. = ]50%,
100%[
5. E.a : Compter le nombre daccidents de la route journalier
Ouagadougou. = I ou I est un intervalle de IR+
6. E.a : Sondage dopinion sur les chances dlection dun candidat
la prsidence . ={ Pour, Contre, Indcis }
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Exemple 2
Exprience alatoireExprience alatoire : on lance un d
Rsultat de lexprienceRsultat de lexprience :: on obtient la face
n..
Espace fondamental Espace fondamental : = {ensemble des faces du
d}= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
vnement lmentairevnement lmentaireLespace fondamental contient 6
vnements lmentaires. Ex.: {5} dsigne lvnement lmentaire
correspondant au rsultat on obtient la face n 5 => Notations :
{5}; ( = 5 ); (on obtient la face n 5 );
Evnement alatoireEvnement alatoireEx. : A= (on obtient une face
paire) = {2, 4, 6}; B= (on obtient une face impaire) = {1, 3, 5};
C= (on obtient une face suprieure 4) = {5, 6};
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Remarques
Si lissue dune exprience alatoire, le rsultat se ralise et si
est lment de lvnement A ( A), on dit que ralise A
Dans lexemple 2, si lvnement lmentaire {5} = (on obtient la face
n5) se ralise alors les vnements B= {1, 3, 5} et C = {5, 6} se
ralisent aussi.
En particulier , lespace fondamental se ralise si certains
vnements de se ralisent toujours.
Une e.a. est souvent rpte plusieurs fois dans les mmes
conditions. Chaque rptition est appele essai.
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Relations entre ensembles et probabilits (1)
Notations Thorie des ensembles Probabilits
{} singleton de vnement lmentaire
A A sous-ensemble de vnement alatoire
A appartient A ralise AAB A est contenu dans B A implique B
AB runion de A et B A ou B
AB intersection de A et B A et B
complmentaire de A vnement contraire de A ensemble vide vnement
impossible ensemble plein vnement certainAB= A et B disjoints A et
B incompatibles
A
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A1, A2, A3, ...,An est un systme complet d'vnements , si les
parties A1, A2, A3, ...,An de constituent une partition de .
En particulier, A et forment un systme complet.
Exemple Exemple : e. a = lancer dune pice de monnaie; = {pile,
face}; les vnements A = {pile} et = { face}forment un systme
complet de . En effet , et
.
RemarqueRemarque : Tout comme les ensembles les vnements peuvent
tre reprsents par des diagrammes de Venn.
A
Relations entre ensembles et probabilits (2)
A=AA
=AA
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Loi de probabilit : premire dfinition
Def1: Def1: Dans un espace fondamental fini o tous les vnements
lmentaires sont quiprobables, la probabilit doccurrence P(A) dun
vnement A est :
Remarque : Cette dfinition nest pas gnralisable car
lquiprobabilit nest pas toujours vrifie. Gnralisation : on utilise
la notion de frquence relative la frquence doccurrence f dun
vnement A , lissue de n
essais dune exprience alatoire est :
=
=
card
A card
de lmentsd' Nombre
A de lmentsd' Nombre P(A)
nf
A de nsralisatio de Nombre
essaisd' Nombre
A de nsralisatio de Nombre ==14
Loi de probabilit : dfinition gnrale
Soit un espace fondamental , tout vnement A de est associ un
nombre P(A) appel probabilit de A et dfini par les axiomes suivants
:
1. 0 P(A) 1, A ,2. P() = 13. Si A et B sont incompatibles (A B =
)
P(A B) = P(A) + P(B) Par extension, si les vnements A1, A2, A3,
...,An sont mutuellement exclusifs alors : P(A1 A2 A3 ... An ) =
P(A1 ) + P(A2 ) +P(A3) + + P(An )
Lorsque ces 3 axiomes sont vrifis , on dit que P est une loi de
probabilit sur ou que (, P) est un espace probabilis.
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Rgle de complmentarit :
En particulier :
Proprit 1
P(A) 1)AP( =
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Exemple 3
On lance simultanment 5 pices de monnaie. Quelle est la
probabilit doccurrence de lvnement A = ( Face apparait au moins une
fois) ?
Il y a 25 = 32 rsultats possibles => Card = 32 On suppose que
est muni de lquiprobabilit
Lvnement contraire de A est : = (Pile apparait 5 fois) est un
vnement lmentaire de => P( ) =1/32
Daprs la rgle de complmentarit, on trouve :P(A) = 1 P( ) = 1 - (
1/32 ) = 31/32
AA
AA
A
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Rgle daddition dvnements mutuellement exclusifs :
((avec Aavec Aii AAjj = = Si i j )Si i j )
Proprit 2
)n
P(A...)3
P(A)2
P(A)1
P(A
)n
A...3
A2
A1
P(A
++++
=
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Exemple 4
Le tableau ci-dessus prsente les probabilits quun certain nombre
de voitures se prsentent dans un garage un jour ouvr. Quelle est la
probabilit pour quau moins de 21 voitures soient reues ?
Soient les vnements : A1 = ( 10-20) = ( le garage reoit entre 10
et 20 voitures) A2 = ( 21-30) = ( le garage reoit entre 21 et 30
voitures) A3 = ( 31-40) = ( le garage reoit entre 31 et 40
voitures) A4 = ( + de 40) = ( le garage reoit plus de 40 voitures)
=> ces vnements sont mutuellement exclusifs=> ces vnements
sont mutuellement exclusifs
alors A = (le garage reoit au moins 21 voitures) = A2 A3 A4
Daprs la proprit 2, on a :
10-20 21-30 31-40 + de 40
0.20 0.35 0.25 0.12
72.0
01225.035.0
)P(A)P(A )P(A
)AA P(A P(A)
432
432
=++=
++==
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Rgle daddition dvnements quelconques
Proprit 3
B)P(AP(B)P(A)B)P(A +=
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A B
AB
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Exemple 5
On lance un d non-pip, Quelle est la probabilit dobtenir un
nombre impair ou un nombre infrieur 4 ?
Lespace fondamental associ lexprience alatoire est : = {1, 2, 3,
4, 5, 6}. Les vnements de sont quiprobables.
Soient les vnements : A = ( on obtient un nombre impair) = {1,
3, 5}
B = ( on obtient un nombre infrieur 4 ) = {1, 2, 3}
Alors A B = (on obtient un nombre impair infrieur 4) = {1, 3}
Daprs la proprit 3 :
3
2 B)P(A
6
2
6
3
6
3 card
BA card cardB card
cardA card
B)P(AP(B)P(A)B)P(A
=
+=
+
=
+=
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Probabilits conditionnelles
Soient (, P) un espace probabilis, A et B 2 vnements
quelconques. On sintresse souvent la probabilit doccurrence de
lvnement A sous la condition que lvnement B soit ralis. Cette
quantit sappelle la probabilit conditionnelle de A si B :
(P(B) 0)
De mme, la probabilit conditionnelle de B si A est :
(P(A) 0)
La probabilit conditionnelle possde les mmes proprits que la
probabilit usuelle.
P(B)
B)P(A)BP(A
I=
P(A)
B)P(A)AP(B
I=
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Exemple 6
On lance 3 pices de monnaie les unes la suite des autres .
Calculer la probabilit conditionnelle pour que la premire pice
affiche PILE sachant qu'il y a exactement 2 faces semblables.
On considre = {FFF, FFP, FPF, FPP, PPP, PFP, PPF, PFF} muni de
lquiprobabilit (F= face; P= pile)
Soient les vnements : A= ( la 1re pice affiche P) = { PPP, PFP,
PPF, PFF} B = ( exactement 2 faces semblables) = { FFP, FPF, FPP,
PFP, PPF , PFF} A B = (la 1re affiche P et exactement 2 faces
semblables) = { PFP , PPF,
PFF}
Equiprobabilit : P(A) = 4/8 = 0.5; P(B) = 6/8 = 0.75; P(A B )=
3/8
La probabilit pour que la premire pice affiche PILE sachant
qu'il y a exactement 2 faces semblables :
2
1
6/8
8/3
P(B)
B)P(A)BP(A === I
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Thorme de la multiplication
Soient (, P) un espace probabilis, A et B 2 vnements de tels que
P(A) 0et P(B) 0 alors
(Thorme des probabilits composes)
)P(B)BP(A)P(A)AP(BB)P(A ==I
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Exemple 7
On effectue un contrle de qualit dans un lot de vis. La
probabilit quune vis soit trop mince est 0.1; la probabilit quune
vis soit trop courte sachant quelle est trop mince est 0.2. Quelle
est la probabilit quune vis choisie alatoirement dans le lot soit
la fois trop mince et trop courte ?
Soient les vnements :
A= (trop mince)
B = (trop courte)
On cherche la probabilit de lvnement A B = (trop mince et trop
courte) . On a :
P(A) = P (trop mince) = 0.1
P(B|A) = P(trop courte |trop mince) = 0.2
Daprs le thorme de la multiplication : P(A B)= P(B|A) P(A) = 0.2
x 0.1 =0.02=> Il y a 2% de chance quune vis choisie alatoirement
soit la fois trop mince
et trop courte 25
Evnements indpendants
Soient A et B 2 vnements d un espace probabilis (, P) tels que
:
A et B sont appels vnements indpendants.vnements
indpendants.
Si P(A) 0 et P(B) 0 , alors P(A|B) = P(A) P(B|A) = P(B) La
probabilit de ralisation A ne dpend pas de la ralisation ou de la
non
ralisation de lvnement B et inversement.
Remarque Remarque : 2 vnements A et B non impossibles et
incompatibles sont toujours dpendants puisque P(A B) = 0 et
P(A)P(B) 0.
GnralisationGnralisation : m vnements sont mutuellement
indpendants si : P(A1 A2 A3 ... Am ) = P(A1 ) . P(A2 ) . P(A3) P(Am
) indpendance 2 2 mais rciproque fausse
P(A)P(B)B)P(A =I
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Exemple 8
1. On lance deux ds. = {1,2,3,4,5,6} est muni de
lquiprobabilit.Soient les vnements : A = (le premier d donne un
nombre pair),
B =( le deuxime d donne un nombre impair) et C = (les deux ds
affichent un nombre pair)
On a : P(A) = 0.5; P(B) = 0.5; P(C) = 0.25; P(AB) = 0.25; P(A C)
= 0.25; P(B C) = 0.
Montrer que A et B sont indpendants, A et C sont dpendants, B et
C sont dpendants.
2. On lance une pice deux fois de suite. = {FF ; FP ; PF ; PP}
est muni de lquiprobabilit.
Soient les vnements : D = "FACE au premier lancer " ; G = "FACE
au second lancer".
P(D) = 0.5 ; P(G) = 0.5 ; P(D G) = 0.25. Alors D et G sont
indpendants car : P(G) * P(D) = 0.5 *05= 0.25 = P(G D)
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Thorme de Bayes
Thorme de Bayes Thorme de Bayes A et B 2 vnements dun espace
probabilis (, P) On ralise une exprience alatoire en deux tapes
:
B vnement relatif la deuxime tape est ralis A vnement relatif la
premire tape, alors :
Soit A1, A2, . . . , An une partition de , Loi des probabilits
totalesLoi des probabilits totalesP(B) = P(B A1) + P(B A2) + ::: +
P(B An)
= P(B |A1) P(A1) + P(B |A2) P(A2) + ::: + P(B |An) P(An) B :
Probabilits des causesProbabilits des causes(Thorme de
Bayes)(Thorme de Bayes)
P(B)
)P(A)AP(B)BP(A =
=
nj1jj
ii
))P(AAP(B
)P(B)BP(A)BP(A
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Exemple 8
Une usine produit des crans d'ordinateurs et le travail est
rparti sur 3 chaines A,B, C. La chaine A assure 20% de la
production et 5% des crans fabriqus sur lachaine A sont
dfectueux.La chaine B assure 30% de la production et a un taux de
4% d'crans dfectueux.La chaine C assure 50% de la production et a
un taux de 1% d'crans dfectueux.a) On choisit au hasard un cran.
Calculer les probabilits qu'il soit :- dfectueux et produit par A-
dfectueux et produit par B- dfectueux et produit par C.b) Calculer
la probabilit pour qu'un cran dfectueux- provienne de A- provienne
de B- provienne de C.
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Tirage alatoire avec ou sans remise
Exemple : Un lot contient 10 vis parmi lesquelles 3 sont
dfectueuses . 2 vis sont tirs alatoirement. Dterminer la probabilit
pour quaucune des visne soit dfectueuse ?
On considre les vnements A = la 1re vis est non dfectueuse , B =
la 2me vis est non dfectueuse . On cherche P(A B).
Sous lhypothse dquiprobabilit, on a P(A) = 7/10 = 0.7. Mais P(B)
dpend du mode de tirage :
-- Tirage alatoire avec remiseTirage alatoire avec remise : P(B)
= 7/10; les vnements A et B sont indpendants. Par consquent ,P(A B)
= P(A )x P(B) = 0.7 x 0.7 = 0. 49 soit 49 %
-- Tirage alatoire avec remiseTirage alatoire avec remise : P(B)
dpendant de A P(A B) = P(B|A )x P(B) Or P(B|A ) = 6/9 = 2/3 Donc
P(A B) = 2/3 x 0.7 = 0. 466 soit environ 47 %
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Permutations
Thorme 1Thorme 1a) Le nombre de permutations de n objets tirs
simultanment est n!
b) Lorsque n objets peut tre diviss en c groupes diffrents
alors, le nombre de permutations de n objets tirs simultanment est
:
(n1, n2, n3, ..nc : nombre dobjets par groupe avec n1 + n2 +n3
+...+ nc = n)
Exercice: Une urne contient 6 boules rouges et 4 boules noires.
Quelle est
La probabilit de tirer une boule rouge puis une boule noire
?
P = 6! 4!/10! = 1/210
=> Permutation : lordre des lments est important !=>
Permutation : lordre des lments est important !
nn L3.2.1! =
!!!!
!
321 cnnnn
n
L
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Permutations
ThormeThorme 22a) Le nombre de permutation de n lments pris k k
sans rptition
est :(arrangement de k lments)
Exemple : il y a 6 (= 2x3) permutations de 3 lettres abc prises
2 2 sans rptition : ab, ac, bc, ba, ca cb
b) Le nombre de permutation de n lments pris k k avec rptition
est :
Exemple : il y a 9 (=3) permutations de 3 lettres abc prises 2 2
avec rptition : ab, ac, bc, ba, ca cb, aa,bb,cc
!1n
kn
knAkn
nknnnn =
=+
)(
!)1()2)(1( L
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Combinaisons
Sans rptition Sans rptition : nombre de sous ensemble k lments
tels que 2 ensembles ne contiennent pas les mme lments.
Avec rptition Avec rptition : nombre de sous ensemble k lments ;
2 ensembles peuvent contenir les mme lments.
=> Combinaisons : lordre des lments nest pas important !=>
Combinaisons : lordre des lments nest pas important !
)!(!
!
knk
nC kn
=
)!1(!
)!1(1
+=+ nkkn
C k kn
33
