Chapitre 16 : Algèbre linéaire

Définition d’un espace vectoriel

Un ensemble E est appelé un espace vectoriel sur R (ou un R

espace vectoriel) si :

Définition d’un espace vectoriel

Un ensemble E est appelé un espace vectoriel sur R (ou un R

espace vectoriel) si :1) E est muni d’une addition, notée +, qui vérifie les propriétéssuivantes :

i) ∀(u, v ) ∈ E 2, on a u + v ∈ E (on reste dans l’ensemble Elorsqu’on effectue une addition).

ii) ∀(u, v ) ∈ E 2, on a u + v = v + u (l’addition est commuta-tive)

iii) ∀(u, v , w) ∈ E 3, on a (u + v ) + z = u + (v + z) (l’additionest associative)

iv) il existe un élément neutre dans E , noté 0E , qui vérifie :∀u ∈ E , u + 0E = 0E + u = u

v) ∀u ∈ E , ∃v ∈ E , u + v = v + u = 0E . On note alorsv = −u (pour chaque élément de E, il existe un opposé)

2) E est muni d’une multiplication par un réel, notée ·, qui vérifie :

i) ∀λ ∈ R, ∀u ∈ E , on a λ · u ∈ E (on reste dans E en multi-pliant par un réel)

ii) ∀u ∈ E , on a 1 · u = u

iii) ∀λ ∈ R, ∀(u; v ) ∈ E 2, on a λ · (u + v ) = λ · u + λ · v (distri-butivité 1)

iv) ∀(λ, µ) ∈ R2, ∀u ∈ E , on a (λ+ µ) · u = λ · u + µ · u (distri-

butivité 2)

v) ∀(λ, µ) ∈ R2, ∀u ∈ E , on a λ · (µ · u) = (λµ) · u

Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés les vecteurs.

Exemple 1

Exemple

Parmi les ensembles suivants, lesquels vous semblent être desespaces vectoriels ?

i) N ;

ii) [0, 1] ;

iii) C 0 ([0, 1]) ;

iv) M3,1(R).

Correction de l’exemple 1

i Non ! N n’est pas stable par passage à l’opposé : 2 ∈ N, mais−2 /∈ N.

Correction de l’exemple 1

i Non ! N n’est pas stable par passage à l’opposé : 2 ∈ N, mais−2 /∈ N.

ii Non ! Même raison que ci-dessus, [0, 1] n’est pas stable par

passage à l’opposé :12

∈ [0, 1], mais −12

/∈ [0, 1].

Correction de l’exemple 1

i Non ! N n’est pas stable par passage à l’opposé : 2 ∈ N, mais−2 /∈ N.

ii Non ! Même raison que ci-dessus, [0, 1] n’est pas stable par

passage à l’opposé :12

∈ [0, 1], mais −12

/∈ [0, 1].

iii Oui ! C 0 ([0, 1]) est un espace vectoriel.

Correction de l’exemple 1

i Non ! N n’est pas stable par passage à l’opposé : 2 ∈ N, mais−2 /∈ N.

ii Non ! Même raison que ci-dessus, [0, 1] n’est pas stable par

passage à l’opposé :12

∈ [0, 1], mais −12

/∈ [0, 1].

iii Oui ! C 0 ([0, 1]) est un espace vectoriel.

iv Oui ! M3,1 (R) est un espace vectoriel.

Exemples classiques d’espaces vectoriels

ThéorèmeLes ensembles suivants, munis des opérations + et · classiques,sont des espaces vectoriels :

i) Mn,p(R), l’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes (n ∈N

∗, p ∈ N∗) ;

ii) R[X ], l’ensemble des polynômes réels, Rn [X ] l’ensemble despolynômes réels de degré au plus n ;

iii) l’ensemble des suites réelles ;

iv) l’ensemble des fonctions de I dans R, où I est un intervalle deR ;

v) C k (I) (k ∈ N ∪ {∞}) l’ensemble des fonctions de classe C k

sur I.

Exemple 2

Exemple

Soient u =

10

−1

, v =

3−12

, w =

(

10

)

, x =

(

01

)

,

y =

12

−21

, z =

−1−22

−1

. Soient P(X ) = −X 2 + 1 et

Q(X ) = 2X 2 − X + 3. Soient A =

(

1 2−2 1

)

et B =

(

−1 −22 −1

)

.

Soient λ et µ deux réels.

i) Calculer, en précisant les espaces vectoriels concernés :

2u − 3v , λw + µx ,12(3y + z) − y .

ii) Expliciter le polynôme 2P(X ) − 3Q(X ) et comparer le résultatà un des calculs précédents.

iii) Expliciter la matrice12(3A + B) − A et comparer le résultat à

un des calculs précédents.

Correction de l’exemple 2i)

• u et v appartiennent à M3,1 (R) et

2u − 3v = 2

10

−1

− 3

3−12

=

−73

−8

.

Correction de l’exemple 2i)

• u et v appartiennent à M3,1 (R) et

2u − 3v = 2

10

−1

− 3

3−12

=

−73

−8

.

• w et x appartiennent à M2,1 (R) et

λw + µx = λ

(

10

)

+ µ

(

01

)

=

(

λ

µ

)

.

Correction de l’exemple 2i)

• u et v appartiennent à M3,1 (R) et

2u − 3v = 2

10

−1

− 3

3−12

=

−73

−8

.

• w et x appartiennent à M2,1 (R) et

λw + µx = λ

(

10

)

+ µ

(

01

)

=

(

λ

µ

)

.

• y et z appartiennent à M4,1 (R) et12(3y + z) − y =

32

y +12

z − y =12

y +12

z . On a donc :

12

y +12

z =12

12

−1−2

+12

−1−22

−1

=

0000

.

ii) On a :

2P (X ) − 3Q (X ) = 2(

−X 2 + 1)

− 3(

2X 2 − X + 3)

= −2X 2 + 2 − 6X 2 + 3X − 9

= −8X 2 + 3X − 7.

ii) On a :

2P (X ) − 3Q (X ) = 2(

−X 2 + 1)

− 3(

2X 2 − X + 3)

= −2X 2 + 2 − 6X 2 + 3X − 9

= −8X 2 + 3X − 7.

iii) On a :

12(3A + B) − A =

12

A +12

B

=12

(

1 2−2 1

)

+12

(

−1 −22 −1

)

=

(

0 00 0

)

.

Combinaison linéaire

Définition (Combinaison linéaire)

Soit E un espace vectoriel. On appelle combinaison linéaire d’unefamille (e1, e2, . . . , en) de vecteurs d’un espace vectoriel E toutvecteur x de E de la forme x = λ1e1 + λ2e2 + · · · + λnen, où(λ1, λ2, . . . , λn) ∈ R

n.

Exemple 3

Si possible, écrire

i)

(

11

)

et

(

3−2

)

comme combinaisons linéaires de la famille((

10

)

,

(

01

))

.

ii)

(

00

)

et

(

3−2

)

comme combinaisons linéaires de la famille((

−1−1

)

,

(

21

))

.

iii)

(

11

)

et

(

3−2

)

comme combinaisons linéaires de la famille((

33

)

,

(

22

))

.

iv)

332

et

10

−1

comme combinaisons linéaires de la famille

111

,

210

,

011

.

v) Écrire 2X 2 + 3X − 1 comme combinaison linéaire de la famille(1, X , X 2).vi) Écrire 2X 2 + 3X − 1 comme combinaison linéaire de la famille(1, X + 1, X 2 + X + 1).

i) On a :(

11

)

= 1 ×

(

10

)

+ 1 ×

(

01

)

et

(

3−2

)

= 3 ×

(

10

)

− 2 ×

(

01

)

.

i) On a :(

11

)

= 1 ×

(

10

)

+ 1 ×

(

01

)

et

(

3−2

)

= 3 ×

(

10

)

− 2 ×

(

01

)

.

ii) Ici, trouver une combinaison linéaire est moins facile queci-dessus. On procède autrement.

• On cherche deux éventuels réels α et β tels que(

00

)

= α

(

−1−1

)

+ β

(

21

)

. On a le système suivant :

{

−α + 2β = 0

−α + β = 0⇐⇒

{

α = 0

β = 0.

i) On a :(

11

)

= 1 ×

(

10

)

+ 1 ×

(

01

)

et

(

3−2

)

= 3 ×

(

10

)

− 2 ×

(

01

)

.

ii) Ici, trouver une combinaison linéaire est moins facile queci-dessus. On procède autrement.

• On cherche deux éventuels réels α et β tels que(

00

)

= α

(

−1−1

)

+ β

(

21

)

. On a le système suivant :

{

−α + 2β = 0

−α + β = 0⇐⇒

{

α = 0

β = 0.

• On cherche deux éventuels réels α et β tels que(

3−2

)

= α

(

−1−1

)

+ β

(

21

)

. On a le système suivant :

{

−α + 2β = 3

−α + β = −2⇐⇒

{

−α+ 2β = 3

−β = −5⇐⇒

{

β = 5

α = 7.

iii)

• On remarque que l’on a

(

11

)

= 1 ×

(

33

)

+ (−1) ×

(

22

)

.

iii)

• On remarque que l’on a

(

11

)

= 1 ×

(

33

)

+ (−1) ×

(

22

)

.

• Ici, c’est moins clair, on résout un système. On cherche deux

éventuels réels α et β tels que

(

3−2

)

= α

(

33

)

+ β

(

22

)

. On

a le sysème suivant :

{

3α + 2β = 3

3α + 2β = −2⇐⇒

{

3α + 2β = 3

0 = −5.

Ce système n’a pas de solution, donc

(

3−2

)

n’est pas

combinaison linéaire de

(

33

)

et

(

22

)

.

v) On constate facilement que

2X 2 + 3X − 1 = 2 × X 2 + 3 × X + (−1) × 1.

v) On constate facilement que

2X 2 + 3X − 1 = 2 × X 2 + 3 × X + (−1) × 1.

(Oui, c’est simple l’algèbre linéaire !)

vi) Ici, trouver une combinaison linéaire n’est pas claire. On résoutun système. On cherche trois éventuels réels α, β et γ tels que2X 2 + 3X − 1 = α × 1 + β × (X + 1) + γ ×

(

X 2 + X + 1)

.

vi) Ici, trouver une combinaison linéaire n’est pas claire. On résoutun système. On cherche trois éventuels réels α, β et γ tels que2X 2 + 3X − 1 = α × 1 + β × (X + 1) + γ ×

(

X 2 + X + 1)

. On a :

2X 2 + 3X − 1 = α × 1 + β × (X + 1) + γ ×(

X 2 + X + 1)

⇐⇒ 2X 2 + 3X − 1 = α + βX + β + γX 2 + γX + γ

⇐⇒ 2X 2 + 3X − 1 = (α + β + γ) + (β + γ)X + γX 2

vi) Ici, trouver une combinaison linéaire n’est pas claire. On résoutun système. On cherche trois éventuels réels α, β et γ tels que2X 2 + 3X − 1 = α × 1 + β × (X + 1) + γ ×

(

X 2 + X + 1)

. On a :

2X 2 + 3X − 1 = α × 1 + β × (X + 1) + γ ×(

X 2 + X + 1)

⇐⇒ 2X 2 + 3X − 1 = α + βX + β + γX 2 + γX + γ

⇐⇒ 2X 2 + 3X − 1 = (α + β + γ) + (β + γ)X + γX 2

En identifiant les coefficients, on récupère :

α + β + γ = −1

β + γ = 3

γ = 2

⇐⇒

α = −4

β = 1

γ = 2

.

Base d’un espace vectoriel.

Définition (Base d’un espace vectoriel)

On appelle base canonique :

i) de M2,1(R) la famille

((

10

)

,

(

01

))

et de M3,1(R) la famille

100

,

010

,

001

.

ii) de Mn,1(R) la famille

10...0

, . . . ,

0...01

. Elle est donc consti-

tuée de n vecteurs.

iii) de R[X ] la famille

(

1, X , X 2, X 3, . . . , X n, . . .)

.

Propriété fondamentale des bases.

Proposition (Propriété des bases)

Tout vecteur s’écrit de manière unique comme combinaisonlinéaire des vecteurs de la base canonique.

Exemple 4

Exemple

Décomposer dans les bases canoniques respectives :

(

3−1

)

,

210

,

2X 2 + 3X − 1 et (X + 1)2.

Correction de l’exemple 4

i) On a :(

3−1

)

= 3 ×

(

10

)

+ (−1) ×

(

01

)

.

Correction de l’exemple 4

i) On a :(

3−1

)

= 3 ×

(

10

)

+ (−1) ×

(

01

)

.

ii) On a :

210

= 2 ×

100

+ 1 ×

010

+ 0 ×

001

.

Correction de l’exemple 4

i) On a :(

3−1

)

= 3 ×

(

10

)

+ (−1) ×

(

01

)

.

ii) On a :

210

= 2 ×

100

+ 1 ×

010

+ 0 ×

001

.

iii) On a :

2X 2 + 3X − 1 = 2 × X 2 + 3 × X + (−1) × 1.

Correction de l’exemple 4

i) On a :(

3−1

)

= 3 ×

(

10

)

+ (−1) ×

(

01

)

.

ii) On a :

210

= 2 ×

100

+ 1 ×

010

+ 0 ×

001

.

iii) On a :

2X 2 + 3X − 1 = 2 × X 2 + 3 × X + (−1) × 1.

iv) On a :

(X + 1)2 = X 2 + 2X + 1 = 1 × X 2 + 2 × X + 1 × 1.