Chapitre 2

Triangles

I. Construction de triangles

1. Construction de triangles connaissant les longueurs des 3 côtés

Construction n°1 :ABC est un triangle tel que : AB = 2 cm ; AC = 3 cm ; BC = 4 cm.

Peut-on tracer tous les triangles ? Quelles conditions

doivent avoir les mesures d’un triangle ?

Activité

2. Inégalité triangulaire

Propriété : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Exemple : Dans le triangle ABC, on a :

AB < AC + CB AC < AB + BC BC < BA + AC.

Conséquence : a, b et c sont trois longueurs données, a est la plus grande de ces longueurs.Si a < b + c, alors on peut construire un triangle de côtés a, b et c.Si a > b + c, alors on ne peut pas construire un triangle de côtés a, b et c.

Exemple : Peut-on construire un triangle EDF sachant que ED = 1 cm, EF = 1,5 cm et DF = 3 cm ?On compare la longueur du plus grand côté et la somme des longueurs des deux autres côtés :ED + EF = 1 + 1,5 = 2,5 et DF = 3On a DF > ED + EF. L'inégalité triangulaire n'est pas vérifiée, donc on ne peut pas construire un tel triangle.

3. Construire un triangle connaissant un angle et les longueurs de ses côtés communs.

Construction n°2 :DEF est un triangle tel que : DE = 3 cm ; DF = 4 cm et = 30°

4. Construire un triangle connaissant deux angles et la longueur du côté commun.

Construction n°3 :IJK est un triangle tel que : IJ = 4 cm ; = 60° et = 45°

5. Somme des angles dans un triangle

Propriété : La somme des angles dans un triangle est égale à 180°.

Exemple : Dans ce triangle, l’angle mesure 180 – ( 30 + 80 ) = 180 – 110= 70°

Cas particulier :

Un triangle isocèle est un triangle qui à deux angles à la base égaux.

Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses 3 angles de même mesure, c’est-à-dire 180 : 3 = 60°.

Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit, c’est-à-dire de 90°.

II. Droites remarquables dans un triangle 1. Médiatrice

Définition : On appelle médiatrice d'un segment la droite qui passe par le milieu du segment et qui est perpendiculaire à ce segment. ( d ) passe par O milieu de [MN] . ( d ) est perpendiculaire à [MN] .

Propriété : Si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment. P appartient à (d) d'où PM = PN.

Propriété : Si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment. PM = PN donc P appartient à la médiatrice de [MN]

Remarque : Les médiatrices du triangle sont les médiatrices des côtés de ce triangle.

Propriété : Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes (elles se coupent en un même point). Leur point de concours est le centre du cercle passant par les 3 sommets du triangle, appelé cercle circonscrit au triangle.

2. Hauteurs

Définition: Dans un triangle, on appelle hauteur une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Propriété : Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est appelé orthocentre du triangle.

3. Médianes

Définition: Dans un triangle, on appelle médiane une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.

Propriété : Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est appelé centre de gravité du triangle.

4. Bissectrices

Définition: On appelle bissectrice une droite qui partage un angle en deux angles égaux.

Propriété : Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle.