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CHAPITRE 2 APPLICATION AU CHOIX DE PORTEFEUILLE FINANCIER

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CHAPITRE 2

APPLICATION AU CHOIX DE PORTEFEUILLE FINANCIER

OBJECTIF

Décision d'investissement ?

Comment un individu décide-t-il d'allouer sa richesse entredifférents actifs (maison, actions, obligations, voiture, etc…) etdettes (crédit à la consommation, emprunt étudiant, créditimmobilier…)?

�Il n'y a pas une stratégie unique, chaque individu ayant despréférences ; en revanche, il existe des principes généraux:

�Toute stratégie d'investissement repose sur un arbitrageentre la rentabilité et le risque.

On parle de “couple risque-rentabilité” .

DANS CE COURS

Choix de portefeuille financier

� Comment un investisseur choisit-il d'allouer sa richesseentre plusieurs titres financiers ?

� Quels sont les éléments qui vont influer sur ce choix?

� Existe-t-il une stratégie d'investissement optimaleidentique pour tous ?

Un portefeuille financier = une combinaison d ’acti fs

ACTIF FINANCIER

Actif financier = Produit, titre, qui procure à son détenteur 1flux de revenu (rendement) + ou – certain selon la nature duproduit:

� Obligation = titre dette qui procure un rendement engénéral certain (taux d’intérêt)

� Action = titre de propriété qui procure un rendementaléatoire (dividende)

�...et beaucoup d’autres.

ACTIF FINANCIER

On peut ainsi distinguer:

Placements sans risque = rendement en général limité maiscertain.

Placements risqués = rendement (espéré) plus élevé maisaléatoire.

RENTABILITÉ & RISQUE

Ce qui intéresse l’investisseur, c’est d’avoir une idée dutaux de rendement & risque futur de son placement !

�Les taux de rendement peuvent être considérés commedes variables aléatoires auxquelles sont rattachées desdistributions de probabilité.

�On suppose en général qu’elles suivent une Loi Normale .(implication du Théorème Central Limite: la distribution desprobas de VA iid tend vers la loi normale). Bienévidemment, on s’est empressé de voir si cette hypothèseétait vérifiée empiriquement (Fama 1976).

�Mesure de la rentabilité des titres financiers :

À partir de données historiques sur les rendements d'untitre, on peut calculer le taux de rendement moyen

�Mesure de la volatilité des rendements:

� Les taux de rendement peuvent prendre desvaleurs très différentes, + ou – éloignées de lamoyenne. Mesure de l’« écart à la moyenne » =écart-type.

� Lorsque l’on s’intéresse à plus d’un actif, la notionde variance ne suffit plus, il faut pouvoir apprécierla façon dont un titre évolue avec le reste des actifsdu marché = coefficient de corrélation

Le cadre d'analyse « Espérance-Variance »

Malgré tout...

Le cadre d’analyse « espérance-variance » reste d’unepertinence redoutable car il permet de formaliser la prisede décision. Il permet

a) de formaliser et d’intégrer les attentes et les contraintesd’un investisseur

b) de disposer de mesures des risques et de la performanced'un portefeuille

c) d’incarner certaines stratégies réelle d’investissement

d) d’exploiter l’information disponible de manière cohérente

e) de mettre rapidement à jour les « positions » pour tenircompte des informations nouvelles.

(cf doc Frank Moraux -Chapitre1Synthex.pdf)

PLAN

• Nous allons mener l’analyse en 3 temps:

� Section 1: Comment constituer un portefeuille composéuniquement d’1 actif sans risque et d’1 actif risqué

� Section 2: Comment constituer un pf avec plusieursactifs risqués (mais pas d’actif sans risque) ?

� Section 3: Le cas général = 1 actif sans risque +plusieurs actifs risqués.

S1- 1 actif risqué + 1 actif sans risque

Nous allons dans un premier temps considérer qu’il n’existeque 2 types de placements possibles:

�1 actif risqué dont le rendement est aléatoire ( noté )

�1 actif sans risque dont le rendement (noté i ) est certain.

x~

1.1 Cadre théorique

Un pf est composé des deux titres dans les proportions

αααα : % investi dans AR et (1-αααα) : % investi dans ASR

�Portefeuille : P = α AR + (1−α ) ASR

ASR AR

Rend.espéré

Ecart-type

1.2 Illustration

� Par exemple, le pf A composé à 40% d'actif risqué:

ASR AR

Rend.espéré 6% 12%

Ecart-type 0% 20%

α=0%(B)

α=10%(C)

α=20%(D)

αααα=40%(A)

α=80%(E)

α=100%(F)

6% 6,6% 7,2% 8,4% 10,8% 12%

0% 2% 4% 8% 16% 20%

Il y a une infinité de « combinaisons » possibles: il est possiblede construire une infinité de portefeuilles différents, composésdes 2 actifs dans des proportions ≠ .

→ Rentabilité espérée et risque se combinent linéairement

1.2. Illustration

E (r P)

σ P

1.3 La droite risque-rentabilité

)( PrE

x~σ

xr~

i

1.4. Le ratio de Sharpe

• Est la pente de la Droite Risque-Rentabilité:

• Dans notre exemple

1.5. Choix de portefeuille optimal ?

Investisseur A/R:

A niveau de risque donné, il cherchera à maximiser l'espérance de rentabilité de son pf

A rendement donné, il cherchera à minimiser le risque du pf.

1.5. Choix de pf optimal: le modèle de Markowitz

Critère de choix = forme simple de Markowitz.L’investisseur ne tient compte que de l’espérance de

rendement du portefeuille et de son risque:

Avec k = coefficient d'aversion face au risque, k >0.

Un agent dont les préférences peuvent être représentéespar ce critère de choix va donc choisir α∗α∗α∗α∗ solution de :

2)()( PP krEPV σ−=

2)()(max PP krEPV σα

−=

1.5. Résolution du programme

( ) 2~

2)~()(max xkixEiPV σααα

−−+=

Illustration (suite)

� Mr Alami, a des préférences de type Markowitz:

�Proportion d'actif risqué optimale ? Portefeuille optimal ?

)(2)( 2PP rrE σ−

ASR AR

Rend.espéré 6% 12%

Ecart-type 0% 20%

� Nous supposons à présent que l’investisseur n’a le choix

qu’entre 2 actifs risqués ( il n’y a pas de placement sans

risque possible).

� Cela va nous permettre de mettre en avant le principe

de diversification d’un portefeuille.

� Nous supposons que ces 2 actifs peuvent être

corrélés.

S2- 2 actifs risqués + 0 actif sans risque

CORRELATION

2.1. Illustration

Question: Un investisseur A/R a-t-il intérêt à tout investir dans un seul actif risqué, ou bien dans les 2 ?

Actif 1(BEL)

Actif 2(Schneider)

Rend.espéré 4% 13%

Ecart-type 10% 17%

2.2. Le principe de diversification

Rendement et Risque d’un portefeuille

• Dans le cas où il n’y a que deux actifs, un portefeuille P sera composé des actifs 1 et 2, dans des proportions α1 et α2 (%) .

• Chaque actif offre un taux de rendement aléatoire r1 et r2, et le risque propre à ces actifs est mesuré par leur variance ouécart-type σ1 et σ2 .

� Espérance de rentabilité d’un portefeuille ? Risque ?

Comme − 1≤ ρ≤ 1

⇒σ P≤ α1σ1+ α2σ2

2.2. Le principe de diversification

0 4% 10%

0,125 5,1% 9,6%

0,25 6,3% 9,7%

0,33 7% 10%

0,50 8,5% 11,1%

0,75 10,8% 13,7%

1 13% 17%

Illustration (suite)

Supposons par exemple queles actions Bel etSchneider sont corréléespositivement et que

Quelques pfs en fonction dela proportion d'actif 2(Schneider) dans le pf

ρ= 0,3.

α2 E ( r P ) σ P

ρ= 0,3.

α2

Corrélation & réduction de la volatilité du pf

2.3 Risque de marché et risque spécifique

Il n’est pas possible d’éliminer totalement le risque par ladiversification car la corrélation entre les actifs n’est jamaisparfaitement négative.

• Risque non diversifiable = risque de marché ( risquesystématique)

• Risque diversifiable = risque propre à l’actif ( risquespécifique).

0 4% 10%

0,125 5,1% 9,6%

0,25 6,3% 9,7%

0,33 7% 10%

0,50 8,5% 11,1%

0,75 10,8% 13,7%

1 13% 17%

2.4. La frontière des portefeuilles efficients

• Illustration

Certains portefeuilles proposent des rendements différents pour le même niveau de risque.

α2 E (r P ) σ P

2.4. La frontière des portefeuilles efficients

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2.4. La frontière des portefeuilles efficients

RMQ

On peut montrer algébriquement que la frontière del'ensemble des portefeuilles est une branche d'hyperboled'équation :

a = pente de la branche asymptotique (constante), et dont lavaleur dépend des caractéristiques des rentabilités destitres existant, leurs moyennes, variances, covariances)

σσσσ2222min et E(rPmin) sont les caractéristiques du portefeuille devariance minimale.

σ P2 = σ Pmin

2 +(E (r P)− E (r Pmin))

2

a

2.5. La composition optimale d’un portefeuille

Parmi tous les portefeuilles appartenant à la frontière efficiente,l’investisseur choisira celui qui lui procure l’espérance d’utilitémaximale . Ainsi le raisonnement se fait en 2 étapes:

1) Indépendamment des préférences de l'agent, il fautd’abord déterminer la frontière des portefeuilles efficients :c’est donc la même pour tous les investisseurs !

2)Puis, compte tenu des préférences de l'agent (et donc deson degré + ou – élevé d’aversion pour le risque ),déterminer celui qui est préféré par l’investisseur.

2.6. Exemple

• Un investisseur dispose de w0 = 20 (millions d’€) à placerentre 2 actifs risqués. Sa fonction d’utilité est donnée par

• Compte tenu des actifs qui composent le portefeuille, on apu calculer l’ensemble des portefeuilles efficients: ce sontceux qui présentent une espérance de rendement et unrisque tels que:

400

100)(

2wwwu

−=

.0425,0)()(9 22 +−= PPP rErEσ

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S3- Généralisation: 1 actif sans risque + 2 actifs risqués.

� Nous pouvons à présent généraliser l’analyse à

plusieurs actifs risqués + un actif sans risque

( Sharpe (1964) & Lintner (1965) )

� Le raisonnement se complique un peu….

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Une manière de présenter ce choix de portefeuille consiste àse le représenter en deux étapes :

1- on détermine d’abord la part du portefeuille que l’ondésire investir en actif sans risque et celle qui serainvestie dans un portefeuille d'actifs risqués P.

2- puis on détermine le portefeuille d’actifs risqués P* quel’on désire obtenir.

THEOREME DE SEPARATION A DEUX FONDS

3.1 Principe

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• Avec 2 actifs risqués + 1 actif sans risque, l'espérance de rendement d'un portefeuille est :

• Et l'écart-type:

3.2 Rendement et risque du portefeuille « global »

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1- Détermination du portefeuille d’actifs risqués optimal P* .

• De façon à maximiser l'espérance de rendement du

portefeuille, à niveau de risque constant, il faut déterminer

le portefeuille P qui permet de construire la DRR dont la

pente est la plus élevée possible, compte tenu de la

contrainte de réalisation du portefeuille (celui-ci doit

appartenir à la FPE, i.e l'ensemble des portefeuilles

d'actifs risqués réalisables & efficaces).

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2- Portefeuille global et préférences

• Les préférences de l'investisseur ne déterminent que lepourcentage qui sera investi dans l'actif sans risque vs leportefeuille d'actifs risqués.

� Des investisseurs présentant une forte aversion/risqueinvestiront peu dans le portefeuille de marché

� Des investisseurs présentant une faible aversion/risqueinvestiront une part importante dans le portefeuille demarché

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CONCLUSION

Ce « théorème de séparation en deux fonds » dû à(Markowitz et Tobin 1958) est très important en pratiquecar il est à l’origine, et justifie, l’existence des fondsmutuels (SICAV et FCP) :

� Deux fonds quelconques mais bien gérés (dont l’un estinvesti intégralement dans des actifs sans risque et l’autredans des actifs risqués très bien diversifiés) suffisent àsatisfaire les exigences de tous les investisseurs ayant lemême horizon d’investissement

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CONCLUSION

�Ces derniers se contentent de les combiner selon despoids qui dépendent de leurs richesses et aversion facerisque.

�L’économie réalisée en pratique par les investisseurs surleurs coûts de transaction (frais d’achat et de ventes detitres) et d’information peut ainsi être considérable (il suffitd’acheter des parts de deux fonds mutuels bien choisis).

Cette économie permet de rationaliser le rôle de l’industrie de la gestion déléguée de portefeuille

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