Chapitre 2 Echantillonnage et reconstruction - web - poseidon.heig-vd.chphp.iai.heig-vd.ch/~mee/cours/cours_rn/chap_02/latex/... · 2002-03-07 · eivd R egula tion num erique Chapitre

eivd Regulation numerique

Chapitre 2

Echantillonnage et reconstruction

Chapitre 2, v.1.2 1 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002




Table des matieres

2 Echantillonnage et reconstruction 12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Le processus d’echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 L’operateur d’echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Transformee de Fourier d’un signal numerique . . . . . . . 52.2.3 Recouvrement spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Le theoreme de l’echantillonnage (ou theoreme de Shannon) . . . 122.3.1 Enonce ([[2], §2.3]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.2 Consequences et realites pratiques . . . . . . . . . . . . . . 122.3.3 Filtre anti-recouvrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.4 Choix de la periode d’echantillonnage . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.1 L’operateur de reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.2 La reconstruction de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.3 Reconstruction par bloqueur d’ordre zero . . . . . . . . . . 232.4.4 Reconstruction par bloqueur d’ordre superieur . . . . . . . 28



2.1 Introduction

Les themes abordes dans ce chapitre ont ete traites en details dans le coursde traitement de signal, raison pour laquelle leur presentation s’effectuera sousforme de rappel, sans developpement detaille.

Le but du present chapitre est de mettre en evidence les problemes lies al’echantillonnage d’un signal analogique puis a sa reconstruction. Des methodespermettant d’eviter la manifestation de ces problemes sont proposees.

On analysera des le prochain paragraphe le processus d’echantillonnage, ouseront mis en evidence :

– la transformation du spectre original en un spectre periodique ;– le recouvrement spectral.Ensuite, le theoreme de Shannon (ou theoreme de l’echantillonnage) sera

presente, et la methode permettant de se premunir contre le recouvrement spec-tral sera developpee. Cette methode consistera a mettre en oeuvre un filtre anti-recouvrement.

Finalement, quelques procedes de reconstruction, comme– la reconstruction de Shannon,– la reconstruction par bloqueur d’ordre 0

seront passes en revue.

2.2 Le processus d’echantillonnage

A priori, le principe de l’echantillonnage d’un signal analogique peut laissercroire qu’une partie de l’information originale qu’il contient est irremediablementperdue. Dans le cas particulier de la regulation automatique, on concoit que cephenomene pourrait avoir des consequences inadmissibles, le regulateur numeriquene reagissant par exemple plus en certaines situations, simplement parce l’infor-mation manque, masquee par le processus d’echantillonnage.

Meme si cet effet secondaire de l’echantillonnage se produit pratiquementtoujours, le phenomene reste negligeable d’un point de vue pratique si la perioded’echantillonnage h est choisie convenablement. Qui plus est, on se propose ici demontrer de maniere qualitative que l’observation meme intermittente d’un signalanalogique xa(t) est suffisante si ses caracteristiques repondent aux hypothesesdu theoreme de Shannon.

2.2.1 L’operateur d’echantillonnage

Comme indique au chapitre 1, c’est le convertisseur A/D qui fait office d’operateurd’echantillonnage. La figure 2.1 page ci-contre montre que le signal analogiqueoriginal xa(t) est echantillonne, le signal numerique resultant etant x(k) :

x (k) = xa(t)|t=k·h



AD

x ( k )

h

h 2 h 3 h 4 h0

x a ( t )

t k

f _ 0 2 _ 0 1 . e p s

Fig. 2.1 – Echantillonnage d’un signal analogique.

L’echantillonnage s’effectue a intervalles reguliers h, fixes par la pulsation d’echantillonnage

ωe =2 · π

h= 2 · π · fe

2.2.2 Transformee de Fourier d’un signal numerique

La transformee de Fourier d’un signal numerique x(k) provenant par exemplede l’echantillonnage periodique du signal analogique xa(t) est definie par la rela-tion :

X (j · ω) = F{x (k)} =+∞∑

k=−∞

x (k) · e−j·ω·k·h

Elle est a mettre en regard de la transformee de Fourier de signaux analogiques,

Xa (j · ω) = F{xa (t)} =

∫ +∞

−∞

xa (t) · e−j·ω·t · dt

ce qui montre qu’elle n’est qu’une simple adaptation a la nature discrete dessignaux.

Exemple

La figure 2.2 page suivante montre le resultat de la trasnformee de Fourierd’une periode d’un signal carre discret.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.5

0

0.5

1u(

t)

t [s]

fsignal

=0.1[Hz], fe=1.6[Hz]

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

|U(jω

)|

f [Hz]

f_fourier_carre_03_1.eps

Fig. 2.2 – Module de la transformee de Fourier, i.e. spectre d’amplitude d’uneperiode d’un signal carre discret, evalue pour un grand nombre de valeurs def = ω

2·π. On note la periodicite (periode fe = 1

h= 1.6 [Hz]) du spectre d’amplitude

(Fourier carre 03.m).

Proprietes

Le signal numerique x(k) obtenu par suite de l’echantillonnage de xa(t) possededes caracteristiques spectrales tout a fait remarquables.

On note tout d’abord que sa transformee de Fourier est periodique de periodeωe, puisqu’en effet :

X (j · (ω + ωe)) =

+∞∑

k=−∞

x (k) · e−j·(ω+ωe)·k·h

=+∞∑

k=−∞

x (k) · e−j·ω·k·h · e−j·ωe·k·h

︸︷︷︸

1

=X (j · ω)

ce qui signifie qu’on peut se contenter de l’evaluer et de la representer sur uneperiode ωe.



−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

ω [rad/s]

|X(jω

)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

f_ch_02_01_3.eps

Fig. 2.3 – La transformee de Fourier X (j · ω) d’un signal numerique estperiodique de periode ωe = 2·π

h. La figure illustre le module de X (j · ω), i.e.

le spectre d’amplitude (ch 02 01.m).

La periodicite du spectre peut etre comprise intuitivement. Considerons lesignal sinusoıdal numerique de pulsation ω = 2 · π

[rads

], defini par ses va-

leurs aux instants d’echantillonnnage k (figure 2.4 page suivante). On constateimmediatement que par ces points peuvent egalement passer d’autres sinusoıdesnumeriques (de phases eventuellement differentes), de pulsations respectives

(ω − n · ωe)

La definition du signal analogique xa(t) de depart par ses valeurs aux instants

d’echantillonnage k est donc tout a fait equivoque !Autre caracteristique notable, la transformee de Fourier X (j · ω) du signal

numerique x(k) se calcule a partir de celle Xa (j · ω) du signal analogique xa(t)par la relation (formule de Poisson) :

X (j · ω) = F{x (k)} =+∞∑

n=−∞

Xa (j · (ω − n · ωe))

Ainsi, le spectre de x(k) est obtenu par la repetition et superpositionperiodique de celui de xa(t). La periode de repetition du spectre est ωe.

Le spectre (d’amplitude) de xa(t) etant par exemple celui du haut de la fi-gure 2.5 page 9, et xa(t) etant echantillonne a la pulsation ωe = 2

[rads

], celui



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

f_ch_02_02_1.eps

Fig. 2.4 – Echantillonnage d’un signal analogique xa(t) prenant la forme d’une si-nusoıde. Le signal numerique resultant (suite de nombres) est x(k). Par les valeursde xa(t) aux instants d’echantillonnage, on peut faire passer d’autres sinusoıdesque xa(t). Ici, le signal analogique haute frequence a les memes echantillons quele signal xa(t) (ch 02 02.m).

X (j · ω) de x(k) sera donc selon ce qui precede constitue de la repetition deXa (j · ω).

2.2.3 Recouvrement spectral

Selon la largeur de bande du spectre du signal original xa(t) et la valeur de lapulsation d’echantillonnage ωe, la superposition des spectres fait apparaıtre unrecouvrement (egalement appele ”repliement” ou ”aliasing”) tel que le spectreXa (j · ω) du signal original devient difficilement reconnaissable. La comparai-son des spectres de la figure 2.5 page ci-contre montre le phenomene. Partantde Xa (j · ω), il est devenu impossible d’extraire Xa (j · ω) et donc de retrouverl’information originale, le processus d’echantillonnage en ayant provoque la perteirreversible. Toutefois, cet effet genant consecutif a l’echantillonnage peut etre



−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

ω [rad/s]

|X(jω

)|

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4|X

a(jω)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

f_ch_02_01_2.eps

Fig. 2.5 – Spectre du signal analogique xa(t) original et spectre du signalnumerique x(k) resultant de son echantillonnage (ch 02 01.m).

considerablement reduit voire presque totalement elimine si :



1. une valeur plus elevee de la pulsation d’echantillonnage est choisie, commedans le cas de la figure 2.6 (ωe = 4

[rads

]au lieu de 2

[rads

]) ;

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|X(jω

)|

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

|Xa(jω

)|

ωe=4 [rad/s], ω

N=2 [rad/s]

f_ch_02_21_2.eps

Fig. 2.6 – Spectre du signal echantillonne x(k) lorsque la pulsationd’echantillonnage est augmentee (a comparer avec la figure 2.6) (ch 02 21.m).



2. la largeur du spectre du signal original est limitee par un prefiltrage (ici parfiltre passe-bas ideal de fonction de transfert W (j ·ω), figure 2.7). Le spectredu signal numerique correspondant ne presente alors plus de recouvrementspectral, comme en temoigne la figure.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

ω [rad/s]

|X(jω

)|

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

|Xa(jω

)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

1

2

|W(jω

)|

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

|W(jω

)||X

a(jω)|

f_ch_02_22_1.eps

Fig. 2.7 – Filtrage du signal analogique avant echantillonnage, de facon a eliminerles composantes spectrales pouvant provoquant le recouvrement. Le spectre d’am-plitude du signal filtre de la figure montre que le recouvrement spectral n’est plusvisible (a comparer avec la figure 2.5 page 9) (ch 02 22.m).



2.3 Le theoreme de l’echantillonnage (ou theoreme

de Shannon)

2.3.1 Enonce ([[2], §2.3])

Le cas illustre aux figures 2.6 page 10 et 2.7 page precedente montrent quele spectre Xa (j · ω) du signal analogique subissant l’operation d’echantillonnagepeut etre extrait de Xa (j · ω) par l’intermediaire d’un filtre passe-bas de largeurde bande adequate. Le theoreme de l’echantillonnage precise cette idee.

Un signal analogique xa(t) ayant un spectre de type passe-bas

de largeur ωmax est entierement decrit par la suite complete

de ses valeurs instantanees xa(kh) = x(k) si elles sont

prelevees a une pulsation d’echantillonnage ωe telle que

ωe > 2 · ωmax

La demonstration de ce theoreme est due a Shannon (1949). Il est fondamentalpour les systemes echantillonnes et ses consequences pratiques sont tres impor-tantes. Il montre qu’un signal analogique peut etre decrit completement, sansperte d’information, par la suite complete de ses echantillons pour autant quela pulsation d’echantillonnage ωe soit au moins egale au double de la plus grandepulsation ωmax contenue dans le signal analogique.

On note que la demi-pulsation d’echantillonnage possede une importance cru-ciale ; elle porte le nom de pulsation de Nyquist :

ωN =1

2· ωe > ωmax

2.3.2 Consequences et realites pratiques

Le theoreme de l’echantillonnage impose une limite inferieure absolue pour lapulsation d’echantillonnage ωe. Il part cependant de l’hypothese que le signal ana-logique xa(t) subissant l’echantillonnage est a largeur de bande limitee ωmax. Hors,il faut etre conscient qu’en realite [[3], §9.3.2], tout signal analogique physi-quement realisable ne peut etre a bande limitee. Son echantillonnage,meme rapide, provoque donc inevitablement un certain recouvrement spectralcar ωmax → ∞

Toutefois, l’energie∫ +∞

−∞x2

a (τ) · dτ d’un signal reel etant necessairement finie,on peut demontrer que le spectre d’amplitude tend vers zero lorsque lafrequence tend vers l’infini.

Ainsi donc, bien que le recouvrement spectral ait effectivement toujours lieu,ses consequences peuvent etre limitees si la pulsation d’echantillonnage ωe estchoisie suffisamment elevee.



Bien que le spectre tende effectivement vers 0 pour les hautes frequences,cette tendance peut apparaıtre a des frequences si hautes, qu’afin de respectera la lettre le theoreme de l’echantillonnage, une pulsation d’echantillonnage devaleur forcement tres elevee devrait etre choisie. C’est notamment le cas lorsque lespectre de certains signaux est accidentellement elargi par la presence de bruits,dont l’echantillonnage selon les conditions de Shannon :

– requiert une pulsation d’echantillonnage plus elevee que celle qui seraitstrictement necessaire pour echantillonner le signal utile ;

– est parfaitement inutile, l’information recherchee etant concentree dans lapartie non-bruitee du signal.

Ainsi, on peut parfois etre tente de choisir une pulsation d’echantillonnage deplus faible valeur, a priori sans respecter a la lettre le theoreme de l’echantillonnage.En d’autres circonstances, des imperatifs techniques ou economiques imposentune pulsation d’echantillonnage limitee a une valeur bien plus modeste que 2·ωmax.Les consequences d’un fort recouvrement spectral etant dans le meme temps in-acceptables, le strict respect du theoreme de l’echantillonnage reste imperatif etneanmoins possible a condition d’eliminer (tout au moins attenuer) prealablementa l’echantillonnage toutes les composantes spectrales du signal analogique situeesau-dela de la pulsation de Nyquist ωN = 1

2· ωe.

Cette operation doit donc etre effectuee necessairement avant celle de l’echantillonnage,par un filtre nomme filtre anti-recouvrement, dont l’etude fait l’objet du para-graphe suivant.

2.3.3 Filtre anti-recouvrement

En pratique, la pulsation d’echantillonnage ωe n’est pas selectionnable a l’envi.Des imperatifs lies a la realisation materielle et notamment aux couts de celle-ciimposent souvent la gamme de ωe.

Or, un echantillonnage des signaux ne provoquant aucune perte d’informationest garanti selon Shannon pour autant que leur largeur de bande soit inferieurea la pulsation de Nyquist :

ωmax < ωN =1

2· ωe

Cette regle ne peut etre observee que lorsqu’un filtre passe-bas tres selectif estinsere en amont du convertisseur A/D (figure 2.8 page suivante).

Ce filtre, appele filtre anti-recouvrement (ou ”anti-repliement”, voire ”an-tialiasing”), a pour charge d’eliminer les composantes spectrales de pulsationssuperieures a celle de Nyquist. Sa pulsation de coupure ωc doit donc etre ajusteea la pulsation de Nyquist ωN

ωN =1

2· ωe



AD

s i g n a la n a l o g i q u eb r u t

x ( k )x a ( t )F I L T R EA N T I -

R E C O U V R E M E N T

f _ 0 2 _ d e s i g n e r _ 0 2 . e p s

Fig. 2.8 – Un filtre anti-recouvrement est necessaire avant la conversion A/Dpour prevenir du recouvrement spectral.

Il va de soi que les composantes essentielles du signal echantillonne ne doiventpas etre alterees pas le filtre. Theoriquement, un filtre anti-recouvrement doitetre ideal de reponse harmonique (fenetre frequentielle, figure 2.9) :

W (j · ω) = ε (ω) − ε(

ω −ωe

2

)

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|Xa(jω

)|, |

W(jω

)|, |

W(jω

)||X

a(jω)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

|Xa(ω)|

|W(ω)||W(ω)||X

a(ω)|

f_ch_02_22_2.eps

Fig. 2.9 – Visualisation des spectres du signal analogique original xa(t) et dufiltre anti-repliement ideal, lequel elimine toutes les composantes spectrale deXa(j · ω) superieures a ωN = ωe

2(ch 02 22.m).

Malgre toutes ses qualites apparentes, un tel filtre presente le grave inconvenientde ne pas etre causal et par consequent de ne pas etre realisable en temps reel.En effet, la reponse impulsionnelle du filtre passe-bas ideal (un sinus cardinal)demarre avant l’excitation (figure 2.10 page suivante) !



−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k = t/h

g(t)

Filtre passe−bas idéal: réponse impulsionnelle

f_ch_02_03_1.eps

Fig. 2.10 – Reponse impulsionnelle d’un filtre passse-bas ideal : elle demarreavant l’excitation ! Le filtre passe-bas ideal n’est donc pas causal (ch 02 03.m).

Pour des motifs de realisabilite, on doit donc pratiquement se contenter d’unfiltre d’ordre idealement tres eleve (4 a 8), le plus souvent de type Butterworthou Bessel.

Un tel filtre doit etre integre a tout systeme echantillonne, meme si une partiede son action est souvent deja realisee par le systeme a regler lui-meme, ce dernieretant par nature de type filtre passe-bas.

Le filtre anti-recouvrement est inevitablement vu d’un mauvais oeil par l’ingenieur-automaticien. Il provoque en effet des dephasages (quasi synonymes de retards, cffigure 2.11 page suivante) considerables dans la boucle de regulation, diminuant,pour une precision donnee, le degre de stabilite. Il faut en effet se rendre compte(figure 2.12 page suivante) qu’un filtre d’ordre n provoque un dephasage finalde n · 90 [◦], un dephasage important intervenant deja en basse frequence, dansla zone des frequences de travail, la meme ou le critere de stabilite de Nyquistdoit etre satisfait (zone ou l’on mesure en particulier la pulsation de coupure a0 [dB] en boucle ouverte ωco). A titre indicatif, un filtre d’ordre 4 de pulsation de

coupure ωc = ωN dephase grosso modo de4·45 [◦]

10≈ 20 [◦] en ωc

10, ce est qui loin

d’etre negligeable.



0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

Réponse indicielle d’un filtre de Butterworth d’ordre 4

f_fil_a_al_1.eps

Fig. 2.11 – Reponse indicielle d’un filtre passe-bas de type Butterworth, ordre 4,utilise typiquement comme filtre anti-repliement (fil a al.m).

10−1

100

101

−80

−60

−40

−20

0Réponse harmonique d’un filtre de Butterworth d’ordre 4

gain

[dB

]

10−1

100

101

−180

−135

−90

−45

0

45

90

180

pulsation [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_fil_a_al_2.eps

Fig. 2.12 – Reponse frequentielle d’un filtre passe-bas de type Butterworth, ordre4 : le dephasage est considerable et son effet intervient deja en basse frequence, i.e.dans la zone de travail de l’asservissement. Comparativement a un asservissementanalogique, cela se traduit par une baisse nette de la marge de phase ϕm et parsuite du degre de stabilite (fil a al.m).



−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|Xa(jω

)|, |

W(jω

)|, |

W(jω

)||X

a(jω)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

|Xa(ω)|

|W(ω)||W(ω)||X

a(ω)|

f_ch_02_23_2.eps

Fig. 2.13 – Un filtre passe-bas ideal etant impossible a realiser, on doit se conten-ter d’un filtre dont l’attenuation est progressive (par exemple −80 [ dB

dec.]). Ce filtre

ne pourra donc pas eliminer totalement le recouvrement spectral, mais s’il suffi-samment selectif et/ou si sa pulsation de coupure est suffisamment elevee, l’im-portance de recouvrement sera limitee (figure 2.14 page suivante) (ch 02 23.m).

2.3.4 Choix de la periode d’echantillonnage

La borne inferieure de la valeur de la pulsation d’echantillonnage est fixeepar le theoreme de l’echantillonnage. Cette valeur pourrait constituer un choix,a condition de disposer d’un filtre anti-recouvrement ideal, ce qui est impos-sible pour des motifs de realisabilite. Il faut donc se contenter d’une solutionde compromis, visant a remplacer le filtre ideal par un filtre causal d’ordreeleve. Ceci implique un nouveau choix de la pulsation d’echantillonnage. Eneffet, l’attenuation d’un filtre causal, si eleve soit son ordre, est generalementinsuffisante immediatement au-dessus de sa pulsation de coupure pour evitertout recouvrement spectral. Le seul remede consiste a augmenter la pulsationd’echantillonnage, afin de disjoindre suffisamment (mais neanmoins pas completementpuisque c’est impossible) les spectres juxtaposes.

C’est la raison pour laquelle le choix de la pulsation d’echantillonnage tel quepreconise par theoreme de Shannon ne peut s’utiliser en pratique, notammentdans le domaine des systemes fonctionnant en temps reel. Pour fixer ωe, on devradonc faire appel a des regles beaucoup plus restrictives, comme celle deja enoncee



−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

ω [rad/s]

|X(jω

)|

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5|X

a(jω)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

1

2

|W(jω

)|

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

|W(jω

)||X

a(jω)|

f_ch_02_23_1.eps

Fig. 2.14 – Malgre la presence d’un filtre, un certain repliement a lieu, son im-portance pouvant etre limitee en agissant sur les parametres du filtre comme lapulsation de coupure, le type et l’ordre (ch 02 23.m).

dans le chapitre 1, i.e

N =Treg

h= 4 . . . 10

Ces regles, pour etre enoncees, necessitent une etude plus approfondie des systemesdiscrets, raison pour laquelle ce sujet sera repris au chapitre 7.

2.4 Reconstruction

2.4.1 L’operateur de reconstruction

Par symetrie par rapport a l’operation d’echantillonnage, l’operateur de re-construction utilise est un convertisseur D/A, qui execute une conversion a unrythme dicte par la pulsation d’echantillonnage. Le signal numerique subissantl’operation d’echantillonnage est u(k), et le signal analogique resultant est ua(t).



u ( k )

AD

u a ( t )

k t

?f _ 0 2 _ d e s i g n e r _ 0 5 . e p s

Fig. 2.15 – Construction d’un signal analogique a partir d’un signal numerique :quelle methode employer ?

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|X(jω

)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

f_ch_02_24_2.eps

Fig. 2.16 – Spectre d’amplitude du signal numerique a convertir. Il n’y a pasde recouvrement si l’echantillonnage s’est effectue en respectant le theoreme deShannon (ch 02 24.m).

La question qui se pose ici est de savoir comment convertir un signal numeriqueu(k) en un signal analogique ua (t) sans perte d’information. Lors de la phase dereconstruction, le signal source est numerique et c’est l’information qu’il contientqui idealement doit se retrouver dans le signal analogique. Dans le contexte d’unsysteme de regulation automatique, u(k) est la commande formee par l’algorithmede regulation sur la base des informations mises a disposition, notamment la



−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|X(jω

)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

f_ch_02_24_3.eps

Fig. 2.17 – Spectre d’amplitude du signal numerique a convertir, avec mise enevidence de la caracteristique d’un filtre de reconstruction ideal (ch 02 24.m).

grandeur reglee numerique y(k). Celle-ci est issue de l’echantillonnage de y(t),applique normalement dans les regles de l’art, de sorte qu’aucun recouvrementspectral ne s’est produit (figure 2.16 page precedente). En consequence, le spectre”utile” de u(k) est a bande limitee et la construction ideale consistera a produireun signal de commande analogique ua (t) dont le spectre coıncide autant quepossible avec celui de u(k).

L’operateur de reconstruction, qui transforme u(k) en ua (t) est generalementdenomme filtre de reconstruction. On peut evidemment s’attendre a ce que cefiltre presente une caracteristique passe-bas, et l’on distinguera en particulier lareconstruction par :

– filtre passe-bas ideal (reconstruction de Shannon, §2.4.2) ;– bloqueur d’ordre zero (extrapolateur d’ordre 0, §2.4.3) ;– bloqueur d’ordre un (extrapolateur d’ordre 1, §2.4.4).

2.4.2 La reconstruction de Shannon

Le theoreme de Shannon propose implicitement un moyen de retrouver, apresl’echantillonnage, l’information originale du signal analogique echantillonne. Lesignal analogique reconstruit s’obtient en effet sans aucune perte d’informations’il est issu du filtrage ideal de u(k).

En portant son regard sur le spectre du signal numerique u(k) (figure 2.17), on



−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|X(jω

)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

f_ch_02_24_4.eps

Fig. 2.18 – Spectre du signal analogique reconstruit, cas ideal (ch 02 24.m).

voit qu’il s’agit simplement d’extraire la portion du spectre situee dans la bandede pulsations [−ωN , +ωN ], ce qui n’est applicable que lorsque que les hypothesesdu theoreme de Shannon ont ete satisfaites lors de la phase d’echantillonnage,soit en l’absence de tout recouvrement spectral. Comme dans le cas du filtreanti-recouvrement, le filtre realisant cette operation doit donc etre extremementselectif (fenetre frequentielle, figures 2.17 page ci-contre et 2.18), theoriquementideal, ce qui malheureusement implique aussi qu’il soit non-causal (figure 2.10 page 15).En effet, la loi de reconstruction selon de Shannon de ua (t)

ua (t) =

∞∑

k=−∞

u (k) · sinc

(ωe · (t − k · h)

2

)

fait appel aux valeurs passees mais aussi futures de u(k) ! Une facon de contour-ner cette difficulte consisterait a retarder l’action du filtre de reconstruction d’uneduree infinie, ce qui ne resout pas vraiment le probleme. Neanmoins, l’examende la reponse impulsionnelle (figure 2.10 page 15) du filtre montre que par rap-port a sa valeur en t = 0 [s], le niveau du signal s’affaiblit notablement pour|t| > 3 . . . 6 · h. Il est en particulier de 10% et 5% apres respectivement 3 et 6echantillons. Une relativement bonne approximation causale du filtre de Shan-non consisterait donc a retarder son effet d’environ 6 periodes d’echantillonnage(figure 2.19 page suivante), en prenant ainsi en compte les valeurs u(k) a u(k+6)pour (avant de) produire ua (t) [1]. On devine immediatement l’inadequationde cette methode aux exigences de minimisation des retards dans tout systeme



contre-reactionne. Le retard pur de 6 periodes d’echantillonnage est catastro-phique sur le plan de la stabilite de l’installation en boucle fermee. Celle-ci nepourra etre rendue stable qu’en sacrifiant les exigences de rapidite et de precision,le dilemme stabilite-precision se manifestant en regulation numerique de la mememaniere qu’en regulation analogique !

0 2 4 6 8 10 12−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Filtre passe−bas idéal : réponse impoulsionnelle retardée de 6h

k = t/h

g(t)

f_ch_02_08_1.eps

Fig. 2.19 – Reponse impulsionnelle d’un filtre passe-bas ”ideal” devenu realisablepar l’insertion d’un retard pur de valeur 6 · h (ch 02 08.m).

On mentionnera que le filtre ainsi retarde de reconstruction de Shannon estutilise en telecommunications et en audio-numerique, ou le probleme lie au retards’exprime en de tout autres termes.



u ( k )

AD

u a ( t )

k t

f _ 0 2 _ d e s i g n e r _ 0 4 . e p s

Fig. 2.20 – Reconstruction numerique-analogique par bloqueur d’ordre 0.

2.4.3 Reconstruction par bloqueur d’ordre zero

La maniere la plus simple et la plus utilisee pour la reconstruction consiste amaintenir le signal analogique ua (t) a une valeur constante pendant la perioded’echantillonnage en cours (figure 2.20). Cette valeur est bien entendu la traduc-tion analogique du nombre u(k) a convertir. La commande ua (t) a l’allure d’unsignal variant par gradins de duree h (figure 2.21).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t, k

ua(t)

bloqueur 0u(k)

f_ch_02_09_1.eps

Fig. 2.21 – Le signal analogique ua(t) reconstruit par un bloqueur d’ordre 0 apartir du signal numerique u(k) varie par gradins de largeur h (ch 02 09.m).



−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|U(jω

)|, |

W(jω

)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

|U(jω)||W(jω)|

f_ch_02_25_2.eps

Fig. 2.22 – Spectre du signal a numerique u(k) a convertir et, en pointille, reponseharmonique du bloqueur d’ordre 0 (ch 02 25.m).

Mathematiquement, l’operateur ”bloqueur d’ordre 0” est decrit comme suit :

ua (t) = ua (k · h + ∆t) = u (k) pour 0 ≤ ∆t < h

Le bloqueur d’ordre 0, interdisant toute variation de ua (t) pendant la duree h,possede un caractere filtrant. On peut montrer mathematiquement que c’est uneapproximation grossiere d’un filtre passe-bas ideal. En revanche, comme l’examendu signal reconstruit le laisse prevoir, le bloqueur d’ordre zero introduit dans ua (t)des composantes spectrales de frequences elevees indesirables (figure 2.23 pagesuivante).



−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|Ua(jω

)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

f_ch_02_25_3.eps

Fig. 2.23 – Spectre d’amplitude du signal analogique ua(t) obtenu par blo-queur d’ordre 0 (multiplication des reponses harmoniques de la figure 2.22 pageprecedente. Compare a la reconstruction ideale de la figure 2.18 page 21, descomposantes de frequences elevees apparaissent, ce qui se comprend intuitive-ment lorsque l’on observe les variations brusques, par escaliers, du signal ua(t)(figure 2.21 page 23) (ch 02 25.m).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t [s], k

u(t)

, u(k

), y

(t),

ueq

, yeq

Commande équivalente à la suite d’impulsions rectangulaires

f_01_matlab_65_1.eps

Fig. 2.24 – L’harmonique 1 de ua(t) passe par le milieu des escaliers(f 01 matlab 65.m).

Pour memoire, on a signale au chapitre 1 que le procede de reconstruc-tion par bloqueur d’ordre 0 introduisait un retard moyen d’une demi-perioded’echantillonnage (figure 2.24).

Trec ≈h

2

Ce resultat peut etre maintenant demontre. L’operateur de reconstruction parbloqueur d’ordre zero etant lineaire, au repos, causal et stationnaire (voir chap.3),sa reponse harmonique G(j · ω) (analogique) existe et peut etre obtenue partransformation de Fourier de sa reponse impulsionnelle. En l’excitant a l’instantt = 0 [s] par une impulsion de Dirac δ(t) d’amplitude u(0), la reponse du bloqueurest un signal rectangulaire de largeur h, de hauteur u(0) et centre en t = h

2. La

transformee de Fourier d’un tel signal a pour expression [[3], §9.3.2] :

G(j · ω) =Y (j · ω)

U(j · ω)= h ·

sin(ω · h

2

)

ω · h2

· e−j·ω·h

2

On observe que le bloqueur d’ordre zero introduit bel et bien un retard pur egala une demi periode d’echantillonnage.

Il n’est guere possible d’eliminer ce retard parasite. La comparaison avec celuiintroduit par le filtre de Shannon (6 · h, § 2.19 page 22), meme dans sa versioncausale, permet tout de meme de mesurer une amelioration notable.



a r g { X ( j w ) }

w

u a ( t ) = x ( t - h / 2 ) = g ( t )u ( k ) = d ( k )

x ( t )

t

0

0

h

t0

h

k0

h

w0

+ p

- p

w2 p / h0

w0

+ p

- p

2 p / h

| X ( j w ) |

a r g { U a ( j w ) }

| U a ( j w ) |

e x c i t a t i o n r é p o n s ei m p u l s i o n n e l l e

m o d u l e e t p h a s e d el a t r a n s f o r m é e d e F o u r i e r

1

11

f _ 0 2 _ d e s i g n e r _ 0 3 . e p s

Fig. 2.25 – Illustration de l’origine du retard pur de valeur h2

du au bloqueurd’ordre 0.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

t, k

ua(t)

bloqueur 1u(k)

f_ch_02_09_2.eps

Fig. 2.26 – Reconstruction par bloqueur d’ordre 1 (ch 02 09.m).

2.4.4 Reconstruction par bloqueur d’ordre superieur

En pratique, c’est la reconstruction par bloqueur d’ordre 0 qui est presquetoujours mise en oeuvre. On peut toutefois imaginer perfectionner la reconstruc-tion en effectuant une extrapolation d’ordre 1 (figure 2.26). L’etablissement de lafonction decrivant ce bloqueur est faite dans le cadre des exercices.

Une telle methode de reconstruction est couteuse en materiel. Elle presenteneanmoins l’avantage de lisser la commande, effet favorable lorsque le systeme aregler possede des modes (poles) rapides mal amortis. S’agissant de ce point-la,un effet comparable est obtenu en filtrant la commande provenant d’un bloqueurd’ordre 0.



Bibliographie

[1] Computer controlled systems, K. Astrom, B.Wittenmark, 1990, Prentice-Hall, bibliotheque eivd 40.122-03

[2] Commande numerique de systemes dynamiques, R.Longchamp, 1995,Presses Polytechniques Romandes, bibliotheque eivd 40.120-11

[3] Theorie et traitement des signaux, Traite d’Electricite, vol.VI, F.de Coulon,1984, Presses Polytechniques Romandes, bibliotheque eivd 32.100-23



Version du docu-ment

Date Notes

v1.1 16 janvier 2001v1.2 8 janvier 2002

Tab. 2.1 – Versions publiees


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