1

Chapitre 2 : M1108

Plan : La numérisation & la restitution

2.1 Introduction 2.2 Fonction d’échantillonnage

2.2.1 Principe 2.2.2 Spectre d’un signal échantillonné 2.2.3 Théorème de Nyquist-Shannon

2.3 Quantification 2.3.1 Principe 2.3.2 Caractéristiques 2.3.3 Erreur de quantification 2.3.4 Conversion non linéaire

2.4 Restitution d’un signal analogique 2.4.1 Conversion numérique analogique 2.4.2 Bloqueur 2.4.3 Filtre de restitution

2.5 Conclusions

2

Chapitre 2 : M1108

1.1.2 Transmission de signaux numériques 

•  Trois nouvelles fonctions – Echantillonnage, – Conversion A/N – Conversion N/A

3

Chapitre 2 : M1108

Quantification

0 = 000 1 = 001 2 = 010 3 = 011 4 = 100 5= 101 6= 110 7= 111

Echantillonnage

2.1 Introduction : Numérisation

•  Numérisation : – Transformation d’une grandeur électrique continue

en une suite de nombres.

t

Signal analogique s(t) Signal numérique

1 2 4 4 4 2 2 2 2 3 4 5 6 7 6 5 5 4 Suite de nombres sk représentant s(t)

4

Chapitre 2 : M1108

Plan : La numérisation & la restitution

2.1 Introduction 2.2 Fonction d’échantillonnage

2.2.1 Principe 2.2.2 Spectre d’un signal échantillonné 2.2.3 Théorème de Nyquist-Shannon

2.3 Quantification 2.3.1 Principe 2.3.2 Caractéristiques 2.3.3 Erreur de quantification 2.3.4 Conversion non linéaire

2.4 Restitution d’un signal analogique 2.4.1 Conversion numérique analogique 2.4.2 Bloqueur 2.4.3 Filtre de restitution

2.5 Conclusions

5

Chapitre 2 : M1108

2.2.1 Principe d’échantillonnage

•  Principe de l’échantillonnage

s(t) s*(t)

Te c(t)

s(t)

t

Te

t

1c(t)

Equation d’échantillonnage : s*(t) = s(t).c(t)

Signal continu t

s*(kTe)

kTe

Signal discret

6

Chapitre 2 : M1108

2.2.1 Principe d’échantillonnage

•  Signal de commande de l’échantillonneur : c(t)

Amplitude des harmoniques

Fréquence des harmoniques n/Te Temps normalisé t/Te

Amplitude temporelle

αTe

Te 2Te 3Te 4Te 5Te 6Te

t

Allure temporelle

f

1/Te 2/Te 3/Te 4/Te 5/Te 6/Te

Allure spectrale

1/αTe

Si α → 0 alors 1/αTe → +∝ Exercice : Décomposition en série de Fourier d’un peigne de Dirac

7

Chapitre 2 : M1108

2.2.2 Spectre d’un signal échantillonné

•  1er exemple échantillonnage : signal continu

t

A

Allure temporelle de s(t)

f

A

0

Allure spectrale de Ss (f)

1/Te 2/Te 3/Te 4/Te 5/Te 6/Te

f

Allure spectrale de Ss*(f)=A.Sc(f) 2A/Te

0 Te 2Te 3Te 4Te 5Te

t

Allure temporelle de s*(t) = A.c(t) A

Echantillonnage Multiplication des fréquences !!

8

Chapitre 2 : M1108

2.2.2 Spectre d’un signal échantillonné

•  2ème exemple échantillonnage : signal sinusoïdal

0 f

A Allure spectrale de Ss (f)

f0 =1/T0

t A

0

Allure temporelle de s(t)

T0

t

Te

T0

Allure temporelle de s*(t)

√2A

Echantillonnage

f 0

Allure spectrale de Ss* (f)

f0

fe

fe-f0

2fe

fe+f0 2fe-f0 2fe+f0

3fe

√2A/4Te f0 f0 f0

Multiplication des fréquences !!

9

Chapitre 2 : M1108

2.2.2 Spectre d’un signal échantillonné

•  Echantillonnage d’un signal quelconque

Signal non périodique

t

Spectre continu

f

f

Spectre périodique (1/Te)

1/Te 2/Te

t

Signal échantillonné

Te

Echantillonnage

Duplication du spectre initial

10

Chapitre 2 : M1108

2.2.3 Théorème de Nyquist-Shannon

•  Choix de la fréquence d’échantillonnage fe ?

Signal non périodique

t

Spectre continu

f

Théorème Nyquist-Shannon Pour numériser correctement un signal s(t), il faut échantillonner ce signal avec une fréquence (fe) au moins égale au double de la fréquence maximale (fmax) du spectre du signal analogique

fmax

11

Chapitre 2 : M1108

2.2.3 Théorème de Nyquist-Shannon

•  Effet du repliement de spectre

t f

Signal continu

Te fmax

Spectre signal continu

t f

Signal discrétisé à fe/2 > fmax Spectre périodique sans repliement

fe Te fmax fe-fmax fe+fmax 2fe 2fe-fmax 2fe+fmax

t f

Signal discrétisé fe/2 < fmax Spectre périodique avec repliement

fe Te fmax 2fe 3fe

Exercice : Echantillonnage d’un signal sonore qualité CD audio

12

Chapitre 2 : M1108

2.2.3 Théorème de Nyquist-Shannon

•  Filtre anti-repliement : Filtre passe bas Signal en entrée

t

Spectre signal en entrée

f

fmax

t f

Signal discrétisé Spectre signal discrétisé

fe Te fe+f’max fe-f’max f ’max

repliement

Signal filtré

t

Spectre signal filtré

f

f ’max

Filtre passe bas d’anti-repliement

fmax

fc pour f’max<fe/2

13

Chapitre 2 : M1108

Plan : La numérisation & la restitution

2.1 Introduction 2.2 Fonction d’échantillonnage

2.2.1 Principe 2.2.2 Spectre d’un signal échantillonné 2.2.3 Théorème de Nyquist-Shannon

2.3 Quantification 2.3.1 Principe 2.3.2 Caractéristiques 2.3.3 Erreur de quantification 2.3.4 Conversion non linéaire

2.4 Restitution d’un signal analogique 2.4.1 Conversion numérique analogique 2.4.2 Bloqueur 2.4.3 Filtre de restitution

2.5 Conclusions

14

Chapitre 2 : M1108

2.3.1 Principe de la quantification

•  Conversion analogique numérique Nk

+1

-5

-1

s* smax

-smax

Quantification linéaire

s*(kTe) Nk

q

+4

s* (kTe)

15

Chapitre 2 : M1108

2.3.1 Caractéristiques CNA

•  La résolution : C’est le nombre de bits utilisés pour convertir le signal analogique.

•  La dynamique de conversion Plage maximale sur laquelle la tension analogique peut être convertie.

•  Le temps de conversion C’est la durée écoulée entre l’instant de demande de conversion et

l’instant où le nombre est disponible en sortie

•  La polarité

Complément à deux

16

Chapitre 2 : M1108

2.3.2 Erreur de quantification

•  Quantification :

q

•  Cette approximation introduit une erreur (ou bruit) Nk.q

ε q (t)

s(t)

εq(t) = s*(k.Te) - Nk.q

t ε q (t)

-q/2

+q/2

T e

•  Valeur efficace du bruit de quantification

17

Chapitre 2 : M1108

2.3.2 Erreur de quantification

•  Soit un signal en entrée sinusoïdal s(t) = xVmax sin(ωt) Vmax représente la dynamique de conversion (ou 2Vmax = 2nq) et x [0 et 1].

•  La valeur efficace du signal d’entrée est

•  Le rapport Signal/Bruit (S/N) due à la quantification (x=1)

(dB) ou

S/N max(dB)

Nombre de bits

18

Chapitre 2 : M1108

2.3.2 Erreur de quantification

•  Influence de l’amplitude du signal à quantifier (S/N)dB

x

n =12 bits

n =8 bits ~50 dB

~76 dB

S/N > 30 dB

12 %

0,6 %

•  Le rapport S/N se dégrade pour les signaux de faible amplitude (cas des télécommunications)

19

Chapitre 2 : M1108

2.3.3 Conversion non linéaire

•  But : Affiner la quantification pour les signaux de faible amplitude

•  Solution : Quantum variable (Loi A ou µ)

20

Chapitre 2 : M1108

2.3.3 Conversion non linéaire

•  Rapport S/N avec quantum variable en loi A

(S/N)dB

x

n =8 bits Codage linéaire

Codage non linéaire (loi A) 38 dB

32 dB S/N > 30 dB

12 %

0,6 % Rapport S/N comme pour un CAN de 12 bits !!!

21

Chapitre 2 : M1108

Plan : La numérisation & la restitution

2.1 Introduction 2.2 Fonction d’échantillonnage

2.2.1 Principe 2.2.2 Spectre d’un signal échantillonné 2.2.3 Théorème de Nyquist-Shannon

2.3 Quantification 2.3.1 Principe 2.3.2 Caractéristiques 2.3.3 Erreur de quantification 2.3.4 Conversion non linéaire

2.4 Restitution d’un signal analogique 2.4.1 Conversion numérique analogique 2.4.2 Bloqueur 2.4.3 Filtre de restitution

2.5 Conclusions

22

Chapitre 2 : M1108

2.4.1 Conversion numérique analogique

•  Principe d’un CNA

Exercice : CNA architecture R-2R

23

Chapitre 2 : M1108

2.4.2 Bloqueur

•  Génération d’une grandeur continue : nécessité d’extrapoler les variation entre deux échantillons

t

s(t)

s(t)

VS(t) Bloqueur d’ordre 0 : la valeur est maintenue à la valeur de l’échantillon précédent

Bloqueur d’ordre 0

VS(t)

s*(kTe)

Te

Conversion N/A

Quantification A/N

Echantillon.

s (kTe) N s*(kTe)

Vs(t) ≠ s(t)

24

Chapitre 2 : M1108

2.4.3 Filtre de rstitution

Signal analogique s(t)

t

Spectre continu Ss(f)

f

f

f

Te 1/Te 2/Te

Signal échantillonné s*(t) Spectre du signal échantillonné Ss*(f)

t Echantillonnage + CAN & CNA

t

Te 1/Te 2/Te

Signal Vs(t) après bloqueur

f

Spectre du signal Vs(t) après bloqueur

1/2Te

Influence du bloqueur Bloqueur

Filtre passe bas de restitution

t

Te 1/Te 2/Te

Signal Vs(t) filtré Spectre du signal Vs(t) après bloqueur

1/2Te

décalage Te/2

Filtre passe bas : filtre la sortie

25

Chapitre 2 : M1108

Plan : La numérisation & la restitution

2.1 Introduction 2.2 Fonction d’échantillonnage

2.2.1 Principe 2.2.2 Spectre d’un signal échantillonné 2.2.3 Théorème de Nyquist-Shannon

2.3 Quantification 2.3.1 Principe 2.3.2 Caractéristiques 2.3.3 Erreur de quantification 2.3.4 Conversion non linéaire

2.4 Restitution d’un signal analogique 2.4.1 Conversion numérique analogique 2.4.2 Bloqueur 2.4.3 Filtre de restitution

2.5 Conclusions

26

Chapitre 2 : M1108

2.5 Conclusions

•  Numérisation

s(t) s*(k.Te)

Te c(t)

A N

n bits

CAN Filtre anti-repliement

Echantillonneur Bloqueur vers

traitement numérique

fe/2

Nk

•  Restitution

N A

n bits

CNA

depuis traitement numérique

Vs(t)

Filtre de restitution Bloqueur

fe/2

Nk

•  Influence des fonctions dans le temps & en fréquence