Chapitre 2. Modulation numérique dans un canal AWGNboukadoum_m/MIC4240/Notes/... · 2017-02-15 · 1 Principes de communications II MIC4240 1 Chapitre 2. Modulation numérique dans

1

Principes de communications II

MIC4240 1

Chapitre 2. Modulation numérique dans un canal AWGN


MIC4240 2

Sujet du chapitre• Signaux et types de modulation pour transmettre l’information

numérique binaire à travers un canal analogique• Représentation géométrique des signaux• Démodulation dans le cas d’un canal corrompu par du bruit

AWGN (bruit additif, blanc et gaussien)• Performance de la transmission

– Transmission en bande de base– Transmission en bande passante (par onde porteuse)

• L’étude porte sur la transmission d’un seul message (one-shot); le cas de messages multiples sera traité plus loin.

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Contenu• Modulation numérique binaire et M-aire

– Signaux orthogonaux et procéedure de Gram-Shmidt– Représentation géométrique des signaux

• Schémas de modulation binaire– Polaire– Quadrature

• Démodulation dans un canal AWGN• Performance• Cas M-aire


MIC4240 45.4

3


MIC4240 5

Modulation numérique• Associe un signal analogique à chaque valeur de bit ou groupe de

bits pour l’adapter au canal de communication (qui est analogique)• Peut se faire de deux façons :

• Modulation binaire : permet la transmission bit par bit en utilisant un signal pour 0 et un signal pour 1

• Modulation M-aire : permet de transmettre k bits à la fois, en utilisant 2 signaux notés , 1 .

– Les signaux sont typiquement des combinaisons linéaires de signaux orthonormaux , 1. . :

1 0

– La contrainte d’orthonormalité permet de traiter les fonctions comme vecteurs dans un espace pour les représenter par leurs coordonnées


MIC4240 6

Procédure de Gram-Schmidt• Permet de construire une base de fonctions orthonormales à

partir d’un ensemble arbitraire de fonctions• Partant d’un ensemble de signaux .. , On crée un

ensemble orthogonal .. , N M, comme suit:1. On pose , où est l’énergie de

2. On construit chaque nouveau en soustrayant du correspondant ses projections dans les déjà définis :

, 2. .avec ∑

• Si les s(t) sont linéairement dépendants, on aura = 0 pour certaines valeurs de n, ce qui donnera N < M; sinon N = M

4


MIC4240 7

Exemple d’application1. , où

2. Itération :

Pour 2. . :∑

où :

• Partant de M=4, on aboutit à N=3


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Représentation géométrique des signaux de modulation

• L’ensemble 1 formant une base dans l’espace des signaux de modulation, on peut écrire chaque signal :

∑ ,où est la projection de sur :

, • Alternativement, on peut faire abstraction des fonctions de base

et voir chaque comme un point dont les cordonnées sont les projections de sur chacun des axes :

, , … ,

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MIC4240 9

Techniques de modulation binaire• Basées sur un déplacement de valeur d’attribut(s)

(shift keying)• Deux types fondamentaux:

– Modulation polaire (dite aussi antipodale)– Modulation orthogonale

• On peut en déduire la plupart des modulations courantes : – Modulation par Amplitude d’Impulsion (MAI; Pulse amplitude modulation ou

PAM)– Modulation par déplacement d‘amplitude (MDA; Amplitude Shift Keying ou ASK)– Modulation par déplacement de fréquence (MDF; Frequency Shift Keying ou FSK)– Modulation par déplacement de phase (MDP; Phase Shift Keying ou PSK)– Modulation d’amplitude en quadrature (MAQ; Quadrature Amplitude modulation

ou QAM)


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Modulation binaire polaire• Le plus simple type de modulation binaire; multiplie

un signal p(t) par ±1 en fonction de la valeur de bit– 1 et 0 – Durée de p(t) = durée de bit (T = ) ; débit 1⁄– Ex. : Modulation d’amplitude d’impulsion binaire (MAI

binaire ou binary PAM)

, 0 , 1 11 2• est une impulsion

d’amplitude A, donnant pourl’énergie de et :

E

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Représentation géométrique de PAM

Fonction de base à énergie unitaire

Représentation géométrique des signaux PAM

E 1

• E donne E

• Un à énergie unitaires aura une amplitude 1/ , d’où :

– ± E pour un signal d’énergie E


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Modulation ASK• Variation de PAM où ±p(t) est multiplié par cos 2 :

cos 2 , 0 cos 2 , 0

• Si est une pulsation rectangulaire d’amplitude 1 et durée Tb, la

fonction de base à énergie unitaire est cos 2

• La représentation géométrique est similaire au PAM

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Amplitude Shift Keying/On-off keying (ASK/OOK):– Pros: simple, efficace en consommation d’énergie– Cons: bruit de transition à large spectre, susceptible au bruit– Usage commun: systèmes sans fil anciens

Signal Space Diagram• Each axis represents a ‘symbol’

• OOK has two basis functions: sinusoid & no sinusoid

• OOK has two symbols: carrier & no carrier

• Distance between symbols predicts BER

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carr

ier

digi

tal

data

OO

Km

odul

atio

n

OOK

10

ASK

10 10 10 10 10

Modulation ASK


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Modulation binaire orthogonale• et sont de même énergieEb, mais

orthogonaux– Trouver la base orthonormale revient simplement à normer et :

, 1,2• Ex. : Modulation binaire par positionnement d’impulsion

(MPI binaire ou binary PPM binaire)

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Modulation BFSK• La modulation binaire par déplacement de fréquence est un autre

exemple. Dans ce cas, une impulsion p(t) est multipliée par deux porteuses orthogonales pour former et :

cos 2 , 0cos 2 , 0

2⁄ , 2⁄et sont des entiers positifs distincts


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Binary Frequency Shift Keying (FSK):– Pros: Moins sensible au bruit– Cons: demande un bande passante plus large

que ASK en théorie– Populaire dans le systèmes récents

FSK modulation

FrequencyfcFc-df Fc+df

DIO=low DIO=high

Frequency deviation

Frequency separation= 2 x df

1

0

Signal Space Diagram / Signal Constellation• Each axis represents a ‘symbol’

• Each basis function is ‘orthogonal’


freq

1ca

rrie

rdi

gita

lda

taFS

Km

odfr

eq2

carr

ier

Modulation BFSK

9


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Représentation spectrale

• La modulation PPM est en bande de base • La modulation BFSK est en bande passante


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Modulation BPSKBinary Phase Shift Keying (PSK):

– Pros: • Moins sensible au bruit• Demande moins de bande passante que FSK

– Cons: • L’exigence de synchroniser la fréquence et la phase complique émetteurs et

récepteurs

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Signal Space Diagram / Signal Constellation• Each axis represents a ‘symbol’

• Each basis function is ‘orthogonal’


freq

1ca

rrie

r

digi

tal

data

PSK

mod

freq

2ca

rrie

r

10


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MPSK

)(1 t

2s1sbE

“0” “1”

bE

)(2 t

3s

7s

“110”)(1 t

4s 2ssE

“000”

)(2 t

6s 8s

1s5s

“001”“011”

“010”

“101”

“111” “100”

)(1 t

2s 1s

sE

“00”

“11”

)(2 t

3s 4s“10”

“01”

QPSK (M=4)

BPSK (M=2)

8PSK (M=8)


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Récepteur optimal

• Modèle de canal : – Hypothèse de bruit:

• Spectre de fréquences à large bande• Additif• Pas de corrélation avec le signal• Loi de probabilité gaussienne

• Récepteur : – Le démodulateur estime les

coordonnées du signal reçu, le détecteur décide du correspondant

Densité spectrale 2⁄

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Démodulateur optimal• Deux types :

– Par corrélation– Par filtrage adapté (Matched filter)


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Démodulateur par corrélation• La sortie du corrélateur à

est :

• étant une variable aléatoire gaussienne avec 0 et , l’ajout de ne fait que décaler la moyenne de de n vers cette valeur

Démodulateur pour signaux binaires antipodaux

Démodulateur pour signaux binaires orthogonaux

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Démodulateur par corrélation II• La densité de probabilité

conditionnelle à la sortie du corrélateur est, pour transmis :

| • Le détecteur pourrait décider

lequel de et a été transmis en comparant

| et |



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• Pour les signaux binaires orthogonaux, le corrélateur génère deux sorties possibles :

, ,

– et sont des variables gaussiennes non corrélées, donc indépendantes, due aux fonctions de base orthogonales

• On obtient alors :

, | ou , |


Démodulateur par corrélation III

Exploitation de , | = | |

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Démodulation par filtre adapté• Le corrélateur est remplacé par un

filtre linéaire invariant dans le temps, avec :

, 0• Signaux binaires antipodaux.

– On utilise • Signaux binaires orthogonaux.

– On remplace les corrélateurs par deux filtres adaptés

, 0, 0 .




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Démodulation par filtre adapté II• La sortie du filtre à est :

= (parce que )

Même sortie que pour le démodulateur par corrélation!

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Démodulation par filtre adapté III• En fait, l’usage de maximise le rapport signal-

sur-bruit à la sortie du démodulateurOn a :

Le rapport signal-sur-bruit à est :

Pour le terme de bruit :

Pour le terme de signal : Finalement, de l’inégalité de Schwarz, on tire :

E


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Détecteur binaire optimal• Doit décider pour chaque valeur de sortie du démodulateur si

elle correspond à s1 ou s2• Pour un signal de modulation polaire, la probabilité de

prendre la mauvaise décision est:

Zones deprobabilité demauvaise décision

xα

• Il faut trouver le seuil qui minimise En posant 0, on obtient :

Eln

0 )

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Performance de transmission binaire


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Modulation M-aire• La séquence à transmettre est divisée en blocs de même

taille (k bits) et même durée ( ), dits symboles

• Chacun des 2 symboles possibles est représenté par un signal de modulation différent

• Le taux de transmission de symboles est • Le récepteur comprend toujours un démodulateur et un

détecteur

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Le démodulateur M-aire

Démodulation par corrélation Démodulation par filtre adapté

• Puisque ∑ , il faut N démodulateurs, un pour chaque


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Signal M-aire avec bruit AWGN• À l’entrée du récepteur:

, 1, … , ; 0

∑ AWGN de moyenne 0 et 2⁄• À la sortie des corrélateurs :

Sous forme vectorielle : ,

• Les étant non corrélés, ∏ /∑

• L’ajout de déplace la moyenne de de 0 vers

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MIC4240 33

Signal M-aire avec bruit AWGN• La densité de probabilité conditionnelle du

corrélateur pour transmis est

| | , 1,2, … ,où | ⁄ , 1,2, … ,

Fonction de densité de probabilité conditionnelle pour PAM avec M=4 (k=1 dans ce cas)


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Signal M-aire avec bruit AWGN• Pour un signal reçu dont seul un composant

est non nul :

| 1 / ;

/

∑ ; , 1,2, … ,

Fonction de densité de probabilité conditionnelle marginale pour dans un système de modulation orthogonale avec M=4 et 0 pour

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MIC4240 35

Le détecteur optimal

Exemple de vecteur d’observation et de vecteur de bruit, N = 3, M = 4, s1 est transmis

• La vecteur de sortie du démodulateur comprend le signal transmis, mais aussi du bruit gaussien– Nuage sphérique autour du signal

dont 2=N0/2 détermine l’étalement (écart-type petit ou large)

• Pour détecter le signal transmis, on peut se fier à la vraisemblance

| que le vecteur observé correspond bien à


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Le détecteur MAP• Un mécanisme de détection relativement simple est

obtenu en appliquant le théorème de Bayes à :

| |On choisit le message qui maximize la probabilité a postériori (détection MAP)– ne dépend pas de et est ignoré

• Pour des signaux équiprobables, on peut ignorer , ce qui revient à évaluer

– La détection MAP devient une détection par vraisemblance(détection ML)

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MIC4240 37

Détecteur ML dans un canal AWGN• Repose sur la maximisation de • L’usage d’une notation logarithmique permet de

simplifier les calculs, en posant : log

log ∑– est maximum lorsque ∑ est

minimum

• Maximiser revient à minimiser


MIC4240 38

ML dans un canal AWGN• On choisit le message dont le point est le plus proche de

celui du message démodulé y (détection par minimum de distance)

• On a aussi :∑ ∑ 2∑ ∑

∑ 2∑ Ed’où une manière alternative de choisir :– On choisit le message qui maximise ∑ E

(détection par corrélation)

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MIC4240 39

Régions de décision ML• L’imputation de au y observé introduit une probabilité

d’erreur de décision : 1

• En partitionnant l’espace des vecteurs y en M régions disjointes, on peut minimiser par un choix judicieux des frontières des régions– Un vecteur d’observation y sera alors dans la région Rm si

est maximum pour m– Permet de décider partout sauf si y correspond à la frontière

entre deux régions; on tranche au hasard dans ce cas.


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Probabilité d’erreur • Il y a erreur lorsque le vecteur d’observation est dans

une région de décision différente de celle associée au signal émis.

• La probabilité d’erreur moyenne est:

– 1 ∑ pour ML– 1 ∑ pour MAP

• Pour des signaux polaires, on a vu que ,

qu’en est-il pour des signaux M-aires?

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MIC4240 41

La borne union sur la probabilité d’erreur• Méthode simple de borner la probabilité d’erreur dans un

système M-aire à messages équiprobables– Exploite la propriété Prob{A ∪ B} = Prob{A}+Prob{B}−Prob{A ∩ B}

≤ Prob{A} + Prob{B}• Soit l’événement que le détecteur choisisse lorsque

est transmis ( ), la probabilité d’erreur est := Prob{∪ , excluant }≤ ∑

– En prenant , la distance minimum entre deux messages, alors

et 1


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Modulation PAM M-aire• Généralisation de la modulation PAM binaire où :

, 1, 2, … ,• , de durée T, et peut être une pulsation rectangulaire

avec / E , d’où E• Comme les ne diffèrent que par leurs amplitudes,

ils appartiennent à un espace de signaux à 1 dimension; par contre, ils sont d’énergies différentes :

E E

L’énergie moyenne par message est E E ∑

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MIC4240 43

Modulation PAM M-aire• Pour éviter la composante DC, on répartit

symétriquement les composantes d’amplitude :2 1 , 1, … ,

(A est un facteur de valeur arbitraire)

• L’énergie moyenne est alors :

EE ∑ 2 1 2 2E 2 1 /3

• On définit la distance E pour représenter la modulation PAM géométriquement.


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Modulation ASK M-aire• Pour transmettre le signal PAM

dans un canal à bande passante, onle multiplie par un signal sinusoïdal:

cos 2 , 1,…• ASK M-aire: cos 2 , 1, …• Le cosinus divise l’énergie du signal par 2 et les

fonctions de base sont E cos 2• La démodulation peut se faire par corrélateur ou

filtre adapté, et la détection par PAM ou ML– Le bruit est dans ce cas cos 2 2

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MIC4240 45

Probabilité d’erreur du PAM M-aire

• On obtient une erreur lorsque l’amplitude du bruit dépasse d• On a, pour la probabilité d’erreur moyenne

/

• En terme d’énergie E


MIC4240 46

2 1 6E2 1

E

Probabilité d’erreur du PAM M-aire

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MIC4240 47

Modulation PSK M-aire• Modulation par déplacement de phase (PSK)

cos 2 , 0, 1… 1• peut être une pulsation rectangulaire en bande de base• Les signaux ont la même énergie E et ,

d’où

E cos 2 , 00

0, 1, … 1


MIC4240 48

Exemple de 4 PSK

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MIC4240 49

Modulateur MPSK• Utiliser l’identité trigonométrique

cos cos cos sin sin


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Représentation géométrique• E cos , E sin• Les fonctions de base auront pour amplitude 1/ E• L’affectation des bits à transmettre aux symboles suit

souvent un code de Gray– Minimise le taux d’erreur par bit car deux symboles voisins

auront au plus un bit de différence.

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Constellation MPSK

• Distance entre symboles :

2E 1 cos• La distance minimale correspond à deux symboles

adjacents : 2 E sin

E cos 2 , E sin 2


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Démodulation et détection MPSK• À la réception, on utilise deux corrélateurs pour obtenir :

E cos 2 , E sin 2

• Le détecteur affecte y au symbole le plus proche en termes de distance ou de phase – Problème potentiel si les phases des porteuses changent!

• La probabilité d’erreur est

1 ⁄⁄Expression difficile à évaluer analytiquement, estimée numériquement

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Probabilité d’erreur pour PSK

pour différentes valeurs de s/b


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Modulation QAM• Modulation MPSK avec la contrainte de même énergie

pour les signaux retirée– Permet de créer des constellations dont les points

peuvent être situés ailleurs que le long d’un cercle• Permet une distribution plus uniforme des distances

entre symboles

Constellation QAM avec M = 16

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Modulation QAM

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